22--数学学习过程的一般模式

数学学习过程的一般模式
根据认知学习的理论可知，数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。

一、数学学习过程的一般模式
依据学生数学认知结构的变化情况，可以将数学学习的一般过程划分为三个阶段，如图 3 所示：
图 3 数学学习的一般过程
从图 3 可以看出数学学习的过程包括 3 个阶段：输入阶段、新旧知识相互作用阶段和操作运用阶段。

如果把数学学习内容分为 3 个层次：数学知识、数学活动经验和创造性数学活动经验，那么新的数学认知结构就是在完成这 3 个层次的学习内容的基础上形成的。

（一）输入阶段
学习活动起源于新的学习情境。

输入阶段实质上就是给学生提供新的数学信息和新的学习内容，并创设有利于学生观察思考、分析辨别和抽象概括的情境。

在这样的学习情境中，学生原有的数学认知结构与新学习的内容之间发生认知冲突，使他们在心理上产生学习新知识的需要，这是输入阶段的关键。

为了引起学习，在这一阶段中，教师一方面要设法激发学生强烈的学习动机和学习热情；另一方面要通过一定的手段（例如必要的复习）强化与新知识有关的内容，使学生做好必要的认知准备。

（二）相互作用阶段
在学生有了学习的需要和一定的知识准备之后，当新的学习内容输入后，数学学习便进入相互作用的阶段。

这时学生原有的数学知识结构与新的学习内容之间就发生相互作用。

相互作用的基本形式有两种：同化和顺应。

也就是说认知发展不是一种数量上简单积累的过程，而是认知结构不断重新建构的过程，并且具
体的认知结构是通过同化和顺应而不断发展，以适应新的环境。

所谓同化，就是利用自己已有的数学认知结构，对新学习的内容进行加工和改造，并将其纳入到原有的数学认知结构中去，从而扩大原有的数学认知结构。

例：从四边形到平行四边形。

所谓顺应，就是当原有的数学认知结构不能接纳新的学习内容时，必须对原有的数学认知结构进行调整和改造，以适应新的学习内容的需要。

例如，初中一年级学生学习负有理数，就是把负有理数同化到正有理数结构中去的过程。

学生在小学已形成了 0 和正有理数的认知结构，因此，当把负有理数的概念输入时，学生就在他们头脑中筛选出可以纳入负有理数的数学认知结构和正有理数认知结构。

根据这个结构，对负有理数进行加工改造，建立起负有理数和正有理数之间的联系：在数轴上，负有理数是 0 左边的数，负有理数的性质和正有理数的性质相反，负有理数的加、减运算可用正有理数来定义，等等。

负有理数就被同化到正有理数认知结构中去了，原有的正有理数认知结构被扩充成有理数认知结构，这个过程可用下面的图4来表示：
图 4 有理数认知结构形成过程
再如，学生学习函数概念的过程就是顺应的过程。

初中生刚学习函数时，原有的认知结构不能适应新的认知需要。

在此之前，学生原有的认知结构中只有常量数学的有关内容，主要是代数式的恒等变形和方程、不等式的等价变形，以通过运算求得结果为目的，其主要手段是运算。

而学习变量的概念，要以变化的观点来考察变量之间的相互依赖关系，研究的着眼点是“关系”，其表达的主要手段是列出解析式或描绘图像。

比如，在学习函数概念之前学习圆的面积公式，是为了利用圆的半径去计算圆的面积；而在学习函数概念时，则要换个角度来考察圆的面积公式，将其看成圆的面积与半径之间相互变化所遵循的规律。

显然，学生原有的认知结构不能和新的认知需要相适应，学生必须对原有认知结构进行调整，以适应新的学习需要，并建立新的数学认知结构，我们可用图5来表示这一过程：
图 5 函数概念的形成过程
同化和顺应是学习过程中小学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同的形式；它们往往存在于同一个学习过程中，只是侧重面不同而已。

例如上面所说的负有理数的学习，原有的正有理数认知结构也有所改变，以顺应新知识的学习；上面所说的乘除运算的学习，对运算方法的意义而言是同化，而从运算的方式上来看则包含顺应；而在函数概念的学习中，也存在着同化过程。

如果说数学学习是数学认知结构的建立、扩大或重新组织的话，那么，同化就是改造新的学习内容使之与原有的认知结构相吻合；顺应则是改造原有的数学认知结构，以适应新学习内容的需要。

新旧知识相互作用阶段的关键——学生头脑中是否有相应的知识与新知识发生作用，因此，教师的作用就是查明学生是否具备相应的知识，为学生创设“最近发展区”。

这一阶段实质上是在第一阶段产生新的数学认知结构雏形的基础上，通过练习等活动，使学习的知识得到巩固，初步形成新的数学认知结构的过程。

通过这一阶段的学习，学生学到了一定的技能，使新的知识与原有的认知结构之间产生较为密切的联系。

（三）操作运用阶段
这一阶段是运用在相互作用阶段形成的新的数学认知结构去解决问题的过程。

这里的操作指智力活动，也就是数学思维活动，操作的主要形式是学生解决数学问题，是学生利用习得的知识，通过解决数学问题，使新的知识完全融化于原有的数学认知结构之中，形成完善的认知结构的过程，实现预期的教育目标，使学生的能力得到进一步的发展。

在实际数学教学中，我们常常会发现这样的现象: 教师尽管在课堂上讲得头头是道，但学生对此却充耳不闻。

教师在课堂上详细分析过的数学习题，学生在作业或测验中仍然可能是谬误百出。

尽管教师强调数学的意义，但学生仍然认为数学是毫无意义的符号游戏。

这里可以根据建构主义观点作如下分析：建构主义认为，学生学习活动的本质是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建
构过程。

学生对数学知识的真正“理解”并不是指学生弄清教师的本意，而是指学习者运用己有的知识和经验对教师所讲的内容重新加以解释、重新建构意义；学生真正获得对知识的消化，是把新的学习内容正确地纳入已有的认知结构，从而使其成为整个结构的有机组成部分。

教师的主要作用在于帮助学生形已有的知识、经验中抽象出新的概念，归纳、概括出新的规律。

总之，依据学生认知结构的变化，可以将数学学习的一般过程用下图表示: 新的学习内容→原数学认知结构→产生新的数学认知结构→初步形成新的数学认知结构→形成新的数学认知结构。

值得一提的是，在实际的日常教学中，数学学习的一般过程除了以上三个阶段外，还常常增加一个新的阶段——输出阶段。

这一阶段是在操作运用阶段的基础上，通过发现问题、提出问题，分析问题并加以创造性解决的过程，使业已形成的数学认知结构臻于完善，新、旧数学认知结构最终融为一体，而学生的能力得到发展，数学思维水平得到明显提高。

这一过程就是上述的形成新的数学认知结构。

数学学习过程的这三个阶段是紧密联系的，任一阶段的学习出现纰漏，都会影响学习的质量。

无论数学新内容的接受还是纳人，都取决于学生原有的数学认知结构。

因此，学生已有的数学认知结构总是学习新数学内容的基础。

有效的数学学习，要求新知识应与原数学认知结构处于相互容纳的动态平衡之中。

数学学习的这一过程向我们展示了两条学生成长的途径：从新的学习情境到预期的学习目标，一是学生的数学认知结构由“旧”到“新”，学生的数学认知结构不仅是“量”的变化，更重要的是“质”的飞跃；二是学生以数学知识的学习为载体，形成了数学能力，而这正是我们进行数学教育所追求的目标之一。

这就是说，学生在数学学习的过程中随着新的数学认知结构的形成，学生的数学能力同时也得到了提高。