东南大学传热学课件第四章导热问题数值解法2剖析
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第4章-导热问题的数值解法PPT
∴ x = 0.6 × = 0.88 m 4aτ = 0.6 × 4 × 1.38 × 10 − 7 × 45 × 24 × 3600 m
一维非稳态导热
Bi≤0.1
集中参数法
0.06<Fo<0.2
一维非稳态导热完 全级数解
Bi>0.1
物体形状比 较简单
正规状况阶段的简化 解法 物体形状比较 Fo<0.06 复杂？ 复杂？ 半无限大物体
λ 43 .3 a = = m 2 / s = 1.18 × 10 − 5 m 2 / s ρc 7790 × 470
τ =
Fo(V / A )2
a
27 .51 × (0.039 )2 = s = 0.98h −5 1.18 × 10
例题3 例题 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。考虑埋管 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下， 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下，埋管 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 以输送工业及民用水的埋管为例， 以输送工业及民用水的埋管为例，埋管处的温度不 能低于0° 。设某地冬天的地表温度为10° ， 能低于 °C。设某地冬天的地表温度为 °C，后 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15° ， 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到 °C，并维 天不变， 持45天不变，试确定此种条件下，45天后地面下温 天不变 试确定此种条件下， 天后地面下温 度为0° 的位置 土壤的物性取c=1840J/(kg·k), 的位置。 度为 °C的位置。土壤的物性取 λ=0.52 W/(m·K), ρ=2050kg/m3. 解： 采用第一类边界条件下半无限大物体的非稳态 导热模型，物性参数为常数。 导热模型，物性参数为常数。
一维非稳态导热
Bi≤0.1
集中参数法
0.06<Fo<0.2
一维非稳态导热完 全级数解
Bi>0.1
物体形状比 较简单
正规状况阶段的简化 解法 物体形状比较 Fo<0.06 复杂？ 复杂？ 半无限大物体
λ 43 .3 a = = m 2 / s = 1.18 × 10 − 5 m 2 / s ρc 7790 × 470
τ =
Fo(V / A )2
a
27 .51 × (0.039 )2 = s = 0.98h −5 1.18 × 10
例题3 例题 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。考虑埋管 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下， 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下，埋管 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 以输送工业及民用水的埋管为例， 以输送工业及民用水的埋管为例，埋管处的温度不 能低于0° 。设某地冬天的地表温度为10° ， 能低于 °C。设某地冬天的地表温度为 °C，后 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15° ， 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到 °C，并维 天不变， 持45天不变，试确定此种条件下，45天后地面下温 天不变 试确定此种条件下， 天后地面下温 度为0° 的位置 土壤的物性取c=1840J/(kg·k), 的位置。 度为 °C的位置。土壤的物性取 λ=0.52 W/(m·K), ρ=2050kg/m3. 解： 采用第一类边界条件下半无限大物体的非稳态 导热模型，物性参数为常数。 导热模型，物性参数为常数。
传热学课件第4章剖析
(1)理论分析法； (2)数值计算法； (3)实验法
4.1 导热问题数值求解的基本思想
一.数值解法的基本概念
1.实质： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如
导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来 代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代 数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
二. 热平衡法
tm-1,n (m-1,n)
tm,n
tm+1,n
(m,n) (m+1,n)
左
y
dt dx
y tm1,n tm,n
x
右
y tm1,n tm,n
x
上
x tm,n1 tm,n
y
下
x tm,n1 tm,n
y
内热源：Φv Φ V Φ xy
二. 热平衡法
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
t(k1) 2
1 a22
b2
a t (k 1) 21 1
......
a2ntn(k )
............................................................
t(k1) n
1 ann
bn
a t (k 1) n1 1
a t (k 1) n2 2
n
t
i＋1
n1
τ
x 2
x
y 2
tm1,n tm,n x
y 2 qw
x tm,n1 tm,n
y
x 2
tm,n1 tm,n y
x 2
qw
Φ m,n
3xy 4
0
y x
若x y
qw
1
4.1 导热问题数值求解的基本思想
一.数值解法的基本概念
1.实质： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如
导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来 代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代 数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
二. 热平衡法
tm-1,n (m-1,n)
tm,n
tm+1,n
(m,n) (m+1,n)
左
y
dt dx
y tm1,n tm,n
x
右
y tm1,n tm,n
x
上
x tm,n1 tm,n
y
下
x tm,n1 tm,n
y
内热源：Φv Φ V Φ xy
二. 热平衡法
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
t(k1) 2
1 a22
b2
a t (k 1) 21 1
......
a2ntn(k )
............................................................
t(k1) n
1 ann
bn
a t (k 1) n1 1
a t (k 1) n2 2
n
t
i＋1
n1
τ
x 2
x
y 2
tm1,n tm,n x
y 2 qw
x tm,n1 tm,n
y
x 2
tm,n1 tm,n y
x 2
qw
Φ m,n
3xy 4
0
y x
若x y
qw
1
《传热学》教学课件—第4章 导热问题数值解法基础
基本泰勒 展开式
一阶导数
t i 1,
j
ti,
j
t x
i,
j
x
2t x 2
i, j
x 2
2!
3t x 3
i, j
x 3
3!
t i 1,
j
ti,
j
t x
i,
j
x
2t x 2
i, j
x 2
2!
3t x 3
i,
j
x 3
3!
二阶导数中心差分
向前 差分
向后 差分
中心 差分
t x
i, j
F
o
a
x2
稳定性条件 14Fo0
11
隐式格式
tin1,j tin,j y tin1,j tin,j y tin,j1 tin,j x tin,j1 tin,j x
x
x
y
y
c x y tin,j tin,j1
或 xy 时：
14Fotin,j Fo tin1,j tin1,j tin,j1tin,j1 tin,j1
ti1, j ti, j
x
Ox
2t x 2
i, j
ti1, j
ti1, j
x 2
2ti, j
O
x 2
t x
i, j
ti, j
ti1, j
x
Ox
同理，y方向二阶导数中心差分
t x
i, j
ti1, j ti1, j
2x
O
x 2
2t y 2
i, j
ti, j1 ti, j1
tin,j1 Fo 2tin1,j tin,j1tin,j12Bit f 14Fo2BiFotin,j
传热学第4章ppt课件
2
（3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络 线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区 域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子区域 的温度； （4）建立节点温度代数方程组； （5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温 度值； （6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则 修正上述步骤，重复进行计算，直到满意为止。 目前常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元 法、边界元法等。其中有限差分法比较成熟，应用广 泛。下面主要介绍有限差分法的基本原理。
2 t t 2 t t m 1 , n m 1 , n m , n 2 2 xm ( Δ) x , n
中心差分格式
5
同样可得y方向得二阶偏导数
ห้องสมุดไป่ตู้
对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为
t t 2 t t m ,n 1 m ,n 1 m ,n 2 2 ym ( Δ) y , n
取x = y，得
2) 热平衡法 根据节点所代表的元体在导热过程中的能量守恒来 建立节点温度差分方程。 (1) 内部节点温度差分方程 对于无内热源的二维稳态导热， 内部节点( m,n )所代表的元体在导 热过程中的热平衡
0 w e s n
t t t t m 1 , n m , n m 1 , n m , n y y x x t t t t m , n 1 m , n m , n 1 m , n 选择x=y x x 0 y y 7
传热学第4章
数值解法：
有限差分法（finite-difference）
有限元法(finite-element) 边界元法（boundary-element） 分子动力学模拟（MD）
（3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络 线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区 域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子区域 的温度； （4）建立节点温度代数方程组； （5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温 度值； （6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则 修正上述步骤，重复进行计算，直到满意为止。 目前常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元 法、边界元法等。其中有限差分法比较成熟，应用广 泛。下面主要介绍有限差分法的基本原理。
2 t t 2 t t m 1 , n m 1 , n m , n 2 2 xm ( Δ) x , n
中心差分格式
5
同样可得y方向得二阶偏导数
ห้องสมุดไป่ตู้
对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为
t t 2 t t m ,n 1 m ,n 1 m ,n 2 2 ym ( Δ) y , n
取x = y，得
2) 热平衡法 根据节点所代表的元体在导热过程中的能量守恒来 建立节点温度差分方程。 (1) 内部节点温度差分方程 对于无内热源的二维稳态导热， 内部节点( m,n )所代表的元体在导 热过程中的热平衡
0 w e s n
t t t t m 1 , n m , n m 1 , n m , n y y x x t t t t m , n 1 m , n m , n 1 m , n 选择x=y x x 0 y y 7
传热学第4章
数值解法：
有限差分法（finite-difference）
有限元法(finite-element) 边界元法（boundary-element） 分子动力学模拟（MD）
传热学60-第四章 导热问题的数值解法
B (i,j 1)
第四章 导热问题的数值解法 9
根据傅里叶定律， L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
T (i,j 1)
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
tik 1 tik
的一阶导数采用向前差分，则
tik 1 2tik tik 1 a x 2
第四章 导热问题的数值解法 28
上式移项整理 k k 1 k k ti a ( t i 1 t i 1 ) ( 1 2 a )ti 2 2 x x
x
y 1 y 1 x 1 x 1
(i 1,j )
(i 1,j )
L
R
x
Z方向取单位长度 (i,j 1) B
y
y
第四章 导热问题的数值解法
10
若有内热源， v ,i , j 为P节点所在网格单元的内热源强度
则内热源发热量
在稳态导热下：
v , p v ,i , j x y 1
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
第四章 导热问题的数值解法
19
不规则区域的处理
用阶梯形的折线来模拟真实边界
t2
t1
t2
t2
t2
t2
第四章 导热问题的数值解法 20
第四章 导热问题的数值解法
17
3.
内部角点
内部角点
P(i ,j ) ti ,j
东南大学传热学课件第四章导热问题数值解法2
显式差分格式稳定性分析
由内部节点差分方程可见，在节点n上，i+1时刻 的温度是在该点i 时刻温度的基础上考虑了左右相 邻两点温度的影响后得出的。现在，假设相邻两 点的温度不变，那么合理的情况是:i时刻节点n的 温度越高，则其相继时刻（i+1时刻）的温度也越 高；反之，i时刻节点n的温度越低，则其相继时 刻的温度也越低。所以，在差分方程中要满足这 i 1 i t 种合理性的条件，则差分方程中 n 与 tn 前面的系 i 1 数必须保持同方向变化。由于 tn 的系数大于零， i 因此 tn 前面的系数也必须大于零 。
h, t f
h, t f
2
x
控制方程
解：由于问题的对称性，只要研究一半即可，此时，该问 题的控制方程为
t 2t a 2 0 x , 0 x t x,0 t0 0 x t x, 0 x x 0 t x, h t x , t x x
ydy
m,n+1
m+1,n
y y x x
左侧面导入元体的热量 右侧面导入元体的热量
i i tm t 1, n m,n
i i tm t 1, n m,n
m-1,n
m,n
x
m,n-1
区域离散化
• 将所研究平板的一半N等分， 共有N+1个节点，其中节 点1在平板中心截面上，节 点N在平板右侧面上，如图 所示 • 两个节点之间的距离为 x • 节点-1与节点2换热情况对 称，固有相同的温度 • 时间步长取
-1
n=1 2
3
N-1
N
四章导热问题的数值解法-PPT文档资料
fi 2 fi1 h2
fi 2
二 阶 导 数 向 后 差 分 ： f i
fi2 2 fi1 h2
fi
二 阶 导 数 中 心 差 分 ： f i
fi1 2 fi h2
fi1
式中：
f i
df dx
i
fi
d2 f dx 2
i
图4-2 有限差分表达 式的几何意义
• 解此代数方程组，得到节点上温度的近似值
2、函数 f（x）在点 x 的导数的有限差分表达式：
函数f (x)在点 x 0 的泰勒级数展开形式为：
f( x ) f( x 0 ) ( x x 0 )f( x 0 ) ( x 2 ! x 0 ) 2f( x 0 ) ( x 3 ! x 0 ) 3 f( x 0 )
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f(x)f(xh)f(x)
h
一阶导数向后差分： f(x)f(x)f(xh) h
一阶导数中心差分：
f(x)f(xh)f(xh) 2h
二阶导数向前差分： f(x)f(x)f(xh 22 h)2f(xh)
二阶导数向后差分： f(x)f(x)f(xh 22 h)2f(xh) 二阶导数中心差分： f(x)f(xh)f(hx2h)2f(x)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f(x)f(x )f(x 2 h ) 2f(x h ) O (h 2) h 2
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f(x )f(x h )f( h x 2 h ) 2f(x ) O (h 3 ) (j)
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h 2 及 h 3 以上各项得一阶、二阶
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体
传热学课件：第四章 数值解法
（2）高斯—赛德尔迭代法
①选初值；
②一次次的直接计算t1，t2，…，tn ，注意计算tn 时， tn前面的温度全部用新值代替。如知道t1后， 求t2时，用t1代替原设的初值。
例题：有一正方形截面，边界长为1m，边 界上的温度已知，求t1，t2，t3，t4。
解（1）列节点方程式
100℃
500℃
12
3 4 100℃
100℃
迭代法
n
t1
t2
t3
t4
0
300
300
200
200
1
275 268.75 168.75 159.38
2 259.38 254.69 154.69 152.35
3 252.35 251.26 151.18 150.61
4 250.61 250.31 150.31 150.15
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。
由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
2. 间接法（迭代法）经过有限次的迭代，求出近似解， 对于计算机来说，存储量较少。
松弛法（余数调节法）
高斯—赛德尔迭代法
（1）松弛法 ①设初值； ②求R1，R2，…，Rn，找Rmax；(余数) ③如设R4为最大，改变t4，使R4 ≈0，t4=t4+R4/4： ④重新计算有关节点的余数；
⑤重复步骤③ ④ ，直到全部余数为零。
传热学-第4章-热传导问题的数值解珐
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( 2 t m −1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 + 4 ∆2 x Φ m , n
λ
+
2 ∆ xq w
λ
)
2. 外部角点 控制容积的热平衡为： 控制容积的热平衡为：
∆y tm−1,n − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y ∆x + ∆y λ +λ + Φ m, n + qw = 0 ∆x 2 2 ∆y 4 2
4. 边界热流密度的三种情况
q （1）绝热边界： w = 0 ）绝热边界：
（2） qw 值不为零：代入给定的 qw 值。 ） 值不为零： （3）对流边界：qw = h(t f ）对流边界： 平直边界节点： 平直边界节点：
2( h∆x
− t m n = 2 t m − 1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 +
第一类边界条件 — 边界温度已知 m-1,n 第二类边界条件 需建立边界节点温度 ∆y 第三类边界条件 的差分方程 n 1. 位于平直边界上的节点
λ∆y
tm−1,n − tm,n ∆x +λ
m m,n+1
qw
m,n m,n-1
∆x
∆x tm,n+1 − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y +λ + Φm,n + ∆yqw = 0 2 ∆y 2 ∆y 2
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( t m −1 , n + t m , n −1 + 2
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
1. 节点离散方程的建立：
(1)内部节点
相邻节点导入控制单元体的热流量= 单元体内能量增量
i-1
i
i+1
A ti( k 1 ) ti(k )A ti( k 1 ) ti(k )c x A ti(k 1 ) ti(k )
x
x
整理，得：
x
x
ti(k 1 )[12 ( a x )2]ti(k)(a x)2[ti( k1 )ti( k1 )]
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x —第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
2.节点方程组的求解： 步骤：
1）选择坐标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性 条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2,3,...... 时刻各节点的温度，直到指定
例 如 t03 t1 3， 但 t0 4<t1 4。
i0 1 2 3 4 5 6 7
t
n
0
100 100 100 100 60
148 -109.6 550
1
100 100 100 80
104 19.2 220.2 -328.9
2
100 100 80
84
东南大学传热学课件(导热部分总结)页PPT文档
采用方案（2）时，每米管长 的散热损失为
比较两种情况下的散热损失， 可知从减少散热的观点看， 方案（1）较方案（2）好， 即保温性能好的材料放在里 边时散热损失小。
t
q
l1
1
ln
d 2
1
ln
d 3
2 d 2 d
a
1
b
2
t
t
1
2
1 0.04
ln
60 30
1 0.1
ln
柱坐标系
t 2t 1t 12t 2t
ar2rrr22z2c
球坐标系 t a 1 r 2 ( r r 2 t) r 2 s 1 in s in t r 2 s i 1 n 2 2 t2 c
了解非稳态导热过程的特点，掌握常物性第三类边界条件下无限 大平壁内非稳态温度场的计算方法，理解傅里叶数的定义，理解 非稳态导热过程中的正规状况；了解非稳态导热的诺谟图及平壁 内温度分布与毕渥数的关系。
掌握分析非稳态导热的集总参数法，掌握集总参数法计算非稳态 导热过程，理解时间常数的概念，了解集总参数法在工程中的应 用。
例题的解
解：根据要求将问题离散，并给节点
标号；
用热平衡的方法建立各节点的节
0
1
2
3
点方程式；
节点1
t 0 t 1 iA t 2 i t 1 iA htA ti A x t 1 i 1 c t 1 i
x
x
Lf 1
节点2
t 1 i t 2 iA t 3 i t 2 iA htA ti A x t 2 i 1 c t 2 i
比较两种情况下的散热损失， 可知从减少散热的观点看， 方案（1）较方案（2）好， 即保温性能好的材料放在里 边时散热损失小。
t
q
l1
1
ln
d 2
1
ln
d 3
2 d 2 d
a
1
b
2
t
t
1
2
1 0.04
ln
60 30
1 0.1
ln
柱坐标系
t 2t 1t 12t 2t
ar2rrr22z2c
球坐标系 t a 1 r 2 ( r r 2 t) r 2 s 1 in s in t r 2 s i 1 n 2 2 t2 c
了解非稳态导热过程的特点，掌握常物性第三类边界条件下无限 大平壁内非稳态温度场的计算方法，理解傅里叶数的定义，理解 非稳态导热过程中的正规状况；了解非稳态导热的诺谟图及平壁 内温度分布与毕渥数的关系。
掌握分析非稳态导热的集总参数法，掌握集总参数法计算非稳态 导热过程，理解时间常数的概念，了解集总参数法在工程中的应 用。
例题的解
解：根据要求将问题离散，并给节点
标号；
用热平衡的方法建立各节点的节
0
1
2
3
点方程式；
节点1
t 0 t 1 iA t 2 i t 1 iA htA ti A x t 1 i 1 c t 1 i
x
x
Lf 1
节点2
t 1 i t 2 iA t 3 i t 2 iA htA ti A x t 2 i 1 c t 2 i
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
36
n=N
w (m-1,n)
(m,n+1)
n e (m+1,n)
s (m,n)
(m,n-1)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
37
而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其 优越性； b. 与实验法相比成本低 数值解法： 有限差分法（finite-difference）、
有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
局限性： 简单几何形状及边界条件
稳态问题：直接积分法 非稳态问题：分离变量法 解析解（analytical solution）
工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上 的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依 据，不能解决实际问题。
Monday, March 30, 2020
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
16
1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
qw
(m,n+1)
(m-1,n)
(m,n)
(m,n-1)
qw
y x
Monday, March 30, 2020
17
(2) 内部角点
qw
(m-1,n)
(m,n+1) (m,n)
4
(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法： a 偏向于机理研究； b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、
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1
2
3
4
5
6
7
100
100
100
100
60
148
-109.6
550
1
100
100
100
80
104
19.2
220.2
-328.9
2
100
100
80
84
63.2
91.4
0.9
220
3
100
80
64
67.2
50.6
73.1
0.72
176
对计算结果的说明
从上表可以看出，从 i 3 这一时刻起出现了这样 的情况：各点温度随时间作忽高忽低的波动，并 且波动幅度越来越大；某点温度越高反而使相继 时刻的温度越低。这种现象是违背热力学第二定 律的。因为这意味着，在该时间间隔中，从某一 时刻起热量将自动地由低温向高温传递。数值计 算中出现的这种计算结果忽高忽低的波动现象， 数学上称为不稳定性。这个例题表明，在数值计 算中避免出现不稳定性是十分重要的。
i n1 i n1 i n
tn
i 1
n 1,2,3 , N 1
tN
i 1
t N 1 2Fo Bi 2Fo 2Fot N 1 2Fo Bit f
i i
t2 t1
i
i
方程组的求解
• 利用上述方程组，从初始温度 t 0 出发，即可依次 求得第二时间层、第三时间层直到 I 时间层上的 温度分布。至于空间步长 及时间步长 x 的选取， 原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但 是需要的计算机内存及计算时间则大大增加。此 与 x 的关系还受到显式差分格式稳定性的 外， 影响。 • 下面，我们从离散方程的结构来分析，说明稳定 性限制的物理意义，再通过数值计算实例予以说 明。
i
i
i
• 化简结果 t n
i 1
x
2
t
n 1
i
t n1
i
2 1 2 x
i t n
一维非稳态导热内节点方程的建立
• 控制方程
t
n ,i
t 2 x
2
n ,i
• 差分方程
tn
i 1
h, t f
h, t f
2
x
控制方程
解：由于问题的对称性，只要研究一半即可，此时，该问 题的控制方程为
t 2t a 2 0 x , 0 x t x,0 t0 0 x t x, 0 x x 0 t x, h t x , t x x
区域离散化
• 将所研究平板的一半N等分， 共有N+1个节点，其中节 点1在平板中心截面上，节 点N在平板右侧面上，如图 所示 • 两个节点之间的距离为 x • 节点-1与节点2换热情况对 称，固有相同的温度 • 时间步长取
-1
n=1 2
3
N-1
N
x
差分方程
上述问题的差分方程为
Fo t t 1 2Fo t
i n1 i n1 i n
tn
i 1
n 1,2,3
tN
i 1
t N 1 2Fo Bi 2Fo 2Fot N 1 2Fo Bit f
i i
N 4, N 1 3
t2 t1
i
i
计算结果
t n
0
i
0
显式差分格式稳定性分析
由内部节点差分方程可见，在节点n上，i+1时刻 的温度是在该点i 时刻温度的基础上考虑了左右相 邻两点温度的影响后得出的。现在，假设相邻两 点的温度不变，那么合理的情况是:i时刻节点n的 温度越高，则其相继时刻（i+1时刻）的温度也越 高；反之，i时刻节点n的温度越低，则其相继时 刻的温度也越低。所以，在差分方程中要满足这 i 1 i t 种合理性的条件，则差分方程中 n 与 tn 前面的系 i 1 数必须保持同方向变化。由于 tn 的系数大于零， i 因此 tn 前面的系数也必须大于零 。
N-2
N-1
N
x
无限大平板换热边界上节点方程的推导
• 从左侧面进入元体的热量 • 从右侧面进入元体的热量
i i tN t x 1 N x
xdx h t f t N
i
i 1 i tN x t N • 元体自身热力学能的改变量 E c 2
x
• x为空间坐标，将计算区域划分 为（N-1）等份，得到N个空间 节点；两节点之间的距离为x 称为空间步长； • τ为时间坐标，将时间坐标上的 计算区域划分为（i-1）等份， 得到 i 个时间节点。 • 从一个时间层到下一个时间层 的间隔为Δτ，称为时间步长。 • 空间网格与时间网格的交点， 如（n,i），代表了时间—空间 区域中一个节点的位置，相应 的温度记为t i 。
其温度分布。取 Fo 1。 • 解：区域离散化，取 x 0.01m • 则 Bi hx 1000 0.01 0.25
40
• 采用如图所示的离散方法，计算结果列于下表
计算区域离散图
n=1 2 3 4
0.01
0.01
0.01
x
差分方程
上述问题的差分方程为
Fo t t 1 2Fo t
tn t n 1 t n 1 2t n 2 x
i
i 1
i 1
i 1
两种差分格式的比较
• 显式差分格式
i 1 i i i i tn tn tn t 2 t 1 n 1 n x 2
• 隐式差分格式
O 可略而不计，此时非稳态项的差分格 • 当 足够小时， 式可表示为 i 1 i tn tn t n,i
非稳态项的三种差分格式
• 向前差分
i 1 i t t t n n
• 向后差分
t t n t n
第三节 非稳态导热问题的数值解
非稳态导热与稳态导热的主要区别在于控 制方程中多了一个非稳态项，而扩散项的 离散方法与稳态导热是一样的。因此，本 节将重点讨论非稳态项的离散方法以及扩 散项离散时所取时间层的不同对计算带来 的影响。
一维非稳态导热问题的离散
τ
n,i+1 n-1,i n,i n,i-1 n+1,i
建立非稳态导热问题 节点方程的热平衡法
• 将研究区域离散化
• 对各节点所代表的元体建立能量平衡关系式
• 对非稳态导热问题该能量平衡关系式为 从各个方向进入元体的热量之和等于该元体热力 学能的变化量
• 整理化简，得到各节点的差分方程
无限大平板换热边界上节点方程的建立
• 左图示出了一无限大 平板的右侧面的一部 分，其右侧面受到周 围流体的冷却，表面 传热系数为h，流体温 度为 t f • 边界节点为N • 节点N 代表宽度为x / 2 的元体
显式差分格式稳定性条件
• 内节点差分方程稳定性条件
1 1 2Fo 0 Fo 2 x 2
• 一维非稳态导热，换热边界上节点差分方 程稳定性条件
1 2Fo Bi 2Fo 0
1 Fo 2Bi 1
具体计算实例
• 题目：厚 2
0.06 m 的无限大平板受对称的冷却， 初始温度 t0 100℃。在初始瞬间，平板突然被置 于温度 t 0℃的流体中。已知平板的导热系 数 40W/m K, h 1000W/m2K。试用数值法求解
2h cx
h hx hx Fo Bi 2 2 cx c x x
• 定义 Fo • 定义 Bi
x 2
称为网格傅立叶数
hx
称为网格毕渥数
• 差分方程可演化为
i 1 i i 1 2Fo Bi 2Fo 2FotN tN tN 1 2Fo Bit f
一维非问题导热问题的差分方程
• 内节点差分方程
tn
i 1
Fo tn1 tn1 1 2Fo tn
i i
i
• 换热边界上的差分方程
tN
i 1
t N 1 2Fo Bi 2Fo 2Fot N 1 2Fo Bit f
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 tm t 2 t t t 2 t 1, n m 1, n m,n m , n 1 m , n 1 m,n 2 2 x y
二维非稳态导热内节点的差分方程
i
i 1
• 向中心差分
t
n ,i
i 1 i 1 tn tn 2
一维非稳态导热内节点方程的建立
• 控制方程 t
n ,i
2t 2 x
i
n ,i
• 差分方程
tn
i 1
tn t n 1 t n 1 2t n x 2
i i
• 上述方程都是用显式差分格式表示的
数值解求解一维非稳态导热的实例
物理模型：设有一块 厚度为2 的无限大平 壁，初始温度为 t 0 。 在初始瞬间将它放置 于温度为 t f 的流体中， 流体与板面间的表面 传热系数h为常数。试 用数值解法确定在非 稳态导热过程中板内 的温度分布。
ydy
m,n+1
m+1,n
y y x x
左侧面导入元体的热量 右侧面导入元体的热量