第四章增长曲线预测

特点：
1、预测目标的时间序列资料逐期增减量 大体相等，长期趋势呈线性，反映平均变 动水平。
2、参数用最小二乘法求得，对时间序列 内各数据同等对待，反映平均变动过程。
3、可中、长期预测。
三、曲线趋势延伸法特点:
不同形状的曲线变动趋势，长期趋势预测. 趋势模型:
Y f (t)
有增长上限的曲线趋势模型一般包括三种:修 正指数模型、龚帕兹曲线模型、皮尔曲线
常被用于商品的需求预测。
第一节 修正指数曲线预测
一、修正指数曲线数学模型及特性分析：可以
描述一种常见的经济现象的发展趋势，这种趋 势表现为时间序列初期增长速度快，随后增长 速度逐渐减慢，而增长量的增长速度，大体上 各期相等，最后趋向于某一个正的常数极限。
预测模型：
Yˆt K abt或Yˆt K aebt
a-------每年替代的百分数的一半，即替代 开始以后的初始替代速度。
三、替代曲线预测模型的两个基本 假设：
1、一项新技术或产品已开始替代某种老 技术或产品，并以经替代了一定的百分数， 且证明经济上是合理的，则替代过程将进 行到底。
2、替代速度与被替代的技术、产品的尚 未替代部分成正比。
Y
bn 1 b 1
b n
3 yt 2 yt
2 yt 1 yt
a
2 yt
b 1 1 yt b(bn 1)2
K
1
(
n
1
yt
ab
bn 1) b 1
三、例题：设某企业某产品最近六年的销售量 如下。试配合修正指数曲线并预测市场饱和点。
T 销售量Y（T） 局部总数 销售量发展速度
三、增长曲线识别方法：
1、观察法。 2、残差平方和识别。（取最小
者）。
第三节 替代曲线预测
一、概念： 是利用新技术及产品替代的初始速度来预
测替代的全过程。 二、替代曲线预测模型：
Yˆt
e2a(t t0 )
1 Yt
t-------时间；
t（0）---------当Y（t）为50%时的时间；
1/2K-----------------
T
2、该曲线几乎适应于所有动植物有机体 的生长规律，同时，许多生物繁殖也遵守
着这样一条曲线的变换规律，又称为生长
理论曲线。常用来分析研究存在着成长极
限的生命周期问题。主要适用于那种发展 趋势呈S形，并且其历史数据倒数的一阶 差的环比值大体为一常数的商品销量的预 测。
且长期趋势基本上呈线性趋势变化时，用此法。
模型：
1、常用法
n
n
Yˆ a bx最小二乘法，使Q= e2i (Yi a bx)2最小化
i=1
i 1
a
b
Yi b n n xiYi n xi2
xi n
xi ( xi
Yi )2
Yˆt ,简便法：a
b
a
bt Y n tY t 2
T
作业：分析该产品的销售量处在什么阶 段，并预测该产品1999年的销售量。
年份 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
T
0
1 23 45 6
销售量 260 330 430 550 653 736 800
1996
1997
T
7
8
847
881
二、1、皮尔曲线（Logistic)：
Yˆt K abt , K Yˆt abt ,ln(K Yˆt ) ln(a) t ln b 令Yˆt ln(K Yt ), A ln(a), B ln b, Yˆt A Bt,最小二乘法，a eA,b eB
2、当k,a,b为未知数时，模型无法线性化，不 能用此法，可用三和值法或三点法估计参数。
，当K0，a0，0b1时，Y值随着T的增 加而增加，终趋近于K，K是渐近线，从 经济意义上讲，K就是市场饱和点。可利 用此模型预测产品的市场饱和点与市场占 有率。
(1)K>0,a<0,0<b<1;(2)k>0,a>0,0<b<1
模型参数的估计：
1、当增长上限K为已知时，用最小二乘法估计 其余的a,b.
第五章 增长曲线预测(趋势 外推)
一般来说，增长曲线预测比其他时间 序列的趋势预测更符合客观经济现象 的发展规律，其预测准确度高，可以 得到满意的预测结论。
趋势延伸法可分为直观法、直线趋势延伸 法、多次曲线趋势延伸预测法、指数曲线 趋势法、龚帕兹曲线趋势法。
一、直观法
绘图工具，直观判断。
二、直线趋势延伸法 预测目标的时间序列资料逐期增（减）量大体相等，
遇到预测目标销售额历史资料发展趋势变 动呈S形增长曲线，又必须考虑发展过程 极限值（市场潜量或最大销售量）的影响 时，就必须采取反映S形曲线的预测模型。
b n
3 ln yt 2 ln yt
2 ln yt 1ln yt
ln a (
2 ln yt
1 ln
yt
)
b 1 b(bn 1)2
1)2
160.4
k 1 (330 (160.4)0.8144 0.6632 1 310.5
2
0.8144 1
Yˆt 310.5 (160.4)*(0.8144)t
可以看到市场饱和点为310.5万件，该产品 第六年市场的占有率为81.5%。
第二节 龚帕兹曲线预测
1、龚帕兹曲线模型：
ln
K
1 n
1 ln
yt
b(bn 1) b 1
ln
a
4、曲线特点
1、当T趋近与无穷大，Y 趋近于K时，K为曲线的 极限值。
2、龚帕兹曲线的一阶差 ln
分的环比 近似为一常数。
yt
/ ln
yt 1
3、此曲线为非对称曲线。
Y K------------------------------------------
0 150
1 180
330
120
2 204
113
3 224
428
110
4 240
107
5 253
493
105
增长量
30 24 20 16 13
增长百分比
80 83 80 81
N=6*1/3=2
b 493 428 0.6632 0.8144 428 330
Biblioteka Baidu
a
(428
330)
0.8144 1 0.8144(0.6632
时间序列 Yt N个数据。
二、修正指数曲线的参数估 计（三和值法）：
将时间序列的数据均匀的分为三段， 每段n各数据，再分别求和，然后求 出三个参数。
1Yt
n
Yt
t 1
nk
ab bn 1, b 1
2n
2 Yt
t n1
nk
abn1
bn 1, b 1
3n
3
Yt
t 2n1
nk
ab2n1
b
n
3
1 yt
2
1 yt
1 2 yt
1 1 yt
Yˆt
K
1 abt
，a
(
1 2 yt
1
b 1
1 yt ) b(b n 1)2
K
1
(
n
1 1 yt
ab bn 1) b 1
其时间序列的变化趋势是初期变化缓慢， 随后是急剧的增长阶段，达到一定程度后， 增长水平逐渐降低，最后达到饱和状态。 Yˆ K abt ,
Y e (L t )常写成Y Ka bt
（式中K et，a e，b ）
（k0，0<a<1，0<b<1），
ln Yˆt ln k bt ln a,式中， Yt为历史发展t时期产品销 售额（量）；t为观察期的 某时间周期；k，a，b参数； k为产品发展过程中市场极限量。
是根据预测目标的历史时间数列，拟合 此曲线，建立方程进行预测的一种趋势
100 替 代 百 分 比
过去
将来
新产品
老产品 t
延伸法。
该曲线用以配合一种常见的发展趋势，这种趋 势表现为初期的增长速度较慢，然后增长速度 逐渐加快，达到一定程度后，增长量虽然还有， 但增长率逐次降低，终至平复。其时间序列在 算术尺度上呈现不对称的S形。适应于描述耐用 消费品的市场需求变化和寻找产品更新换代恰 当时机的决策分析。
2、运用条件：
当Yˆ
1 Yˆ
时，为皮尔曲线；
当Yˆ ln Yˆ时，为龚帕兹曲线；
但Yˆ Yˆ时，为修正曲线。
1、t ，Y 1 ，即 1 为极限参数。 KK
2、（ln K ln a ，1 ）,该点为拐点。 ln b 2K
3、此曲线是以拐点为中心的对称曲线。
Y L--------------------------------------