不等关系与不等式的基本性质j

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高中数学必修五-不等关系与不等式

高中数学必修五-不等关系与不等式

不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1.不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系,如2和3不相等,是相对于相等关系来说的,比如与就是相等关系.而不等式就包含两层意思,第一层包含了不相等的关系,第二层也就意味着它是个式子,比方说a>b,a﹣b>0就是不等式.【不等式定理】①对任意的a,b,有a>b⇔a﹣b>0;a=b⇒a﹣b=0;a<b⇔a﹣b<0,这三条性质是做差比较法的依据.②如果a>b,那么b<a;如果a<b,那么b>a.③如果a>b,且b>c,那么a>c;如果a>b,那么a+c>b+c.推论:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.④如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果c<0,那么ac<bc.例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是()A.|a-b|≤|a-c|+|b-c|B.C.D.例2.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中必然成立的是()A.若a>b,c>b,则a>cB.若a>b,c>d,则C.若a2>b2,则a>bD.若a>-b,则c-a<c+b例3.若a,b∈R下列说法中正确的个数为()①(a+b)2≥a2+b2;②若|a|>b,则a2>b2;③a+b≥2A.0B.1C.2D.3不等式比较大小知识讲解1.不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.【典型例题分析】方法一:作差法典例1:若a <0,b <0,则p =与q =a +b 的大小关系为()A .p <qB .p ≤qC .p >qD .p ≥q解:p ﹣q =﹣a ﹣b ==(b 2﹣a 2)=,∵a <0,b <0,∴a +b <0,ab >0,若a =b ,则p ﹣q =0,此时p =q ,若a ≠b ,则p ﹣q <0,此时p <q ,综上p ≤q ,故选:B方法二:利用函数的单调性典例2:三个数,,的大小顺序是()A .<<B .<<C .<<D .<<解:由指数函数的单调性可知,>,由幂函数的单调性可知,>,则>>,故<<,故选:B.例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0,b<0,则b,ab,a2b的大小关系是()A.b<ab<a2b B.a2b<ab<bC.a2b<b<ab D.b<a2b<ab例2.a=80.7,b=0.78,c=log0.78,则下列正确的是()A.b<c<a B.c<a<bC.c<b<a D.b<a<c例3.三个数a=,b=()2020,c=log2020的大小顺序为()A.b<c<a B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是()A.t>s B.t≥sC.t<s D.t≤s练习2.已知a=,b=,c=,则()A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a练习3.设a=,b=2,c=log32,则()A.b>a>c B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a练习4.设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.b<c<aC.a<c<b D.c<a<b练习5.若a=(),b=(),e=log,则下列大小关系正确的是()A.c<a<b B.c<b<aC.a<b<c D.a<c<b填空题练习1._____.不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c,有下列命题①若a>b,则ac<bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,则a2>ab>b2;④若c>a>b>0,则;⑤若a>b,,则a>0,b<0.其中正确的是______.练习3.已知a,b∈R,且>1,则下列关系中①②a3<b3③ln(a2+1)<ln(b2+1)④若c>d>0,则其中正确的序号为_____。

不等关系与不等式的基本性质

不等关系与不等式的基本性质

l 2 π( ) > 100 π 2 2 l 即 > 100 4 π
如图,用两根长度均为 的绳子 的绳子, 如图,用两根长度均为l的绳子,分别围成一个 正方形和圆。 正方形和圆。
3、当l=8时,正方形和圆哪个大?l=12呢? 、 时 正方形和圆哪个大? 呢 当l=8时,正方形的面积为 时 82 ≈ 5.1(cm2 ) 圆的面积为 4π 4<5.1,
a b
1 a
哪个大? 2、已知 a b =-1,则a和b哪个大?
3、如图,若数轴上的两点 、B表示的数分别为 、如图,若数轴上的两点A、 表示的数分别为 如图所示,则下列结论正确的是( 如图所示,则下列结论正确的是( ) A、b-a>0 B、a-b>0 、 > 、 > C、2a+b>0 D、a+b>0 、 > 、 >
练习: 练习:
2、判断对错: 判断对错: (1)如果a>b,那么ac>bc。 如果a 那么ac>bc。 ac (2)如果a>b,那么ac2>bc2。 如果a 那么ac 那么a (3)如果ac2>bc2,那么a>b。 如果ac 解:(1)是错的。当c是负数时,ac<bc. :(1 是错的。 是负数时,ac< (2)是错的。当c=0时,ac2=bc2. 是错的。 c=0时 (3)是对的。 是对的。
练 一 练
2、用适当的符号表示下列关系: 用适当的符号表示下列关系: (1) a是负数; a<0 是负数; (3) a与b的和小于5; 的和小于5
a+b<5
(2) a是非负数;a≥0 a是非负数 是非负数; (4) x与2的差大于-1; 的差大于-
x-2>-1 >-1
(5) x的4倍不大于7; 倍不大于7
l 2 ( ) ≤ 25 4 2 l 即 ≤ 25 16

不等关系与不等式 课件

不等关系与不等式 课件
(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条 性质是否具有可逆性.
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20 台.已知生产这些家电产品每台所需工时如下表:
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值 范围. [解] ∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8,∴-8<-b<-2. 又∵1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. 故2a+3b的取值范围是(8,32),a-b的取值范围是(-7,2).
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小;
(2)已知a>0,试比较a与1a的大小. [解] (1)(x3-1)-(2x2-2x) =(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1) =(x-1)(x2-x+1)
=(x-1)x-122+34. ∵x<1,∴x-1<0.又x-122+34>0, ∴(x-1)x-122+34<0. ∴x3-1<2x2-2x.
(2)因为a-1a=a2-a 1=a-1aa+1, 因为a>0,所以当a>1时,a-1aa+1>0,有a>1a; 当a=1时,a-1aa+1=0,有a=1a; 当0<a<1时,a-1aa+1<0,有a<1a. 综上,当a>1时,a>1a; 当a=1时,a=1a; 当0<a<1时,a<1a.

《不等关系与不等式》 知识清单

《不等关系与不等式》 知识清单

《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在我们的日常生活中,不等关系无处不在。

比如,一个人的身高不可能低于0 米;购买商品时,所花费的金额不能超过自己携带的钱数;汽车的速度不能超过限速等等。

不等关系可以用文字语言来描述,也可以用数学符号来表示。

常见的表示不等关系的词语有:大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)、不等于(≠)。

例如:“小明的体重超过 50 千克”可以表示为“小明的体重> 50 千克”;“班级人数不超过 60 人”可以表示为“班级人数≤ 60 人”。

二、不等式不等式是用不等号将两个代数式连接起来所形成的式子。

1、不等式的基本性质(1)对称性:如果 a > b,那么 b < a;如果 b < a,那么 a > b。

例如,5 > 3,那么 3 < 5。

(2)传递性:如果 a > b 且 b > c,那么 a > c。

比如,5 > 3,3 > 1,所以 5 > 1。

(3)加法性质:如果 a > b,那么 a + c > b + c。

例如,7 > 5,两边同时加 2,得到 9 > 7。

(4)乘法性质:如果 a > b 且 c > 0,那么 ac > bc;如果 a > b 且 c < 0,那么 ac < bc。

比如,3 > 1,两边同时乘以 2(2 > 0),得到 6 > 2;但如果两边同时乘以-2(-2 < 0),则得到-6 <-2。

2、一元一次不等式只含有一个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。

其一般形式为 ax + b > 0 或 ax + b < 0(a ≠ 0)。

解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(如果有分母);(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为 1。

例如,解不等式 2x + 5 > 9:首先,移项得到 2x > 9 5,即 2x > 4;然后,系数化为 1,得到 x > 2。

3、一元二次不等式形如 ax²+ bx + c > 0 或 ax²+ bx + c < 0(a ≠ 0)的不等式叫做一元二次不等式。

不等关系与不等式的性质教学课件ppt

不等关系与不等式的性质教学课件ppt

不等式在经济学中的应用
不等式在物理学中的应用
不等式在计算机科学中的应用
不等式的实际应用
不等式与方程的联系与区别
04
在数学表达式中,不等式和方程都包含未知数,这使得它们都可以用来描述数量之间的关系。
表达式中都包含未知数
在求解不等式和方程的过程中,我们都会使用到一些相同的数学方法,比如因式分解、配方等。
柯西不等式的证明
柯西不等式可以通过数学归纳法和向量的性质进行证明。
柯西不等式的应用
柯西不等式在数学和物理中有着广泛的应用,如最优化问题、信号处理等。
柯西不等式的形式
柯西不等式可以表达为`∑(a_i^2) * ∑(b_i^2) ≥ (∑a_i * b_i)^2`,其中a_i和b_i是实数。
柯西不等式
在购买产品时,不同品牌或型号的产品质量之间存在不等关系,如优良和一般。
产品质量不等
03
角度不等
在几何学中,不同的角之间存在角度不等关系,如锐角和钝角。
数学中的不等关系
01
大小不等
在数学中,不同的数之间存在大小不等关系,如大于和小于。
02
距离不等
在几何学中,不同的点之间的距离之间存在不等关系,如靠近和远离。
03
不等式的定义
02
01
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加,不等号不改变方向。
传递性
如果a>b,b>c,则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以(或除以)正数,不等号不改变方向。
反对称性
如果a>b,则b<a;如果a<b,则b>a。
反身性
即任何实数都大于0。
不等式的证明方法

高中数学: 不等关系与不等式含解析

高中数学: 不等关系与不等式含解析

∴a1b2+a2b1≥a1a2+b1b2.
∵(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=4a1b1+1-2a1-2b1
=1-2a1+2b1(2a1-1)=(2a1-1)(2b1-1)
( )( ) 1
1
a1- b1-
=4 2
2 >0,
∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.
1
1
∵(a1b1+a2b2)-2=2a1b1+2-a1-b1
当 x=3时,f(x)=g(x); 4
当 0<x<1,或 x>3时,f(x)>g(x).
能力提升
13.若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( )
A.a1b1+a2b2
B.a1a2+b1b2
1
C.a1b2+a2b1
D.2
答案 A
解析 方法一 特殊值法.
∴a2=1-a1>a1,b2=1-b1>b1,
1
1
∴0<a1<2,0<b1<2. 又 a1b1+a2b2=a1b1+(1-a1)(1-b1)=2a1b1+1-a1-b1, a1a2+b1b2=a1(1-a1)+b1(1-b1)=a1+b1-a21-b21,
a1b2+a2b1=a1(1-b1)+b1(1-a1)=a1+b1-2a1b1, ∴(a1b2+a2b1)-(a1a2+b1b2)=a21+b21-2a1b1 =(a1-b1)2≥0,
4.若 x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.b<a<c

不等关系和不等式的基本性质

不等关系和不等式的基本性质

不等关系和不等式的基本性质知识点一.不等关系),,,(≤≥<>要求:能根据题意列出不等式,特别要注意“不大于”,“不小于”等词语的理解. 一.用不等式表示:(1)a 是非负数;______________ (2)x 与5的和不小于0;______________(3)y 与1的差不大于6;___________(4)x 的3倍与8的和比y 的2倍小,用不等式表示为 1.“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是 ( )A.2x -3≤8B.2x -3≥8C.2x -3<8D.2x -3>82.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( )A 、x <8B 、x >8C 、x <-8或x >8D 、-8<x <83.如图,天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克,则图中显示物体质量的范围是( ) A.大于2千克 B.小于3千克C.大于2千克且.小于3千克D.大于2千克或.小于3千克4.下列不等关系一定成立的是( )A.0>xB.0<-xC.01>+xD.02>x5.如果10<<x ,则下列不等式成立的( ) A 、x x x 12<< B.x x x 12<< C.21x x x << D.x x x<<21 6.若0x x +=,则x 的取值范围是( )A.0x ≤B.0x <C.0x >D.0x ≥ 7.若m 满足|m|>m ,则m 一定是( )A.正数B.负数C.非负数D.任意有理数知识点二.不等式的基本性质:若b a >,则ac ? bc 若a=b ,则ac = bc性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不改变。

符号表示:如果b a >,那么c b c a +>+,c b c a ->-性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不改变。

不等关系与不等式 课件

不等关系与不等式  课件

【精彩点拨】 本题关键是要提取问题中所提供的表示不等关系的信息:①
身高不足 1.2 m,②身高 1.2 m~1.5 m,③身高超过 1.5 m,抓住表示不等关系的
词语即可.
【自主解答】 设身高为 h m,
文字表述
符号表示 票价
身高不足 1.2 m
h<1.2 免票
身高在1.2 m ~1.5 m间 1.2≤h≤1.5
【提示】 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意:同向不等 式两边可以相加(相乘),这种转化不是等价变形.本题中将 2<a-b<4 与-2<a+ b<2 两边相加得 0<a<3,又将-4<b-a<-2 与-2<a+b<4 两边相加得出-3<b<2, 又将该式与 0<a<3 两边相加得出-3<a+b<3,多次使用了这种转化,导致了 a +b 范围的扩大.
性质 7(乘方性)
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)
性质 8(开方性)
a>b>0⇒n a>n b(n∈N,n≥2)
用不等式(组)表示不等关系
你有过乘坐火车的经历吗?火车站售票处有规定:儿童身高不足 1.2 m 的免票,身高 1.2 m~1.5 m 的儿童火车票为半价,身高超过 1.5 m 的儿童买全 价票.你能用不等式表示这些规定吗?
推论
性质4(可乘性)
式子表达 a>b⇔b<a a>b,b>c⇒a>c a>b⇒a+c>b+c a+b>c⇒a>c-b a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc

关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结

关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结

关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结不等式是数学中非常重要的概念之一,它在数学的各个领域和实际问题中有着广泛的应用。

在高考数学中,不等式也是一个考查频率较高的知识点。

下面是对不等式的基本性质的总结:1.不等关系性质不等关系具有自反性、对称性、传递性。

即对任意实数a,b,有:自反性:a≥a,a≤a对称性:如果a≥b,则b≤a;如果a≤b,则b≥a传递性:如果a≥b,b≥c,则a≥c;如果a≤b,b≤c,则a≤c2.加减性质对于不等式a<b和任意实数c,有:a+c<b+ca-c<b-c3.乘除性质(1)正数乘除:对于不等式a<b,如果c是正数,则有:正数乘性:ac < bc正数除性:如果c是正数且c≠0,则有:a/c<b/c(2)负数乘除:对于不等式a<b,如果c是负数,则有:负数乘性:ac > bc负数除性:如果c是负数且c≠0,则有:a/c>b/c(3)双边不等式乘除:对于不等式a<b和任意非零实数c,有:a/c<b/c(当c>0时)a/c>b/c(当c<0时)4.基本不等式基本不等式是指在特定条件下,可以将不等式简化为更为简单形式的不等式。

(1)三角形不等式:对于三角形的三边长a,b,c,有:a+b>ca+c>bb+c>a(2) 平均值不等式:对于任意n个非负实数a1,a2,...,an,有:平均值不等式:(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)5.同向不等式同向不等式的性质和解法与等式类似。

对于同向不等式,如果对不等号两边同时乘除以同一个正数,或者对不等号两边同时乘除以同一个负数,则不等号方向不变。

例如,对于不等式2x+1<3x-2,可以同时减去2x,得到1<-2x-2,再同时减去1,得到0<-2x-3,再同时乘以(-1/2),得到0>(2x+3)/2,最后反转不等号得到(2x+3)/2<0。

不等式与不等关系

不等式与不等关系

不等式与不等关系一、概念引入不等式是数学中的一种重要概念,与等式相对应。

不等式表示了数值之间的大小关系,常用于描述实际问题中的约束和条件。

不等式由不等号连接的两个数或表达式组成,不等号可以是大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)或小于等于号(≤)。

二、基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性指若a>b 且b>c,则有a>c。

例如,若3>2 且2>1,则有 3>1。

2. 不等式的加减运算性质若 a>b,则 a+c>b+c。

例如,若 3>2,则有 3+1>2+1。

3. 不等式的乘除运算性质当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc。

例如,若 3>2,则有 3×2>2×2。

当c<0 时,不等号方向反向。

三、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数,并且该未知数的最高次幂为一次的不等式。

例如,2x+3>5、4x-1<10等都是一元一次不等式。

解一元一次不等式的方法包括图解法、试值法和代数法。

图解法将不等式表示在数轴上,利用数轴的方向性确定不等式的解集。

试值法则通过给定一个试探值,并代入不等式中验证是否成立。

代数法则通过一系列的变形和运算,将不等式化简为更简单的形式,从而求得解集。

四、二元一次不等式组二元一次不等式组是指包含两个未知数的一次不等式的系统。

常用于描述平面上的几何关系和约束条件。

解二元一次不等式组一般采用图解法。

将两个不等式表示在二维直角坐标系中,分别确定两个不等式的解集,然后找出二者的交集区域,即为不等式组的解集。

五、不等关系不等关系是用于比较两个不等式的关系。

常见的不等关系包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)以及不等于(≠)。

不等关系可以根据两个不等式之间的关系,利用布尔运算(与、或、非)进行合并和推导。

不等关系与不等式的性质

不等关系与不等式的性质

2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念,它描述了两个数或量之间的大小关系。

在日常生活中,不等关系也广泛存在,例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。

引言如果对于任意两个实数a和b,可以用一个大于号(>)或者小于号(<)来表示它们之间的关系,那么就说a与b之间存在不等关系。

特别地,当a=b时,称a与b相等;当a>b时,称a大于b;当a<b时,称a小于b。

如果a>b且b>c,那么a>c。

不等关系的传递性如果a>b,那么b<a;如果a<b,那么b>a。

不等关系的逆向性如果a>b且c>d,那么a+c>b+d。

不等关系的可加性如果a>b且c>d,那么ac>bd(当c>0时);如果a>b且c<d,那么ac<bd(当c<0时)。

不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子,称为不等式。

不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子,称为严格不等式。

用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子,称为非严格不等式。

03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b。

加法单调性也就是不等式方向不变。

乘法单调性积大于每一个因数。

任何数都有大于、小于、等于它自身的关系,这是自然界的普遍规律。

反身性传递性如果a>b,b>c,那么a>c。

如果f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。

不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。

线性不等式未知数是线性组合的不等式。

不等式初学篇不等关系与不等式性质

不等式初学篇不等关系与不等式性质

1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a -b >0⇔a > b a -b =0⇔a = ba -b <0⇔a < b(a ,b ∈R );(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab =1⇔a = ba b <1⇔a < b(a ∈R ,b >0).2.不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ,ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0,m >0,则①b a <b +m a +m ;b a >b -m a -m (b -m >0). ②a b >a +m b +m ;a b <a -m b -m (b -m >0). 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a <b (ab ≠0).( × ) (3)a >b ,c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0,则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0,则1a >1b.( √ )1.设a <b <0,则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1bB.1a -b >1aC .|a |>-b D.-a >-b答案 B解析 由题设得a <a -b <0,所以有1a -b <1a成立,即1a -b >1a 不成立. 2.(教材改编)下列四个结论,正确的是( ) ①a >b ,c <d ⇒a -c >b -d ; ②a >b >0,c <d <0⇒ac >bd ; ③a >b >0⇒3a >3b ; ④a >b >0⇒1a 2>1b 2.A .①②B .②③C .①④D .①③答案 D3.若a ,b ∈R ,若a +|b |<0,则下列不等式中正确的是( ) A .a -b >0 B .a 3+b 3>0 C .a 2-b 2<0 D .a +b <0 答案 D解析 由a +|b |<0知,a <0,且|a |>|b |, 当b ≥0时,a +b <0成立,当b <0时,a +b <0成立,∴a +b <0成立.4.(教材改编)下列各组代数式的关系正确的是________. ①x 2+5x +6<2x 2+5x +9; ②(x -3)2<(x -2)(x -4); ③当x >1时,x 3>x 2-x +1; ④x 2+y 2+1>2(x +y -1). 答案 ①③④解析 ①2x 2+5x +9-(x 2+5x +6)=x 2+3>0,即x 2+5x +6<2x 2+5x +9.②(x -2)(x -4)-(x -3)2=x 2-6x +8-(x 2-6x +9)=-1<0, 即(x -2)(x -4)<(x -3)2.③当x >1时,x 3-x 2+x -1=x 2(x -1)+(x -1) =(x -1)(x 2+1)>0, 即x 3>x 2-x +1.④x 2+y 2+1-2(x +y -1)=(x 2-2x +1)+(y 2-2y +1)+1=(x -1)2+(y -1)2+1>0, 即x 2+y 2+1>2(x +y -1).5.(教材改编)若0<a <b ,且a +b =1,则将a ,b ,12,2ab ,a 2+b 2从小到大排列为________.答案 a <2ab <12<a 2+b 2<b解析 ∵0<a <b 且a +b =1, ∴a <12<b <1,∴2b >1且2a <1,∴a <2b ·a =2a (1-a )=-2a 2+2a =-2⎝⎛⎭⎫a -122+12<12. 即a <2ab <12,又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab >1-12=12,即a 2+b 2>12,a 2+b 2-b =(1-b )2+b 2-b =(2b -1)(b -1), 又2b -1>0,b -1<0,∴a 2+b 2-b <0, ∴a 2+b 2<b ,综上,a <2ab <12<a 2+b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ,b ,c 满足b +c =6-4a +3a 2,c -b =4-4a +a 2,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c ≥b >a B .a >c ≥b C .c >b >aD .a >c >b(2)若a =ln 33,b =ln 44,c =ln 55,则( )A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c答案 (1)A (2)B解析 (1)∵c -b =4-4a +a 2=(a -2)2≥0,∴c ≥b . 又b +c =6-4a +3a 2,∴2b =2+2a 2,∴b =a 2+1, ∴b -a =a 2-a +1=(a -12)2+34>0,∴b >a ,∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ,b ,c 都是正数,b a =3ln 44ln 3=log 8164<1, 所以a >b ;b c =5ln 44ln 5=log 6251 024>1, 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y =f (x )=ln xx ,y ′=1-ln x x 2,易知当x >e 时,函数f (x )单调递减. 因为e<3<4<5,所以f (3)>f (4)>f (5), 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法:一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法:一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.(3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系.(1)已知x ∈R ,m =(x +1)(x 2+x 2+1),n =(x +12)(x 2+x +1),则m ,n 的大小关系为( ) A .m ≥n B .m >n C .m ≤nD .m <n(2)若a =1816,b =1618,则a 与b 的大小关系为______________________________. 答案 (1)B (2)a <b解析 (1)m =(x +1)(x 2+x2+1)=(x +1)(x 2+x -x2+1)=(x +1)(x 2+x +1)-x2(x +1),n =(x +12)(x 2+x +1)=(x +1-12)(x 2+x +1)=(x +1)(x 2+x +1)-12(x 2+x +1),∴m -n =(x +1)(x 2+x 2+1)-(x +12)(x 2+x +1)=12(x 2+x +1)-12x (x +1)=12>0. 则有x ∈R 时,m >n 恒成立.故选B. (2)a b =18161618=(1816)161162 =(98)16(12)16=(982)16, ∵982∈(0,1),∴(982)16<1, ∵1816>0,1618>0, ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 已知a ,b ,c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中一定成立的是( ) A .ab >ac B .c (b -a )<0 C .cb 2<ab 2 D .ac (a -c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立.思维升华 解决此类问题常用两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.若a >0>b >-a ,c <d <0,则下列结论:①ad >bc ;②a d +bc<0;③a -c >b -d ;④a (d-c )>b (d -c )中成立的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ,c <d <0, ∴ad <0,bc >0, ∴ad <bc ,故①错误.∵a >0>b >-a ,∴a >-b >0, ∵c <d <0,∴-c >-d >0, ∴a (-c )>(-b )(-d ),∴ac +bd <0,∴a d +b c =ac +bdcd <0,故②正确. ∵c <d ,∴-c >-d ,∵a >b ,∴a +(-c )>b +(-d ), a -c >b -d ,故③正确.∵a >b ,d -c >0,∴a (d -c )>b (d -c ), 故④正确,故选C. 方法二 取特殊值. 题型三 不等式性质的应用例3 已知a >b >0,给出下列四个不等式:①a 2>b 2;②2a >2b -1;③a -b >a -b ;④a 3+b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A .①②③ B .①②④ C .①③④ D .②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2,①成立;由a >b >0可得a >b -1,而函数f (x )=2x 在R 上是增函数, ∴f (a )>f (b -1),即2a >2b -1,②成立; ∵a >b >0,∴a >b , ∴(a -b )2-(a -b )2=2ab -2b =2b (a -b )>0,∴a -b >a -b ,③成立;若a =3,b =2,则a 3+b 3=35,2a 2b =36, a 3+b 3<2a 2b ,④不成立. 故选A.方法二 令a =3,b =2, 可以得到①a 2>b 2,②2a >2b -1,③a -b >a -b 均成立,而④a 3+b 3>2a 2b 不成立,故选A.思维升华 (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等.(1)若a <b <0,则下列不等式一定成立的是( )A.1a -b >1b B .a 2<ab C.|b ||a |<|b |+1|a |+1D .a n >b n(2)设a >b >1,c <0,给出下列三个结论: ①c a >cb ;②ac <b c ;③log b (a -c )>log a (b -c ). 其中所有的正确结论的序号是( ) A .① B .①② C .②③ D .①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a =-2,b =-1,逐个检验,可知A ,B ,D 项均不正确; C 项,|b ||a |<|b |+1|a |+1⇔|b |(|a |+1)<|a |(|b |+1)⇔|a ||b |+|b |<|a ||b |+|a |⇔|b |<|a |,∵a <b <0,∴|b |<|a |成立,故选C. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ,又c <0,所以c a >cb ,①正确;构造函数y =x c ,∵c <0,∴y =x c 在(0,+∞)上是减函数, 又a >b >1,∴a c <b c ,知②正确; ∵a >b >1,c <0,∴a -c >b -c >1,∴log b (a -c )>log a (a -c )>log a (b -c ),知③正确.8.不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )=ax 2+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是________. 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性,先求出a ,b 的范围,再求f (-2)=4a -2b 的范围,导致变量范围扩大.解析 方法一 设f (-2)=mf (-1)+nf (1) (m 、n 为待定系数),则4a -2b =m (a -b )+n (a +b ), 即4a -2b =(m +n )a +(n -m )b ,于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m +n =4,n -m =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =3,n =1.∴f (-2)=3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,即5≤f (-2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)=a -b ,f (1)=a +b ,得⎩⎨⎧ a =12[f (-1)+f (1)],b =12[f (1)-f (-1)].∴f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a -b ≤2,2≤a +b ≤4 确定的平面区域如图阴影部分,当f (-2)=4a -2b 过点A (32,12)时,取得最小值4×32-2×12=5,当f (-2)=4a -2b 过点B (3,1)时,取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f (-2)≤10.答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法:先建立待求整体与已知范围的整体的关系,最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围.(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.[方法与技巧]1.用同向不等式求差的范围.⎩⎨⎧ a <x <b ,c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ,-d <-y <-c ⇒a -d <x -y <b -c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.2.倒数关系在不等式中的作用.⎩⎨⎧ ab >0,a >b⇒1a <1b ;⎩⎨⎧ab >0,a <b ⇒1a >1b . 3.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.比差法的主要步骤:作差—变形—判断正负.在所给不等式完全是积、商、幂的形式时,可考虑比商. 4.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法.[失误与防范]1.a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ,当c ≤0时不成立.2.a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ,当ab ≤0时不成立.3.a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立.4.a b >1⇔a >b ,对于正数a 、b 才成立.5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别,如:a >b ,b >c ⇒a >c ,其中a >c 不能推出⎩⎨⎧ a >b b >c .6.比商法比较大小时,要注意两式的符号.A 组 专项基础训练(时间:35分钟)1.已知a >b ,c >d ,且c ,d 不为0,那么下列不等式成立的是() A .ad >bc B .ac >bdC .a -c >b -dD .a +c >b +d答案 D解析 由不等式的同向可加性得a +c >b +d .2.已知a ,b ,c ∈R ,则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 由ac 2>bc 2可得a >b ,因为c 2>0,而由a >b 不一定能得到ac 2>bc 2.因为c 2可能为0.3.若1a <1b <0,则下列结论不正确的是( )A .a 2<b 2B .ab <b 2C .a +b <0D .|a |+|b |>|a +b |答案 D解析 ∵1a <1b <0,∴b <a <0.∴a 2<b 2,ab <b 2,a +b <0,|a |+|b |=|a +b |.4.设a ,b 是非零实数,若a <b ,则下列不等式成立的是()A .a 2<b 2B .ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 当a <0时,a 2<b 2不一定成立,故A 错.因为ab 2-a 2b =ab (b -a ),b -a >0,ab 符号不确定,所以ab 2与a 2b 的大小不能确定,故B 错.因为1ab 2-1a 2b =a -ba 2b 2<0,所以1ab 2<1a 2b ,故C 正确.D 项中b a 与a b 的大小不能确定.5.设α∈(0,π2),β∈[0,π2],那么2α-β3的取值范围是( ) A .(0,5π6) B .(-π6,5π6) C .(0,π)D .(-π6,π) 答案 D解析 由题设得0<2α<π,0≤β3≤π6, ∴-π6≤-β3≤0,∴-π6<2α-β3<π. 6.已知a 1,a 2∈(0,1),记M =a 1a 2,N =a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( )A .M <NB .M >NC .M =ND .不确定 答案 B解析 M -N =a 1a 2-(a 1+a 2-1)=a 1a 2-a 1-a 2+1=a 1(a 2-1)-(a 2-1)=(a 1-1)(a 2-1),又∵a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),∴a 1-1<0,a 2-1<0,∴(a 1-1)(a 2-1)>0,即M -N >0.∴M >N .7.设a >b >c >0,x =a 2+(b +c )2,y =b 2+(c +a )2,z =c 2+(a +b )2,则x ,y ,z 的大小关系是________.(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2-x 2=2c (a -b )>0,∴y >x .同理,z >y ,∴z >y >x .方法二 令a =3,b =2,c =1,则x =18,y =20,z =26,故z >y >x .8.已知a ,b ,c ,d 均为实数,有下列命题①若ab >0,bc -ad >0,则c a -d b>0; ②若ab >0,c a -d b>0,则bc -ad >0; ③若bc -ad >0,c a -d b>0,则ab >0. 其中正确的命题是________.答案 ①②③解析 ∵ab >0,bc -ad >0,∴c a -d b =bc -ad ab>0,∴①正确; ∵ab >0,又c a -d b >0,即bc -ad ab>0, ∴bc -ad >0,∴②正确;∵bc -ad >0,又c a -d b >0,即bc -ad ab>0, ∴ab >0,∴③正确.故①②③都正确.9.设x <y <0,试比较(x 2+y 2)(x -y )与(x 2-y 2)(x +y )的大小.解 (x 2+y 2)(x -y )-(x 2-y 2)(x +y )=(x -y )[(x 2+y 2)-(x +y )2]=-2xy (x -y ).∵x <y <0,∴xy >0,x -y <0,∴-2xy (x -y )>0,∴(x 2+y 2)(x -y )>(x 2-y 2)(x +y ).10.甲乙两人同时从宿舍到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步;如果两人步行、跑步速度均相同,则谁先到教室?解 设路程为s ,跑步速度为v 1,步行速度为v 2,t 甲=s 2v 1+s 2v 2=s (v 1+v 2)2v 1v 2, s =t 乙2·v 1+t 乙2·v 2⇒t 乙=2s v 1+v 2,∴t 甲t 乙=(v 1+v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2=1. ∴t 甲≥t 乙,当且仅当v 1=v 2时“=”成立.由实际情况知v 1>v 2,∴t 甲>t 乙.∴乙先到教室.B 组 专项能力提升(时间:20分钟)11.已知a ,b ,c ∈R ,那么下列命题中正确的是( ) A .若a >b ,则ac 2>bc 2B .若a c >b c,则a >b C .若a 3>b 3且ab <0,则1a >1bD .若a 2>b 2且ab >0,则1a <1b答案 C解析 当c =0时,可知A 不正确;当c <0时,可知B 不正确;对于C ,由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0,所以1a >1b成立,C 正确; 当a <0且b <0时,可知D 不正确.12.若a >b >0,则下列不等式中一定成立的是( )A .a +1b >b +1aB.b a >b +1a +1 C .a -1b >b -1a D.2a +b a +2b >a b答案 A解析 取a =2,b =1,排除B 与D ;另外,函数f (x )=x -1x是(0,+∞)上的增函数,但函数g (x )=x +1x在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当a >b >0时,f (a )>f (b )必定成立,即a -1a >b -1b ⇔a +1b >b +1a ,但g (a )>g (b )未必成立,故选A.13.下面四个条件中,使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A .a >b +1B .a >b -1C .a 2>b 2D .a 3>b 3答案 A解析 由a >b +1,得a >b +1>b ,即a >b ,而由a >b 不能得出a >b +1,因此,使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b +1.14.已知0<a <b <1,则( )A.1b >1aB .(12)a <(12)bC .(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b 答案 D解析 因为0<a <b <1,所以1b -1a =a -b ab<0. 可得1b <1a ,(12)a >(12)b ,(lg a )2>(lg b )2, lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b, 因此只有D 项正确.15.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.解 设该单位职工有n 人(n ∈N *),全票价为x 元/人,坐甲车需花y 1元,坐乙车需花y 2元,则y 1=x +34x ·(n -1) =14x +34nx , y 2=45nx . 所以y 1-y 2=14x +34nx -45nx=14x -120nx =14x (1-n 5). 当n =5时,y 1=y 2;当n >5时,y 1<y 2;当n <5时,y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费同等优惠; 当单位去的人数多于5人时,甲车队收费更优惠; 当单位去的人数少于5人时,乙车队收费更优惠.。

第九讲不等关系、不等式的基本性质

第九讲不等关系、不等式的基本性质

第八讲不等关系、不等式的基本性质一、知识点精讲:(一)不等式的定义:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子叫不等式。

不等符号常见的有5种:“<”、“≤”、“>”、“≥”及“≠”。

注意:“≠”也是不等号,它说明两个量之间的关系是不等的,但不能确定哪个大,哪个小。

“≤”表示“小于或等于”或“不大于”,“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。

(二)不等式的基本性质:1、不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。

2、不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

3、不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要变向。

注意:等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变(三)不等式的解集:1.不等式的解:使不等式成立的每一个未知数的值,叫做不等式的解.2.不等式的解集:不等式的解的集合叫做不等式的解集.它包含两个方面的意思:第一,解集中的任何一个数值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一个数值,都不能使该不等式成立。

因此,解集要达到不多不漏的严格要求。

3.不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,在表示的时候,要注意“两定”:一是定边界点,若边界点含于解集,为实心点,不含于解集为空心点;二是定方向,相对于边界点而言,“小于向左,大于向右”.不等式的解集在数轴上的表示如下:①当不等式的解集是x>a时.(如图1-1)图1-1②不等式的解集是x≥a时.(如图1-2)图1-2③当不等式的解集是x<a时.(如图1-3)图1-3④当不等式的解集是x≤a 时.(如图1-4)图1-44.不等式的解与解集的区别:解是一个或几个未知数的值,解集是所有的解组成的集合.。

5.求不等式解集的过程叫做解不等式。

1. 判断不等式例1.判断下列各式哪些是不等式,哪些既不是等式又不是不等式.①y x + ;②73>x ; ③523=+; ④20x ≥; ⑤132=-y x ; ⑥01<-. 变式训练1. 下列式子2220,40,340,210,34,13a x y x y x x y a b -<-<+≥+-=+-+>-中,不等式有 个.2.据题意列不等式:例2.用不等式表示下列数量关系.⑴a 的相反数与5的和小于a 与7的差; ⑵5-与x -的和一定是负数;⑶长为2+a ,宽为a 的长方形面积小于边长为1+a 的正方形的面积.变式训练1. 用不等式表示下列数量关系.(1)a 的3倍与2的差小于a 的5倍与7的和; (2)x 的绝对值与1的和不小于1;(3)b a 、两数的平方和的2倍再加上c 小于10; (4) x 与3的和的一半时负数.3. 不等式的基本性质:例3.比较下列各题中两个式子的大小.(1) 33a -与44a-; (2)b a +与b a -.变式训练:(1). 若由y x <得到y a x a 22<,则一定有( ).A .0>aB .0<aC .0≠aD .a 为任意实数(2). 设c b a ,,的平均数为M ,b a ,的平均数为N ,N 与c 的平均数为P ,若c b a >>,则M 与P 的大小关系是( ). A .P M = B .P M > C .P M < D .不确定例4. 运用不等式的基本性质进行化简:1.已知b a >,则75+-a 75+-b 已知4646-<-b a ,则a b . 考点5 图像中比较大小2.如图所示,c b a ,,分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是( ).A .b c a >>B .c a b >>C .c b a >>D .b a c >>变式训练(1). 如图所示,四个小朋友玩跷跷板,体重分别为S R Q P 、、、,则他们的体重大小关系是( ).A .Q S R P >>>B .R P S Q >>>C .R Q P S >>>D .Q R P S >>> 考点6: 不等式的解和解集(不等式中字母的取值范围)1.已知关于x 的方程4152435-=-m m x 的解是非负数,求m 的取值范围.2.已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123a y x a y x 的解满足y x >,求a 的取值范围.3. 求同时满足不等式5043874756++++x x x x 和的整数解变式训练(1).已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=-+=+5854a y x a y x 的解满足不等式954<-y x ,求a的取值范围.3.关于x 不等式a bx b ax 2+>+的解集为3>x ,求关于x 的不等式b ax <7的解集.变式训练(1).不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为31-<x ,求关于x 的不等式b a x b a ->-2)3(的解集.4.关于x 的不等式134>+a x 的解都是不等式0312<+-x 的解,求a 的取值范围.变式1.已知不等式a x x 322434-<+(x 为未知数)的解集也是不等式21621<-x 的解集,求a 的值.A (基本训练)1.x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差,用不等式表示为( ) (A )3x 21)4x (2-<+ (B )24x ⨯+≤3x 21-(C ))4x (2+≤3x 21- (D ))4x (2+≤)3x (21-2.若a<b ,则下列各式中不成立的是( ) (A )b 3a4+-<+- (B )a 3b 3-<- (C )33b a < (D )b 2a 2-<-3.若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,在下列结论错误的是( )(A )0>-b a (B )0>ab (C )b c a c -<- (D )ba 11>4.如果x<0,那么x |x |-是( )(A )正数 (B )负数 (C )非正数 (D )非负数 5.下列不是不等式8x )5x (2-<-的解的数是( ) (A )-4 (B )-5 (C )-3 (D )2 6.如果不等式b ax <的解集为abx <,那么a 的取值范围是( ) (A )a≥0 (B )a≤0 (C )a>0 (D )a<0 7.如图所示,x <2用数轴表示正确的是( )8.不等式1x 43<的非负整数解是( )(A )无数个 (B )1 (C )0,1 (D )1,2 二、解答下列各题 1.用不等式表示:(1)5与x 的3倍的差是正数;(2)a 与b 的平方和不大于3; (3)a 与b 的和的平方不等于a 与b 的平方和; (4)x 除以2的商加上2,至多为5。

不等关系和不等式的基本性质

不等关系和不等式的基本性质

不等关系和不等式的基本性质【知识要点】①一般地,用符号“<”或者“≤”、“>”或者“≥”连接的式子叫做不等式。

②正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”、“至少”等数学术语。

③不等式的两边都加上(或减少)同一个整数,不等式号的方向不变。

④不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

⑤不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

【典型例题】例1 用不等式表示(1)5与x 的3倍的差为正数。

(2)a 与b 两数和的平方不能大于3。

(3)x 2是非负数。

(4)x 的一半比-5大,比3小。

(5)3x 的绝对值不小于5。

(6)a 的6倍与3的差不大于1。

例2 判断下列结果对不对,为什么? ①若323,2x x >>则 ②若36,2x x -<<-则③若12,12a a>->-则 ④若a>b ,则a>3b例3 根椐不等式的基本性质,把下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式。

①47x +> ②514x x <+ ③415x ->- ④2542x x +<-例4 设a<b ,用“<”或“>”填空。

(1)a+6 b+6 (2)4a 4b (3)8a -8b -例5 判断下列说法是否正确。

(1)若a>b ,则22ac bc > (2)若22,ac bc a b >>则 (3)若,c ab c a b>>则 (4)若,0a b a b ->>则 (5)若0,0,0ab a b >>>则例6 有一个两位数,个位上的数是m ,十位上的数是n ,如果把这个两位数的个位数与十位数对调,得到的两位数大于原来的两位数,那么m 与n 哪个大?【练习】1.用不等式表示下列数量关系。

①a 与b 的和大于a 的2倍。

不等关系与不等式的性质教学课件ppt

不等关系与不等式的性质教学课件ppt

不等式在物理中的应用
力学
02
在力学中,不等式常被用来描述物体之间的作用力和反作用力的关系。例如,牛顿第三定律可以用不等式表示。
热力学
03
在热力学中,不等式常常被用来表示热量的传递方向和传递速率的关系。例如,热力学第一定律可以用不等式表示。
05
总结与回顾
1
本课程主要内容总结
2
3
总结了主要的不等式类型、不等式的性质以及不等关系。
03
进行相关练习题和案例研究,加深对不等式和不等式性质的理解和应用能力。
进一步学习建议
01
进一步学习更高级的不等式和不等式性质,例如更复杂的不等式类型和不等式的证明方法。
02
学习不等式在其他领域的应用,例如在经济学、生物学、化学等领域的应用。
THANK YOU.
谢谢您的观看
2023
《不等关系与不等式的性质教学课件ppt》
contents
目录
引言不等式的性质不等关系应用案例总结与回顾
01
引言
介绍不等关系和不等式的性质在数学中的重要地位和作用
引出本课程的背景和意义,说明课程的目标和主要内容
பைடு நூலகம்
课程背景
掌握不等式的性质及其应用
理解不等式的解法和证明方法
提高数学素养和逻辑思维能力
1
不等关系的证明方法
2
3
通过化简、变形和放缩等方法,将不等式转化成易于证明的形式。
利用不等式的性质
如均值不等式、柯西不等式等,通过构造和放缩等方法,将不等式转化成易于证明的形式。
利用重要不等式
通过构造函数、判断单调性和极值等方法,将不等式转化成易于证明的形式。
利用函数的性质
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教学过程
一、复习预习 1.理解不等号的意义:
大于: > 小于: < 大于等于: ≥ 小于等于: ≤
不大于:≤ 不小于: ≥
2.用不等号连接下列式子:
-2 > -3, a 2
≥ 0, x +5 > x +2, -a -1 > -a -6, 2
1- > 31-. 二、知识讲解
考点1
不等式的概念:一般地,有符号>,<,≤,≥,≠连接的式子叫做不等式。

考点2
列不等式:列不等式同列方程一样,关键是找出不等关系,常用的表示不等式的关键词有“大 不等关系与不等式的基本性质
适用学科
数学 适用年级 初二 适用区域
北师大版 课时时长(分钟) 60
知识点 不等式的定义
不等式的基本性质 教学目标 知识与技能:理解不等式的概念,学会列不等式,理解不等式的基本性质,
并学会灵活运用;
过程与方法:通过对不等关系的理解,进而探索不等式的性质,使学生能
够从逻辑关系上严谨地分析问题,提高分析和解决问题的能力,学会转化的
数学思想方法;
情感态度与价值观:使学生对逻辑思维产生兴趣,在积极参与性质的学习
活动中,不断增强主体意识,综合意识。

教学重点
用不等式表示实际问题中的不等关系,并用不等式研究含有不等关系的问题,掌握不等式的基本性质。

教学难点 用不等式准确表示出不等关系,灵活运用不等式的性质。

于”“小于”“不大于””不小于”“超过”“至多”“非负”等。

考点3
不等式的性质:(1)不等式的两边都加上或者减去同一个整式,不等号的方向不变;用字母表示:若a>b,则有a+c>b+c,a-c>b-c 。

(2)不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数,不等号的方向不变;用字母表示:若a>0,b>0,则ac>bc,c
b c a >。

(3)不等式的两边都同时乘或者同一个负数,不等号的方向要改变,用字母表示:若a>b,c<0,则ac<bc,c
b c a <。

易错点1
对文字语言理解不准确,不等关系的表示有两种:文字语言与符号语言,对“不大于”“不小于”“至少”“非负数”等文字的理解是将文字语言转化为符号语言的关键,易出现的错误是对某些文字语言理解的不准确,从而导致解题错误。

易错点2
应用不等式的基本性质3时,忽略改变不等号的方向,一定要注意当不等式的两边同时乘以 或者除以一个负数时要改变不等号的方向。

三、例题精析
【例题1】
【题干】 某市最高气温是33℃,最低气温是24℃,则该市气温t (℃)的变化范围是( )
A .t >33
B .t≤24
C .24<t <33
D .24≤t≤33
【答案】D
【解析】
根据不等式的性质,由题意某市最高气温是33℃,最低气温是24℃,用不等式把它表示出来.
【例题2】 【题干】
①x+y=1;②x≤y;③x -3y ;④x 2-3y >5;⑤x<0中属于不等式的有( )
A .2个
B .3个
C .4个
D .5个
【答案】B
【解析】
①中不含有不等号,所以不是不等式;
②中含有不等号,所以是不等式;
③中不含有不等号,所以不是不等式;
④中含有不等号,所以是不等式;
⑤中含有不等号,所以是不等式.
故是不等式的有②④⑤.
故选B .
【例题3】
【题干】 下列不等式总成立的是( )
A .4a >2a
B .a 2>0
C .a 2>a
D .02
12≤-a 【答案】D
【解析】
A 、a 为0或负数时不成立,
B 、a=0时不成立,
C 、a=0时不成立,
D 、正确.
故选D .
四、课堂运用
【基础】 已知ab=4,若-2≤b≤-1,则a 的取值范围是( )
A .a≥-4
B .a≥-2
C .-4≤a≤-1
D .-4≤a≤-2
【答案】D
【解析】
根据条件可以求得b=
a
4,然后将b 的值代入不等式-2≤b≤-1,通过解该不等式即可求得a 的取值范围. 【巩固】
若a >b ,则下列不等式不一定成立的是( )
A .a+m >b+m
B .a (m 2+1)>b (m 2+1)
C.2
2b a -<- D .a 2>b 2
【答案】D
【解析】A 、根据不等式的基本性质1,不等式两边同时加上同一个数,不等号的方向不变,故a+m >b+m 一定成立,故此选项不合题意;
B 、根据不等式的基本性质2,不等式两边同时乘以同一个正数,不等号的方向不变,故a (m 2+1)>b (m 2+1)一定成立,故此选项不合题意;
C 、根据不等式的基本性质2,不等式两边同时除以同一个负数,不等号的方向改变,22b a -<-一定成立,故此选项不合题意
D 、根据不等式的基本性质,a ,b 若都为负数,a 2>b 2不成立,故a >b ,则不一定成立的是a 2>b 2,故此符合题意。

【拔高】 已知a >0,b <0,|a|<|b|<1,那么下列判断正确的是( )
A .1-b >-b >1+a >a
B .1+a >a >1-b >-b
C .1-b >1+a >-b >a
D .1+a >1-b >a >-b
【答案】C
【解析】
∵a>0,b <0,|a|<|b|<1,
∴-b >a ,1+a >-b ,∴1-b >1+a ,
∴1-b >1+a >-b >a .
故选C 。

课程小结
不等关系的正确理解,以及不等式的基本性质:
(1)不等式的两边都加上或者减去同一个整式,不等号的方向不变;
(2)不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数,不等号的方向不变;
(3)不等式的两边都同时乘或者同一个负数,不等号的方向要改变。

课后作业
【基础】 已知a >b ,若c 是任意实数,则下列不等式中总是成立的是( )
A 、 a+c <b+c C 、 ac <bc
B 、 a-c >b-c D 、 ac >bc 【答案】B
【解析】
A 、∵a >b ,c 是任意实数,∴a+c >b+c ,故本选项错误;
B 、∵a >b ,c 是任意实数,∴a-c >b-c ,故本选项正确;
C 、当a >b ,c <0时,ac <bc ,而此题c 是任意实数,故本选项错误;
D 、当a >b ,c >0时,ac >bc ,而此题c 是任意实数,故本选项错误.
故选B.
【巩固】
下列不等关系中,正确的是()
A、a不是负数表示为a>0;
B、x不大于5可表示为x>5
C、x与1的和是非负数可表示为:x+1>0
D、m与4的差是负数可表示为m-4<0
【答案】D
【解析】用不等式表达数量关系
【拔高】
若,则下列式子错误的是
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】
不等式的性质有三个
1,不等式两边同加同减一个数或一个式子,不等号不变。

2,不等式两边同乘同除一个数或一个式子(大于零),不等号不变。

3,不等式两边同乘同除一个数或一个式子(小于零),不等号改变。

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