3.4基本不等式教学设计
高中数学 3.4 基本不等式教案3 新人教版必修5
3.4 基本不等式 ab ≤2b a + [教学目标]1. 探索并了解基本不等式的证明过程。
2. 从基本不等式的证明过程了解不等式证明的常用思路：由条件到结论，或由结论到条件。
3. 能利用基本不等式进行简单的应用。
4. 通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结合的思想。
5. 通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。
[重 点]： 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式2b a ab +≤。
[难 点]：从不同角度探索基本不等式的证明过程。
[教学方法]：启发、引导、讲解。
[教学准备]：Z+Z 课件[教学过程]：一、 导入新课（多媒体展示24届国际数学家大会会标）问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？（引导学生作出其几何图形，多媒体展示该几何图形。
）问：四个全等的直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？ 答：四个全等的直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积。
（多媒体动态演示变化过程，引导学生注意何时相等。
）问：同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相关练习，请同学们用不等式表示上述不等关系。
为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为b a ,。
答：四个全等的直角三角形的面积之和为ab 2，大正方形的面积为22b a +,则 ab b a 222≥+当直角三角形变为等腰直角三角形,即b a =时,正方形EFGH 缩为一个点时有ab b a 222=+。
问：如何证明 ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。
答：由()02222≥-=-+b a ab b a ，所以ab b a 222≥+ 当且仅当()02=-b a ，即b a =时取等号。
[板书]：一般的，对于任意实数b a ,，都有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。
问：当0,0>>b a 时，以a ，b 代替此式中b a ,的可得到一个什么样的关系式？ 答：ab b a 2≥+二、.新课探究[板书]：若0,0>>b a ，则2b a ab +≤，当且仅当b a =时取等号。
高中数学必修五教案：3.4+基本不等式
集体备课电子教案年级备课组（总第课时）主备人：时间：图(1)．根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？图(2)．当中间的四边形EFGH缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题1你有什么发现？b>0时，用a，b分别代替a、b，可以得到什么结论？内容a2＋b2≥2ab，(a，b∈R)“a＝ab≤a＋b2(a，b∈R＋)“a＝试比较出a＋b，1．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即已知a>b>1，P＝lg a·lg b，(2)已知lg a＋当a>0，b>0时，若x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值．【思路探究】1．此题多次使用a＋b≥2已知：a>0，b>0，c>0且a＋b＋(对应学生用书第66页)求函数y ＝x ＋1x的值域．．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，(对应学生用书第67页)【解】 ∵a ，b 是不相等的正数， ∴x 2＝a ＋b ＋2ab 2<a ＋b ＋a ＋b2＝a ＋b ＝y 2，又x >0，y >0，∴x <y .一、选择题1．给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵x 、y 为正实数，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－yx)]≤－2 －xy－yx＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 ①∵a 、b 为正实数，∴b a 、a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确；②虽然x 、y 为正实数，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的；④由xy <0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，(－x y )、(－y x)均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．【答案】 D2．已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值为( )【解析】 ∵a >1，∴a 2＋1>2a >a ＋1， ∴log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a ＋1)， ∴m >p >n . 【答案】 m >p >n8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．【解析】 设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60， 1x ＋1y ＝(1x ＋1y )4x ＋9y 60 ＝160(13＋4x y ＋9y x ) ≥160×(13＋12)＝512， 当且仅当4x y ＝9yx，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时，等号成立，故应分别填上6、4.【答案】 6,4 三、解答题9．设a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .【证明】 ∵a 、b 、c >0，∴bc a ＋acb≥2c ， bc a ＋ab c ≥2b ，ac b ＋abc≥2a ， ∴2(bc a ＋ac b ＋abc)≥2(a ＋b ＋c )． 又∵a 、b 、c 不全相等， ∴bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .10．(2013·泰安高二检测)已知不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为A ＝{x |1<x <b }．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )＝(2a ＋b )x －9a －b x(x ∈A )的最小值．(教师用书独具)记F (x ，y )＝x ＋y －a (x ＋22xy )，x ，y ∈R ＋.若对任意的x ，y ∈R ＋，恒有F (x ，y )≥0，请求出a 的取值范围．【思路探究】 分离参数a ，变成a ≤f (x )的形式，然后求f (x )的最小值即可．【自主解答】 由F (x ，y )≥0，得x ＋y ≥a (x ＋22xy )． 因为x >0，y >0， 所以a ≤x ＋yx ＋22xy恒成立．所以a 的最大值为x ＋yx ＋22xy的最小值．因为22xy ≤x ＋2y ， 所以x ＋yx ＋22xy ≥x ＋y x ＋x ＋2y＝12， 当且仅当x ＝2y >0时，等号成立，即a 的最大值为12，所以a ∈(－∞，12]．设a >b >c ，且1a －b ＋1b －c ≥ma －c恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 由a >b >c 知a －b >0，a －c >0.因此，原不等式等价于a －c a －b ＋a －cb －c≥m .要使原不等式恒成立，只需a －c a －b ＋a －cb －c的最小值不小于m 即可． 因为a －c a －b ＋a －cb －c ＝a －b ＋b －ca －b ＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ×a －b b －c ＝4.当且仅当b －c a －b ＝a －bb －c，即2b ＝a ＋c 时，等号成立．所以m ≤4，即m ∈(－∞，4]．第2课时 基本不等式的应用(对应学生用书第68页)1．本例题目都不能直接使用基本不等式求最值，需要先对其变形．(1)已知x >3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (2)已知x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． 【解】 (1)∵x >3， ∴x －3>0，4x －3>0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3 ≥2x －4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (2)∵x >0，y >0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·(2x ＋3y 2)2＝16·(62)2＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.两个变量的最值问题已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y＝1.求x ＋2y 的最小值．【思路探究】 从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件，但根据已知变形，消去一个变量，可构造成能使用基本不等式的形式，也可使用“1”的代换，尝试解决．【自主解答】 ∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(8x ＋1y )(x ＋2y )＝10＋x y＋16yx≥10＋2x y ·16y x＝18，1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑本例中，若把“8x ＋1y ＝1”改为“面利用旧墙(利用的旧墙需维修应用基本不等式解决实际问题的方法如图3－4－2所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈图3－4－2设每间羊圈的相邻两边长分别为x ，y (平行于墙的一边为＝36，3y ＝18.设S ＝xy .2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 272，即S ≤272.(对应学生用书第69页)【错解】因为．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．1．当x <0时，f (x )＝12x＋4x 的最大值为( )A ．－4B ．－8C ．－8 3D ．－16【解析】 ∵x <0，∴－x >0， ∴f (x )＝－[(－12x)＋(－4x )]≤－2－12x－4x ＝－8 3.【答案】 C2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0【解析】 a 2＋1≥2a ，当且仅当a ＝1时“＝”成立． 【答案】 B 3．函数y ＝3x＋32－x的最小值为________．【解析】 y ＝3x＋93x ≥23x ·93x ＝6，当且仅当3x＝93x ，即x ＝1时等号成立．【答案】 6 4．求函数f (x )＝xx ＋1的最大值．【解】 ∵f (x )＝1x ＋1x≤12x ·1x＝12， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立.一、选择题1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin xC ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81【解析】 A 中，x 符号不定，排除A ；B 中，当sin x ＝2时取“＝”，不可能，∴排除B ；C 中，e x＝2时取“＝”，故选C ；D 中，log 3x 符号不定，∴排除D.【答案】 C2．(2013·长沙高二检测)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5【解析】 ∵a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝a ＋b 2a ＋2a ＋2b b ＝12＋b 2a ＋2a b ＋2≥52＋2b 2a ·2a b ＝92，当且仅当b 2a ＝2ab且a ＋b ＝2，取“＝”． 【答案】 C3．(2013·临沂高二检测)某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b2 B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b2D ．x ≥a ＋b2【解析】 由条件知A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤[＋a ＋＋b2]2，∴1＋x ≤1＋a ＋b2，故x ≤a ＋b2.【答案】 B4．(2013·重庆高二检测)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4【解析】 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2. ∵x >2，∴x －2>0. ∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 x －1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2， 即x ＝3时“＝”成立． 又f (x )在x ＝a 处取最小值． ∴a ＝3. 【答案】 C5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是( ) A ．[6，＋∞) B ．[9，＋∞)C ．(0,9]D ．(0,6]【解析】 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3(当a ＝b 时取“＝”)，即ab －2ab －3≥0，∴ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，∴ab ≥9.【答案】 B 二、填空题6．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x 的最大值是________．【解析】 当0<x <1时，log 2x <0，所以f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x＝2－[(－log 2x )＋5－log 2x ]≤2－2 5.当且仅当－log 2x ＝5－log 2x ，即(log 2x )2＝5，亦即x ＝2－5时，等号成立．【答案】 2－2 57．(2013·苏州高二检测)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________．【解析】 由题意知A (1,1)，∴m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥4，当且仅当m ＝n 时“＝”成立． 【答案】 48．某校要建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】 设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元，根据题意，有2xy ＝8，∴xy ＝4，且z ＝240×82＋160·(2×2x ＋2×2y )＝120×8＋640(x ＋y ) ≥120×8＋1 280xy ＝120×8＋1 280×2 ＝3 520. 【答案】 3 520 三、解答题9．(2013·扶余高二检测)设x >－1，求y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值．【解】 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋t ＋t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9.当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数取得最小值是9.10．已知正常数a ，b 和正变数x ，y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值是18，求a ，b 的值．【解】 x ＋y ＝(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋bx y ＋ayx≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2＝18. 又∵a ＋b ＝10，∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.11．(2013·临沂高二检测)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？【解】 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x x －2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g (x )＝f x2 000x×10 000＝x 2＋790x ＋x＝50(x ＋900x＋79)≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．∴该写字楼应建30层．(教师用书独具)求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．【思路探究】 将x 2＋4变成x 2＋3＋1，把x 2＋3看成一个整体，用基本不等式求解．x2＋a＋1已知a>0，求函数y＝x2＋a不等式的性质定成立的是( )已知a，b为非零实数，且a<bC.1ab 2<1a 2bD.b a <a b【解析】 ∵a <b ，1a 2b2>0，∴a ·1a 2b2<b ·1a 2b2，∴1ab 2<1a 2b.【答案】 C不等式的恒成立问题不等式中的恒成立问题，既是学习中的难点，又是高考中的热点，在求解不等式中的恒成立问题时，要注意转化，利用数形结合的方法，构造不等式或不等式组进行探讨．常见的解决恒成立问题的方法有：(1)判别式法；(2)数形结合法；(3)分离参数法；(4)分类讨论法．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切实数x 恒成立，求m 的取值范围．【思路点拨】 先讨论二次项系数为零时是否符合题意，对于二次项系数不为零时，用其等价不等式组求m 的范围．【规范解答】 当m 2－2m －3＝0时，m ＝－1或3.而m ＝3时，－1<0符合题意，所以m ＝3；当m 2－2m －3≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0－m ＋2＋m 2－2m －⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3⇒－15<m <3.综上可得，m 的取值范围是{m |－15<m ≤3}．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】 由x ∈[1，＋∞)，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，得x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，车间加工，有关数据如下表所示：设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，表示的平面区域为如图所示的阴影部分．设过点(0,1)时，z有最大值，有最小值，z min＝0＋2×(－【思路点拨】已知log2a＋log2b≥1，则3a＋【思路点拨】解不等式ax2＋2x＋1>0(a>0)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
3.4+基本不等式(1)教学设计
3.4 基本不等式（1）【教学目标】2a b ab +，了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程理解算术平均数、几何平均数的概念；会用不等式求一些简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.【教学重点】利用基本不等式求最值【教学难点】2a b ab +的推导及应用 一、知识引入如图所示，这是在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。
你知道这其中含有哪些数学因素吗？设小直角三角形的两条直角边为、a b ，则正方形的边长为 ，正方形的面积为 .四个直角三角形的面积和为 .问题1.比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？ 4正方形三角形S S ⨯<⇒ < .问题2.上式能否取到等号？什么时候取等号？当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 ,此时4正方形三角形S S ⨯=⇒ = .问题3.上式中,a b 的范围能扩大吗？问题4.你能给出证明吗？问题5.,a b 去替换上式结论中的,a b ，则,a b 需要满足什么条件？ 问题6.替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？二、基本不等式 问题7.你能给出证明吗？2a b ab +≤能不能直接利用不等式的性质来推导呢? (,0)2a b ab a b +≤>当且仅当a b =时等号成立思考：你能利用右边图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？ 若两个数a,b ,且00a ,b >>,2a b +叫做a,b 的算术平均数；ab 叫做a,b 的几何平均数.判断下列推理是否正确：（1）若a R ∈，则由1122a a a a +≥⋅=得1a a+的最小值是2. （2）若01,x <<则由(1)1(1)22x x x x +--≤=得(1)x x -的最大值是12. （3）若0x π<<，则44sin 2sin 4sin sin x x x x +≥⋅=得4sin sin x x+的最小值是4. （4）若,0a b >且18a b +=，则由2218()()8122a b a b +⋅≤==得a b ⋅的最大值是81. 问题8、由上题你能观察出它可以解决哪些式子的最值问题？问题9、在求最值的过程中需要满足什么条件？三、典例剖析例1.陶渊明打算用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菊花园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短，最短篱笆是多少？例2. 陶渊明打算用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菊花园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大，最大面积是多少？四、归纳小结这节课学习了什么，有哪些方面的运用，运用的时候有什么限制条件？一个不等式的推导两种最值的研究三个条件的满足例2.（1）求4=+,(>0)y x x x 最值；（2）求4=+,(<0)y x x x 最值；（3）求4=+,(4)y x x x ≥最值；（4）求4=+,(>1)-1y x x x 最值；（5）求4=+(>1)2-1y x x x 最值；（6）求14145y x x =-+-（54x <）的最值.例3. （1）求函数=(1-),(0<<1)y x x x 的最值；（2）求函数=(1-),(12)y x x x ≤≤的最值；(3)求函数1=(1-2),(0<<)2y x x x 的最值;（4）y =的最大值.五、巩固练习一、选择题：1．若0x <，则函数11y x x =+-的最大值为（） (A) 2- (B) 3- (C) 4- (D) 5-2．设0x >，则函数133y x x =--的最大值为（）(A) 3 (B) 3-3-1-3．若实数,a b 满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）(A) 18 (B) 6 (C) 4．若0,0a b >>，且8a b +=，则22log log a b +的最大值为（ ）(A) 2 (B) 4 (C)5．下列函数中，最小值为2的是（ ） (A) 1(0)y x x x =+≠ (B) 1sin ,(0,)sin 2y x x x π=+∈(C)y =0)y x => 6．已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列各式中正确的是（ ） (A)114a b +≥ (B) 114a b+≤(C) 11a b +≥11a b+≤7．已知,a b ∈+R ，且2a b +=，则13a b +的最小值为（ ）(A) 4+2+8．已知0,0a b >>，则11a b++ ）(A) 2 (B) 4 (D) 5二、填空题：9．若矩形的周长为8cm ，则它的面积的最大值为 2cm ．10．函数1542()454y x x x =-+<-的最大值为 ，此时x = ． 11．已知正数,x y 满足811x y+=，则2x y +的最小值为 ，此时x = ，y = ．12．若31x y +=，则28x y+的最小值为 ，此时x = ，y = ． 13．若0,0x y >>，则2()x y xy+的最小值为 ． 三、解答题：14．若(0,)2x π∈，求函数224sin cos ()sin cos x x f x x x +=的最小值，并求()f x 取得最小值时tan x 的值．15．已知,x y ∈+R ，且410x y +=，求lg lg u x y =+的最大值，并求u 取得最大值时,x y的值．一、知识链接1．若01,01,且,a b a b <<<<≠则下列不等式中最大的是 （ ）A ．22a b +B ．a b +C ．2abD ．2．函数1()(,0)f x x x R x x=+∈≠的值域是（ ） A. [)2,+∞ B. (2,)+∞ C. R D. (,2][2,)-∞-+∞例3.已知的最小值求且y x y x y x +=+>>,191,0,0.。
3.4 基本不等式(教案)
3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。
难点：基本不等式成立的条件及应用。
教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。
由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（ ）② 函数y =的最大值是5. （ ）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （ ）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。
3.4基本不等式
3.4基本不等式 ：2ab b a +≤一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入 诺贝尔奖，是以瑞典著名的化学家诺贝尔的部分遗产作为基金在1900年创立的。
诺贝尔奖分设物理、，化学 、生理或医学、文学、和平五个奖项，但没有数学，数学的最高奖是菲尔茨奖，每四年一次的国际数学大会颁发，如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为， 那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即． 那么它们有相等的情况吗？何时相等？当b a =，ab b a 222=+从而对任意实数，都有ab b a 222≥+，此不等式叫重要不等式 证法：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）探究二：如果0,0>>b a ，用b a ,去代替ab b a 222≥+中b a ,，能得出什么结论？通过学生动手操作，探索发现：若，则．此不等式叫基本不等式证法（分析法）：由于，于是要证明 ，只要证明 ， 即证 ，即 ，该式显然成立，所以，当时取等号．得出结论，展示课题内容基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）3．几何证明，相见益彰探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）称为的几何平均数；称为的算术平均数基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高例1.（1）当0>x 时，xx 1+的最小值为____________,此时____________=x （2）当0>x 时，xx 94+的最小值为____________,此时____________=x例2（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）例3. （1）当0<x 时，求xx y 1+=的最大值 （2）当3>x 时，求31-+=x x y 的最小值 （3）当2≥x 时，求x x y 1+=的最小值 并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．6．归纳小结，反思提高基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．。
岳献平《3.4基本不等式》教学设计
岳献平《3.4基本不等式》教学设计课堂教学设计主题：基本不平等AB？A.B2单元：内黄一中名称：岳显平课堂教学设计表科目：数学教师姓名：岳显平学名：内黄市第一中学教学班：10班，2022年级章名3.4席基本不等式AB？A.B（第一学时）2计划学时1。
课程标准：必修数学课程标准5。
2.本节教学目标：知识与能力：1。
理解基本不平等的意义；２. 能够用基本不等式找到最大值；过程与方法：在推导基本不等式的过程中，培养学生的直观思维，培养学生观察、联想、类比等教学目标能力；情感态度和价值观：通过对基本不等式的研究，培养学生勇于探索、善于合作的意识，让学生学会用数学的眼光看世界，感受数学与生活的紧密联系，让学生热爱和理解数学，从而成为学习的主人。
学习3.4-1第3.4-2项标记3.4-3来描述3.4-4个项目知识点，学习目标特定描述句子的编号，理解和理解重要不等式的推导（结论1）。
掌握基本不等式的推导和证明（结论2）。
掌握利用基本不等式求最大值的条件。
扩大数学模型的建立，运用数学知识解决实际问题。
内容解决方案：1。
利用学生感兴趣的问题激发学生的求知欲；教学重点是基本不等式的推导和应用。
2.引导学生独立尝试和发现，使学生获得知识，提高能力。
3.通过形成性连接，使用和巩固公式的学习和掌握。
使用黑板书写和PPT错误显示方法，引导学生亲自探索、发现和理解“当且仅当a？B应用和其他活动使学生能够在感知的基础上有效掌握等号”的意义。
立法的意义。
知识点学习编号目标媒体类型媒体内容要点教学作用使用方式所得结论占用时间媒体来源多媒体国际数a、b、ga重要不等式8分钟多媒体课件学家大会会标3.4―1理解课件教学多媒体得出e、f课件典型多媒体应用课件例题；形成性练习多媒体理解课件问题be数学模型的建立5分钟自制hd运用基本不等式解决问题5分钟自制结论f不等式学生通过换元法得出基本20分钟多媒体课件媒3.4－2体（资3.4－3源）的3.4－4选择掌握①媒体在教学中的作用分为：a.提供事实，建立经验；b.创设情境，引发动机；c.举例验证，建立概念；d.提供示范，正确操作；e.呈现过程，形成表象；f.演绎原理，启发思维；g.设难置疑，引起思辨；h.展示事例，开阔视野；i.欣赏审美，陶冶情操；j.归纳总结，复习巩固；k.其它。
高中数学 3.4基本不等式(一)全册精品教案 新人教A版必修5
3．4 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +） 提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
3.4基本不等式教案
学科：数学第2课时
任课教师
杨娟
授课班级
高一（10）
授课日期
2018．3．21
教学课题：3.4基本不等式(二)----“1”的代换变形
教学目标：
一、知识与技能：
1、应用基本不等式解决最值的问题;
2、掌握“1”的代换求最值
3、关注并理解常见错解原因
二、过程与方法：
1、通过学生对问题的探究和归纳总结出一般性的解题方法和规律：“1”的代换求最值，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取最值的条件.
2、通过对错解的分析，深入认识最值条件“正定等”.
3、通过变式练习形成该知识点的知识结构，提高分析和解题能力。
三、情感、态度与价值观：
通过一题多解，提高学生的发散思维能力，形成思维的灵活性；通过多题一解化归到熟悉的结构，增强学生的转化化归能力，进而提高数学的解题能力和数学审美能力。
教学方法：讲授法、提问法。
教学重点：
1、“1”的代换求最值
2、理解常见错解原因
3、化归思想
教学难点：
1、配凑定值
2、错解辨析
教学用具：教学白板，多媒体课件
教学过程
教学内容
学生活动
设计意图
已知正数m,n,求下列各式最值：
（一）多种方法解最值
（二）练习及错解分析
练习一：
正解：
错解一：错解Biblioteka ：（三）练习二五、小结
1、“1”的代换求最值
2、常见错解原因
3、其他
六、课后反思
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)
课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
3.4《基本不等式》优质课教案
3.4《基本不等式》教案赵晓雪1、本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
２、教学目标（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。
（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
３、教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。
二、教法说明本节课借助平板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。
通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。
让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、教学设计◆运用2002年国际数学家大会会标引入◆运用分析法证明基本不等式◆不等式的几何解释◆基本不等式的应用1、运用2002年国际数学家大会会标引入如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
（展示风车）正方形ABCD 中,AE ⊥BE,BF ⊥CF,CG ⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，Rt △ABE,Rt △BCF,Rt △CDG,Rt △ADH 是全等三角形，它们的面积之和是S ’=＿从图形中易得，s ≥s ’,即 问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？问题2：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）一般地，对于任意实数a 、b ，我们有 当且仅当（重点强调）a=b 时，等号成立（合情推理）问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明） Ａ ＢＣ Ｅ Ｄ Ｇ Ｆ a Ｈ b 22a +b 222a b ab+≥222a b ab+≥设计意图（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。
3.4《基本不等式》教学设计
3.4基本不等式教学设计一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2b a ab +≤ 的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为b a ,， 那么正方形的边长为22b a +．于是，4个直角三角形的面积之和ab S 21=，正方形的面积222b a S +=．由图可知12S S >，即ab b a 222>+．2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若+∈R b a ,，则ab b a 222>+．证法： 0)(2222≥-=-+b a ab b aab b a 222≥+∴，当b a =时取等号．（在该过程中，可发现b a ,的取值可以是全体实数）思考:如果0a >，0b >a 、b ，可得到什么结论？可得a b +≥(a>0,b>0)2a b + 学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法二（分析法）：由于+∈R b a ,，于是要证明 ab b a ≥+2， 只要证明 ab b a 2≥+，即证 02≥-+ab b a ，即 0)(2≥-b a ，该式显然成立，所以ab b a ≥+2，当b a =时取等号． 得出结论，展示课题内容基本不等式:若+∈R b a ,，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）深化认识： 称ab 为b a ,的几何平均数；称2b a +为b a ,的算术平均数 基本不等式2b a ab +≤又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．几何证明，相见益彰探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，a AC =，b BC =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接BD AD ,． 根据射影定理可得：ab BC AC CD =⋅=由于Rt COD ∆中直角边<CD 斜边OD ， 于是有2b a ab +< 当且仅当点C 与圆心O 重合时，即b a =时等号成立．故而再次证明：当0,0>>b a 时，2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于+∈R y x ,，（1）若p xy =（定值），则当且仅当b a =时，y x +有最小值p 2；（2）若s y x =+（定值），则当且仅当b a =时，xy 有最大值42s ． （鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长:宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?A B练1. 0x >时，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？ 变1：若3>x ，求31-+=x x y 的最小值. 变2：若0,0>>b a ，求b a a b y +=的最小值. 练2. 已知10<<x ，求函数)1(x x y -=的最大值. 变式：已知210<<x ，求函数)21(x x y -=的最大值. 并通过练2及其变式引导学生领会运用基本不等式2b a ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．5．归纳小结，反思提高基本不等式：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）若+∈R b a ,，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） （1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题A 组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．。
3.4基本不等式教学设计
《3.4基本不等式》第一课时教学设计授课时间：2015年04月28日下午第一节 授课班级：高一13班 授课人：金磊一、 [教学目标]依据《新标准》对《不等式》学段的目标要求和本班学生实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题（求最值、证明不等式）；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、不等式的证明）的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
二、 [教学重点] 基本不等式2b a ab +≤的证明过程及应用。
三、 [教学难点]1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）的正确理解；2、灵活利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
四、 [教学方法]本节课采启发诱导、讲练结合的教学方法，结合现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
五、[教学用具]多媒体、几何画板六、 [教学过程]教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。
这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。
具体过程安排如下：（一）、创设情景，提出问题；上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式xy y x 222≥+。
3.4基本不等式(教案)
§3.4基本不等式：2b a ab +≤ (教学设计) (第一课时)教学目标：1．知识与技能：学会推导基本不等式2a b ab +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式2a b ab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
教学重点：掌握基本不等式2a b ab +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值。
教学难点：利用此不等式求函数的最大、最小值。
教学过程：一、知识回顾：填空：1.;02≥a2. ;0)(2≥-b a3. .2)(222b ab a b a +-=- 问题1：通过2与3可以得到什么结论？结论：.2 022222ab b a b ab a ≥+≥+-即问题2：上述三个式子1、2中什么时候等号成立？学生：1式中只有a=0时等号成立；2式中只有a=b 时等号成立。
二、新课讲解：一般的,对于任意的实数a,b ,我们有.222ab b a ≥+，当且仅当b a =时,等号成立. 思考：如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替ab b a 222≥+中的b a 、, 可得ab b a 2≥+，我们通常把上式写成）（0,02>>+≤b a b a ab （当且仅当b a =时，等号成立。
）概念扩展：若两个数a,b , 且00a ,b >>,2b a + 叫做a,b 的算术平均数， ab 叫做a,b 的几何平均数，思考：如何证明？（做差法） 证明：0)(22≥-=-+b a ab b a.2ab b a ≥+∴.2b a +≤ab 即当且仅当b a =时等号成立。
重要不等式：),( 222R b a ab b a ∈≥+，(当且仅当b a =时，等号成立)。
《3.4 基本不等式》教学设计
附件 1-4第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛教学设计表学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）（一）创设情境，提出问题 活动1：欣赏数学家会标，提炼出里面蕴含的不等关系 如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
探究1：会标中有哪些几何图形？能否从正方形、三角形的面积角度来思考，寻找相等关系和不等关系？设计意图：融入数学史，渗透数学的文化价值，通过适度点拨，引导学生利用图形中的面积之间存在的数量关系，抽象出重要不等式.思考：你能对重要不等式222a b ab +≥进行证明吗？等号成立的条件是什么？你能从图形中对“等号成立”进行解释吗？设计意图：引导学生从图形上对式子等号成立的条件进行几何解释，增强学生用图“形”表现“数”、用“数”解释图“形”的意识。
（二）合作学习，建模探究探究2（操作）：请同学们拿出两张大小不同的正方形的纸，并把它们分别沿对角线对折成两个等腰直角三角形。
假设两个正方形的面积分别是,a b ，则两个等腰直角三角形的面积分别是22,a b ，请跟周围同学讨论一下，如何对这两个等腰直角三角形进行拼接和裁剪可以构成一个分别以,a b 为长和宽的矩形，对比该矩形的面积与两个等腰直角三角形的面积和，你有什么发现？设计意图：采用剪拼纸片的手工活动，从多边形纸片裁剪掉小三角形纸片后得到的矩形纸片面积变小，学生从中发现并提炼出公式化的基本不等式。
【定义】通常我们把2a b ab +≥写成()002,a b ab a b +≥>>()002,a b ab a b +≥>>，称其为基本不等式。
其中，把2a b +叫做两个正数,a b 的算术平均数，ab 叫做两个正数,a b 的几何平均数，当且仅当a b =时，上述等号成立。
问题1：基本不等式()002,a b ab a b +≥>>用文字语言如何描述？从数列的角度，还可以怎么描述？设计意图：引导学生将符号语言转化成文字语言，巩固学生对基本不等式结构的认识；进一步从数列的角度分析，加深学生对基本不等式本质的理解，同时也让学生建立起新旧知识之间的联系。
§3_4基本不等式(教案)
课题: §3.4基本不等式（教案）第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提升学习数学的兴趣【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
因为4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
R,,2那么+∈a b a 2．得到结论：一般的，假设[解释]结论中“当且仅当”的含义。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=当时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系理解基本不等式2a b ab +≤ 特别的，假设a>0,b>0,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤，你能用分析法证明一下吗？ 分析法证明： 要证2a b ab +≥ （1） 只要证 a+b ≥ （2）要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 ≥0 （4）显然，（4）是成立的。
基本不等式教案
3.4:基本不等式：2ba ab +≤一：教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式； 2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路. 二：教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明； 三：三维目标（1）知识与技能1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由 结论到条件。
（2）过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教 学。
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们 的数学学习兴趣。
（3）情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣. 四：新课导入同学们，前面我们已经学习了不等关系与不等式，一元二次不等式及其解法，以及简单 的线性规划问题。
那么，今天我们来学习一个新的不等式定理——基本不等式：)0,0(2>>+≤b a ba ab 五：讲授新课（一）感受几何图形，引入课题。
问题1：如图，是24届国际数学大会的会标，也是我国古代很著名的赵爽弦图，这其中蕴 了一个很重要的不等式定理，大家能不能通过图形的不等关系找到他呢？师生互动：带着这个问题让学生阅读课本3—5分钟，找出答案，老师在黑板上画出图形并作出字母标注。
教学设计1：3.4(2)基本不等式
3.4基本不等式√ab≤a+b（Ⅱ）2【教学目标】1．知识与技能：进一步掌握基本不等式√ab≤a+b；会应用此不等式求某些函数的最值；能2够解决一些简单的实际问题2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式√ab≤a+b，并会用此定理求2某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【重点难点】的应用重点：基本不等式√ab≤a+b2求最大值、最小值。
难点：利用基本不等式√ab≤a+b2【教学过程】1.课题导入1．重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时，取“=”号)(当且仅当a=b时，取“=”号) 2．基本不等式：如果a,b是正数，那么√ab≤a+b2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数我们称a+b2≥√ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b a2+b2≥2ab和a+b2都是正数。
2.讲授新课例1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为l元，根据题意，得l=240000+720(x+1600 x)≥240000+720×2√x∙1600 x=240000+720×2×40=297600当x=1600x,即x=40时，l有最小值为297600.因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
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《基本不等式》教学设计
一、教材分析
本节课出自普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修五第三章第四节《基本不等式》的第一课时。
本节课是在学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习打下基础， 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，学好基本不等式非常重要。
二、学情分析
本节授课对象是高一学生，学生已经学习了不等关系和不等式的性质，在初中学习了和的完全平方公式基础上，引导学生探究基本不等式并进行应用，高一学生学习热情高涨，探索知识兴趣强，但对数学知识迁移和类比的能力还亟待提高，运算能力也不强，探索发现能力也需进一步提高。
三、教学目标 1、知识与技能
（1）掌握基本不等式，了解推导过程；
（2）运用基本不等式解决一些简单的求最值问题和证明问题； 2、过程与方法
(1)通过运算，推导，小组合作探究基本不等式；
(2)通过观察，分析，探究基本不等式性质，通过实际应用解决问题； 3、情感、态度与价值观
(1)体验类比思想在探究数学知识时的重要意义与价值； (2)培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯； (3)感受学习数学、探索发现的乐趣与成就感。
四、教学重难点
重点：基本不等式及应用和证明； 难点：运用基本不等式应用解题。
五、教法与学法
教法：应用启发式教学，以学生为主体，引导学生在自主探究过程中经历类比发现、归纳、演绎推理等过程，体会类比和数形结合的思想。
同时利用PPT 辅助教学。
学法：应用探究式学法，引导学生自主探索，探究向量的表示方法，合作学习，理解和掌握基本不等式。
六、教学过程
【环节一：巧设疑云，导入新课】
【师生活动一】回顾：求函数f （x ）=x +1
x 在（0，+∞）上的最小值 提示：证明函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；
【师生活动二】请学生重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD 的面积S 和里面的四个小三角形面积之和S ’的大小，有怎样的不等关系？
我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，正方形的面积为222b a S +=。
由图可知12S S >，即ab b a 222>+．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
【师生活动三】先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形， 再用这两个三角形拼接构造出一个矩形
（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）． 假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a ≥）
【设计意图】通过实际问题情境引入，使学生带着问题进入新课，激发学生的学习兴趣。
【环节二：深入学习，探究新知】
【师生活动一】特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？
),(02
>+≤
b a b
a a
b 【师生活动二】用分析法证明基本不等式 证明：（分析法）：由于+∈R b a ,，于是要证明 ab b
a ≥+2
， 只要证明 ab b a 2≥+，
即证 02≥-+ab b a ，即 0)(2≥-b a ， 所以
ab b
a ≥+2
，（当b a =时取等号）
【师生活动三】 探究基本不等式的几何意义
借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式
)0,(2>+≤
b a b
a a
b 的
几何解释，通过数形结合，赋予不等式
)0,(2>+≤
b a b
a a
b 几何直观。
进一步领
悟不等式中等号成立的条件。
CD=
如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，ab Array
几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。
【师生活动四】求解引入问题
在（0，+∞）上的最小值
试用基本不等式求函数f（x）=x+1
x
【设计意图】以学生为主体，引导学生探究。
学生通过自己阅读书本内容，同时通过小组讨论自主学习，有利于学生理解零向量和单位向量概念，同时培养合作学习意识。
【环节三：应用所学，解决问题】
【师生活动一】例1、已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca 解：利用基本不等式a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取到等号
同理，b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取到等号；
a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取到等号；
2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca
即a2+b2+c2>ab+bc+ca
当a=b=c时，a2+b2+c2=ab+bc+ca
综上所述，a2+b2+c2≥ab+bc+ca
当且仅当a=b=c时取到等号。
【师生活动二】总结使用基本不等式的注意点：
（1）是否均为正数
（2）不等号的方向
（3）等号是否能够取到
【师生活动三】练一练：
1、已知x，y为整数，求证：（x+y)（x2+y2）（x3+y3)≥8x3y3
(x>0,a>0)在x=3时取得最小值，求a的值。
2、已知函数f(x)=4x+a
x
【师生活动四】基本不等式的推广：
1、
2、当ab >0时，b
a
+a b
≥2，当ab ＜0时，b
a
+a b
≤−2. 3、对于实数a 1，a 2，⋯a n >0，a 1+a 2+⋯+a n
n
≥√a 1a 2⋯a n n （当且仅当a 1= a 2=
⋯=a n ）
【环节四：归纳总结，梳理提升】
【师生活动】对本堂课所学知识进行梳理总结，对本堂课用到的解题思路以及易错点再做强调。
【设计意图】使学生再次温习本堂课所学内容，理解重点，突破难点。
【环节五：分层作业，巩固练习】 【师生活动】根据习题难易，分层布置作业
20,0,2
ab a b
a b a b a b +>>≤≤≤
+=若则当且仅当时取等号。