8章应力分析·强度理论

材 料 力 学第8章 应力分析·强度理论8.1 概 述前面几章中，分别讨论了轴向拉伸与压缩、扭转和弯曲等几种基本变形构件横截面上的应力，并根据相应的实验结果，建立了危险点处只有正应力或只有切应力时的强度条件[]max σσ≤或[]max ττ≤式中：max σ或max τ为构件工作时最大的应力，由相关的应力公式计算；[]σ或[]τ为材料的许 用应力，它是通过直接实验（如轴向拉伸或纯扭），测得材料相应的极限应力，再除以安全因数获得的，没有考虑材料失效的原因。

这些强度条件的共同特点是：其一，危险截面的危险点只有正应力或只有切应力作用；其二，都是通过实验直接确定失效时的极限应力。

上述强度条件对于分析复杂情形下的强度问题是远远不够的。

例如，仅仅根据横截面上的应力，不能分析为什么低碳钢试样拉伸至屈服时，表面会出现与轴线成45°角的滑移线；也不能分析铸铁圆试样扭转时，为什么沿45°螺旋面断开；根据横截面上的应力分析和相应的实验结果，不能直接建立既有正应力又有切应力存在时的强度条件。

实际工程中，构件受力可能非常复杂，从而使得受力构件内截面上一点处往往既有正应力，又有切应力。

对于这些复杂的受力情况，一方面要研究通过构件内某点各个不同方位截面上的应力变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在的截面方位；另一方面需要研究材料破坏的规律，找出材料破坏的共同因素，通过实验确定这一共同因素的极限值，从而建立相应的强度条件。

本章主要研究受力构件内一点的应力状态，应力与应变之间的关系（广义胡克定律）以及关于材料破坏规律的强度理论，从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的理论基础。

8.2 一点的应力状态·应力状态分类受力构件内一点处不同截面上应力的集合，称为一点的应力状态。

为了描述一点的应力状态，在一般情况下，总是围绕这点截取一个3对面互相垂直且边长充分小的正六面体，这一六面体称为单元体。

当受力构件处于平衡状态时，从构件内截取的单元体也是平衡的，单元体的任何一个局部也必是平衡的。

所以，当单元体3对面上的应力已知，就可以根据截面法求出通过该点的任一斜截面上的应力情况。

因此，通过单元体及其3对互相垂直面上的应力，可以描述一点的应力状态。

为了确定一点的应力状态，需要先确定代表这一点的单元体的6个面上的应力。

为此，在单元体的截取时，应尽量使其各面上应力容易求得。

第8章 应力分析·强度理论例如，在图8.1（a ）所示轴向拉伸构件内任意一点A 的周围，若以2个横截面和4个纵向截面截取单元体，将其放大为图8.1（b ），其平面图表示为图8.1（c ）。

单元体的左右两 侧面是杆件横截面的一部分，面上的应力皆为F Aσ=。

单元体的上、下、前、后4个截面都 是纵向截面，面上都没有应力。

但若按图8.1（d ）的方式截取单元体，使其4个侧面与纸面垂直但与杆件的轴线不平行也不垂直，成为斜截面，则在这4个截面上，不仅有正应力而且有切应力。

显然其应力的确定比图8.1（a ）更困难。

图8.1 围绕受拉构件内任意一点截取的单元体在图8.1（b ）或图8.1（c ）中，单元体的各个面上均无切应力。

这种无切应力作用的平面称为主平面。

主平面上的正应力称为主应力。

主平面的外法线方向称为主方向。

若单元体的各个侧面均为主平面，则该单元体称为主单元体。

可以证明，受力构件内任一点都可找到3对互相垂直的主平面，即一定存在一个由主平面构成的主单元体。

因而每一点都有3个主应力，通常用1σ，2σ，3σ来表示，并按它们代数值的大小顺序排列，即123σσσ≥≥，分别称为第一、第二和第三主应力。

对轴向拉伸 （或压缩），3个主应力中只有1个不等于零，称为单向或单轴应力状态。

若3个主应力中有2个不为零，称为二向或平面应力状态。

当三个主应力皆不为零时，称为三向或空间应力状态。

前面几种基本变形都只涉及到单向应力状态或纯剪应力状态，它们都属于简单应力状态；而除了纯剪应力状态外的其它二向和三向应力状态都属于复杂应力状态。

【例8.1】 如图8.2（a ）所示承受内压的圆柱形薄壁容器，平均直径为D ，壁厚为δ，承受内压为p （N/m 2）。

试计算容器上由纵横截面组成的单元体A 上的应力。

【解】：在内压作用下，容器将产生沿轴向和径向方向的变形，故在容器的横截面和纵截面上均受到拉应力的作用。

由于壁很薄，可认为应力沿壁厚均匀分布。

（1）横截面上的应力。

用横截面将容器截开，其受力如图8.2（b ）所示，根据平衡方程0x F =∑：2ππ04x D D p σδ−=i i可得 4x pD σδ= （2）纵截面上的应力在圆筒中部截取一段（单位长度），再用包含轴线的纵截面将之截开，其受力如图8.2（c ）材 料 力 学所示，根据平衡方程0y F =∑：2110y p D σδ−=i i i i可得 2y pD σδ=图8.2 例8.1图因横向和纵向截面上均无切应力，且在单元体的第三个方向（与直径垂直的方向）上，虽然还有作用于内壁的压强p 和作用于外壁的大气压强，但都远小于x σ和y σ，可以忽略不计。

故该单元体A 就是其主单元体，其3个主应力为12pD σσ= 24pD σσ= 30σ= 由上可见，纵截面上的应力比横截面上的应力大一倍，故容器受内压破裂时，其裂缝常沿纵截面发生。

8.3 平面应力状态·应力分析的解析法在薄壁圆筒的筒壁上，以纵向和横向截面截取的单元体（图8.2（a ）），其周围各面皆为主平面，应力皆为主应力。

但在其他情况下就未必如此。

例如圆轴扭转时，横截面上除圆心外，任一点上皆有切应力，可见横截面不是它们的主平面；又如横力弯曲时，梁的横截面上除上、下边缘及中性轴处外，任一点上均有正应力和切应力，所以横截面不是这些点的主平面，弯曲正应力也不是这些点的主应力。

本节要讨论的问题是：在平面应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，如何求出通过这一点的其他截面上的应力，从而确定该点的主应力、主平面以及最大切应力。

第8章 应力分析·强度理论8.3.1 任意斜截面上的应力在图8.3（a ）所示的单元体的各侧面上，设应力分量x σ，y σ，xy τ和yx τ均已知，图8.3（b ）为单元体的正投影。

各应力分量的下标具有如下含义：x σ和y σ分别表示垂直于x 轴和y 轴侧面上的正应力；xy τ第一个下标x 表示切应力作用面的法线方向，第二个下标y 表示切应力平行于y 轴。

yx τ与之类似。

根据切应力互等定理，xy τ=yx τ。

应力的正负号规定为：正应力以拉应力为正、压应力为负；切应力对单元体内任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负。

按照这一规定，图8.3（a ）和图8.3（b ）中的x σ，y σ，xy τ均为正，而yx τ为负。

欲求与z 轴平行的任意斜截面ef （图8.3（b ））上的应力。

设斜截面ef 的外法线n 与x 轴成α 角，称该斜截面为α 斜截面，其上的正应力和切应力分别用ασ及ατ表示。

为便于计算，将α 角正负号规定为：从x 轴转至α 斜截面的外法线，逆时针转为正，反之为负。

为了求得α 斜截面上的正应力和切应力，利用截面法，沿斜截面ef 将单元体分成两部分，并研究下半部分aef 的平衡（图8.3（c ））。

设截面ef 的面积为d A ，则截面ae 与af 的面积分别为d cos A α与d sin A α，如图8.3（d ）所示。

把作用于aef 部分上的力投影于ef 面的外法线n 和切线t 的方向，可得其平衡方程为()()()()0: d d cos sin d cos cos d sin cos d sin sin 0n xy x yx y F A A A A A ασταασααταασαα=+−+−=∑ ()()()()0: d d cos cos d cos sin d sin cos d sin sin 0t xy x y yxF A A A A A ατταασαασααταα=−−++=∑图8.3 任意斜截面上应力根据切应力互等定理，xy τ与yx τ在数值上相等，以xy τ代替yx τ，化简上述两个平衡方程，得（8.1）（8.2）由式（8.1）～式（8.2）可知，当x σ，y σ，xy τ为已知时，可以求出α 为任意值时斜截面材 料 力 学上的应力。

这种方法称为解析法。

8.3.2 主应力和主平面公式（8.1）表明斜截面上的正应力ασ随α 的变化而变化，是α 的函数。

因此可根据公式（8.1）确定正应力极值，并可确定其所在的平面位置。

将式（8.1）对α 求导，得d 2sin 2cos 2d 2x y αxy σσσαταα−⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠ （a ）设当0αα=时，导数d 0d ασα=。

则在0α所对应的截面上正应力ασ取极值。

将0α代入式（a ）并令其等于零，即00sin 2cos 202x y xy σσατα−+= （b ） 可得（8.3）比较式（8.2）和式（b ）可知，在正应力取极值的平面上，切应力等于零。

因切应力为零的平面为主平面，而主平面上的正应力为主应力，所以主应力就是极大或极小正应力。

由式（a ）可求出相差90°的两个角度0α，它们就是两个互相垂直的主平面的法线方位角。

将0sin 2α，0cos 2α代入式（8.1）式即得两个主应力为（8.4） 联合使用式（8.3）和式（8.4）时，可先比较x σ和y σ的代数值，若x σ≥y σ，则式（8.3）确定的两个0α中，绝对值较小的一个确定max σ所在的主平面；若x σ＜y σ，则绝对值较大的一个确定max σ所在的主平面。

8.3.3 切应力极值及其所在平面公式（8.2）表明斜截面上的切应力ατ随α的变化而变化，是α 的函数。

因此可根据公式（8.2）确定切应力极值及其所在的平面位置。

将式（8.2）对α 求导，得()d cos 22sin 2d αx y xy τσσαταα=−− （c ） 设当1αα=时，导数d 0d ατα=。

则在1α所对应的截面上切应力ατ为极值。

以1α代入式（c ）并令其等于零，即()cos 22sin 20x y xy σσατα−−=得第8章 应力分析·强度理论（8.5）由式（8.5）可求出相差90°的两个角度1α，它们可确定两个互相垂直的平面，将1sin 2α，1cos2α代入式（8.2）式即得平面应力状态下切应力的最大值和最小值（8.6）特别注意：不能用上式来求解空间应力状态或特殊空间应力状态下的最大和最小切应力，而应当用后文中的式（8.10）来求解。

比较式（8.3）与式（8.5）可得01tan 2tan 21αα=−i故有10π4αα=± （d ）式（d ）表明最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°。