微分几何习题解答 曲线论
微分几何习题及答案解析
、第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何课后答案
r r r r r r r r r 量，且 r (t ) · n = 0 。两次求微商得 r ' · n = 0 ， r ' ' · n = 0 ，即向量 r ， r ' ， r ' ' r r r r 垂直于同一非零向量 n ，因而共面，即（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r r r r r r r r r r r 反之, 若（ r r ' r ' ' ）=0，则有 r × r ' = 0 或 r × r ' ≠ 0 。若 r × r ' = 0 ，由上题
}
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ，
解 r ' ={
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
y − a sin t a cos t − a sin t
r
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x − a cos t − a sin t − a cos t
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
29
微分几何主要习题解答
τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分多少习题解答曲面论一
v2 v1
cosh
vdv
||
sinh
v2
sinh v1 | 。
4．设曲面的第一基本形式为 I = du 2 (u 2 a 2 )dv 2 ，求它上面两条曲线 u +
v = 0 ,u–v = 0 的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
sin
y a cos sin a sin sin a cos cos
cos sin
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何答案+(1)
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t )(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e求微商得'r =' e + 'e ，于是r ×'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。
当)(t = 0时，)(t r=0 可与任意方向平行；当0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e= 0） ，所以'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r·n = 0 。
微分几何习题解答(曲线论)
微分几何主要习题解答第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
第四版微分几何第二章课后习题答案
证明 螺面的第一基本形式为
I=2
du
2 +2 dudv+(
2
u
+1)
dv
2
,
旋转曲面的第一
2
基本形式为 I= (1
t
2
) dt 2 t 2 d , 在旋转曲面上作一参数变换
t1
t=
2
u
1 , 则其第一基本形式为 :
=arctgu + v ,
2
2
u (1
1u )
du 2
2
2
u u1
(u 2
1)(
1 2 du
| r x || r y |
2
a x0 y0
22
22
1 a x0 1 a y0
6. 求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线的微分方程 . 解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为 δu: δv , 则有 Eduδ u + F(du δv + dv δu)+ G d v δ v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲线的 正交轨线的微分方程为 Eδ u + F δv = 0 . 同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为 Fδ u + G δv = 0 .
r
2 u
1， F
ru rv
0，
G
2
rv
2
u
b 2 ，∴
I=
2
du
2
(u
b 2 ) dv 2 ，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为 I = du 2 sinh 2 udv 2 的曲面上，求方程为 u=v 的曲线的 弧长。
微分几何习题及答案解析
、第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案1. 曲线的微分几何描述- 给定曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求其速度向量\( \mathbf{v}(t) \) 和加速度向量 \( \mathbf{a}(t) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 已知曲面 \( S \) 由参数方程 \( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \) 给出，求曲面 \( S \) 的第一基本形式。
3. 高斯曲率和平均曲率- 对于曲面 \( S \)，给出其高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \) 的定义，并说明它们之间的关系。
4. 测地线的性质- 解释什么是测地线，并给出测地线在曲面上的性质。
5. 曲面的第二基本形式- 已知曲面 \( S \) 的法向量场 \( \mathbf{n}(u,v) \)，求曲面 \( S \) 的第二基本形式。
6. 曲面的高斯映射- 给出曲面 \( S \) 的高斯映射的定义，并解释其几何意义。
7. 曲面的内蕴几何与外蕴几何- 描述曲面的内蕴几何与外蕴几何的区别，并给出一个例子。
8. 微分几何在物理学中的应用- 简述微分几何在广义相对论中的应用。
答案1. 曲线的微分几何描述- 速度向量 \( \mathbf{v}(t) = \frac{dr(t)}{dt} = (x'(t),y'(t), z'(t)) \)，其中 \( x'(t), y'(t), z'(t) \) 分别是\( x(t), y(t), z(t) \) 的导数。
- 加速度向量 \( \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = (x''(t), y''(t), z''(t)) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 第一基本形式由曲面的度量张量给出，即 \( g_{ij} =\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_j} \)。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何(第三版)第二章课后题答案[1]
![微分几何(第三版)第二章课后题答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8778e3f50722192e4436f647.png)
第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解u-曲线为r ={u cos v0,u sin v0,bv 0}= {0,0 , bv0} + u { cos v0, sinv0,0}, 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ u0cos v , u0 sin v ,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为r ={ a (u+v。
), b (u-v。
)，2u v o}={ a v。
，b v。
，0}+ u{a,b,2 v。
} 表示过点{ a v。
，b v。
,。
}以{a,b,2 v。
}为方向向量的直线;v-曲线为「= {a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v} = {a u。
，b u。
，。
} +v{a,-b,2 u。
} 表示过点(a u。
, b u。
，。
)以{a,-b,2 u。
}为方向向量的直线。
3.求球面r ={acos ；：sin「,a cos；： sin ;:, a si n二}上任意点的切平面和法线方程。
saa. n解r ={ -a sin 二cos「，-a sinsin ：:,acos「：} , r .匸{-a cossin ：:, a coscos 「,0}x - a cos、：cos「y - a cos 二sin「z - a sin 二任意点的切平面方程为- a sin 二cos ：：「：-a sinsin「 a cos=0「a cos、：sin「 a cos、：cos「0即xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；x a cos、：cos「y a cos、：sin「z a sin 二。
cos 二cos「cossin「sin 二2 24.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b 曲面只有一个切平面。
精编微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)资料
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e=0，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何答案解析(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何第四习题答案
微分几何第四习题答案问题1：曲线的曲率和挠率给定平面曲线 \( r(t) = (x(t), y(t)) \)，其中 \( x(t) \) 和\( y(t) \) 是 \( t \) 的可微函数。
求曲线在 \( t_0 \) 处的曲率\( k(t_0) \)。
解答：首先，计算曲线的导数：\[ r'(t) = (x'(t), y'(t)) \]\[ r''(t) = (x''(t), y''(t)) \]曲率 \( k(t) \) 定义为：\[ k(t) = \frac{||r'(t) \times r''(t)||}{||r'(t)||^3} \]在 \( t_0 \) 处代入上述公式，计算得到 \( k(t_0) \)。
问题2：曲面的第一基本形式考虑曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的局部参数化 \( X(u, v) \)。
求\( S \) 在 \( p \) 处的第一基本形式。
解答：第一基本形式由度量张量给出，定义为：\[ g_{ij} = \langle X_u, X_v \rangle \]其中，\( X_u = \frac{\partial X}{\partial u} \) 和 \( X_v = \frac{\partial X}{\partial v} \) 是 \( X \) 相对于 \( u \) 和\( v \) 的偏导数。
计算 \( g_{ij} \) 的矩阵 \( [g_{ij}] \)，即为曲面 \( S \) 在点 \( p \) 处的第一基本形式。
问题3：高斯曲率的计算已知曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的第一基本形式为 \( [g_{ij}] \) 和第二基本形式为 \( [h_{ij}] \)。
求 \( S \) 在 \( p \) 处的高斯曲率 \( K \)。
微分几何-曲线论
化简得 E( EG F 2 )du2 =G( EG F 2 )dv 2 EG F 2 0, 二等分角轨线的微分方程是 Edu2 =Gdv 2
9. 解： 三曲线在uv平面上围成的图形如图所示：
三曲线相交所成的图形面积为：
u
= EG F dudv
2 D
u av
D1 v 1 v
(其中 是渐近曲线的切方向与ru的夹角, k1 , k2是主曲率)
k1 k k tan , 1 arc tan 1 , 2 arc tan 1 , k2 k2 k2
2
(其中1 ,2是两条渐近曲线的切方向与ru的夹角)
两族渐近曲线交于固定角，
k1 1 2 2arc tan 常数. k2 k1 =常数. k2
曲线L是曲率线， 由罗德里格定理，
= , dn kndr， n kn，由伏雷内公式，
代入()式得： n (kn ) 0.
即 ( n) 0.
若 0， 则曲线L为平面曲线.
两边再微分得： n n 0. 若 n 0，
z a sin a cos sin a cos cos 0 0, a sin cos a sin sin a cos 即(cos cos ) x (cos sin ) y z sin a 0.
在任一点的切平面方程 为： x a cos cos y a cos sin
2. 解： 抛物面的方程可表为如 下向量形式： 5 2 2 r { x1 , x2 , x1 2 x1 x2 x2 }, 2 所以 rx1 {1,0,5 x1 2 x2 },
微分几何曲线论练习题
曲线论练习题1．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则β= . ① ()k s α ； ② ()()k s s ατγ- ； ③ ()s τα- ； ④ ()().-k s s ατγ+2．曲线r =()r s 在P(s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为()s τ，则γ= . ① ()k s β ； ② ()s τβ ； ③()()k s s ατγ-+ ； ④ ().s τβ-3. 曲线r =()r s 在P (s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则下式 不正确.①()k s αβ=- ； ②()()-k s s βατγ=+ ； ③()k s αβ= ； ④().s γτβ=- 4．曲线r =()r s 在P(s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则k (s)= .① αβ⋅ ； ② βα⋅ ； ③ αβ⋅ ； ④ .γβ⋅5．曲线r =()r s 在P(s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则()s τ= .① αβ⋅ ； ② βγ-⋅ ； ③ βα⋅ ； ④ .γβ-⋅6．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为,τ则下式 不正确. ①2||||r r k r '''⨯=' ； ②3||||r r k r '''⨯=' ； ③||k r = ； ④2(,,).()r r r r r τ''''''='''⨯ 7．曲线()= r r t 在P 点的曲率k ，挠率为,τ则下式 不正确.① 2(,,)r r r r τ= ； ② 2(,,)r r r k τ= ； ③2(,,)()r r r r r τ''''''='''⨯ ； ④(,,).||r r r r r τ''''''='''⨯ 8．设曲线 (C )：(),r r t = 以下 不是(C )为平面曲线的充要条件.① (C )的密切平面固定； ② (C )的副法向量γ =常向量； ③ (C )的曲率k =0； ④ (C )的挠率τ=0.9．若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是 .①直线； ② 平面曲线； ③ 球面曲线； ④ 圆柱螺线.10．若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是 .①平面曲线； ② 球面曲线； ③圆柱螺线； ④ 直线.11．曲线 (C )是一般螺线，则以下命题 不正确.① (C )的切线与一固定方向成固定角； ② (C )的副法线与一固定方向成固定角；③ (C )的主法线与一固定方向垂直； ④ (C )的副法线与一固定方向垂直.12．曲线(C )在条件 下不一定是一般螺线.① 切向量与一固定方向成固定角； ② 主法向量与一固定方向成固定角；③ 副法向量与一固定方向成固定角； ④ 曲率与挠率之比为常数.13．若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题 不正确.① 曲线的主法线与固定方向垂直； ② 曲线的副法线与固定方向成定角；③ 曲线的副法线与固定方向垂直； ④ 曲线的曲率与挠率之比为常数.1．向量函数()r r t = 具有固定长度，则()()r t r t '= .2．非零向量()r t 对任意t 有则()()0r t r t '⨯= 的充要条件是 .3．非零向量函数()r r t = 具有固定方向，则()()r t r t '⨯= .4．非零向量()r t 平行于固定平面的充要条件是 .5． 函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模().' r t6．向量{cos ,sin ,}t r t t e λ= 具有固定长度，则λ= .7．向量{,3,}r t t a = 具有固定方向，则a = .8．非零向量()r t 满足(,,)0r r r '''= ，其充要条件是()r t .9．对光滑曲线()r r t = ，它上面使 的点叫做曲面的正常点.10．曲线()r r t =的点都是 时，称该曲线为正则曲线. 11．向量函数r a tb =+ （其中,a b 为常向量，0b ≠ ）表示的曲线是 .12．圆柱螺线 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在3t=π处的切向量是 . 13．圆柱螺线 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在6t=π处的法面方程是 .14．光滑曲线()r r t = 上从点()r a 到()(0)r t t >的弧长()t σ= . 15．设曲线(),r r s = s 是曲线的自然参数，则()rs = . 16．过空间曲线上一点P 的切线和P 的邻近一点Q 作一平面σ， 当点Q 沿曲线趋于P 时，平面σ的极限位置平面π称为曲线在P 点的 .17．P (s )是2C 类曲线(C )：()r r s = 上一点，（s 为其自然参数），则||r r 是曲线(C )在P (s )的 向量. 18．挠率是零的曲线一定是 曲线.19．已知,a b 是非零常向量，则曲线r a tb =+ 的曲率k = .20．曲线的挠率0,τ=则该曲线的基本向量中， 是常向量.21．半径为R 的圆的曲率k = .22．半径为R 的圆的挠率τ= .23．在曲线上一点附近，曲线穿过在该点的法平面和 平面，但从不穿过该点的 平面.24．曲线的的主法向量β 总是指向曲线 方向.25．如果曲线是一般螺线，则这曲线的曲率与挠率之比k τ. 26．如果一曲线是一般螺线，则它的副法线与一固定方向 .27．如果一曲线的切向量与一固定方向成固定角，则曲线的主法线与这一固定方向 .28．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则曲线的副法线与这一固定方向 .1. 求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面和主法线.2. 求圆柱螺线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)处的基本向量,,αβγ 和密切平面、副法线.3. 求曲线{sin ,cos ,}t r t t t t te = 在原点的切线和法平面.4. 求圆柱螺线 {cos ,sin ,}r t t t = 在(0,1,)2π点的切线和法平面.5. 求圆柱螺线3cos ,3sin ,4x a t y a t z at ===从它与xy 平面的交点到任意点的弧长.6. 求曲线323,x a y = 22xz a =在平面3a y =与9y a =之间的弧长. 7. 求曲线23(){,,}23t t r t t = 的曲率和挠率. 8．求圆柱螺线{cos ,sin ,}r t t t = 的曲率和挠率.9．证明曲线2213222512x=+t+t ,y=-t+t ,z t =-为平面曲线，并求出它所在的平面方程.10．证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这条曲线是直线或平面曲线.11. 设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线副法线也分别平行.挠曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的副法线平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.12. 设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线成固定角副法线也成固定角.13. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线.14. 如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线. 15. 证明一条曲线()r r s = 是一般螺线的充要条件是(,,)0.r rr =16. 证明一条曲线的所有切线不可能都是另一条曲线的切线.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e为常向量，（因为)(t e的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r= ' （e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r×'r =2 （e ×'e）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。
当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n为常向量，且)(t r ·n = 0 。
两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r）=0 。
反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。
若r ×'r =0，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'r，则存在数量函数)(t 、)(t ，使''r = r r+ 'r ①令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。
对n =r ×'r求微商并将①式代入得'n =r ×''r = （r r ×'r）= n ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z=t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0 t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 111z y x ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2000ct bt a t r ，切线为230020032ct ct z bt bt y a at x ， 法平面为 0)(3)(2)(30202000 ct z ct bt y bt at x a 。
3. 证明圆柱螺线r r={ a cos ,a sin , b } ( )的切线和z 轴作固定角。
证明 'r= {-a sin ,a cos ,b },设切线与z 轴夹角为 ,则 cos=22||||'ba be r k r 为常数，故 为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。
4. 求悬链线r r ={t ，a t a cosh }（- t ）从t =0起计算的弧长。
解'r = {1，atsinh }，|'r | =at 2sinh 1 = a tcosh ， ｓ＝a ttata dt sinh cosh。
９．求曲线2232,3a xz y a x 在平面3ay 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{223xa a x x ，曲面与两平面3a y 与y = 9a 的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222xa ax ，｜'r ｜＝444441x a a x ＝22222xa a x ，所求弧长为a dx xa a x s aa9)2(22322。
10. 将圆柱螺线r r={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。
解 'r= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220|'| ，所以22ba s t，代入原方程得 r r={a cos22ba s , a sin22ba s ,22ba bs }11.求用极坐标方程)( 给出的曲线的弧长表达式。
解 由 cos )( x ， sin )( y 知'r={)('cos -sin )(，)(' sin + cos )(}，|'r| = )(')(22 ，从0 到 的曲线的弧长是s=)(')(22 d 。
§4 空间曲线1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。
解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为sin cos cos sin sin cos ta ta b t a t a bt z t a y t a x = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .2. 求曲线r r= { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , 'r(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0} t ={0,1,1}，)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0} t ={2,0,2} ，所以切线方程是110zy x ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zy x=0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是 00z y z y x 即112zy x； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111 zy x 。
3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 的主法线和z 轴垂直相交。
证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r ⊥''r 知''r为主法线的方向向量，而''r 0 k所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是与z 轴有公共点(o,o,bt)。
故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。
4.在曲线x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 'r = {-cos sint, cos cost, sin } , ''r={ -cos cost,- cos sint ,0 }|'''|'''r r r r{sin sint ,- sin cost , cos }新曲线的方程为r r={ cos cost + sin sint ，cos sint- sin cost ，tsin + cos }对于新曲线'r={-cos sint+ sin cost ，cos cost+ sin sint ，sin }={sin( -t), cos( -t), sin } , ''r={ -cos( -t), sin( -t),0} ,其密切平面的方程是即 sin sin(t- ) x –sin cos(t- ) y + z – tsin – cos = 0 .5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
证 方法一：设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r具有固定长，所以r r ·'r= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r r ·'r= 0，)(t r 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：()r r t r r是球面曲线 存在定点0r r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半径）使220()r r R r r 02()0r r r r r r ，即0()0r r r r r r（﹡）而过曲线()r r t r r上任一点的法平面方程为()0r r r r r 。
可知法平面过球面中心（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
6.证明过原点平行于圆柱螺线r r={a t cos ，a t sin ，b t }的副法线的直线轨迹是锥面2222)(bz y x a .证 'r={ -a tsin ,a t cos , }, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，'r×''r=},cos ,sin {a t b t b a 为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是az t b y t b x cos sin ，消去参数t 得2222)(bz y x a 。