函数的间断点

函数间断点求法两个基本步骤

1、间断点（不连续点）的判断

在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起看一下教材上间断点的定义：

2、间断点类型的判断

找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分：

（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：

①可去间断点：左右极限存在且相等；

②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．

（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：

①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．

②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在． ▪间断点：

x 0是f(x)的间断点，f(x)在x 0点处的左右极限都存在为第一类间断点. f(x)在x 0点处左右极限至少有一个不存在，则x 0是f(x)的第二类间断点. 第一类间断点中{

可去间断点 ： 左右极限相等 跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.

下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：

函数的间断点

一、函数的间断点

设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一：

1．在0x x =没有定义；

2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0

lim →不存在；

y

在 间断 x 1

⑤ 1

1-=x y 。 ，∞=-=→1

1

lim

11

x x x 3．虽在0x x =有定义，且()x f x x 0

lim →存在，但()()00

lim x f x f x x ≠→；

则函数()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点．

下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类：

在1=x 连续． 在1=x 间断，1→x 极限为2．

在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断，

1→x 左极限为2，右极限为1．

在0=x 间断，0→x 极限不存在． 像②③④这样在0x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令()21=y ，则在1=x 函数就变成连续的了；

④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥

称作震荡间断．

就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()x f 的间断点，但左极限

y x 1121-① 1+=x y y x 11

21-②

11

2-+=x x y ③ ⎩⎨⎧≥<+=1111x x x y ，，y x 1121-④ ⎩⎨⎧≥<+=1

1

1x x x x y ，，y

x 1121-⑥ x y 1sin =

()00-x f 及右极限()00+x f 都存在，那么0x 称为函数()x f 的第一类间断点．不是第一类

间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．

例1 确定a 、b 使在处连续．

解：在处连续

因为；；

所以时，

在处连续．

例2 求下列函数的间断点并进行分类

1、

分析：函数在处没有定义，所以考察该点的极限．

解：因为 ，但

在处没有定义 所以 是第一类可去间断点．

2、

分析：是分段函数的分段点，考察该点的极限．

解：因为 ，而

所以 是第一类可去间断点．

总结：只要改变或重新定义在处的值，使它等于，就可使函数在可去间

断点

处连续．

3、

分析：是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0

,1

sin 0

,0,sin )(x b x x x a x x

x

x f 0=x )(x f 0=x )(lim 0x f x +→⇔)(lim 0x f x -→=)0(f =b b x x x f x x =⎪⎭⎫

⎝⎛+=++→→1sin lim )(lim 001

sin lim )(lim 00==--→→x x x f x x a f =)0(1==b a )(x f 0=x 11

)(2+-=

x x x f 1-=x 2

)1(lim 11lim 1

21-=-=+--→-→x x x x x )(x f 1-=x 1-=x ⎪⎩⎪

⎨⎧

=≠=.0,1,0,1sin )(x x x

x x f 0=x 0

1

sin lim 0=→x x x 1)0(=f 0=x )(x f 0x )(lim 0

x f x x →0

x ⎩⎨

⎧<-≥+=.0,1,0,1)(x x x x x f 0=x

解：因为

；

所以 是第一类跳跃间断点．

4、

分析：函数在处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．

解：因为 ； 所以 是第一类跳跃间断点．

5、

解：因为

所以 是第二类无穷间断点

6、

解：

极限不存在

所以 是第二类振荡间断点

7、求

的间断点，并将其分类． 解：间断点：

当时，因，故是可去间断点．

当时，因，故

是无穷间断点．

小结与思考：

本节介绍了函数的连续性，间断点的分类．

1、求

分析：通过极限运算，得到一个关于x 的函数，找出分段点，判断．

1

)1(lim )(lim 0

0=+=++

→→x x f x x 1

)1(lim )(lim 0

-=-=--

→→x x f x x 0=x x x f 1arctan

)(=0=x 21arctan lim )(lim 00

π==++→→x x f x x 21arctan lim )(lim 00π

-

==--→→x x f x x 0=x x

e x

f 1

)(=+∞

==++

→→x

x x e x f 10

0lim )(lim 0=x x x f 1sin

)(=x x f x x 1

sin

lim )(lim 0

→→=0=x x x

x f sin )(=

),2,1,0( ±±==k k x π0=x 1

sin lim

0=→x x

x 0=x ),2,1( ±±==k k x π∞

=→x x k x sin lim π),2,1( ±±==k k x πn

n x x

x f 211lim

)(++=∞→