医用物理学公式汇总
1.连续性方程（equation of continuity ）：在定常流动中，同一流管的任一截面处的流体密度、流速和该截面面积的乘积为一常量。 ρ1S 1υ1 =ρ2S 2υ2 或 ρS υ=常量 对于不可压缩流体，即ρ1 =ρ2 S 1υ1 = S 2υ2 或 S υ=常量
体积流量（S υ）简称流量（Q ）
2.伯努利方程：只适用于理想流体的定常流动
3.
雷诺数
由雷诺数判断流动类型
R e <1000时，流体作层流；
R e >2000时，流体作湍流；
1000 5. 斯托克司定律 相对流体运动的球体，其表面附着的一层流 体与周围流体间存在着摩擦力,即为球体受 到的粘性阻力: r-球体的半径；v-球体相对流体的速度； η-流体的粘度 6. 球体在粘性流体中下落时的收尾速度 (或称沉降速度) ： 7.泊肃叶定律 量： 流阻 8.振动方程 )cos(?ω+=t A s 振幅 初相 m k = 2ω 旋转矢量图示法 简谐运动的能量 )(sin 2 1 212222?ωω+==t mA m E k v )(cos 2 1 21222?ω+==t kA ks E p 22 1kA E E E p k = += 9.阻尼共振时系统的振幅达到最大值；阻尼越小，振幅越大，共振频率越接近系统的固有频率。 22 2212112 121gh P gh P ρρυρρυ++=++常量 =++gh P ρρυ221 η ρυr R e =12222212112121E gh P gh P ?+++=++ρρυρρυ12 21E P P ?=-υ πηr F 6=g r T )'(922ρρηυ-=48R L R f πη=f R P Q ?=k m T πωπ22==m k f π21=()) 2 cos( sin π ?ωω?ωω++=+-=t A t A v ()) cos( cos 22π?ωω?ωω++=+-=t A t A a 2 20 20 2 2 2 2ωωv v + =+ =s s A ）（ω ?00arctan s v -=()?ω+=t A s cos 10.简谐振动的合成 2 2112 211cos cos sin sin arctan ?????A A A A ++= )cos(212212 221??-?++=A A A A A 同方向、同频率 同相振动: ?= ± 2k π (k=0, 1, 2, …) A max =A 1+A 2 反相振动: ?= ± (2k+1)π (k=0, 1, 2, …) A min =|A 1-A 2| 11.理想气体物态方程 RT M m pV = 摩尔气体常 1 1314.8--??=K mol J R 12.理想气体的压强公式 =p k 32εn = k ε=202 1 v m 13.自由度 单原子气体分子：3（平） 刚性双原子分子：3（平）+2（转）=5 刚性多原子分子：3（平）+3（转）=6 在温度为T 的平衡态下，分子的每个自由度都具有相同的平均动能，且等于 kT 2 1 13.气体分子平均能量（自由度为 i ） kT i 2 =ε 14.系统的内能 RT i M m kT i N M m kT i N U A 2 22?=?=?== U 2 i pV R =k ﹒N A, N=N A ﹒m /M R =8.314 J ﹒mol -1﹒k -1 k=1.381×10-23 J ﹒K -1 N A =6.022×1023 mol -1 15.阿伏伽德罗定律 nkT p = 16.表面张力的大小 L F α= 17.液体的表面能 S W ?=?α 18.球形液面下的附加压强 R 2α= S p 19.球膜内外压强差为 R p s α4= 20.毛细现象 g r h ρθ αcos 2= 21.库仑定律 21022121r r q q k F ??= 41 επ= k 0ε——真空中的电容率（介电常数） F/m 1082187854.8120-?=ε ()()2 22111 cos , cos ?ω?ω+=+=t A s t A s 0 2 21041r r q q F ? ?επ= 22.电场力的叠加 23.电场强度的计算 ①点电荷的电场 02 00 41r r q q F E ???επ== ②点电荷系的电场：点电荷系在某点P 产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理。 ∑∑∑π=== k k k k k k r r q E q F E 0 200 41????εk k ③ 连续分布带电体 24.电通量 25.高斯定理 ???=Φs e S E ??d ??=S dS E q 0 1 ε= Φe 与曲面的形状及 q 在曲面内的位置无关 q 在曲面外时：021=Φ+Φ=Φe e e 当存在多个电荷时： 521...E E E E ????+++= 面E ? 是所有电荷产生的，Φe 只与内部电荷有关 ∑??= ?=Φi i S e q S E )(1 d 0 内ε?? （不连续分布的源电荷） ????= ?=ΦS S e q S E d 1 d 0ε?? （连续分布的源电荷） 26.利用高斯定理解电场问题，但只对电场（电荷）分布具有对称性问题才能用 例1.均匀带电球面，总电量为Q ，半径为R 求电场强度分布 解：对球面外一点P : 取过场点 P 的同心球 面为高斯面 ???S S E ??d ?? ?=S S E ??d ??=S E dS 24r E π?= 根据高斯定理 2 4ε∑= π?i i q r E 2 04r q E i i επ= ∑ ∑=>i i Q q R r 2 04r Q E επ= 对球面内一点: 0=<∑i i q R r E = 0 例2. 已知球体半径为R ，带电量为q （电荷体密度为ρ） 求均匀带电球体的电场强度分布 解：)(R r ≥球外 02041r r q E ??επ= 2303r r R ?ερ= （q=ρ3 34r π） 球内R r < ???S S E ??d 2 4r E π?=ρεε3003 411r q π== r E 0 3ερ= 例 3. 已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为σ 求电场强度分布 解：电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面 ?? ?=ΦS e S E ??d ?? ?????+?+?=右底左底侧S E S E S E ??????d d d ES ES ES 20=++= 根据高斯定理有 S ES σεε0 1 q 1 2= = 2εσ = E 讨论：021I =-=E E E 21II εσ= +=E E E 021III =-=E E E 例 4. 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+λ，求距直线r 处一点P 的电场强度 解：电场分布具有轴对称性 过P 点作一个以带电直线为轴， 以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作为高斯面 ???=ΦS e S E ? ?d ???????+?+?=下底 上底 侧 S E S E S E ??????d d d l r E S E S E ?π?==?=????2d d 侧 侧 ? ? 根据高斯定理 q 1 ε= Φe l λε0 1 = l l r E λε0 1 2= ?π? 线外： r E 02ελ π= 例 5. 已知“无限长”均匀带电圆柱体的电荷线密度为+λ 解： ρ πρl R V q 2==ρπλ2R l q == 圆柱体外： ???=ΦS e S E ? ?d ???????+?+?=下底 上底 侧 S E S E S E ??????d d d l r E S E S E ?π?==?=????2d d 侧 侧 ? ? 根据高斯定理 q 1 ε=Φe = l l R λερπε0 20 1 1 = l λε0 1 = l r E ?π?2 r 0R r 2E ελ π= > 圆柱体内: ???=ΦS e S E ? ?d ???????+?+?=下底 上底 侧 S E S E S E ??????d d d h 2d d ?π?==?=????r E S E S E 侧 侧 ? ? Q=ρπρh 2 r V = 根据高斯定理 Q 1 ε= Φe = ρπεh 1 20 r h 2?π?r E = ρπεh 1 20 r 2?E = ρεr 0 1 2?E = 2 1 R r πλ ε 2 02R r E R r πελ= < 例 6. 已知“无限长”均匀带电圆柱面的电荷面密度为+σ 面内： 020 == <επq rlE R r 0= R r 2E 2εσ πεσ επRl S q rl = = = > λσπ== l q R 2 圆柱面外：r 0R r 2E ελ π=> 27. 磁感应强度 速度—电荷电量—v q 0 磁力线切线方向为磁感应强度B 的方向 28. 磁通量 S B m ? ?d d ?=Φ —— 通过该面元的磁 通量 —— 单位：韦伯（Wb) 对于有限曲面 ????=?=S S m ds B S B cos θd ? ?Φ 对于闭合曲面 ????=?=S S m S B S B cos θo d ? ?Φ 磁力线穿入 0 v q F B 0max = 29. 磁场的高斯定理 1.在一均匀磁场中有一面积为S 的平面，其法线n 与磁感应强度B 的夹角为θ，则磁通量为 φ=BS cos θ 2.若磁场不均匀 ????=?=S S m ds B S B cos θd ? ?Φ 3.对于闭合曲面，进去的等于出来的 0d =?=??S m S B ? ?Φ 30. 电流的磁场 毕－萨定律： 2 0d 4d r r l I B ? ???π=μ 0r ? ——单位矢量 270A N 104-?π=μ真空中的磁导率 大小：2 0sin d 4d r l I B θ μπ = 方向：四指是电流方向，大拇指是点的方向，磁感线穿手掌 例1. 载流直导线的磁场 求距离载流直导线为a 处 一点P 的磁感应强度 B ? )cos (cos 4210θθμ-π= a I B ① 无限长直导线 01→θ π→2θ a I B π= 20μ ② 半无限长载流直导线 πθπθ==21 a I B πμ40= ③ 直导线延长线上 0=B ④ 任意形状直导线 01=B )180cos 90(cos 40002-π= a I B μa I π= 40μ 例2. 载流圆线圈的磁场 求轴线上一点 P 的磁感应强度 2 /3222 0)(2x R IR B += μ ① 0=x 载流圆线圈的圆心处 R I B 20μ= 如果由N 匝圆线圈组成 R NI B 20μ= ② 一段圆弧在圆心处产生的磁场 π ? = 220φ μR I B R I π= 40φ μ 求O 点的磁感应强度 01=B 2 3402π ? π= R I B μR I 830μ= R I B π=403μ 321B B B B ++= ③ R x >> 2 /3222 0)(2x R IR B += μ 3202x IR B μ≈ππ?3 02x IS π=μ 磁矩 n IS p m ??= 3 02x p B m ??π=μ ④ N 匝圆电流产生的磁场 例. 两根无限长平行导线相距为 2a ，载有大小相等方向相反的电流 I ，求 x 轴线上一点的磁场 21B B B ρρρ+= θsin 121B B B ==ρ ρ θsin 21B B B x -== 22sin x a a r a +== θ 21 22001) (22x a I r I B +== πμπμ 0 220 x x a a I B +-=πμρ 例3. 载流螺线管轴线上的磁场 已知螺线管半径为R ，单位长度上有n 匝多个圆环环上电流为：l In I d 'd = ()120cos cos 2 ββμ-= nI b 讨论： ① 无限长载流螺线管 π, →1β02→β nI B 0μ= ② 半无限长载流螺线管 ,2 1π→β0 2→β 2 0I n B μ= 31. 安培环路定理 在稳恒磁场中，磁感强度 沿任一闭合路径的线积分等于此闭合路径所包围的所有电流的代数和与真空磁导率 的乘积: ∑?==?n i i L I l d B 1 μ ? ? 说明 ：电流I 的正负规定:电流的流向与闭合路径绕行方向满足右手螺旋法则时,I 取正值,反之 I 取负值 应用：要求电流的分布具有对称性 1) 无限长载流圆柱体的磁场 ① 圆柱体外，过P 点选如图积分 回路: =??L l d B ??=rB π2I 0μ 即 R r r I B >= 20 πμ外 ② 圆柱体内，过Q 点选如图积分 回路: =??L l d B ??=rB π2∑i i I 0μ22 0.R r I ππμ= 即 R r R r I B <= 2 2πμ内 求无限长载流圆柱面的磁场 内部：B=0 中间：B= R I 20 πμ 外部：B=0 利用安培环路定理计算磁场 B ,要求磁场具有高度的对称性，要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路方向一致 2)载流长直螺线管内的磁场 ??????+++=?a d d c c b b a d d l B l B ρρρρ)( cos =⊥θl B ρ ρΘd ,0=?=???a d c b d d l B l B ρ ρρρ Θ螺线管外B =0 0=??d c d l B ρ ρ ab B d d b a ==?=???l B l B ρ ρρρ I ab n I ∑= ? ∑=?L I l d 0μρ ρB nI B 0μ= 32. 磁场对运动电荷的作用 B q f m ? ???=v θsin B q f v =? 33. 带电粒子在均匀磁场中的运动 1） 0V ρ与 B ρ 平行时 粒子作匀速直线运动 2） 0V ρ 与 B ρ 垂直时 粒子作匀速圆周运 动 0V V = qB mV r 0 = qB m V r T ππ220== 3）0V ρ与 B ρ成θ B V q F ?ρ? ?=0 合运动 为螺旋运动 34. 磁场对载流导线的作用 安培定理：B l I F ??? ?=d d θsin d lB I = ? ? ?==B l I F F ? ?? ? d d 例：在均匀磁场中放置一任意形状的导线，电流强度为I 求此段载流导线受的磁力 解 在电流上任取电流元 l IB B l I F d d d =?=??? ?sin d d l IB F x =y IB d = x IB l IB F y d cos d d ==? 0d 0 0==?y IB F x （整条线X 变化范围） IBL x IB F L y ==?0 d （整条线y 变化范围） 磁场对半圆形载流导线的作用力？ 已知：R,I, B(均匀磁场） 解：为曲线载流导线，分成许多电流元。 取成对电流元，因为对称性 BIdl dF = 0=?x dF ??==L L y BIdl dF F θsin BIR d BIR F 2sin 0 ==?θθπ 求两平行无限长直导线之间的相互作用 电流 2 处于电流 1 的磁场中 a I B π= 21 01μ 电流 2 中单位长度上受的安培力 1212B I f =a I I π= 22 10μ 同时，电流 1 处于电流 2 的磁场中 电流 1 中单位长度上受的安培力 a I I B I f π= =22 102121μ 35. 磁场对平面载流线圈的作用 B p M m ??? ?= m p ? =S I ρ 讨论：1. 线圈若有N 匝线圈 B p N M m ????= 2. M 作用下，磁通量增加 0=? 0=M ? //B 稳定平衡 π=? 0=M ? -// 非稳定平衡 均匀磁场中的平面电流环只转动，无平动 3. 非均匀磁场中的平面电流环 线圈有平动和转动 结论：在匀强磁场中，平面线圈所受的安培力为零，仅受磁力矩的作用 磁力矩总是力图使线圈的磁矩转到和外磁场一致的方向上 例. 边长为2m 的正方形线圈，共有100匝，通以电流 2A ，把线圈放在磁感应强度为0.05T 的均匀磁场中．问在什么位置时，线圈所受的磁力矩最大？此磁力矩等于多少？ 解 φsin NBIS M =Θ 090=∴φ时，M 最大 NBIS M =max )m N (402205.01002?=???= 36. 磁场能量： l I ? d 2021E E εω= 22 1E E εω= 2021B B μω= 2 21B B μ ω= 37.电磁波中人所感受范围:(400—760)nm 频率范围:(7.6~4.0）?1014Hz 38.光程: nd L = 39.相位差 )(22211d n d n -= ?λ π ? 光程差：2211d n d n - 40. 初相相同的波源S 1,S 2在P 点的相位差是多少? { } 122L L -=?λ π ? ()[]{}122r nd d r -+-= λ π ()()[]d n r r 1212-+-= λ π 41.光源经过狭缝A 与B,在其几何中心线上 C 处相遇，若在AC 路程中加入厚为l 折射率为n 的薄膜，相位差为多少？ πλ ?2) 1(-= ?n l 42.光干涉的必要条件 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 43.杨氏双缝干涉 单色光入射 条纹位置：λ——波长 D —狭缝到光屏距离 d---两狭缝间距离 明纹 2 2λ δ?±== k D xd Λ,2,1,0=k 暗纹 Λ,2,12 )12(=?±== k k D xd λδ－ 条纹间距 λd D x = Δ 双缝间距 x D d ?= λ 干涉条纹特点： 一组与狭缝平行的等间距等宽以中央零条纹为对称分布的直条纹 44.半波损失 21n n <有半波损失 21n n >无半波损失 透射波没有半波损失 45.薄膜干涉 两条反射光线的光程差： γδcos 22d n = 考虑半波损失 ?? ???? ?=?+±=?±=+=相消干涉）相长干涉ΛΛ,1,02 12(,1,0 2 22cos 22k k k k d n λλλγδ 光线垂直入射 0=γ 例：波长550 nm 黄绿光对人眼和照像底片最敏感。要使照像机对此波长反射小，可在照像机镜头上镀一层氟化镁MgF 2薄膜，已知氟化镁的折射率 n =1.38 ，玻璃的折射率n =1.55求 氟化镁薄膜的最小厚度 解：两条反射光干涉减弱条件 Λ,1,02 ) 12(2=+=k k nd λ k =0,增透膜的厚度最小, nm 10038 .14550 4≈?= = n d λ 46.光的衍射现象 光在传播过程中绕过障碍物的边缘而偏 离直线传播的现象。波长越大，障碍物越小，衍射越明显 47.单缝衍射 ( a 为缝 AB 的宽度) 0sin =θa —— 中央明纹 为明纹级数 K K 2λK a ,...)3,2,1(,)12(sin =+±==θδ为暗纹级数 K K ,2λ2K asin θ,...)3,2,1(=±==δ48.圆孔衍射 圆孔半径R ，直径D , 艾里斑半径r ,直径d D λθ22.1≈ 22.12 D f d r λ ≈= （f 透镜焦距） 例. 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距 120 cm ，设夜间人眼瞳孔直径为5.0 mm ，入射光波为 550 nm 求: 在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？ 解:设人离车的距离为 S 时，恰能分辨这两盏灯 49.光栅衍射 光栅常数 d =a +b (透光宽度+不透光宽度) 光栅方程 ... 3,2,1,0,, sin =+=±=k b a d k d λθ 1sin ,1,,1=>><=k d d k θλλ则如果时当 光栅常数小于波长,看不到任何衍射条纹。可见光最短波长400nm ，即如果光栅常数小于400nm ,相当于刻线密度大于每毫米2500条，这种情况看不到任何衍射条纹 当 k =1时，如果光栅常数远大于波长，衍射角接近于零，1级谱线距零级太近，仪器无法分辨，也观察不到一级明纹 例：一束波长为 480nm 的单色平行光，照射在每毫米内有600条刻痕的平面透射光栅上 求（1）光线垂直入射时，最多能看到第几 级光谱？ (2) 光线以 30o 入射角入射时，最多能看到 第几级光谱？ 解：λ?k d ±=sin m 106 1 10600153 -?=?= d []3108.461075max =? ???????==--λd k λ?k d ±=+)03sin (sin o 当? = 90o 时 5max =+k 当? = -90o 时 1max -=-k 7条 例.用波长为589nm 的钠光，垂直入射到每毫米500条缝的光栅上，最多能看到多少条明条纹？ 解：光栅方程为： λθk d =sin 4.310589500/10sin 93=?=== --λλ θ d d k 看到3+3+1=7条 干涉与衍射的区别 50. 曲线的曲率K 表征曲线的弯曲程度 曲线越弯曲，K 值越大，r 值越小 51. 单球面折射 折射定律 n 1 sin i 1= n 2 sin i 2 单球面折射公式 1 221r n n v n u n -=+ n 1为入射光线所在介质的折射率 n 2为折射光线所在介质的折射率 u ——物距 v ——像距 符号规则： 1)物距u ：实物取正号，虚物取负号。 2)像距v ：实像取正号，虚像取负号。 3)曲率半径 r ：凸球面对着入射光线时取正号；凹球面对着入射光线时取负号； 平面的曲率半径 r =∞ 物在物空间为实物； 物在像空间为虚物 像在像空间为实像； 像在物空间为虚像 52.焦度(光焦度) -----描写单球面折射本领 1 2r n n -= Φ 单位：屈光度，用D 表示，１D = 1m -1 1D=100度(眼镜) Ф越大，折光本领越强 53.折射面的焦距 第一焦距 f 1：r n n n f u 121 1-= = 第二焦距 f 2：r n n n f v 1 22 2-= = 2 211f n f n == Φ 例. 一条鱼在水面下1米处，水的折射率n =1.33，若在鱼的正上方观察，其像的位置在哪里？ 解：u =1m ，n 1 = 1.33，n 2 = 1，r =∞ 得代入公式 1221r n n v n u n -=+ 01 133.1=+v 解得 v =－0.752m 像为虚像，位置水面下0.752米处。 54. 共轴球面系统 如果用v 1表示前一个球面像距，u 2表示后一个球面的物距，d 表示前、后两球面之间的距离，则 u 2=d-v 1 上式适用于所有的情况，其中，u 2、v 1都带符号 例如，求得前一球面像距v 1= -5cm(成一虚像)，前后两球面之间的距离d=10cm ，则 u 2=d-v 1=10-(-5)=15cm (实物) 例：玻璃球(n=1.5)半径为r =10cm ，一点光源放在球前40cm 处，求近轴光线通过玻璃球后所成的像 解：第一球面成像：u 1=40cm ，r 1=10cm ，n 1=1，n 2 =1.5 1 1 21211r n n v n u n -=+代入公式 10 1 5.15.14011-=+v 解得 v 1=60cm 第二球面成像：u 2= d-v 1= 2r -v 1=-40cm ， n 1 = 1.5， n 2 = 1，r 2= -10cm 2 1 22221r n n v n u n -=+代入公式 得 v 2=11.4cm 55. 薄透镜成像公式 设薄透镜两个球面的曲率半径为r 1、r 2，折射率为n ，透镜两侧的折射率分别为n 1、n 2。主光轴上有一物点O ，物距为u 2 21121 r n n r n n v n u n -+-=+ 焦度22 11 r n n r n n ---= Φ f n = Φ 高斯公式： 1 11 f v u =+ 56. 薄透镜组合 1.设两个薄透镜紧密贴合在一起，两透镜的焦距分别为f 1和f 2 21111f f v u +=+1 2111f f f +=1 21 Φ+Φ=Φ 2. 非紧密贴合……逐次成像法 例：凸透镜L 1和凹透镜L 2的焦距分别为20cm 和40cm ，L 2 在L 1右侧40cm 处。在L 1左边30cm 处放置某物体，求经过透镜组后所成的像 解：L 1成像：u 1=30cm ，f 1=20cm 由高斯公式，得 20 113011=+v 解得 v 1=60cm L 2成像：u 2=d - v 1 =40cm - v 1= -20cm ， f 2= -40cm 代入公式，得 40 1 12012-=+-v 解得 v 2=40cm 57. 1．远点(far point) 眼睛能看清的最远的物体与眼睛之间的距离称为远点。观察处在远点的物体时，睫状肌处于完全放松状态。 视力正常的眼睛，远点在无穷远处。 2．近点(near point) 眼睛能看清的最近的物体与眼睛之间的距离称为近点。观察处在近点的物体时，眼睛处于最大调节状态。 视力正常的眼睛，近点距离约为10~12cm 。 3．明视距离(visual distance) 对于一个视力正常的人，不易引起眼睛过渡疲劳的最适宜的距离约为25cm ，这个距离称为明视距离 例：某近视眼的远点在眼前50cm 处，今欲使其看清无穷远处的物体，则应配戴多少度的眼镜？近视眼：远点近，无穷远处物成在“远点” 解：已知u 1=∞， v 1= -50cm=-0.5m 代入公式 1 11 f v u =+ 解得：f 1= -0.5m f n = Φ=-2D=-200度 某远视眼的近点距离为1.2m ，要看清12cm 处的物体，要配戴怎样的眼镜？远视眼：近点远，近处物成在“近点” 解:代入高斯公式 f 111=+v u f 12.1112.01=-+ 度750D 5.7f 1 === Φ