湖南省高一下学期开学数学试卷(重点班)
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷含答案
湖南2023-2024学年度高一第二学期入学考试数学（答案在最后）命题：（考试范围：必修1）时量：120分钟满分：150分得分：______.一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知全集()U {010},{1,3,5,7}U M N x x M N =⋃=∈≤≤⋂=N ∣ð，则集合N =（）A.{}010x x ≤≤∣ B.{}010x x ∈≤≤N∣C.{}0,2,4,6,8,9,10 D.{}0,2,4,6,8,10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】{}{010}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U M N x x =⋃=∈≤≤=N∣，且()U {1,3,5,7}M N ⋂=ð，则集合N 中不包含元素1,3,5,7，即{}0,2,4,6,8,9,10N =.故选：C2.已知R 上的函数()f x ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】取()()1f x x x =-，x ∈R ，则()00f =，但()()10,12f f =-=，即()()11f f -≠-，所以函数()f x 不是奇函数，故充分性不满足；若函数()f x 为奇函数，则()()00f f =--，即()00f =，故必要性满足；所以“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件.故选：B3.为了得到函数cos5xy =的图象，只需把余弦曲线cos y x =上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的15，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数cos y x =图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数1cos 5y x =的图象．故选：A ．4.函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】通过函数的定义域排除D 选项；通过函数的零点、在1x <-，10x -<<，01x <<，1x >四段范围内函数值的正负可排除AB 选项，确定C 选项.【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，故排除D 选项；令()()1ln 0f x x x =-=，即1x =或=1x -，所以函数有两个零点1，1-，当1x <-时，1x ->，则10x -<，()ln ln 0x x =->，则()()1ln 0f x x x =-<，故排除AB 选项；当10x -<<时，1x -<，则10x -<，()ln ln 0x x =-<，则()()1ln 0=->f x x x ；当01x <<时，10x -<，ln ln 0x x =<，则()()1ln 0=->f x x x ；当1x >时，10x ->，ln ln 0x x =>，则()()1ln 0=->f x x x .所以函数()()1ln f x x x =-的图象可能是C 选项.故选：C.5.已知实数a ，b ，满足33(1)(1)2a b a b -+-≥--恒成立，则a b +的最小值为（）A.2B.0C.1D.4【答案】A 【解析】【分析】化简可得33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，再根据函数3y x x =+单调递增判断即可.【详解】33(1)(1)2a b a b -+-≥--，所以33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，因为函数3y x x =+单调递增，所以11a b -≥-，即2a b +≥.故选：A ．6.已知4cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πα<，则sin21cos2αα=+（）A.43 B.34C.34-D.43-【答案】D 【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求sin α的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.【详解】解：∵4cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭且2πα<，所以4sin 5α=-，3cos 5α==所以2sin22sin cos sin 41cos22cos cos 3ααααααα===-+故选：D .7.已知函数())lg f x x =，正实数a ，b 满足()()220f a f b -+=，则2aba b +的最大值为（）A.49B.29C.15D.14【答案】B 【解析】【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出22a b +=，再结合基本不等式计算即可.【详解】易知函数()f x 定义域为R，且)()lg ()lgf x x x⎤-=+-=-⎦)()lgx f x ==-=-，所以)()lgf x x =+为R 上的奇函数，有()()0f x f x -+=，由复合函数的单调性可知()f x 单调递增，由()()220f a f b -+=，得220a b -+=，即22a b +=，因为,a b 为正实数，则有1122ab a b b a=++，而()12222559a b a b b a b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =即23a b ==时等号成立，所以1292b a +≥，则2ab a b +的最大值为29.故选：B.8.已知495ln ,log 3log 17,72425bb c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a >>B.a c b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，由零点存在性定理可得34a <<，49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425bbc+=，72425252525b b cb b b +=，22724724()()()()125252525b b +<+=，∴25125cb <，2525c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则（）A.2c cd <B.a c b d -<-C.ac bd >D.c d a b>【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断BC ，利用作差法，结合不等式的性质判断D .【详解】由0c d >>可得，2c cd <，A 正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，a c b d ->-，B 不正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，ac bd <，C 不正确；因为0a b c d >>>>，所以0,,0ab bc ac c d >>->，所以0,c d bc ad ac ad c d a b ab ab b----=>=>所以c da b>，D 正确；故选：AD.10.已知函数()23xf x a kx =---，给出下列四个结论，其中正确的有（）A.若1a =，则函数()f x 至少有一个零点B.存在实数,a k ，使得函数()f x 无零点C.若0a >，则不存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点D.对任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点【答案】ABD 【解析】【分析】同一坐标系中，作出函数2,3xy a y kx =-=+的图象，结合图象，利用数形结合法求解.【详解】A 中，当1a =时，函数()213x f x kx =---，令()0f x =，可得213xkx -=+，在同一坐标系中作出21,3xy y kx =-=+的图象，如图所示，由图象及直线3y kx =+过定点(0,3)，可得函数()f x 至少一个零点，故A 正确；B 中，当4a =-，0k =时，作出函数24,3xy y =+=的图象，由图象知，函数()f x 没有零点，所以B 正确；C 中，当16,2==-a k 时，在同一坐标系中，作出函数126,32xy y x =-=-+的图象，如图所示，由图象可得，此时函数()f x 有3个零点，所以C 错误；D 中，分别作出当0,0,0a a a =><时，函数2,3xy a y kx =-=+的图象，由图象知，对于任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点，所以D 正确.故选：ABD.11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来表示，函数()f t 的图象如图所示，则（）A.π()3sin5(024)6f t t t =+≤≤B.函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C.当5t =时，水深度达到6.5mD.已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t ，则12πtan 3t t =+【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象的最值求出,A b ，再根据图象得到其周期则得到ω，代入最高点求出ϕ，则得到三角函数解析式，则判断A ，再结合其对称性即可判断B ，代入计算即可判断C ，利用整体法和其对称性即可判断D.【详解】对A ，由图知()max 8f t =，()min 2f t =，()()max min32f t f t A -∴==，()()max min52f t f t b +==，()f t 的最小正周期12T =，2ππ6T ω∴==，()π33sin 582f ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ，()ππ2π22k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()2πk k ϕ=∈Z ，又π2ϕ<，0ϕ∴=，π()3sin 5(024)6f t t t ∴=+≤≤，故A 正确；对B ，令ππ6t k =，()k ∈Z ，解得6t k =，()k ∈Z ，当2k =时，12t =，则(12)3sin 2π55f =+=，则函数()f t 的图象关于点(12,5)对称，故B 错误；对C ，()π3sin55 6.565f ⨯+==，故C 正确；对D ，[]20,6t ∈，则[]0,3t ∈，令(2)(2)0g t f t n =-=，则(2)f t n =，令2t m =，则根据图象知两零点12,m m 关于直线3t =，则126m m +=，即12226t t +=，则123t t +=，则12ππtantan 3t t ==+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】65【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设圆心角的弧度数为α，则120144α=，解得65α=.故答案为：65.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】5-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.14.如图，正方形ABCD 的边长为1,,P Q 分别为边,AB DA 上的点.当APQ △的周长为2时，则PCQ ∠的大小为______.【答案】π4【解析】【分析】设出角,PCB QCD αβ∠=∠=，然后求得,AP AQ ，再根据APQ △的周长求得αβ+，即可得解.【详解】设,PCB QCD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==，则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-，PQ =，21tan 1tan αβ∴=-+-即tan tan αβ+=，将上式两边平方，整理得tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅，即tan()1αβ+=，因为π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ+=，所以π4PCQ ∠=.故答案为：π4.【点睛】关键点点睛：解决该试题的关键是能根据边表示出,PCB QCD αβ∠=∠=，的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合2{|1327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}3x x ≤；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1）{}03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}2R B x x =≤ð，(){}3RB A x x ⋃=≤ð.（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；当C ≠∅时，11100113a aa a a -<+⎧⎪-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩成立.综上所述，1a ≤．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．16.已知函数()πsin cos 44f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若5π122414f θ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.【答案】（1）π（2）1314【解析】【分析】（1）利用恒等变换得到()1πsin 224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解；（2）由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由ππcos cos 66θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解.【小问1详解】解：()π2222sin cos sin cos sin 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222221πsin cos sin2cos2sin 22244424x x x x x x ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期2π2T π==；【小问2详解】由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,663θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 67θ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1113727214⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭.17.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？【答案】（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【解析】【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可；（3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==，当0=t 时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=，所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点；（3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 264t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以00313sin 2sin 2666342428t t ππππ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以，再经过6π分钟后32172142082d --=⨯+=>，所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）已知函数()24()3h x x a a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】18.不是“依赖函数”，理由见解析；19.4112.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可；（2）分类讨论解决函数不等式()()24h x t s t x ≥-+-+恒成立的问题，分离参数265324339s x x⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值问题即可.【小问1详解】对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在1π6x =，而()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.【小问2详解】①若443a ≤≤，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =.从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的t ∈R ，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭对R t ∈恒成立，则2226133Δ4039x x s x ⎡⎤⎛⎫=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，由存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭能成立，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.19.已知e 是自然对数的底数，()e e1xx f x =+．（1）判断函数()f x 在[)0+∞，上的单调性并证明你的判断是正确的；（2）记()(){}ln 3()e1ln 32xg x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明见解析（2）[1,3]【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，可证()()()1212121e e 10e ex x x x f x f x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <，则可判断函数单调性；（2）将()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，转化为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121211e e e e xx x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21e e 1x x >≥，所以12e e 0x x -<，12e e 1x x >，12110e e x x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增.【小问2详解】()ln (3)e 1ln 32xg x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)e 10x a -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即13,e 0,xa a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩因为[0,)x ∈+∞，则1334ex <+≤，所以03a <≤.其次，ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为2(3)e 13e x xa a -+≤,即23e (3)e 10x x a a +--≥成立，亦即()()3e 1e 10xxa +-≥成立,因为3e 10x +>，所以e 10x a -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1e x a ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以1a ≥.。
湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题(含答案)
衡阳市八中2022级高一第二学期开学考试数学考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若{}24xA x =<，{}12B x x =∈-<N ，则A B =（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1D ．{}13x x -<<2．命题“()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +<”的否定是（ ）A ．()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +≥ B ．(),0x ∀∈-∞，2sin 0x x +≥C ．(),0x ∀∈-∞，2sin 0x x +<D ．()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +>3．若a,b,c,d ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若a >b,c >d ，则ac >bd B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若a >b ，则a −c >b −c D ．若a <b <0，则1a<1b4．下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A ．x y x=与1y =B ．321x x y x +=+与y x= C ．211x y x -=-与1y x =+D ．221y x x =-+1y x =-5．把函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ）A ．7πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6．已知a =1log 832，b =π0.01，c =sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．a <c <b7．函数()2x xe ef x x --=的图像大致为（ ） A ．B ．C ． D.8．已知函数f(x)={|2x −1|,x ≤1(x −2)2,x >1，函数()y f x a =-有四个不同的的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4，则（ ） A ．a 的取值范围是(0,12) B ．21x x -的取值范围是(0,1)C ．342x x +=D ．12342212x x x x +=+ 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ）A ．偶函数f(x)的定义域为[2a −1,a ]，则a =13B ．一次函数f(x)满足f(f(x))=4x +3，则函数f(x)的解析式为f(x)=x +1C ．奇函数f(x)在[2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，则2f(−4)+f(−2)=−15D ．若集合A ={x|−ax 2+4x +2=0}中至多有一个元素，则a ≤−2 10．已知函数()sin cos2f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图像关于原点对称 B ．函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 在[]0,π上的值域为91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数()f x 在[],ππ-上有且仅有3个零点11．已知a,b 为正实数，且ab +2a +b =16，则（ ） A ．ab 的最大值为8 B ．2a +b 的最小值为8 C ．a +b 的最小值为6√2−3 D ．1a+1+1b+2的最小值为√2212．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，当[]()20,1,x f x x x ∈=+，则下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 关于直线1x =对称 B ．4是函数()f x 的周期 C ．()()202220230f f += D ．方程ln f xx 恰有4个不同的根三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上） 13．已知θ∈(π2，π),且sin θ=35,则tanθ=______.14．已知幂函数f(x)经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．15．已知函数f(x)=cos(2x −π3)在(0，m)上的值域为(12，1]，则m 的取值范围是_________． 16．已知函数f(x)=3x 3x +1+x 3，且f(m)+f(m +1)>1，则实数m 的取值范围是______.四、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知命题p ：∀x ∈R,ax 2+2x +3≥0；q ：∃x ∈[1,2],使x 2+2x +a ≥0. (1)若命题p 是假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 是假命题，命题q 是真命题，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分） 已知函数()1ln1x f x x +=-． (1)判断函数()f x 在()1+∞，上的单调性，并利用定义证明； (2)解不等式()()2232470f x x f x x +++-+->．19．（本小题满分12分）已知函数2()23cos 2cos 1f x x x x a =-++，a ∈R ，且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求a 的值及函数()f x 的单调递增区间； (2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．20.（本小题满分12分） (1)已知tan (π4+α)=12，求sin 2a−cos 2α1+cos2a的值.(2)求sin40∘(tan10∘−√3)的值.21．（本小题满分12分）2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会土的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x 千部手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)试写出2023年利润L （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式； (2)当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．22．（本小题满分12分）已知函数()f x 22x x k -=+⨯，其中 k 为常数．若函数()f x 在区间 I 上()()f x f x -=-，则称函数()f x 为 I 上的“局部奇函数”；若函数()f x 在区间 I 上满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为 I 上的“局部偶函数”．(1)若()f x 为[]22-,上的“局部奇函数”，当[]2,2x ∈-时，解不等式()2f x >； (2)已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[)(]2,11,2--上是“局部偶函数”，()()[]()[)(],1,1,2,11,2f x x F x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈--⋃⎪⎩，对于[]22-,上任意实数123x x x ，，，不等式()()()123F x F x m F x +>+恒成立，求实数m 的取值范围．衡阳市八中2022级高一第二学期开学考试参考答案：1．B【详解】∵242x x <⇒<，|1|213x x -<⇒-<< ∴{|2}A x x =<，{0,1,2}B = ∴{0,1}A B =. 故选：B. 2．B【详解】命题“()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +<”的否定是：对(,0)x ∀∈-∞，2sin 0x x +≥.故选：B 3．C【详解】对于A ，若a =2,b =1,c =−1,d =−2，则ac =bd =−2，所以A 错误；对于B ，若c =0，则ac 2=bc 2=0，所以B 错误；对于C ，因为a >b ，所以由不等式的性质可得a −c >b −c ，所以C 正确；对于D ，因为a <b <0，所以ab >0，所以a ab <b ab ，即1b <1a，所以D 错误，故选C. 4．B【详解】选项A 函数xy x=的定义域为{}|0x x ≠，而1y =的定义域为R ， 故A 错误；选项B 函数321x xy x +=+的定义域为R ，而y x =的定义域为R ，且()232221(10)11x x x x y x x x x ++===+>++，故B 正确； 选项C 函数211x y x -=-的定义域为{}|1x x ≠，而1y x =+的定义域为R ，故C 错误；选项D 函数221y x x -+R ，而1y x =-的定义域为R ， 但是2211y x x x =-+-，故解析式不一样，所以D 错误； 故选：B. 5．B【详解】将πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象先向左平移π3个单位长度得到πππsin +=sin +4312y x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得到πsin +212x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()πsin +212x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故选：B ． 6．D【详解】∵sin π4<sin1<sin π3,∴√22<c <√32；又a =1log 832=log 328=log 2523=35,b =π0.01>π0=1，.∵√22=5√210>610=35，√32<1，∴a <c <b .故选D7．B【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称()()()22x xx x e e e e f x f x x x -----===--，∴函数()f x 是奇函数，图像关于原点对称，故排除A选项； 又()1121101e e f e e--==->，故排除D 选项； ()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==，当2x >时，0f x，即()f x 在()2+∞，上单调递增，故排除C 选项. 故选：B. 8．D【详解】()y f x a =-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，即()f x a =有四个不同的解．()f x 的图象如下图示，由图知：1201,01a x x <<<<<，所以210x x ->，即21x x -的取值范围是(0,＋∞)． 由二次函数的对称性得：344x x +=，因为121221x x -=-，即12222x x +=，故12342212x x x x +=+． 故选：D 9．AC【详解】对A ，∵偶函数f(x)的定义域为[2a −1,a ],∴2a −1=−a,解得a =13，A 对；对B ，设一次函数f(x)=kx +b(k ≠0)，则f(f(x))=f(kx +b)=k(kx +b)+b =k 2x +kb +b,∵f(f(x))=4x +3,∴{k 2=4kb +b =3，解得{k =2b =1,或{k =−2b =−3,∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x +1或f(x)=−2x −3,B 错；对C,∵奇函数f(x)在[2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，∴f(2)=−1，f(4)=8，∴f(−2)=−f(2)=1，f(−4)=−f(4)=−8, 2f(−4)+f(−2)=2×（−8）+1=−15,C 对；对D ，∵集合A ={x |−ax 2+4x +2=0}中至多有一个元素，∴方程−ax 2+4x +2=0至多有一个解，当a =0时，方程4x +2=0只有一个解−12，符合题意；当a ≠0,由−ax 2+4x +2=0至多有一个解，可得∆=16+8a ≤0，解得a ≤−2，∴a =0或a ≤−2,D 错.故选AC 10．BD【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ．因为()()()sin cos 2sin cos2f x x x x x -=-+-=-+， 所以()()f x f x -≠-，则函数()f x 的图象不关于原点对称，故A 错误．对于B ，()2sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，sin y x =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，即[]sin 1,0x ∈-，令sin x t =，[]1,0t ∈-时，函数221y t t =-++在[]1,0-上单调递增，根据复合函数单调性，故B 正确． 对于C ，当[]0,x π∈，即[]sin 0,1∈x 时，[]0,1t ∈，则问题转化为函数221y t t =-++在[]0,1上的值域，二次函数对称轴方程为14t =， 故函数221y t t =-++在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当14x =时，取得最大值为98，当1x =时，取得最小值为0，故值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误．对于D ，令()sin cos20f x x x =+=，即22sin sin 10x x -++=，解得sin 1x =或1sin 2x =-，当[],x ππ∈-时，2x π=或6x π=-或65x π=-，故函数()f x 在[],ππ-上有3个零点，故D 正确． 故选：BD ． 11．ABC【详解】因为16=ab +2a +b ≥ab +2√2ab ，当且仅当2a =b 时取等号，解不等式得 −4√2≤√ab ≤2√2，即ab ≤8，故ab 的最大值为8，A 正确；由16=ab +2a +b 得b =16−2a a+1=18a+1−2，所以2a +b =2a +16−2a a+1=2(a +1)+18a+1−4≥2√2(a +1)∙18a+1−4=8，当且仅当2(a +1)=18a+1，即a =2时取等号，此时取得最小值8，B 正确；a +b =a +18a+1−2=a +1+18a+1−3≥6√2−3,当且仅当a +1=18a+1，即a =3√2−1时取等号，C 正确；1a+1+1b+1≥2√1a+1∙1b+1=2√1ab+2a+b+2=√23，当且仅当a +1=b +2时取等号，此时1a+1+1b+1取得最小值√23，D 错误. 故选ABC. 12．ABD【详解】对于A ：因为()()1g x f x =+是偶函数， 所以()()g x g x -=，即()()11f x f x -=+ 所以()f x 关于1x =对称，故A 正确. 对于B ：因为()()11f x f x -=+，所以()()()()()211f x f x f x f x +=-+=-=-，所以()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，即周期4T =，故B 正确 对于C ：()()()()()()()2022200,20233112,f f f f f f f ==-===-=-=- 所以()()2022202320f f +=-≠，故C 错误；对于D ：因为[]()20,1,x f x x x ∈=+，且()f x 关于直线1x =对称，根据对称性可以作出[]1,2x ∈上的图象，又()()2f x f x +=-，根据对称性，可作出[]2,4x ∈上的图象， 又()f x 的周期4T =，作出()y f x =图象与ln y x =图象，如下图所示：所以()f x 与ln y x =有4个交点，故D 正确. 故选： ABD 13．−34【详解】θ∈(π2，π),且sin θ=35∴cos θ=√1−sin 2θ=−45，则tan θ=sinθcosθ=−34故答案为:−34.14．{01}xx <<∣ 【详解】由题意得93a =，解得12a =，故12()f x x =， 则()211f x x -+<即为()()211f x x f -+<，根据12()f x x =在[)0,∞+上为单调增函数，则有2011x x ≤-+<，解得01x <<，故解集为{}1|0x x <<， 故答案为：{}1|0x x <<. 15．(π6,π3]【详解】因为x ∈(0,m),所以−π3<2x −π3<2m −π3,因为f(x)在(0，m)上的值域为(12,1]，f(0)=cos(−π3)=12，所以0<2m −π3≤π3，解得π6<m ≤π316．m >−12 【详解】由3x 3x +1联想到构造3x −13x +1,因为f(0)=12，所以考虑f(x)−12=12∙3x −13x +1+x 3,令g(x)=f(x)−12,可知函数g(x)为奇函数且单调递增。
湖南省岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷
x1
2
3
y 10 000 9 500 ?
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（ ）
A．10 000 元
B．9 500 元
C．9 000 元
D．8 500 元
7．已知 f (x) 是定义域为 (, ) 的奇函数,满足f(1 x) f(1 x).若 f (1) 2 ，则
f (1) f (2) f (3) L f (50)
上的最小值是．
16．函数
y
1
1
x
,
xБайду номын сангаас
1
的图象与函数
y
2sin
x
2020
x
2022
的图象所有交点的
0, x 1
横坐标之和等于.
四、解答题 17．已知关于 x 的不等式－x2+ax+b>0.
(1)若该不等式的解集为（－4，2），求 a，b 的值；
(2)若 b=a+1，求此不等式的解集.
18．已知函数
A．2, 1,0,1 B．0,1, 2
C．2
D．2
2．“ log2 2x 3 1 ”是“ 4x 8 ”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若 f x lg x2 2ax 1 a 在区间 ,1 上递减，则 a 的取值范围为（ ）
A．1, 2
(2)若 f 2x2 x f 2x2 k 0 恒成立，求实数 k 的取值范围．
20．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合
动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这 3 类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集()U {010},{1,3,5,7}U M N x x M N =⋃=∈≤≤⋂=N ∣ð，则集合N =（ ） A ．{}010xx ≤≤∣ B ．{}010x x ∈≤≤N ∣ C ．{}0,2,4,6,8,9,10D ．{}0,2,4,6,8,102．已知R 上的函数()f x ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数cos 5xy =的图象，只需把余弦曲线cos y x =上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15，横坐标不变4．函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知实数a ，b ，满足33(1)(1)2a b a b -+-≥--恒成立，则a b +的最小值为（ ） A ．2B ．0C ．1D ．46．已知4cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πα<，则sin21cos2αα=+（ ）A ．43B ．34C ．34-D ．43-7．已知函数())lg f x x =，正实数a ，b 满足()()220f a f b -+=，则2aba b+的最大值为（ ） A ．49B ．29C ．15D ．148．已知495ln ,log 3log 17,72425b b c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>二、多选题9．设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则（ ） A ．2c cd < B ．a c b d -<- C ．ac bd >D ．c d a b> 10．已知函数()23xf x a kx =---，给出下列四个结论，其中正确的有（ ）A ．若1a =，则函数()f x 至少有一个零点B ．存在实数,a k ，使得函数()f x 无零点C ．若0a >，则不存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点D ．对任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点11．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来表示，函数()f t 的图象如图所示，则（ ）A ．π()3sin 5(024)6f t t t =+≤≤B ．函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C ．当5t =时，水深度达到6.5mD ．已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t，则12πtant t =+三、填空题12．已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为.13．若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=．14．如图，正方形ABCD 的边长为1,,P Q 分别为边,AB DA 上的点.当APQ △的周长为2时，则PCQ ∠的大小为.四、解答题15．已知集合2{|1327},{|log 1}x A x B x x =≤≤=>. （1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围. 16．已知函数()πsin cos 4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期；(2)若5π122414f θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.17．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？ 18．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)已知函数()24()3h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.19．已知e 是自然对数的底数，()e e 1x xf x =+． (1)判断函数()f x 在[)0+∞，上的单调性并证明你的判断是正确的； (2)记()(){}ln 3()e 1ln 32xg x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．。
2023-2024学年湖南省邵阳市武冈市高一下册开学考试数学试题(含解析)
2023-2024学年湖南省邵阳市武冈市高一下册开学考试数学试题一、单选题1．命题“x ∃∈N ，351x x <+”的否定是（）A ．x ∀∈N ，351x x <+B ．x ∀∈N ，351x x >+C ．x ∀∈N ，351x x ≥+D ．x ∀∉N ，351x x ≥+【正确答案】C【分析】根据命题否定的定义选出选项即可.【详解】解：由题知命题“x ∃∈N ，351x x <+”，所以该命题的否定为：“x ∀∈N ，351x x ≥+”.故选：C2．函数3()26f x x x =+-零点所在的区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【正确答案】B【分析】根据函数零点存在原理进行判断即可.【详解】由题意得()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x 是增函数．因为(0)60,(1)30,(2)60,(3)270,(4)660f f f f f =-<=-<=>=>=>，所以()f x 零点所在的区间是(1,2)．故选：B3．若幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，且与x 轴无公共点，则()f x 的解析式可能为（）A ．2()f x x =B ．()f x x=C ．1()f x x -=D ．2()f x x -=【正确答案】D【分析】根据幂函数的图象和性质依次判断选项即可.【详解】A ：函数2()f x x =的图象关于y 轴对称，且与x 轴有公共点(0,0)，故A 不符合题意；B ：函数()f x x =的图象关于原点对称，且与x 轴有公共点(0,0)，故B 不符合题意；C ：函数1()f x x -=的图象关于原点对称，且与x 轴无公共点，故C 不符合题意；D ：函数2()f x x -=的图象关于y 轴对称，且与x 轴无公共点，故D 符合题意.故选：D.4．若集合(){}7log 21A x x =-<，{}2230B x x x =--<，则() A B =R ð（）A ．(][),23,-∞⋃+∞B ．(][),13,-∞-+∞C ．()2,3D ．()1,9-【正确答案】A【分析】化简集合A ,B ，根据集合的交集、补集运算求解.【详解】由题意得{}{}02729A x x x x =<-<=<<，{}{}2230|(3)(1)0(1,3)B x x x x x x =--<=-+<=-{}13x x -<<，所以{}23A B x x ⋂=<<，(){R 2A B x x ⋂=≤ð或}3x ≥．故选：A5．“()0,απ∈”是“sin 0α>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】由()0,απ∈，可得sin 0α>由sin 0α>可得()22k k k Z παππ<<+∈，所以sin 0α>得不出()0,απ∈，可得()0,απ∈”是“sin 0α>”的充分不必要条件，故选：A6．在下列四个函数中，以π为最小正周期，且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减的函数是（）A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()cos f x x =D ．()tan f x x=【正确答案】C【分析】根据单调性可排除AD ，再由函数的周期排除B ，即可得解.【详解】因为()sin f x x =，()tan f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，排除AD ；()cos f x x =的最小正周期为2π，排除B ，作出()cos f x x =图象，如图，故C 选项()cos f x x =符合题意．故选：C7．若355log 5,,2sin 33a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．a c b<<C ．c b a<<D ．a b c<<【正确答案】D【分析】根据正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行判断即可.【详解】因为π52π233<<，所以52π52sin2sin 333>=，又5333335log 3log log log 53==，所以a b c <<．故选：D8．如图，假定P ，Q 两点以相同的初速度（单位：单位/秒），分别同时从A ，C 出发，点Q 沿射线CD 做匀速运动，CQ x =，点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()PB y =，那么定义x 为y 的纳皮尔对数，函数表达式为7107110e x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P 从靠近A 的第一个五等分点移动到靠近B 的三等分点经过的时间约为（）（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈）A ．0.7秒B ．0.9秒C ．1.1秒D ．1.3秒【正确答案】B【分析】P 运动到靠近A 的第一个五等分点时，71510ln 4x =；P 运动到靠近B 的三等分点时，7210ln 3x =，再计算217ln 32ln 2ln 510x x -=+-得到答案.【详解】P ，Q 两点的初速度为710单位/秒．设P 运动到靠近A 的第一个五等分点时，1CQ x =，则77174110105e 10x ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，得71510ln 4x =．设P 运动到靠近B 的三等分点时，2CQ x =，则77271110103e 10x ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，得7210ln 3x =．故所求的时间为772177410ln 310ln5ln 32ln 2ln 50.91010x x +-==+-≈秒．故选：B二、多选题9．若对任意x A ∈，1A x∈，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（）A ．{}1,1-B ．1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}21x x >D ．{}0x x >【正确答案】ABD【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.【详解】根据“影子关系”集合的定义，可知{}1,1-，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}0x x >为“影子关系”集合，由{}21x x >，得{1x x <-或}1x >，当2x =时，{}2112x x ∉>，故不是“影子关系”集合．故选：ABD10．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图2），已知,2224AD BC AD AB CD BC ====∥，则（）A ．23ABC π∠=B ．弧AD 的长为23πC ．该平面图形的周长为463π+D ．该平面图形的面积为833π【正确答案】ACD【分析】如图分别延长AB 与DC 交于点O ，根据相似三角形的性质可得3BOC BAD π∠=∠=，进而求得 AD =43π，结合扇形的弧长与面积公式计算即可求解.【详解】如图，分别延长AB 与DC 交于点O ，易得AOD BOC △△∽，得4AO DO ==，所以AOD △为等边三角形，3BOC BAD π∠=∠=，所以23ABC π∠=，得 AD =43AO BOC π⋅∠=，该平面图形的周长为463π+，面积为118233223AD AO π⋅-⨯=故选：ACD.11．已知偶函数()f x 和奇函数()g x 的定义域均为R ，且()()23xf xg x +=⋅，则（）A ．()1013f =-B ．()813g =C ．()f x 的最小值为2D ．()g x 是减函数【正确答案】BC【分析】根据函数的奇偶性构造方程求出函数解析式，据此判断AB ，再由均值不等式及单调性判断CD.【详解】由()()23xf xg x +=⋅，得()()()()23x f x g x f x g x --+-=-=⋅，两式相加得()33x xf x -=+，则()33x xg x -=-，所以()1013f =，()813g =，A 错误，B 正确．因为30x >，所以()133323x x x x f x -=+=+≥=（当且仅当13,03x x x ==时，等号成立），因为13,3xx y y ==-均是R 上的增函数，()133xx g x =-是R 上的增函数，C 正确，D 错误．故选：BC12．已知x ，y 满足223444x xy y -+=，则（）A ．x ≤B ．22y -≤≤C ．()2214x y -≥-D ．()2214x y -≤【正确答案】ABD【分析】先将223444x xy y -+=配方化为222()12x y -+=后，使用三角换元法进行求解.【详解】由223444x xy y -+=配方得222(2)4x x y +-=，即222(12x y -+=，cosθ=，2sin 2x yθ-=，则x θ=，sin 2y θθ=-，对于A ，∵1cos θ1-＃，∴θ≤x ≤≤，故选项A 正确；对于B ，sin cos sin 2233y θθθθ⎫=--⎪⎪⎝⎭，cos ϕ=sin ϕ=，则()y θϕ=+，∵()1cos 1θϕ-≤+≤，∴()222θϕ-≤+≤，22y -≤≤，故选项B 正确；对于C 和D ，()2214x y -()22s 1i 2co o s n2s 4θθθ=-⎛⎫-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()2221cos cos sin212cos 4θθθθθ=⎪⎛+⎫-⋅-⋅ ⎝⎭()2222cos c 2os 4si 1n cos θθθθθ+--⋅-=()222cos 4sin cos θθθθθ=+-+1cos 224θθ=+-+242θθ=++4sin 24cos 222θθ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭π4sin 244θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵π1sin 214θ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴π44sin 244θ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴8π4sin 244θ⎛⎫≤++≤ ⎝⎭⎪()228144x y ≤-≤故选项C 错误，选项D 正确.故选：ABD.对于已知22pm qn a +=（0p >，0q >，0a >）求与m ，n 有关的取值范围问题，可将22pm qn a +=化为221⎛+= ⎝，再使用三角换元的方法解决.三、填空题13．与角560-︒终边相同的最小正角为__________（用弧度数表示）．【正确答案】89π##8π9【分析】根据终边相同的角的概念即可直接得出结果.【详解】与角560-︒终边相同的最小正角为5603602160︒︒-=-⨯+︒，即89π．故答案为.89π14．写出满足tan 3tan 5παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的α的一个值：__________．【正确答案】20π（答案不唯一，α满足()204k k ππα=+∈Z 均可）【分析】根据诱导公式可得tan 3tan 5παα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正切函数的单调性求得()204k k ππα=+∈Z 即可求解.【详解】因为tan 3tan tan 55ππααα⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数tan y x =在ππ2x x k ⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭上单调递增，所以3()5k k πααπ=-++∈Z ，即()204k k ππα=+∈Z ．当0k =时，20πα=.故答案为.20π15．若1x >，2y >，且6x y +=，则4112x y +--的最小值为________．【正确答案】3【分析】根据“1”的变形技巧，再由均值不等式求最小值即可.【详解】由题意得123x y -+-=，1x >，2y >，所以41141(12)12312x y x y x y ⎛⎫+=+-+- ⎪----⎝⎭14(2)1155233123y x x y ⎡⎡⎤--=++≥+=⎢⎢⎥--⎣⎦⎣，当且仅当4(2)112y x x y --=--，即3x y ==时，等号成立．故316．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为偶函数，(2)1f x +-为奇函数，且(0)1,(1)2f f ==，则(1)(2)(2022)f f f +++= __________．【正确答案】2023【分析】由已知条件结合函数的奇偶性的性质可求得函数的周期为4，再根据()(2)2f x f x ++=，得(2)1f =，再结合周期即可求得结果．【详解】因为(1)f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，得()(2)f x f x =-+①．因为(2)1f x +-为奇函数，所以(2)1(2)1f x f x +-=--++，得(2)(2)2f x f x ++-+=②．由①，②得()(2)2,(2)(4)2f x f x f x f x ++=+++=，所以()(4)f x f x =+．由()(2)2f x f x ++=，得(0)(2)2,(1)(3)2,(2)(4)2f f f f f f +=+=+=，得(2)1f =，故(1)(2)(2022)505[(1)(2)(3)(4)](2021)(2022)f f f f f f f f f +++=+++++ 5054212023=⨯++=．故2023．根据抽象函数的性质进行相应的代换，解题的关键是推出函数的周期．四、解答题17．求值：(1))20.51π316-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)2ln31274e log 9log 8lg 4lg 25-⋅++．【正确答案】(1)0(2)12【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）由对数的运算性质及换底公式求解.【详解】（1）原式123493711041644⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭（2）原式ln923elog 3log 2lg10091212=+⋅+=++=．18．已知cos 3παα⎛⎫-=⎝⎭．(1)求tan α的值；(2)求2sin 2sin(2)2πααπ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)3(2)1-【分析】(1)根据两角差的余弦公式可得3cos sin αα=，结合同角三角函数的关系即可求解；(2)根据诱导公式、二倍角的正、余弦公式化简和切弦互化可得2sin 2sin(2)2πααπ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭2222tan 2tan tan 1ααα-+=+，结合(1)即可求解.【详解】（1）由题意得，11cos cos sin sin sin 326πααααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得3cos sin αα=，则sin tan 3cos ααα==．（2）2sin 2sin(2)2πααπ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭2cos 2sin 2αα=+222cos 2sin 2sin cos αααα=-+22222cos 2sin 2sin cos sin cos αααααα-+=+2222tan 2tan 1tan 1ααα-+==-+．19．已知函数π()2sin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求不等式()0f x ≥在2π4π,99⎡⎤-⎢⎣⎦上的解集．【正确答案】(1)单调递减区间为5π2π11π2π,()183183k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)2ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)利用周期计算出3ω=，用主题替换法结合三角函数性质求出递减区间即可；(2)()0f x ≥等价于πsin 33x ⎛⎫-≥⎪⎝⎭.【详解】（1）由题意得2π3Tω==．由ππ3π2π32π()232k x k k +≤-≤+∈Z ，得5π2π11π2π()183183k k x k +≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为5π2π11π2π,()183183k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）由π2sin 303x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得πsin 33x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭得()ππ2π2π32π333k x k k +≤-≤+∈Z ，得2π2ππ2π()9333k k x k +≤≤+∈Z ，因为2π4π,99x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2ππ1,93k x =≤≤，故不等式()0f x ≥在2π4π,99⎡⎤-⎢⎣⎦上的解集为2ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．已知函数()23()log 23f x x ax a =-+．(1)若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围；(3)若()f x 在[1,2]上单调，求a 的取值范围．【正确答案】(1)(0,3)(2)(,0][3,)-∞⋃+∞(3)(1,1][2,4)-⋃【分析】（1）由题意得2230x ax a -+>恒成立，然后可得答案；（2）由题意得，223x ax a -+的值能取到所有正数，然后可得答案；（3）分()f x 在[1,2]上单调递增、单调递减两种情况讨论即可.【详解】（1）由题意得2230x ax a -+>恒成立，所以2Δ4120a a =-<，得0<<3a ，即a 的取值范围为(0,3)．（2）由题意得，223x ax a -+的值能取到所有正数，所以2Δ4120a a =-≥，得0a ≤或3a ≥，即a 的取值范围为(,0][3,)-∞⋃+∞．（3）当()f x 在[1,2]上单调递增时，21,21230,a a a -⎧-≤⎪⎨⎪-+>⎩得11a -<≤．当()f x 在[1,2]上单调递减时，22,24430,a a a -⎧-≥⎪⎨⎪-+>⎩得24a ≤<．综上，a 的取值范围为(1,1][2,4)-⋃．21．已知函数2()cos 222x x x f x =-+()f α=(1)求sin α的值；(2)者α为钝角，β为锐角，且12f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 12παβ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值．【正确答案】或(2)67【分析】（1）将()f x 化为()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后可得sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后由sin sin 44ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭算出答案；（2）根据条件分别求出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 3πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据tan tan 1243πππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦算出答案即可.【详解】（1）2()12sin 2sin 24x f x x x x x π⎫⎛⎫=-=+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭．由()2sin 4f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得cos 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以sin sin sin cos 44242410ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或10．（2）由题意得1sin ,cos ,tan 104542ππααα⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由2sin 2sin 1212433f ππππβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得sin 33πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由β为锐角，得5,336πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为sin sin 33ππβ⎛⎫+== ⎝⎭32ππβ+>，所以cos tan 33ππββ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故tan tan 643tan tan 124371tan tan 43ππαβπππαβαβππαβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭--=+-+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．如果函数()f x 存在零点α，函数()g x 存在零点β，且||n αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．(1)证明：函数1e 1x y -=-与23log 2y x =+互为“1度零点函数”．(2)若函数2241,1()log (2),1a x x a x f x ax a x ⎧+++<-=⎨+≥-⎩(14a >，且1a ≠)与函数ln(2)y x =-互为“2度零点函数”，且函数()|()||2|g x f x x =--有三个零点，求a 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)1313,4416⎛⎤⎧⎫⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【分析】（1）令0y =，对方程直接进行求解，验证||1αβ-<是否成立；（2）求解ln(2)y x =-的零点，当1x <-时，2()(1)40f x x a =++>，所以只需限定当1x ≥-时，()log (2)0a f x ax a =+=的零点范围，解关于a 的不等式，再结合函数|()|y f x =与|2|y x =-图像有三个交点，得到a 的取值范围．【详解】（1）证明：令1e 10x y -=-=，得1x =．令23log 02y x =+=，得3212x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为321012⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以321112⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以函数1e 1x y -=-与23log 2y x =+互为“1度零点函数”．（2）令ln(2)0y x =-=，得1x =．设()f x 存在零点0x ，则012x -<，不等式两边平方得200230x x --<，即013x -<<．当1x <-时，2()(1)40f x x a =++>，当1x ≥-时，令()log (2)0a f x ax a =+=，得012x a =-，所以1123a -<-<，得115a <<．()g x 有三个零点等价于函数()|()|h x f x =与()|2|p x x =-的图象有三个交点，因为()log (2)log (2)1log (2)a a a f x ax a a x x =+=+=++，114a <<，所以()f x 在[1,)-+∞上单调递减．易知(1)1h -=，()h x 的零点为1122a -<-<．画出()h x 与()p x 在[1,)-+∞上的大致图象，如图所示，易得()h x 与()p x 的图象在[1,)-+∞上有两个交点，所以()h x 与()p x 的图象在(,1)-∞-上必须有一个交点，得22412x x a x +++=-+，化简得2314x x a --+=．令函数2()31q x x x =--+，即()q x 的图象与直线4y a =在(,1)-∞-上有一个交点．因为max 313(),(1)324q x q q ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，由()q x 的图象（图略）可得，1344a =或43a ≤，即1316a =或1344a <≤．综上，a 的取值范围为1313,4416⎛⎤⎧⎫⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭．方法点睛：（1）直接法：即令()0f x =，对方程直接进行求解，方程解的个数就是零点的个数；（2）数形结合法：数形结合法求函数的零点，是将()0f x =的方程转化为两个函数，根据两个函数的交点个数来确认零点个数；（3）零点存在定理：利用零点存在定理，再结合函数的性质(通常会用到单调性)确定零点个数；零点存在定理为：如果函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 上至少存在一点c ，使得()0f c =.（4）构造函数：可根据题目的不同情况，选择直接作差或者分离参数来构造新的函数，通过求解新函数的值域或最值来判断零点的个数.。
湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷含答案
株洲市2024年上学期高一年级开学考试试卷数学试题（答案在最后）命题人：金晶审题人：杨平安时量：120分钟分值：150分一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.设集合{1,3,5,7},{36}A B xx ==≤<∣，则A B = （）A.{}1,3B.{}3,5 C.{}5,7 D.{}1,7【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义求解．【详解】由已知{3,5}A B = ，故选：B ．2.为了得到πsin(5)3y x =-的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A.向右平移π15个单位长度 B.向左平移π15个单位长度C.向右平移π3个单位长度 D.向左平移π3个单位长度【答案】A 【解析】【分析】先将π53x -写成5(5π)1x -的形式，根据函数的图像“左加右减”的原则，比较前后变化即得平移变换的方向与长度.【详解】因ππsin(5)sin[5()]135y x x =-=-，将函数sin 5y x =的图象向右平移π15个单位长度即得函数ππsin[5()]sin(5)315y x x =-=-的图像.故选：A.3.已知0a >，且1,0a b ≠>，且1,0,0b M N ≠>>，下列运算正确的是（）A.()log log a a b M bM = B.log log log log a a a a M N M N⋅=+C.log log log ba b MM NN a= D.log log log a aa MM N N=【答案】C 【解析】【分析】根据对数的运算性质，以及换底公式，即可得出答案.【详解】对于A 项，根据对数的运算可知，()log log log ba a ab M M bM =≠，故A 错误；对于B 项，根据对数的运算可知，log log log log log a a a a a M N MN M N +=≠⋅，故B 错误；对于C 项，根据换底公式可知，log log log ba b MM N N a=，故C 正确；对于D 项，根据对数的运算可知，log log log log log a a a a a M MM N N N=-≠，故D 错误.故选：C.4.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若2BC = ，AB AC AB AC +=- ，则AM =（）A.12B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】先根据AB AC AB AC +=- 得AB AC ⊥，由于M 是线段BC 的中点，故()12AM AB AC =+，再结合题意即可求解.【详解】解：AB AC AB AC +=-，两边平方得，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+ ，∴0AB AC ⋅=，∴AB AC ⊥又∵M 是线段BC 的中点，∴()12AM AB AC =+∴()111===1222AM AB AC AB AC BC =+- .故选：B.【点睛】本题考查向量的数量积的定义，向量的模的计算，是中档题.5.已知sin 2sin 1αβ+=，cos 2cos αβ+=，则cos 2()αβ-=（）A.12B.12-C.78-D.78【答案】C 【解析】【分析】先利用已知条件计算()cos αβ-，再利用二倍角的余弦公式计算即得结果.【详解】由sin 2sin 1αβ+=，cos 2cos αβ+=，两式平方后相加可得，2222sin cos 4cos 4sin 4sin sin 4cos cos 4ααββαβαβ+++++=，即54sin sin 4cos cos 4αβαβ++=，得1sin sin cos cos 4αβαβ+=-，所以()1cos 4αβ-=-，故()()221cos 22cos 121478αβαβ⎛⎫-=--=⨯--= ⎪⎝-⎭.故选：C.6.已知函数f （x ）=()314,1,1a x a x a log x x -+<⎧≥⎨⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（）A.()0,1 B.117⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,(17⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，)+∞ D.()11,1,73⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】运用一次函数和对数函数的单调性可解决此问题．【详解】解：根据题意得，（1）若()f x 两段在各自区间上单调递减，则：31001(31)·141a a a a a log -<⎧⎪<<⎨⎪-+≤⎩；解得107a <≤；（2）若()f x 两段在各自区间上单调递增，则：3101(31)·141a a a a a log ->⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩；解得1a >；∴综上得，a 的取值范围是10,(17⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，)+∞故选C ．【点睛】本题考查一次函数、对数函数以及分段函数单调性的判断，值域的求法,属于基础题．7.已知tan ,tan αβ是方程()200ax bx c a ++=≠的两根，有以下四个命题：甲：()1tan 2αβ+=-；乙：tan tan 7:3αβ=；丙：()()sin 5cos 4αβαβ+=-；丁：()()tan tan tan tan 5:3αβαβαβ+-+=.如果其中只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B 【解析】【分析】根据韦达定理可得tan tan ,tan tan b ca aαβαβ+=-⋅=，对乙､丁运算分析可知乙､丁一真一假，分别假设乙､丁是假命题，结合其他命题检验判断．【详解】因为tan ,tan αβ是方程()200ax bx c a ++=≠的两根，所以tan tan ,tan tan b ca aαβαβ+=-⋅=，则甲：()tan tan 1tan 1tan tan 21bb ac c a aαβαβαβ-++====--⋅--；丙：()()sin sin cos cos sin tan tan 5cos cos cos sin sin 1tan tan 41bb ac c a aαβαβαβαβαβαβαβαβ-+++====--++++.若乙､丁都是真命题，则57tan tan ,tan tan 33αβαβ+=-⋅=，所以()5tan tan 53tan 71tan tan 4113b ac a αβαβαβ--++====-⋅--，()()5sin sin cos cos sin tan tan 137cos cos cos sin sin 1tan tan 2113b ac a αβαβαβαβαβαβαβαβ--+++====--++++，两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，假设丁是假命题，由丙和甲得()()2,54a c b a c b -=-+=，所以()()25a c a c -=-+，即730a c +=，所以:7:3c a =-，与乙不符，假设不成立；假设乙是假命题，由丙和甲得730a c +=，又()2a c b -=，所以35b a =，即:5:3b a =与丙相符，假设成立；故假命题是乙，故选：B ．8.已知495ln ,log 3log 17,72425bb c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a >>B.a c b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，由零点存在性定理可得34a <<，49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425bbc+=，72425252525b b cb b b +=，22724724()()()()125252525b b +<+=，∴25125cb <，2525c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.某扇形的半径为2，圆心角的弧度数为π3，则该扇形的面积为2π3B.已知函数()31f x ax bx =++，若()23f =，则()21f -=C.“29x <”是“1282x <<”的必要不充分条件D.函数()()2ln f x x x =-只有一个零点【答案】AC 【解析】【分析】由扇形的面积公式即可判断A ，由函数的奇偶性即可判断B ，由充分条件以及必要条件的定义即可判断C ，由函数零点的定义即可判断D【详解】因为扇形的半径为2，圆心角的弧度数为π3，由扇形的面积公式可得21π22π233S =⨯⨯=，故A 正确；函数()31f x ax bx =++，则()31f x ax bx -=+，令()()1g x f x =-，则()g x 为奇函数，则()()2212g f =-=，则()()222g g -=-=-，即()()2212g f -=--=-，所以()21f -=-，故B 错误；由29x <可得33x -<<，由1282x <<可得13222x -<<，即13x -<<，则33x -<<是13x -<<的必要不充分条件，所以“29x <”是“1282x <<”的必要不充分条件，故C 正确；令()()2ln 0f x x x =-=，可得21x x -=，即210x x --=，显然140∆=+>，所以方程210x x --=有两个不同实根，所以函数()()2ln f x x x =-有两个零点，故D 错误；故选：AC.10.若,0x y >，且22x y +=，则（）A.12xy ≤B.2≤C.1292x y +≥D.2244x y +≥【答案】ABC 【解析】【分析】利用基本不等式及其“1”的代换判断各项正误.【详解】A ：由题设1222x y xy +=≥≤，当且仅当11,2x y ==时取等号，对；B ：由题设22x y +=≥，当且仅当11,2x y ==时取等号，所以02<+≤，对；C ：()12112122192552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当23x y ==时取等号，对；D ：222(2)422x y x y ++≥=，当且仅当11,2x y ==时取等号，错.故选：ABC11.已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+-()0,0πA ϕ><<，若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=-，则下列结论不正确的是（）A.将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象B.函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.若函数()()0g x θθ+≥为偶函数，则θ的最小值为7π12【答案】CD【解析】【分析】根据图像确定2A =，2π3ϕ=得到()f x 和()g x 的解析式，根据平移法则得到A 正确，代入验证得到B 正确，举反例得到C 错误，计算最小值为π12θ=，D 错误，得到答案.【详解】根据图像()y f x =的最大值为3，且0A >，故2A =，()02cos 12f ϕ=-=，故1cos 2ϕ=-或3cos 2ϕ=（舍），0πϕ<<，故2π3ϕ=，即()2π2cos 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对选项A ：()o 12π2c s 23y f x x ⎪=++⎛⎫= ⎝⎭，向左平移π12得到π2π2π3π2π2cos 22cos 22sin 2123323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，正确；对选项B ：当π6x =-时，2π2π3x -=-，故()y g x =关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，正确；对选项C ：π32g ⎛⎫=⎪⎝⎭，π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ23g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对选项D ：()2π2sin 223g x x θθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭为偶函数，则2ππ2π32k θ-=+，Z k ∈，解得7ππ122k θ=+，Z k ∈，当1k =-时，θ有最小值为π12，错误.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若幂函数2221(1)m m y m m x --=--在(0,)+∞上是增函数，则m =__________．【答案】1-.【解析】【详解】分析：利用幂函数的定义和单调性即可得出.详解： 幂函数()22211m m y mm x--=--在()0,+∞上是增函数，∴2211210m m m m --=-->，解得1m =-.故答案为1-.点睛：熟练掌握幂函数的定义和单调性是解题的关键.13.已知α，β均为锐角，且sin α=cos 10β=，则αβ-的值为__________．【答案】4π-.【解析】【详解】分析：由已知及同角三角函数关系式可求cosα，sinβ，由两角和与差的余弦函数公式即可求sin （α﹣β）的值，结合α﹣β的范围即可得解．详解：∵α，β均为锐角，sinα=5，cosβ=10，∴=5，10，∴sin （α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=5105102⨯-⨯=-，∵﹣2π＜α﹣β<2π，∴可解得：4παβ-=-.故答案为4π-.点睛：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．14.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 3sin sin =B C A ，则tan tan tan A B C ++的最小值为______．【答案】12【解析】【分析】由题意求得tan tan 3tan tan A C A C +=，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，化简tan tan tan A B C ++，结合基本不等式计算即可求解.【详解】由题意知，在锐角ABC 中，sin sin()3sin sin B A C C A =+=，sin cos sin cos 3sin sin A C C A C A +=，等式两边同时除以cos cos A C ，得tan tan 3tan tan A C A C +=，又tan tan tan tan()0tan tan 1A CB AC A C +=-+=>-，所以tan tan tan (tan tan 1)A C B A C +=-，得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，且tan tan 10->A C ，所以tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1A CA B C A C A C +++=⋅-，令tan tan 1-=A C m ，则0m >，故tan tan 3tan tan tan tan tan (1)(1)A C A CA B C m m m m+++=+⋅=+⋅3(1)3(1)63612m m m m m +=+⋅=++≥+，当且仅当33m m=即1m =时等号成立，此时tan tan 2A C =，所以tan tan tan A B C ++的最小值为12.故答案为：12四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，(1)2f -=，当[2,0]x ∈-时的解析式为()42xx a bf x =+(),a b ∈R .（1）写出()f x 在[0,2]上的解析式；（2）求()f x 在[0,2]上的最值.【答案】（1）()24x x f x =-（2）最大值为0，最小值为12-【解析】【分析】（1）先求得参数a b 、，再依据奇函数性质即可求得()f x 在[0,2]上的解析式；（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.【小问1详解】因为()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，所以(0)0f =，即0a b +=，由(1)2f -=，得422a b +=，由4220a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，则当[2,0]x ∈-时，函数解析式为11()42x xf x =-设[0,2]x ∈，则[2,0]x -∈-，11()()(2442x xx x f x f x --=--=--=-，即当[0,2]x ∈时，()24x xf x =-【小问2详解】当[]0,2x ∈时，2[1,4]x ∈211()24(224x x x f x =-=--+，所以当21x =，即0x =时，()f x 的最大值为0，当24x =，即2x =时，()f x 的最小值为12-.16.已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），()()321f f -=.（1）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值；（2）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4x =或12x =-（2）2,73⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由()()321f f -=结合对数运算可求得a 的值，可得出函数()f x 的解析式，然后解方程3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得出满足条件的x 的值；（2）分析可知，()f x 是()0,∞+上的增函数，根据()()3225f m f m -<+可得出关于实数m 的不等式组，解之即可.【小问1详解】解：因为()log a f x x =，则()()332log 3log 2log 12a a af f -=-==，解得32a =，所以3322227log log 2f x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得272x x -=，即22740x x --=，解得4x =或12x =-.【小问2详解】解：由（1）知()32log f x x =是()0,∞+上的增函数，又()()3225f m f m -<+，则25320m m +>->，解得273m <<.故实数m 的取值范围是2,73⎛⎫⎪⎝⎭.17.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2π03ϕ<<）的最小正周期为π，且()f x 的图象过点π,62⎛ ⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()()()2π4g x f x x f x ⎛⎫=++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，求()g x 的对称中心．【答案】（1）5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）ππ1,,Z 482k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据2πT ω=求出ω，结合图象过的点求出ϕ，进而π()sin(2)3f x x =+，利用整体代换法即可求出函数()f x 的单调区间；（2）根据两角和差公式、辅助角公式和二倍角公式可得1()cos 42g x x =+，利用整体代换法即可求出函数()g x 的对称中心.【小问1详解】由题意知，2ππT ω==，所以2ω=，由函数()f x 图象过点π3(,)62，得ππ(sin()632f ϕ=+=，由2π03ϕ<<，解得π3ϕ=，所以π()sin(2)3f x x =+.令πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z ，得5ππππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π],1212k k k -++∈Z ；【小问2详解】由（1）知，22πππππ()[()]()()sin (2))sin(2)43323g x f x x f x x x x =++=+++++2π1cos(4)ππ112π2π3cos(2)cos(4)sin(4)23322323x x x x x -+=+++=-+++2ππ11sin(4)cos 43622x x =+-+=+，令π4π,2x k k =+∈Z ，解得ππ,48k x k =+∈Z ，即函数()g x 的对称中心为ππ1(,)482k +，k ∈Z .18.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan22tan tan OABS OA OBθθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan0θ>，则13tantanθθ+≥，当且仅当3tan3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OABS最小=.【小问2详解】由2AOB OHAπ∠=∠=，可得BOHθ∠=，则tanOHAHθ=，tanBH OHθ=，cosOHOBθ=，由题意BH OB AH+≥，则()2211sin1costan sin1sin cos1sincos tan cos sinθθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin1sin sin2θθθ-⇔≥≥，结合π2θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.19.设a∈R，函数()2sin cosf x x x a=--，π,π2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x的零点个数；（2）若函数()f x有两个零点1x，2x，试证明：12121tan tan31tan tanx xx x--≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=-+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=-+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=-+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得23ππ,π22x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。
湖南省高一下学期开学考试(解析版)
一、单选题1．已知集合，全集则（ ） {}1,4A ={}1,2,3,4,5U =U A =ðA ． B ． C ． D ．∅{}1,3{}2,3,5{}1,2,3,5【答案】C【分析】根据补集概念求解即可. 【详解】. {}2,3,5U A =ð故选：C2．已知，则“”是“”的（ ） ,R x y ∈0xy >0,0x y >>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取判断充分性，根据不等式的性质判断必要性. 1x y ==-【详解】取，满足，但不满足， 1x y ==-0xy >0,0x y >>故“”不是“”的充分条件. 0xy >0,0x y >>若，则，0,0x y >>0xy >故“”是“”的必要条件. 0xy >0,0x y >>故“”是“”的必要不充分条件. 0xy >0,0x y >>故选:B.3．已知，则（ ） ()()23M a a =++254N a a =++A ． B ． C ． D ．无法确定M N >M N <M N =【答案】A【分析】作差即可比较大小.【详解】,()()()2235420M N a a a a -=++-++=>故. M N >故选:A.4．（ ） sin10cos50cos 40cos10︒︒+︒︒=A ．BCD ． 12【答案】C【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】 ()sin10cos50cos 40cos10sin10cos50cos 9050cos10︒︒+︒︒=︒︒+︒-︒︒()cos50sin10sin 50cos10sin 5010sin 60=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：C5．这三个数的大小顺序是（ ）20.320.3,log 0.3,2A ． B ．20320.32log 0.3<<20.320.3log 0.32<<C ． D ．20.32log 0.30.32<<0.322log 0.320.3<<【答案】C【分析】分别比较与中间值0和1的大小关系即可得答案.【详解】解：因为，，，2000.30.31<<=22log 0.3log 10<=0.30221>=所以，20.32log 0.30.32<<故选：C.6．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为（ ）π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π4A ． B ．π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．2π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】直接根据三角函数的平移得答案.【详解】函数的图象向右平移个单位得到，π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π4ππ3sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦即2π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：C7．给定函数，用表示中的较大者，记为()()21,(1),f x x g x x x =+=+∈R ,x ∀∈R ()M x ()(),f x g x ，例如当时，，则的最()()(){}max ,M x f x g x =2x =()()()2max{2,2}max{3,9}9M f g ===()M x 小值为（ ） A ． B ．0C ．1D ．42-【答案】B【分析】将写出分段函数形式，画出图象，由图象可得最小值.()M x【详解】令，可得，即，解得； ()()f x g x ≥21(1)x x +≥+20x x +≤10x -≤≤令，可得，即，解得或.()()f x g x <21(1)x x +<+20x x +>1x <-0x >所以. ()()21,101,10x x M x x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+-⎪⎩或作出的图象如图所示：()M x由图象可得的最小值为0. ()M x 故选:B.8．已知函数,若实数,则函数的零点个数为( )221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩(0,1)m ∈()()g x f x m =-A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.【详解】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，()()0g x f x m =-=()f x m =()f x ()f x 如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个， (0,1)m ∈()()g x f x m =-故选：D.【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.二、多选题9．命题，．命题q ：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判:p x ∃∈R 210x x -+=断正确的是（ ） A ．p 是真命题 B ．，:p x ⌝∀∈R 210x x -+≠C ．q 是真命题 D ．：存在两个等边三角形，它们不相似q ⌝【答案】BCD【分析】根据根的判别式可判断命题的真假，根据等边三角形的性质判断命题的真假，从而判p q 断AC ，根据命题的否定可判断BD.【详解】对于方程，, 210x x -+=()2141130∆=--⨯⨯=-<所以，无解，故p 是假命题，故A 错误； x ∀∈R 210x x -+=，，故B 正确；:p x ⌝∀∈R 210x x -+≠任意两个等边三角形都相似，故q 是真命题，故C 正确； ：存在两个等边三角形，它们不相似，故D 正确.q ⌝故选:BCD.10．下列运算正确的是（ ）A B 8=-10=-C Dπ3=-a b =-【答案】AC【分析】直接借助根式的运算法则计算即可.【详解】对于A ，故A 正确； 8=-对于B ， 故B 错误； 对于C ，故C 正确； ππ3-=-对于D ，，a b a b a b ≥=-=-，故D 错误；a b a b b a <=-=-故选：AC.11．下列说法不正确的是( )A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．cos20<C ．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角D ．若，则与的终边相同 sin sin αβ=αβ【答案】ACD【分析】根据任意角的基本概念和三角函数定义即可逐项判断．【详解】对于选项A ，三角形内角范围是，其中90°不属于象限角，故A 错误； ()0π，对于选项B ，大小为2的角终边在第二象限，故cos2＜0，故B 正确； 对于选项C ，1弧度的角是长为半径的“弧”所对的圆心角，故C 错误；对于选项D ，若，则α和β的终边相同或关于y 轴对称，故D 错误． sin sin αβ=故选：ACD ．12．已知定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，1]时，，若函数是偶()f x ()cos()2f x a x π=-(1)y f x =+函数，则下列结论正确的有（ ） A ．的图象关于对称 B ．()f x 1x =(2022)0f =C ． D ．有100个零点(2023)(2021)f f >100()log ||y f x x =-【答案】ABD【分析】由题设有、、，即关于对称且是周期为41a =()(2)f x f x -=+()(4)f x f x =+()f x 1x =的奇函数，利用周期性求、、，判断A 、B 、C ；再画出与(2021)f (2022)f (2023)f ()f x 的函数部分图象，数形结合法判断它们的交点情况判断D.100log ||y x =【详解】由题设，，即，关于对称，A 正确； (1)(1)-+=+f x f x ()(2)f x f x -=+()f x 1x =又，则，即是周期为4的奇函数， ()()f x f x -=-()(2)(4)f x f x f x =-+=+()f x 由，即，(0)cos 010f a a =-=-=1a =，B 正确；(2022)(45052)(2)(0)0f f f f =⨯+===，，故(2023)(45061)(1)(1)1f f f f =⨯-=-=-=-(2021)(45051)(1)1=⨯+==f f f ，C 错误；(2023)(2021)f f <综上，与的函数部分图象如下：()f x 100log ||y x =当，过点，故时与无交点； 0x >100log y x =(100,1)100x >()f x 100log ||y x =由图知：上与有1个交点；04x <<()f x 100log ||y x =上的每个周期内与有两个交点，共有个交点；4100x <<()f x 100log ||y x =24248⨯=而与且，即时无交点；(100)0f =100log 1001y ==100x =当，过点，故时与无交点； 0x <100log ()y x =-(100,1)-100x <-()f x 100log ||y x =由图知：上与有3个交点；40x -<<()f x 100log ||y x =上的每个周期内与有两个交点，共有个交点；1004x -<<-()f x 100log ||y x =24248⨯=而与且，即时无交点； (100)0f -=100log 1001y ==100x =-综上，共有个零点，D 正确. 100()log ||y f x x =-148348100+++=故选：ABD三、填空题13．计算_____． 33log 18log 2-=【答案】.2【详解】由对数的运算性质可得：，故答案为2. 333log 18log 2log 92-==14．已知函数_____________. ()f x =【答案】[)2,+∞【分析】根据被开方数非负即可求解.【详解】函数的定义域应满足，解得.()f x 2050x x -≥⎧⎨+≥⎩2x ≥故函数的定义域为. ()f x [)2,+∞故答案为:.[)2,+∞15．已知函数和的图象均连续不断，若满足：，均有，则称区间()f x ()g x x A ∀∈()()0f x g x ≤A 为和的“区间”，则和在上的一个“区间”为()f x ()g x Ω()sin f x x =()cos g x x =[]0,πΩ_________．（写出符合题意的一个区间即可）【答案】π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】结合正弦函数与余弦函数在区间上的正负性，得到答案. 【详解】和的定义域都是，()sin f x x =()cos g x x =R 当时，，，满足“区间”的定义，π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0f x ≥()0g x ≤Ω故和在区间上的一个“区间”可以是．()sin f x x =()cos g x x =[]0,πΩπ,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．研究表明，函数 为奇函数时，函数 的图象关于点成中心对()()g x f x a b =+-()y f x =(,)P a b 称，若函数的图象对称中心为，那么_____ 2()1f x x x =-+(,)P a b +a b =【答案】2-【分析】构造奇函数，即可求得的值，进而求得的值. ()()g x f x a b =+-a b 、+a b 【详解】令，则， 1,1a b =-=-()(1)1g x f x =-+则()()22()11(0)11g x x x x x x =--+=-≠-+由，可得为奇函数， 22()()g x x x g x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭()g x 则函数的图象对称中心为，则2()1f x x x =-+(1,1)--P +112a b =--=-故答案为：2-四、解答题17．（1）知，计算；tan 3α=2sin cos 5cos sin αααα+-（2）已知都是锐角，，求的值.,αβ()45sin ,cos 513ααβ=+=cos β【答案】（1）；（2）.726365【分析】（1）对原式弦化切后求值即可；（2）由已知及同角三角函数平方和是1求出，对变形成()sin ,cos ααβ+()cos ,sin ααβ+β，再利用两角差的余弦公式计算.()βαβα=+-【详解】解：（1）， tan 3α= ；2sin cos 2tan 175cos sin 5tan 2αααααα++∴==--（2）且是锐角，，4sin 5α=α3cos 5α∴=且，，()5cos 13αβ+=()0,αβπ+∈()12sin 13αβ∴+=. ()()()5312463cos cos cos cos sin sin 13513565βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+++=⨯+⨯=⎣⎦18．已知幂函数为偶函数.()()2133m f x m m x +=-+(1)求幂函数的解析式； ()f x (2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增.()()1f x g x x+=()g x ()1,+∞【答案】(1)；()2f x x =(2)见解析.【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合函数的奇偶性即可求解； 2331m m -+=（2）由（1）得，设,作差即可证明. ()1g x x x=+211x x >>【详解】（1）因为是幂函数，()()2133m f x m m x +=-+所以,解得或.2331m m -+=1m =2m =当时，为偶函数，满足题意；1m =()2f x x =当时，为奇函数，不满足题意.2m =()3f x x =故.()2f x x =（2）由（1）得，故. ()2f x x =()()11f xg x x xx+==+设, 211x x >>则， ()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭因为，所以，，所以, 211x x >>210x x ->121x x >12110x x ->所以，即， ()()210f x f x ->()()21f x f x >故在区间上单调递增.()g x ()1,+∞19．为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量（单位：mg ）随时间y x（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与h y x y x的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决x b y a -=a b ，11(,1)(1,516A B ，下面的问题.(1)求从药物释放开始，与的函数关系式；y x (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg 以下时，才能保证对人身无害，若该校课0.25间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.40【答案】(1)； 1515,0511(,325x x x y x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩(2)可以，理由见解析.【分析】(1)将图象上给定点的坐标代入对应的函数解析式计算作答. (2)利用(1)的结论结合题意，列出不等式求解作答. 【详解】（1）依题意，当时，设，因函数的图象经过点A ，即，解得105x ≤≤y kx =y kx =11=5k ，5k =又当时，，解得，而图象过点，则，因此15x =151b a -=15b =B 14155116a a -==5544411()(2)1632a -===，所以与的函数关系式是. y x 1515,0511(,325x x x y x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（2）由(1)知，因药物释放完毕后有，，151()32x y -=1,5x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭则当空气中每立方米的药物含量降低到mg 以下，有，解得：，0.251511(0.25324x -<=35x >因此至少需要36分钟后才能保证对人身无害，而课间操时间为分钟，40所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，将实际问题转化、抽象为数学问题作答. 20．已知函数的部分图象如图所示.()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<(1)求函数的解析式；()f x(2)设函数，求使成立的的取值集合.()2π2cos 6g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()2g x ≥x 【答案】(1)；()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2).()ππ,π3k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】（1）根据图象先求出周期可得，再由特殊点可得； ωϕ（2）由三角恒等变换化简出，解正弦型三角不等式即可得解.()g x 【详解】（1）由已知得，3π5π3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭所以，所以， πT =2π2T ω==又因为，πππ55sin 1,0126f ϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，因此.π3ϕ=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为函数，()22cos 6g x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭222cos 63x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，cos212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭因为，则，()2g x ≥1sin 262x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所以， ππ5π2π22π666k x k +≤+≤+故， πππ,Z 3k x k k ≤≤+∈所以符合条件的的取值集合为. x ()ππ,π3k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 21．设函数．2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠(1)若不等式的解集，求a ，b 的值；()0f x >(1,1)-(2)若，(1)3f =①，，求的最小值，并指出取最小值时a ，b 的值． 0a >0b >11a b+②求函数在区间上的最小值．()f x [1,3]【答案】(1) 3,2a b =-⎧⎨=⎩(2)①，时，取最小值2 ；②当时，的最小值为，当时，1a =1b =11a b+0a >()f x (1)3f =a<0的最小值为．()f x (3)63f a =+【分析】（1）根据题意可知−1，1是方程的两根，结合韦达定理求解；（2）根据题意得()0f x =，①利用基本不等式进行处理运算，注意“1”得运用；②分类讨论判断单调性求解．2a b +=【详解】（1）由的解集是知−1，1是方程的两根，()0f x >(1,1)-()0f x =由根与系数的关系可得 311211a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨-⎪-+=-⎪⎩解得 3,2a b =-⎧⎨=⎩（2）由得，(1)3f =2a b +=①，，0a >0b > 11111()2a b a b a b ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭， 1222⎛⎫≥+= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当，即，时取等号， ba a b=1a =1b =的最小值是2． 11a b∴+②由于，得，则，2a b +=2a b =-2()3f x ax ax =-+函数的图象对称轴为， 2()3f x ax ax =-+12x =当时，在区间上单调递增，0a >()f x [1,3]则的最小值为，()f x (1)3f =当时，在区间上单调递减，a<0()f x [1,3]则的最小值为．()f x (3)63f a =+22．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中()y f x =D 任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.x x D -∈()()1f x f x ⋅-=()y f x =(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由； ()2x f x =()11x g x x+=-()y f x =()y g x =(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？()y f x =R 0x ≤()212xf x x -=+()2022f x =并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记()y f x =R 0R ()()()21f x F x f x ⎡⎤-⎣⎦=，证明：是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【答案】(1)是倒函数，不是倒函数，理由见解析()f x ()g x (2)没有，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；()f x ()g x （2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函0x <()()0,1f x ∈()2022f x =0x 00x >数，利用零点存在定理可得出结论；()()2022h x f x =-（3）推导出函数为上的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条()F x R ()F x 件、必要条件的定义证明可得结论.【详解】（1）解：函数的定义域为，对任意的，， ()f x R x ∈R ()()221x x f x f x -⋅-=⋅=所以，函数为倒函数，()f x函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，故函数不是倒函数. ()11x g x x+=-{}1x x ≠()g x （2）解：当时，则，由倒函数的定义可得， 0x >0x -<()()212x f x x f x ==+-由满足倒函数的定义，()01f =当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，0x >2x y =2y x =()f x ()0,∞+故当时，，当时，， 0x >()()01f x f >=0x <()()()10,1f x f x =∈-若函数有整数解，则，()2022f x =0x ()00,x ∈+∞设，则函数在上单调递增，()()2022h x f x =-()h x ()0,∞+因为，， ()1010210020220h =+-<()1111212120220h =+->所以，存在，使得，即，()010,11x ∈()00h x =()02022f x =故方程无整数解.()2022f x =（3）解：因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，()y f x =R 0R 所以，， ()()()()()()()211f x F x f x f x f x f x f x ⎡⎤-⎣⎦==-=--任取、且，则，所以，，，m n ∈R m n >m <n --()()f m f n >()()f n f m ->-所以， ()()()()()()F m F n f m f m f n f n -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()0f m f n f n f m =-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以，函数为上的增函数，()F x R 因为，故函数为上的奇函数.()()()()F x f x f x F x -=--=-()F x R 当时，即，则，所以，， 120x x +>12x x >-()()()122F x F x F x >-=-()()120F x F x +>即“”“”；120x x +>⇒()()120F x F x +>若，则，所以，，即.()()120F x F x +>()()()122F x F x F x >-=-12x x >-120x x +>所以，“”“”.120x x +>⇐()()120F x F x +>因此，是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；→→→→（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出()f x ()f x 函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这()y f g x ⎡⎤=⎣⎦()u g x =()y f u =两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.。
湖南省衡阳市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题含答案
2023级高一年级第二学期开学考试数学试题（答案在最后）时量：120分钟分值：150分考试内容：必修一，必修二第六章1-3节命题人：一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，U 是全集，,M N 是U 的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（）A.M N ⋂B.()UM N⋃ð C.()U M N⋂ð D.()U N M N ⋂⋂ð【答案】D 【解析】【分析】根据给定的图形，利用集合的交并补运算即可求解.【详解】观察图形知，阴影部分在集合N 中，且不在集合M ，在()U M N ⋂ð中，ABC 不可选，也不在M N ⋂中，所以阴影部分可表示为()U N M N ⋂⋂ð.故选：D 2.函数3ln y x x=-的零点所在区间是（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,1【答案】B 【解析】【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由3,ln y y x x==-在(0,)+∞上递减，所以3ln y x x=-在(0,)+∞上递减，又3(2)ln 2ln 022f =-=>，e (3)1ln 3ln 03f =-=<，所以零点所在区间为()2,3.故选：B3.函数()3e 1x x f x =+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数的奇偶性与函数值符号判断．【详解】∵函数()3e 1x x f x =+为非奇非偶函数，∴其图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故选项C 错误；当0x <时，()30e 1x x f x =<+，故A ，D 错误，故选：B4.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tan 1tan 2αα-+，结合三角函数的定义求得tan 3α=，即可求值.【详解】由()()()()2sin πcos π2sin cos 2tan 1sin 2π2cos sin 2cos tan 2αααααααααα-++--==++-++，又tan 3α=，所以2tan 12311tan 232αα-⨯-==++.故选：B5.已知2169log 3,2,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b >>B.c b a >>C.a b c >>D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数换底公式，结合对数函数性质及媒介数比较大小即得.【详解】依题意，1633111log 3log log 31627a ==>=，922111log 2log 9log 38c ==<=，又291log 2log 24c b -=>===，所以,,a b c 的大小关系为a c b >>.故选：A 6.已知()()1241,2(0,1)2,2x a x a x f x a a ax -⎧-++≤=>≠⎨>⎩．若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.10,(1,2)2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,(1,2)4⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】通过对参数a 分类讨论，研究()f x 在(,2]-∞和(2,)+∞的单调性，再结合已知条件，即可求解.【详解】解：由题意，不妨令()(2)41g x a x a =-++，(,2]x ∈-∞；1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，①当01a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递减，易知1()2x h x a -=在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，又因为()f x 存在最小值，只需(2)(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤，又由01a <<，从而102a <≤；②当12a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，又因为()f x 存在最小值，故(2)(2)g h ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得，34a ≤，这与12a <<矛盾；③当2a =时，9,2()2,2x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，易知()f x 的值域为(4,)+∞，显然()f x 无最小值；④当2a >时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递增，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，从而()f x 无最小值.综上所述，实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：A.7.如图，在ABC 中，1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，BC ，AB 边上的两条中线AD ，CE 相交于点P ，则cos DPE ∠=（）A.14B.7C.17D.14【答案】D 【解析】【分析】由题得ABC 为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求AD 与CE夹角的余弦即可.【详解】因为1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，由余弦定理得，2222cos 41221cos603BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=，得到BC =，又222BC AC AB +=，所以ABC 为直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则有(1,0),3),(0,0)A B C ，又,D E 分别为,BC AB 中点，所以313(0,),(,)222D E ，故313(1,(,)222AD CE =-= ，所以13724cos cos ,143131444AD CEDPE AD CE AD CE-+⋅∠===⋅+⋅+，故选：D.8.已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0ω>且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（）A.6π B.4π C.3πD.23π【答案】C 【解析】【分析】由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出ω的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得ω，利用对称轴即可求出ϕ.【详解】∵()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，3662T πππ∴-=≤，得1226ππω⨯≥，所以06ω<≤∵24x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的零点，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴6248πππ-=，若84T π=，则2T π=，此时22ππω=，得4ω=，满足条件，若384T π=，则6T π=，此时26ππω=，得12ω=，不满足条件，综上可知，函数()()cos 4f x x ϕ=+，∵6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴4,6k k Z πϕπ⨯+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈，∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，故选：C【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和ω是解决本题的关键，属于一般题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<，则2a c +=B.若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为()0,x ∃∈+∞，1ln x x-≤C.已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,1--D.已知()()2ln 21f x mx x =++.若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围(]0,1【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，不等式解集的端点即对应方程的根，可求出a ，c 判断正误；对于B ，使用含有一个量词的命题的否定的知识进行判断；对于C ，结合函数单调性的定义，结合分段函数单调性知识进行判断；对于D ，可使用复合函数的值域知识进行判断.【详解】对于A ，不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则1-和2是方程220ax x c ++=的两个根，故20440a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得2a =-，4c =所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称量词命题“x M ∀∈，()p x ”的否定为存在量词命题“x M ∃∈，()p x ⌝”因此命题():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->，则其否定为()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤，故B 正确；对于C ，因为()f x 是增函数，需满足当1x ≤时，25y x ax =---为增函数，当1x >时，ay x=为增函数，且当1x =时，25a x ax x ---≤，所以12015a a a a⎧-≥⎪⎪<⎨⎪---≤⎪⎩，解得32a --≤≤，故C 不正确；对于D ，令ln y t =，221t mx x =++，()f x 的值域为R ，则ln y t =的值域为R ，即(0,)+∞为221t mx x =++值域的子集，当0m =时，21t x =+，值域为R ，满足题意，当0m ≠时，需00m >⎧⎨∆≥⎩，即0440m m >⎧⎨-≥⎩，解得01m <≤，综上所述，实数m 的取值范围是01m ≤≤，故D 不正确.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.函数()228f x x x =+-的零点是()()4,0,2,0-B.方程e 3x x =+有两个解C.函数313,log xy y x-==的图象关于y x =对称D.用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内的近似解的过程中得到()()10, 1.50f f <>，()1.250f <，则方程的根落在区间()1,1.25上【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由零点的定义即可得解；对于BD ，由零点存在定理即可判断；对于C ，由互为反函数的两个函数图象的位置关系即可判断.【详解】对于A ，零点不是点，而是函数图象与x 轴交点的横坐标，故A 错误；对于B ，令()e 3xx f x =--，则()()232e10,3e 0f f ---=-<-=>，()()1010020,10e 1321310241310110f f =-<=->-=-=>，所以由零点存在定理可知()e 3xx f x =--（其图象连续不断）在()()3,2,0,10--内各有一个零点，故B正确；对于C ，若331log log 3xx y x y y -⇔-=⇔==，所以函数313,log xy y x-==互为反函数，所以函数313,log xy y x-==的图象关于y x =对称，故C 正确；由零点存在定理可知方程的根落在区间()1.25,1.5，故D 错误.故选：BC.11.给出下列命题，其中正确的选项有（）A.等边ABC 中，向量AC 与向量BC的夹角为60B.()2,1a =r ，()3,1b =- ，则向量a 在向量b 上的投影向量为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.非零向量,a b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角为30D.若()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围为34m >-【答案】ABC 【解析】【分析】由向量夹角定义知A 正确；由投影向量定义，结合向量坐标运算知B 正确；根据向量线性运算的几何意义可确定C 正确；由cos BA BCABC BA BC⋅∠=⋅ ，根据ABC ∠为锐角可构造不等式组求得D 错误.【详解】对于A ，,AC BC C =∠ ，ABC 为等边三角形，,60AC BC ∴=，A 正确；对于B，cos ,2a b a a b b ⋅===- ，3,1,1010b b ⎛-==- ⎝⎭，a ∴r 在b 上的投影向量为31cos ,,22b a a b b ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，a b a b ==-，∴以,,a b a b - 构成如图所示的等边三角形ABC ，其中AB a =，AC b =，CB a b =- ，以,AB AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则a b AD +=，四边形ABCD 为菱形，,a a b BAD ∴+=∠，又60CAB ∠= ，AD 平分CAB ∠，,30a a b BAD ∴+=∠=，C 正确；对于D ，()3,1BA OA OB =-=-- ，()1,BC OC OB m m =-=---，()()22cos 101BA BC ABC BA BC m m ⋅∴∠==⋅⋅--+- ABC ∠ 为锐角，cos 0cos 1ABC ABC ∠>⎧∴⎨∠≠⎩，解得：34m >-且12m ≠，D 错误.故选：ABC.12.已知函数()sin sin f x x x =⋅，则下列说法正确的是（）.A.()f x 是周期函数B.ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间C.若()()120f x f x +=，则()12πZ x x k k +=∈D.不等式sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅的解集为15,88k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈【答案】ABD 【解析】【分析】利用正弦型函数的图象与性质逐一判断即可.【详解】对于A ，因为()()()()2πsin 2πsin 2πsin sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅=，所以2π是()f x 的一个周期，正确；对于B ，因为()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，且函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 是奇函数，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21cos 2sin 2x f x x -==单调递增，又因为()f x 是奇函数且过原点，所以ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间，正确；对于C ，由AB 可画出函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上的图象，又因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于π2x =对称，可画出函数()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，即得到函数()f x 在π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，即一个周期的图象，如图：则π13π1,4242f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π3π044f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，但π3ππ442-+=，错误；对于D ，先求不等式sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅在一个周期内的解集，取区间[]0,2π，因为sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅，所以()π2π2π2f x f x ⎛⎫>+⎪⎝⎭，则π2π4π7π2π24x x ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，则在整个定义域上有π2π2π4π7π2π2π24x k x k ⎧>+⎪⎪⎨⎪+<+⎪⎩，解得15,Z 88k x k k +<<+∈，正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于新的三角函数，往往先画出一个周期的函数图象，进而得到整个函数图象，利用三角函数图象不仅解决三角函数性质问题，还可以解不等式、方程零点个数等问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.51log 22661611742log 3log 4cos4953π-⎛⎫⎛⎫⨯++-+= ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】9【解析】【分析】由指数与对数的运算法则以及诱导公式即可求解.【详解】原式512266log 2414[()]log 9log 4cos(6)753-π=⨯++-+π-16414()log 36cos723-π=⨯+-+1172922=+-+=故答案为：914.若扇形的弧长为8，圆心角为4rad ，则扇形的面积为__________.【答案】8【解析】【分析】由弧长公式求出扇形的半径r ，再由扇形的面积公式求解即可.【详解】解：8,4,l α== 2,lr α∴==182S rl ∴==.故答案为：815.a b c >>，*N n ∈，且11n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为__．【答案】4【解析】【分析】将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a c a b b c -=-+-，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．【详解】解：由于11n a b b c a c+≥---恒成立，且a c >即a c a cn a b b c --≤+--恒成立只要a c a cn a b b c--≤+--的最小值即可a c a c ab bc a b b ca b b c a b b c---+--+-+=+----2b c a ba b b c--=++--a b c>> 0a b ∴->，0b c ->，故4a c a c a b b c ⎛⎫--+≥ ⎪--⎝⎭，因此4n ≤故答案为：4．16.如图，ABC 是等边三角形，边长为2,P 是平面上任意一点．则()PA PB PC ⋅+的最小值为__________．【答案】32-【解析】【分析】取BC 的中点D ，AD 的中点O ，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】在边长为2的在ABC 中，取BC 的中点D ，连接AD 并取其中点O ，连接PO ，则1322OD AD ==，于是)22()()(PA PB PC PA PD PO OA PO OD ⋅+=⋅=+⋅+ 222332()()222()22PO OD PO OD PO OD =-⋅+=-≥-⨯=- ，当且仅当点P 与点O 重合时取等号，所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为32-.故答案为：32-四､解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.如图所示，已知在△AOB 中，BC =2AC ，OD =2DB ，DC 和OA 交于点E ，设OA a = ，OB b =．（1）用a和b 表示向量OC 、DC；（2）若OE OA λ=，求实数λ的值【答案】（1）2OC a b =- ；523DC a b=-（2）4=5λ【解析】【分析】（1）结合向量的加法、减法法则运算即可（2）根据向量的减法法则可得()2EC a b λ=-- 、523DC a b =-，结合平行向量的基本定理计算即可.【小问1详解】由题意知，A 是BC 的中点，且23OD OB =，由平行四边形法则，2OB OC OA +=，所以22OC OA OB a b =-=-，()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-.【小问2详解】因为//EC DC ，又()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=--，523DC a b =- ，所以22λ-＝153--，解得4=5λ．18.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，其中，点P 的坐标为(6,0)-，点Q 是()f x 图象上的最低点且坐标为(2,3)--，点R 是()f x 图象上的最高点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）记RPO α∠=，QPO β∠=（α，β均为锐角），求()tan 2αβ+的值.【答案】（1）()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）7736【解析】【分析】（1）由图象可得A ，由函数()y f x =的最小正周期求得ω的值，利用正弦函数的对称中心结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）利用函数周期求得(6,3)R ，由两点式斜率公式及诱导公式求得1tan 4α=，3tan 4β=，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.【小问1详解】由图象及(6,0)P -，(2,3)Q --可知，3A =，又函数()f x 的最小正周期()42616T ⎡⎤=---=⎣⎦，所以2ππ8T ω==，因为点(6,0)P -为函数()f x 的一个对称中心，所以()π6π,Z 8k k ϕ⨯-+=∈，即3ππ,Z 4k k ϕ=+∈，又π2ϕ≤，所以π0,4k ϕ==-，所以()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）函数周期及最值知(6,3)R ，因为RPO α∠=，QPO β∠=，(6,0)P -，(2,3)Q --，所以()301tan 664PR k α-===--，()()303tan πtan 264PQ k ββ---=-===----，即3tan 4β=，所以22122tan 84tan 21tan 15114ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()83tan 2tan 77154tan 2831tan 2tan 361154αβαβαβ+++===-⋅-⋅.19.为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y 与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为18x ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室（精确到0.01）.【答案】（1）0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）0.77【解析】【分析】（1）根据已知图象过的点的坐标，即可直接求出相应解析式；（2）令0.25y =，即可得出结果.【小问1详解】由题知，药物释放过程中，设y kx =，将()0.1,1代入解析式可得，0.11k =，解得10k =，以及0.1118a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以从药物释放开始，0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】由（1）知，0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，令0.110.258x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则20.10.773x >+≈，所以从药物释放开始，至少需要经过约0.77小时后，学生才能回到教室.20.已知函数()211f x x x =---．（1）求函数()f x 的零点以及不等式()0f x ≤的解集M ；（2）设M 中的最大数是m ，正数a b ､满足3a b m +=，求225b aa b++的最小值．【答案】（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）132【解析】【分析】（1）将函数写为分段函数的形式，再根据范围依次解不等式即可.（2）确定2a b +=，变换224659b a a b a b=+++-，再利用均值不等式计算得到最值.【小问1详解】,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，当1x ≥时，0x ≤，解得∅；当112x <<时，320x -≤，解得23x ≤，即12,23x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当12x ≤时，0x -≤，解得102x ≤≤，即10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：20,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，即20,3M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】23m =，2a b +=，()()22222222555949486a b b a b a a b a b a b a a b a a b a b --++=++=++=++=-()1941194113622222b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当94b a a b=，即65a =，45b =时等号成立.21.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC的夹角；（2）若⊥AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．【答案】21.6π22.sin cos 4αα-=，33sin cos αα+47128=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开33sin cos αα+，进而得解.【小问1详解】由OA OC += 得()224+cos sin 21αα+=，1cos 2α=，又0πα<<，3πα∴=，1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC的夹角为β,()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅=23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC的夹角β为6π.【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅=，即()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，1sin cos 4αα∴+=，152sin cos 016αα-∴=<，故ππ2α<<,()21531sin cos 11616αα-∴-=-=，sin cos 4αα∴-=.又33sin cos αα+()()22sin cos sin sin cos cos αααααα=+-+1151432⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭47128=.22.已知函数()()12log 2sin 1 3.f x x =+-（1）求f (x )的定义域；（2）若0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求f (x )的值域;（3）设R a ∈，函数()2232g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01 g x f x =成立，求a 的取值范围.【答案】（1）7{|22Z}66x k x k k ππππ-<<+∈；（2）[4,3]--；（3）53(,][1,]32-∞- .【解析】【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.（2）求出函数2sin 1y x =+在[0,]6π上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.【小问1详解】函数12()log (2sin 1)3=+-f x x 有意义，有2sin 10x +>，即1sin 2x >-，解得722,Z 66k x k k ππππ-<<+∈，所以函数f (x )的定义域为7{|22Z}66x k x k k ππππ-<<+∈.【小问2详解】当06x π≤≤时，10sin 2x ≤≤，则12sin 12x ≤+≤，121log (2sin 1)0x -≤+≤，4()3f x -≤≤-，所以f (x )的值域是[4,3]--.【小问3详解】由（2）知，1[0,]6x π∈，14()3f x -≤≤-，函数()2232g x x a x a =--图象对称轴232a x =，而[0,1]x ∈，当2312a ≤，即33a -≤≤时，显然(0)233g a =-≥->-，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则必有2(1)1324g a a =--≤-，解得53a ≤-或1a ≥，显然无解，当2312a >，即3a <-或3a >时，函数()2232g x x a x a =--在[0,1]上单调递减，()()()10g g x g ≤≤，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则(0)3(1)4g g ≥-⎧⎨≤-⎩，于是得2231324a a a -≥-⎧⎨--≤-⎩，解得53a ≤-或312a ≤≤，满足3a <-或3a >，因此53a ≤-或312a ≤≤，所以a 的取值范围是53(,[1,]32-∞- .【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
湖南省2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题
湖南省2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题一、单选题：共12道小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∩B）＝（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，4}D．{2，3，4}2．命题“∀x∈R，2x+1＜0”的否定为（）A．∀x∈R，2x+1≥0B．∃x∈R，2x+1≥0C．∃x∈R，2x+1＜0D．∀x∈R，2x+1＞03．函数f（x）＝2ln x+x﹣6的零点一定位于下列哪个区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．已知角α的终边与单位圆相交于点P（，），则sin2α＝（）A．B．C．D．5．函数的定义域为（）A．{x|x≥2}B．{x|x≤2，且x≠0}C．{x|x≤﹣2}D．{x|x≥﹣2，且x≠0}6．若a＝log46，b＝3﹣2，c＝log2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．已知正数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（）A．6B．8C．16D．208．将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝f（x）的图象，则y＝f（x）的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）9．如果“，k∈Z”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件10．已知函数，则它的部分图象大致是（）A．B．C．D．11．若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（4﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣1，则f（21）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3二、多选题：共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.13．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤14．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A．f（0）＝1B．在区间[，0]上单调递增C．将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数D．15．若函数（a＞0且a≠1）在R上为单调递增函数，则a的值可以是（）A．B．2C．3D．4三、填空题：共5道小题，每小题3分，共15分．16．已知幂函数f（x）＝kxα的图象过点（2，4），则k+α＝．17．已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为．18．求值：tan55°+tan65°﹣tan55°tan65°＝．19．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝3，则的最小值为．20．函数f（x）＝log（﹣2x2+x）的单调增区间是；f（x）的值域是．四、解答题：共5道题，每小题8分，共40分.21．（8分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，集合B＝{x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a＝2，求A∪B和A∩∁R B；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．22．（8分）（Ⅰ）求值：；（Ⅱ）已知x是第三象限角，且，先化简f（x），再求f（x）的值．23．（8分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关，若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为p＝（0≤x≤15），若距离为10km 时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．24．（8分）已知f（x）＝．（1）若f（x）＝，x∈（，），求x的值；（2）若x∈[0，]，求f（x）的最大值和最小值．25．（8分）已知函数．（1）求函数y＝f（x）的零点的集合；（2）设，讨论函数y＝g（x）﹣a（a∈R）的零点个数．【参考答案】一、单选题：共12道小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．C【解析】根据题意，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3}，又由全集U＝{1，2，3，4}，则∁U（A∩B）＝{1，4}，故选：C．2．B【解析】命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，2x+1≥0，故选：B．3．C【解析】∵函数f（x）＝2ln x+x﹣6在（0，+∞）上连续，又∵f（1）＝0+1﹣6＜0，f（2）＝2ln2+2﹣6＝2（ln2﹣2）＜0，f（3）＝2ln3+3﹣6＝ln9﹣3＜0，f（4）＝2ln4﹣2＝2（ln4﹣1）＞0，f（5）＞0．∴函数f（x）＝2ln x+x﹣6在（3，4）上一定有零点，故选：C．4．C【解析】由题意，|OP|＝1，∵角α的终边与单位圆相交于点P（，），∴sinα＝，cosα＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×＝﹣．故选：C．5．B【解析】要使函数有意义，则，得，即x≤2且x≠0，即函数的定义域为{x|x≤2且x≠0}，故选：B．6．A【解析】∵log46＞log44＝1，，∴a＞b＞c．故选：A．7．C【解析】因为正数a，b满足a+b＝1，则＝＝10+＝16，当且仅当且a+b＝1，即a＝，b＝时取等号，此时取得最小值16．故选：C．8．B【解析】将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，得到y＝sin（2x+），再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin2x，令2x＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z，所以y＝f（x）的对称中心为（，0），k∈Z，当k＝1时，对称中心为（，0）．故选：B．9．A【解析】当，k∈Z时，是成立的，即充分性成立；当时，x＝2kπ+或2kπ﹣，k∈Z，即必要性不成立，故选：A．10．C【解析】f（﹣x）＝＝e＝f（x），则f（x）是偶函数，排除B，D，∵|x|﹣x2＝﹣（x2﹣|x|）＝﹣（|x|﹣）2+，∴f（x）≤，且当x→+∞，f（x）→0，排除A，故选：C．11．D【解析】∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，此时，此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，即，得﹣1≤x＜0，综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．12．B【解析】∵f（x）为奇函数，f（x）＝f（4﹣x），∴f（x+4）＝f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），∴f（x）的周期为8，又x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣1，∴f（21）＝f（﹣3+3×8）＝f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣f（1）＝﹣1．故选：B．二、多选题：共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.13．ABD【解析】①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确．③，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．故选：ABD．14．BD【解析】函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，所以ω＝＝2；又f（﹣）＝0，由五点法画图知，2×（﹣）+φ＝0，解得φ＝；所以f（x）＝2sin（2x+）．由f（0）＝2sin＝，所以选项A错误；x∈[﹣，0]时，2x+∈[﹣，]，函数f（x）＝2sin（2x+）单调递增，选项B 正确；将f（x）的图象向左平移个单位，得y＝f（x+）＝2sin（2x+），该函数不是偶函数，选项C错误；﹣f（﹣x）＝﹣2sin[2（﹣x）+]＝﹣2sin（﹣2x）＝2sin（2x﹣）＝2sin （2x+）＝f（x），选项D正确．故选：BD．15．BCD【解析】根据题意，函数在R上为单调递增函数，则有，解可得a≥2，即a的取值范围为[2，+∞），故选：BCD．三、填空题：共5道小题，每小题3分，共15分．16．3【解析】由题意，函数f（x）＝kxα是幂函数，所以k＝1，又幂函数f（x）过点（2，4），∴f（2）＝2α＝4，解得α＝2，∴k+α＝3，故答案为：3.17．2【解析】设扇形的半径为r，因为扇形AOB的面积为，圆心角AOB为，可得扇形的面积S＝r2α，可得：＝r2×，解得：r＝2．故答案为：2．18．﹣【解析】因为tan120°＝tan（55°+65°）＝＝﹣，所以tan55°+tan65°＝﹣tan65°tan55°，所以tan55°+tan65°﹣tan55°tan65°＝．故答案为：﹣．19．8【解析】∵log2x+log2y＝3，∴xy＝8，∵x＞y＞0，∴＝＝x﹣y+≥2＝8，当且仅当x﹣y＝，即x＝2+2，y＝2﹣2时取等号，∴的最小值为8．故答案为：8．20．[，）；[3，+∞）【解析】函数f（x）＝log（﹣2x2+x）的单调增区间，即函数y＝﹣2x2+x在满足y＞0的条件下，函数y的减区间．∵函数y＝﹣2x2+x＝﹣x（2x﹣1），故在y＞0的条件下，函数y的减区间为[，）．∵函数y＝﹣2x2+x＝﹣2+∈（0，]，故f（x）＝log y∈[3，+∞）．故答案为：[，）；[3，+∞）．四、解答题：共5道题，每小题8分，共40分.21．解：（I）a＝2时，A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a+1}＝{x|3≤x≤5}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤5}，A∩∁R B＝{x|﹣2≤x≤5}∩{x|x＞5或x＜3}＝{x|﹣2≤x＜3}；（II）由A∪B＝A，得B⊆A，若B＝∅，则a+1＞2a+1，解得a＜0，当B≠∅，则，解得0≤a≤2，综上，a≤2，所以a的范围{a|a≤2}．22．解：（Ⅰ）原式＝（23）+lg2+lg5+1+3＝2+1+1+3＝7；（Ⅱ）f（x）＝＝＝﹣cos x，因为x是第三象限角，则cos x＜0，又tan x＝2，则cos x＝﹣＝﹣，所以f（x）＝﹣cos x＝．23．解：（1）根据题意得20＝，解得k＝900，∴p＝，故f（x）＝，0≤x≤15；（2）∵f（x）＝＝+（4x+5）+5≥＝65，当且仅当，即x＝时，f（x）min＝65．∴宿舍应建在离厂km处，可使总费用f（x）最小，最小为65万元．24．解：（1）f（x）＝sin2x﹣3×+＝sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣），由f（x）＝，得sin（2x﹣）＝，即sin（2x﹣）＝，∵x∈（，）∴2x﹣∈（0，π），则2x﹣＝或2x﹣＝，得x＝或x＝．（2）若x∈[0，]，则2x∈[0，π]，2x﹣∈（﹣，]，则当2x﹣＝﹣时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）＝sin（﹣）＝﹣＝﹣，当2x﹣＝时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）＝sin＝．25．解：（1）f（x）＝，当x＞0时，易知f（x）＝2x﹣单调递增，∴f（x）＞f（0）＝0，∴函数y＝f（x）的零点的集合为{x|x≤0}．（2）g（x）＝，①当﹣1≤x＜0时，g（x）单调递增，∴g（﹣1）≤g（x）＜g（0），即0≤g（x）＜，∴g（x）∈[0，），②当x≥0时，g（x）单调递增，则g（x）≥g（0）＝0，又当x→+∞时，g（x）→+∞．画出函数g（x）的图象，如图所示，函数y＝g（x）﹣a（a∈R）的零点个数，等价于函数y＝g（x）与y＝a的图象交点个数，由图象可知，当a＜0时，函数y＝g（x）与y＝a的图象无交点，即函数y＝g（x）﹣a（a ∈R）的零点个数为0，当0≤a＜时，函数y＝g（x）与y＝a的图象有2个交点，即函数y＝g（x）﹣a（a∈R）的零点个数为2，当a时，函数y＝g（x）与y＝a的图象有1个交点，即函数y＝g（x）﹣a（a∈R）的零点个数为1．。
湖南长沙知名中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷
明德中学2024年上学期入学考试高一年级数学试卷时量：120分钟 满分150命题：高一数学备课组 审定：高一数学备课组 一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.已知集合{}0,1,2,3,{2}M N x x ==<∣，则()R M N ∩= （ ） A.(),2∞− B.()2,3 C.{}2,3 D.{}1,2,32.设m R ∈，命题“存在0m ≥，使210mx mx −−=有实根”的否定是（ ）A.任意0m ≥，使210mx mx −−=无实根B.任意0m <，使210mx mx −−=有实根C.存在0m ≥，使210mx mx −−=无实根D.存在0m <，使210mx mx −−=有实根3.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P − ，那么()cos πα+等于（ ） A.45− B.35 C.45 D.35−4.若实数,,a b c 满足22,0ac bc m >>，则下列结论中正确的是（ ） A.a b > B.a b > C.11a b< D.b b m a a m +<+ 5.已知()f x的定义域是 − ，则()sin2f x 的定义域为（ ） A.ππ2π,2π,63k k k Z ++∈ B.πππ,π,63k k k Z ++∈ C.2ππ2π,2π,36k k k Z −++∈ D.π7ππ,π,36k k k Z ++∈ 6.关于x 的不等式22430(0)x ax a a −+−≥>的解集为{}12x x x x ≤≤∣，则12123a x x x x ++的最小值是（ ）A.4B. 7.命题“对任意的[]1,1m ∈−，总存在唯一的[]0,3x ∈，使得2210x x am −−−=”成立的充分必要条件是（ ） A.22a −≤≤ B.11a −≤≤C.01a <<D.11a −<<8.已知函数()()2332x f x a x bx =++−，若函数()y f x =与函数()()y f f x =的零点相同，则2a b −的取值可能是（ ）A.2B.-2C.5D.4 二､多选题（本题共3个小题，每小题6分.共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得3分）9.已知函数()πsin 23f x x =+ ，则（ ） A.函数()f x 的最小正周期为π B.函数()f x 的图象关于直线π6x =−对称C.函数()f x 在区间ππ,42 上单调递减 D.函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象向右平移5π6个单位长度得到 10.如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为(0t y a a =>，且1a ≠）.下列说法正确的是（ ）A.浮萍每月的增长率为2B.第5个月时，浮萍面积就会超过230mC.浮萍每月增加的面积都相等D.若浮萍曼延到2222m ,3m ,6m 所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=11.已知函数2(2)124,1,()log (1),1,x x f x x x + ≤− = +>− 若函数()y f x m =−有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<，则（ ）A.14m <≤B.3151162x −<≤− C.函数()1f x +的增区间为[]2,1−−D.2212log x x ++的最小值为8 三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12.函数()1ln f x x x=的定义域为__________. 13.若函数()21,0221,0xx f x x x x ≤ = −++>若()f x 在区间(),m n 上既有最大值，又有最小值，则n m −的取值范围是__________.14.已知()sin 2cos f x x x =+，当x θ=时，()f x 取得最大值，则tan θ=__________. 四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）计算下列各式的值：（1）20.5230327491(0.008)(π1)8925−− −+×+−（2）2log 32231log 3log 8(lg 5)lg 5lg 20lg1622⋅+++− 16.（本小题满分15分）已知()()()sin πtan πf ααα−=+（1）求11π6f的值； （2）已知π133f α += ，求πsin 6α − 的值. 17.（本小题满分15分）已知函数()2π2cos sin R 3f x x x x x =⋅−+∈ （1）求()f x 的对称轴方程；（2）若关于x 的方程()()23[]10fx mf x ++=在区间ππ,63 − 上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分17分） 已知函数()()()log 1log a a f x x b x m =−−++（0a >且1a ≠）为奇函数.（1）求函数()f x 的定义域及解析式； （2）若11,22x ∈− ，函数()f x 的最大值比最小值大2，求a 的值. 19.（本小题满分17分） 设正整数4n ≥，若由实数组成的集合{}12,,,n A a a a = 满足如下性质，则称A 为H n 集合：对A 中任意四个不同的元素a b c d ,,,，均有ab cd A +∈.（1）判断集合110,,1,22A = 和21,1,2,33A = 是否为4H 集合，说明理由； （2）若集合{}0,,,A x y z =为4H 集合，求A 中大于1的元素的可能个数； （3）若集合A 为H n 集合，求证：A 中元素不能全为正实数.。
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期开学自主检测数学试卷含答案
长沙市2023—2024学年度高一第二学期开学自主检测数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}139x A x =≤<，集合{}30log1B x x =≤<，则A B = （）A.[)1,2 B.[)0,2 C.[)0,3 D.[)1,3【答案】A 【解析】【分析】解指对数不等式化简集合,A B ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}{}{}0213933302xx A x x x x =≤<=≤<=≤<，{}{}{}33330log 1log 1log log 313B x x x x x x =≤<=≤<=≤<，所以{}[)121,2A B x x ⋂=≤≤=.故选：A.2.函数()1312⎛⎫=- ⎪⎝⎭xf x x 的零点一定位于下列的哪个区间（）A.()2,3 B.()1,2 C.()0,1 D.()1,0-【答案】C 【解析】【分析】由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．【详解】因为函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()01310010,2f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭()113111110,22f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，∴函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点一定位于区间()0,1.故选:C ．3.已知a →,b →为非零向量，则“0a b →→∙>”是“a →与b →夹角为锐角”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】根据向量数量积的定义式可知，若0a b ⋅>，则a 与b 夹角为锐角或零角，若a 与b夹角为锐角，则一定有0a b ⋅> ，所以“0a b ⋅> ”是“a与b夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.4.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（）A.()exxf x = B.()exf x x = C.()exf x x=D.()exx f x =【答案】D 【解析】【分析】先由图象得到()f x 的定义域、奇偶性与单调性，再结合指数函数的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】由图象可知，()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，同时，()f x 在()0,∞+上先增后减，对于A ，()11e f =，()111e ef ---==-，不满足题意，故A 错误；对于B ，当120x x <<时，120e e x x <<，即210e e x x <<，所以1212ee x xx x <，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故B 错误；对于C ，显然，()exf x x=在0x =处无意义，故C 错误；对于D ，()exx f x =的定义域为R ，又()()e ex x x xf x f x ---==-=-，则()f x 是奇函数，经检验，()f x 的单调性也满足题意，故D 正确.故选：D.5.已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则（）A.a b c >> B.b a c>> C.c b a>> D.a c b>>【答案】C 【解析】【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.【详解】2222243ln 2ln 4ln 3ln 3ln 2ln 3ln 2ln 4ln ln 2log 3log 20ln 4ln 3ln 3ln 4ln 3ln 4ln 3ln 4b a +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-==>=>22254ln 3ln 5ln 4ln 4ln 3ln 4ln 3ln 5ln ln 2log 4log 30ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4c b +⎛⎫- ⎪--⎝⎭-=-=-=>=>所以c b a >>.故选：C.6.已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（）A.13B.14 C.112D.112-【答案】C 【解析】【分析】根据题意，切化弦，结合两角和的正弦公式分别求出cos ,cos i s n n i s B A A B 的值，代入两角差的正弦公式即可求解.【详解】因为tan 2tan A B =，即sin sin 2cos cos A BA B=，所以sin cos 2sin cos A B B A =，因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=，即13cos sin 4A B =，解得11cos sin ,sin cos 126A B A B ==，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -，所以()111sin 61212A B -=-=.故选：C【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式；考查运算求解能力；熟练掌握两角和与差的正弦公式是求解本题的关键；属于中档题.7.如图，在ABC 中，满足条件1,3AD DB AE EC == ，若DE BA BC λμ=+ ，则11λμ+=（）A.8B.4C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则，结合已知条件，可得1144DE BA BC =+ ，求出11,44λμ==，从而得出答案.【详解】因为DE DA AE =+ ，1,3AD DB AE EC ==,所以()11112424DE BA AC BA BC BA ==++-，即1144DE BA BC =+ ，又DE BA BC λμ=+ ，所以11,44λμ==，故118λμ+=.故选：A.8.设函数()()()1sin 02f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.51,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.45,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】根据题意，将问题转化为研究1sin 2y x ω=-在任意一个长度为2π的区间上的零点问题，分别求得相邻三个零点之间的距离，相邻四个零点之间的最小距离，从而得到关于ω的不等式组，解之即可得解.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,2π上的零点问题，即研究函数1sin 2y x ω=-在任意一个长度为2π02π-=的区间上的零点问题，令1sin 2y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L ，故相邻三个零点之间的距离为2πω，相邻四个零点之间的最小距离为8π3ω，所以要使函数()f x 在区间[]0,2π上至少有2个零点，至多有3个零点，则需相邻三个零点之间的距离不大于2π，相邻四个零点之间的最小距离大于2π，即2π2π8π2π3ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得413ω≤<，即41,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的ϕ以及区间[]0,2π是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知a ，b ，R c ∈，则下列结论正确的是（）A.若0a b >>，则11a b < B.若a b >，则22ac bc >C .若0a b >>，则11a b b a+<+ D.若0a >，0b >，2324a b a b +=+，则a b>【答案】AD 【解析】【分析】利用作差法可以判断AC ，举反例可排除B ，构造函数()23xf x x =+，利用其单调性可判断D ，从而得解.【详解】对A ，因为0a b >>，所以110b a a b ab--=<，则11a b <，故A 正确；对B ，当0c =，则220ac bc ==，故B 错误；对C ，因为()()1111a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0a b >>，则10,10a b ab->+>，所以110a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b b a+>+，故C 错误；对D ，因为0b >，所以232423a b b a b b +=+>+，令()23xf x x =+，则()()f a f b >，易知()23xf x x =+在R 上单调递增，所以a b >，故D 正确.故选：AD.10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）A.消耗1L 汽油，乙车最多可行驶5kmB.甲车以80km/h 的速度行驶1h 消耗约8L 汽油C.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D.某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】BD【解析】【分析】结合图象逐项分析即得.【详解】由题可知，当乙车速度大于40km/h 时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km ，A 错误；甲车以80km/h 的速度行驶时，燃油效率为10km/L,则行驶1h 消耗8L 汽油，B 正确；以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，C 错误；在机动车最高限速80km/h 在相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，所以更节油，D 正确；故选：BD11.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π3x =-对称B.函数()y f x =在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减C.函数π6y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数D.该函数的图象可由2cos y x =的图象向左平行移动π6个单位长度得到【答案】BC 【解析】【分析】先根据函数图象，结合三角函数的性质可确定函数的解析式，利用代入检验法可判断AB ，利用余弦函数的奇偶性可判断C ，利用三角函数平移的性质可判断D.【详解】由图象可知：2A =，37ππ3π4632T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2πT =，故2π1Tω==，所以()()2sin f x x ϕ=+，又7π7π2sin 266f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则7π3π2π,Z 62k k ϕ+=+∈，所以ππ,Z k k ϕ=+∈23，由于π,2ϕ<所以π3ϕ=，故()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，πππ2sin 02333f ⎛⎫⎛⎫-=-+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误，对于B ，当5ππ,6x ⎡⎤∈--⎢⎣⎦时，π2πππ,π,3322x ⎡⎤⎡⎤+∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故()y f x =在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确，对于C ，ππππ2sin 2sin 2cos 6632y f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然π6y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确，对于D ，2cos y x =的图象向左平行移动π6个单位长度得()π2π2cos 2sin 63y x x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误，故选：BC.12.已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：（1）对任意()0,x ∈+∞，()()22f x f x =恒成立；（2）当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，则下列选项正确的有（）A.对任意m Z ∈，有()2mf =B.函数()f x 的值域为[)0,∞+C.存在Z n ∈，使得()219nf +=D.函数()f x 在区间(),a b 上单调递减的充要条件是：存在Z k ∈，使得()()1,2,2kk a b +⊆.【答案】ABD 【解析】【分析】利用条件(1)判断A ；利用条件(2)判断B ；利用反证法判断C ；结合以上推导判断D ．【详解】对于选项A ，()()()()11122222220mm m m f f f f ---=⋅=⋅⋅⋅===，A 正确；对于选项B ，当(12,2mm x +⎤∈⎦时，(]1,22m x ∈，[)20,122m m x x f ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，从而())1220,2222mm mm f x x x x f f +⎛⎫⎛⎫⎡=⋅⋅⋅==-∈ ⎪ ⎪⎣⎝⎭⎝⎭＝，所以函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 正确；对于选项C ，因为(1212,2nn n +⎤+∈⎦，所以()12122121n n n nf +-+==--，假设存在n 使()219nf +=，则12210n n +-=，所以210n =，满足条件的整数不存在，C 错误；对于选项D ，若()()1,2,2kk a b +⊆，当(),x a b ∈时，()12k f x x +=-，函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，若函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，不妨设122k k a +≤<，Z k ∈，若22k b +>，则()122,2,k k a b ++∈，1222k k ++<，()()12220k k f f ++==，与已知矛盾，若1222k k b ++<≤，则()12,k a b +∈，当()102,k x b +∈，102k x +>，但()()2100220k k f x x f ++=-<=，与已知矛盾，故12k b +≤，故()()1,2,2kk a b +⊆，故函数()f x 在区间(),a b 上单调递减的充要条件是：存在Z k ∈，使得()()1,2,2k k a b +⊆，D 正确，故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于分区间求出函数的解析式，再结合函数的性质判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.3log 712lg5lg 43⎛⎫-++= ⎪⎝⎭______.【答案】87##117【解析】【分析】利用指数对数的运算性质计算即可.【详解】33log 7log 71182lg 5lg 42lg 52lg 21321377-⎛⎫--++=+-+=-+= ⎪⎝⎭.故答案为：87.14.设函数()y f x =的定义域为R ，则函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关于______对称.【答案】1x =【解析】【分析】先确定()y f x =与()y f x =-的图象关系，再同时向右平移一个单位可得答案.【详解】由于R x ∈，恒有()y f x =与()y f x =-的图象关于y 轴对称，又()y f x =向右平移一个单位得()1y f x =-，()y f x =-向右平移一个单位得()1y f x =-，故函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关于1x =对称.故答案为：1x =.15.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是__________．【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】令sin cos t x x =-，根据同角的三角函数关系式求出关于sin2x 的表达式，最后利用二次函数2()1g t t t =-++的单调性求出函数的值域.【详解】令πsin cos 4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,4-.16.已知边长为的正三角形ABC 的中心为O ，正方形MNPQ ，且线段MP 与NQ 相交于点O ，则BM CP +=______.【答案】2【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减运算化简BM CP +，再在正ABC 中求得OD ，从而得解.【详解】记BC 中点为D ，连接,,OB OC OD ，如图，因为在正方形MNPQ 中，MP 与NQ 相交于点O ，则O 是MP 的中点，所以0OM OP += ，则2BM CP BO OM CO OP OB OC OD +=+++=--=-，在正ABC 中，BC =，O 为ABC 的中心，所以1113232OD BC =⨯=⨯⨯=，则22BM CP OD +== .故答案为：2.【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是充分用点O 的性质，利用向量的线性运算即可得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量(1,2)a = ，(3,2)b =- ．（1）求a b - ；（2）已知c = (2)a c c +⊥ ，求向量a 与向量c 的夹角．【答案】（1）（2）3π4【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.【小问1详解】由题知，(1,2)a = ，(3,2)b =- 所以(2,4)a b -=-，所以a b -== 【小问2详解】由题知，(1,2)a = ，c = (2)a c c +⊥，所以a = (2)0a c c +⋅= ，所以220a c c ⋅+= ，所以22||||cos ,)||0a c a c c 〈+= ，所以2cos ,100a c +=，所以cos ,2a c 〈>=- ，因为[],)0,πa c ∈ ，向量a 与向量c 的夹角为3π4.18.已知函数()21ax b f x x +=+是定义域为R 的奇函数，且满足()()1012f f +=.（1）求a ，b 的值，判断函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性（不需要证明）；（2）已知1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x <，若()()12f x f x =，求124x x +的取值范围.【答案】（1）1,0a b ==，()f x 的单调性见解析（2）()5,+∞【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质与()()1012f f +=可求得,a b 的值，从而得到()f x 的解析式，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（2）利用()()12f x f x =得121=x x ，再分析得21x >，将124x x +转化为关于2x 的表达式，从而利用对勾函数的性质即可得解.【小问1详解】因为函数2()1ax b f x x +=+是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，又()()1012f f +=，则()112f =，所以00011112b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()1x f x x =+，此时其定义域为R ，又2()()1x f x f x x --==-+，则函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以1,0a b ==，此时()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，证明如下：设1201x x <<<，则()()()()22122112122222121211()()1111+-+-=-=++++x x x x x x f x f x x x x x ()()()()12212212111x x x x x x --=++，因为1201x x <<<，所以21211,0x x x x <->，所以()()()()122122121011x x x x x x --<++，12()()f x f x <，所以函数()f x 在()0,1上单调递增；同理可证在()1,+∞上单调递减.【小问2详解】因为()()12f x f x =，2()1x f x x =+，则有2112122212()(1)()()0(1)(1)x x x x f x f x x x ---==++，因为120x x <<，所以1210x x -=，即121=x x ，所以21x >，且121x x =，所以1222144x x x x +=+，令()141y x x x=+>，由对勾函数的性质可知，14y x x =+在()1,+∞上单调递增，所以1144151y x x =+>⨯+=，所以1254x x +>，即124x x +的取值范围为()5,+∞.19.如图所示，已知点()1,0A ，()1,0D -，点B ，C 在单位圆O 上，且3BOC π∠=.（1）若点34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求cos AOC ∠的值；（2）设203AOB x x π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，四边形ABCD 的周长为y ，将y 表示成x 的函数，并求出y 的最大值.【答案】（1）310-（2）23sin 323x y π⎛⎫=++⎪⎝⎭，max 5y =【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义，由终边上的34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得43sin ,cos 55AOB AOB ∠=∠=，再由余弦的和角公式，可得答案；（2）根据圆直径的性质和锐角三角函数，可得弦,AB CD ，根据周长公式，可得函数，再根据三角恒等变换，可得周长y 关于x 的函数.【小问1详解】因为34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且为AOB ∠终边上一点，所以43sin ,cos 55AOB AOB ∠=∠=，由3BOC π∠=，可得：1sin ,cos 22BOC BOC ∠=∠=，()cos cos cos cos sin sin AOC AOB BOC AOB BOC AOB BOC∠=∠+∠=∠∠-∠∠3143525210-=⨯-⨯=【小问2详解】由3BOC π∠=，易知等边BOC ，则1BC =，连接,AC BD ，作图如下：易知12,,2223x ABD ACD BDA AOB COD x ππ∠=∠=∠=∠=∠=-，即1232x CAD COD π∠=∠=-，则在Rt △ABD 中，sin 2sin 2x AB AD ADB =⋅∠=，同理，sin 2sin 32x CD AD CAD π⎛⎫=⋅∠=- ⎪⎝⎭，则122sin 12sin 32sin 2cos sin 23222222x x x x x y π⎛⎫⎛⎫=+++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32sin sin 3sin 2sin 32222223x x x x x x π⎛⎫=+-=++=++ ⎪⎝⎭，由203x π<<，可得323x πππ<+<，根据正弦函数的性质，当232x ππ+=，即3x π=，则max 5y =.20.某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y （单位：微克）与时间t （单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当[]0,1.5t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]1.5,6t ∈时，曲线是函数()()log 2.550,1a y t a a =++>≠图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y 与时间t 之间的函数关系式；（2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）1.414≈）【答案】（1）2124(1)4,0 1.5log ( 2.5)5,1.56t t y t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩（2）0.3小时后，5.2小时【解析】【分析】（1）当0 1.5t ≤<时，设2(1)4y k t =-+，再将(0,0)代入即可求出k 的值，当1.56t ≤≤时，将点(1.5,3)的坐标代入函数表达式()log 2.55a y t =++即可求出a 的值，则可写出答案；（2）分段求出2y ≥时，对应的x 的取值范围，即可写出答案.【小问1详解】当0 1.5t ≤<时，由图象可设()214y k t =-+，将点()0,0的坐标代入函数表达式，解得4k =-，即当0 1.5t ≤<时，()2414y t =--+，当1.56t ≤≤时，将点()1.5,3的坐标代入函数()log 2.55a y t =++，得3log 45a =+，解得12a =，所以12log ( 2.5)5y t =++，故2124(1)4,0 1.5log ( 2.5)5,1.56t t y t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩.【小问2详解】当0 1.5t ≤<时，24(1)4y t =--+，令2y ≥，即()24142t --+≥，解得1122t -≤≤+，即0.3 1.7t ≤<，又0 1.5t ≤<，∴0.3 1.5t ≤≤，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，当1.56t ≤≤时，12log ( 2.5)5y t =++，令2y ≥，即()12log 2.552t ++≥，解得 2.5 5.5t -≤≤，又1.56t ≤≤，∴1.5 5.5t ≤≤，综上，0.3 5.5t ≤≤，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.21.已知向量()()1cos ,sin (0),,,22a x x b f x a b ωωω⎛⎫=>==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）当π6x =时，函数()f x 取得最大值，求ω的最小值及此时()f x 的解析式；（2）现将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3ωπ个单位，得到函数()g x 的图象.已知,,A B C 是函数()f x 与()g x 图象上连续相邻的三个交点，若ABC 是锐角三角形，求ω的取值范围.【答案】（1）min 2ω=，()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）π3ω>【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标公式结合辅助角公式化简，再根据余弦函数的最值即可得解；（2）先根据平移变换得到函数()g x 的解析式，作出两个函数的图象，不妨设B 在x 轴下方，D 为AC 的中点，根据πcos cos 3x x ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求得BD ，再由ABC 为锐角三角形时，只需要π4ACB ∠>即可，即可得解.【小问1详解】()13cos sin 22f x a b x x ωω=⋅=+ ππcos cos sin sin 33x x ωω=+πcos 3x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π6x =时，函数()f x 取得最大值，即()ππ2πZ 63k k ω-=∈，解得()122Z k k ω=+∈，且0ω>，则min 2ω=，此时()πcos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；【小问2详解】由函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3ωπ个单位，得到()ππcos cos 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由（1）知()πcos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出两个函数图象，如图：,,A B C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点，由对称性可得ABC 是以B ∠为顶角的等腰三角形，根据图像可得2π2AC T CD ω===，即πCD ω=，由两个图像相交可得πcos cos 3x x ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππcos cos sin sin cos 33x x x ωωω+=，化简得sinx x ωω=，再结合22sin cos 1x x ωω+=，解得3cos 2x ω=±，故2C B y y =-=，可得BD =，当ABC 为锐角三角形时，只需要π4ACB ∠>即可，由tan 1πBD ACB DC ∠==>，故ω的取值范围为π3ω>.【点睛】关键点点睛：作出两个函数()(),f x g x 的图象，根据πcos cos 3x x ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出等腰三角形ABC 底边上的高是解决本题的关键.22.已知函数()2e e x x f x a =-，()ln g x x =.（1）若存在()1,0x ∈-∞，对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≠，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 零点的个数.【答案】（1）2a >或0a ≤（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将问题转化为不等式有解问题，然后再将有解问题转化为最值求解即可；（2）()()()2e e e e 2x x x x F x a a --=+-+-，令e e x x p -=+，则()22h p ap p a =--，进而讨论方程220p a p a --=大于等于2的解的个数即可.【小问1详解】由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得()[]21,1g x ∈-，因为存在()1,0x ∞∈-，对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≠，所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-在()1,0x ∞∈-上有解，即11211e e x x a >+或11211e e x x a <-在()1,0x ∞∈-上有解，令111ex t =>，所以2a t t >+或2a t t <-在()1,∞+上有解，又22t t +>，20t t -<，所以2a >或a<0；【小问2详解】()()()()()222e e e e e e e e 2x x x x x x x x F x f x f x a a a a ----=+-=-+-=+-+-，令e e x x p -=+，2p ≥，则()()22,2h p F x ap p a p ==--≥，故只需要讨论方程220p a p a --=大于等于2的解，①当0a =时，0p -=，方程无大于等于2的解，函数()F x 无零点；②当0a >时，()020h a =-<，若()2220h a =->，即1a >时，方程无大于等于2的解，函数()F x 无零点；若()2220h a =-=，即1a =时，方程有一个等于2的解，此时e e 2x x -+=，解得0x =，函数()F x 有一个零点；若()2220h a =-<，即01a <<时，方程有一个大于2的解，此时e e x x p -+=，即2e e 10x x p -+=，此时240010p p ⎧->⎪>⎨⎪>⎩，方程有2根，即函数()F x 有两个零点；③当a<0时，()020h a =->，()2220h a =-<，此时方程无大于等于2的解，函数()F x 无零点；综上所述：当1a =时，函数()F x 有一个零点；当01a <<时，函数()F x 有两个零点；当0a ≤或1a >时，函数()F x 无零点.。
湖南长沙知名中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学答案
明德中学2024年上学期入学考试数学参考答案1-8CADAD ADA9.ACD 10.BD 11.AD 8.【详解】设()f x 的零点为0x ，则()00f x =，又()()00f f x =，故()00f =，解得0a =，则()()()()()2222.222f x x bx f f x x bx x bx b =−=−−−，因为函数()yf x =与函数()()y f f x =的零点相同，所以方程2220x bx b −−=无解或与方程220x bx −=的解相同，所以2Δ480b b =+<或0b =，解得20b −<≤，所以024a b ≤−<，故选：A 11.【详解】 如图所示：对于A ：方程()f x m =有三个解⇔()y f x =与y m =有3个交点，从图中可以看出A 正确；对于B ：令()12log 14x +=得1516x =−，即B 点的坐标为15,416 −，令()12log 11x +=得12x =−，即C 点的坐标为1,12−， 由图可知3x 的范围应该介于B ，C 之间，可以取B 点，不能取C 点，所以3151162x −≤<−，故B 正确； 对于C ：()f x 的增区间为[]2,1−−，所以()1f x +的增区间为[]3,2−−，故C 错误；对于D ：12,x x 关于2x =−对称，所以124x x +=−，()()22122244x x m ++=令()2244x +=得3x =−或=1x −，由图可知[)13,2x ∈−−()()()()22122222121112411log 4log22842x m x x x x x x ++++−−+++++()()212112288842x x +++≥+=+等号当()()212112242x x +=+时即1x =[)23,2∈−−时成立，故D 正确.故选：ABD 12.【答案】()()0,11,∞∪+ 13.【答案】(1,3]14.12【详解】令cos αα=，其中α为锐角， 则())()sin 2cos sin cos cos sin f x x x x x x x x ααα =++++，因为当x θ=时，()f x 取得最大值，则()π2π2k k Z θα+=+∈，所以，()π2π2k k Z θα=+−∈，所以，πsin sin 2πcos 2k θαα =+−==，πcos cos 2πsin 2k θαα=+−==，故sin 1tan cos 2θθθ==， 15.20.522230327491371147(0.008)(1)12589252352593π−−− −+×+−=−+×+=−+×147112.25939+=−+= （2）解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得：2log 324231lg3lg81log 3log 8(lg5)lg5lg 20lg162lg5(lg5lg 20)lg 22lg 2lg32⋅+++−=⋅+++−()3lg23lg5lg 5202lg23lg2=+⋅×+−32lg52lg232lg10 2.=++−==16.（1）由诱导公式得：()()()sin πsin πcos ,Z tan πtan 2k f k ααααααα−===≠∈ +，所以1111ππππcos cos 2πcos 6666f==−==.（2）由（1）得()πcos ,Z 2k f k ααα =≠∈ ，由π133f α +=，得π1cos 33α+=. 所以πππsin sin 623αα−=−+πcos 3α+13=.17.（1）()212cos sin 2f x x x x x =⋅+−21πsin cos sin2sin 223x x x x x x=−=+令ππ2π32x k +=+得ππ,122k x k Z =+∈ 所以()f x 的对称轴方程为ππ,122k x k Z =+∈ （2）因为ππ,63x ∈−，则[]π20,π3x +∈，()f x 的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令()t f x =则[]0,1t ∈依题意得：2310t mt ++=在[)0,1t ∈上仅有一个实根.令()231Ht t mt =++，因为()010H =>则需()1310H m =++<或2Δ120016m m=−=<−<， 解得：4m <−或m =−.18.【详解】（1）要使函数()f x 有意义，则10x b x −>+> ，可得：1b x −<<，因为()f x 为奇函数，所以10b −+=，即1b =，所以()f x 的定义域为()1,1−，由(0)0f =可得：0m =，所以()log (1)log (1)a a f x x x =−−+，此时()()()()log 1log 1a a f x x x f x −=+−−=−，()f x 是奇函数，符合题意. （2）12()log (1)log (1)log log 111a a a a x f x x x x x − =−−+==−+ ++，①当1a >时，函数()y f x =单调递减，所以max 131()()log log log 3222a a a f x f =−=−=， min 1131()()log log log 2223a a a f x f ==−=，所以max min 1()()log 3log log 923a a a f x f x −=−==，解得3a =.②当01a <<时，函数()y f x =单调递增，所以max 1131()()log log log 2223a a a f x f ==−=，min 131()()log log log 3222a a a f x f =−=−=， 所以max min11()()log log 3log 239a a a f x f x −=−==，解得13a =. 综上，13a =或3a =.19.【详解】（1）集合110,,1,22A=是4H 集合， 当{}{}{}{}1,,,0,,1,22a b c d= 时，1101222A ×+×=∈；当{}{}{}{}1,,,0,1,,22a b c d=时，1101212A ×+×=∈； 当{}{}{}{}1,,,0,2,,12a b c d= 时，11102122A ×+×=∈； 集合21,1,2,33A=不是4H 集合， 取{}1,,,,1,2,33a b c d =，则211912333ab cd A +=×+×=∉，不满足题中性质.（2）当{}{},,,0,,,a b c d z x y =时，ab cd xy A +=∈，当{}{},,,0,,,a b c d x y z =时，ab cd yz A +=∈， 当{}{},,,0,,,a b c d y z x =时，ab cd xz A +=∈， 所以{}{},,,,x y z xy yz xz =.不妨设x y z <<，①若0x y z <<<，因为0yz >，从而yz A ∉，与yz A ∈矛盾； ②若0x y z <<<，因为xz yz xy <<，故,,xz x yz y xy z ===，所以1,1z xy ==. 经验证，此时1,,0,1A x x=是4H 集合，元素大于1的个数为0； ③若0x y z <<<，因为0xz xy <<，所以与{}{},,,,x y z xy yz xz =矛盾；④若0x y z <<<，因为xy xz yz <<，故,,xy x xz y yz z ===，所以11,1yz x ==>.经验证，此时10,,1,A x x =是4H 集合，元素大于1的个数为1； 综上：A 中大于1的元素的可能个数为0,1.（3）假设集合A 中全为正实数.若A 中至少两个正实数大于1，设120n a a a <<<< ，则11n n a a −>>，取{}{}321,,,,,,n n n n a b c d a a a a −−−=，则321n n n n ab cd a a a a A −−−+=+∈， 而3211n n n n n n n a a a a a a a −−−−+>>，从而321n n n n a a a a A −−−+∉，矛盾；因此A 中至多有1个正实数大于1.当4n =时，设1234a a a a <<<，若123401a a a a <<<≤<，当{}{}1234,,,,,,a b c d a a a a =时，1234ab cd a a a a A ++∈， 当{}{}1324,,,,,,a b c d a a a a =时，1324cd a a a a A ++∈， 当{}{}1423,,,,,,a b c d a a a a =时，1423ab cd a a a a A ++∈，由于()()()()()()1234132443213241320a a a a a a a a a a a a a a a a a a +−+=−−−=−−>，()()()()()()1324142324314343210a a a a a a a a a a a a a a a a a a +−+=−−−=−−>，所以1234132414231a a a a a a a a a a a a a +>+>+>，所以123441324314232,,a a a a a a a a a a a a a a a +=+=+=.因为3101a a <−<，所以()()()()4212341423431231a a a a a a a a a a a a a a a a −=+−+=−−−()()423142a a a a a a =−−<−，矛盾.因此当4n =时，12340,,,1a a a a <≤.当5n ≥时，集合A 中至少有4个不同的正实数不大于1，设{}{},,1,2,,,i j St t a a i j n i j==−∈≠ ，因为S 是有限集，设min s r S −=，其中,,r s A r s ∈<.又因为集合A 中至少有4个不同的正实数不大于1，所以1s r −<，且存在,p q A ∈，且1,1p q ≤≤使,,,p q r s 互不相同，则01p q <−<，当{}{},,,,,,a b c d r p s q =时，ab cd rp sq A +=+∈， 当{}{},,,,,,a b c d s p r q =时，ab cd sp rq A +=+∈，于是()()()()()()rp sq sp rq p r s q r s p q s r s r +−+=−−−=−−<−，与min s r S −=矛盾.因此，A 中元素不能全为正实数.。
湖南省永州市高一下学期入学考试数学试题(解析版)
高一入学考试数学试卷满分：150 时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的真子集个数是（ ）{}21M x x ==M A. B.C.D.3456【答案】A 【解析】【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是21x =1x =±{}11M =-，M .2213-=故选：A2. 已知命题“，，则命题是（ ）:p α∀∈R sin cos αα+≤p ⌝A. ，B. ，α∀∈R sin cos αα+>0α∃∈R 00sin cos αα+>C. ，D. ，0α∃∉R 00sin cos αα+>α∀∉R sin cos αα+≤【答案】B 【解析】【分析】由全称命题的否定，即可得到答案.【详解】由题意可得命题是，p ⌝0α∃∈R 00sin cos αα+>故选：B.3. “”是“”的（ ） <2x -260x x -->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】记集合，或.利用集合法进行判断.{}|<2A x x -={}{2603B x x x x x =--=}2x <-【详解】记集合，或.{}|<2A x x -={}{2603B x xx x x =--=}2x <-因为 ，所以“”是“”的充分不必要条件. A B <2x -260x x -->故选：A4. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧AD 1l 长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）BC 2l ABCD 1S BOC 2S 123l l =12S S =A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】【分析】由条件可得，然后根据扇形的面积公式可得答案. 3OA OB=【详解】设，则，所以， BOC α∠=123OA l l OB αα⋅==⋅3OA OB =所以， 2222221222211922812OA OB OA OB OB OB SS OB OB OB ααα⋅-⋅--====⋅故选：D 5. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，αx Pm ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则（ ） sin α=A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】因为点在单位圆上，且终边在第三象限确定唯一，根据三角函数求解. P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭m【详解】在单位圆上即P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 222141155m m m ⎛+=∴=-=∴= ⎝终边在第三象限所以，，所以0m <m =P ⎛ ⎝所以sin m α==故选：C6. 已知函数，则函数的大致图象为（ ） ())2lgf x x x=+()f xA.B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据时，函数值的趋向，即可判断选项. x →+∞【详解】函数的定义域是，{}0x x ≠，，())2lgf x x x-=+-()()lg10f x f x -+==所以函数是奇函数，应关于原点对称，故排除CD ；()f x，当时，，， ())22lgf x x x x =+=+x →+∞→-∞20x →所以，故排除B. ()f x →-∞故选：A7. 用二分法判断方程在区间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：32330x x +-=()0,1，） （ ）30.750.421875=30.6250.24414=A. 0.825 B. 0.635 C. 0.375 D. 0.25【答案】B 【解析】【分析】设，由题意可得是上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函3()233f x x x =+-()f x R 数的零点所在的区间． ()f x 【详解】设，3()233f x x x =+-，，(0)30f ∴=-<(1)23320=+-=>f ， 3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< 在内有零点，()f x ∴(0,0.5) 3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> 在内有零点，()f x ∴(0.5,0.75)方程根可以是0.635.∴32330x x +-=故选：B ．8. 定义在的函数满足：对，，且，成()0,∞+()y f x =1x ∀()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-立，且，则不等式的解集为（ ） ()39f =()3f x x >A. B.C.D.()9,+∞()0,9()0,3()3,+∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式. ()()f x g x x=【详解】由且，， ()()2112120x f x x f x x x ->-1x ∀()20,x ∈+∞则两边同时除以可得， 12x x ()()121212f x f x x x x x ->-令，则在单调递增， ()()f x g x x =()()f x g x x=()0,∞+由得且， ()3f x x >()3f x x>(3)(3)33f g ==即解得， ()(3)g x g >3x >故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若，,则下列不等式成立的是（ ） 0a b >>0c <A.B.C. D. b b c a a c+<+c c a b>11a b b a+>+11a b a b+>+【答案】BC 【解析】【分析】举反例可判断,根据不等式的性质可分别判断. A,D B,C 【详解】对于A,取 ，满足，, 3,1,2a b c ===-0a b >>0c <但，故A 错误； 11131b bc a a c +-=>==-+对于B,因为，所以 ，又， 0a b >>110a b<<0c <故，B 正确； c ca b>对于C, 因为，所以，故，C 正确； 0a b >>110b a >>110a b b a+>+>对于D,取满足， 11,2a b ==0a b >>但，D 错误，11522a b a b +=<+=故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ）A. 函数的定义城为 ()f x =()[),23,∞∞--⋃+B. 和g （x ）=x 表示同一个函数()2x f x x=C. 函数的图像关于坐标原点对称 ()1f x x x=-D. 函数f （x ）满足，则 ()()21f x f x x --=-()213f x x =+【答案】AC【解析】【分析】根据函数的相关定义和运算规则逐项分析. 【详解】对于A ：由解得或x <－2， 302x x -≥+3x ≥所以函数的定义域为 ，故A 正确； ()f x =()[),23,∞∞--⋃+对于B ：的定义域为 ，的定义为，定义域不相同，()2x f x x =()(),00,∞∞-⋃+()g x x =(),-∞+∞所以和不是同一个函数，故B 错误；()2x f x x=()g x x =对于C ： 由，所以为奇函数， ()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭()1f x x x =-所以函数的图像关于坐标原点对称，故C 正确； ()1f x x x=-对于D ：因为函数f （x ）满足，所以，()()21f x f x x --=-()()21f x f x x --=--由解得，故D 错误；()()()()2121f x f x x f x f x x ⎧--=-⎪⎨--=--⎪⎩()113f x x =+故选：AC.11. 已知是正数，且，则（ ） ,x y 2x y +=A. 的最大值为4 ()2x x y +B. 的最大值为0 22log log x y +C. 的最小值为422x y +D. 的最小值为12x y +32+【答案】BCD 【解析】【分析】根据不等式的性质和基本不等式性质，以及利用“1”的妙用，进行求最值即可得解. 【详解】由是正数，且，可得， ,x y 2x y +=02,02x y <<<<对A ，，()2222()()()4x x y x y y x y y x y y y +=+-++=+-=-由可得，无最大值，故A 错误；204y <<2044y <-<()2x x y +对B ，由，当且仅当时等号成立， 2x y +=≥01xy <≤1x y ==所以，故B 正确； 2222log log log log 10x y xy +=≤=对C ，由基本不等式可得， 224x y +≥==当且仅当时取等号，故C 正确；1x y ==对D ，， 121121213()(3(32222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=+当且仅当D 正确.)21,4x y =-=-故选：BCD12. 已知函数，其中表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（ ）()[]πcos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭[]x A. 函数为偶函数 12y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 的值域为()f x {}1,0,1-C. 为周期函数，且最小正周期 ()f x 4T =D. 与的图像恰有一个公共点 ()f x 7log 1y x =-【答案】BCD 【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确. 【详解】对于A ，由于， ()110cos 0122f f ⎛⎫-+=== ⎪⎝⎭所以，所以不是偶函数，故A()11π1cos 0222f f ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭错；对于B ，由于为整数，的值有三种情况，所以的值域[]x []()πππZ sin 222x k k k ⎛⎫=⋅∈∴⋅ ⎪⎝⎭0,1,1-()f x 为故B 正确；{}0,1,1-对于C ，由于，所以[][]44x x +=+，故C 正确；()[][][]()πππ4cos 4cos 2πcos 222f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于D ，由B 得，令，得或，而(){}0,1,1f x ∈-7log 10x -=2x =0x =不是公共点的横坐标. 令，得或，而()()2cos π1,0cos 01f f ==-==7log 10x -=8x =6x =-，所以是两个函数图像的一个公共点. 令()()()8cos 4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-()8,1，得或，而，所以不是两个函数图像的7log 11x -=-87x =67x =8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点，故D 正确. ()8,1故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数的图象经过点，那么___． ()f x (8,()4f =【答案】 2【解析】【分析】设，代入点可求得；将代入解析式即可求得结果.()()f x xαα=∈R (8,α4x =【详解】为幂函数，可设，则，解得：，()f x ∴()()f x xαα=∈R ()88f α==12α=，.()12f x x ∴=()12442f ∴==故答案为：.214. 已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式x 20ax bx c ++>{|32}x x -<<-x 20cx bx a -+>的解集为__．【答案】11,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据不等式解集得到且，代入得到，解得答案. 5,6b a c a ==a<0(21)(31)0x x --<【详解】由题意得，所以， 0,(3)(2),(3)(2)b ca a a<-=-+-=-⋅-5,6b a c a ==故，即，，故解集为. 20cx bx a -+>2650ax ax a -+>(21)(31)0x x --<11,32⎛⎫⎪⎝⎭故答案为： 11,32⎛⎫⎪⎝⎭15. 若函数存在最大值和最小值，记，侧2283sin 8()1x a x f x x ++=+max min (),()M f x N f x ==M N +=____________． 【答案】16 【解析】 【分析】设，证明为奇函数，利用奇函数的性质得出答案. 23sin (),R 1a xg x x x =∈+()g x 【详解】，令 22283sin 83sin ()811x a x a xf x x x ++==+++23sin (),R 1a xg x x x =∈+则，即为奇函数，由此()()223sin 3sin ()()11a x a xg x g x x x --==-=-+-+()g x min max ()()0g x g x +=故 max min 8()8()16M N g x g x +=+++=故答案为：16. 16. 设函数，方程有四个不相等的实根，则2log ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<<=⎨-<<⎩()f x m =(1,2,3,4)i x i =的取值范围是___________.22222341x x x x +++【答案】 4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到且，求得14234x x x x +=+=12ln ln x x -=，化简，结合换元法14322211,4,4x x x x x x ==-=-22222341x x x x +++(22222112828x x x x ⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎭⎝⎭和二次函数的性质，即可求解.【详解】当时， 24x <<()()4f x f x =-所以在与上的图像关于对称. ()f x ()2,4()0,22x =作出图象如下图所示，不防令， 1234x x x x <<<可得且14234x x x x +=+=12ln ln x x -=所以， 121=x x 14322211,4,4x x x x x x ==-=-所以.()2422222222123222222221111442828x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++-+-=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，令，则原式化为. ()21,2x ∈22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()252828,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭因为其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增 2t =()h t 52,2⎛⎫⎪⎝⎭所以 ()41202h t <<所以的取值范围是. 22222341x x x x +++4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：． 4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数的图象，结合函数的图象有()f x ，化简，利用换元法14322211,4,4x x x x x x ==-=-22222341x x x x +++(22222112828x x x x ⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎭⎝⎭和二次函数的性质求解是解答的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 计算下列各式的值：（1）；2110323(3(0.002)102)8----+-⨯-+（2）．7log 23log lg 25lg 47+++【答案】（1）； 1679-（2）. 154【解析】【分析】（1）根据分式指数幂和根式的运算，即可化简求值； （2）根据对数的运算性质，即可化简求值. 【小问1详解】解：原式 22133231(1)(3)()18500---=-⨯+213227()(500)102)18-=+-⨯++42019=+--+.1679=-【小问2详解】 解：原式．143115log 3lg10012244-=++=-++=18. 已知非空集合，． {|121}P x a x a =+≤≤+{|25}Q x x =-≤≤（1）若，求；3a =R ()P Q ⋂ð（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． x P ∈x ∈Q 【答案】（1）R ()[2,4)P Q =- ð（2） [0,2]【解析】【分析】（1）由交集，补集的概念求解， （2）转化为集合间关系后列式求解， 【小问1详解】当时，，，则,， 3a =[4,7]P ={|25}Q x x =-≤≤R (,4)(7,)P =-∞+∞ ðR ()[2,4)P Q =- ð【小问2详解】由题意得是的真子集，而是非空集合，P Q P则且与不同时成立，解得， 12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩12a +=-215a +=02a ≤≤故a 的取值范围是[0,2]19. 科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y 31cm 33cm 与时间x （单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m ，b 均3x y m =3log y m x b =+为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 35cm 【答案】（1）选，3log y m x b =+22log 1y x =+（2）至少需4秒 【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解. 【小问1详解】因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随3x y m =y x 3log y m x b =+y 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，x 根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即，3log y m x b =+由题意可得：，解得：，33log 11log 23m b m b +=⎧⎨+=⎩212log 3b m =⎧⎨=⎩所以该模型的解析式为：， 2322log 3log 12log 1y x x =+=+【小问2详解】由（1）知：，22log 1y x =+由题意知：，也即，则有， 5y ≥22log 15x +≥22log 4x ≥∴，∴， 2log 2x ≥4x ≥∴至少需要4秒．20. 已知，. ()()ππ6cos sin 2282cos π3sin παααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---+π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求的值； tan α（2）若，且的值. π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭αβ+【答案】（1） 1tan 2α=（2） π4αβ+=【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简整理，上下同除，计算即可得答案. cos α（2）根据题意及的范围，可求得的值，根据两角差的余弦公式， βsin 4πβ⎛⎫+⎪⎝⎭可得的值，进而可得的值，根据两角和的正切公式，可得的值，即可得答案. cos βtan βtan()αβ+【小问1详解】∵， ()()ππ6cos sin 2282cos π3sin παααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---+∴，解得.6sin cos 6tan 182cos 3sin 23tan αααααα++==--+-+1tan 2α=【小问2详解】 ∵，∴，且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π444β<+<πcos 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴，πsin 4β⎛⎫+=⎪⎝⎭∴，ππcos cos 44ββ⎡⎤⎛⎫=+-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴，sin β=1tan 3β=∴， ()11tan tan 23tan 1111tan tan 123αβαβαβ+++===--⨯又∵，∴. 3π0,4αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π4αβ+=21. 已知函数. ()()441sin cos cos 2f x x x x x =-+（1）求函数的最小正周期； ()f x （2）令，求的最小值. ()()()2π5π3,,1212g x fx af x a x ⎡⎤=++-∈⎢⎥⎣⎦()g x 【答案】（1）;π（2） ()2min3,0,3,20,44, 2.a a ag x a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪≤-⎪⎩【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及辅助角公式可得，从而()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求函数的最小正周期；()f x （2）利用正弦函数的图象与性质可得时，，令，根据二次函数的性π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()[]0,1f x ∈()t f x =质即可求最小值.【小问1详解】， ()()2211πsin cos cos 2sin 2226f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为. ()f x 2ππ2=【小问2详解】 由，可得，所以.π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()[]πsin 20,16f x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭令,则，()t f x =()()[]2233,0,1f x af x a t at a t ++-=++-∈令，其对称轴为， ()[]23,0,1h t t at a t =++-∈2a t =-①当，即， 02a-≤0a ≥在上单调递增，所以；()h t []0,1()()min 03h t h a ==-②当，即时， 012a<-<20a -<<在上单调递减，在上单调递增，()h t 0,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以；()2min324a a h t h a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭③当，即时， 12a-≥2a ≤-在上单调递减，所以.()h t []0,1()()min 14h t h ==综上所述， ()2min3,0,3,20,44, 2.a a ah t a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪≤-⎪⎩故 ()2min3,0,3,20,44, 2.a a ag x a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪≤-⎪⎩22. 已知函数是定义在上的奇函数． ()4141x xa f x ⋅-=+R （1）判断并证明函数的单调性；()f x （2）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的k ()f x [],m n ,44m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦k 取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）是上的增函数，证明见解析()f x R （2）存在；(3-+【解析】【分析】(1)先利用奇函数的性质求出字母，再根据函数单调性定义取证明即可；a(2)先假设存在，利用第一问函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题， 结合一元二次方程根与系数关系即可求解. 【小问1详解】，所以()100111a f a -==⇒=+()4141x x f x -=+是上的增函数，证明如下：()f x R 设，，1x 2R x ∈12x x < ()()()()()1212212112244222211414141414141x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，∴，，，，12x x < 1244x x <1410x +>2410x +>()()120f x f x -<∴是上的单调增函数． ()f x R 【小问2详解】假设存在实数，使之满足题意．k 由（1）可得函数在上单调递增，()f x [],m n ∴，∴ ()()44m nk f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4141441414m m mnn nkk ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根．m n 41414x x x k -=+41414x x x k-=+令，即方程有两个不等的正根．40x t =>()210t k t k -+-=，∴ 102Δ00k k +⎧>⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩30k -+<<故存在，实数的取值范围为：k (3-+。
湖南省高一下学期数学开学考试试卷
湖南省高一下学期数学开学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A . BC∥平面PDFB . DF⊥平面PAEC . 平面PDE⊥平面ABCD . 平面PDF⊥平面PAE2. （2分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A . 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB . 若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC . 若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD . 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3. （2分） (2016高一下·随州期末) 已知过点P（4，1）的直线分别交x，y坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为8，则这样的直线有（）A . 4B . 3C . 2D . 14. （2分）已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是和，此平行四边形两条对角线的交点是，则平行四边形另两边所在直线的方程是（）A . 和B . 和C . 和D . 和5. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A . AC⊥BDB . AC=BDC . AC∥截面PQMND . 异面直线PM与BD所成的角为45°6. （2分） (2020高二下·湖州月考) 若直线与曲线（，为自然对数的底数）相切，则（）A . 1B . 2C . -1D . -27. （2分）在锐角中，若C=2B，则的范围（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·莆田期末) 在数列中， =1，，则的值为（）A . 99B . 49C . 102D . 1019. （2分）在等比数列中，如果那么该数列的前8项和为（）A . 12B . 24C . 48D . 20410. （2分）设a,b,c为三角形ABC三边，且,若logc+ba+logc-ba=2logc+balogc-ba，则三角形ABC 的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 无法确定11. （2分） (2019高二下·台山期中) 在△ABC中，，，且△ABC的面积，则边BC的长为（）A .B . 3C .D . 712. （2分）过点P（3，4），斜率为2的直线方程为（）A . 2x﹣y﹣2=0B . 2x+y﹣2=0C . x+y﹣1=0D . x﹣y+2=0二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2020高一上·咸阳期末) 已知，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为________.14. （1分） (2016高二上·郑州开学考) 在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是________．15. （1分）(2020·平顶山模拟) 对于数列定义：，，，，，称数列为数列的阶差分数列.如果（常数），那么称数列是阶等差数列.现在设数列是阶等差数列，且，，，，则数列的通项公式为________.16. （2分） (2020高二上·浙江期末) 如图，四边形是矩形，且有，沿将翻折成，当二面角的大小为时，则异面直线与所成角余弦值是________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：平面BDGH∥平面AEF；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．18. （10分） (2016高二上·叶县期中) 在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2= ab．（1）求角C的大小；（2）如果0＜A≤ ，m=2cos2 ﹣sinB﹣1，求实数m的取值范围．19. （10分） (2020高一上·赣县期中) 某批发市场一服装店试销一种成本为每件元的服装规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的，经试销发现销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时， .（1）求一次函数的解析式，并指出的取值范围；（2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，可获得最大利润最大利润是多少元？20. （10分） (2019高二上·唐山月考) 已知圆O：x2+y2＝8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α＝135°时，求弦AB的长；（2）当弦AB被P0平分时，求直线AB的方程．21. （15分） (2020高一下·湖北开学考) 如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点，平面GEFH.（1）证明：；（2）若，平面平面GEFH，求四边形GEFH的面积.22. （5分） (2019高一上·利辛月考) 在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、略考点：解析：答案：22-1、略答案：22-2、略考点：解析：第21 页共21 页。
2023-2024学年湖南省常德市汉寿县高一下册开学考试数学试题(含解析)
2023-2024学年湖南省常德市汉寿县高一下册开学考试数学试题一、单选题1．已知集合(){}22,3Z Z A x y xy x y =+≤∈∈，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【正确答案】A【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤ 23,x ∴≤Z x ∈ 1,0,1x ∴=-当=1x -时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.2．命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是（）A ．20,0x x x ∃>-≤B ．20,0x x x ∃>->C ．20,0x x x ∀>->D ．20,0x x x ∀≤->【正确答案】B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定为：“20,0x x x ∃>->”.故选：B.3．函数()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的解析式为（）A ．sin 22y x =-B ．2cos31y x =-C ．πsin(2)15y x =--D ．π1sin(2)5y x =--【正确答案】D【分析】设函数()sin()f x A x k ωϕ=++，由最大值最小值确定A k ，，由周期性确定ω值，由特殊点确定ϕ.【详解】由题图得742010T ππ=-，∴πT =,又0ω>，∴2ω=，函数()f x 最大值为2，最小值为0，所以11A k ==，，∴()1sin 2y x ϕ=++.当720x π=时，701sin 220πϕ⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭，∴722202k ϕππ⨯+=π-，得72210k ϕππ=π--，即()625k k πϕπ=-∈Z ．当1k =时，45ϕπ=，∴41sin(2)1sin(2)1sin(2)555y x x x πππ=++=+-=--，即π1sin(2)5y x =--.故选：D ．4．[]x 表示不超过x 的最大整数，已知函数[]()f x x x =-，有下列结论：①()f x 的定义域为R ；②()f x 的值域为[]0,1；③()f x 是偶函数；④()f x 不是周期函数；⑤()f x 的单调增区间为()(),1k k k +∈N ．其中正确的结论个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0【正确答案】A【分析】直接根据解析式可知①正确；通过特殊值可知②和③不正确；根据周期函数的定义可知④正确；根据函数()f x 的单调性可以判断，可知⑤正确.【详解】对于①，()f x 的定义域为R ，故①正确；对于②，当 2.1x =-时，(2.1) 2.1(3) 5.1f -=--=，故②错误；对于③，(1)0f =,(1)112f -=+=,()f x 的图象不关于y 轴对称，则()f x 不是偶函数，故③错误；对于④，当0x >时，[][](),f x x x x x =--表示x 的小数部分，()f x 在()(),1k k k +∈N 上单调递增,()f x 在0x >上是周期变化，当0x <时，当[),1,x n n n +∈--+∈N 时，[]()=-=-+f x x x x n ．()f x 是减函数,()f x 在R 上不是周期函数，故④正确；对于⑤，当0x >时，[]()f x x x =-，表示x 的小数部分，所以()f x 在()(),1k k k +∈N 上单调递增；当0x <时，当[),1,∈--+∈x n n n +N 时，[]()=--=-+f x x x x n ，()f x 是减函数．故()f x 的单调增区间为()(),1k k k +∈N ，故⑤正确．故①④⑤正确.故选:A ．5．终边落在直线y x =上的角α的集合为（）A ．2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．2,4k k Z πααπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D ．,4k k Z πααπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【正确答案】B分别写出终边落在直线y x =上且在第一象限和终边落在直线y x =上且在第三象限的角的集合，取并集得答案．【详解】解：当角的终边落在直线y x =上且在第一象限时，角的集合为{|24k πααπ=+，}k Z ∈；当角的终边落在直线y x =上且在第三象限时，角的集合为{|24k πααππ=++，}k Z ∈．取并集可得，终边落在直线y x =上的角的集合为{|}4k πααπ=+．故选：B ．本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的集合的表示，是基础题．6．已知sin 5α=，sin()10βα-=-，α、β均为锐角，则角β等于A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【正确答案】C【详解】分析：首先利用题中条件sin )αβα=-=利用平方关系，求得cos )αβα=-=下一步的任务就是将角进行配凑，之后借助于和角公式求得角β的正弦值，结合题中所给的角的范围，进一步求得角的大小.详解：因为sin )αβα-=，结合α、β均为锐角，可以求得cos )αβα=-=，所以sin sin[()]sin cos()cos sin()b a b a a b a a b a =+-=-+-()510510=⨯-502==，所以4πβ=，故选C.点睛：该题考查的是有关利用和角公式借助于三角函数值求角的大小，在解题的过程中，需要利用整体思维，将βα-当做一个整体，即整体思维的运用，之后借助于和角公式完成，再者借助于三角函数值求角的大小的时候，一定要参考角的范围进行求解.7．函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数【正确答案】D首先根据诱导公式得到sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，再求函数周期和判断奇偶即可得到答案.【详解】sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，22T ππ==.设()cos 2f x x =，定义域为R ，()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数.故选：D本题主要考查三角函数的周期和奇偶，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题.二、多选题8．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D 【正确答案】ABD【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.9．已知函数()log a y x c =+(,a c 为常数，其中0,1a a >≠)的图象如图，则下列结论成立的是（）A ．1a >B ．01a <<C ．1c >D ．01c <<【正确答案】BD【分析】根据对数函数的图象判断．【详解】由图象知01a <<，可以看作是log a y x =向左移动c 个单位得到的，因此01c <<，故选：BD ．10．若将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．()g x 的最小周期为πB ．()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．512x π=-是函数()g x 图象的一条对称轴D ．()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12【正确答案】AC根据题意得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据函数性质依次讨论即可得答案.【详解】解：由题知()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项B 错误；故函数的最小正周期为22T ππ==，故A 选项正确；对于C 选项，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称轴方程为,122k x k Z ππ=+∈，当1k =-时，512x π=-，故C 选项正确；对于D 选项，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 20,13x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故D 选项错误.故选：AC.本题考查了三角函数图像的变换、正弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，是中档题.11．下列各式中，值为2的是（）A ．2sin15cos15︒︒B ．22cos 15sin 15︒-︒C ．212sin 15-︒D ．22sin 15cos 15︒+︒【正确答案】BC【分析】根据三角恒等变换公式计算每个式子的值，即可得答案；【详解】对A ，12sin15cos15sin 302︒︒=︒=，故A 错误；对B ，22cos 15sin 15cos302︒-︒=︒=，故B 正确；对C ，212sin 15cos302-︒=︒，故C 正确；对D ，22sin 15cos 151︒+︒=，故D 错误；故选：BC.本题考查利用三角恒变换中的二倍角公式、同角三角函数的平方关系求值，考查运算求解能力，属于基础题.三、填空题12．已知3sin tan 80,,2αααπ⎛⎫⋅+=∈π ⎪⎝⎭，则tan α=______.【正确答案】-先利用sin tan cos ααα=化切为弦,再利用22sin cos 1αα+=可得到关于cos α的方程,进而求解即可.【详解】由题,因为3sin tan 80αα⋅+=,所以sin 3sin 80cos ααα⋅+=,则()231cos 80cos αα-+=,即23cos 8cos 30αα--=,解得1cos 3α=-或cos 3α=（舍）,因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 3α=,所以tan α=-故答案为:-本题考查同角的三角函数关系的应用,考查求三角函数值,考查运算能力.13．在函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为___________．【正确答案】π6x =-【分析】根据正弦函数对称轴公式求解，再找到离坐标原点最近的一条对称轴的方程.【详解】由()ππ2π62x k k -=+∈Z 得对称轴的方程为()ππ32k x k =+∈Z ，其中离坐标原点最近时，1k =-，即π6x =-.故答案为.π6x =-14．如果圆心角为23π的扇形所对的弦长为________.【正确答案】43π【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】如下图所示，作BF AC ⊥，已AC =23ABC π∠=，则AF =3ABF π∠=，设扇形的半径为R，则2sin sin 3AF R ABF ==∠，因此，该扇形的面积为21242233S ππ=⨯⨯=.故答案为.43π本题考查扇形面积的计算，求出扇形的半径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.15．若角θ的终边经过点P(，m )(m ≠0)且sin θ＝4m ，则cos θ的值为________.【正确答案】【详解】因为角θ的终边经过点()()0P m m ≠≠且,,44sin m x y m r sin m θθ=∴=====，1cos r θ∴==-故答案为4.四、解答题16．已知tan 2x =，求下列各式的值：（1）sin sin cos xx x-；（2）22sin sin cos cos x x x x-+【正确答案】（1）2；（2）35【分析】（1）分子分母同除cos x ，得到关于tan x 的式子，代入已知条件，得到答案.（2）式子的分母1看成22sin cos x x +，然后分子分母同除2cos x ，得到关于tan x 的式子，代入已知条件，得到答案.【详解】（1）tan 2x =sin tan 22sin cos tan 121x x x x x ===---，（2）22sin sin cos cos x x x x -+2222sin sin cos c sin s os o =c x x x x x x -++22tan tan 1=tan 1x x x -++222213215-+==+本题考查同角三角函数的关系，属于简单题.17．已知()()()()()2πsin tan πcos π123π4sin cos πcos 2π2f ααααααα⎡⎤⎛⎫-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭．(1)化简()f α．(2)若ππ33α-<<，且()14f α<，求α的取值范围．【正确答案】(1)()1sin 2f αα=-(2)ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的关系即可进行化简；（2）利用正弦函数的图像性质即可求解.【详解】（1）()()2cos tan cos 14cos cos cos f ααααααα+---+=()2sin cos 14cos ααα+-=-2sin cos 1sin 4cos 2αααα==--．（2）由()14f α<，得11sin 24α-<，所以11sin 2α≥>-，因为ππ33α-<<，所以ππ63α-<<，即α的取值范围为ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．已知2256x ≤且21log 2x ≥（1）求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求函数()2(log 2)f x x =⨯的最大值和最小值．【正确答案】（18x ≤≤；（2）最小值为34，最大值为12.【分析】（1）由指数幂和对数的运算，结合题设条件，即可求得实数x 的取值范围；（2）由（1）得到21log 832≤≤，根据对数的运算性质，化简得()222log log f x x x =+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由2256x ≤，可得8x ≤，又由21log 2x ≥，可得x ，所以实数x8x ≤≤.（2）由（18x ≤≤，可得21log 32x ≤≤，又由()222221(log 2)(log )2(1log )log (1log )2f x x x x x x =⨯=⨯+=+，2222211log log (log )24x x x =+=+-，当21log 2x =时，函数取得最小值()min 34f x =；当2log 3x =时，函数取得最小值()max 12f x =.即函数()f x 的最小值为34，最大值为12.本题主要考查了指数幂和对数的运算法则及其应用，以及二次函数的性质的应用，其中解答中熟记对数的运算法则，合理结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．已知函数sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象过点,012P π⎛⎫⎪⎝⎭，图象与P 点最近的一个最高点坐标为,53π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求该函数的解析式；(2)求该函数的单调递增区间；(3)求使0y ≤的x 的取值集合.【正确答案】(1)5sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2),()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(3)5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈(1)根据最高点的坐标，得出A 的值，再由点P 和,53π⎛⎫⎪⎝⎭得出周期，结合周期公式得出ω的值，代入点,53π⎛⎫⎪⎝⎭，结合||2ϕπ<得出ϕ的值，进而得出该函数的解析式；(2)利用正弦函数的单调增区间化简得出该函数的单调递增区间；(3)利用正弦函数的性质求解不等式即可.【详解】(1)∵图象的一个最高点的坐标为,53π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5A =∵43124T πππ=-=，∴T π=∴22Tπω==.∴5sin(2)y x ϕ=+代入点,53π⎛⎫ ⎪⎝⎭得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴22,32k k Z ππϕπ+=+∈∴2,6k k Z πϕπ=-+∈∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-∴5sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)∵函数的单调递增区间满足222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ∴2222()33k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴函数5sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(3)∵5sin 206x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭∴222()6k x k k Z ππππ-≤-≤∈∴5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈.本题主要考查了求正弦型函数的解析式以及解正弦不等式，求单调性，属于中档题.20．如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()x f x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式；（2）比较b a 与a b 的大小；（3）已知(4)(32)b b m m --+<-，求m 的取值范围．【正确答案】（1）x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩；（2）b a a b <；（3）12(,33-.【详解】试题分析：（1）将11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入()x f x a =，()b g x x =，求得11612a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩；（2）因为3211()22<，所以1116321611(()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b a a b <；（3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，根据定义域和单调性，有40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<.试题解析：（1）由题意得14b 12,1142a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,16{1,2a b ==∴x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩（2）因为3211()22<，所以1116321611(()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b a a b <．（3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，所以40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<，所以m 的取值范围是12(,)33-．函数的单调性.21．如图，动点,P Q 从点()4,0A 出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒转6π弧度，求,P Q 第一次相遇时所用的时间及,P Q 点各自走过的弧长.【正确答案】,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s .P 点走过的弧长为163π，Q 点走过的弧长为83π.【分析】设出两点相遇时间，用两点所走过的弧长之和为2π建立方程，解方程求得时间，进而求得,P Q 两点所走过的弧长.【详解】依题意知圆的半径为4，设,P Q 第一次相遇时所用的时间是ts ，则236t t πππ+-⨯=.解得4t =，即,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s .P 点走过的弧长为416433ππ⨯=，Q 点走过的弧长为28433ππ⨯=.本小题主要考查角速度有关计算，考查方程的思想，属于基础题.。
2023-2024学年湖南省株洲市第十三中学高一下学期开学考试数学试题
2023-2024学年湖南省株洲市第十三中学高一下学期开学考试数学试题1.将集合且用列举法表示正确的是()A．B．C．D．2.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为A．B．C．D．3.若a，b，c是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．4.函数的图象大致为（）A．B．C．D．5.设，则的大小关系（）A．B．C．D．6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（）A．2600B．2700C．26D．277.设函数f（x）=2sin（），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A．4B．2C．1D．8.已知，则（）A．B．C．1D．9.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A ．，B ．，C ．，D ．，10.下列命题中，真命题的是（）A ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分不必要条件；B ．“”是“”的充要条件；C ．函数的最小值为6；D ．命题“，”的否定是“，”。
11.已知函数，则（）A ．函数为偶函数B ．曲线的对称轴为C ．在区间单调递增D ．的最小值为12.已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为______．13.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．14.已知集合，若，则的最小值为__________．15.计算：(1)；(2)已知．且，，求的值．16.已知函数．(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减；(2)若对，，都有恒成立，求实数的取值范围．17.已知函数．(1)若不等式的解集为空集，求m 的取值范围；(2)若，的解集为，求的最大值．18.天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”.预估生产线建设等固定成本投入为100万，每生产万个还需投入生产成本万元，且据测算若该公司年内共生产该款“暖手宝”万只，每只售价45元并能全部销售完.(1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式；(2)当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本；(3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润.19.对于函数，，，如果存在实数a，b，使得，那么称函数为与的生成函数．(1)已知，，，是否存在实数a，b，使得为与的生成函数？若不存在，试说明理由；(2)当，时，是否存在奇函数，偶函数，使得为与的生成函数？若存在，请求出与的解析式，若不存在，请说明理由；(3)设函数，，，，生成函数，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围．。
湖南省长沙市浏阳市四校2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题
湖南省长沙市浏阳市四校2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列运算错误的是（）A ．28=4⨯B ．347a a a ⋅=C ．()222a b a b -=-D ．()323628=ab a b 2．式子12x x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．1x ≥B ．2x ≠C ．1x >D ．1x ≥且2x ≠3．已知集合{}1,2,2A a =，{}21,1B a =+，若A B A ⋃=，则实数a 的值为（）A ．1或-1B ．1C ．0D ．-14．命题p ：x ∀∈N ，32x x >的否定形式p ⌝为（）A ．x ∀∈N ，32x x ≤B ．x ∃∈N ，32x x >C ．x ∃∈N ，32x x <D ．x ∃∈N ，32x x ≤5．多项式22221x y y x --+因式分解的结果是（）.A ．22(1)(1)x y ++B ．2(1)(1)(1)x x y -++C ．2(1)(1)(1)x y y ++-D ．(1)(1)(1)(1)x x y y +-+-6．1,1a b >>是2a b +>的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．一元二次方程220x bx +-=中，若0b <，则这个方程根的情况是（）A ．有两个正根B ．有一正根一负根且正根的绝对值大C ．有两个负根D ．有一正根一负根且负根的绝对值大8．已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（）A ．ab bc>B ．ac bc>C ．ab ac>D ．a b b c>9．甲､乙两人解关于x 的不等式20x bx c ++<，甲写错了常数b ，得到的解集为A ．①④B ．①二、填空题11．“3x =”是“29x =”的12．已知实数m 、n 满足m ＋程可以是.13．函数(2y ax bx c a =++≠是.14．存在,x R ∈使不等式x -三、解答题(1)（i ）请用列表的方法，表示出点（ii ）求点P 在正方形ABCD 中（含正方形内部和边界）的概率．(2)试将正方形ABCD 平移整数个单位长度，问是否存在一种平移，使得点ABCD 中的概率为13若存在，写出平移方式；若不存在，请说明理由．18．（1）若不等式220,x ax a ++≤∈的解集；（2）若对于任意的{}11x xx ∈-≤≤∣的取值范围；（3）若方程(2222x ax ax a ++=++。
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湖南省高一下学期开学数学试卷（重点班）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）若集合U={1，2，3，4},M={1，2},N={2，3}，则是（）
A . {1，2，3}
B . {2}
C . {1，3，4}
D . {4}
2. （2分） (2018高一上·大港期中) 已知，则a ， b ， c的大小关系为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）若，则的定义域为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高一上·长沙期中) 若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为（）
A .
B .
C .
D . 3
5. （2分）(2020·广东模拟) 已知函数，则（）
A .
B . 在上为增函数
C . 为偶函数
D . 的定义域为
6. （2分）已知直线x＋3y－7＝0，kx－y－2＝0和x轴、y轴围成四边形有外接圆，则实数k等于（）
A . －3
B . 3
C . －6
D . 6
7. （2分） (2019高二下·湖北期中) 如下图，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的体积是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A . 若，，则
B . 若，则
C . 若，，则
D . 若，，则
9. （2分）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2 ，则原平面图形的面积为（）
A . 4 cm2
B . 4 cm2
C . 8 cm2
D . 8 cm2
10. （2分）已知关于直线对称的点为，则满足的直线方程为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2019高三上·梅县月考) 在梯形中，，，
.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2016高一上·桓台期中) 在同一坐标系内，函数y=xa（a≠0）和y=ax+ 的图象应是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为
________ （结果用反三角函数值表示）．
14. （1分）(2019·新宁模拟) 已知直线l1:y=3x+1,l2:kx-2y-3=0，若l1∥l2,则k=________．
15. （1分）已知函数，若y=f（x）+f'（x）是偶函数，则ϕ=________．
16. （1分） (2018高一上·徐州期中) 若，那么 ________.
三、解答题 (共6题；共70分)
17. （10分） (2016高一上·温州期末) 设函数f（x）=lg（x2﹣3x）的定义域为集合A，函数
的定义域为集合B（其中a∈R，且a＞0）．
（1）当a=1时，求集合B；
（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
18. （10分）(2018·榆林模拟) 在如图所示的空间几何体中，，四边形为矩形，点，
分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
19. （10分） (2017高一下·徐州期末) 已知直线l1：x﹣2y+3=0和l2：x+2y﹣9=0的交点为A．
（1）求过点A，且与直线2x+3y﹣1=0平行的直线方程；
（2）求过点A，且倾斜角为直线l1倾斜角2倍的直线方程．
20. （15分） (2017高一上·长沙月考) 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形
为平行四边形，，，， .
（1）求证：平面；
（2）求到平面的距离；
（3）求三棱锥的体积.
21. （10分） (2019高一上·海口月考) 某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为小时，则生产1000台某产品的总加工时间y是一个关于x的函数。
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如何分配工人才能使生产1000台某产品的总加工时间最少？
22. （15分）已知函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x
（1）如果x∈[1，2]，求函数h（x）=[f（x）+1]g（x）的值域；
（2）求函数M（x）= 的最大值．
（3）如果对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k•g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共70分)
答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、
答案：20-3、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、
答案：22-3、考点：
解析：。