平方差公式(2)课件
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平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
北师大版《平方差公式》ppt精美课件2
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
(2)992－1;
解：原式＝(99＋1)×(99－1)＝100×98＝4 000 000－1 ＝9 800．
数学·北师大版·七年级下册
(3)1.03×0.97;
解：原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝1－0.032＝1－0.000 9＝0.999 1．
7．小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题：
C．(－m－n)(m－n)
D．(m－n)(－m＋n)
C．(－m－n)(m－n) 知识点2 平方差公式的应用
A．4c2－1 B．1－4c2
D．(m－n)(－m＋n)
B．－a2－12b2
C．－a2－14b2
D．a2－14b2
3．计算：(a＋5b)(a－5b)＝__a_2_－__2_5_b_2___.
(D)
数学·北师大版·七年级下册
【第二关】 4．(2020年遵义红花岗区期中)如图1，边长为m的正方形剪去边长 为n的正方形得到①②两部分，再把①②两部分拼接成图2所示的长方 形，根据阴影部分面积不变，
于还能继续计算的算式要继续计算)”．
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
A．x3＋x3＝2x6
B．x3＋x3＝x3
方法点拨：当a或b表示一个数字与字母乘积的形式时，容易出现的错误是，只对字母平方而忘记对数字平方．
(4)136×138－1372．
数学·北师大版·七年级下册
解：(1)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2．
(2)992－1;
解：原式＝(99＋1)×(99－1)＝100×98＝4 000 000－1 ＝9 800．
数学·北师大版·七年级下册
(3)1.03×0.97;
解：原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝1－0.032＝1－0.000 9＝0.999 1．
7．小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题：
C．(－m－n)(m－n)
D．(m－n)(－m＋n)
C．(－m－n)(m－n) 知识点2 平方差公式的应用
A．4c2－1 B．1－4c2
D．(m－n)(－m＋n)
B．－a2－12b2
C．－a2－14b2
D．a2－14b2
3．计算：(a＋5b)(a－5b)＝__a_2_－__2_5_b_2___.
(D)
数学·北师大版·七年级下册
【第二关】 4．(2020年遵义红花岗区期中)如图1，边长为m的正方形剪去边长 为n的正方形得到①②两部分，再把①②两部分拼接成图2所示的长方 形，根据阴影部分面积不变，
于还能继续计算的算式要继续计算)”．
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
A．x3＋x3＝2x6
B．x3＋x3＝x3
方法点拨：当a或b表示一个数字与字母乘积的形式时，容易出现的错误是，只对字母平方而忘记对数字平方．
(4)136×138－1372．
数学·北师大版·七年级下册
解：(1)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2．
北师大版《平方差公式》ppt课堂课件2
2
2
(7 p mn)(7 p mn)
课堂小结
整式乘法和因式分解中的平方差公式有何关系？
整式乘法：(a b)(a b) a2 b2 因式分解： a2 b2 (a b)(a b)
互逆变形
例2.因式分解：4x2 16
解：原式 4(x2 4)
a2 b2 (a b)(a b)
2.把下列各式因式分解：
(1)3ax2 12a
(2)（5 m n）2 45n2
解：原式 3a(x2 4) 解：原式 5[(m n)2 9n2 ]
3a(x 2)(x 2)
5[(m n)2 （3n）2 ]
5(m n 3n）(m n 3n）
5(m 4n）(m 2n）
等式两边的多项式各有什么特点？
等式两边的多项式各有什么特点？
等式两边的多项式各有什么特点？
因式分解——平方差公式
(2)9a2 p2 b2q2 (4)a4 （1 挑战一下）
回 新顾知复讲习解
因式分解：(xxa2 2)42 4
a2 b2 (a b)(a b)
解 x2 ： 4原式(x(2x)(x2)22) 22
y(2x y)
(3a b)(b a)
(3)16(m n)2 25n2
(4) p2 16( p q)2
解：原式 [4(m n)]2 (5n)2
解：原式 p2 [4( p q)]2
[4(m n) 5n][4(m n) 5n] [ p 4( p q)][p 4( p q)]
因式分解——平方差公式 因式分解——平方差公式
2
2
(5)2( x y ) 18( x y ) 第二步：利用平方差公式因式分解
等式两边的多项式各有什么特点？
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
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2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
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2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
1.平方差公式课件
能力提升
1.已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值为___．
2.若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值
为( )
A．14 B．－14
C．45
D．－45
3.已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值．
4.计算 3 (22 1)(24 1)...( 232 1) 1 ．
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) .
解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
4.下列运算正确的是( C ) A．3x＋2y＝5xy B．(m2)3＝m5 C．(a＋1)(a－1)＝a2－1
b2 D. b ＝2
5.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( B ) A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
6.如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方 形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利 用这两个图形的面积，可以验证的公式是( B ) A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
注：利用平方差公式的关键是，认准公式里的a和b; 符号相同的为a,符号相反的为b.
例2 视察下面两幅图，你能根据此图从几何 的角度推导出平方差公式吗？
课件 数七下完全平方差公式2
的
=(x2+6x+9)-(x2-5x+6)
解: (x+3)2- (x-2)2
=(x2+6x+9)-(x2-4x+4) = x2+6x+9-x2+4x-4
修改
综
= x2+6x+9-x2+5x-6
合 =11x+3
运
用
=10x+5
解: (x+3)2- (x-2)2
=[ (x+3) + (x-2) ] [ (x+3) - (x-2) ]
1.完全平方公式： (������ + ������)������ = ������������ + ������������������ + ������������ (������ − ������)������ = ������������ − ������������������ + ������������
(3) ( p 3)2 ( p 2 6 p 9 )
(4) (m 4)2 ( m 2 8m 16 )
回顾思考
完全平方公式
两数和的平方
(a b)2 a2 2ab b2
两数差的平方
(a b)2 a2 2ab b2
例题1
利用完全平方公式计算： (1) 1022
（3）(ab+1)2-(ab-1)2
（2） (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) =(x2-4)-(x2-3x+x-3) = x2-4-x2+3x-x+3 = 2x-1
练习2计算 （3）(ab+1)2-(ab-1)2
1.5平方差公式第2课时-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
四、当堂练习
13.已知2a2+3a-6=0，求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值.
解:原式=6a2+3a-4a2+1 =2a2+3a+1.
因为2a2+3a-6=0, 所以2a2+3a=6, 所以原式=6+1=7.
五、课堂小结
本节课你有哪些收获？
1.利用几何图形，借助等面法可以验证平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 2.运用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数， 再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式.
[解析] 左图中阴影部分的面积是 a2-b2,右图中梯形的面积是 (2a+2b)·(a-b)=(a+b)(a-b). 因为两图中阴影部分的面积相等,所以(a+b)(a-b) = a2-b2.
二、新知探究
知识归纳
运用不同方法分别表示两个不同图形的面积，利用 面积相等，从而验证平方差公式.
二、新知探究
用含字母a的式子表示这一规律,可写成 (a-1)(a+1)=a2-1 .
应用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2即可说明以上规律的正确性.
差公式进行计算: (1)103×97; 解:103×97
=(100+3)(100-3) =1002-32 =9991.
(2)118×122. 解:118×122
解:由题意得这块L型菜地的面积为2× (a+b)·(b-a)=(b2-a2)m2.当 a=10,b=30时,原式=302-102=800.因此,这块L型菜地的面积共有(b2a2)m2.当a=10,b=30时,L型菜地的总面积为800 m2.
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1.7平方差公式（2）
复习：
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2 - b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
(1)请表示图中的阴影部分的面积.
a2-b2
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的 长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
长=a+b;
宽=a-b;
面积= (a+b)(a-b)
a
a
b
b
(3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
答：由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.
探索规律
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.
7பைடு நூலகம்9= 63
11×13= 143 79×81= 639
8×8= 64
(2)118×122 (2)118×122 =(120-2)(120+2) =1202-22 =14396
例2 计算：
(1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2
=a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
12×12= 144 80×80= 640
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a-1) (a+1) = a2 – 1 平方差公式
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97;
解: (1) 103×97 =(100+3)(100-3) =1002-32 =9991
解：(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =4x2-52-(4x2-6x) =4x2-25-4x2+6x =6x-25
随堂练习：
1、计算
(1)704×696
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
(3)x(x-1)-(x -
1 3
) (x+ 1 3
)
作业：
P38 习题1.12 必做：知识技能 （1）（2） （3） 问题解决（1） 选作：知识技能（4） 问题解决（2）
复习：
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2 - b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
(1)请表示图中的阴影部分的面积.
a2-b2
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的 长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
长=a+b;
宽=a-b;
面积= (a+b)(a-b)
a
a
b
b
(3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
答：由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.
探索规律
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.
7பைடு நூலகம்9= 63
11×13= 143 79×81= 639
8×8= 64
(2)118×122 (2)118×122 =(120-2)(120+2) =1202-22 =14396
例2 计算：
(1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2
=a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
12×12= 144 80×80= 640
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a-1) (a+1) = a2 – 1 平方差公式
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97;
解: (1) 103×97 =(100+3)(100-3) =1002-32 =9991
解：(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =4x2-52-(4x2-6x) =4x2-25-4x2+6x =6x-25
随堂练习：
1、计算
(1)704×696
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
(3)x(x-1)-(x -
1 3
) (x+ 1 3
)
作业：
P38 习题1.12 必做：知识技能 （1）（2） （3） 问题解决（1） 选作：知识技能（4） 问题解决（2）