3.4基本不等式教学设计

《基本不等式》教学设计

一、教材分析

本节课出自普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修五第三章第四节《基本不等式》的第一课时。本节课是在学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习打下基础， 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，学好基本不等式非常重要。

二、学情分析

本节授课对象是高一学生，学生已经学习了不等关系和不等式的性质，在初中学习了和的完全平方公式基础上，引导学生探究基本不等式并进行应用，高一学生学习热情高涨，探索知识兴趣强，但对数学知识迁移和类比的能力还亟待提高，运算能力也不强，探索发现能力也需进一步提高。 三、教学目标 1、知识与技能

（1）掌握基本不等式，了解推导过程；

（2）运用基本不等式解决一些简单的求最值问题和证明问题； 2、过程与方法

(1)通过运算，推导，小组合作探究基本不等式；

(2)通过观察，分析，探究基本不等式性质，通过实际应用解决问题； 3、情感、态度与价值观

(1)体验类比思想在探究数学知识时的重要意义与价值； (2)培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯； (3)感受学习数学、探索发现的乐趣与成就感。

四、教学重难点

重点：基本不等式及应用和证明； 难点：运用基本不等式应用解题。 五、教法与学法

教法：应用启发式教学，以学生为主体，引导学生在自主探究过程中经历类比发现、归纳、演绎推理等过程，体会类比和数形结合的思想。同时利用PPT 辅助教学。

学法：应用探究式学法，引导学生自主探索，探究向量的表示方法，合作学习，理解和掌握基本不等式。 六、教学过程

【环节一：巧设疑云，导入新课】

【师生活动一】回顾：求函数f （x ）=x +1

x 在（0，+∞）上的最小值 提示：证明函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；

【师生活动二】请学生重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD 的面积S 和里面的四个小三角形面积之和S ’的大小，有怎样的不等关系？

我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，正方形的面积为222b a S +=。

由图可知12S S >，即ab b a 222>+．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

【师生活动三】先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形， 再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）． 假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a ≥）

【设计意图】通过实际问题情境引入，使学生带着问题进入新课，激发学生的学习兴趣。

【环节二：深入学习，探究新知】

【师生活动一】特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？

),(02

>+≤

b a b

a a

b 【师生活动二】用分析法证明基本不等式 证明：（分析法）：由于+∈R b a ,，于是要证明 ab b

a ≥+2

， 只要证明 ab b a 2≥+，

即证 02≥-+ab b a ，即 0)(2≥-b a ， 所以

ab b

a ≥+2

，（当b a =时取等号）

【师生活动三】 探究基本不等式的几何意义

借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式

)0,(2>+≤

b a b

a a

b 的

几何解释，通过数形结合，赋予不等式

)0,(2>+≤

b a b

a a

b 几何直观。进一步领

悟不等式中等号成立的条件。

CD=

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，ab Array

几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

【师生活动四】求解引入问题

在（0，+∞）上的最小值

试用基本不等式求函数f（x）=x+1

x

【设计意图】以学生为主体，引导学生探究。学生通过自己阅读书本内容，同时通过小组讨论自主学习，有利于学生理解零向量和单位向量概念，同时培养合作学习意识。

【环节三：应用所学，解决问题】

【师生活动一】例1、已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca 解：利用基本不等式a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取到等号

同理，b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取到等号；

a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取到等号；

2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca

即a2+b2+c2>ab+bc+ca

当a=b=c时，a2+b2+c2=ab+bc+ca

综上所述，a2+b2+c2≥ab+bc+ca

当且仅当a=b=c时取到等号。

【师生活动二】总结使用基本不等式的注意点：

（1）是否均为正数

（2）不等号的方向

（3）等号是否能够取到

【师生活动三】练一练：

1、已知x，y为整数，求证：（x+y)（x2+y2）（x3+y3)≥8x3y3

(x>0,a>0)在x=3时取得最小值，求a的值。2、已知函数f(x)=4x+a

x

【师生活动四】基本不等式的推广：