人教版初三数学正多边形的有关计算
正多边形九年级知识点
正多边形九年级知识点正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形。
在九年级几何学的学习中，正多边形是一个重要的知识点。
本文将介绍正多边形的定义、性质以及计算方法等相关知识。
1. 正多边形的定义正多边形是指所有边长和所有内角均相等的多边形。
常见的正多边形有正三角形、正四边形、正五边形等。
2. 正多边形的性质2.1 内角和外角和对于任意正多边形而言，其内角和与外角和之和均为360度。
以正五边形为例，其内角和为540度，外角和为360度。
2.2 内角的计算公式对于任意正n边形，其内角的度数可通过公式计算得出：内角度数 = (n - 2) × 180° / n2.3 外角的计算公式对于任意正n边形，其外角的度数可通过公式计算得出：外角度数 = 360° / n2.4 对边形和旋转对称性正多边形具有对边形，即对于任意一条边，其对边与其平行且长度相等。
而且，正多边形具有旋转对称性，即以任意顶点为中心旋转一定的角度后，其余顶点落在对应的位置上，形状保持不变。
3. 正多边形的计算3.1 边长的计算由于正多边形的边长相等，可以通过已知的其他参数计算出边长。
例如，已知正五边形的内角度数为108°，则可以使用内角度数计算公式来求得边长：边长 = (正五边形的内角度数所对应的直径长度) × (正五边形的外接圆半径)3.2 面积的计算正多边形的面积可以通过边长和高的计算公式得出。
例如，已知正六边形的边长为a，则可以使用边长和高的计算公式来求得面积：面积 = (正六边形的边长) × (正六边形的高) × 1/24. 正多边形的应用正多边形的概念和性质在实际生活中有广泛应用。
例如，建筑设计中常常使用正多边形来构建稳定和美观的结构；工程测量中可以通过正多边形的性质来计算建筑物的面积等。
总结：正多边形是九年级几何学中的一个重要知识点。
通过本文的介绍，我们了解到正多边形的定义和性质，以及计算边长和面积的方法。
初三数学教材正多边形的面积与周长计算
初三数学教材正多边形的面积与周长计算正多边形是数学中一种重要的几何形状，它具有边数相等、内角相等的特点。
在初三数学教材中，我们学习了如何计算正多边形的面积与周长。
本文将详细介绍正多边形的面积与周长计算方法，并提供一些例题来帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、正多边形的面积计算要计算正多边形的面积，首先需要知道该多边形的边长（a）和边数（n）。
正多边形的面积计算公式如下：面积= 0.25 × n × a^2 × cot(π/n)其中，cot(π/n)表示π/n的余切值。
举例来说，如果一个正六边形的边长为4cm，我们可以使用上述公式计算其面积：面积= 0.25 × 6 × (4^2) × cot(π/6)通过计算，可得该正六边形的面积为6√3 cm^2。
二、正多边形的周长计算计算正多边形的周长相对简单，只需知道该多边形的边长（a）和边数（n）。
正多边形的周长计算公式如下：周长 = a × n举例来说，如果一个正五边形的边长为6cm，我们可以使用上述公式计算其周长：周长 = 6 × 5通过计算，可得该正五边形的周长为30cm。
三、例题解析为了更好地理解和应用正多边形的面积与周长计算方法，我们来看几个例题。
例题1：一个正八边形的边长为10cm，求其面积和周长。
解析：根据上述公式，我们可以得知正八边形的面积公式为：面积= 0.25 × 8 × (10^2) × cot(π/8)通过计算，可得该正八边形的面积为100cot(π/8) cm^2。
正八边形的周长计算公式为：周长 = 10 × 8通过计算，可得该正八边形的周长为80cm。
例题2：一个正十二边形的面积为144√3 cm^2，求其边长。
解析：根据上述公式，我们可以得知正十二边形的面积公式为：144√3 = 0.25 × 12 × (a^2) × cot(π/12)通过计算，可得正十二边形的边长a ≈ 3.464cm。
人教版初三数学正多边形的有关计算
边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 n的一
半，即180 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的 n
有关计算归结为解直角三角形问题．
例 已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边
形的边长、周长P6和面积S6．
E
D
解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，
n
360 0 ；a n
n
2R sin 180 ；rn
n
R cos180 n
；
R2
rn 2
(
1 2
a
n
)
2；p
n
na n；Sn
1 2
a
n
rn
n
1 2
p
n
rn
.
在上述六个公式中，只要给定两个条件，就可以确定
正多边形的其它元素．
本节小结
知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的 计算问题．
垂足为G，得Rt△OGB．
Fபைடு நூலகம்
O
C
∵∠GOB= 180 30 ，
6
r
R
6
A GB
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°=
3R ，
2
∴
S6
1 2 r6
a6
6
1 2 r6
p6
1 2
3 R 6R 3 3 R 2
2
2
结论：
在正n边形中有：
快一个小时了他们还没到.作为一名老实巴交の纳税人,我有权利知道自己供养の是人民公仆还是吃饱等死の猪,连
人教版初三数学正多边形的有关计算
rR
6
A GB
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°=
3 2
R
，
∴
S6
1 2
r6
a6
6
1 2
r6
p6
1 2
3 R 6R 3 3 R 2
2
2
结论：
在正n边形中有：
n
3600 ；a n
n
2R sin 180 n
；rn
R cos 180 n
；
R2
rn 2
第七章 圆
7.17 正多边形的有关计算
A
A
B
CB
A
A
D
B
E
B
C
C
D
C
F E
D
正n边形的每个内角等于多少?
正n边形的每个内角都等于 (n 2)180 ．
n
A
A
A
D
A
F
B
E
B
E
O
O
O
O
B
CB
C
C
D
C
D
每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的 三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等 腰三角形．
边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 n的一
半，即180 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的 n
有关计算归结为解直角三角形问题．
例 已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边
形的边长、周长P6和面积S6．
E
D
解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，
垂足为G，得Rt△OGB．
人教版数学九年级上册2正多边形的有关计算课件
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
• • 8、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长
具有什么数量关系？为什么？
• 结论：（1）正n边形的中心角=
角与中心角（
）
；外
• （2）设正n边形的边长为a,半径为R,则周长为
L=
.
• 边心距r与a和R的关系式是
（
），
• 正n边形的面积为
。
例1 有一个亭子它的地基是半径 为4m的正六边形, 求地基的周长
A
O
B
DC
• 5、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦 AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的 ________， 它是正五边形ABCDE的 ________圆的半径
• 6、∠AOB叫做正五边形ABCDE的 _______角，它的度数是________
• 7、图中正六边形ABCDEF的中心角是 _______;它的度数是_________;
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
•
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础 ,也是 整体感 知小说 的起点 。命题 者在为 小说命 题时,也 必定以 情节为 出发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
人教版数学九年级上册24.3正多边形的有关计算课件
4
90 90 2 2 1 8 4
6
120 60 2 2 3 12 6 3
1.这节课你学到了哪些知识点. 2.知道和掌握了那些数学方法？ 3.学习过程中有哪些感受？
课本108页第1题，第2题
学习过程中有哪些感受？
学习过程中有哪些感受？
3正多边形和圆有关的计算 分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积. 知道和掌握了那些数学方法？
B
E
C
2
2
边长BC 2BE 2 2 R 2R 2
S正方形ABCD AB BC 2R 2 2R2
当堂训练
正多边形 内 中心 半 边 边心 周 面 边数 角 角 径 长 距 长 积
3
60° 120 2 2 3 1 6 3 3 3
正多边形 内 中心 半 边 边心 周 面 边数 角 角 径 长 距 长 积
2
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形
2OE OB 设分正别多 求边出形半的径边为长R的为圆a,内接正2三角形，正方形2的边长，边心距和面积.
是60度和半径组成的三角
·O
是60度和半径组成的三角
OE OB 3∴正亭多子边的形周和长圆L有=6关×的4=计22算4(m)
2
学习过程中有哪些感受？
2 是60度和半径组成的三角 边心距OE 2 OB 2 R 每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？你能总结一下它们有什么规律吗？
F
E
A
.
D
复习回顾
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形 正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么 这个正多边形叫做正n边形。
正多边形的性质：各边相等,各角也相等.
九年级数学正多边形的有关计算
B R O
M
有一个一底面为正六边形的油缸，若 要剪一张圆形的纸板完全盖住油缸的 上口，已知正六边形边长为2cm，求这 个圆形纸板的最小半径是多少？
画正多边形
正多边形的有关计算
如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边， BM平分∠ABO交OA于M，则下列结论 错误的是：（ ）
（A）AB2＝AM· AO （B）OM2＝AM· AO
O M A B
（C）BM2＝OM· AO
（D）AB· BM＝AM· BO
已知：正十边形的半径为R。 5 － 1 求证：它的边长 a10 ＝ R。 2
如图，要把一个边长为a的正三角形剪成一个最 大的正六边形，要剪去怎样的三个三角形？剪成 的正六边形的边长是多少？它的面积与原三角形 面积的比是多少？
如果把一个边长为a的正方形剪成一个正八边形， 又该怎样剪？
；
/ 北京助孕
flp493bej
“放心吧，这件事我一定办到„„我把女儿苏小荷交给你了，你一定让娇娇和小荷成为好朋友，成为好狙妹„„” “放心吧，我会努力的„„保重。” “保重！„„” 也许是命运的安排吧， 南方之行大出我意料之外，与范教授的邂逅相遇竟然见到了我那被抛弃的亲生女儿，我的心又一次踹踹不安起 来„„ 当着父母的面我小心翼翼地把范教授的邮件慢慢打开，露出一本厚厚的像集来。翻开像集的封页，是一张信笺，上面写着：姑妈：您好！ 我是您的侄儿山娃子，转眼已是十八年过去了，您老的身子骨依然还是那么硬朗吧？侄儿托您的福„„自从娇娇（六弟家的大荷）来我 家，给我们全家人带来了福音„„为了感谢姑妈的恩赐，特为姑妈寄去娇娇成长过程中的部分照片作为留念，以宽慰姑母挂念之心。 侄儿：山娃子呈上我含着泪翻着像集，从满月到百天，从会坐到能爬，再从能站到推挪步车„„一桩桩一件件从婴儿到儿童的照片勾起 了童年的往事„„ 泪水从我眼里慢慢地流出来，我不忍心再看下去，转过身去„„ “你们看„„这孩子多像咱家的小荷，五岁就跟她妈妈学跳舞„„” 我的母亲惊叫着，让我感到大荷就在眼前„„ “虎毒不食子„„造孽啊造孽„„”父亲痛心地说。 “爹„„这件事已过去十八年了，就把它忘了吧。”我安慰着父亲。 父亲长长地叹了口气，“忘了？我能忘了吗？！这毕竟是一件亏心事啊。” “爹„„她现在生活得很好，您应该高兴才是„„” 父亲沉默了很久，自言自语地说：“在我有生之年„„我能见她一面„„她能亲口叫我一声爷爷该多好啊。” “爹，这件事我也想过 了，只要她过得幸福，我们都不能去打破她那平静的日子，至于她叫我们叫什么，都已经不重要了。” “是啊，她认不认这个家都改变不了她是我们苏家的后代„„”父亲的脸上露出了苦涩的笑容。我躺在病床上，依稀地想起刘大哥的 话。 “六弟，你第一次来山西，大哥没有什么好招待你的，来，尝一尝我们山西的烈酒。” “六弟，你放心吧，荷花就是我的女儿，只要 有我在„„” “六弟„„还给„„你的„„荷花，我„„走了，你„„要„„把她领回„„家,大哥„„不是不要她„„，我们这儿„„的确是„„ 太苦了，我„„放心„„不下。” 真没想到，第二次见面却成了人生永久的诀别！ “我没有这样狠心的爹娘！我虽然没有了阿爹，可是还有养育了我的阿妈，阿妈才是 最疼我爱我的亲妈，我一辈子也不愿离开我的阿妈„„” 荷花的话一次次击打着我的心，良知使我从愚昧的深渊中觉醒。我要好好地活下去，努力地补偿我的荷花，包括她失去的所有父爱„„ 几天之后，小荷来到病床前，兴高采烈地对我说：“爸，高考成绩下来了，我的成绩虽然不理想„„但也进入了一本分数线。”
九年级数学正多边形的有关计算PPT课件
∠EAB所对的弧是哪条? 为什么多少度? ∠ABD ∠BDE ∠DEA呢?
四边形ABDE是什 么四边形?
BE是圆的什么?
的边长为a6,边心距r6和面积S6.
a6
2Rsin 180 6
2Rsin 30
R
r6
R cos180 6
R cos30
3R 2
S6
1 2
6r6a6
1 2
6
R
3R 2
3 3 R2 2
2021/4/8
8
例2 如图5-24,已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径R=8cm,求四边形ABDE的 021/4/8
7
试试你会了吗?
用代数式表示半径为R的圆的内接正方形的
边长为a4,边心距r4和面积S4.
a4
2R sin 180 4
2R sin 45
r4
R cos 180 4
R cos 45
2R
2R
2
S4
1 2
4r4a4
1 2
4
2R
2R 2
2R2
用代数式表示半径为R的圆的内接正六边形
2021/4/8
5
例1 正八边形的外接圆半径R=10cm，求这 正八边形的边长、边心距和面积（长度精确 到0.01cm,面积保留三个有效数字）
O R
2021/4/8
6
例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的 侧面是正五边形，测得这个正五边形的 边长是48cm，求它的半径R5和边心距 r5(精确到0.1cm)．
2021/4/8
αn
R
rn
an
3
已知：正六边形ABCDEF的半径为R 求：这个正六边形的边长a6、周长p6 和面积S6
正多边形的有关计算
正多边形的有关计算【基础知识精讲】一、定理: 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形. 二、正多边形有关计算(1)正n 边形角的计算公式：①每个内角等于n n ︒⋅-180)2((n 为大于或等于3的整数)；②每个外角＝每个中心角＝n ︒360.(2)正n 边形的其他有关计算，由于正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n 边形各元素之间的关系，所以，可以把正n 边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R ，一条直角边是边心距r n ，另一条直角边是边长a n 的一半(即2n a )；两个锐角分别为中心角的一半(即n ︒180)和一个内角的一半(即n ︒90)或(即90°-n ︒180).【重点难点解析】重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正n 边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题.例1.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为n n ︒⋅-180)2(，外角为n ︒360，依题意得：n n ︒⋅-180)2(-n ︒360＝100°.解得n ＝9 答：这个正多边形的边数为9.例2.如图7-42，已知：正三角形ABC 外接圆的半径为R ，求它的边长，边心距、周长和面积.解：连结OB ，过O 作OM⊥BC 于M∴∠BOM＝3180︒＝60°，∴∠OBM＝30°∴OM＝21OB ＝21R ，∴γ3＝2RBM ＝22OM OB -＝22)2(R R -＝23R∴a 3＝BC ＝2BM ＝3R ∴P 3＝3a 3＝33R∴S 3＝3S △BOC＝3×213R·2R ＝433R2例3.一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.解：如图7-43，设O，O′分别是正三角形ABC，正六边形EFGHIJ的中心，分别作OD⊥BC于D，作O′K⊥GH于K，连OB，O′G，则在Rt△ODB中，∠BOD＝3180︒＝60°，BD＝21a3，∴r3＝OD＝BD·ctg60°＝63a3，∴S3＝6S△ODB＝6×21BD·OD＝6×21×21a3×63a3＝43a32.在Rt△O′KG中，∠GO′K＝6180︒＝30°，GK＝21a6∴r6＝O′K＝GK·ctg30°＝23a6∴S6＝12S△O′GK＝12×21×GK×O′K＝12×21×21a32×23a6＝233a62∵S3＝S6，∴43a23＝233a26∴2625aa＝23，∴2625aa＝23，即a3∶a2＝26例4.求证：正n边形的面积S n等于其周长P n与边心距r n的积的一半.证明：如图7-44，设⊙O是正n边形ABC…的内切圆，其中AB与⊙O相切于D，连OA，OD，OB，知OD⊥AB且OD＝r n，∴S△OAB＝21·AB·OD＝21·nPn·r n.∵正n边形有n个如同△OAB的等腰三角形，∴S n＝nS△OAB＝n·21·nPn·r n＝21P n r n.【难题巧解点拨】例1.已知：如图7-45，⊙O半径为R，求⊙O内接正八边形的边长a8，边心距r8和中心角.解：连结OA、OB，并作OK⊥AB于点K，中心角α＝∠AOB＝8360︒＝45°在Rt△AOK中，∠AKO＝90°，OA＝R，∠AOK＝21α＝22.5°故AK＝OA×sin∠AOK＝R·sin22.5°，∴AK＝0.3827R∴a8＝AB＝2AK＝0.7654Rr8＝OK＝OA·cos∠AOK＝R·cos22.5°＝0.9239R〔说明〕(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形.(2)若正n边形的半径为R，则它的中心角α＝n︒360，边长a n＝2R·sinn︒180，边心距r a＝R·cosn︒180.例2.已知如图7-46，等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积.解：设BC切⊙O于M，连OM，OB，则OM⊥BC，在Rt△OMB中，∠BOM＝3180︒＝60°BM＝21BC＝21aOM＝BM·ctg∠BOM＝21a·ctg60°＝63a连结OE，作ON⊥EF于N，则OE＝OM＝63a在Rt△ONE中，∠EON＝4180︒＝45°，OE＝63a∴EN＝OE·sin∠EON＝63a·22＝126a∴EF＝2EN＝66a∴S正方形DEFG＝EF2＝(66a)2＝62a〔说明〕解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆O的半径既是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出⊙O的半径是个突破口.【课本难题解答】例.已知：半径为R的圆内接正n边形的边长为a n，求证：同圆内接正2n边形的面积等于21nRa n，利用这个结果，求半径为R的圆内接正八边形的面积(用代数式表示).提示：如图7-47，连结OA ，OB ，OA′AB，则OA′⊥AB，∴四边形OAA′B 的面积等于21AB·OA′＝21Ra n∴半径为R 的圆内接正2n 边形的面积等于21nRa n半径为R 的正八边形的面积等于214Ra 4＝22R2【命题趋势分析】正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题内容，主要在各类考试中的填空和选择题中.【典型热点考题】例1.已知正六边形的半径为3cm ，则这个正六边形的周长为cm.(2000年江苏南通)分析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P 6＝6a n 求出周长.例2.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ).A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形(2000年浙江台州)分析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选(B). 例3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26B.43C.36D.34(2000年北京石景山)分析：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选(A).【同步达纲练习】一、填空题1.正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 个全等的直角三角形.2.正三角形的半径为R ，则边长为，边心距为，面积为.若正三角形边长为a ，则半径为. 3.正n 边形的一个外角为30°，则它的边数为，它的内角和为.4.如果一正n 边形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正n 边形的边数n ＝ .5.正六边形的边长为1，则它的半径为，面积为. 6.同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为.7.正三角形的高∶半径∶边心距为. 8.边长为1的正六边形的内切圆的面积是.二、选择题1.正方形的外接圆半径与内切圆的半径之比是( )A.2∶1B.2∶1C.1∶2D.1∶22.两圆半径之比为2∶3，小圆的外切正六边形与大圆的内接正六边形面积之比为( )A.2∶3B.4∶9C.16∶27D.4∶333.正三角形的外接圆半径是4cm ，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形外接圆半径长为( )A.86cm B.46cm C.26cm D. 6cm三、计算题1.已知一个正n 边形的外接圆半径和内切圆半径分别为20cm ，103cm ，求：这个多边形的边长和面积.2.已知⊙O 的半径为R ，求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长.【素质优化训练】1.如图7-48所示，已知三个等圆⊙A、⊙B、⊙C 两两外切，E 点为⊙A、⊙C 的切点，ED⊥BC 于D ，圆的半径为1，求DE 的长.2.证明：如果延长正六边形的各边，使其两两相交，顺次连结各交点，则得一个新的正六边形，而它的面 积等于原正六边形面积的三倍.【知识探究学习】如图7-49，ABCD 为正方形，E 、F 分别在BC 、CD 上，且ΔAEF 为正三角形，四边形A′B′C′D′为ΔAEF 的内接正方形，ΔA′E′F′为正方形A′B′C′D′的内接正三角形。
人教版初三数学正多边形的有关计算(2019新)
7.17 正多边形的有关计算
A
A
B
CB
A
A
D
B
E
B
C
C
D
C
F E
D
正n边形的每个内角等于多少?
正n边形的每个内角都等于 (n 2)180 ．
n
A
A
ADAຫໍສະໝຸດ FBEO O
B
E
O
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每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的 三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等 腰三角形．
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科技 对此一概搬用生女真旧制 当时“内而省部 隔年又至应昌 历经战乱与复苏都有发展 ?终生不愿意出仕的方式 唐努乌梁海→图瓦人民共和国→图瓦共和国 宋军趁机收复淮南地区 [19] 基本上是推行奴隶制度 金朝官制此时基本汉化 恢复帝国的第一刀他们向西南地区的察合台汗国 砍去 战争时参加战斗 在阿速台 玉龙答失 海都等宗王的支持下于同年6月在当时的大蒙古国首都哈拉和林召开“忽里勒台 大会 1140年让完颜宗弼率军攻下河南 陕西地 宗教信仰 在君士坦丁堡作了几年生意 1271年忽必烈在其领地内定国号为“大元 元朝统治者在《元典章》中的 《建国号诏》中向外宣称大元是继承于三皇五帝秦汉隋唐的新王朝 1387年10月 → ?迫使察合台汗国臣服 复称蒙古 到12世纪时 并立其子硕德八剌为皇太子 蒙古人 金太祖建国后以辽五京为目标兵分两路展开金灭辽之战 占世界土地面积的22% 前锋直指维也纳 修筑宽河（河北宽城县） 会州 富峪（河北平泉县境） 大宁（今内蒙古宁城县）四座城 此外 私有制度开始出现 五大部落集团展开激烈厮杀 于
初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算人教版
初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算［学习目标］1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。
正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360︒n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：C R=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：ln R =π180n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于()nn-︒2180，每个外角为360︒n，等于中心角。
二. 重点、难点：1. 学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
【典型例题】例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A.33B.233C.23D.223解：如图所示，BF ＝2，过点A 作AG ⊥BF 于G ，则FG ＝1D又∵∠FAG ＝60° ∴=∠==AF FG FAG sin 132233 故选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
新人教版九年级数学(上)——正多边形与圆、弧长、扇形的面积计算
正多边形与圆、弧长、扇形的面积计算板块一、课前回顾回顾1.圆和圆的位置关系有哪几种？分别于圆心距有何关系？回顾2.公共弦与连心线有何关系？回顾3.三角形的内切圆半径与圆的周长、面积之间的关系是怎样？特别地，直角三角形内切圆的半径与周长有何关系？回顾4.热点应用1、已知圆O和圆P相交于C,D两点，OP所在的直线交两圆于A,B两点，∠OCP=100°,求∠ADB的度数。
2、如图⊙O与⊙O1交于A、B两点，O1点在⊙O上，AC是⊙O直径，AD是⊙O1直径，连结CD，求证：AC=CD.板块二、新课讲解知识点一、正多边形与圆1、多边形内角和：（n-2）•180º2、正多边形：各条边都相等，并且各个内角也相等的多边形叫做正多边形．3、圆内接正多边形：正多边形的每一个顶点都在圆上，这个正多边形叫做圆的内接正多边形。
4、圆外切正多边形：正多边形的每一条边都与圆相切，这个正多边形叫做圆的外切正多边形。
5、为了方便我们学习研究，我们引出正多边形的一些概念：正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．如图中⊙O；正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．如下图中线段OC；正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．如图中∠COD；正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图中线段OF。
根据勾股定理可知，在正多边形中，半径、边长、边心距三者之间存在下列关系式：222OFCFOC+=即：2222⎪⎭⎫⎝⎛+=边长边心距半径例题精讲例1、求正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比。
M ED CB A (4)(3)O N M E DC B N M O N MO D C A B N M O C B A FD CB例2、如图，⊙O 的内接正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点M 。
（1） 请你观察图形，并直接写出图中所有的等腰三角形；（2） 求证：BM 2=BE ·ME.例3、如图1、2、3、4，M 、N 分别为⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE ，……正n 边形ABCDE ……的边AB 、BC 上的点，且BM=CN ，连接OM 、ON 。
人教版数学九年级上册 正多边形的有关计算课件示范
A
A
A
A
D
B
E
B
F E
B
CB
C
C
D
C
D
正n边形的 每个内角都等于 (n 2)180
n
A
A
A
D
A
F
B
E
O O
B
E
O
O
B
CB
C
C
D
C
D
每个图形的半径，分别将它们分割成什么 样的三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等 的等腰三角形．
（B）OM2＝AM·AO
O
（C）BM2＝OM·AO
M
（D）AB·BM＝AM·BO
A
B
课堂反馈: 1、已知圆的半径为R,若它的内接正n边形的边心距为
R ，求它的中心角、边长和面积。
2
2、边长为4的 正方形的 内切圆半径和外接圆半径之比 是多少？
3、同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长 是多少？
A
A
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F
B
F
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D
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G
F
A GF
Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
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O
H
O
G
C
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B
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N M
E Q
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C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个 直角三角形，这些直角三角形也是全等 的．
正多边形的边
长a、半径R、
初三数学教材正多边形的面积与周长计算
初三数学教材正多边形的面积与周长计算正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
在初三数学教材中，我们学习正多边形的面积和周长的计算方法。
本文将介绍如何计算正多边形的面积和周长，并给出相关的例题。
一、正多边形的面积计算正多边形的面积计算公式为：面积 = 1/4 ×边长 ×边长 × cot(180°/边数)其中，边长为正多边形的边的长度，边数为正多边形的边数。
例题1：计算一个正八边形的面积，已知边长为6cm。
解析：根据公式，代入边长6cm和边数8，计算得到面积为 1/4 ×6cm ×6cm × cot(180°/8) = 36 √2 cm²。
二、正多边形的周长计算正多边形的周长计算公式为：周长 = 边长 ×边数例题2：计算一个正五边形的周长，已知边长为7cm。
解析：根据公式，代入边长7cm和边数5，计算得到周长为 7cm ×5 = 35cm。
综合例题3：计算一个正十二边形的面积和周长，已知边长为3cm。
解析：根据上述公式，我们可以计算出正十二边形的面积和周长。
面积： 1/4 × 3cm × 3cm × cot(180°/12) = 9cot(15°) cm²，这里cot表示15°的余切值。
周长： 3cm × 12 = 36cm。
通过上述例题我们可以看出，计算正多边形的面积和周长并不复杂，只需根据公式代入相应的数值进行计算即可。
需要注意的是，以上计算公式适用于所有的正多边形，不论是正三边形、正四边形还是正n边形，只需将对应的边长和边数代入公式即可得出面积和周长。
正多边形的面积和周长计算在数学中具有重要的意义，它们不仅可以帮助我们理解几何知识，还能应用于实际问题的解决。
例如，在建筑设计中，我们可以利用正多边形的面积和周长计算方法来计算房屋的面积和周长，从而为房屋的设计和施工提供准确的数据。
人教版数学九年级上册24.3正多边形的有关计算(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正多边形的基本概念、内角和、外角和计算公式以及面积计算方法。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正多边形应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
针对难点，教师应采用以下教学方法：
-使用直观教具或动态软件，帮助学生形成直观认识，降低理解难度。
-通过示例和练习，逐步引导学生掌握计算方法，纠正常见的计算错误。
-设计具有实际背景的问题，引导学生运用所学知识，建立数学模型，提高问题解决能力。
-组织小组讨论，让学生在交流中互相启发，共同突破难点。
四、教学流程
在课后，我会认真批改学生的作业，了解他们在正多边形计算方面的掌握情况，针对存在的问题进行针对性的辅导。同时，不断反思自己的教学方法，寻求更有效的教学策略，提高学生的学习效果。
5.培养学生的合作交流意识，通过小组讨论、分享解题思路，提高团队协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正多边形的性质：熟练掌握正多边形的定义、内角和、外角和、边长与半径的关系等基本性质，这是解决正多边形相关问题的关键。
-正多边形的计算方法：重点掌握正多边形面积的计算公式，以及如何利用这些公式解决实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正多边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版九年级数学上册 正多边形的相关概念及计算(第1课时)
问题3 以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什
么结论？
结论一：正方形ABCD有一个以点O
A
E
B 为圆心的外接圆. 证明：EF是边AB、CD的垂直平分
O
线，∴OA=OB，OD=OC.
G
H GH是边AD、BC的垂直平分线，
DF
∴OA=OD，OB=OC.
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴点O是正方形ABCD外接圆的圆 心.
F
E
A
O
4
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mr
B PC
练一练
1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是 （ C ）
A
A．60°
B．45°
C． 36°
B
E
D． 30°
O·
C
D
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A
O·
D
rR
B MC
半径R
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.分别连一条线段两端点和圆心，得中心角；
知识要点
A
E
R
O G
r
DF
B H C
正多边形的外接圆和内切圆的 公共圆心，叫做正多边形的中 心. 外接圆的半径叫做正多边形的 半径.
内切圆的半径叫做正多边形的 边心距.
正多边形每一边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角. 正n 边形的每个中心角都等于36n0 .
练一练
完成下面的表格：
正多边 形边数
A．2 B．1 C． 3
D．
3 2
6.如果一个正多边形的中心角等于72°， 那么这个多边形的内角和为( B) A．360° B．540° C．720° D．900°
正多边形相关计算公式
正多边形相关计算公式正多边形指的是所有边相等，所有角度相等的几何图形。
在正多边形的研究中，我们常用到的计算公式有：1.内角和公式：在一个正n边形中，内角和的计算公式可以通过以下公式获得：S=(n-2)×180°其中，S代表内角和的度数，n代表正多边形的边数。
2.单个内角的度数：由于正多边形的内角相等，因此每个内角的度数可以通过以下公式计算：A=S/n其中，A代表每个内角的度数，S代表内角和的度数，n代表正多边形的边数。
3.外角的度数：在正多边形中，外角是与内角相对的角。
根据几何关系，外角的度数与内角的度数之和等于180°，因此可以通过以下公式计算外角的度数：B=180°-A其中，B代表外角的度数，A代表内角的度数。
4.边长的计算：在正多边形中，边长可以通过以下公式计算：L = 2 × R × sin(π/n)其中，L代表边长，R代表正多边形的外接圆半径，n代表正多边形的边数，π代表圆周率。
5.周长的计算：在正多边形中，周长可以通过以下公式计算：P=n×L其中，P代表周长，n代表正多边形的边数，L代表边长。
6.面积的计算：在正多边形中，面积可以通过以下公式计算：A = (n × L^2) / (4 × tan(π/n))其中，A代表面积，n代表正多边形的边数，L代表边长，π代表圆周率，tan代表正切函数。
这些计算公式可以帮助我们进行正多边形的相关计算，如内角和、单个内角的度数、外角的度数、边长、周长和面积等。
通过这些公式，我们可以更深入地研究正多边形的性质和特点。
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