《集合的基数》PPT课件

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例： f (0) 0.121212 f (1) 0.313131 f (2) 0.4242 取不一样的数，比如取：b1 3, b2 5, b3 1， 则b 0.351 [0,1]
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Hale Waihona Puke Baidu
3．等势的性质 定理 9.1 设 A，B，C 是任意集合， （1）A≈A. （2）若 A≈B，则 B≈A. （3）若 A≈B，B≈C，则 A≈C. 证明思路：利用等势的等义. （1）IA 是从 A 到 A 的双射 （2）若 f：AB 是双射，则 f1：BA 是从 B 到 A 的双射. （3）若 f：AB，g：BC 是双射，则 fg：AC 是从 A 到 C 的双射.
f ( n 1 ) 0 .a n1a n 2 a nn
令 b 0 .b1 b 2 b 3 [ 0 , 1 ], 其 中 2 | b i a ii | 6 ,０ b i , a ii 9 .
由于
bi
a
，
ii
知
b ranf， 从 而 f 不 是 满 射 ， 矛 盾 ！
故假设不成立.
改为ｆ(ai)＝ri+n ｉ＝１,２......即可解决。
问题三：有可数无限多个房间的旅馆现已满，又来了无限多位客人，请问该如何安 插无限多位客人？ Solution:
将 1 号房间原有的客人安置到 2 号房间、2 号房间原有的客人安置到 4 号房间、 i 号房间原有的客人安置到 2i 号房间，这样所有的奇数房间就都能够空出来以 容纳新的客人。 请客人 ai 搬到 r2i 房，则会空出无限多间旅馆，如下所示： 改为ｆ(ai)＝r2i ｉ＝１,２......即可解决。
1/3
[9]
2/3 3/3 …
[15]
-1/4 0/4
[14]
1/4
2/4
[13]
3/4 …
图2
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（4）(0,1)≈R. 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}. 令
双射函数 f : (0,1) R, f (x) tan 2x 1
2
（5）[0,1]≈(0,1). 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开区间和闭区间.
双射函数 f : [0,1](0,1)
1/2
f
(
x)
1 1 /
/ 22 2n 2
x
x0 x 1 x 1 / 2n , n 1, 2, ... 其它 x
（6）对任何 a, b∈R, a<b, [0,1]≈[a,b].
双射函数 f：[0,1]→[a,b], f(x)=(ba)x+a
类似地可以证明, 对任何 a, b∈R, a<b, 有(0,1)≈(a,b).
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6
[18]
[5]
-3/1 -2/1
[17]
… -3/2 -2/2
… -3/3
[6]
-2/3
[16]
… -3/4 …
-2/4
PLAY
[4]
[0]
-1/1 0/1
[1]
1/1
[10]
[11]
2/1 3/1 …
[3]
-1/2 0/2
[2]
1/2
2/2
[12]
3/2 …
[7]
-1/3 0/3
[8]
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二、重要的等势或不等势的结果 1．等势结果 N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N 任何实数区间都与实数集合 R 等势 P(A) ≈{0,1}A (例 8.10)
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2．不等势的结果 定理 8.7 (康托定理) （1）N ≉ R （2）对任意集合 A 都有 A≉P(A).
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由于旅馆拥有无穷个房间，因而我们可以将原先在 1 号房间原有
的客人安置到 2 号房间、2 号房间原有的客人安置到 3 号房间，以此
类推，这样就空出了 1 号房间留给新的客人。
原客人 a1 住 r1 房间、客人 a2 住 r2 房间……客人 a3 住在 r3 房 间………
则请客人 ai 搬到 ri+1 房间，就会空出一间房间。
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C an tor反 证 法 ： 假 设 N [0 , 1 ], 则 存 在 双 射 f ： N [0 , 1 ] 设：
f (0 ) 0 .a 11a 12 a 1n f (1 ) 0 .a 21a 22 a 2n f ( 2 ) 0 .a 11a 12 a 1n
x)
2x 2x
1
x0 x0
则 f 是 Z 到 N 的双射函数. 从而证明了 Z≈N.
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（2） N×N≈N. N×N 中所有的元素排成有序图形
图1
双射函数 f : N N N, f ( m, n ) (m n 1)(m n) m 2
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（3） N≈Q. 为建立 N 到 Q 的双射函数, 先把所有形式为 p/q (p,q 为 整数且 q>0) 的数排成一张表.在计数中只考虑每个数的 第一次出现. 表中数 p/q 上方的方括号内标明了这个有 理数所对应的计数结果. 双射函数 f：N→Q, 其中 f(n)是[n]下方的有理数. 从而 证明了 N≈Q.
将原本为ｆ(ai)＝ri
客人 A：{a1,a2.....an....｝ 房间Ｂ：{r1,r2.....rn....｝
改为ｆ(ai)＝ri+1 ｉ＝１,２......即可解决。
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问题二：有可数无限多个房间的旅馆现已满，又来了 n 位客人，请问该如何安插 n 位客人？ Solution:
将原先在 1 号房间原有的客人安置到 1+n 号房间、2 号房间原有的客人安置 到 2+n 号房间，以此类推，这样就空出了 n 号房间留给新的客人。请客人 ai 搬到 ri+n 房，则会空出 n 间房间
第九章 集合的基数
主要内容 集合的等势及其性质 重要的等势或不等势的结果 集合的优势及其性质 自然数与自然数集合 集合的基数 可数集
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引言
＊ Hilbert 旅馆问题＊
问题一： 一个拥有可数无限多个房间的旅馆，且所有的房间均已客
满。现又来了一位客人，请问该如何安插这一个客人?
Solution:
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第一节 集合的等势与优势
一、集合的等势
1. 等势定义
定义 8.8 设 A, B 是集合, 如果存在着从 A 到 B 的双射函数, 就
称 A 和 B 是等势的, 记作 A≈B. 如果 A 不与 B 等势, 则记作
A≉B.
2. 集合等势的实例.
例 8.9（1）Z≈N.
f : Z N,
f
(