东南大学传热学课件第四章导热问题数值解法2剖析

N-2
N-1
N
x
无限大平板换热边界上节点方程的推导
• 从左侧面进入元体的热量 • 从右侧面进入元体的热量
i i tN t x 1 N x
xdx h t f t N

i

i 1 i tN x t N • 元体自身热力学能的改变量 E c 2
i i
• 上述方程都是用显式差分格式表示的
数值解求解一维非稳态导热的实例
物理模型：设有一块 厚度为2 的无限大平 壁，初始温度为 t 0 。 在初始瞬间将它放置 于温度为 t f 的流体中， 流体与板面间的表面 传热系数h为常数。试 用数值解法确定在非 稳态导热过程中板内 的温度分布。
i
i
i
• 化简结果 t n
i 1


x
2
t
n 1
i
t n1
i

2 1 2 x
i t n
一维非稳态导热内节点方程的建立
• 控制方程
t
n ,i
t 2 x
2
n ,i
• 差分方程
tn
i 1
建立非稳态导热问题 节点方程的热平衡法
• 将研究区域离散化
• 对各节点所代表的元体建立能量平衡关系式
• 对非稳态导热问题该能量平衡关系式为 从各个方向进入元体的热量之和等于该元体热力 学能的变化量
• 整理化简，得到各节点的差分方程
无限大平板换热边界上节点方程的建立
• 左图示出了一无限大 平板的右侧面的一部 分，其右侧面受到周 围流体的冷却，表面 传热系数为h，流体温 度为 t f • 边界节点为N • 节点N 代表宽度为x / 2 的元体
i
i 1
• 向中心差分
t
n ,i
i 1 i 1 tn tn 2
一维非稳态导热内节点方程的建立
• 控制方程 t
n ,i
2t 2 x
i
n ,i
• 差分方程
tn
i 1
tn t n 1 t n 1 2t n x 2
i n1 i n1 i n
tn
i 1
n 1,2,3
tN
i 1
t N 1 2Fo Bi 2Fo 2Fot N 1 2Fo Bit f
i i
N 4, N 1 3
t2 t1
i
i
计算结果
t n
0
i
0
tn t n 1 t n 1 2t n 2 x
i
i 1
i 1
i 1
两种差分格式的比较
• 显式差分格式
i 1 i i i i tn tn tn t 2 t 1 n 1 n x 2
• 隐式差分格式
O 可略而不计，此时非稳态项的差分格 • 当 足够小时， 式可表示为 i 1 i tn tn t n,i
非稳态项的三种差分格式
• 向前差分
i 1 i t t t n n
• 向后差分
t t n t n
1
2
3
4
5
6
7
100
100
100
100
60
148
-109.6
550
1
100
100
100
80
104
19.2
220.2
-328.9
2
100
100
80
84
63.2
91.4
0.9
220
3
100
80
64
67.2
50.6
73.1
0.72
176
对计算结果的说明
从上表可以看出，从 i 3 这一时刻起出现了这样 的情况：各点温度随时间作忽高忽低的波动，并 且波动幅度越来越大；某点温度越高反而使相继 时刻的温度越低。这种现象是违背热力学第二定 律的。因为这意味着，在该时间间隔中，从某一 时刻起热量将自动地由低温向高温传递。数值计 算中出现的这种计算结果忽高忽低的波动现象， 数学上称为不稳定性。这个例题表明，在数值计 算中避免出现不稳定性是十分重要的。


0.4 0.012

二维非稳态导热内节点差分方程的建立
• 控制方程 • 差分方程
i 1 i tm t ,n m,n
2t 2t t 2 2 x y

i 1 i tm t ,n m,n
i i i i i i tm t 2 t t t 2 t 1, n m 1, n m,n m , n 1 m , n 1 m,n 2 2 x y
显式差分格式稳定性条件
• 内节点差分方程稳定性条件
1 1 Biblioteka Baidu 2Fo 0 Fo 2 x 2

• 一维非稳态导热，换热边界上节点差分方 程稳定性条件
1 2Fo Bi 2Fo 0
1 Fo 2Bi 1
具体计算实例
• 题目：厚 2
0.06 m 的无限大平板受对称的冷却， 初始温度 t0 100℃。在初始瞬间，平板突然被置 于温度 t 0℃的流体中。已知平板的导热系 数 40W/m K, h 1000W/m2K。试用数值法求解
x
• x为空间坐标，将计算区域划分 为（N-1）等份，得到N个空间 节点；两节点之间的距离为x 称为空间步长； • τ为时间坐标，将时间坐标上的 计算区域划分为（i-1）等份， 得到 i 个时间节点。 • 从一个时间层到下一个时间层 的间隔为Δτ，称为时间步长。 • 空间网格与时间网格的交点， 如（n,i），代表了时间—空间 区域中一个节点的位置，相应 的温度记为t i 。
其温度分布。取 Fo 1。 • 解：区域离散化，取 x 0.01m • 则 Bi hx 1000 0.01 0.25


40
• 采用如图所示的离散方法，计算结果列于下表
计算区域离散图
n=1 2 3 4
0.01
0.01
0.01
x
差分方程
上述问题的差分方程为
Fo t t 1 2Fo t
显式差分格式稳定性分析
由内部节点差分方程可见，在节点n上，i+1时刻 的温度是在该点i 时刻温度的基础上考虑了左右相 邻两点温度的影响后得出的。现在，假设相邻两 点的温度不变，那么合理的情况是:i时刻节点n的 温度越高，则其相继时刻（i+1时刻）的温度也越 高；反之，i时刻节点n的温度越低，则其相继时 刻的温度也越低。所以，在差分方程中要满足这 i 1 i t 种合理性的条件，则差分方程中 n 与 tn 前面的系 i 1 数必须保持同方向变化。由于 tn 的系数大于零， i 因此 tn 前面的系数也必须大于零 。
i n1 i n1 i n
tn
i 1
n 1,2,3 , N 1
tN
i 1
t N 1 2Fo Bi 2Fo 2Fot N 1 2Fo Bit f
i i
t2 t1
i
i
方程组的求解
• 利用上述方程组，从初始温度 t 0 出发，即可依次 求得第二时间层、第三时间层直到 I 时间层上的 温度分布。至于空间步长 及时间步长 x 的选取， 原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但 是需要的计算机内存及计算时间则大大增加。此 与 x 的关系还受到显式差分格式稳定性的 外， 影响。 • 下面，我们从离散方程的结构来分析，说明稳定 性限制的物理意义，再通过数值计算实例予以说 明。
tn
i 1
tn t n 1 t n 1 2t n x 2
i
i 1
i 1
i 1
两种差分格式的区别
• 格式的形式不同
• 计算工作量不同 显式格式计算工作量小，隐式格式计算工作量大 • 限制条件不同 显式格式对时间步长和空间步长有相互制约的要 求，但隐式格式对时间步长及空间步长之间的关 系没有任何要求。
出现解的不稳定性的原因
• 不满足解的收敛条件 • 根据内节点的收敛条件 Fo 1 / 2 0.5 • 根据换热边界节点的收敛条件
1 1 Fo 1 / 2.5 0.4 2Bi 1 20.25 1
• 所以此时最达的时间间隔应为
Fo minx 2
• 根据能量守恒定律 x xdx E
2h 2 i 1 i • 整理后得到 t N tN 1 cx x 2
2 i 2h x 2 t N 1 cx t f
差分方程的进一步演化
• 考察方程中的
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 tm t 2 t t t 2 t 1, n m 1, n m,n m , n 1 m , n 1 m,n 2 2 x y

二维非稳态导热内节点的差分方程
2h cx
h hx hx Fo Bi 2 2 cx c x x
• 定义 Fo • 定义 Bi

x 2
称为网格傅立叶数
hx

称为网格毕渥数
• 差分方程可演化为
i 1 i i 1 2Fo Bi 2Fo 2FotN tN tN 1 2Fo Bit f
n
非稳态项的离散
• 如果将函数t 在节点（n,i+1）对点（n,i）作泰勒展开，可 有 t 2 2t i 1 i t n t n 2 n ,i 2 n ,i
• 于是有 t
n ,i
i 1 i tn tn O
一维非问题导热问题的差分方程
• 内节点差分方程
tn
i 1
Fo tn1 tn1 1 2Fo tn
i i


i
• 换热边界上的差分方程
tN
i 1
t N 1 2Fo Bi 2Fo 2Fot N 1 2Fo Bit f
h, t f
h, t f
2
x
控制方程
解：由于问题的对称性，只要研究一半即可，此时，该问 题的控制方程为
t 2t a 2 0 x , 0 x t x,0 t0 0 x t x, 0 x x 0 t x, h t x , t x x
区域离散化
• 将所研究平板的一半N等分， 共有N+1个节点，其中节 点1在平板中心截面上，节 点N在平板右侧面上，如图 所示 • 两个节点之间的距离为 x • 节点-1与节点2换热情况对 称，固有相同的温度 • 时间步长取
-1
n=1 2
3
N-1
N
x
差分方程
上述问题的差分方程为
Fo t t 1 2Fo t
第三节 非稳态导热问题的数值解
非稳态导热与稳态导热的主要区别在于控 制方程中多了一个非稳态项，而扩散项的 离散方法与稳态导热是一样的。因此，本 节将重点讨论非稳态项的离散方法以及扩 散项离散时所取时间层的不同对计算带来 的影响。
一维非稳态导热问题的离散
τ
n,i+1 n-1,i n,i n,i-1 n+1,i
ydy
m,n+1

m+1,n
y y x x
左侧面导入元体的热量 右侧面导入元体的热量
i i tm t 1, n m,n
i i tm t 1, n m,n
m-1,n
m,n
x
m,n-1