杆件变形与刚度计算.
合集下载
建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核
9
8.3 平面弯曲梁的变形计算———叠加法（查表法） 从上一节例题可以看出，由于梁的变形微小， 而且梁的材料是在线弹性范围内工作的，因此梁的 挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。这样，梁 上某一荷载所引起的变形，不受同时作用的其他荷 载的影响，即各荷载对弯曲变形的影响是各自独立 的。因此，梁在几项荷载（集中力、集中力偶或分 布力）同时作用下某一截面的挠度和转角，就分别 等于每一项荷载单独作用下给截面的挠度和转角的 叠加。当每一项荷载所引起的转角在同一平面内（ 例如均在 xy平面内），其挠度都在同一方向上（ 例如均在 y轴方向）时，叠加就是代数和。
12
小结 本章主要研究扭转轴和平面弯曲梁的变形计算 和刚度校核问题。 1）扭转轴的变形计算及刚度条件为
13
2）平面弯曲梁的变形计算可用积分法和叠加 法进行。用积分法求解梁变形就是正确列出各段梁 的弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，积分一次 得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，然后 正确应用边界条件和连续条件确定积分常数。积分 法是求梁变形的基本方法，虽然计算比较烦琐，但 在理论上是比较重要的。
14
2
图 8.2
3
图 8.3
4
5
6
7
8
正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文
第8章 杆件的变形和刚度校核
为了避免受扭的轴产生过大的变形，除了要 保证强度条件以外，还要满足刚度要求。工程中 ，通常是用单位长度扭转角 θ 来限制轴的扭转变 形。因此，其刚度条件为
变形及刚度计算_图文_图文
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面 绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。
A
C
B
x
y挠度
C'
y
转角
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
4、挠度和转角的关系
注意：位移边界条件在支座处
变形连续条件中间在分段点
三、 用积分法求梁的变形 注意
当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁 的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程 需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线 方程也随之而异。
F
A
a
D
B
b
三、 用积分法求梁的变形 步骤
1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积 分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。
纵向伸长量： 横向缩短量：
轴向压缩：
F
F
纵向缩短、横向伸长
纵向缩短量： 横向伸长量：
注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不 一的杆件，因此引入应变的概念。
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
二、线应变
线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长 ，称之为线应变。
1、纵（轴）向变形量： F
即 该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的 一阶导数
A
挠曲线
y
C
C'
转角
B
x
y挠度
5、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。 转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
拉压杆的变形及刚度计算
胡克定律：
l FNl EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常
值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
1.2 横向变形、泊松比 则横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
法国科学家泊松（1781~1840） 于1829年从理论上推演得出的结果。 ，
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
BD段： FNBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段： BC段： CD段：
AB
FNAB AAC
20 103 500
40MPa
表4-1给出了常用材料的E、 值。
表8.1 常用材料的E、 值
材料名称 低碳钢 中碳钢
低合金钢 合金钢
灰口铸铁 球墨铸铁
铝合金 硬铝合金
混凝土 木材（顺纹） 木材（横纹）
牌号 Q235
45 16Mn 40CrNiMoA
LY12
E 200 ~ 210
205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例2 图示托架，已知 F 40 kN，圆截面钢杆
AB的直径 d 20 mm ，杆BC是工字钢，其
横截面面积为 1430mm，2 钢材的弹性模量
E 200GPa。求托架在F力作用下，
节点B的铅垂位移和水平位移？ 解：（1）、取节点B为研究对象，求两杆轴力
第4章杆件的变形和刚度
外力在对应位移上所做的功 就等于内力在对应变形上所做的 功Wi，两者都等于系统的弹性变 形能，即We=U。
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
☆ 拉压杆件的弹性变形能
图中拉杆外力FP所做的功为
We
0
l
Fp
(l)d
(l)
1 2
Fpl
杆件内部弹性变形能U
U
1 2
FN l
500
4kN·m
⊕
T图
500
⊖
5kN·m
500 1.5kN·m
试设计外径D，并求全轴 【解】求扭矩，画扭矩图，
的 相 对 扭 转 角 24 。 G=80GPa，[]=60MPa。
得出最大扭矩为
Tmax 5kN m
第4章 杆件的变形和刚度
圆轴扭转时的 变形及刚度条件
【解】 设计外径D
WP
单位长度的相对扭转角
在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转 变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转 变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。
d T
dx GIP 工程中多是采用单位长度扭转角对轴进行刚度计算， 单位是rad/m，工程中常用º/m，需要通过1rad=(180/)º来换 算。
d [ ]
dx
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又
可以写成：
T [ ]
GIP
第4章 杆件的变形和刚度
圆轴扭转时的 变形及刚度条件
受扭圆轴的刚度设计准则
d [ ]
dx
T [ ]
GIP
其中，[]为单位长度上的容许相对扭转角，其数值需要
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
☆ 拉压杆件的弹性变形能
图中拉杆外力FP所做的功为
We
0
l
Fp
(l)d
(l)
1 2
Fpl
杆件内部弹性变形能U
U
1 2
FN l
500
4kN·m
⊕
T图
500
⊖
5kN·m
500 1.5kN·m
试设计外径D，并求全轴 【解】求扭矩，画扭矩图，
的 相 对 扭 转 角 24 。 G=80GPa，[]=60MPa。
得出最大扭矩为
Tmax 5kN m
第4章 杆件的变形和刚度
圆轴扭转时的 变形及刚度条件
【解】 设计外径D
WP
单位长度的相对扭转角
在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转 变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转 变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。
d T
dx GIP 工程中多是采用单位长度扭转角对轴进行刚度计算， 单位是rad/m，工程中常用º/m，需要通过1rad=(180/)º来换 算。
d [ ]
dx
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又
可以写成：
T [ ]
GIP
第4章 杆件的变形和刚度
圆轴扭转时的 变形及刚度条件
受扭圆轴的刚度设计准则
d [ ]
dx
T [ ]
GIP
其中，[]为单位长度上的容许相对扭转角，其数值需要
杆件的变形及计算
τ=
Q ≤ [τ ] A
其中 Q 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解;A 为剪切面面积;[τ]为材料的许用剪应力,单位 MPa. 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解; 为剪切面面积; 为材料的许用剪应力 为材料的许用剪应力, .
二,挤压使用计算
在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压, 在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压,因而在二者接触面的局部区域产生 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号σjy表示 单位MPa.挤压应力是垂直与接触面的正应力.其可 表示, 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号 表示,单位 .挤压应力是垂直与接触面的正应力. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 积压力为作用在接触面上的总的压力, 表示. 积压力为作用在接触面上的总的压力,用符号 Pjy 表示. 表示. 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影, 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影,用符号 Ajy 表示. 其强度设计准则
在例6-1中杆 的直径均为d=30mm,[σ]=160MPa,其它条件不变.试确定此时结构所能 例6-3 在例 中杆BC,EF 的直径均为 , ,其它条件不变. 承受的许可载荷? 承受的许可载荷? 中分析EF杆为危险杆 解:根据例1中分析 杆为危险杆,由平衡方程可得 根据例 中分析 杆为危险杆,
N2 =
第三节 连接件的强度设计
一,剪切实用计算
当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值, 当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值,反 ,,销钉 作用线距离很近的平行力作用时, 向,作用线距离很近的平行力作用时,其主要失效形式之一为沿 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面. 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面.由于剪 切面上剪应力分布比较复杂, 切面上剪应力分布比较复杂,可假定认为剪应力在剪切面上均匀 分布——剪切实用计算. 剪切实用计算. 分布 剪切实用计算 其设计准则为
杆件的刚度计算汇总.
5
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
T max Ip G[ ]
T
max
GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
6
第一节
[例]
圆轴扭转时的变形及刚度计算
图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
13
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m 。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
7
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
3.14 604 1012 I P1 1.27 106 (m 4 ) 32 32 d 4 3.14 304 1012 I P2 0.08 106 (m 4 ) 32 32 180 T1 180 2.5 103 0 1 1 . 4 ( /m) 9 6 GI P1 3.14 80 10 1.27 10 180 T2 180 1.5 103 0 2 1 . 35 ( /m) 9 6 GI P 2 3.14 80 10 0.08 10 故 max 1.4( 0 /m)
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
T max Ip G[ ]
T
max
GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
6
第一节
[例]
圆轴扭转时的变形及刚度计算
图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
13
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m 。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
7
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
3.14 604 1012 I P1 1.27 106 (m 4 ) 32 32 d 4 3.14 304 1012 I P2 0.08 106 (m 4 ) 32 32 180 T1 180 2.5 103 0 1 1 . 4 ( /m) 9 6 GI P1 3.14 80 10 1.27 10 180 T2 180 1.5 103 0 2 1 . 35 ( /m) 9 6 GI P 2 3.14 80 10 0.08 10 故 max 1.4( 0 /m)
第九章 杆件的变形及刚度计算
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
杆系结构的刚度与稳定性计算—轴向拉压杆的变形
所示。已知材料的弹性模量 E 0.03 105 MPa，外力 F 50kN 。试求砖柱顶部
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式
E
和应变公式 =
=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l
EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式
E
和应变公式 =
=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l
EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
9第八章 杆件变形分析与刚度
2, 由强度条件可得: 由强度条件可得:
由刚度条件可得: 由刚度条件可得:
所以,空心轴的外径应不小于 所以,空心轴的外径应不小于147mm. .
8.5.2 杆件的刚度设计 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出, 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出, 弯曲变形与弯矩大小,跨度长短,支座条件, 弯曲变形与弯矩大小,跨度长短,支座条件,梁 有关. 截面的惯性矩 ,材料的弹性模量 有关.故提高 梁刚度的措施为: 梁刚度的措施为: 1) 改善结构受力形式,减小弯矩 ; 改善结构受力形式, 2) 增加支承,减小跨度 ; 增加支承, 3) 选用合适的材料,增加弹性模量 .但因各 选用合适的材料, 种钢材的弹性模量基本相同, 种钢材的弹性模量基本相同,所以为 提高梁的刚 度而采用高强度钢,效果并不显著; 度而采用高强度钢,效果并不显著; 4) 选择合理的截面形状,提高惯性矩 ,如工字形 形状,
4,由于实际无变形,所以: ,由于实际无变形,所以:
解得: 解得:
已知α=30.,杆长 杆长L=2m,直径 直径d=25mm, 【例8.3 】已知 直径 , E=210GPa,P=100kN,求节点 的位移. 求节点A的位移 , 求节点 的位移.
【解】
§8.2 圆轴的扭转变形
圆截面直杆在扭转时,小变形情况下, 圆截面直杆在扭转时,小变形情况下,可认为各 横截面之间的距离保持不变,仅绕轴线作相对转动, 横截面之间的距离保持不变 , 仅绕轴线作相对转动 , 表示. 两横截面间相对转过的角度称为 扭转角 , 用 φ表示 . 表示 取一微段dx研究,设徽段d 的相对扭转角为dφ, 取一微段 x研究,设徽段dx的相对扭转角为 ,沿 轴线方向的变化率为dφ/dx . 在线弹性范围内 , 由 轴线方向的变化率为 x 在线弹性范围内, 5-22) 式(5-22)可知 :
工程力学第8章 变形及刚度计算
第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
第7章 杆件的变形与刚度
32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚 度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4
项目6.杆件变形及其刚度条件
03
杆件的刚度条件
刚度的定义与分类
刚度的定义
刚度是指杆件在受力后抵抗变形的能 力。它是衡量杆件性能的重要参数之 一。
刚度的分类
根据杆件所受外力的不同，刚度可分 为弯曲刚度、剪切刚度和扭转刚度等 。
杆件的弯曲刚度
弯曲刚度的定义
弯曲刚度是指杆件在受到垂直于轴线 的力作用时，抵抗弯曲变形的能力。
弯曲刚度的计算
杆件变形的分类
轴向拉伸与压缩
剪切
扭转
弯曲
杆件沿轴线方向的拉伸 或压缩。
垂直于杆件轴线的横向 相对位移。
杆件绕其轴线的转动。
杆件在平面内发生弯曲。
杆件变形的能量关系
杆件变形过程中，外力所做的功 等于杆件内部弹性能的增加。
弹性能的增加与杆件的变形程度 有关，变形程度发生塑性变形时，弹性能 的增加量将小于外力所做的功。
基于遗传算法的优化设计方法
适应度函数
根据杆件的刚度和变形要求， 制定适应度函数，用于评估设 计方案的好坏。
交叉和变异
通过交叉和变异操作，生成新 的基因序列，形成更优秀的基 因库。
编码方式
将杆件的结构参数和尺寸信息 进行编码，形成基因序列。
选择操作
根据适应度函数的结果，选择 出优秀的基因序列进行遗传操 作。
杆件的扭转刚度
扭转刚度的定义
扭转刚度是指杆件在受到扭矩作用时，抵抗扭转变形的能力 。
扭转刚度的计算
扭转刚度可以通过杆件的扭转模量来计算。扭转模量是指单 位长度上的抗扭刚度，与截面的极惯性矩和剪切模量有关。
04
杆件变形的实例分析
简支梁的变形分析
简支梁的变形
简支梁在受到均布载荷或集中载荷的作用下会发生弯曲变形，其变形特点是跨中向下挠曲，端部向上 翘曲。
第十三章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
1 ql 3 θB1 = − , 24 EI 1 ql 3 θB2 = − , 16 EI 3 1 ql θB3 = , 3 EI
特别关注正负号
解：3. 应用叠加法， 解：3. 应用叠加法，将简单 载荷作用时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相加， 将上述结果按代数值相加， 分别得到梁C 分别得到梁C截面的挠度和 支座B处的转角: 支座B处的转角:
2
7 ql 3 θC = ∑θCi = 48 EI i=1
2
§12-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 12对于主要承受弯曲的零件和构件， 对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就 是根据对零件和构件的不同工艺要求， 是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度 和转角(或者指定截面处的挠度和转角) 和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定 范围内，即满足弯曲刚度设计准则： 范围内，即满足弯曲刚度设计准则：
θ顺时针为正(沿x轴正向)。或者可以表达为该 顺时针为正( 轴正向)
处挠曲线的斜率。 处挠曲线的斜率。 斜率
挠曲线性质：
（1）挠曲轴上任一点的纵坐标等于梁上该截 挠曲轴上任一点的纵坐标等于梁上该截 上任一点的纵坐标等于 面的挠度值； 面的挠度值； （2）挠曲轴上任一点的切线斜率等于梁上该 挠曲轴上任一点的切线斜率等于梁上该 上任一点的切线斜率 截面的转角值 转角值。 截面的转角值。 (3)挠度和转角之间的关系 挠度和转角之间的关系
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算 13章
θ 转角
挠度
w
挠曲线
x
w
x
F
挠曲线方程： 挠曲线方程：
ω＝ω（x） ＝ （ ）
1. 横截面形心处沿w方向的铅垂位移，称为挠度，用 横截面形心处沿w方向的铅垂位移，称为挠度 挠度， w表示；向下为正 表示；向下为正; 2. 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 角度， 表示； 角度，称为转角用θ表示；
第五章 杆件的变形与刚度计算
( )称为泊松比或横向变 形系数
3
二、拉压杆的变形
材料在线弹性范围内： E 等截面杆：
FN A
l l
FN l l EA
EA：称为截面抗拉压刚度
多段等截面杆： l 变截面杆：
l
FN i li Ei Ai
l
FN x dx E Ax
例题3-5 试按叠加原理求图示悬臂梁C处的挠度和转角。 解： 逐段刚化法 1.刚化AB段，考虑BC段的变形
Fl 顺时针 C1 2 E2 I 2 3 Fl2 wC1 3E 2 I 2
2 1 2 2
F
E1 I1 ,l1
B
A
E 2 I 2 ,l 2
C F
B
E2 I 2
C
wC1
2.刚化BC段，考虑AB段的变形
1
第五章 杆件的变形与刚度计算
§5-1 轴向拉压杆的变形
§5-2 圆轴扭转变形及刚度计算 §5-3 梁的弯曲变形及刚度计算
2
§5-1 轴向拉压杆的变形
一、线应变
b1
F
l 纵向线应变： l
l l1
b
F
横向线应变：
b b
l l1 l b b1 b
材料在线弹性范围内：
w″>0
M>0
w″<0
14
三、积分法求梁的挠度和转角
w
w
M ( x) dx C EI
F
M ( x) dxdx Cx D EI
A
B
通过边界条件确定积分常数 支承条件： wA 0, A 0 (悬臂梁)
wC 0, wD 0 (简支梁)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、几何方程（变形协调 方程） 3、物理方程
F N1L L1 EA
F N1a 2F N 2 a 3Pa 0
L2 2L1
F N 2L L2 EA
P
FAy
L1
L2
F N 2 2F N1
3 P 5
F N1
F N2
6 P 5
拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力
拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力
解超静定问题的步骤：1、静力平衡；2、物理方程；3、变形协调。 例：已知E、A、L，求、杆的内力。
、静力学平衡方程 解： 1
F
1 2
x
0
A
FAx 0
P
A
a
FAx
FN1
L
m
F 0
y
FAy FN1 FN 2 P 0
0
B
a
C
a
FN 2
2、几何方程（变形协调 方程）
m
A
0 F N1 2F N2 0
FAx
FN 2
T 1
P :dxdy dW dxdyd dz ddxdydz L : dz 0 0
1
dW Pd(L) W Pd( L ) 若： p 2 0 P L 1 PL U W 则：W PL L 2EA 2 EA
1
1
dP
P
上式无论构件中应力是否均匀，只要一个方向受力即可。 dy
：称为泊松比（Simêon Denis Poisson）。
轴向拉伸或压缩时的变形
例1：等截面石柱，E、容重。 解：F N ( x) Ax
d(L ) xdx F N ( x )dx E EA
F N ( x)
L
L
d( L )
0 0
L
例2：结构如图所示，求B点的位移。已知：A1=6cm2， E1=200Gpa，A2=300cm2，E2=10Gpa，P=88.5kN。
轴向拉伸或压缩时的变形
P
L L1 L
FN A
L L1
L L
P
b b1 b
b1
b
b b
Hooke（Robert Hooke）定律：When <p，=E
FN L E：称为杨氏（Thomas Young）模量，或弹性模量。 L EA 关于横向变形： When p or
P B
1 2
4 P 解： F N1 5
3 FN 2 P 5
A
C
2 2 2 P a 16 9 FN L F L 1 1 1 N2 2 ( 3 4) P V 2EA 25 25 2 2EA 2EA
1
L1
ห้องสมุดไป่ตู้
B
V
84Pa V 25EA
H
12Pa 4 5 H ? ( V L1 ) 25EA 3 4
F N1
3 1 P 2
F N2
3 P 3
F N3
3 3 P 6
拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力
•温度应力：
由于结构超静定，当温度发生变化时，而不能自由膨胀所产生的应力。
1
2
L
A
a
B
a
FN1
C
线膨胀系数： 单位： 1/ oc 单位长度杆每当温度升 高1O C时的伸长量 即：L TL 解： 1 、静力学平衡方程
1400
L2 xdx 2E L E
F N ( x)
dx
A
2200
1
2
P
C
FN1L1 56.32 10 3 1.4 0.657(mm ) B L1 9 4 E1A1 200 10 6 10 FN 2 L2 104.9 103 2.22 1.42 B L1 L2 1010 3 10 4 E2A2 L2 0.912(mm ) H L1 0.657(mm ) V L2 sin ( L1 L2 cos )ctg 1.499(mm ) 2 2 H V 1.637(mm )
dU 1 u d dV 0
P
d( L )
L1
0
1
dz
dx
if p
1 u 2
d
L
L
L
dU ( d )dV
1
u
2 p 2E
回弹模量：在线弹性范围内材 料吸收能量的能力。
d 1
轴向拉伸或压缩时的应变能
例：求B点的铅垂位移和水平位移。E、A已知。AB=3a，BC=4a， AC=5a。
L3
L2
A
P
A
L1
F F 2 3F 3F N1L1 N 2 L2 N1a N 2a L 2 EA EA EA EA F L 6F a L3 N 3 3 N 3 F N1 F N3 F N2 EA EA
3、物理方程
L1 cos 30 o L3 sin 30 o L2 3L1 L3 2L2
例：三杆的E、A相同，AC=3a，求各杆的内力。 1 、静力学平衡方程 解： B C D
F
x
0
2 1
30o 60o
3
F 0
y
A
F N1
A
F N2
30o 60o
P
F N3
2、几何方程（变形协调 方程）
L1
o o F N1 sin 30 F N 3 sin 60 0 F 3F N1 N3 o o F N1 cos 30 F N2 F N 3 cos 60 P 0 3F N1 2F N2 F N3 2P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第五章
杆件变形与刚度计算
第五章 杆件变形与刚度计算
•轴向拉伸或压缩时的变形 •轴向拉伸或压缩时的变形能 •拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力 •圆轴扭转时的变形计算 •非圆截面杆扭转的概念 •挠曲线微分方程 •求弯曲变形的积分法 •求弯曲变形的叠加法 •简单超静定梁 •提高弯曲刚度的措施
解：F N1 56.32kN
F N 2 104.9kN
B
轴向拉伸或压缩时的应变能
在变形的过程中，不考虑其他能量的损耗，外力作功全部转化为固 体的应变能。即： W U P : P P dP L L : L L d(L)
P
L
P1
P
单位体积的应变变能（比能、能密度）