高考的文科数学圆锥曲线专题复习
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第三课时 最值、范围问题
第三课时 最值、范围问题题型一 距离与面积的最值(范围)例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点F 到左顶点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，若OE→＝OA →＋OB →，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值. 解 (1)由已知得b 2＝3，a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2.联立以上3个式子，可得a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一 因为过F (1，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，所以设l 的方程为x ＝ty ＋1，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4. 因为OE→＝OA →＋OB →， 所以四边形AOBE 为平行四边形，所以S ＝SAOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18t 2＋13t 2＋4. 令t 2＋1＝m ，则m ≥1，S ＝18m 3m 2＋1＝183m ＋1m. 由函数的单调性易得当m ＝1，即t ＝0时，S max ＝92.法二 由OE→＝OA →＋OB →知四边形AOBE 为平行四边形. 所以S ＝S AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB .当直线AB 的斜率不存在时，S ＝3S △AOB ＝92.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得 (4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6k4k 2＋3，y 1y 2＝－9k 24k 2＋3， 所以S ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18k 4＋k 24k 2＋3.令4k 2＋3＝m ，则m >3，S ＝92－3×1m 2－2m ＋1<92.综上知，四边形AGBE 的面积S 的最大值S max ＝92.感悟提升 1.本题求四边形AGBE 面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.训练1 (2022·南宁模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右顶点M 到左焦点的距离为3，直线l 与椭圆C 交于点A ，B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MA ，MB 的斜率为k 1，k 2.若4k 1k 2＋9＝0，求|AB |的最小值.解 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，a ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，∴b ＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率不为0，设其方程为x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0， ∴y 1＋y 2＝－6mn 3m 2＋4，y 1y 2＝3n 2－123m 2＋4， Δ＝(6mn )2－4(3m 2＋4)(3n 2－12)＝48(3m 2－n 2＋4)>0.由(1)知M (2，0)，则直线MA ，MB 的斜率分别为k 1＝y 1x 1－2，k 2＝y 2x 2－2，∴k 1k 2＝y 1y 2（x 1－2）（x 2－2）＝y 1y 2（my 1＋n －2）（my 2＋n －2）＝y 1y 2m 2y 1y 2＋m （n －2）（y 1＋y 2）＋（n －2）2 ＝3n 2－123m 2＋4m 2·3n 2－123m 2＋4＋m （n －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－6mn 3m 2＋4＋（n －2）2 ＝3n 2－124（n －2）2＝3（n ＋2）4（n －2）＝－94，解得n ＝1.∴直线l 的方程为x ＝my ＋1，直线l 过定点(1，0)，此时，y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， ∴|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝1＋m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋42＋363m 2＋4＝1＋m 2·144（m 2＋1）（3m 2＋4）2 ＝12（m 2＋1）3m 2＋4＝4·3m 2＋33m 2＋4 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4≥3(当且仅当m ＝0时取等号)， ∴|AB |的最小值为3.题型二 斜率或某些参数(式子)的最值(范围)例2 (2021·兰州诊断)已知抛物线y 2＝4x 及点P (4，0).(1)以抛物线的焦点F 为圆心，|FP |为半径作圆，求圆F 与抛物线交点的横坐标；(2)若A ，B 是抛物线上不同的两点，且直线AB 与x 轴不垂直，弦AB 的垂直平分线恰好经过点P ，求F A →·FB→的取值范围. 解 (1)由已知得F (1，0)，所以圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋y 2＝9，y 2＝4x ，得x 2＋2x －8＝0. 解得x ＝2或x ＝－4.由于x >0，所以x ＝2.则圆与抛物线交点的横坐标为2.(2)设弦AB 的中点为M ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，M (x 0，y 0)， 则x 0＝y 21＋y 228，y 0＝y 1＋y 22， 设线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，则直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2y 214－y 224＝4y 1＋y 2＝2y 0＝－1k ， ∴y 0＝－2k .∵点M 在弦AB 的垂直平分线上，∴y 0＝k (x 0－4)(k ≠0)，∴x 0＝2.则直线AB 的方程为k (y －y 0)＝2－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧k （y －y 0）＝2－x ，y 2＝4x ，得ky －ky 0＝2－y 24，即y 2＋4ky ＋8k 2－8＝0，∴Δ＝16k 2－32k 2＋32＝－16k 2＋32>0，∴0<k 2<2.∵y 1＋y 2＝－4k ，y 1y 2＝8k 2－8，∴F A →·FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－14(y 21＋y 22)＋1＋y 1y 2 ＝4(k 2－1)2－4＋1＋8k 2－8＝4k 4－7，∴F A →·FB→的取值范围是(－7，9). 感悟提升 圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换；目标关系式求范围.训练2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，直线x ＋3y －1＝0被以椭圆C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (4，0)的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且λ＝|MA |·|MB |，求λ的取值范围.解 (1)原点到直线x ＋3y －1＝0的距离为12，由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝b 2(b >0)，解得b ＝1. 又e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝34，得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率为0时，直线l ：y ＝0为x 轴，λ＝|MA |·|MB |＝12.当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：x ＝my ＋4，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x 得 (m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.由Δ＝64m 2－48(m 2＋4)>0，得m 2>12，所以y 1y 2＝12m 2＋4. λ＝|MA |·|MB |＝m 2＋1|y 1|·m 2＋1|y 2|＝(m 2＋1)|y 1y 2|＝12（m 2＋1）m 2＋4＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－3m 2＋4. 由m 2>12，得0<3m 2＋4<316， 所以394<λ<12.综上可得：394<λ≤12，即λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤394，12.1.如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A ).(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值.解 (1)由p ＝116，得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0. (2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0).将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，所以点M 的纵坐标y M ＝－mt m 2＋2. 将直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0，所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p （m 2＋2）m， 因此x 0＝2p （m 2＋2）2m 2. 由x 202＋y 20＝1，得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160， 当且仅当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040.2.已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B (32，94)，抛物线上的点P (x 0，y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x 0<32. (1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)Q 是以AB 为直径的圆上一点，且AP →·BQ →＝0，求AP →·PQ→的最大值. 解 (1)设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 20－14x 0＋12＝x 0－12，且－12<x 0<32， 则－1<x 0－12<1.所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1).(2)由题意可知，AP→与AQ →同向共线，BQ ⊥AQ ， 联立直线AP 与BQ 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）. 因为|AP |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝1＋k 2·(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x 0)＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1， 所以AP →·PQ →＝|AP →|·|PQ→|＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，AP →·PQ →取得最大值2716. 3.(2022·全国名校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F (1，0)，定直线l ：x ＝－2，动点P 到l 的距离比到点F 的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点H (3，2)的动圆M 与曲线C 相交，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＝x 2>3)为它们的两个交点，且动圆M 与直线y ＝2相交于另一点D ，求|DH |的最小值. 解 (1)设动点P (x ，y )，则由题意知x ＋2＝|PF |＋1，所以x ＋1＝|PF |，即点P 到定直线x ＝－1的距离与点P 到点F 的距离相等，所以点P 的轨迹是以O 为顶点，F 为焦点的抛物线，所以轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意可知圆心M 在x 轴上，设M(m，0)，D(x3，2)，x3>3，由题意知A(x1，2x1)，B(x1，－2x1)，连接MH，MA，则|MH|＝|MA|，即（m－3）2＋（0－2）2＝（m－x1）2＋（0－2x1）2，即m＝x21＋4x1－132x1－6.由题意知圆M的方程为(x－m)2＋y2＝(m－3)2＋4. 令y＝2，得x＝2m－3或x＝3，所以x3＝2m－3，所以|DH|＝x3－3＝2m－6＝x21＋4x1－13x1－3－6＝x21－2x1＋5x1－3.因为x1>3，所以|DH|＝x21－2x1＋5 x1－3＝(x1－3)＋8x1－3＋4≥2（x1－3）·8x1－3＋4＝4＋42，当且仅当x1－3＝8x1－3，即x1＝3＋22(x3＝3－22舍去)时等号成立. 所以|DH|的最小值为4＋4 2.4.(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为1 2.(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 解(1)由题意可知直线AM的方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＝－4，当y ＝0时，解得x ＝－4，所以a ＝4.由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，可得416＋9b 2＝1，解得b 2＝12，所以C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为x －2y ＝m (m ≠－4).如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x －2y ＝m 与椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得3(m ＋2y )2＋4y 2＝48，化简可得16y 2＋12my ＋3m 2－48＝0，所以Δ＝144m 2－4×16(3m 2－48)＝0，即m 2＝64，解得m ＝±8，与AM 距离比较远的直线方程为x －2y ＝8，点N 与直线AM 的距离即两平行线之间的距离，即d ＝8＋41＋4＝1255，由两点之间距离公式可得|AM|＝（2＋4）2＋32＝35，所以△AMN的面积的最大值为12×35×1255＝18.。
高考文科数学圆锥曲线专题复习
高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆双曲线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆即a MF MF 221=+当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆，当2a ＝2c 时，轨迹是一条线段21F F当2a ﹤2c 时，轨迹不存在平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即122MF MF a -=当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线 当2a ＝2c 时，轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时，轨迹不存在标准方 程 焦点在x 轴上时： 12222=+by a x焦点在y 轴上时：12222=+bx a y注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x 轴上时：12222=-by a x焦点在y 轴上时：12222=-b x a y常数cb a ,,的关 系 222bc a +=，0>>b a ，a 最大，bc b c b c ><=,,222b a c +=，0>>a cc 最大，可以b a b a b a ><=,,渐近线焦点在x 轴上时：0x ya b ±= 焦点在y 轴上时：0y xa b±=抛物线：图形xyO FlxyO Fl方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y)0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 )0,2(p )0,2(p -)2,0(p)2,0(p -准线 2p x -= 2p x =2p y -=2p y =（一）椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x（1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-，椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y 轴对称。
(完整)圆锥曲线知识点梳理(文科),推荐文档
S 积为 F1PF2
b2 tan . 2
且 PF1
PF2
2b2 1 cos
x2
2.设 P 点是双曲线
a2
y2 b2
x0
（3）设抛物线的标准方程为 y 2 =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 p ，顶点到准线的距离 p ，焦点到准线的距离
2
2
为 p.
（4）已知过抛物线 y 2 =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长
在圆 C 上，｜MC｜＞r 点 M 在圆 C 内，其中｜MC｜= (x 0 - a)2 (y0 - b) 2 。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 有两个公共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。
Aa Bb C
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的 轨迹.
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F
1F2｜＜2a＝
点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}.
点集{M｜ ｜MF｜=点 M 到直线 l 的距离}.
图形
方 标准 方程
程
x 2 y 2 1( a b >0) a2 b2
与半径 r 的大
A2 B2
小关系来判定。
二、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e＞0),则动点的轨 迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0＜e＜1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时， 轨迹为抛物线；当 e＞1 时，轨迹为双曲线。
高考文科数学圆锥曲线专题复习
高考文科数学圆锥曲线专题复习圆锥曲线专题复习______________________________________________________________________________ ________________________（一）椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程2?2?1(a?b?0)（1）范围：?a?x?a，-b?x?a，椭圆落在x??a，y??b组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y轴对称。
图象关于x轴对称。
图象关于原点对称。
原点叫椭圆的对称中心，简称中心。
x轴、y轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3 椭圆共有四个顶点：A(?a,0),A2(a,0)，B(0,?b),B2(0,b)。
加两焦点F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。
A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。
长分别为2a,2b。
a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。
e??e??()2。
0?e?1。
aa椭圆形状与e的关系：e?0,c?0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e?0时的特例。
e?1,c?a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为是椭圆在e?1时的特例。
2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。
3. 椭圆的准线方程x2y2a2a2对于2?2?1，左准线l1:x??；右准线l2:x?______________________________________________________________________________ ________________________y2x2a2a2对于2?2?1，下准线l1:y??；上准线l2:y?ccaba2a2?c2b2?c??焦点到准线的距离p?（焦参数） ccc（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性由标准方程2?2?1，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。
高中总复习二轮文科数学精品课件 专题6 直线、圆、圆锥曲线 6.3 直线与圆锥曲线
=
由
=
1
- 2 + 3,
4+3 2
即(*)式成立.
所以直线HN过点(0,-2).
综上所述,直线HN恒过定点(0,-2).
-48-96
+
4+3 2
−
-24
=0=右边,
2
4+3
题后反思 1.求解定值和定点问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的
一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程
的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的
4
2
2
2
= 3,
= + ,
(2)依题意,直线 BC 的方程为 y-1=k(x+2)(k≠0),
-1 = ( + 2),
联立直线 BC 和椭圆 E 的方程,得 2
消去 y,
2
+ = 1,
4
整理得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,
由Δ>0可得(16k2+8k)2-4(1+4k2)(16k2+16k)>0,解得k<0.
2 6
3
+ 2 x-2,
所以直线HN过点(0,-2).
当过点P的直线MN的斜率存在时,
设直线MN的方程为y+2=k(x-1),点M(x1,y1),N(x2,y2).
+ 2 = (-1),
由 2 2
消去 y,得(4+3k2)x2-6k(k+2)x+3k(k+4)=0,
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
(完整)文科圆锥曲线大题复习
（完整）文科圆锥曲线大题复习高三数学圆锥曲线专题一．知识要点1、直线的斜率公式：k = tan a= 土二4（x丰x）（a为直线的倾斜角）x - x i 221两种常用的直线方程：（1）点斜式（2）斜截式2、直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种，其判断方法有：①几何法（常用方法）若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r,则：d = r o直线与圆相切d < r o直线与圆相交d > r o直线与圆相离②代数法由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：A = 0o直线与圆相切A< 0 o直线与圆相离A> 0 o直线与圆相交3、圆的弦长若圆心到弦的距离为d，圆的半径为r,弦长是/，则l = 2工；r2 —d 2 .4、圆锥曲线的定义（包括长轴,短轴，实轴，虚轴,离心率，双曲线的渐近线等）（1）椭圆：（2）双曲线:（3）抛物线：x2 y2 x2 y25、点P（x , y）和椭圆——+ — = K a > b > 0）的关系：（1）点P（x , y）在椭圆外o -0- +与> 1 ；（2）点P（x , y）0 0 a2 b2 0 0 a2 b2 0 0在椭圆上o x0- +，=1；⑶点P（x , y）在椭圆内o x e- +，< 1a2 b2 0 0a2 b26、直线与圆锥曲线的位置关系：由直线方程与圆锥曲线联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：（1）相交：A> 0 o直线与椭圆相交；A> 0 n直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有A> 0 , 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故A> 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；A> 0 n直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有A> 0，当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点，故A> 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
文科圆锥曲线专题练习及答案
文科圆锥曲线1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴322c a =，∴e =34，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =，∵||AB =a =2，∴C 的实轴长为4，故选C.3.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2x y =(B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。
高考文科数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线专题复习~抛物线：图形xyO Fl（xyO Fl方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 )0,2(p 、)0,2(p- )2,0(p )2,0(p-准线 2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =（一）椭圆 [1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x（1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-，椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y 轴对称。
图象关于x 轴对称。
图象关于原点对称。
原点叫椭圆的对称中心，简称中心。
x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。
加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。
21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。
长分别为b a 2,2。
b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。
a ce =⇒2)(1ab e -=。
10<<e 。
椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为是椭圆在1=e 时的特例。
2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程 —对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x ＝－a,x ＝a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。
高考文科数学圆锥曲线专题训练
高考文科数学圆锥曲线专题训练用时：60分钟一、选择题1. θ是任意实数，则方程4sin 22=+θy x 所表示的曲线不可能是 A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆2. 已知椭121)(1222=-+t y x 的一条准线方程是8=y ，则实数t 的值是 A. 7或－7B. 4或12C. 1或15D. 03. 双曲线1422=+ky x 的离心率)2,1(∈e ，则k 的取值范围为 A. )0,(-∞ B. （－12，0） C. （－3，0） D. （－60，－12）4. 以112422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 A.1121622=+y xB.1161222=+y x C.141622=+y xD.116422=+y x 5. 抛物线28mx y =的焦点坐标为 A. )0,81(mB. )321,0(mC. )321,0(m±D. )0,321(m±6. 已知点A （－2，1），x y 42-=的焦点为F ，P 是x y 42-=的点，为使PF PA +取得最小值，P 点的坐标是 A. )1,41(-B. )22,2(-C. )1,41(-- D. )22,2(-- 7. 已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ，一条准线方程为095=-y ，则双曲线方程为A.116922=-x yB.116922=-y x C.125922=-x yD.125922=-y x8. 抛物线2x y =到直线42=-y x 距离最近的点的坐标为 A. )45,23(B. )1,1(C. )49,23(D. )4,2(9. 动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆与直线02=+x 相切，则动圆必过定点 A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，－2）10．中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 12575D. 17525C.1252752B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x二、填空题11. 到定点（2，0）的距离与到定直线8=x 的距离之比为22的动点的轨迹方程为_______. 12.双曲线2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ___________.13. 已知点（－2，3）与抛物线)0(22>=p px y 的焦点距离是5，=p ____________. 14．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_______________. 三、解答题15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F （2，0）作斜率为53的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN ＝4，求双曲线方程。
§10.5 圆锥曲线的综合问题 高考数学(文科,课标Ⅲ)复习专题
ｘ２ ５
＋ｙ２
＝
１
上，
所以
ｘ
２ ０
５
＋ｙ２０
＝
１，
即 ｘ２０ ＋５ｙ２０ ＝ ５， 故 λ１ ＋λ２ ＝ １８．
②当 ＰＡ 或 ＰＢ 与 ｘ 轴垂直或 ｙ０ ＝ ０ 时，也易得 λ１ ＋λ２ ＝ １８．
综上，λ１ ＋λ２ 为定值．
二、圆锥曲线中最值（ 范围） 问题
������������������������������������������������
１７ ４８ ，为定值．
综上，
｜
１ ＡＢ
｜
＋
｜
１ ＣＤ
｜
为定值．
１－１ （２０１８ 广西南宁测试，２０） 已知左焦点为 Ｆ（ － １，０） 的
椭圆
Ｃ：
ｘ２ ａ２
＋ ｙ２ ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）经过点
Ａ（２，０） ．
（１）求椭圆 Ｃ 的方程；
（２）已知直线 ｌ 与椭圆 Ｃ 分别交于 Ｍ、Ｎ （ Ｍ、Ｎ 在 ｘ 轴异
由①②得
ｍ＜－
６ ３
或
ｍ＞
６ ３
．
（ ２） 令
ｔ＝
１ ｍ
∈
æ
ç
－
è
６
，０
ö
÷
∪
æ
ç
０，
２ øè
６ ２
ö
÷
，
ø
则 ｜ ＡＢ ｜ ＝
ｔ２ ＋１ ·
－２ｔ４ ＋２ｔ２ ＋
３ ２
，
ｔ２ ＋
１ ２
且 Ｏ 到直线 ＡＢ 的距离 ｄ ＝
＋
１ ｍ２
ö
÷
ø
ｘ２
－
２ｂ ｍ
2023年高考文科数学真题汇编圆锥曲线老师版
直线AE 旳方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 因此直线BM 旳斜率112131BM y y k -+==-.17.（安徽文）设椭圆E 旳方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 旳坐标为(,0)a ,点B 旳坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 旳斜率为510。
（1）求E 旳离心率e;(2)设点C 旳坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 旳中点，证明：MN ⊥AB 。
∴a b 3231＝5525451511052222222=⇒=⇒=-⇒=⇒e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点旳坐标为（2,2b a -）∴a b a ba a bb K MN 56652322131==-+= abK AB-=∴1522-=-=⋅a b K K AB MN ∴MN ⊥AB18.（福建文）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>旳右焦点为F ．短轴旳一种端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 旳距离不不不小于45，则椭圆E 旳离心率旳取值范围是（ A ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4119.（新课标2文）已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线旳原则方程为 ．2214x y -= 20.（陕西文）已知抛物线22(0)y px p =>旳准线通过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，由于准线通过点(1,1)-，因此2p =， 因此抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.21.（陕西文科）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>通过点(0,1)A -，且离心率为22.(I)求椭圆E 旳方程；2212x y += 22.（天津文）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab 旳一种焦点为(2,0)F ,且双曲线旳渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线旳方程为（ D ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D) 2213y x23．（广东文）已知中心在原点旳椭圆C 旳右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 旳方程是（ D ）30旳等腰三角形，则122文) 设椭圆221y b 0,0a b 旳一条渐近线平行于直线210x ，双曲线旳上，则双曲线旳方程为（ A ）2120y （B ）221205x y （C ）2331100y D ）223310025x y 1) 已知双曲线C ：221x y （0,0a b >>）旳离心率为52，则C 14x B .13y =±12x ± D .y x[9,)+∞ [9,)+∞ [4,)+∞[4,)+∞【解析】当0m <上存在点M 满足120，则603ab=即33m≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=，即33m ≥，得9m ≥，故m 旳取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A. 41、(·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1旳离心率旳取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)3．【答案】C 【解析】由题意得双曲线旳离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C.42．(·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 旳焦点F ，且斜率为3旳直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 旳准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 旳距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 34．【答案】C 【解析】抛物线y 2＝4x 旳焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程旳点斜式可得直线MF旳方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴旳上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4旳等边三角形．∴点M 到直线NF 旳距离为2 3. 故选C.43．(·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)旳左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径旳圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 旳离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．135．【答案】A 【解析】由题意知以A 1A 2为直径旳圆旳圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线旳距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63.44．(·天津文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)旳右焦点为F ，点A 在双曲线旳渐近线上，△OAF 是边长为2旳等边三角形(O 为原点)，则双曲线旳方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝16．【答案】D 【解析】根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝ba x 上.由△AOF 是边长为2旳等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线旳渐近线y ＝b a x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线旳方程为x 2－y 23＝1.故选D. 45．(·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)旳一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.1．【答案】5【解析】∵双曲线旳原则方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线旳渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线旳一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.46、(·北京文，10)若双曲线x 2－y 2m＝1旳离心率为3，则实数m ＝________. 【答案】2【解析】由双曲线旳原则方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线旳离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，∴m ＝2.47、(·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 旳焦点，M 是C 上一点，FM 旳延长线交y 轴于点N .若M 为FN 旳中点，则|FN |＝________.【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 旳准线交x 轴于点A ，过点M 作准线旳垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 旳中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.1212121111442222BMy y K x x x x ----==---- (1x +=()12200x x ++= 又设AB ：y=x ＋m 代入2x ＋20=0∴m=7故AB ：x ＋y=7新课标Ⅱ文)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22＋。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题
第一课时 定点问题题型一 直线过定点问题例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.(1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1). 则AG→＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1). 由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去). 所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3<n <3. 易知直线P A 的方程为y ＝t9(x ＋3)， 所以y 1＝t9(x 1＋3).易知直线PB 的方程为y ＝t3(x －3)， 所以y 2＝t3(x 2－3).可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 229＋y 22＝1， 故y 22＝－（x 2＋3）（x 2－3）9，②由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ，得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－2mnm 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9.代入③式，得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0. 解得n ＝－3(舍去)或n ＝32. 故直线CD 的方程为x ＝my ＋32， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.训练1 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问：直线l 是否过定点？证明你的结论. 解 (1)由|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，代入椭圆方程有1a 2＋94b 2＝1，解得b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，k 1＋k 2＝y 1－32－y 1－32x 1＋1＝1，解得x 1＝－4，与椭圆无交点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2－12＝0，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， Δ＝48(4k 2－m 2＋3)>0. 由k 1＋k 2＝1，整理得(2k －1)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋m －52(x 1＋x 2)＋2m －4＝0，即(m －4k )(2m －2k －3)＝0.当m ＝k ＋32时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当m ＝4k 时，Δ＝4k 2－m 2＋3>0有解，此时直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0).题型二 圆过定点问题例2 (2021·湖南三湘名校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率为22，它的上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 (1)由题意得，e ＝c a ＝22. 又a 2＝b 2＋c 2， 所以a ＝2b ，c ＝b . 又|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，a >b ≥1，所以b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝169.当AB ⊥y 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 可得两圆交点为Q (－1，0).由此可知，若以线段AB 为直径的圆过定点，则该定点为Q (－1，0). 下证Q (－1，0)符合题意. 设直线l 的斜率存在，且不为0， 其方程设为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13，代入y 22＋x 2＝1，并整理得(k 2＋2)x 2－23k 2x ＋19k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 23（k 2＋2），x 1x 2＝k 2－189（k 2＋2）， 所以QA →·QB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k 2(x 1＋x 2)＋1＋19k 2＝(1＋k 2)·k 2－189（k 2＋2）＋⎝⎛⎭⎪⎫1－13k 2·2k 23（k 2＋2）＋1＋19k 2 ＝0.故QA→⊥QB →，即Q (－1，0)在以线段AB 为直径的圆上.综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(－1，0).感悟提升 1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k ＝0或k 不存在时.2.圆过定点问题，一般从圆的直径所对的圆心角为直角入手，利用垂直关系找到突破口，从而解决问题.训练2 (2022·江西红色七校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2 2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的定义可得2a ＝22， 则a ＝2，∵椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22， ∴c ＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为y 22＋x 2＝1.(2)当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为x ＝my －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，T (t ，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －13，y 22＋x 2＝1消去x 并整理，得(18m 2＋9)y 2－12my －16＝0，Δ＝144m 2＋64(18m 2＋9)＝144(9m 2＋4)>0恒成立， 则y 1＋y 2＝12m 18m 2＋9＝4m 6m 2＋3，y 1y 2＝－1618m 2＋9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ， 则TA ⊥TB ，TA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13，y 1，TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13，y 2，则TA →·TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13(y 1＋y 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132＝－16（m 2＋1）－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13×12m18m 2＋9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132－（12t ＋20）m 2＋1618m 2＋9＝0， ∵点T 为定点，∴t 为定值，与m 无关， ∴12t ＋2018＝169，解得t ＝1，此时TA →·TB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－169＝0，符合题意. 当直线l 与x 轴重合时，AB 为椭圆C 的短轴，易知以AB 为直径的圆过点(1，0). 综上所述，存在定点T (1，0)，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T .圆锥曲线中的“伴侣点”问题在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0，这一对点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这对特殊的点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.圆锥曲线的“伴侣点”在我们研究圆锥曲线的性质中具有重要的地位，蕴涵着圆锥曲线许多有趣的性质. 例 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，设A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0(0<m <a )是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C ，D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E .证明：直线DE 垂直于x 轴. 证明 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 则直线l 的方程为y ＝y 1x 1－m(x －m ). 把直线l 的方程代入双曲线方程，整理得(b 2x 21－a 2y 21－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2y 21m 2－a 2b 2(x 1－m )2＝0， 由b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2(点C 在双曲线上)，上面方程可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2[(y 21＋b 2)m 2＋b 2x 21－2b 2mx 1]＝0， 又因为b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2， 所以a 2(y 21＋b 2)＝b 2x 21，代入上式，方程又可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －b 2x 21m 2－a 2b 2x 21＋2a 2b 2mx 1＝0，由已知，显然a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2≠0，于是x 1x 2＝－x 21m 2＋a 2x 21－2a 2mx 1a 2－2mx 1＋m 2，因为x 1≠0，得x 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2ma 2－2mx 1＋m 2(*) 同理，直线BC 的方程为y ＝y 1x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2m ， 所以只要把(*)中m 换成a 2m，就可以得到x 3＝－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＋a 2x 1－2a 2a 2m a 2－2a 2m x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2m a 2－2mx 1＋m 2， 所以x 2＝x 3，故直线DE 垂直于x 轴.1.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点.(1)解 若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1，2)，可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x .若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1，2)，可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y .综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明 因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x .易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)，将直线BP 的方程代入y 2＝4x ，消去y ，得 k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0.设P (x 1，y 1)，则x 1＝（k ＋2）2k 2，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫（k ＋2）2k 2，2k ＋4k . 用－2k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为2k ＋4k －2＋2k（k ＋2）2k 2－（k －1）2＝2k 3＋4k－k 4＋2k 3＋4k ＋4＝2k－k 2＋2k ＋2，故直线PQ 的方程是 y －2＋2k ＝2k －k 2＋2k ＋2·[x －(k －1)2]. 在上述方程中，令x ＝3，解得y ＝2， 所以直线PQ 恒过定点(3，2).2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点B (4，0)作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P ′.证明：直线P ′Q 经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标.(1)解 由椭圆的定义，可知 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（23）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝4.解得a ＝2.又b 2＝a 2－(3)2＝1.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为 x ＝my ＋4(m ≠0).设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1).由⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x ，可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0. ∵Δ＝16(m 2－12)>0，∴m 2>12. ∴y 1＋y 2＝－8mm 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4.∵k P ′Q ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）.∴直线P ′Q 的方程为 y ＋y 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）(x －x 1).令y ＝0，可得x ＝m （y 2－y 1）y 1y 1＋y 2＋my 1＋4.∴x ＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4＝2m ·12m 2＋4－8m m 2＋4＋4＝24m－8m＋4＝1.∴D (1，0).∴直线P ′Q 经过x 轴上定点D ，其坐标为(1，0).3.如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.(1)求kk 1的值；(2)当k 变化时，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)， 直线l 与直线l 1的交点为(0，1)，所以l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0， 由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，①由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，所以kk 1＝yy 0－（y ＋y 0）＋1xx 0＝（x ＋1）（x 0＋1）－（x ＋x 0＋2）＋1xx 0＝1. (2)证明 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，所以x M ＝－8k 4k 2＋1，所以y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k4＋k 2 ＝8－8k 48k （3k 2－3）＝－k 2＋13k ， 直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8（k 2＋1）3（4k 2＋1）＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.所以当k 变化时，直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53. 4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1的左、右焦点，且C 1与C 2相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33. (1)求椭圆C 1的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx －13与椭圆C 1交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.解 (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 2m 2－y 2＝1，解得m 2＝1， ∴a 2＝m 2＋1＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 22＋y 2b 2＝1，解得b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，整理得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， ∴x 1＋x 2＝12k 9＋18k 2，x 1x 2＝－169＋18k 2， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0.由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，则定点必在y 轴上. 设定点为M (0，y 0)，则MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0) MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0) ＝x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝x 1x 2＋k 2x 1x 2－k 3(x 1＋x 2)－y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k （x 1＋x 2）－23＋19＋y 20 ＝(1＋k 2)x 1x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋y 0(x 1＋x 2)＋y 20＋23y 0＋19 ＝18（y 20－1）k 2＋9y 20＋6y 0－159＋18k 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 20－1＝0，9y 20＋6y 0－15＝0，解得y 0＝1， ∴M (0，1)，∴以线段AB 为直径的圆恒过定点(0，1).。
完整版)高三圆锥曲线知识点总结
完整版)高三圆锥曲线知识点总结第八章《圆锥曲线》专题复一、椭圆方程1.椭圆的第一定义：设F1.F2是平面内两个定点，对于任意点P，有PF1 +PF2 = 2a (a。
0)，则称所有满足该性质的点P的轨迹为椭圆。
椭圆的方程为 PF1 + PF2 = 2a，无轨迹为 PF1 + PF2 = 2a，以F1,F2为端点的线段。
2.椭圆的方程形式：①椭圆的标准方程：i。
中心在原点，焦点在x轴上。
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a。
b)。
ii。
中心在原点，焦点在y轴上：x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1 (a。
b)。
②一般方程：Ax^2 + By^2 = 1 (A,B不同时为0)。
③椭圆的参数方程：x = a*cosθ，y = b*sinθ (θ ∈ [0,π])。
注意：椭圆参数方程的推导：设点N(acosθ,bsinθ)，则有PF1 + PF2 = 2a，即√[(acosθ - c)^2 + (bsinθ)^2] + √[(acosθ + c)^2 + (bsinθ)^2] = 2a，整理得到x = a*cosθ，y = b*sinθ。
3.椭圆的性质：①顶点：(±a,0)或(0,±b)。
②轴：对称轴为x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b。
③焦点：(±c,0)或(0,±c)，其中c = √(a^2 - b^2)。
④焦距：F1F2 = 2c，c = √(a^2 - b^2)。
⑤准线：x = ±a/e 或 y = ±b/e，其中e为离心率。
⑥离心率：e = c/a。
⑦焦半径：y = ±(b^2 - x^2)^(1/2) 或 x = ±(a^2 - y^2)^(1/2)。
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径，坐标为(±c,d/2)，其中d为通径长度。
4.共离心率的椭圆系的方程：椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 的离心率是e = c/a (c = √(a^2 -b^2))，方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 = t (t。
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高三文科数学专题复习之圆锥曲线 名 称 椭圆双曲线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即当2﹥2时，轨迹是椭圆，当2＝2时，轨迹是一条线段当2﹤2时，轨迹不存在 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2＝2时，轨迹是两条射线 当2﹥2时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：常数的关 系，， 最大，，最大，可以渐近线焦点在轴上时：焦点在轴上时：抛物线：图形方程焦点准线（一）椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程（1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y轴对称。
图象关于x轴对称。
图象关于原点对称。
原点叫椭圆的对称中心，简称中心。
x轴、y轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：，。
加两焦点共有六个特殊点。
叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。
长分别为。
分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。
椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。
椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为是椭圆在时的特例。
2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式3. 椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（焦参数）（二）双曲线的几何性质：1. （1）范围、对称性由标准方程，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。
双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。
（2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a,a叫做实半轴长。
虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。
（3）渐近线过双曲线的渐近线（）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：e>1双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
2. 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率。
3. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成。
4. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。
共用一对渐近线。
双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。
5. 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。
其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。
常数e是双曲线的离心率。
6. 双曲线的准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；焦点到准线的距离（也叫焦参数）。
对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。
（三）抛物线的几何性质（1）范围因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。
（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。
由抛物线的定义可知，e＝1。
【典型例题】例1. 根据下列条件，写出椭圆方程（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；（2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是。
分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。
解：（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上因此有两解：（2）焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,（a>b>0），由已知条件有，故方程为。
（3）设椭圆方程为,（a>b>0）由题设条件有及a2＝b2＋c2，解得b＝故所求椭圆的方程是。
例2. 直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解：把代入整理得： (1)当时，由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或。
故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。
例3. 已知抛物线方程为（p>0），直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。
解：设与抛物线交于由距离公式|AB|＝则有由从而即由于p>0，解得例4.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.直线l：y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。
故可设直线，，，，，，，，，，，，，则，，，，所以所求的椭圆方程为：例5.如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x设点P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分所成的比λ==2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1.例6. 已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.解：（1）设【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 是任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆2. 已知椭的一条准线方程是，则实数的值是（）A. 7或－7B. 4或12C. 1或15D. 03. 双曲线的离心率，则的取值范围为（）A. B. （－12，0） C. （－3，0） D. （－60，－12）4. 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A. B.C. D.5. 抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.6. 已知点A（－2，1），的焦点为F，P是的点，为使取得最小值，点的坐标是（）A. B. C. D.7. 已知双曲线的渐近线方程为，一条准线方程为，则双曲线方程为（）A. B.C. D.8. 抛物线到直线距离最近的点的坐标为（）A. B. C. D.9. 动圆的圆心在抛物线上，且动圆与直线相切，则动圆必过定点（）A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，－2）10．中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )二、填空题11. 到定点（2，0）的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为______________。
12.双曲线的一条准线是，则___________。
13. 已知点（－2，3）与抛物线的焦点距离是5，____________。
14．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为________________。
三、解答题15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且＝4，求双曲线方程。
16. 过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，为右焦点。
求：的最值17. 已知椭圆的一个焦点为，对应的准线方程为，且离心率满足，成等比数列。
（1）求椭圆的方程。
（2）试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在，求出的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。
18. 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.【试题答案】1. C2. C3. B4. A5. B6. A7. A8. B9. B 10.C11.12. －13. 4 14. =115. 解：设所求双曲线方程为（a>0，b>0），由右焦点为（2，0）。