第23章：解直角三角形知识点强化记忆

第23章 解直角三角形知识点强化记忆知识点1：正弦、余弦、正切、余切的概念（1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数：取值范围 全称 简写锐角∠A 的正弦斜边的对边A 0＜sinA ＜1 sine sin锐角∠A 的余弦cosA=斜边的邻边A ∠=sinB 0＜cosA ＜1 cosine cos锐角∠A 的正切tanA=的邻边的对边A A ∠∠=cotB tanA ＞0 tangent tan (或tg)锐角∠A 的余切cotA=的对边的邻边A A ∠∠=tanB cotA ＞0 cotangent cot (或 ctg 、ctn)注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。

（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义； （２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的； （３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

知识点2：同角三角函数的关系： （1） 平方关系： sin 2A+cos 2A =1（2） 商数关系： tanA=A A cos sin ，cotA=A Asin cos （3） 倒数关系： tanA =Acot 1，tanA · cotA=1tanA · tanB=1 cotA ·cotB=1（∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°）注：同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１，同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。

同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数；互余两角正切值的积为1；互余两角余切值的积为1 （１）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形，如：sin A ，cos A =因为∠A 为锐角，所以0＜sinA ＜1,0＜cosA ＜1 所以其中的负值舍去（２）ｓｉｎ2α是（ｓｉｎα）2的简写，读作“ｓｉｎα”的平方；不能将ｓｉｎ2α写成ｓｉｎα2，前者是α的正弦值的平方，后者表示α2的正弦值。

图19.3.1知识点3：、互为余角的三角函数之间的关系（诱导公式）若∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，则ｓｉｎＡ＝ｃｏｓ（９０°－Ａ）＝ｃｏｓＢ，ｃｏｓＡ＝ｓｉｎ（９０°－Ａ）＝ｓｉｎＢ，ｔａｎＡ＝ｃｏｔ（９０°－Ａ）＝ｃｏｔＢ，ｃｏｔＡ＝ｔａｎ（９０°－Ａ）＝ｔａｎＢ。

即任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值；任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

知识点4：三角函数值的变化范围及规律锐角三角函数的变化情况：在0°~90°之间，锐角∠A的正弦值随着角度的增大而增大。

在0°~90°之间，锐角∠A的余弦值随着角度的增大而减小。

在0°~90°之间，锐角∠A的正切值随着角度的增大而增大。

在0°~90°之间，锐角∠A的余切值随着角度的增大而减小。

即（１）当０°＜α＜９０°时，ｓｉｎα、ｔａｎα随着α的增大而增大，ｃｏｓα、ｃｏｔα随着α的增大而减小；（２）当０°≤α≤９０°时，０≤ｓｉｎα≤１，０≤ｃｏｓα≤１。

ｔａｎα≥0、ｃｏｔα≥0注：(1)sinA的值从0增加到1 (2)cosA的值从1减小到0（3）tanA的值从0开始增大，tan90°的值不存在。

（4）cotA的值逐渐减小到0, cot0°的值不存在知识点5：特殊角的三角函数值特殊角有０°、３０°、４５°、６０°、９０°，它们的三角函数值如下表：注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：０°、３０°、４５°、６０°、９０°的正弦值分别是222、2、2，而它们的余弦值分别是2、2、2、22知识点6：用计算器计算三角函数值用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的。

图19.3.1已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；求邻边，用锐角的余弦已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切；求斜边，用锐角的余弦。

已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的余切；求斜边，用锐角的正弦。

解直角三角形口诀(一) 已知一边一锐角，求其余边和余角．求出它们很是绕，概括三句口诀妙．图19.4.3图19.4.5求直角边用乘，求斜边用除灵．是对边用正，是邻边用余．有斜边用弦，无斜边用切．[注] 余边、余角即其余边和其余角．已知角的三角函数，求直角边用乘，求斜边用除．当已知边为斜边时，求对边用正弦，求邻边用余弦．已知一直角边求另一直角边用正切和余切． 口诀(二)—选用关系式归纳为口诀：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好； 已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦； 计算方法要选择，能用乘法不用除。

注：直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （１）三边之间的关系：222a b c +=（勾股定理）； （２）锐角之间的关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°； （３）边角之间的关系：ｓｉｎＡ＝a c ，ｃｏｓＡ＝bc ，ｔａｎＡ＝a b ，ｃｏｔＡ＝ba。

“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切、余切，宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。

对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：（１）作垂线构成直角三角形；（２）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。

知识点8：有关名词、术语的意义及高度的测量的方法 1、 铅垂线：重力线方向的直线。

2、 水平线：垂直于铅垂线的一条直线。

3、 仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

4、 坡面的坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）。

记作i ,即i =lh. 5、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh=tan a 6、高度的测量的方法：构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形的对应边成比例。

（1）、利用平行的太阳光线 （2）、利用标杆与量角仪 （3）、利用物理的光学知识与平面镜知识点8：三角形的面积公式：已知ABC ∆中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别是a 、b 、c ，如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D 。

在Rt ABD ∆中，sin ADB AB=，即：sin sin AD AB B c B =⋅=⋅ 111sin sin 222ABCS BC AD a c B ac B ∆=⋅=⋅⋅=（其中：∠B 为a 、c 的夹角） 同理可得：111sin sin sin 222ABC S ac B bc A ab C ∆===（三角形的面积公式）注：三角形的面积等于两边与夹角正弦乘积的一半补充：知识点9：正弦定理、余弦定理由面积公式可得：11sin sin 22ac B bc A = 两边同时除于12c 得： sin sin sin sin a b a B b A A B=⇔= 同理可得，正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即A a s i n =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）余弦定理:如图2：sin AD b C =⋅， cos BD BC CD a b C =-=-⋅，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：222222(sin )(cos )AB AD BD c b C a b C =+⇔=⋅+-⋅ 整理得：22222222222sin 2cos cos (sin cos )2cos c b C a ab C b C c b C C a ab C =+-+⇔=++-2222cos c b a ab C ⇔=+- 整理得到余弦定理：2222cos c a b ab C =+-（∠C 为a 、b 的夹角）同理可得：（余弦定理及其变形）2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc+-=2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c b B ac+-=111(1)2222a b c S S a h b h c h S ∆∆∆==⋅=⋅=⋅=基本公式：（）海伦公式：2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-=余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积知识点10：三角函数与相似三角形、射影定理：如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：3.2cos 610AD AB x x A AE AC +==⇔= 如图6，6tan 48DE BC x A AE AB ==⇔= 备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些三角函数与直角三角形的射影定理：直角三角形与射影定理：2CD AD BD =⋅ 2AC AD AB =⋅2tan tan CD BD A BCD CD AD BD AD CD ==∠=⇔=⋅ 2cos AC AD A AC AD AB AB AC ==⇔=⋅ 2cos BC BDB BC BD AB AB BC ==⇔=⋅射影定理：直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.知识点11：、三角函数与一次函数设一次函数y kx b =+经过点11(,)A x y 与22(,)B x y 那么我们可以列出方程组：1122y kx b y kx b=+⎧⎨=+⎩则可以得到：2121y y k x x -=- 如图所示：tankα=2BC BD AB=⋅知识点12：三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位1）如图3，sinyyrα==同理可得：cos xα=，tan yxα=，cotxyα=如图4，也可以得到相同的结论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。