上海市控江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题
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4．若 ，则 ___________.
5．不等式 的解为______
6．在 中， ，则角 的最小值是____________.
7．已知 ， ，则 ___________.
8．函数 ， 的反函数是___________.
9．已知m是实常数，若 ，则m的取值范围是___________.
10． 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足 ， 的 恰有一个，则c的取值范围是___________.
【解析】
【分析】
根据反余弦函数的定义及 ，利用偶函数性质求解即可.
【详解】
因为 ，
所以2
由 ，且
所以 ，即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.
9．
【解析】
【分析】
由题意可转化为 有解，换元求函数的值域即可.
【详解】
由 可得：
，
若 ，
则方程 有解，
令 ， ，
则 ，
【详解】
（1）在 中， ， ，
由 ，
得 ，解得 ；
（2）∵ ，∴ ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
∴ ，又 ， ，
记 的面积为 ，则 ，
∴ 时， 取得最大值为 .
【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.
20．（1）详见解析（2）
得到函数 的图象，
在 中，若 （A） ，
，
，
，
故由余弦定理可得 ，
，
面积为 ，
故 面积的最大值为 ．
【点睛】
本题主要考查五点法作图， 的图象变换规律，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
21．（1） （2）证明见解析（3）存在正整数 ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算 时 的值，从而解得 的值；
17．（1） ；（2）1
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把 代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．
（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以 ，得到关于 的式子，代入 ，即可得到答案．
11．
【解析】
【分析】
首先根据函数的最大值和最小值，列式求 ，根据周期公式求 ，再代入对称轴 ，求 ，最后再验证，确定函数的解析式.
【详解】
【点睛】
本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.
12．②④⑤.
【解析】
【分析】
①取 验证可判断；
②由 及基本不等式求 的范围，从而可判断；
上海市控江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.
2． 的单调减区间是___________.
3．方程 的解集是___________.
本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题．
14．D
【解析】
【分析】
根据图象平移变换可判断①，根据余弦函数的对称轴可判断②
【详解】
①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ，故①假；
②函数 的图像的对称轴方程为 ，解得 ， ，故②假.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题.
⑤若 ，则 ， ， ， ， ，
，
所以 ，
所以 ，故⑤正确
综合以上有②④⑤正确
故答案为：②④⑤.
【点睛】
根据正余弦定理、三角函数的单调性以及基本不等式考查三角形边角之间的关系，中档题.
13．D
【解析】
【分析】
去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.
【详解】
因为 ，
由正弦函数的值域可知 ，
故选：D
【点睛】
5．
【解析】
【分析】
由反余弦函数的定义域及单调性可得 ，再求解即可.
【详解】
解：由函数 是定义在 的减函数，
又 ，
则 ，解得： ，
即不等式的解集为： ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.
6．
【解析】
利用正弦定理有： ，则 ，则角 的最小值是 ．
7．-7
【解析】
【分析】
21．已知函数 ，且 .
（1）求a的值；
（2）求出 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）
（3）是否存在正整数n，使得 在区间 内恰有2021个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．2
【解析】
【分析】
由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【详解】
因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，
③由 和正弦定理可判断；
④若 ，则 ，结合正弦函数的单调性可判断；
⑤若 ，则可判断出A、B、C均为锐角，由 ，结合均值定理可判断 .
【详解】
解：①令 ，则 ，但 ，故①错误.
②若 ，则 ， ，
在 递减，所以 ，故②正确；
③由正弦定理及 ，得 所以 或 ，则 为等腰三角形或直角三角形，故③错误.
④由 ，则 ， ， ，所以 ，则 为钝角三角形，故④正确.
当 时， ．
设 ，则 ，
于是 ，令 ，
解得 或 ，故 在 没有实根．
综上讨论可得， 在 ， 上有4个零点，
而 ，
所以函数在 有2021个零点.
【点睛】
本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求角的大小，判断 在 上有4个零点是解题的关键，属于难题.
15．C
【解析】
【分析】
利用函数为偶函数 即可求解.
【详解】
根据题意可得
，
即 ，
，
所以 ，
对于任意 ，恒成立，
则 .
“ ”是“ 是偶函数”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.
16．C
【解析】
【分析】
运用偶函数的定义可得 在 的解析式，作出函数 的图象，由 ，解得 或 ，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的 的情况，即可得到 的范围．
根据 ， ，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加、相减分别得到 、 ，然后利用商数关系求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
两式相加得： ，
两式相减得： ，
所以 ，
故答案为：-7
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．
【解析】
【分Baidu Nhomakorabea】
（1）利用五点法作图，将表中数据补充完整，并求出 的解析式．
（2）利用 的图象变换规律，求得 的解析式，再利用条件以及余弦定理、基本不等求得 面积的最大值．
【详解】
（1）请将上表数据补充完整，如表：
0
0
2
0
0
根据表格易知 ， ，解得 ，
故 ．
（2）将函数 的图象每一点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设 ，求 面积的最大值及此时 的值.
20．某同学用“五点法”画函数 在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.
0
0
2
-2
0
（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出 的解析式；
（2）将函数 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，a、b、c分别为锐角 的三个内角A、B、C的对边，若 ， ，求 的面积S的的最大值.
【详解】
函数 是定义域为 的偶函数，
当 时， ，
当 时， ．
作函数 的图象，
由于关于 的方程 ，
解得 或 ，
当 时， ， ， 时， ， ．
由 ，则 有4个实根，
由题意，只要 有2个实根，
由图象可得当 时， 有2个实根，
当 时， 有2个实根．
综上可得： 或 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．
【分析】
根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可.
【详解】
由 可得：
，
所以 或 ，
即 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.
4． .
【解析】
【分析】
由诱导公式可知 ，所以 ，直接代入公式即可求出结果.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.
（2） ，即最大值为1，最小值为 ，单调递增： ，单调递减： ，
19．（1） ；（2） 时， 取得最大值为
【解析】
【分析】
（1）在 中， ， ，由余弦定理即可求边长PC；
（2）在 中，利用正弦定理，得到 ， ，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.
所以
故答案为2．
【点睛】
本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．
2．
【解析】
【分析】
根据正弦函数的单调性直接求解即可.
【详解】
因为 ，
令 ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题.
3． 或
【解析】
13．函数 的值域是（）
A． B． C． D．
14．已知下列两个命题：①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ；②函数 的图像关于直线 ， 成轴对称其中（）
A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假
15．已知 ，“ ”是“ 是偶函数”的（）条件.
A．充分非必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要
11．已知函数 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为 ，直线 是其图像的一条对称轴，且 ，则 的解析式为___________.
12．在 中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，现有下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 为等腰三角形；④若 ，则 为钝角三角形；⑤若 ，则 ；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
16．已知函数 是定义域为R的偶函数，当 时， ，若关于x的方程 有且仅有6个不同实数根，则a的取值范围是（）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
17．已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18．已知函数 ；
（1）求 的定义域与最小正周期；
（2）求 在区间 上的单调性与最值.
19．如图所示，扇形 ，圆心角 的大小等于 ，半径为 ，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.
（2）根据 ，求得 的最小正周期为 ；
（3）根据 的最小正周期为 ，且 ， 内有4个零点，可解得 ．
【详解】
（1）函数 ，
令 ，得 ，解得 ；
（2）
，
所以 的最小正周期为 ．
（3）存在正整数 ，使得 在区间 ， 内恰有2021个零点．
当 时， ．
设 ，则 ，
于是 ，
令 ，得 或 ，
于是 ，或 或 ，其中 ，
所以只需 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了含 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.
10． 或
【解析】
【分析】
利用正弦定理表示 为 的函数，即可求解.
【详解】
由正弦定理可得 , ,
又 ， ，
所以 在 有唯一解，
故 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）原式
．
考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用
18．（1）定义域 ， ；
（2）单调递增： ，单调递减： ，最大值为1，最小值为 ；
【解析】
试题分析：(1)简化原函数， 结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.
试题解析：
；
（1） 的定义域： ，最小正周期 ；
5．不等式 的解为______
6．在 中， ，则角 的最小值是____________.
7．已知 ， ，则 ___________.
8．函数 ， 的反函数是___________.
9．已知m是实常数，若 ，则m的取值范围是___________.
10． 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足 ， 的 恰有一个，则c的取值范围是___________.
【解析】
【分析】
根据反余弦函数的定义及 ，利用偶函数性质求解即可.
【详解】
因为 ，
所以2
由 ，且
所以 ，即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.
9．
【解析】
【分析】
由题意可转化为 有解，换元求函数的值域即可.
【详解】
由 可得：
，
若 ，
则方程 有解，
令 ， ，
则 ，
【详解】
（1）在 中， ， ，
由 ，
得 ，解得 ；
（2）∵ ，∴ ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
∴ ，又 ， ，
记 的面积为 ，则 ，
∴ 时， 取得最大值为 .
【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.
20．（1）详见解析（2）
得到函数 的图象，
在 中，若 （A） ，
，
，
，
故由余弦定理可得 ，
，
面积为 ，
故 面积的最大值为 ．
【点睛】
本题主要考查五点法作图， 的图象变换规律，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
21．（1） （2）证明见解析（3）存在正整数 ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算 时 的值，从而解得 的值；
17．（1） ；（2）1
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把 代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．
（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以 ，得到关于 的式子，代入 ，即可得到答案．
11．
【解析】
【分析】
首先根据函数的最大值和最小值，列式求 ，根据周期公式求 ，再代入对称轴 ，求 ，最后再验证，确定函数的解析式.
【详解】
【点睛】
本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.
12．②④⑤.
【解析】
【分析】
①取 验证可判断；
②由 及基本不等式求 的范围，从而可判断；
上海市控江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.
2． 的单调减区间是___________.
3．方程 的解集是___________.
本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题．
14．D
【解析】
【分析】
根据图象平移变换可判断①，根据余弦函数的对称轴可判断②
【详解】
①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ，故①假；
②函数 的图像的对称轴方程为 ，解得 ， ，故②假.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题.
⑤若 ，则 ， ， ， ， ，
，
所以 ，
所以 ，故⑤正确
综合以上有②④⑤正确
故答案为：②④⑤.
【点睛】
根据正余弦定理、三角函数的单调性以及基本不等式考查三角形边角之间的关系，中档题.
13．D
【解析】
【分析】
去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.
【详解】
因为 ，
由正弦函数的值域可知 ，
故选：D
【点睛】
5．
【解析】
【分析】
由反余弦函数的定义域及单调性可得 ，再求解即可.
【详解】
解：由函数 是定义在 的减函数，
又 ，
则 ，解得： ，
即不等式的解集为： ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.
6．
【解析】
利用正弦定理有： ，则 ，则角 的最小值是 ．
7．-7
【解析】
【分析】
21．已知函数 ，且 .
（1）求a的值；
（2）求出 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）
（3）是否存在正整数n，使得 在区间 内恰有2021个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．2
【解析】
【分析】
由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【详解】
因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，
③由 和正弦定理可判断；
④若 ，则 ，结合正弦函数的单调性可判断；
⑤若 ，则可判断出A、B、C均为锐角，由 ，结合均值定理可判断 .
【详解】
解：①令 ，则 ，但 ，故①错误.
②若 ，则 ， ，
在 递减，所以 ，故②正确；
③由正弦定理及 ，得 所以 或 ，则 为等腰三角形或直角三角形，故③错误.
④由 ，则 ， ， ，所以 ，则 为钝角三角形，故④正确.
当 时， ．
设 ，则 ，
于是 ，令 ，
解得 或 ，故 在 没有实根．
综上讨论可得， 在 ， 上有4个零点，
而 ，
所以函数在 有2021个零点.
【点睛】
本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求角的大小，判断 在 上有4个零点是解题的关键，属于难题.
15．C
【解析】
【分析】
利用函数为偶函数 即可求解.
【详解】
根据题意可得
，
即 ，
，
所以 ，
对于任意 ，恒成立，
则 .
“ ”是“ 是偶函数”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.
16．C
【解析】
【分析】
运用偶函数的定义可得 在 的解析式，作出函数 的图象，由 ，解得 或 ，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的 的情况，即可得到 的范围．
根据 ， ，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加、相减分别得到 、 ，然后利用商数关系求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
两式相加得： ，
两式相减得： ，
所以 ，
故答案为：-7
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．
【解析】
【分Baidu Nhomakorabea】
（1）利用五点法作图，将表中数据补充完整，并求出 的解析式．
（2）利用 的图象变换规律，求得 的解析式，再利用条件以及余弦定理、基本不等求得 面积的最大值．
【详解】
（1）请将上表数据补充完整，如表：
0
0
2
0
0
根据表格易知 ， ，解得 ，
故 ．
（2）将函数 的图象每一点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设 ，求 面积的最大值及此时 的值.
20．某同学用“五点法”画函数 在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.
0
0
2
-2
0
（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出 的解析式；
（2）将函数 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，a、b、c分别为锐角 的三个内角A、B、C的对边，若 ， ，求 的面积S的的最大值.
【详解】
函数 是定义域为 的偶函数，
当 时， ，
当 时， ．
作函数 的图象，
由于关于 的方程 ，
解得 或 ，
当 时， ， ， 时， ， ．
由 ，则 有4个实根，
由题意，只要 有2个实根，
由图象可得当 时， 有2个实根，
当 时， 有2个实根．
综上可得： 或 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．
【分析】
根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可.
【详解】
由 可得：
，
所以 或 ，
即 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.
4． .
【解析】
【分析】
由诱导公式可知 ，所以 ，直接代入公式即可求出结果.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.
（2） ，即最大值为1，最小值为 ，单调递增： ，单调递减： ，
19．（1） ；（2） 时， 取得最大值为
【解析】
【分析】
（1）在 中， ， ，由余弦定理即可求边长PC；
（2）在 中，利用正弦定理，得到 ， ，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.
所以
故答案为2．
【点睛】
本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．
2．
【解析】
【分析】
根据正弦函数的单调性直接求解即可.
【详解】
因为 ，
令 ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题.
3． 或
【解析】
13．函数 的值域是（）
A． B． C． D．
14．已知下列两个命题：①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ；②函数 的图像关于直线 ， 成轴对称其中（）
A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假
15．已知 ，“ ”是“ 是偶函数”的（）条件.
A．充分非必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要
11．已知函数 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为 ，直线 是其图像的一条对称轴，且 ，则 的解析式为___________.
12．在 中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，现有下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 为等腰三角形；④若 ，则 为钝角三角形；⑤若 ，则 ；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
16．已知函数 是定义域为R的偶函数，当 时， ，若关于x的方程 有且仅有6个不同实数根，则a的取值范围是（）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
17．已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18．已知函数 ；
（1）求 的定义域与最小正周期；
（2）求 在区间 上的单调性与最值.
19．如图所示，扇形 ，圆心角 的大小等于 ，半径为 ，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.
（2）根据 ，求得 的最小正周期为 ；
（3）根据 的最小正周期为 ，且 ， 内有4个零点，可解得 ．
【详解】
（1）函数 ，
令 ，得 ，解得 ；
（2）
，
所以 的最小正周期为 ．
（3）存在正整数 ，使得 在区间 ， 内恰有2021个零点．
当 时， ．
设 ，则 ，
于是 ，
令 ，得 或 ，
于是 ，或 或 ，其中 ，
所以只需 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了含 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.
10． 或
【解析】
【分析】
利用正弦定理表示 为 的函数，即可求解.
【详解】
由正弦定理可得 , ,
又 ， ，
所以 在 有唯一解，
故 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）原式
．
考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用
18．（1）定义域 ， ；
（2）单调递增： ，单调递减： ，最大值为1，最小值为 ；
【解析】
试题分析：(1)简化原函数， 结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.
试题解析：
；
（1） 的定义域： ，最小正周期 ；