云南省高三上学期期中数学试卷

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云南省红河哈尼族彝族自治州高三上学期期中数学试卷(理科)

云南省红河哈尼族彝族自治州高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·深圳月考) 直线与直线互相垂直，则的值为（）A . 2B . -3或1C . 2或0D . 1或02. （2分）曲线与直线有公共点的充要条件是（）A .B .C .D .3. （2分）(2015·河北模拟) 设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A . ﹣12B . ﹣1C . 0D .4. （2分）某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是（）A . 90B . 75C . 60D . 455. （2分） (2018高三上·丰台期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .6. （2分）下列命题中，p是q的充要条件的是（）①或；有两个不同的零点；②是偶函数；③；④。

A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④7. （2分）(2012·新课标卷理) 已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B 中所含元素的个数为（）A . 3B . 6C . 8D . 108. （2分）设z=1+i（i是虚数单位），则=A . 1+iB . -1+iC . 1-iD . -1-i9. （2分）下列命题正确的个数是（）①②③④（）=（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2016高一上·昆明期中) 设，则（）A . b＜a＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . a＜b＜c11. （2分）函数y=的定义域为（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，2）C . （1，2）D . [1，2）12. （2分） (2017高三上·惠州开学考) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A . 8+8 +4B . 8+8 +2C . 2+2 +D . + +二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·沛县月考) 已知，且，则实数等于________．14. （1分）给出下列五种说法：（1）函数y=ax（a＞0，a≠1）与函数y=x2的定义域相同；（2）函数y=与函数y=lnx的值域相同；（3）函数y=log3（x2﹣2x﹣3）的单调增区间是[1，+∞）；（4）函数y=与y=都是奇函数；（5）记函数f（x）=x﹣[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3），则f（x）的值域是[0，1）．其中所有正确的序号是________15. （1分）(2017·宁波模拟) 将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中（每个盒子容纳的小球的个数没有限制），则1号盒子中小球的个数ξ的期望为________．16. （1分）(2017·息县模拟) 如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是高为2，底边长为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是________．三、解答题 (共4题；共35分)17. （15分） (2017高一上·孝感期末) 某同学用“五点法”画函数在区间[﹣， ]上的图象时，列表并填入了部分数据，如表：2x﹣﹣π﹣π﹣πx﹣﹣﹣f（x）（1）请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出f（x）在区间[﹣， ]上的图象；（2）求f（x）的最小值及取最小值时x的集合；（3）求f（x）在时的值域．18. （10分） (2018高三上·凌源期末) 共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为，求的分布列与数学期望.19. （5分）(2018·南宁模拟) 对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型① ，②拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高60708090100110体重68101415180.410.01 1.210.410.070.12 1.69附：对于一组数据，，… ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为， .（Ⅰ）求表中内实数的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于的样本点被认为是异常数据，应剔除，求剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立的线性回归方程，并检验一数据点身高，体重是否为异常数据.（结果保留到小数点后两位）20. （5分）(2017·成都模拟) 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]频数6a24b（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；（Ⅲ）某评估机构以指标M（M= ，其中D（ξ）表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案．在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？四、选修4-4：坐标系与参数方程 (共2题；共20分)21. （10分）(2017·宝清模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．22. （10分） (2017高一下·淮北期末) 已知cosα= ，cos（α﹣β）= ，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共35分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、四、选修4-4：坐标系与参数方程 (共2题；共20分) 21-1、21-2、22-1、22-2、。

云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．复数1iiz +=，则i z +=（）A ．1-B ．12i+C ．12i-+D ．12．集合{}231030A x x x =-+<，则x A ∈是sin 0x >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．，既不充分也不必要条件3．已知直线a ，b ，c ，平面α，β，下列选项能推出a b ∥的是（）A ．a c ⊥，b c⊥B ．a ，b 与α所成角相同C ．a αP ，a β∥，bαβ= D ．a αP ，b α⊂4．如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准a （单位：t ），根据直方图估计，下列最接近a 的数为（）A ．8.5B ．9C ．9.5D ．105．已知函数()23f x x =，记125a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c<<D ．c a b<<6．已知直线1l ：10x my -+=与2l ：20mx y m +-+=交于点P ，点)A ，则PA 的最大值为（）A ．B ．2C ．3D ．47．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，其中PAB 为正三角形，ABC V 为等腰直角三角形，π2ACB ∠=，2AB =，PC =O 的表面积为（）A ．20π3B ．8πC ．28π3D ．32π38．双曲线G22−22=1>0,>0的左焦点坐标为1−s 0，直线):l y x c =+与双曲线C 交于,A B 两点（其中A 在第一象限），已知21OF OA c ⋅=- ，11F B F A λ= （O 为坐标原点），则λ=（）A ．13B ．14C ．15D ．27二、多选题9．函数()()πcos 014f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．=的最小正周期为3πB ．=的图象可由2cos 3y x =的图象向左平移π4个单位得到C ．若点()00,x y 在=的图象上，则点003π,4x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也在=的图象上D ．若点()00,x y 在=的图象上，则点003π,4x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也在=的图象上10．已知定点()1,0A -，()10B ,，动点P 到B 的距离和它到直线l ：4x =的距离的比是常数12，则下列说法正确的是（）A ．点P 的轨迹方程为：2214x y +=B ．P ，A ，B 不共线时，PABC ．存在点P ，使得90APB ∠=︒D ．O 为坐标原点，2PO PB +的最小值为411．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 的中点，Q 为AB 的中点，动点P 满足AP AB AD λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当0λ=，10,2μ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，平面1D PQ 截正方体所得截面为四边形B ．当2λμ+=时，1AP ⊥平面11D B AC ．当1λμ+=时，1PA PC +的最小值为2D ．当216OP =时，动点P 的轨迹长度为4三、填空题12．圆锥的底面积为π，其母线与底面所成角为θ，且cos 10θ=，则该圆锥的体积为.13．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知ABC V 的面积为4，2b c -=，2π3A =，则sin sin C B=.14．已知函数()2ln 2f x x x ax =+-+有两个极值点，则a 的取值范围为；若()f x 的极小值小于零，则a 的取值范围为.四、解答题15．甲袋中装有2个红球、2个白球，乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出2个球.(1)记摸出红球的个数为X ，求X 的分布列和期望()E X ；(2)已知摸出的2个球是1红1白，求这2个球来自乙袋的概率.16．已知在长方形ABCD 中，2AD =，4AB =，点M 是边CD 的中点，如图甲所示.将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到四棱锥P ABCM -，其中PB =，如图乙所示.(1)求证：平面PAM ⊥平面ABCM ；(2)求平面PAM 和平面PBC 夹角的余弦值.17．已知函数()()211exx a x f x +-+=.(1)若直线3ey =是曲线()y f x =的一条切线，求a 的值；(2)若()f x 在[]0,2上的最大值为1，求a 的取值范围.18．设F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，过,2p M p ⎛⎫ ⎪⎝⎭作抛物线准线的垂线，垂足为N ，FMN 的面积为2.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线1l ：10x y --=与E 交于点A ，B （A 在x 轴上方），直线2l ：()01x y b b --=>与E 交于点C ，D （D 在x 轴上方），直线AC 与BD 的交点为H .①证明：H 在一条定直线上；②若H 坐标()4,2，求FCD 的面积.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()2*r n n S pa q n =+∈N ，其中,p q ∈R ，*r ∈N ，则称{}n a 为“p q r --数列”.(1)若{}n a 是“222--数列”，求满足条件的一个{}n a ；(2)若{}n a 是“01p --数列”，且0n a >，证明：212n n a p ≥+；(3)是否存在等差数列{}n a 是“p q r --数列”？若存在，求出所有满足条件的{}n a ，并指出()()2211p q -+-取最小值时{}n a 的通项；若不存在，请说明理由。

云南省2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)

2024-2025学年上学期高三年级期中考数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，若，则可能是（）A.B.1C.2D.32.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）A. B.C.D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.下列命题中，真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.函数的图象大致为（）A. B.{ln 1}A xx =<∣a A ∉a 1e,,i a b ∈R i a -2i b +2(i)a b +=54i +54i -34i +34i-11sin cos ,cos sin 23αβαβ+=-=()sin αβ-=5972-59726772-6772a b <11a b>a b >22a ab b >>0a bc <<<log log c c a b <22a b +=244a b+≥()2e e 1x xf x x --=-C. D.6.设是数列的前项和，且，则（）A. B. C. D.7.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（）8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A. B.C.D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知为非零实数，则下列说法一定正确的有（）A.若成等差数列，则成等差数列B.若成等比数列，则成等比数列C.若成等差数列，则成等比数列D.若成等比数列，则成等比数列10.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，是中点，则下面正确的是（）n S {}n a n ()111,21n n n a S S S +==+511a S =12-23-2-34-2222:1x y C a b+=12,F F 1F C ,A B 1132AF F B =290AF B ∠= ()()32340f x ax x a a =-+≠()f x 0x 00x <a ()(),01,∞∞-⋃+()(),00,1∞-⋃()(),10,∞∞--⋃+()1,∞+,,a b c ,,a b c 222,,a b c ,,a b c 111,,a b c,,a b c 2,2,2a b c 222,,a b c ,,a b c ABC V ,,A B C ,,a b c ,,A B C b D =ACA.周长的最大值为B.C.中线长度的最大值为D.若A 为锐角，则11.若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴､轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，则（）A.B.C.若，则D.若构成锐角三角形，则三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.向量满足与的夹角为，则__________.13.已知正四棱台上底面边长为2cm ，侧棱和下底面边长都是4cm ，则它的体积为__________.14.已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）已知数列的前项和为，且，__________.在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求证：.ABC V ABC V BD 32(]1,2c ∈,Ox Oy 120 1e2ex y 12OP xe ye =+(),x y OP xOy (),OP x y = ()()()1,1,1,1,1,OA OB OC t ==-=OA =OA OB⊥ BC ∥OA3t =ABC ()2,5t ∈,a b2,1,a b a == b π32a b -= 3cm ()()sin cos 0f x a x b x ωωω=+>π3()y f x =()f x 3π4π,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω{}n a n n S 11n n n S S a +=++31116a a +=2511,,a a a 1177S ={}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 12n T <16.（15分）如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.17.（15分）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率.18.（17分）已知函数.（1）若函数在处的切线平行于轴，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若有两个不同的零点，求的取值范围.19.（17分）我们之前学习了用斜率刻画直线的倾斜程度，那如何刻画曲线的弯曲程度呢？考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点A 处的曲率.（其中分别表示在点A 处的一阶､二阶导数）P ABCD -AD ∥,224,BC PA BC AD AB AD ====⊥PAB ,PA AB E F ⊥､PB PC ､DF ∥ACE ACE PCD xOy ()()12122,0,2,0,2F F MF MF --=M E E 2F l E C D ､223CF F D =CD ()()()221ln f x x a x a x a =-++∈R ()y f x =1x =x a ()f x ()()()21ln g x f x x a x =---12,x x a ():C y f x =AB Δs A AB B A A l B B l ΔθB l A l K sθ∆=∆AB B A Δs K C A()3022lim 1s y K sy θ∆→''∆==∆'+C ,y y '''()y f x =（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？（2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；（3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若是数列的前项和，证明.()220x py p =>()3,y ()11212x g x =-+()e e 2cos 2x x g g x ω-⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭x ∈R ωA ()228f x x =-()(),n n B x f x B x ()()*1,0n x n +∈N14,2,n n n xb x T ==-{}n b n 3n T <2024-2025学年上学期高三年级期中考数学试卷参考答案一､选择题题号12345678910答案D CADCBCABCACD题号11答案BCD二､填空题12.214.三､解答题15.（1）（2）证明见解析【详解】（1）由，得，得，所以数列为等差数列，公差.若选①，因为，所以，得，所以，所以，若选②，因为成等比数列，所以，所以，所以，所以，所以.若选③，因为，所以，所以，（2），所以，又因为，所以.1515300,,747⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦1n a n =+11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-={}n a 1d =31116a a +=7216a =78a =71168,2a a d a =+==()11211n a a n d n n =+-=+-=+2511,,a a a 25211a a a =()()()2111410a d a d a d +=++()()()21114110a a a +=++12a =()11211n a a n d n n =+-=+-=+111111011772S a ⨯=+=12a =()11211n a a n d n n =+-=+-=+()()111111212n n a a n n n n +==-++++1111111123341222n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭102n -<+111222n T n =-<+16.（1）证明见解析（2【详解】（1）如图所示，连接.因为分别是棱的中点，所以.因为，所以，所以四边形是平行四边形，则.因为平面平面，所以平面.（2）因为平面平面，所以，又因为，所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题中数据可得，，设平面的法向量为，则令，得.设平面的一个法向量为，则，令，得.设平面与平面的夹角为，则即平面与平面.EF,E F,PB PC EF∥,2BC BC EF=AD∥,2BC BC AD=EF∥,AD EF AD=ADFE AE∥DFAE⊂,ACE DF⊄ACE DF∥ACEAD⊥,PAB PA AB⊂､PAB,AD PA AD AB⊥⊥PA AB⊥,,AB AP ADA,,AB AP AD,,x y z()()()()()()()0,0,0,2,0,4,1,2,0,0,4,0,0,0,2,2,0,4,1,2,0A C E P D AC AE==()()2,4,4,0,4,2PC PD=-=-ACE(),,n x y z=240,20,n AC x zn AE x y⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩2x=()2,1,1n=--PCD(),,m a b c=2440420m PC a b cm PD b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1b=-()2,1,2m=--ACE PCDθcos cos,n mn mn mθ⋅====ACE PAD17.（1）（2【详解】（1）（1）根据题意由可知，动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线，即，所以，所以可得的方程为.（2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立，故直线的斜率存在，且不为0，设，联立，则，且即，，22142x y +=121224MF MF F F -=<=M ()()122,0,2,0F F -22a =2,1c a ==22221,3a b c a ==-=E 2213y x -=()22,0F l l 223CF F D =l ()()()1122:20,,,,l x my m C x y D x y =+≠()2222231129013x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩2Δ36360m =+>2310m -≠213m ≠121222129,3131m y y y y m m +=-⋅=--又，所以，所以，所以由得，解得，故，故直线或18.（1）（2）答案见解析（3）【详解】（1），故，则.（2），当时，令，解得或，令，解得，故此时在单调递增，在的单调递减，当时，在上恒成立，故此时在单调递增，当时，令，解得或，令，解得，故此时在单调递增，在的单调递减，当时，，故在的单调递减，在单调递增，当时，令，解得，令，解得，故此时在的单调递减，在单调递增，（3），223CF F D = 123y y =-22222122319331m y m y m ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩①②2①②22164313m m =--2115m =2115m =CD 1a =11e 22ea --<<()221af x x a x=--+'()12210f a a =--+='1a =()()()()()222121221x a x a x x a a f x x a x x x-'++--=-++==12a >()0f x '>x a >102x <<()0f x '<12x a <<()f x ()10,,,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭12a =()0f x '≥()0,∞+()f x ()0,∞+102a <<()0f x '>12x >0x a <<()0f x '<12a x <<()f x ()10,,,2a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭0a =()2f x x x =-()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭0a <()0f x '>12x >()0f x '<102x <<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()()()()2221ln 21ln 1ln 21ln g x f x x a x x a x a x x a x a x x =---=-++---=-++令，则，记，则，当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，且，当时恒成立，要使有两个零点，则由两个交点，故，解得19.（1（2）（3）证明见解析【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，即扡物线方程为，即，则，又抛物线在点处的曲率，则处的曲率为；（2）在上为奇函数，又在上为减函数.对于恒成立等价于对于恒成立.()()21ln 0g x a x x =-++=ln 21x a x +=()ln x h x x =()21ln x h x x -='e x >()21ln 0x h x x -=<'0e x <<()21ln 0xh x x-=>'()h x ()0,e ()e,∞+()1e eh =1x >()0h x >()g x ln 21xa x+=1021e a <+<11e 22ea --<<[]1,1- ()220x py p =>3,3p ∴=26x y =()216f x y x ==()()11,33f x x f x ''='=()3,y 322131139K ===⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭()3,y ()()()112111,212212221x x x xg x g x g x --=-=-==-∴+++ R ()g x R ()e e 2cos 2x x g g x ω-⎛⎫+∴≤- ⎪⎝⎭x ∈R e e cos 22x xx ω-+≥-x ∈R又因为两个函数都是偶函数，记，则曲线恒在曲线上方，，又因为，所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即，又因为，所以，解得：，因此，的取值范围为；（3）由题可得，所以曲线在点处的切线方程是，即，令，得，即，显然，由，知，同理，故，从而，设，即，所以数列是等比数列，故，即，从而，所以，当时，显然；当时，，，综上，.()()e e cos ,22x xp x x q x ω-+==-()p x ()q x ()()e e sin ,2x xp x x q x ωω-'-=-=-'()()001p q ==0x =()p x ()q x ()()()()3321222001010p q pq≤''''⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦'()()()()22e e cos ,,0,012x xp x x q x p q ωωω-+'=-''''''-'==-=-21ω≤11ω-≤≤ω[]1,1-()4f x x '=()y f x =()(),n n x f x ()()()n n n y f x f x x x '-=-()()2284n n n y x x x x --=-0y =()()2142nn n n x x x x +--=-2142n n n x x x ++=120,2n n n n x x x x +≠∴=+122n n nx x x +=+()21222222n n n nnx x x x x +++=++=()21222n n nx x x +--=2112222n n n n x x x x ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭1122lg2lg 22n n n n x x x x ++++=--2lg 2n n n x a x +=-12n n a a +={}n a 111111222lg2lg32n n n n x a a x ---+===-12lg 2lg32n n n x x -+=-21232n n n x x -+=-()11111112212222222314311111,20,33131313133n n n n n n n n nnn n b x b x b -------++-=∴=-=>==<≤=---+1n =1123T b ==<1n >21121111333n n n n b b b b ---⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112111113111333133313n n nn n b T b b b b b b -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴=+++<+++==-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ()*3n T n <∈N。

云南省昭通市2020版高三上学期期中数学试卷(理科)C卷

云南省昭通市2020版高三上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（）A .B .C .D .2. （2分）设则""是“|a|<1”成立的（）A . 充分必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既非充分也非必要条件3. （2分） (2017高三下·河北开学考) 已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P 作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB=（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高三上·江西期末) 某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图2所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分数段的人数为a，则图1所示程序框图的运算结果为（注：n！=1×2×3×…×n，如5！=1×2×3×4×5）（）A . 800!B . 810!C . 811!D . 812!5. （2分）已知集合A={2，4，6，8}，集合B={1，4，5，6}，则A∩B等于（）A . {2，4，6，8}B . {1，2，5}C . {1，2，4，6，8}D . {4，6}6. （2分）设Q为有理数集，函数f(x)=g（x）=，则函数h（x）=f （x）•g（x）（）A . 是奇函数但不是偶函数B . 是偶函数但不是奇函数C . 既是奇函数也是偶函数D . 既不是偶函数也不是奇函数7. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 点集，，在点集中任取一个元素，则的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 复数的虚部（）A . iB . ﹣iC . 1D . ﹣19. （2分）若，则（）A . 一定可以构成三角形B . 都是非零向量时可以构成一个三角形C . 一定不可以构成一个三角形D . 都是非零向量时也可能无法构成三角形10. （2分） (2019高一下·佛山月考) 设，，则下列结论不正确的是（）A .B .C .D .11. （2分）函数y=的定义域为（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，2）C . （1，2）D . [1，2）12. （2分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·镇原期中) 已知且，则________.14. （1分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1 ，x2∈（，π），且x1≠x2 ，都有＜0．其中所有正确结论的序号是________15. （1分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）= ，k=1，2，3，c为常数，则P（0.5＜ξ＜2.5）=________．16. （1分） (2017高二上·钦州港月考) 一个四棱锥的三视图如右图所示，主视图为等腰直角三角形，俯视图中的四边形为正方形，则该四棱锥外接球的体积为________．三、解答题 (共4题；共40分)17. （10分）(2017·林芝模拟) 已知函数f（x）=cosx•sin（x+ ）﹣ cos2x+ ，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，若f（A）= ，a= ，求△ABC面积的最大值．18. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为．（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．19. （10分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y与房屋的面积x的数据：房屋面积（m2）11511080135105销售价格（万元）24.821.618.429.222（1）求线性回归方程．（参考公式： = ， = ﹣）（参考数据 = xi=109，（xi﹣）2=1570，（xi﹣）（yi﹣）=311.2）（2）据（1）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．20. （10分）(2020·甘肃模拟) 2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，所有大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求的分布列及数学期望.四、选修4-4：坐标系与参数方程 (共2题；共15分)21. （5分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+ ，θ=φ﹣与曲线C交于（不包括极点O）三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|= |OA|；（Ⅱ）当φ= 时，求三角形△OBC的面积．22. （10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为、 .求：（1） tan（＋）的值；（2）的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、四、选修4-4：坐标系与参数方程 (共2题；共15分)21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2024-2025学年云南省昆明市五华区高三上学期期中数学教学质量检测试卷(含解析)

㚏，为了解花卉的长势，随机测量了 100 枝花的高度（单位： cm ），得到花枝高度的频率分
布直方图，如图所示，则（
）
A. 样本花卉高度的极差不超过 20cm
B. 样本花卉高度的中位数不小于众数
C. 样本花的高度的平均数不小于中位数
D. 样本花升高度小于 60cm 的占比不超过 70%
5. 设等比数列
2
2
y2 1
2
【正确答案】A
【分析】利用复数的几何意义可得出 z x yi ，再利用复数的减法以及复数的模长公式化
简可得结果.
【详解】由复数的几何意义可得 z x yi ，
所以，
z 1 x 1 yi
x 1
2
y2 1
x 1
，化简可得
值；
②若 l 与 C 相切，且与直线 x 2 相交于点 Q ，以 PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请
求出定点坐标；若否，请说明理由．
19. 行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成
a b
c
为一种非常有用的数学工具．已知
a1 a2
b1 b2
c1 c2
a3
b3
AD1 与 BD 所成角为 3
B.
AD1 // 平面 BDC1
C.
π
AD1 与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面 ACC1 所成角为 3
D.
【正确答案】D
【分析】设正方体
ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1 ，以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、
DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正

云南省高三上学期数学期中考试试卷

云南省高三上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高一下·南昌期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .【考点】2. （2分）若命题“，使得x02+mx0+2m-3<0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A . [2,6]B . [-6,-2]C . (2,6)D . (-6,-2)【考点】3. （2分） (2020高三上·甘谷月考) 设向量，，则下列结论中正确的是（）A .B .C . 与的夹角为D . 在方向上的投影为【考点】4. （2分） (2019高一上·厦门月考) 已知满足任意都有成立，那么a的取值范围是（）A .B .C .D .【考点】5. （2分） (2020高一下·泸县月考) 要得到函数f（x）=cos（2x- ）的图象，只需将函数g（x）=cos2x 的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移单位长度D . 向右平移个单位长度【考点】6. （2分）在下列函数中，最小值是2的是（）A . y= +B . y= （x＞0）C . y=sinx+ ，x∈（0，）D . y=7x+7﹣x【考点】7. （2分） (2019高一下·嘉兴期中) 在中，，则一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形【考点】8. （2分） (2019高一上·兴庆期中) 的值是（）A . 0B . 1C . 2D . 3【考点】9. （2分） (2018高二下·科尔沁期末) 已知函数y＝xf ′(x)的图象如图(1)所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是（）A .B .C .D .【考点】10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 函数的定义域为，其图像上任意两点满足，若不等式恒成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共2题；共2分)11. （1分）(2020·新沂模拟) 函数的定义域为________．【考点】12. （1分） (2017高一下·河口期末) 已知非零向量满足，则 ________．【考点】三、双空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2019高一下·浦东期中) 若则 ________.【考点】14. （1分） (2016高三上·扬州期中) 已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为________．【考点】15. （1分） (2019高一上·西湖月考) 已知函数， ________，若，则 ________.【考点】四、解答题 (共6题；共55分)16. （10分） (2020高三上·红桥期中) 在中，分别为内角的对边，已知，， .（I）求的值；（II）求的值.【考点】17. （15分）(2016·德州模拟) 设函数．（1）用含a的式子表示b；（2）令F（x）= ，其图象上任意一点P（x0 ， y0）处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a=2，试求f（x）在区间上的最大值．【考点】18. （5分） (2019高一下·东莞期末) 已知函数的最小正周期为，（1）求函数的单调递减区间；（2）若函数在区间上有两个零点，求实数m的取值范围.【考点】19. （15分） (2020高二下·成都期末) 已知函数，其导函数为，不等式的解集为 .（1）求a，b的值；（2）求函数在上的最大值和最小值.【考点】20. （5分）设函数，其中（1）求出f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求f（x）在上最大值与最小值．【考点】21. （5分） (2019高一上·北京期中) 设函数与函数的定义域交集为，集合是由所有具有性质：“对任意的，都有”的函数组成的集合.（1）判断函数和是不是集合中的元素？并说明理由；（2）设函数，且，试求函数的解析式；（3）已知，试求实数应满足的关系.【考点】参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：考点：解析：答案：7-1、考点：解析：考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共2题；共2分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、双空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共55分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。

2024-2025学年云南省昆明市云南大学附中高三(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年云南大学附中高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+2i)=3−4i，则|z|=( )A. 3B. 3C. 5D. 52.已知p：|2x−3|<1，q：(x−1)(x−3)<0，则p是q的( )条件．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b+2a)⊥b，则|b|=( )A. 12B. 22C. 62D. 14.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是( )甲乙87909691869086928795A. 甲选手射击环数的极差小于乙选手射击环数的极差B. 甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C. 甲选手射击环数的方差小于乙选手射击环数的方差D. 甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数5.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=e x−e−x3−4|x|B. f(x)=ex−e−x4|x|−3C. f(x)=ex+e−x4|x|−8D. f(x)=x|x|−16.PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是( )A. 12B.22C.33 D.637.在椭圆E ：x 225+y 29=1上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，垂足为D ，点M 满足DM =53DP ，当点P 在E 上运动时，则点M 的轨迹方程为( )A. x 2+y 2=25B. x 2+y 2=9C. x 225+8y 29=1 D.y 225+x 29=18.已知x 1，x 2是函数f(x)=(x−2)(e x−2−1)−e(e x−2+1)的两个零点，则e x 1+x 2=( )A. 1B. eC. e 2D. e 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

云南省2020版数学高三上学期理数期中考试试卷(I)卷

云南省2020版数学高三上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·齐齐哈尔月考) 设命题，则为（）A . ∀x∈(0，＋∞)，≥log2xB . ∀x∈(0，＋∞)，＜log2xC . ∃x0∈(0，＋∞)，＝log2x0D . ∃x0∈(0，＋∞)，＜log2x02. （2分） (2019高二上·田阳月考) 命题：若，则；命题：．则（）A . “ 或”为假B . “ 且”为真C . 真假D . 假真3. （2分） (2016高一上·红桥期中) 下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A . y=﹣2x2﹣3B . y=2x2﹣3xC . y=3xD .4. （2分）(2018·湖北模拟) 函数的图像大致为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·广安期末) 设a= dx，b= xdx，c= x3dx，则a，b，c的大小关系为（）A . b＞c＞aB . b＞a＞cC . a＞c＞bD . a＞b＞c6. （2分） (2017高三上·同心期中) 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an ，则a14+a15+a16+a17的值为（）A . 55B . 52C . 39D . 267. （2分）函数y=f（x）在区间[﹣2，2]上的图象是连续的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上至少有一个实根，则f（﹣2）•f（2）的值（）A . 大于0B . 小于0C . 等于0D . 无法确定8. （2分） (2020高二上·娄底开学考) 在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二上·潮州期末) 已知命题p：﹣1≤x≤5，命题q：（x﹣5）（x+1）＜0，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）已知函数，（其中），其部分图象如图所示，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二上·余杭期末) 不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2]B . （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C . [2，+∞）D . a∈R12. （2分）函数的大致图象如图所示，则等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·上海期中) 定义集合运算：A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．14. （1分）若向量=（2，﹣x）与=（x，﹣8）共线且方向相反，则x=________15. （1分） (2016高一上·和平期中) 若函数有两个零点，则实数a的取值范围是________16. （1分） (2019高三上·黑龙江月考) 如图，设的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ，c ，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD 面积最大值时， ________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p∧q”为真，求实数a的取值范围．18. （5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S3=9，a1 ， a3 ， a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若an≠a1时，数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn ．19. （15分） (2017高一上·武汉期末) 已知函数f（x）=4sin2（ + ）•sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．（1）化简f（x）；（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g（x）= 在的最大值为2，求实数a的值．20. （10分）(2017·渝中模拟) 已知函数f（x）=aex+（2﹣e）x（a为实数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线（3﹣e）x﹣y+10=0平行．（1）求实数a的值，并判断函数f（x）在区间[0，+∞）内的零点个数；（2）证明：当x＞0时，f（x）﹣1＞xln（x+1）．21. （5分） (2017高三下·西安开学考) 已知椭圆C：的焦距为，离心率为，其右焦点为F，过点B（0，b）作直线交椭圆于另一点A．（Ⅰ）若，求△ABF外接圆的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆N：相交于两点G、H，设P为N上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．22. （15分）(2020·南京模拟) 若函数为奇函数，且时有极小值 .（1）求实数的值；（2）求实数的取值范围；（3）若恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、22-1、22-2、22-3、。

2024届云南省高三数学上学期11月期中联考试卷附答案解析

2024届云南省高三数学上学期11月期中联考试卷2023.11（时间：120分钟，满分：150分）一、单选题：本小题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z =（）A ．2B 5C ．22D 102．已知集合{}2R 230A x x x =∈--<∣，集合{}2R log (2)2B x x =∈+<∣，则A B = （）A ．()1,2-B ．()2,3-C ．()2,1-D ．()3,2-3．若π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．22B ．223-C ．13D ．13-4．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（）A ．若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则//l nB ．若αβ⊥，l ⊂α，则l β⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，l //β，则αβ⊥5．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm 和10cm ，侧棱长为56cm ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装()31000cm1L =（）A ．1.5LB ．1.7LC ．2.3LD ．2.7L6．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（）A ．75斤B ．70斤C ．65斤D ．60斤7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥面11ACC A ，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）A ．225B ．53C 5D ．358．设M 为函数()23f x x =+（02x <<）图象上一点，点()0,1N ，O 为坐标原点，33OM =N O N M⋅ 的值为（）A ．-4B ．17C ．4D ．1二、多选题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．关于函数()sin 2cos 2f x x x=-，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的最小正周期为πB ．函数()y f x =的最大值为2C ．直线π4x =是()y f x =的图像的一条对称轴D ．点π,08⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的图像的一个对称中心10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,P E F 分别为棱1AA ，1CC ，BC 的中点，1O 为侧面11AA B B的中心，则（）A ．直线//AB 平面PEFB ．直线1AC ∥平面1O EFC ．三棱锥1O PEF -的体积为13D ．三棱锥P BCE -的外接球表面积9π11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，10a >，670a a +>，670a a ⋅<，下列结论正确的是（）A ．0d <B ．当n S >时，n 的最大值为13C ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且和数列{}n a 的首项、公差均相同D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，12T最大12．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，动点P 、Q 分别满足1AP mAC nAD =+，其中()0,1m ∈，R n ∈且0n ≠，14QB QC +=；R 在11B C 上，点T 在平面11ABB A 内，则（）A ．对于任意的(0,1)m ∈，R n ∈且0n ≠，都有平面ACP ⊥平面11AB DB ．当1m n +=时，三棱锥1B A PD-的体积不为定值C ．若直线RT 到平面1ACD 的距离为231DD 与直线RT 所成角正弦值最小为3．D ．1AQ QD⋅的取值范围为[]28,4-三、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1tan 123β⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()tan 2αβ-=．14．已知单位向量a ，b 满足2a b a b+=- ，则a 与b a - 的夹角的余弦值为.15．已知圆锥的底面直径为23.16．正四面体ABCD 的棱长为4，中心为点O ，则以O 为球心，1为半径的球面上任意一点P 与该正四面体各顶点间的距离的平方和：2222PA PB PC PD +++=.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．数列{}n a 满足12211,2,22n n n aa a a a ++===-+.(1)求34,a a 的值；(2)设1n n nb a a +=-，证明{}n b是等差数列.18．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c BC b -=，(1)求角B 的大小；(2)若3a =，2c =sin C 的值.19．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AD =，M 是1DD 的中点.(1)求证：1//BD 平面MAC ；(2)若正四棱柱的外接球的表面积是24π，求三棱锥1D MAC-的体积.20．已知矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，且22AD DE CE ===ADE V 沿AE 向上翻折，使点D 到点P 的位置，构成如图所示的四棱锥P ABCE -．(1)若点F 在线段AP 上，且//EF 平面PBC ，求AF FP的值；(2)若142PB =，求锐二面角P EC A --的余弦值．21．如图，多面体ABCDE 中，⊥AE 平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，5BD CD ==，AE=2．(1)证明：平面EBD ⊥平面BCD ；(2)求多面体ABCDE 的体积．22．已知函数()()()221ln 02f x a x x a x x -=-+≤≤.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，令()()()()ln g x f x f x x x '=---，[]1,2x ∈，求证：()12g x ≥.1．B【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z.【详解】因为()1i 3iz +=-，则()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-，因此，()22125z =+-=故选：B.2．A【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】由2230x x --<可得：13x -<<，所以{}13A x x =-<<，由2log (2)2x +<可得：024x <+<，所以22x -<<，故{}R 22B x x =∈-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：A.3．C【分析】以π4α+为整体，结合诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：ππππ1sin sincos 42443ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.4．D【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可.【详解】对于A ，若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则l 与n 可能平行，也可能异面，故A 错误；对于B ，若αβ⊥，l ⊂α，则l 与β可能平行，也可能相交，故B 错误；对于C ，若l n ⊥，m n ⊥，则l 与m 可能平行，也可能相交或异面，故C 错误；对于D ，若l //β，则由线面平行的性质定理可知，必有1l β⊂，使得1//l l ，又l α⊥，则1l α⊥，因为1l β⊂，所以αβ⊥，故D 正确.故选：D.5．C【分析】根据棱台的体积公式求解即可.【详解】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面ABCD 是边长为20的正方形，底面1111D C B A 是边长为10的正方形，侧棱156C C =ABCD 和底面1111D C B A 的中心分别为O 和1O ，则1O O 是正四棱台的高.过1C 作平面ABCD 的垂线，垂足为E ，则E AC ∈且11C E O O ，11C E O O =，所以1111112105222OE O C A C ====，11220222OC AC ===，故1025252CE OC OE =-=-=所以棱台的高()()221565210h C E ==-，由棱台的体积公式得3311()(400100200)10 2.310cm 2.3L33V S S SS ''=++=++⨯≈⨯=．故选：C .6．C【解析】设第一个孩子分配到1a 斤棉花，利用等差数列前n 项和公式得：81878179962S a ⨯=+⨯=，解方程从而得到1a .【详解】解：设第一个孩子分配到1a 斤棉花，则由题意得：81878179962S a ⨯=+⨯=，解得1a ＝65，故选：C.【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的公式的合理运用.7．C【分析】以C 为原点，1、、CA CC CB所在的直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设122CA CC CB ===，求出1AB，1BC，利用向量的夹角公式可得答案.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，、⊂AC AB 平面ABC ，所以1CC AC⊥，1CC AB⊥，BC ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥，所以1、、CA CC CB互相垂直，以C 为原点，分别以1、、CA CC CB所在的直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设122CA CC CB ===，则()()()()()110,2,10,2,00,0,02,0,00,0,1，，，，C A B B C ，可得()12,2,1-=AB ，()10,2,1=-BC ，所以11111141555co 9s ,⋅=⋅-=⨯BC AB BC AB BC AB .所以直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为5故选：C.8．A【分析】由数量积的定义表示求出1M NO NM y ⋅=--，再利用条件33OM =，结合点M 在函数()23f x x =+（02x <<）图象上，可求出点M ，从而解决问题.【详解】设点(,)M M M x y ，则()0,1NO =- ，(),1M M NM x y =- ，()cos cos πNO NM NO NM ONM NM ONM ⋅=⋅⋅∠=-⋅-∠11M M y NM y NM-=-⋅=-- ，又()(222233M MOM x y ==+，则(22333MMyy =-+可得2300M M y y +-=，又02x << ，则37y <<，解得5M y =，所以4NO NM ⋅=- .故选：A9．AD【分析】根据题意，化简函数为()π2)4f x x =-，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()πsin 2cos 224f x x x x =--，对于A 中，可得函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，所以A 正确；对于B 中，当πsin(214x -=时，函数取得最大值()max 2f x =B 不正确；对于C 中，当π4x =时，可得πππ()21444f =⨯-=，即π()4f 不是函数()f x 的最值，所以π4x =不是函数的()f x 的对称轴，所以C 不正确；对于D 中，当π8x =时，可得πππ()20884f =⨯-=，所以点π,08⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的图像的一个对称中心，所以D 正确.故选：AD.10．BCD【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外接球的表面积，即可得出结论.【详解】由题意，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，P ，E ，F 分别为棱1AA ，1CC ，BC 的中点，1O 为侧面11AA B B 的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，则()()()()()()()1112,0,2,2,2,2,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,0A B C D A B C ,()()()()()110,0,0,2,1,1,2,0,1,0,2,1,1,2,2D O P E F ,A项，()()()0,2,0,2,2,0,1,0,1AB EP EF ==-=，设面PEF 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n EP n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11112200x y x z -=⎧⎨+=⎩解得：1111x y x z =⎧⎨=-⎩，当11x =时，()11,1,1n =-，∵102020AB n ⋅=++=≠，∴直线AB 与面PEF 不平行，A 错误；B项，()()()112,2,2,2,1,0,1,0,1AC EO EF =-=-= 设面PEF 的法向量为()2222,,n x y z =，则21200n EO n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1111200x y x z -=⎧⎨+=⎩解得：11112x y x z =⎧⎨=-⎩，当11x =时，()21,2,1n =-，∵()122122210AC n ⋅=-⨯+⨯+⨯-=，∴直线1A C与平面1O EF平行，B 正确；C项，1111112113323O PEF F PO E PO E V V S h --⨯==⋅=⨯⨯=，C 正确；D项，如图，三棱锥P BCE -恰好在长方体ABCD PGEH -上，且CP为体对角线，∴CP 为三棱锥P BCE -外接球的直径，由几何知识得()()()2222002123CP =-+-+-=，∴三棱锥P BCE -的外接球表面积为2234π4π9π22AC S ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确；故选：BCD.11．AD【分析】分析数列{}n a 的单调性，结合已知条件可判断A 选项；利用等差数列的求和公式可判断B 选项；利用等差数列的定义可判断C 选项；令nn S b n =，分析可知120b >，130b <，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0d >，则{}n a 为递增数列，所以，7610a a a >>>，与670a a ⋅<矛盾，若0d =，则{}n a 为常数列，所以，7610a a a ==>，与670a a ⋅<矛盾，若0d <，则{}n a 为递减数列，则167a a a >>，由676700a a a a +>⎧⎨⋅<⎩可得670a a >>，合乎题意，A 对；对于B 选项，由A 选项可知，60a >，70a <，()()112126712602a a S a a +==+>，()113137131302S a a a+=⨯=<，所以，当n S >时，n 的最大值为12，B 错；对于C 选项，()112n n n d S na -=+，则112n S n a d n -=+，所以，11111222n n S S nd n da a d n n +-⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且其首项为1a，公差为2d，C 错；对于D 选项，由60a >得150a d +>，由70a <得160a d +<，由670a a +>得12110a d +>，即11102a d +>，令n n S b n =，()112n d b a n =+-，则等差数列{}n b 为递减数列，且11150b a d =+>，1211102db a =+>，13160b a d =+<，所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，12T最大，D 对.故选：AD.12．ACD【分析】建空间直角坐标系，用向量知识求解四个选项.【详解】对于A ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,4,0D ，()4,4,0C ，()10,4,4D ，()10,0,4A ，()14,0,4B ，()4,0,0B 设平面11A B D的法向量为()111,,m x y z =，()114,0,0A B = ，()10,4,4A D =-则11111140440m A B x m A D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，则10x =，11z =，则()0,1,1m =，()4,4,0AC = ，()10,4,4AD =，()()()14,4,00,4,44,44,4AP mAC nAD m n m m n n =+=+=+，设平面ACP 的法向量为()222,,x n y z =，则()2222244044440n AC x y n AP mx m n y nz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+++=⎪⎩ ，令21x =，则21y =-，21z =，则()1,1,1n =-，又()11110m n ⋅=-⨯+⨯=，所以m n ⊥，所以对于任意的(0,1)m ∈，R n ∈且0n ≠，都有平面ACP ⊥平面11A B D，故A 正确；对于B ，当1m n +=时，()4,4,4P m n 设平面1A BD 的法向量为()333,,u x y z =()14,0,4BA =-，()4,4,0BD =-，则133334+404+40u BA x z u BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令31x =，则31y =，31z =，所以()1,1,1u =，又()4,4,4BP n n =-，点P 到平面1A BD 的距离为4333BP u d u⋅==又11B A PD P A BDV V --=，又因为1A BD的面积为定值，所以三棱锥1B A PD-的体积为定值，故B 错误；对于C ，设()4,,4R b ，(),0,T a c ,则()4,,4RT a b c =---因为直线RT 到平面1ACD 的距离为3RT //平面1ACD ，()4,4,0AC =，()10,4,4AD =设面1ACD 为()444,,k x y z =，则44144440440k AC x y k AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令41y =-，则441,1x z ==，所以()1,1,1k =-所以440RT k a b c ⋅=-++-=，即8a b c ++=，又()4,,4AR b =，则8233AR k bk⋅-==，解得2b =或14b =，若2b =，所以6a c +=，()4,2,4R ，又()10,0,4DD =，设直线1DD 与直线RT 所成角为θ，所以()()2122221416816124cos 212242212244444RT DD c c c c c c c c RT DD a c θ⋅--+-===--+-+-++- 当cos θ最大时，sin θ最小，令()22421224c g c c c -=-+，()()()224421224c c g c c c -'=-+，()g c 在[]0,4单调递增，所以()()max 142g c g ==，()()min 106g c g ==-，cos θ116263+=，所以sin θ最小为33，所以直线1DD 与直线RT 所成角正弦值最小为33；若14b =，所以6a c +=-，()4,14,4R ，根据对称性可得sin θ最小为33，故C 正确；对于D ，设(),,Q x y z 因为14QB QC += ，所以()4,,QB x y z =---，()4,4,4QC x y z =---，()182,42,42QB QC x y z +=---，所以()()()22218242424QB QC x y z +-+-+-= ，整理得222844200x y z x y z ++---+=，即()()()2224224x y z -+-+-=所以点p 的运动轨迹为一个以()4,2,2为球心，半径为2的球面上一点，所以26x ≤≤，()()1,,4,,4,AQ x y z QD x y z =-=--- 所以222144208AQ QD x y z y z x⋅=---++=- ，当6x =时，1AQ QD⋅最小为28-，当2x =时，1AQ QD⋅最大为4所以1AQ QD⋅的取值范围为[]28,4-，故D 正确.故选：ACD.13．211-【分析】由二倍角正切公式可求得πtan 62β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由()ππtan 2tan 266αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】π1tan 123β⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，2π22tan π3123tan 21π6411tan 912βββ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭∴+=== ⎪⎛⎫⎝⎭--+ ⎪⎝⎭，()ππtan tan 2ππ66tan 2tan 2ππ661tan tan 266αβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭∴-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132241311124-==-+⨯.故答案为：211-.14．55-【分析】根据2a b a b +=- ，1a b == 得到35a b ⋅=-，然后利用数量积和数量积的运算律求角即可.【详解】因为2a b a b+=- ，所以22224842a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，因为1a b ==，所以35a b ⋅=-，因为()2221625b a b b a a -⋅+-==，所以()231255cos ,51615a b a a b a a b a a b a a b a--⋅-⋅--====-⋅-⋅-⨯.故答案为：25.15．43π##43π【分析】根据轴截面图形，求出圆锥内切球半径R 即可得解．【详解】依题意，圆锥内半径最大的球为圆锥内切球，如图作出轴截面，圆O 和AC 相切于点D ，因为ABC 是正三角形，所以OA OB =，132AD AC =，33BD ==，设内切球半径为R ，在Rt AOD 中可得，222AO AD OD =+，所以()(22233R R -+＝，解得1R =，球的体积为344ππ33V R ==.故答案为：4π3.16．28【分析】将正四面体放入正方体中，利用向量的线性运算可得22()PA PO OA =+ ，同理可得到2,PB 2,PC 2PD，取,AB CD 的中点,M N ，可得到0OA OB OC OD +++= ，即可求出答案【详解】因为正四面体ABCD 的棱长为44222=的正方体中，如图所示，由题意可得2222()PA PO OA PO OA =+=++ 2PO OA ⋅ ,同理可得2222()PB PO OB PO OB =+=++ 2PO OB ⋅ ,2222()PC PO OC PO OC =+=++ 2PO OC ⋅,2222()PD PO OD PO OD =+=++ 2PO OD ⋅ ,取,AB CD 的中点,M N ，则0OA OB OC OD OM MA OM MB ON NC ON ND +++=+++++++= ，所以2222PA PB PC PD =+++ 2222242PO OA OB OC OD PO +++++⋅ ()OA OB OC OD +++ 22222234441842PO OA ⨯=+=⨯+⨯⎭=⎝ ，所以222228PA PB PC PD +++=，故答案为：2817．(1)345,10a a ==(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.【详解】（1）数列{}n a 满足12211,2,22n n n aa a a a ++===-+所以3212222125a a a =-+=⨯-+=，43222252210a a a =-+=⨯-+=（2）∵()()21112122n n n n n n n n n a a a b a a a b a ++++++---=+-=-=∴{}n b为等差数列.18．(1)π4B =(2)5sin C 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可得出角B 的值；（2）利用余弦定理求出b 的值，再利用正弦定理可求得sin C 的值.【详解】（1）解：因为sin cos a c B C b -=，由正弦定理可得sin sin sin cos sin A C BC B -=，所以，()sin sin sin sin cos sin sin cos C B A B C B C B C=-=+-sin cos cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+-=，因为B 、()0,πC ∈，所以，cos sin 0B B =>，则tan 1B =，故π4B =.（2）解：因为3a =，2c =π4B =，由余弦定理可得22222cos 9223252b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，则5b =由正弦定理可得sin sin b c B C =，所以，22sin 52sin 55c B C b ===.19．(1)证明见解析(2)43【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接MO ，则1//MO BD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）求出正四棱柱的外接球半径，进而可求出12,4AB AA ==，根据11D MAC C D MAV V --=，即可求解.【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，连接MO ；M O ､分别是1DD DB ､的中点，1//MO BD ∴MO ⊂ 平面1,MAC BD ⊄平面MAC ，1BD ∴//平面MAC.（2）设(0)=>AB x x ，正四棱柱的外接球的半径为()0r r >，因为正四棱柱的外接球的表面积24π24πS r ==，解得6r =由题意1BD 为正四棱柱的外接球的直径，由22211BD DD BD +=，得22224(26)x x x ++=，解得2x =或2x =-（舍），即12,4AB AA ==.11D MAC C D MAV V --= 112222D MA S =⨯⨯=1111433D MAC C D MA D MA V V AB S --==⨯⨯=20．(1)2(2)3【分析】1）点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，可证//CE AB ，进而可证四边形FGCE 为平行四边形，可证//EF 平面PBC ．（2）取AE 中点O ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法可求锐二面角P EC A --的余弦值．【详解】（1）点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，满足//EF 平面PBC ，证明如下：如图，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，则13FG AB =，又2DE CE =，13CE AB =，所以13FG CE AB ==．因为//CE AB ，所以//CE FG ，所以四边形FGCE 为平行四边形，有//EF CG ，又EF ⊄平面PBC ，CG ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ．此时有2AF FP=.（2）22AD DE CE ===ADE V 为等腰直角三角形，322AB =，2AE =，135CEA ∠= ，45BAE ∠= ．取AE 的中点O ，以O 为坐标原点，OE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()0,,P m n ，()1,0,0E ，31,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭C ，13,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()0,,OP m n =，13,,22PB m n ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，因为1OP =，142PB =，所以2222221131422m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩，解得0,1m n ==，则(0,0,1)P ，(1,0,1)PE =- ，11,,022EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面PEC 的法向量为(),,m a b c =，则011022m PE a c m EC a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，不妨取1a =，则1,1b c ==，()1,1,1m =，设平面ECA 的一个法向量为()0,0,1n = ，则13cos ,||||3m n m n m n ⋅==⋅，则锐二面角P EC A --的的余弦值为33．21．(1)证明见解析433【分析】（1）若F 为BC 中点，连接,AF DF ，易证,AF BC DF BC ⊥⊥，由面面垂直的性质得DF ⊥面ABC ，易知//AE DF ，进而证AEDF 为平行四边形，即//AF ED ，最后根据线面垂直的性质及判定和面面垂直的判定证结论；（2）由E ABC E BCDV V V --=+求组合体的体积即可.【详解】（1）若F 为BC 中点，连接,AF DF，由ABC 是边长为2的等边三角形，5BD CD ==，则,AF BC DF BC ⊥⊥，又面BCD ⊥面ABC ，DF ⊂面BCD ，面BCD 面ABC BC =，故DF ⊥面ABC ，因为⊥AE 平面ABC ，故//AE DF ，又222DF CD CF AE =-==，所以AEDF 为平行四边形，即//AF ED ，由AF ⊂面ABC ，则DF AF ⊥，DF BC F = ，,DF BC ⊂面BCD ，所以AF ⊥面BCD ，即ED ⊥面BCD ，又ED ⊂面EBD ，所以平面EBD ⊥平面BCD ；（2）由多面体ABCDE 的体积211114322sin 6032232323E ABC E BCD V V V --=+=⨯⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯⨯=.22．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出()()()2312x a f x x x --='，然后分0a =，02a <<，2a =三种情况，根据导函数即可得出函数的单调性；（2）代入1a =，化简得出()233121g x x x x =+--，求导根据导函数得出()g x 在[]1,2上的单调性，进而得出最小值，即可证明.【详解】（1）由已知可得，()221ln x ax a x x f x =-+-，定义域为()0,∞+，所以()()()22331222x ax a a x x f x x x '--=--+=.（ⅰ）当0a =时，()()321x f x x --='.当01x <<时，有()()3210x f x x --=>'，()f x 在()0,1上单调递增；当1x >时，有()()3210x f x x --=<'，()f x 在()1,+∞上单调递减.（ⅱ）当02a <<时，解()()()23120x ax f x x --=='，可得1x =，或2x a =21a >.解()0f x ¢>可得，01x <<或2x a ，所以()f x 在()0,1上单调递增，在2,a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；解()0f x '<可得，21x a <<()f x 在2a ⎛ ⎝上单调递减.（ⅲ）当2a =时，()()()232110x x f x x '-+=≥在()0,∞+上恒成立，21所以，()f x 在()0,∞+上单调递增.综上所述，当0a =时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；当02a <<时，()f x 在()0,1上单调递增，在2a ⎛ ⎝上单调递减，在2a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；当2a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增.（2）由（1）知，当1a =时，()221ln x x x x f x =-+-，()231221x f x x x '=--++，所以，()()()()ln g x f x f x x x '=---()22321122ln 1ln x x x x x x x x x =⎛⎫-+---++-- ⎪⎝⎭233121x x x =+--.所以，()234326g x x x x '=--+()241326x x x =-+-.解()0g x '=，可得1193x -=（舍去负值），且4195<<，所以11941233-+<<<.当12x ≤≤时，解()0g x '>可得，1191x -+≤<，所以()g x 在1193⎡⎫-+⎢⎣⎭上单调递增；当12x ≤≤时，解()0g x '<可得，11923x -<≤，所以()g x 在119,23⎛⎤- ⎥ ⎝⎦上单调递减.又()131211g =+--=，()()31212112482g g =+--=<，所以，当12x ≤≤时，()g x 在2x =处取得最小值()122g =，所以有()12g x ≥.。

2023届云南民族大学附属中学高三年级上册学期期中诊断数学试题【含答案】

2023届云南民族大学附属中学高三上学期期中诊断数学试题一、单选题1．设集合，，则（）{}02A x x =≤≤()(){}130B x x x =--≥A B ⋃=A ．实数集B ．R {}01x x ≤≤C ．D ．{}23x x x ≤≥或{}13x x x ≤≥或【答案】C【分析】解出集合B 的具体范围，利用交集运算即可得出答案.【详解】，()(){}{}13013B x x x x x x =--≥=≤≥或则，{}23A B x x x ⋃=≤≥或故选：C.2．复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）20212i 1i z =+i z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】利用复数除法法则及乘方运算得到，从而得到在复平面内对应的点坐标，所在象1i z =+z 限.【详解】因为，450521120ii i ⨯+==故，()()()20212i 1i 2i 2i1i1i 1i 1i 1i z -====++++-故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.z ()1,1故选：A.3．“”是“”的（）1x >11x <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】解：因为，所以，11x <10xx -<，，(1)0x x ∴-<(1)0x x ∴->或，0x ∴<1x >当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；1x >0x <1x >1x >11x <当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件．0x <1x >1x >1x >11x <所以“”是“”的充分不必要条件．1x >11x <故选：A4．若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为1C 2C 22143x y -=1C ()2,31C （）A ．B ．2213y x -=22168y x -=C ．或D ．或22168x y -=22168y x -=2213y x -=2213x y -=【答案】B【分析】根据共渐近线的双曲线方程为.代入点的坐标即可求解.()221043x y λλλ-=≠【详解】因为和有相同的渐近线，所以设双曲线的方程为，将代入得1C 2C 1C ()221043x y λλλ-=≠()2,3，所以双曲线的方程为，241493λλλ-=⇒=-1C 22168y x -=故选：B5．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期（增加一倍所需的时间）为21个月，则100只野兔增长到100万只野兔需要（）个月.（记，）lg 2a =21log 2b =A ．B ．C ．D ．84a 84a84b84b【答案】B【分析】设个月后野兔总只数为，列出方程，求出，得到，即为答案.21x y 4lg 2x =8421x a =【详解】设个月后野兔总只数为，21x y ∴，则，1002xy =⋅6100210x ⋅=则，所以.244log 10lg 2x ==848421lg 2x a ==故选：B.6．在中，已知，，则（）ABC 5sin 13A =3cos 5C =()cos πB -=A ．B ．C ．D ．5665-56651665-1665【答案】D【分析】利用公式求，再利用两角差的余弦公式，即可求解.()()cos πcos B A C -=+【详解】在中，，则，ABC 3cos 5C =4sin 5C =又，所以.51sin 132A =<()()0,30150,180A ∈︒︒⋃︒︒又，所以，则，3cos 5C =<4590C ︒<<︒()0,30A ∈︒︒12cos 13A =所以，()()1235416cos πcos cos cos sin sin 13513565B A C A C A C -=+=-=⨯-⨯=故选：D.7．把5件不同产品随机摆成一排，则产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻的概率为（）A ．B ．C ．D ．35310320110【答案】B【分析】利用古典概型公式，结合排列问题，即可求解.【详解】因为5件不同的产品随机摆成一排总共有种排法，当、相邻时，有55A 120=A B 种摆法，当、相邻又满足、相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有2424A A 48=A B A C 332A 12=种，所以所求概率为.481236-=36312010=故选：B.8．已知数列的前项和，若不等式，对任意恒成立，{}n a n 122n n n S a +=-()22354n n n a λ--<-*n ∈N 则整数的最大值为（）λA ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】首先利用公式，，求得数列的通项公式，代入不等式后，参变分1n n n a S S -=-()2n ≥{}n a 离得，转化为求数列的最大值.()2542nn λ-<-252n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】易知，，可得，两边同时除以14a =()1112222,2n n n n n n n S S a a a n +---==--+≥122nnn a a --=可得，又因为时，，2n ()111222n n n n a a n ---=≥1n =1122a =所以数列是公差为1，首项为2的等差数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭则，所以，由得()21112nn a n n =+-⨯=+()12n n a n =+()22354n n n a λ--<-，所以，即()()()()251412nn n n λ-+<-+()2542n n λ-<-max2542n n λ-⎛⎫-> ⎪⎝⎭令，因为，252n n n b -=111922n n n b b n --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当时，，即，数列单调递增，4n ≤10n n b b ->-1n n b b ->当时，，即，数列单调递减，5n ≥10n n b b --<1n n b b -<且，，，4316b =5532b =45b b >由数列的单调性可知的最大值为，所以，即，又因为，所以的n b 4316b =3416λ->6116λ<*N λ∈λ最大值为3.故选：B.二、多选题9．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，()()πsin 0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭列表并填入的部分数据如下表：则下列说法正确的是（）A ．对都有成立B ．R x ∀∈()()2f x f x +=()322f =-C ．的图象关于点中心对称D ．函数在区间上单调递增()f x 8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ππ,212⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】A 选项，根据表格中数据，列出方程组，求出，，，得到函数π2=ωπ3ϕ=A =0B =解析式；求出函数的最小正周期，A 错误；B 选项，代入求值即可；C 选项，整体法求解对称中心为，C 正确；D 选项，整体法求解函数的一个单调递增区间为，由于22,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到D 正确.ππ51,,21233⎛⎫⎛⎫-⊆- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】由题意得：，解得:，，，1π3273π32A B A B ωϕωϕ⎧+=⎪-+=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎩π2=ωπ3ϕ=A =0B=所以，()ππ23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，易知的最小正周期为，所以2不是函数的一个周期，故A 错误；()f x 2π41π2=()f x 对于B ，，故B 正确；()π32π32f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭对于C ，令，，解得：，，πππ23x k +=Z k ∈223x k =-Z k ∈所以函数的对称中心为，，()f x 22,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈当时，对称中心为，故C 正确；1k =-8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对于D ，，，ππππ2π,2π2322x k k ⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭Z k ∈∴，514,433x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭Z k ∈所以是函数的一个递增区间，51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 又且，π3π26-=-51036-=-∵，3π1066->-∴，π523->-同理：，14312=∵，π41212<∴，π1123<因此函数在上单调递增，故D 正确.()f x ππ,212⎛⎫-⎪⎝⎭故选：BCD.10．已知三棱锥的各棱长均为2，则下列说法正确的是（）A BCD -A B ．该三棱锥的内切球的体积为4π3C ．该三棱锥的外接球的表面积为6πD ．直线AC 与平面ABD 【答案】ACD【分析】A.将正三棱锥放在正方体中，即可求三棱锥的体积；B.利用等体积公式，先求内切球的半径，再求内切球的体积；C.将三棱锥外接球转化为正方体的外接球，即可求外接球的半径，再求表面积；D.利用线面角的定义作图，易求线面角的余弦值.【详解】由题意可得三棱锥为正四面体，A BCD -对于A ，如图，棱长为2的正四面体的正方体中，其体积为所在正方体A BCD -体积减去四个角处的三棱锥的体积，即正方体体积的三分之一，即A 正确；31133V V ==⨯=正对于B ，设内切球的半径为，则由等体积法,解得，可得r 1142232V r =⨯⨯⨯⨯=r =棱长为2B 错误；34π3r =对于C ，棱长为2的正方体的外接球，则外接球的直径，所以外接球的表面积为，故C 正确；2R ==24π6πS R ==对于D ，由点C 向平面ABD 做垂线，记垂足为O ，则为直线AC 与平面ABD 所成角，且易CAO ∠得D 正确.AO AB ==cos AO CAO AC ∠===故选：ACD.11．已知为直角三角形，且，.点P 是以C 为圆心，3为半径的圆上的ABC 90C ∠=︒2AC BC ==动点，则的可能取值为（）PA PB ⋅A ．-3B ．C ．20D ．159-【答案】BD【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，设，得到C ,CA CB (),P m n ，式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，作出辅助()()22112PA PB m n ⋅=-+-- (),P m n ()1,1D 线，得到到点距离最值，求出的取值范围，选出正确答案.(),P m n ()1,1D PA PB ⋅ 【详解】以为坐标原点，所在方向为轴正方向，所在方向为轴正方向建立平面直角坐C CAx CB y 标系，所以，，圆C 的方程为，()2,0A ()0,2B 229x y +=设，(),P m n 则，()()()()22222,,222112PA PB m n m n m m n n m n ⋅=--⋅--=-+-=-+-- 式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，(),P m n ()1,1D连接直线，交圆C 于两点，CD 12,P P当位于点时，到点距离最大，最大距离为，(),P m n 1P (),P m n ()1,1D 33CD +=+此时最大，最大为，PA PB ⋅ (2329PA PB ⋅=+-=+当位于点时，到点距离最小，最小距离为，(),P m n 2P (),P m n ()1,1D 33CD -=此时最小，最小为PA PB ⋅ (2329PA PB ⋅=-=-所以的取值范围是，PA PB ⋅ 9⎡-+⎣其中，.99⎡⎣--+159⎡⎣∈-+故选：BD.【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.12．已知曲线：，抛物线：，P 为曲线上一动点，Q 为抛物线上一动点，1C ln y x =2C 24x y =1C 2C 已知与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的是（）A ．直线：是曲线和的公切线l 1y x =-1C 2C B ．曲线和的公切线有且仅有一条1C 2CC ．QPQ y +1D ．当轴时，PQ 最小值为PQ y ∥1ln 22-【答案】ACD【分析】A 选项，分别对两函数求导，得到在处的切线方程为，在ln y x =()1,01y x =-24x y =处的切线方程为，A 正确；()2,11y x =-B 选项，设公切线为，根据公切线性质得到方程组，消去后得到，设y kx b =+b 2ln 10k k --=，通过求导得到其单调性，结合零点存在性定理得到：存在，使()2ln 10y k k k =-->113x ⎛∈ ⎝得，又当时，，故得到公切线有两条，B 错误；0y =1k =0y =C 选项，由抛物线定义得到，设出，表达出11Q PQ y PQ QF PF +=+-≥-(),ln P m m ，令，，求导，得到其单调性，()2221ln P m m F =+-()()22ln 1h m m m =+-0m >得到在处取得最小值2，得到，从而得到的最小值；()()22ln 1h m m m =+-1m =min PF =QPQ y +D 选项，设出点的坐标，得到，求导得到其最值()211211ln 04x PQ y y x x =-=->【详解】对于A ，定义域为，，ln y x =()0,∞+1y x '=令得，其中，所以在处的切线方程为，11x =1x =ln10y ==ln y x =()1,01y x =-又变形为，则，24x y =214y x =2x y '=令得，其中当时，，12x =2x =2x =2114144y x =⨯==所以在处的切线方程为，所以A 正确；24x y =()2,11y x =-对于B ，设曲线和的公切线为，与相切于，与相切于，1C 2C y kx b =+1C ()11,x y 2C ()22,x y 则，所以，2112x k x ==()0k >121,2x x k k ==又，，111ln y x kx b ==+22224x y kx b==+故，，消去得：，ln 1k b -=+2k b -=b 2ln 10k k --=令，因为，()2ln 10y k k k =-->()120y k k k '=->当，当时，，当，k =0y '=0k <<0'<y k >0'>y 所以在上单调递减，在上单调递增，()2ln 10y k k k =-->k ⎛∈⎝k ⎫∈+∞⎪⎪⎭所以的最小值为，y 21111ln 0222-=--<又因为时，，由零点存在性定理可知：存在，使得，13k =8ln 309y =->113x ⎛∈ ⎝0y =又当时，，1k =0y =所以在有两个零点，所以有两个值，y ()0,k ∈+∞k 所以曲线和的公切线有2条，B 错误；1C 2C 对于C ，设为抛物线的焦点，由抛物线的定义，()0,1F 1Q PQ y PQ QF +=+-因为，11PQ QF PF +-≥-设，则，，(),ln P m m ()2221ln P m m F =+-0m >令，，()()22ln 1h m m m =+-0m >则，()22ln 222ln 22m m m m m m m h m '+-=+-=令，则在恒成立，()222ln 2u m m m =+-()240m u m m =+>'0m >故在上单调递增，()222ln 2u m m m =+-0m >由于，故当时，，即，()0122u =-=()0,1m ∈()0u m <()0h m ¢<当时，，即，()1,m ∈+∞()0u m >()0h m ¢>故在上单调递减，在上单调递增，()()22ln 1h m m m =+-()0,1m ∈()1,m ∈+∞故在处取得极小值，也是最小值，()()22ln 1h m m m =+-1m =则，所以()()n 22mi 1012h m =+-=min PF =所以，所以C 正确；QPQ y +1对于D ，易知点Q 在点P 的上方，设，，则，()11,Q x y ()22,P x y 12x x =所以，令，因为，()211211ln 04x PQ y y xx =-=->211ln 4x y x =-1112x y x '=-当时1x =0y '=当，当时，.1x >0'>y 10x <<0'<y 所以在上为减函数，在上为增函数，211ln 4x y x =-()+∞故在处取得极小值，也是最小值，211ln 4x y x =-1x =所以.min 1ln 222y =-所以，所以D 正确.min 1ln 222PQ =-故选：ACD.【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程()()00,A x f x k ()0k f x '=k ()()11,,A x f x ；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用()1f x k '=()()11,M x f x ()()00,,A x f x 求解.()()()10010f x f x k f x x x -'==-三、填空题13．过点与：相切的直线方程是____________.()1,2C ()()22211x y -+-=【答案】或1x =2y =【分析】分别设斜率存在的直线，以及斜率不存在的直线，利用圆心到直线的距离等于半径，求解切线方程.【详解】当过点斜率不存在时，直线方程是，此时与圆相切，()1,21x =C 当过点斜率存在时，设直线，()1,2():21l y k x -=-圆心到直线的距离，解得：，()2,1l 1d 0k =直线方程是，2y =综上可知，满足条件的直线是或.1x =2y =故答案为：或1x =2y =14．若，则____________.()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++024a a a ++=【答案】122-【分析】根据赋值法即可求解奇数项的系数和.【详解】令得，，1x =0123451a a a a a a +++++=-令得，，两式相加得.=1x -012345243a a a a a a -+-+-=-024122a a a ++=-故答案为：122-15．已知定义域为的函数满足：对于，都有，且为偶函数，R ()f x R x ∀∈()()4f x f x -=-()1f x +，则____________.()11f =()()20222023ff +=【答案】-1【分析】根据给定的公式结合偶函数的对称性，求出函数的周期即可求解.()f x 【详解】解：，，即，R x ∀∈()()4f x f x -=-()()4f x f x =--当时，，解得：，2x =()()()2422f f f =--=-()20f =由为偶函数，可得，()1f x +()()11f x f x +=-则函数的图象有对称轴，()f x 1x =则有，又，()()2f x f x =-()()4f x f x =--则，()()24f x f x -=--则()()()2242f x f x f x =--=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()244f x f x f x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦则4是函数的一个周期.()f x 所以，()()()20225054220f f f =⨯+==则，()()()()202350543311f f f f =⨯+==-=-所以.()()202220213f f +=-故答案为：-1.16．已知函数，，则函数的最大值为____________.()sin 22sin sin3f x x x π=-+[],x ππ∈-()f x【答案】【分析】求的导数，讨论单调性即可求出最值.()f x ()f x '【详解】解析：，()()()()22cos 22cos 22cos cos 12cos 12cos 1f x x x x x x x '=-=--=-+当时，或，()0f x '=cos 1x =1cos 2x =-当，，1cos 1,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭()0f x ¢>此时或，2,3x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭2,3x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦当，，1cos ,12x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '<此时，22,00,33x ππ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数在和单调递增，()f x 2,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在和单调递减，2,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭20,3π⎛⎫⎪⎝⎭又，23f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0f =()f π=所以.()max 23f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故答案为：四、解答题17．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，且ABC A B C a b c 2b =1c =ABC (1)求a 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且，求线段AD 的长.2BD DC = 【答案】(1)a=(2)AD =【分析】（1）根据三角形的面积公式分类讨论即可求得的值.a （2）分类讨论利用余弦定理即可求得.AD 【详解】（1）由题意可得：，∴或120°.1sin 2ABC S bc A == sin A =60A =︒①当时，由余弦定理得：解得：60A =︒222222cos 21221cos 603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯︒=a =②当时，由余弦定理得：解得：120A =︒222222cos 21221cos1207a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯︒=a =综上：a =（2）由（1）知，①当，易得，解得：a=23BD a ==90ABC ∠=︒AD =②当a =23BD a ==由余弦定理得：中，222cos2a c bABC ac +-∠===ABD △有余弦定理可得：22222132cos 1219AD AB BD AB BD ABC =+-⋅∠=+-⨯=解得：AD =综上：AD =18．2022年10月1日，某地发现两名核酸阳性人员，10月2日零时划分A 片区为中风险，其他地区常态化防护，10月3日某校高三学生返校备战高考，5日高一高二除该地学籍学生外，其他学生均返校；当地教育局高度重视学校疫情防控，为此展开了全校核酸检测，核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用“K 合1检测法”.“K 合1检测法”是将K 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测；若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性.通过病毒指标检测，每位密切接触者为阴性的概率为，且每位密切()01p p <<接触者病毒指标是否为阴性相互独立.(1)现对10个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率的表达式；()f p (2)现把20个样本随机分成A ，B 两组，采用“10合1检测法”进行核酸检测.用含p 的式子表示以下问题的结果：①求A 组混合样本呈阳性的概率；②设总检测次数为X ，求X 的分布列和数学期望.()E X 【答案】(1)()910109f p p p =-(2)①；②分布列见解析，101p -()102220E X p=-【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解，（2）根据对立事件的概率即可求解呈阳性的概率，根据独立事件的概率公式求解概率，即可得分布列.【详解】（1）最多有一个阳性的事件包含没有阳性和有一个阳性，所以()()101991010C 1109f p p p p p p =+-=-（2）①A 组混合样本呈阳性的概率为101p -②总检测次数可能取值为2，12，22X 因为()202P X p ==()()110101020212C 122P X p p p p ==-=-()()()10101020221112P X p p p p ==--=-+所以的分布列如下表：X X21222P 20p102022p p -02012p p -+所以.()()()2010201020101222222222120E X p p p p p p ++--==-+19．给定数列，若满足（，且），且对于任意的，都有，{}n a 1a a =0a >1a ≠*,m n ∈N m nm n a a a +=⋅则称为“指数型数列”.若数列满足：，.{}n a {}n a 11a =12nn n a a a +=+(1)判断数列是否为“指数型数列”，若是，给出证明，若不是，请说明理由；11n a⎧⎫+⎨⎬⎩⎭(2)若，求数列的前项和.12nn n n b a a +=⋅{}n b n n T 【答案】(1)是，证明见解析(2)11121n n T +=--【分析】（1）根据结合变形得到，故为等比数列，求出通12n n n a a a +=+1112a +=111211n n a a ++=+11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭项公式，求出，证明出数列为“指数型数列”；111111m nm n a a a +⎛⎫⎛⎫+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭（2）在第一问的基础上，得到，利用裂项相消法求和.1112121n n n b +=---【详解】（1）由得，，12nn n a a a +=+112n n n n a a a a +++=两边同时除以得：，易知有.1n na a +1211n n a a ++=12121n n a a ++=+因为，所以，故，1112a +=110n a +≠111211n n a a ++=+所以是首项为2，公比为2的等比数列，11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭所以，111222n n na -+=⨯=故，112m nm na +++=又，1111222m n m n m n a a +⎛⎫⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭所以，所以数列为指数型数列；111111m nm n a a a +⎛⎫⎛⎫+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭（2）因为，所以，112n n a +=121n n a =-故，()()111211221212121n nn n n n n n n b a a +++=⋅==-----所以.12111111111111337715212121n n n n n T b b b ++=+++=-+-+-+⋅⋅⋅+-=---- 20．如图，正三棱柱中，底面三角形ABC 是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点.111ABC A B C -(1)证明直线平面；1A B ∥1ADC (2)若平面与平面的体积.1ADC 11ACC A111ABC A B C -【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据中位线得线线平行，进而由线线平行即可求证线面平行，（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量的夹角求解面面角，即可得棱锥的高，即可求解.【详解】（1）连接交于点O ，连接OD ，在三角形中，O ，D 分别为，CB 的中点，1A C 1AC 1CA B 1CA 则，又平面，平面，所以平面.1OD A B ∥1A B ⊂/1ADC OD ⊂1ADC 1A B ∥1ADC （2）设棱柱的高为在正三棱柱中，D 为BC 的中点，所以，建立如图所,a 111ABC A B C -AD BC ⊥示的空间直角坐标系，则，，，，，)A ()0,1,0B ()0,1,0C -()0,0,0D ()10,1,C a -所以，，，，，)DA =()10,1,DC a =-)CA = ()10,0,CC a = 设平面的法向量为，则，解得，1ADC ()111,,m x y z =11110000n DA y az n DC ⎧⋅==⎪⇒⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 10x =令，则，所以，11z =1y a =()0,,1m a =设平面的法向量为，则，解得，11ACC A (),,n x y z =10000n CA y az n CC ⎧⋅=+=⎪⇒⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 0z =令，则，1x=y =()1,n = 又平面与平面，1ADC 11ACC A 则，解得：.cos m3a =所以正三棱柱的体积1232V Sh ⎛==⨯⨯= ⎝21．已知函数.()()ln R f x x mx m =+∈(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若m 为整数，且关于x 的不等式恒成立，求整数的最小值.()()22112m f x x m x ≤+--m 【答案】(1)答案见解析(2)2【分析】（1）对分类讨论，讨论的正负即可求得的单调性；m ()f x '()f x （2）构造函数，利用单调性研究函数的最大值即可求解.()()21ln 112G x x mx m x =-+-+【详解】（1）由题意知，的定义域为，()f x ()0,∞+对求导，得()f x ()()110mx f x m x x x+'=+=>当时，恒成立，所以在上单调递增；0m ≥()0f x ¢>()f x ()0,∞+当时，由，得，由，得0m <()0f x ¢>10x m <<-()0f x '<1x m>-所以，在上单调递增，在上单调递减；()f x 10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭综上所述：当时，在上单调递增；0m ≥()f x ()0,∞+当时，在上单调递增，在上单调递减.0m <()f x 10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）因为恒成立，即，()()22112m f x x m x ≤+--()2ln 2112mx mx x m x +≤+--即恒成立，令.()21ln 1102x mx m x -+-+≤()()21ln 112G x x mx m x =-+-+所以.()()()()()2111111mx m x x mx G x mx m x x x -+-++-'=-+-==当时，因为，所以，所以在上是递增函数.0m ≤0x >()0G x '>()G x ()0,∞+又因为，所以关于的不等式不能恒成立.()31202G m =-+>x ()0G x ≤当时，.0m >()()()()1111m x x x mx m G x x x ⎛⎫--+ ⎪+-⎝⎭'==令得，所以当时，；当时，.()0G x '=1x m =10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0G x '>1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0G x '<因此函数在上是增函数，在上是减函数.()G x 10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故函数的最大值为.()G x 11ln 2G mm m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，因为，.()1ln 2h m m m =-()1102h =>()12ln 204h =-<又因为在上是减函数，所以当时，.()h m ()0,m ∈+∞2m ≥()0h m <所以整数的最小值为2.m 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数不等式恒成立问题，是高考常见的压轴题型，有一定的难度.22．已知圆：，点，是圆上的一个动点，线段的中垂线交1F (2216x y +=)2F P 1F 2F P l 于点.1F P Q (1)求点的轨迹的方程；Q C (2)若点，过点A 的直线与C 交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点且与平行的直线与C()2,0A -l l 交于P 、G 两点，求的值.()2PAN PAMAOP S SS ⋅△△△【答案】(1)2214x y +=(2)()22PAN PAMAOP S S S ⋅=△△△【分析】（1）根据几何图形，结合椭圆的定义，即可求解；（2）首先转化，再利用直线与椭圆方程联立，利用两点间距离公式求弦()22PAN PAM AOP AN AM S SS OP ⋅⋅=△△△长，即可求解比值.【详解】（1）因为，所以2QP QF=1214QP QF QF QF +=+=>由椭圆的定义可知：Q 的轨迹C 的方程为：.2214x y +=（2）设过原点且与平行的直线和距离为，则l l d ()222112212PAN PAM AOP AN d AM d AN AM S SS OP OP d ⋅⋅⋅⋅⋅==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭△△△由题意可知直线AM 的斜率一定存在.则设直线AM 的方程为，直线OP 的方程为，()2y k x =+y kx =则，()0,2N k 由，得.()22244y k x x y ⎧=+⎨+=⎩()222214161640k x k x k +++-=则-2，是方程的两个根，，所以，所以，1x 212164214k x k --=+2122814k x k -=+222284,1414k kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭===.()228114k k +=+由得.设，2244y kx x y =⎧⎨+=⎩()221440k x +-=()00,P x y 则，，202414x k =+2202414k y k =+所以.()2222241441414k k OP k k ++==++所以，.22AM AN OP ⋅=()22PAN PAM AOP S SS ⋅=△△△。

2020届云南省楚雄彝族自治州高三上学期期中数学(文)试题(解析版)

2020届云南省楚雄彝族自治州高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}|1B x x A =+∈，则A B =I （） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,0,1,2-【答案】B【解析】首先求出集合B ，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：{}0,1,2,3A =Q ，{}|1B x x A =+∈{}1,0,1,2B ∴=-，{}0,1,2A B ∴⋂=. 故选：B 【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.2．1i +，3i ，()1i i +，()21i -中纯虚数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据复数代数形式的运算法则计算即可判断. 【详解】解：3i i =-Q ，()11i i i +=-+，()212i i -=-所以纯虚数有3i 和()21i -共2个，故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的运算，以及复数的相关概念，属于基础题.3．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60的样本.按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多（）A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个【答案】A【解析】根据题意，先确定抽样比，再由题中数据，即可得出结果. 【详解】由题意，抽样比为：60160010=；因此丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多()1180120610-⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，熟记分层抽样的概念即可，属于基础题型.4．已知向量(),3a m =r ，()2,b m =r ，则“6m =”是“a r 与b r共线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先由向量共线，得到6m =±，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】当a r 与b r 共线时，260m -=，即6m =±，由6m =可以推出a r 与b r 共线，但a r 与b r共线不能推出6m =，因此，“6m =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，以及充分不必要条件的判定，熟记向量共线的坐标表示，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.5．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】C【解析】直接根据图中数据计算对应结果即可求出结论．【详解】解：甲企业支付工资为：1000035%3500⨯=；乙企业支付工资为：1200030%3600⨯=；丙企业支付工资为：1500025%3750⨯=；故甲企业支付的工资最少．故选：C ．【点睛】本题主要考查根据图表分析解决问题，是对基础知识的考查，关键是理解题中数据，属于基础题．6．圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（） A ．15 B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】画出图形，结合勾股定理进行求解【详解】设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，则4rl ππ=，1r =，所以24115h =-=答案选A 【点睛】本题考查圆锥侧面积公式：=S rl π侧，集合了勾股定理进行考察，相对简单 7．执行如图所示的程序框图，若输入的4x =，则输出的x 为（）A ．199B ．366C ．699D ．769【答案】D【解析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】输入4x =，第一步，44313198x =⨯-=≤，进入循环；第二步，413349198x =⨯-=≤，进入循环；第三步，4493193198x =⨯-=≤，进入循环；第四步，41933769198x =⨯-=>，结束循环，输出结果769x =. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求循环程序框图的输出值，逐步执行框图，即可求解，属于基础题型.8．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】B【解析】根据题意，先得到()2f x x =，再由余弦函数的单调区间，以及余弦函数的对称轴，即可求出()y f x =的单调区间，以及对称轴，进而可得出结果. 【详解】因为()3sin 2cos 22244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ，由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，即()y f x =的单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；所以()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=∈；即函数()y f x =的对称轴为：,2k x k Z π=∈；因此其图象关于直线2x π=对称.故选：B. 【点睛】本题主要考查判断三角函数的单调性与对称性，熟记余弦函数的单调性与对称性即可，属于常考题型.9．在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆()222x a y a ++=的位置可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先由题意，得到20a >，直线2y ax a =+过点()20,a，进而可得出结果.【详解】由题意，可得：20a >，直线2y ax a =+显然过点()20,a，排除ABD 选项；故选：C. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置的判定，会根据圆的方程判断参数的范围，以及会求直线与坐标轴的交点即可，属于基础题型. 10．已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭则不等式(lg )3f x >的解集为（）A ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解. 【详解】由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U . 因为()()f x f x -=，所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因为函数11||y y x =+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=，所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知函数()ln f x x k =+的定义域与值域均为[],a b ，且0a >，则k 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由()f x 在()0,∞+上单调递增，故()()f a af b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()f x x =在()0,∞+上有两个不同的解，参变分离得ln k x x =-，再构造函数()ln g x x x =-，利用导数研究函数的单调性及最值，即可得解. 【详解】解：()ln f x x k =+在()0,∞+上单调递增，故()()f a af b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()f x x =在()0,∞+上有两个不同的解，ln k x x =-，令()ln g x x x =-，则()111x g x x x-'=-=，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()11k g >=，即1k >. 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数方程思想，属于中档题.二、填空题12．若3sin cos 0αα+=，则tan2α=__________．【答案】34-【解析】由商数关系可得tan α，再根据二倍角的正切公式计算可得. 【详解】解：由3sin cos 0αα+=，可得1tan 3α=-，所以233tan 21419α-==--.故答案为：34-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角正切公式的应用，属于基础题.13．已知,x y 满足约束条件20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则21y z x +=+的取值范围为__________．【答案】2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】画出可行域，目标函数21y z x +=+的几何意义为可行域内的点(),x y 与点()1,2--A 的连线的斜率，数形结合即可解得.【详解】解：20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩Q ，画出可行域如下图所示：由21y z x +=+，可知其几何意义为可行域内的点(),x y 与点()1,2--A 的连线的斜率，结合图象可知20210AO k --==--，022213AB k +==+，123112AC k +==+， 2,23z ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键是理解目标函数的几何意义，属于基础题. 14．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______．3【解析】作BD 的平行线FG ,即可证明EFG Ð （或其补角）就是异面直线EF 与BD 所成的角，计算出EF ,EG ,FG 的长度，在△EFG 中，利用余弦定理即可求解. 【详解】如图，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，AG ,则BD FG P ，通过异面直线所成角的性质可知EFG Ð （或其补角）就是异面直线EF 与BD 所成的角．设2AD =，则226EF EA AF =+=，同理可得6EG =．又122FG BD ==，所以在EFG V 中，2223cos 26EF FG EG EFG EF FG +-∠==⋅，故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为36．【点睛】用平移法求异面直线所成角的3个步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 是抛物线上一点，则||||PF PK 的最小值为__________．【答案】22【解析】作PA 垂直于准线交准线于点A ，则||||sin ||||PF PA AKP PK PK ==∠，当直线KP 与抛物线相切时，||||PF PK 取得最小值，设此时KP 的直线方程为1x my =-，联立直线与抛物线方程，消元，根据0∆=得到方程，即可解得. 【详解】解：作PA 垂直于准线交准线于点A ，则||||PF PA =，则||||sin ||||PF PA AKP PK PK ==∠，当直线KP 与抛物线相切时，||||PF PK 取得最小值，设此时KP 的直线方程为1x my =-，与24y x =联立，得2440y my -+=，216160m ∆=-=，即1m =±，则2sin 2AKP ∠=，则||||PF PK 的最小值为22. 故答案为：22【点睛】本题考查直线与抛物线相切求参数的值，抛物线的定义的应用，属于中档题.三、解答题16．在ABC V 中，,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边，且sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=，则下列结论一定成立的是（）A ．,,b a c 成等差数列B ．,,a b c 成等差数列C ．222,,b a c 成等差数列 D ．222,,a b c 成等差数列【答案】A【解析】根据两角和的正弦公式及正弦定理将角化边，再结合等差数列的性质即可判断.【详解】解：∵sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=， ∴sin()sin()2sin A B A C A +++=，∴sin sin 2sin C B A +=， ∴2b c a +=， ∴,,b a c 成等差数列. 故选：A 【点睛】本题考查两角和的正弦公式及正弦定理的应用，属于基础题.17．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABCD . （2）求四面体11AB CD 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】（1）通过证明1AA ⊥平面ABCD ，即可得到平面11ABB A ⊥平面ABCD . （2）利用割补法求四面体的体积. 【详解】解：（1）证明：因为四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形，所以1AA AD ⊥，1AA AB ⊥. 又AD AB A ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，AB Ì平面ABCD . 所以1AA ⊥平面ABCD . 因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面ABCD .（2）解：1111(12)2262ABCD A B C D V -+⨯=⨯=， 1112122323B ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，111112224323A A B D V -=⨯⨯⨯⨯=，111112122323C B C D V -=⨯⨯⨯⨯=，1112223243D ACD V -=⨯⨯⨯⨯=，所以111111*********ABCD A C D B ABC A A D C B C D D B B AB CD ACD V V V V V V -----=----=四面体. 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，三棱锥的体积计算问题，属于基础题.18．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知1131111n n T a a a a =+++⋯+，若12764m T =，求m 的值. 【答案】（1）()1*2n n a n -=∈N ；（2）7m = 【解析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据等比数列的前n 项和公式，得到方程即可解得. 【详解】解：（1）由21nn S =-，当1n =时，11a =，当2n ≥时，1121n n S --=-，两式相减得()1*22,n n a n n N -=≥∈，11a =也满足，综上，()1*2n n a n -=∈N .（2）由（1）12n n a -=，1112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭01211123111111111112212222212n n n n n T a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=++++==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L L ，12764m T =Q 111272264m m T -∴=-=，解得1264m -=，所以7m =. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，属于基础题.19．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据分成[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,1007组，得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间()2,2x s x s -+之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ，s 分别为样本平均和样本标准差，计算可得15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若一个零件的尺寸是100 cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸小于50 cm 的概率. 【答案】（1）该零件属于“不合格”的零件；（2）35. 【解析】（1）先由频率分布直方图中的数据，求出样本平均值，得到2,2x s x s -+，根据题意，即可得出结果；（2）根据分层抽样的方法得到第一组抽1个，记为A ；第二组抽2个，记为B ，C ；第三组抽3个，记为D ，E ，F ，用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，进而可得出结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，该批零件的样本平均值为：35100.00545100.01055100.01565100.0307510x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.02085100.01595100.00566.5+⨯⨯+⨯⨯=；则266.53096.5x s +=+=，266.53036.5x x -=-=，10096.5>，所以该零件属于“不合格”的零件；（2）按照分层抽样抽6个零件时，第一组抽1个，记为A ；第二组抽2个，记为B ，C ；第三组抽3个，记为D ，E ，F ，从这6个零件中抽取2个零件共有15种情况，分别为(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F .其中再抽取的2个零件中恰有1个尺寸小于50 cm 的有9种，分别为(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F .根据古典概型概率公式，可得93155P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，以及分层抽样与古典概型的问题，会根据频率分布直方图求样本平均值，熟记分层抽样的概念，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.20．已知抛物线21:4C y x =和22:4C x y =的焦点分别为1F ，2F ，且1C 与2C 相交于O ，P 两点，O 为坐标原点.（1）证明：12F F OP ⊥.（2）过点O 的直线l 交1C 的下半部分于点M ，交2C 的左半部分于点N ，是否存在直线l ，使得以MN 为直径的圆过点P ？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在；:l y x =-【解析】（1）先由题意，得到()4,4P ，()11,0F ，()20,1F ，求出12F F u u u u r 与OP uuu r的坐标，计算向数量积，即可得出结果；（2）先设过点O 的直线为()0y kx k =<，分别联立直线与两抛物线的方程，得到244,M k k ⎛⎫⎪⎝⎭，()24,4N k k ，根据以MN 为直径的圆过点P ，得到()()22444444440PM PN k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，进而看得出结果.（1）证明：联立224,4,y x x y ⎧=⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩所以点()4,4P ，()11,0F ，()20,1F ，∴()121,1F F =-u u u u r ，()()121,14,4440F F OP ==-⋅=-+=u u u u r u u u r， ∴12F F OP ⊥；（2）解：设过点O 的直线为()0y kx k =<，联立24,,y x y kx ⎧=⎨=⎩得()24kx x =，求得244,M k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立24,,x y y kx ⎧=⎨=⎩得()24,4N k k ，所以2444,4PM k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，()244,44PN k k =--u u u r . 若以MN 为直径的圆过点P ，则()()22444444440PM PN k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，2212k k+=，解得1k =-，即直线l 的方程为y x =-. 所以存在直线:l y x =-，使得以MN 为直径的圆过点P . 【点睛】本题主要考查抛物线中直线与直线垂直的证明，以及抛物线中存在某直线满足条件的问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型. 21．已知函数()32f x x ax =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[1,)-+∞上只有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）讨论见解析；（2）(),3-∞【解析】（1）求出函数的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论可得. （2）由（1）当0a ≤时，只需()10f -≥即可；当0a >时，对1<-和1-分类讨论即得.（1）()23f x x a '=-+.①当0a ≤时，()0f x '≤，()f x 在R 上单调递减；②当0a >时，令()230f x x a '=-+=，解得1x =2x = 所以()f x在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减，且()2620f a =-+<，则只需()1120f a -=-+≥，所以3a ≤，又0a ≤，所以0a ≤.当0a >时，()f x在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，在⎛ ⎝上单调递增，且20f =>， ①当1<-，即3a >时，若()f x 在[1,)-+∞上恰好只有一个零点，则()130f a -=->，则a 无解；②当1≥-，即03a <≤时，若()f x 在[1,)-+∞上恰好只有一个零点，则20f ⎛=> ⎝，解得3a <. 综上，a 的取值范围为(),3-∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及零点问题，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为,2x t y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0θαα=≤≤π. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与圆C 交于A ，B两点，若OA OB +=l 的直角坐标方程.【答案】（1）24sin 10ρρθ-+=（2）y =【解析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）将直线l 的极坐标方程代入圆C的极坐标方程，根据题意，得到4sin OA OB α+==.【详解】（1）由圆C的参数方程,2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），得圆C 的普通方程为()2223x y +-=，得22410x y y +-+=，圆C 的极坐标方程为24sin 10ρρθ-+=；（2）将直线l 的极坐标方程代入圆C 的极坐标方程，得24sin 10ρρα-+=，又1210ρρ⋅=>，0απ≤≤，216sin 40x ∆=->，得1sin 2α>，所以4sin OA OB α+==3πα=或23π. 所以直线l的直角坐标方程为y =. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23．设函数()21f x x a x a =++--.（1）当0a =时，求不等式()3f x x <的解集；（2）若0a >，且关于x 的不等式()7f x ≤有解，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）(]0,4 【解析】（1）先由0a =得213x x x +-<，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到()31,1,21,1,231,,2x x a a f x x a x a a x x ⎧⎪-≥+⎪⎪=++-<<+⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩，求出()min 312af x =+，根据题意只需()min 7f x ≤，求解，即可得出结果. 【详解】（1）当0a =时，解不等式213x x x +-<，即1x x -<，所以2221x x x -+<，解得12x >. 所以不等式()3f x x <的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）()31,1,21,1,231,,2x x a a f x x a x a a x x ⎧⎪-≥+⎪⎪=++-<<+⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩当2a x =-时，()min 312af x =+. 因为()7f x ≤有解，所以()min 7f x ≤，即3172a+≤，所以312a ≤，所以04a <≤，所以a 的取值范围为(]0,4. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式中的参数问题，熟记绝对值不等式的解法即可，属于常考题型.。

云南省昆明市数学高三上学期理数期中考试试卷

云南省昆明市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019高二下·鹤岗月考) 设全集为R，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·长治月考) 已知实数，，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）已知f（x），g（x）定义在同一区间上，f（x）是增函数，g（x）是减函数，且g（x）≠0，则（）A . f（x）+g（x）为减函数B . f（x）﹣g（x）为增函数C . f（x）•g（x）是减函数D . 是增函数4. （2分）已知=0，||=1，||=2，=0，则||的最大值为（）A .B . 2C .D . 25. （2分）已知二次函数y=f(x)=-x2+1，则它与x轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·南平期末) 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一条对称轴为（）A .B .C .D .7. （2分）下列函数为奇函数，且在上单调递减的函数是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·衡水期末) 已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2 ）•（3 ﹣4 ）=（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣6﹣D . ﹣6+9. （2分） (2017高一上·白山期末) 已知函数f（x）= 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A . [ ，）B . [ ，）C . （，）D . （，1）10. （2分） (2016高二上·屯溪开学考) 在集合D上都有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在集合D上是缘分函数，集合D称为缘分区域．若f（x）=x2+3x+2与g（x）=2x+3在区间[a，b]上是缘分函数，则缘分区域D是（）A . [﹣2，﹣1]∪[1，2]B . [﹣2，﹣1]∪[0，1]C . [﹣2，0]∪[1，2]D . [﹣1，0]∪[1，2]11. （2分）已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致为（）A .B .C .D .12. （2分）设P：在(－∞，＋∞)内单调递减，q：，则P是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·邗江月考) 写出命题“ ，使得”的否定：________.14. （1分）已知函数f（x）=x3﹣2x，则其图象在点（1，f（1））处的切线方程为________．15. （1分） (2016高一下·江阴期中) 数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N*），则a4=________．16. （1分）定义在R上的函数f（x），给出下列四个命题：（i）若f（x）是偶函数，则f（x+3）的图象关于直线x=3对称（ii）若f（x+3）=﹣f（3﹣x），则f（x）的图象关于点（3，0）对称（iii）若f（x+3）=f（3﹣x），且f（x+4）=f（4﹣x），则f（x）的一个周期为2．（iv）y=f（x+3）与y=f（3﹣x）的图象关于直线x=3对称其中正确命题的序号为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2018高一上·吉林期末) 已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．18. （5分） (2017高一上·海淀期中) 已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）19. （5分）(2017·辽宁模拟) 在△ABC中，已知内角，边．设内角B=x，△ABC的面积为y．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（Ⅱ）当角B为何值时，△ABC的面积最大．20. （10分）化简求值（1）若α是第二象限角，sin（π﹣α）= ．求的值；（2）已知函数f（x）=tan（2x+ ），设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．21. （10分） (2016高二下·洛阳期末) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2an﹣3n，（n∈N*）．（1）证明数列{an+3}为等比数列（2）求{Sn}的前n项和Tn．22. （15分）设a，b∈R，函数f（x）=ex﹣alnx﹣a，其中e是自然对数的底数，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为（e﹣1）x﹣y+b=0．（1）求实数a，b的值；（2）求证：函数y=f（x）存在极小值；（3）若∃x∈[ ，+∞），使得不等式﹣lnx﹣≤0成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

云南省玉溪一中高三(上)期中数学试卷含答案

5.【答案】D
【解析】
第 8 页，共 20 页
【分析】本题主要考查空间点、直线、平面的位置关系，属于基础题．对四个命题进行逐一判断，①正确，②当푚//푛时，훼，훽肯能相交，所以错误，③푚，n 的位置还可能是相交和异面，所以错误；【解答】解：①푚//훽，则훽内一定存在一条直线 l，使得푚//푙，又푚 ⊥ 훼，则푙 ⊥ 훼，所以 훼 ⊥ 훽，所以正确； ②当푚//푛时，훼，훽可能相交，所以错误； ③푚，n 的位置还可能是相交或异面； ④若푚 ⊥ 훼，푛//훽，훼//훽，则푚 ⊥ 푛，正确．故选 D．
得解．
【解答】
解： ∵ cos(훼−휋6) = 23，
휋
휋휋
∴ cos(6−훼) = sin[2−(6−훼)]
= sin(휋3 +훼) = 23，
2휋
휋
∴ cos(2훼 + 3 ) = 푐표푠2(3 + 훼)
= 1−2푠푖푛2(휋3 +훼) = 1−2 × (23)2 = 19．
故选 B．
9.【答案】B
4.【答案】A
【解析】解： ∵ 푓(푥)是奇函数， ∴ 定义域关于原点对称，则푎−4 + 2푎−2 = 0，得3푎 = 6，푎 = 2，此时定义域为为[−2,2]， ∵ 푓(푥) = 2020푥3−푠푖푛푥 + 푏 + 2是奇函数， ∴ 푓(0) = 푏 + 2 = 0，则푏 = −2，即푓(푥) = 2020푥3−푠푖푛푥，则푓(푎) + 푓(푏) = 푓(2) + 푓(−2) = 푓(2)−푓(2) = 0，故选：A．根据奇函数定义域关于原点对称求出 a 的值，利用푓(0) = 0，求出 b，即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的定义和性质，建立方程求出 a，b 是解决本题的关键．比较基础．

云南省文山壮族苗族自治州高三上学期期中数学试卷(理科)

云南省文山壮族苗族自治州高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·沈河月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·河北模拟) 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A .B .C .D .4. （2分）设A,B两点的坐标分别为(－1,0),(1,0)，条件甲：；条件乙：点C的坐标是方程的解，则甲是乙的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二下·长安期中) 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 2B . 1C .D .6. （2分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （2分）如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么S7＝（）A . 14B . 21C . 28D . 358. （2分）(2018·江西模拟) 已知函数，其中，为自然对数的底数.若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）过点P（2，3）的直线l与圆x2+y2=25相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程式是（）A . 2x+3y﹣13=0B . 2x﹣3y+5=0C . 3x﹣2y=0D . 3x+2y﹣12=010. （2分） (2017高一下·晋中期末) 在平面四边形ABCD中，若AB=3，AC=4，cos∠CAB= ，AD=4sin∠ACD，则BD的最大值为（）A .B . 4C .D . 511. （2分）(2017·孝义模拟) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[﹣，0]）的周期为π，将函数f（x）的图象沿着y轴向上平移一个单位得到函数g（x）图象，设g（x）＜1，对任意的x∈（﹣，﹣）恒成立，当φ取得最小值时，g（）的值是（）A .B . 1C .D . 212. （2分）已知F1 ， F2是双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F2关于直线y= x 的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·山西月考) 给出下列五个命题：①当时，有；②若是锐角三角形，则；③已知是等差数列的前项和，若，则；④函数与的图像关于直线对称；⑤当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .其中正确命题的序号为________．14. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 函数f（x）（x∈R）满足f（4）=2，，则不等式的解集为________．15. （1分） (2016高二上·湖北期中) 已知θ服从上的均匀分布，则2|sinθ|＜成立的概率为________．16. （1分）已知函数f（x）=•， g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；④若∃x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是：≤a≤．其中所有正确结论的序号为________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二上·厦门期中) 各项均为正数的等差数列{an}前n项和为Sn ，首项a1=3，数列{bn};为等比数列，首项b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求an和bn；（2）设f（n）= （n∈N*），求f（n）最大值及相应的n的值．18. （10分） (2016高二下·辽宁期中) 如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依此类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道，记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P（n，m）．某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n层的第m个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题．（1）求P（2，1），P（3，2）及P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式．（不必证明）（2）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为ξ，其中ξ= ，试求ξ的分布列及数学期望．19. （10分）(2017·太原模拟) 如图（1）在平面六边形ABCDEF，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF= ，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．20. （10分）已知F1 ， F2分别是椭圆 +y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆交于C，D两点，且满足 + =t （其中O为坐标原点，P 为椭圆上的点），求实数t的取值范围．21. （10分） (2018高二下·沈阳期中) 已知曲线．求：（1）曲线在点处的切线方程；（2）曲线过点的切线方程．（参考数据：）22. （10分）(2020·西安模拟) 在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

云南省大理白族自治州高三上学期期中数学试卷(理科)

云南省大理白族自治州高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·河北开学考) 下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A . y=tan2xB . y=|sinx|C .D .2. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知向量、均为非零向量，，，则、的夹角为（）A .B .C .D .3. （2分）设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为（）A . -5B . -4C . -2D . 34. （2分）已知等差数列的前13项之和为，则等于（）A . -1B .C .D . 15. （2分） (2016高一下·三原期中) 已知函数g（x）=2sin（3x﹣）+1，当x∈[0， ]时方程g（x）=m恰有两个不同的实根x1 ， x2 ，则x1+x2=（）A .B .C . πD . 2π6. （2分）曲线y=在点（1，1）处的切线为l，则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是（）A . -1B . 2-1C . -1D . 27. （2分）已知f（x）=使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是（）A . [﹣4，2）B . [﹣4，2]C . （0，2]D . （﹣4，2]8. （2分）函数的零点落在内，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）已知P是椭圆上的一动点，且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积最小值为，则椭圆离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）函数f（x）=x3+sinx+2x的定义域为R，数列{an}是公差为d的等差数列，且a1+a2+a3+a4+…a2015＜0，记m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…f（a2015），关于实数m，下列说法正确的是（）A . m恒为负数B . m恒为正数C . 当d＞0时，m恒为正数；当d＜0时，m恒为负数D . 当d＞0时，m恒为负数；当d＜0时，m恒为正数11. （2分）已知函数f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0， ]上的最大值与最小值之和为（）A .B . ﹣1C . 0D .12. （2分）(2020·汨罗模拟) 若直线截得圆的弦长为，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·中山期末) 直线y=kx﹣1与曲线有两个不同的公共点，则k 的取值范围是________．14. （1分） (2017高一上·和平期末) 若tanα=2，tanβ= ，则tan（α﹣β）等于________．15. （1分） =________．16. （1分） (2016高二上·延安期中) 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2017·武邑模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，满足，且a1=3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：．18. （10分） (2019高三上·沈阳月考) 东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价元，售价元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进或份，哪一种得到的利润更大？19. （5分）(2017·临沂模拟) 如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是等腰三角形，∠CAD=120°，AD=DE=2AB．（I）求证：平面BCE⊥平面CDE；（II）求平面BCE与平面ADEB所成锐二面角的余弦值．20. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，点在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的一条弦被M（2，1）点平分，求这条弦所在的直线方程．21. （10分） (2018高三上·重庆月考) 已知函数， .（1）求函数在区间[1,2]上的最大值；（2）设在(0,2)内恰有两个极值点，求实数m的取值范围.22. （10分）(2018·淮北模拟) 已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于两点．（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；（2）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．23. （10分）(2018·雅安模拟) 已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

云南省大理白族自治州高三上学期期中数学试卷(理科)

云南省大理白族自治州高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·广东月考) 设集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z= （）A . 1+iB . 1-iC . -1+iD . -1-i3. （2分） (2017高二下·深圳月考) 对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为，，，则（）．A .B .C .D .4. （2分）对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·桃江开学考) 已知点M（x，1）在角θ的终边上，且，则x=（）A . 1B . ﹣1C . 1或﹣1D . ﹣1或0或16. （2分）已知命题：“存在，使得”，则下列说法正确的是（）A . 是假命题；：“任意，都有”B . 是真命题；：“不存在，使得”C . 是真命题；：“任意，都有”D . 是假命题；：“任意，都有”7. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A . 12B . 45C . 57D . 818. （2分） (2016高一下·合肥期中) 已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5 ，若存在两项am ， an ，使得 =4a1 ，则 + 的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）如图所示，程序的输出结果为S＝132，则判断框中应填（）A . i≥10?B . i≥11?C . i≤11?D . i≥12?10. （2分） (2018高一下·六安期末) 下列说法正确的是（）A . 的最小值为2B . 的最小值为4，C . 的最小值为D . 的最大值为111. （2分） (2015高三上·潮州期末) 若双曲线x2﹣ =1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A . （1，2]B . [2，+∞）C . （1， ]D . [ ，+∞）12. （2分） (2015高三上·大庆期末) 已知函数f（x）在（0，）上处处可导，若[f（x）﹣f′（x）]tanx ﹣f（x）＜0，则（）A . 一定小于B . 一定大于C . 可能大于D . 可能等于二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·如东期中) 己知实数x，y满足条件，则x+y的取值范围是________14. （1分） (2017高三上·山东开学考) 若 dx=a，则（x+ ）6展开式中的常数项为________．15. （1分） (2017高一上·泰州期末) 在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为________．16. （1分） (2017高三上·浦东期中) 已知球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为，则线段AB的长度为________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （15分） (2016高三上·天津期中) 已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn ， Sn=an2+ an ，n∈N*（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足：b1=1，bn﹣bn﹣1=2an（n≥2），求数列{ }的前n项和Tn（3）若Tn≤λ（n+4）对任意n∈N*恒成立，求λ的取值范围．18. （10分） (2016高二下·黔南期末) 某单位举行联欢活动，每名职工均有一次抽奖机会，每次抽奖都是从甲箱和乙箱中各随机摸取1个球，已知甲箱中装有3个红球，5个绿球，乙箱中装有3个红球，3个绿球，2个黄球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若都是绿球，则获得二等奖；若只有1个红球，则获得三等奖；若1个绿球和1个黄球，则不获奖．（1）求每名职工获奖的概率；（2）设X为前3名职工抽奖中获得一等奖和二等奖的次数之和，求X的分布列和数学期望．19. （5分）(2012·福建) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．20. （10分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率e= ，过点F且斜率为1的直线与椭圆交于C，D（D在x轴上方）两点，（1）证明是定值；（2）若F（1，0），设斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，且以AB为直径的圆恒过原点O，求△OAB面积最大值．21. （10分） (2017高二下·淄川期末) 已知函数f（x）= x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．四、选做题 (共2题；共15分)22. （5分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知直线C1 （t为参数），C2 （θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．23. （10分）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（x）=|x﹣2|+1．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥5；（2）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、四、选做题 (共2题；共15分)22-1、23-1、23-2、。

云南省西双版纳傣族自治州高三上学期期中数学试卷(理科)

云南省西双版纳傣族自治州高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·虹口期末) 已知是两个非空集合，定义集合，则结果是（）A .B .C .D .2. （2分）已知i为虚数单位，则（）A . 1+iB . -1+iC . 1-iD . -1-i3. （2分） (2017高三上·长沙开学考) 若二项式（x2+ ）7展开式的各项系数之和为﹣1，则含x2项的系数为（）A . 560B . ﹣560C . 280D . ﹣2804. （2分） (2017高二下·成都开学考) 已知命题p：向量 =（1，2）与向量 =（2，k）的夹角为锐角的充要条件是k＞﹣1；命题q：函数f（x）= 是偶函数，下列是真命题的是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . p∧（￢q）D . p∨（￢q）5. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A . 8πB . πC . πD . 12π6. （2分） (2016高一下·衡阳期中) 执行如图所示的程序框图．当输入﹣2时，输出的y值为（）A . ﹣2B . 0C . 2D . ±27. （2分） (2015高二上·宝安期末) 已知等差数列{an}的前n项和Sn ，且满足，则a1=（）A . 4B . 2C . 0D . ﹣28. （2分）设函数，集合，设，则（）A . 9B . 8C . 7D . 69. （2分）若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D . 610. （2分） (2020高一下·郧县月考) 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A .B .C .D .11. （2分）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f(x)=sinxcosx；②；③；④．其中“同簇函数”的是（）A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④12. （2分）(2018·大新模拟) 已知以双曲线的右焦点为圆心，以为半径的圆与直线交于两点，若，求双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·山东模拟) 已知函数f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0）在x=1处的切线与圆（x﹣2）2+y2=4相交于A、B两点，并且弦长|AB|=2 ，则 + ﹣的最小值为________．14. （1分） (2018高三上·天津月考) 已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是________．15. （1分）某水池的容积是20m3 ，向水池注水的水龙头A和水龙头B的流速都是1m3/h，它们在一昼夜内随机开放（0～24小时），水池不溢出水的概率为________16. （1分） (2016高一下·望都期中) 已知，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题：①若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形②若acoA=bcosB，则△ABC是等腰三角形③若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形④若 = ，则△ABC是等边三角形其中正确命题的序号是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考) 已知是等比数列，，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和 .18. （10分） (2016高二下·天津期末) 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（1）恰有2人申请A片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．19. （10分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AE=2BC=2AB=2，AB⊥AD，平面EAD⊥平面ABCD，点F 为DE的中点．（1）求证：CF∥平面EAB；（2）若CF⊥AD，求平面ECD与平面BCF所成锐二面角的余弦值．20. （10分） (2016高二上·大连期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．21. （10分） (2017高二下·绵阳期中) 已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最小值．22. （10分）在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点M（0，2），l与C交于A、B两点，且AB的中点为N，求|MN|．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。