学第二学期浙江省名校协作体联考高三级数学学科试题(月G联考)
浙江省天域全国名校协作体2024届高三下学期二模数学试题含答案
2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题（答案在最后）命题学校：考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}=1,2,3M ，{}=0,1,2,3,4,7N ，若M A N ⊆⊆，则满足集合A 的个数为（）A.4B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A 即可得解.【详解】因为M A N ⊆⊆，所以A 可以是{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,0,1,2,3,7,1,2,3,0,4,1,2,3,0,7,1,2,3,7,4,1,2,3,0,4,7，共8个，故选：D2.抛物线2:6C y x =的焦准距是（）A.112B.16C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线标准方程求出p 即可得解.【详解】2:6C y x =化为标准方程为216x y =，所以126p =，112p =，即焦点与准线的距离为112p =，故选：A3.在正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =1AA 的长为2，则此正三棱台的体积为（）A.212 B.74C.214D.72【答案】C 【解析】【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积．【详解】正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =所以ABC 的面积为1224=，111A B C△的面积为122⨯=，设O ，1O 分别是ABC ，111A B C △的中心，设D ，1D 分别是BC ，11B C 的中点，A ∴，O ，D 三点共线，1A ，1O ，1D 三点共线，π33sin 322AD AB =⨯==，1111π3sin 332A D AB =⨯==，1132OD AD ∴==，1111113O D A D ==，12DD ===，过D 作11DE A D ⊥，垂足为E ，则1//DE OO ，DE === ∴三棱台的高为∴三棱台的体积为121(344V =++=．故选：C ．4.628log 3x ⎛⎝⎭展开式的常数项为（）A.512B.512-C.136D.136-【答案】A 【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项．【详解】展开式的通项公式为()()(66212316868C log 3C log 3rr r r r r rr T x x---+⎛=⋅⋅-=⋅⋅⋅ ⎝⎭，令1230r -=，解得4r =，所以常数项为()(242445686231115C log 3C log 3log 215323612T ⎛⎫=⋅⋅=⋅⨯=⨯=⎪⎝⎭.故选：A.5.已知()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=（）A.16-B.13-C.16D.13【答案】B 【解析】【分析】根据余弦两角和公式将()cos αβγ++展开成角αβ+与γ的两角和形式与α与βγ+的两角和形式，建立等式关系结合已知等式即可得结论.【详解】因为()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，又()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，所以()()cos cos sin sin αβγαβγ+-+()()cos cos sin sin αβγαβγ=+-+，因为()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=-.故选：B.6.为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A.1.4B.1.45C.1.5D.1.55【答案】B 【解析】【分析】利用分层随机抽样的均值与方差公式即可解决.【详解】由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为40601008910200200200x =⨯+⨯+⨯9.3=，该校学生每天学习时间的方差为()22400.589.3200s ⎡⎤=⨯+-⎣⎦()2600.899.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦()21001109.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦ 1.45=.故选：B7.已知函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∈+∞且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若2155n a f n n ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，*n ∈N ，则1232024a a a a ++++= （）A.253385f ⎛⎫⎪⎝⎭B.253380f ⎛⎫⎪⎝⎭C.253765f ⎛⎫⎪⎝⎭D.253760f ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭将21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再用裂项相消法求1232024a a a a ++++ 的值.【详解】∵函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∞∈+且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴令2,3x n y n =+=+，则()()()()2231112355n n x y xy n n n n +-+-==--++++，∴21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1232024111111344520262027a a a a f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭113202725332027132027760f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为：2111.5523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数1cot tan θθ=，正割函数1sec cos θθ=，余割函数1csc sin θθ=，正矢函数sin 1cos ver θθ=-，余矢函数cos 1sin ver θθ=-.如图角θ始边为x 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P ，A 、B 分别是单位圆与x 轴和y 轴正半轴的交点，过点P 作PM 垂直x 轴，作PN 垂直y 轴，垂足分别为M 、N ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线分别交θ的终边于T 、S ，其中AM 、PS 、BS 、NB 为有向线段，下列表示正确的是（）A.sin ver AM θ=B.csc PS θ=C.cot BS θ=D.sec NBθ=【答案】C 【解析】【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知sin =MP θ，cos OM θ=，tan =AT θ，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.【详解】根据题意，易得OMP OAT SBO PNO V :V :V :V ，对于A ，因为1cos 1OM MA θ-=-=，即sin ver MA θ=，故A 错误；对于B ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，11csc sin BO OS OS MP MP OPθθ=====，故B 错误；对于C ，11cot tan tan BS OSBθθ===∠，故C 正确；对于D ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得11sec cos OA OTOT OM OM OPθθ=====，故D 错误.故选：C.【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，则下列说法正确的是（）A.1//AD 平面BEFB.1B C ⊥平面BEFC.异面直线11B D 与EF 所成角为60°D.平面BEF 截正方体所得截面为等腰梯形【答案】ACD 【解析】【分析】于A ，连接1AD ，利用三角形中位线证得1//AD EF ，结合线面平行判定定理即可判断A ；对于B ，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，设正方体棱长为2，根据线段长度结合勾股定理判断QE 与BE 是否垂直，即判断1B C 与BE 是否垂直，从而可判断B ；对于C ，连接11,AD B A ，根据正方体的面对角线性质，即可得异面直线11B D 与EF 所成角的大小，从而判断C ；对于D ，连接111,,AD BC C F ，确定截面完整图形为四边形1BEFC ，再计算其四边长度与位置关系，即可判断D.【详解】对于A ，如图，连接1AD ，因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//AD EF ，又1AD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以1//AD 平面BEF ，故A 正确；对于B ，如图，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//AB CD A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//BC AD ，又,QE 分别为1AA ，1A D 中点，则1//QE A D ，故1//B C QE ，设正方体棱长为2，则BE BQ QE ======，故222QE BE BQ +≠，所以QE 不垂直于BE ，故1B C 不垂直于BE ，又BE ⊂平面BEF ，所以1B C 不垂直平面BEF ，故B 错误；对于C ，如图，连接11,AD B A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111AB B D AD ==，即11AB D 为正三角形，又因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//EF AD ，故异面直线11B D 与EF 所成角即为1160B D A ∠=︒，故C 正确；对于D ，如图，连接111,,AD BC C F ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//C D AB C D AB =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，又1//EF AD ，所以1//EF BC ，所以1,,,B E F C 四点共面，故平面BEF 截正方体所得截面为四边形1BEFC ，设正方体棱长为2，则112BE C F ====所以11,C F BE EF BC =≠，又1//EF BC ，故截面为四边形1BEFC 为等腰梯形，故D 正确.故选：ACD.10.已知正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为自然数，则满足0x y za b b c c a++>---恒成立的x ，y ，z 可以是（）A.1x =，1y =，4z =B.1x =，2y =，5z =C.2x =，2y =，7z =D.1x =，3y =，9z =【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到2x y a b b c a c+≥---，进而得到只需2z >即可，再依次判断四个选项即可.【详解】要满足0x y z a b b c c a ++>---，只需满足x y za b b c a c+>---，其中正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为正数，()()a b b c x y x y a b b c a c a b b c -+-⎛⎫+=+ ⎪-----⎝⎭()()()()()()b c x a b y x y a c a b a c a c b c a c--=+++------x y a c a c≥++--2x ya c a c a c+=+=---，当且仅当()()()()()()b c x a b y a b a c a c b c --=----，即()()22b c x a b y -=-时，等号成立，观察各选项，故只需2z a ca c+>--，故只需2z >即可，A 选项，1x =，1y =，4z =时，24=，A 错误；B 选项，1x =，2y =，5z =时，235=+，B 正确；C 选项，2x =，2y =，7z =时，287=>，C 正确；D 选项，1x =，3y =，9z =时，249=+，D 错误.故选：BC.11.已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<左右两个焦点分别为1F 和2F ，动直线l 经过椭圆左焦点1F 与椭圆交于,A B 两点，且228AF BF +≤恒成立，下列说法正确的是（）A.b =B.[]4,6AB ∈C.离心率2e =D.若OA OB ⊥，则2211518OAOB+=【答案】AB 【解析】【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得b ，由椭圆性质可得[]4,6AB ∈，且离心率33e =，联立直线和椭圆方程可知当OA OB ⊥，方程无解，因此D 错误.【详解】如下图所示：易知3a =，由椭圆定义可知22412AB AF BF a ++==，因为228AF BF +≤恒成立，所以4AB ≥，当AB x ⊥轴，即AB 为通径时，AB 最小，所以2min 24b AB a==，解得b =，所以A 正确；当AB 为长轴时，AB 最大，此时26AB a ==，所以[]4,6AB ∈，即B 正确；可得椭圆方程为22:196x y C +=，易知c ==3c e a ==，即C 错误；因为()1F ，可设直线l的方程为x my =()()1122,,,A x y B x y ，联立22196x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()2223120m y +--=，因此12122212,2323y y y y m m +==-++；若OA OB ⊥，可得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，所以()()21212130m y y y y +-++=；整理得2610m +=，此时方程无解，因此D 错误.故选：AB非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1i +与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA 与OB夹角为__________.【答案】45°（或π4）【解析】【分析】根据复数的几何意义、向量夹角公式运算得解.【详解】根据题意，()1,1OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB ⋅∴==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，又0,πOA OB ≤≤ ，所以向量OA 与OB 的夹角为π4.故答案为：o 45（或π4）.13.将函数()cos 2g x x =的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移π4得到函数()y h x =的图象，若函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，其中π02α-<<，则sin α的值为__________.【答案】255-##【解析】【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到()h x ，再根据题意，由()()1h g αα+=求解.【详解】解：由题意得：()2sin 2h x x =，因为函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，所以2sin 21cos 2αα+=，即22224sin cos sin cos cos sin αααααα++=-，整理得()2sin 2cos sin 0ααα+=，因为π02α-<<，所以2cos sin 0αα+=，又因为22sin cos 1αα+=，所以sin 5α=-，故答案为：255-14.如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O 的一段圆弧E ，且弧E 所对的圆心角为4π5.设圆C 的圆心C 在点O 与弧E 中点的连线所在直线上.若存在圆C 满足：弧E 上存在四点满足过这四点作圆O 的切线，这四条切线与圆C 也相切，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：2π1cos54=）【答案】(【解析】【分析】设弧E 的中点为M ，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆O 的位置，分析可得弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离.【详解】如图，设弧E 的中点为M ，弧E 所对的圆心角为4π5，圆O 的半径1OM =，在弧E 上取两点,A B ，则4π5AOB ∠≤，分别过点,A B 作圆O 的切线，并交直线OM 于点D ，当过点,A B 的切线刚好是圆O 与圆C 的外公切线时，劣弧AB 上一定还存在点,S T ，使过点,S T 的切线为两圆的内公切线，则圆C 的圆心C 只能在线段MD 上，且不包括端点，过点C ，分别向,AD BD 作垂线，垂足为,R P ，则CR 即为圆C 的半径，设线段OC 交圆C 于点N ，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离即为线段MN 的长度.在Rt AOD中，12πcos 51cos cos 254OAOA OAOD AOB AOD ==≤==∠∠，则11011MN OC OM CN OC CR OD =--=--<--=-=即弧E 上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为(.故答案为：(.【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：相离的两个圆（圆心分别为1O 和2O ,半径分别为R 和r ）上的两个动点之间的距离L 的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即min 12max 12,L O O R r L O O R r =--=++.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913.【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）方法一：找出直线AC 1与平面ABB 1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，即有111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C =，由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，即有111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，因此1AB ⊥平面111A B C .［方法二］：向量法如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,,1,0,0,0,4,1,0,2,0,,A B A B C因此111112),(1,2),(0,3)AB A B A C ==-=-,由1110AB A B ⋅= 得111AB A B ⊥；由1110AB A C ⋅=得111AB AC ⊥，所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）［方法一］：定义法如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由111111B C A B A C ===得111111cosC A B C A B ∠=∠=，所以1C D =，故111sin 13C D C AD AC ∠==.因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法二］：向量法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由(I)可知11(0,(0,0,2)AC AB BB ===,设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =.由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取(n = ，所以111sin cos ,13||AC n AC n AC n θ⋅===⋅ .因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法三］：【最优解】定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，点1C 到平面1ABB 距离为d （下同）．因为1C C ∥平面1ABB ，所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离．由条件易得，点C 到平面1ABB 的距离等于点C 到直线AB 的距离，而点C 到直线AB，所以d =1sin 13d AC θ===．［方法四］：定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，由条件易得111111A B B C AC ===，所以2221111111111111cos 25A B B C AC A B C A B B C +-∠==-⋅，因此11115sin 5A B C ∠=．于是得11111111111sin 2A B C S A B B C A B C =⋅⋅∠=△，易得114AA B S =△．由111111C AA B A A B C V V --=得1111111133AA B A B C S d S AB ⋅=⋅△△，解得d =故139sin 13d AC θ===．［方法五］：三正弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，易知二面角11C AA B --的平面角为6BAC π∠=，易得11sinC AA ∠=，所以由三正弦定理得11139sin sin sin 213C AA BAC θ=∠⋅∠==．［方法六］：三余弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，如图2，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，易得CG ⊥平面1ABB ，所以CG可看作平面1ABB 的一个法向量．结合三余弦定理得1139sin cos ,cos cos 13AC CG C AC GCA θ=〈=∠⋅∠=〉=．［方法七］：转化法＋定义法如图3，延长线段1A A 至E ，使得1AE C C =．联结CE ，易得1EC AC ∥，所以1AC 与平面1ABB 所成角等于直线EC 与平面1ABB 所成角．过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，联结GE ，易得CG ⊥平面1ABB ，因此EG 为EC 在平面1ABB 上的射影，所以CEG ∠为直线EC 与平面1ABB所成的角．易得CE =，CG =，因此39sin 13CG CEG CE ∠===．［方法八］：定义法＋等积法如图4，延长11,A B AB 交于点E ，易知2BE =，又2AB BC ==，所以AC CE ⊥，故CE ⊥面11AA C C ．设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由1111E AA C C AA E V V --=得1111113232AA AE h AA AC CE ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，解得h =又1AC =，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，所以sin 13θ==．【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；方法二：通过建系，根据数量积为零，证出；（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；方法二：根据线面角的向量公式求出；方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．16.欧拉函数()()*Nn n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=，()84ϕ=，数列{}n a 满足()()*2N n n a n ϕ=∈.（1）求1a ，2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记()222log 1nnn na b a =-，求数列{}n b 的前n 和n S .【答案】（1）11a =，22a =，34a =，12n n a -=（2）()620625254n nn S +=-+⨯-【解析】【分析】（1）根据题意理解可求1a ，2a ，3a ，结合与2n 互素的个数可求数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】由题意可知()121a ϕ==，()242a ϕ==，()384a ϕ==，由题意可知，正偶数与2n 不互素，所有正奇数与2n 互素，比2n 小的正奇数有12n -个，所以()122nn n a ϕ-==；【小问2详解】由（1）知()122nn n a ϕ-==，所以()221222nn n a ϕ-==，所以()()()()()21222212log log 2211112142244nn nn n n n n n n a b n n a --⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎝⎭，12n n S b b b =+++ ，所以()()12111112646424444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()2311111126464244444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②所以①－②得()12151111244244444n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++---⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111641144212414n n n -+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+⨯--⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()()1111111320614225441054n n n n n -++⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-+----⨯-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯-⎢⎥⎣⎦，所以()620625254n nn S +=-+⨯-.17.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）22132x y -=（2）证明见解析，()-【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 的方程组求出22,a b 得解；（2）设直线1l的方程为(y k x =+，可得2l的方程(1y x k=-+，分别与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点,M N 的坐标，表示直线MN 的方程，令0y =求得x 是定值.【小问1详解】设双曲线C 的两渐近线方程分别为by x a=，b y x a =-，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc --+⨯==，由题意可得：22222229465941a b c b a a b ⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得23a =，22b =，所以双曲线C 的方程为22132x y -=.【小问2详解】设直线1l的方程为(y k x =，由1l ，2l 互相垂直得2l的方程(1y x k=-，联立方程得(22132y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消y 得()2222231560k x x k ----=，0∆>成立，所以212235223M x x x k +==-，(22523M M y k x k=+=-，所以点M 坐标为2223525,2323k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭，联立方程得(221132y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以342223N x x x k +==-，(2123N N y x k k -=-=-，所以点N坐标为22,2323k k ⎛⎫- ⎪ ⎪--⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上，直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x --=--，则当0y =时，222222222323232325252323M N N M N M x y x y k k k k x y y k k -⋅-⋅-==----，所以直线MN恒过定点，定点坐标为()-.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法再联立双曲线方程从而解出点,M N 的坐标，再得到直线MN 的方程，最后令0y =即可得到其定点坐标.18.定义{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知函数(){}3max ln ,41f x x x mx =-+-，其中R m ∈.（1）当5m =时，求过原点的切线方程；（2）若函数()f x 只有一个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）e 0x y -=或20x y -=（2）3m <或5m >【解析】【分析】（1）当5m =时，求出()f x ，利用导数的几何意义得出切线斜率，即可求切线方程；（2）对m 分类讨论，根据函数只有一个零点，结合函数的单调性分别分析求出m 的取值范围.【小问1详解】由题意知()f x 定义域()0,∞+，当5m =时，()333451,451ln ln ,451ln x x x x x f x x x x x ⎧-+--+-≥=⎨-+-<⎩，令()3451g x x x =-+-，()21250012g x x x '=-+>⇒<<，()g x ⇒在0,12⎛ ⎝⎭单调递增，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()10g =，令()ln h x x =，则在()0,∞+单调递增，而()()101f h ==，又13416g ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 144h ⎛⎫=<- ⎪⎝⎭，而()01g =-，所以当104x <<时，()()>g x h x ，当114x ≤<时，()()0g x h x >>，所以当01x <<时，()()f x g x =，当1x ≥时，()()f x h x =，所以()3451,01ln ,1x x x f x x x ⎧-+-<<=⎨≥⎩，所以()f x 在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，在,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减.（ⅰ）当01x <<时，()2125f x x '=-+，设切点()3000,451M x x x -+-，则此切线方程为()()230000125451y x x x xx =-+--+-，又此切线过原点，所以()()23000001250451x x x x =-+--+-，解得012x =，即此时切线方程是20x y -=；（ⅱ）当1x ≥时，()ln f x x =，所以()1f x x'=，设切点为()00,ln x x ，此时切线方程()0001ln y x x x x =-+，又此切线过原点，所以()000100ln x x x =-+，解得0e x =，所以此时切线方程e 0x y -=，综上所述，所求切线方程是：e 0x y -=或20x y -=；【小问2详解】（ⅰ）当5m =时，由（1）知，()f x在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()01f =，130416f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10f =，此时()f x 有两个零点；（ⅱ）当5m >时，当01x <<时，3345141x x x mx -+-<-+-，由（1）知：()3451g x x x =-+-在0,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭递增，12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递减，且()10g =，所以60,12x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x >，而()01f =-，所以()f x在0,12⎛ ⎪⎝⎭只有一个零点，,12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭没有零点；（ⅲ）当05m <<时，341y x mx =-+-，此时2120y x m '=-+>得012x <<<，由（1）知，当1x ≥时，()ln f x x =只有一个零点1x =，要保证()f x 只有一个零点，只需要当01x <<时，()341f x x mx =-+-没有零点，34110901f m ⎧⎛⎛⎪=-+-=-< ⎪⎝⎝⎨⎪<<⎪⎩，得03m <<；（ⅳ）当0m ≤时，当()0,x ∈+∞时，()3410g x x mx =-+-<，此时()f x 只有一个零点1x =，综上，()f x 只有一个零点时，3m <或5m >.【点睛】关键点点睛：通过对m 的分类讨论，得出()f x 解析式，再由函数的单调性，结合函数只有一个零点，分别分析或列出不等式求m 的范围，解题过程较繁琐.19.甲、乙两人进行知识问答比赛，共有n 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为p 和13，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.（1）若3n =，12p =，求甲获胜的概率；（2）若20n =，设甲第i 题的得分为随机变量i X ，一次比赛中得到i X 的一组观测值()1,2,,20i x i = ，如下表.现利用统计方法来估计p 的值：①设随机变量11ni i X X n ==∑，若以观测值()1,2,,20i x i = 的均值x 作为X 的数学期望，请以此求出p 的估计值 1p ；②设随机变量i X 取到观测值()1,2,,20i x i = 的概率为()L p ，即()L p ()11222020,,,P X x X x X x ==== ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着p 的变化，用使得()L p 达到最大时p 的取值 2p 作为参数p 的一个估计值.求 2p .题目12345678910得分100﹣111﹣1000题目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1：甲得分的一组观测值.附：若随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 都存在，则()()()E X Y E X E Y +=+.【答案】（1）539864（2）①135p =；② 235p =【解析】【分析】（1）根据甲抢到题目数，分类讨论利用条件概率和全概率公式求解.（2）①由公式计算的数学期望与观测值的均值x 相等，可求出p 的估计值 1p ；②由概率()L p 的表达式，利用导数求取最大值时时p 的取值.【小问1详解】记甲获胜为事件A ，甲抢到3道题为事件3A ，甲抢到2道题为事件2A ，甲抢到1道题为事件1A ，甲抢到0道题为事件0A ，则()331128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()322313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()311313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()301128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()322331111|C 12222P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()212211117|C 11222312P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1122211222|21233332333P A A ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3210321220|C 33327P A A ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()()()()()()()33221100||||P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+++1137321205398281283827864=⋅+⋅+⋅+⋅=.【小问2详解】①()12i p P X ==，()102i P X ==，()112i p P X -=-=，所以()11211012222i p p p E X --=⨯+⨯-⨯=；因为()()1111111212122n n ni i i i i i p p E X E X E X E X n n n n n ===--⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，由表中数据可知110x =，所以1211210p -=， 135p =.②因为()1,2,,20i X i = 取值相互独立，所以()()()()()1122202011222020,,,L p P X x X x X x P X x P X x P X x ======== ()()()6104610411101222i i i p p P X P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()10546310531111135322222222222p p p p p p p L p ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；令()0L p '=得35p =，又01p <<，所以当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '>，()L p 单调递增；当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '<，()L p 单调递减；即当35p =时()L p 取到最大值，从而235p =.【点睛】方法点睛：正确提取题干中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
学年第二学期浙江省名校协作体联考高三年级数学学科试题 G 联考
浙江省名校协作体2019届高三第二学期联考数学一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A ??x | ?2 ?x ? 3?，N 是自然数集，则A∩N ?( ▲ )A、??2，?1，0，1，2?B、?0，1，2，3?C、?0，1，2?D、?1，2?2.二项式6 xx ⎛-⎪⎝⎭的展开式中的常数项是( ▲ )A、?15B、15C、?20D、203.设?，?，?是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( ▲ )A、若???，???，则???B、若???，m ??，则m / /?C、若?/ /?，m ??，m / /?，则m / /?D、若m / /?，n / /?，???则m ?n4.将函数y ? sin 2x 图像沿x 轴向左平移???? 0?个单位得到函数sin（2x＋3π）的图像，则?的最小值为( ▲ )A．6πB．3πC．56πD．23π5.函数f ?x???x2? 2?ln｜x｜的图像为( ▲ )6.非零实数x，y 满足｜x ?y｜?｜xy｜?｜x ?y ?xy｜的充要条件是( ▲ )A、x ?y ? 0B、xy ? 0C、?x ?y?xy ? 0D、?x ?y?xy ? 07.不等式组040(0)x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是9， 则 m 的值是 ( ▲ )A 、8B 、6C 、4D 、18.连续掷一枚质地均匀的骰子3次， 各次互不影响， 记?出现6点的次数．则D （?） ? ( ▲ )A ．16B ．12C ．156D ．5129.若平面向量a ，b ，e 满足｜a ｜? 2，｜b ｜? 3，｜e ｜?1， 且 a ?b ? e ??a ? b ??1? 0， 则｜a ?b ｜的最小值是 ( ▲ ) A 、1 B 、1343- C 、1243- D 、710.在三棱锥 S ? ABC 中， ?SCA ? ?，?ACB ? ? ?? ， SB 与AC 所成的角为? ，下列判断一定正确的是 ( ▲ )A 、?≥?B 、?≤?C ．? ?? ?2πD ．? ?? ?2π二、 填空题（本大题共 7 小题， 多空题每题 6 分， 单空题每题 4 分， 共 36 分， 把答案填在题中横线上）11.若复数121iz i i -=-+，则 z 的虚部为 ▲ ，｜z ｜? ▲ ．12.已知直线 l 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线， F 1，F 2 是双曲线 C 的左、 右焦点， 点 F 1关于直线 l 的对称点在双曲线 C 的另一条渐近线上， 则双曲线 C 的渐近线的斜率为 ▲ ， 离心率 e 的值为 ▲ ．13.某几何体的三视图如右图所示，（数量单位是 cm ） ， 则它的体积是 ▲ cm 3， 表面积是 ▲ cm 2 ．第14题14.四面体S ?ABC 中，SA ?面ABC ，H 是?SBC 的垂心，且AH ?面SBC ，则三对对棱SA与BC ，SB 与AC ，SC与AB 中互相垂直的有▲ 对；若H 也是?SBC 的重心，则二面角S ?BC ?A 的正弦值为▲ ．15.某校高一（16）班有5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，若每位同学只能参加一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加，则共有▲ 种不同的报名方法（用数字作答）．16.若P?x0，y0 ?是抛物线C1 : y2 ? 4x上的点，过点P作射线PAB，交圆C2 :?x ? 4?2?y2?1于A，B两点，且｜PA｜? 2｜AB｜，则x0的取值范围是▲ ．17.若正数a，b，c满足a2?b2?c2?ab ?bc ? 1，则c的最大值是▲．三、解答题（本大题共 5 小题，共74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.三角形ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin2 B ?sin2C ? 2 sin B sin C ? sin2 A ．（1）求角A的大小；（2）若?ABC的面积S ?1，求a的最小值．19.四棱锥P ?ABCD的底面为菱形，AB ? 4，?ABC ? 60°，M 为PB的中点，N 为BD上一点，且BN ?13ND．若PA ?PC ? 5，PB ?21。
浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学考试 数学 含答案
2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1本卷满分150分，考试时间120分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效：4考试结束后，只需上交答题卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）已知全集U=R,A={xl x.. o},B={xl-l<x<l}，则{xi-I<x<O} = ( )A.Au B B（炉）＾B c.A^（研） D.6u(AnB)2已知复数Z满足z=—-，则Z·Z=( )1-iA.-2B. 2iC.fi_D.2cosO-sin0 7t=2,则tan(e-�)=c)3已知cos0+sin0A.-2B.2C.--D.-2 24柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录如图所示；这是用柳条编织的圆台形米斗，上底直径30cm,下底迎径20cm,高为30cm,则该米斗的容积大概为（A.9升B.15升C.19升D.21升5有一组数据：1,1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4,去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是(A平均数B众数C中位数D极差6已知a>l,b>O,若抎＋log2a= b + log2b，则（）A.a>2bB.a<2bC.a>扩D.a<b27已知正项数列{a,，}满足生＝3a1,S,，为{a,,｝的前n项和，则”{a,，}是等差数列“是＂J芍为等差数列＂的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8已知平面向量a,b满足lal= l,(b,a +b) A.2 B.✓2+ 1 C. ✓3+1 D.3冗飞，则位－b|的最大值为（）二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．兀9．已知x=－为函数f(x)=si n2x+acos2x的一个极大值点，则（）6A函数f(x)的值域为(-2,2]B函数y=f(x－王）为奇函数12c．曲线y=f(x)关于直线x=－？对称D函数y=f(x)叶子门上单调递增10．三棱锥P-ABC各顶点均在半径为2的球0的表面上，AB=AC=2，乙BAC=90,二面角P-BC-A的大小为45,则下列结论正确的是()A．直线OA/／平面PBC2拉B三棱锥0-ABC的体积为－－－3c．点0到平面PBC的距离为1D点P形成的轨迹长度为2✓37tII．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量X,根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数n,寿命恰好为n的植物在所有寿命不小千n的柏物中的占比为10%记“一株植物的寿命为r1”为事件九，“一株植物的寿命不小于n,＇为事件B,，则下列结论正确的是（A. P(A2) =0.01B. P(B11) = 0.9n-iC设a n= P(A,,) B2)，则{a,,}为等比数列IID设S n=nP区），则I:s k< 10k=I三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．l x12已知正实数从Y满足x+2y=I,则一十一的最小值为X)'X13已知R,F2分别是双曲线C:—-�=l(a > O,b >0)的左右焦点，P是圆X Z+ y2 = C Z与C的渐近线的a2 b2一个交点，若2乙P�F2＝乙PF2�，则双曲线C的离心率为14已知函数f(x):n.x,x>0，若函数g(x)=f(f(x)）－可(x)+]有唯一零点，则实数0的取值范围是一一x,x<O,X四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（本小题满分13分）已知”ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=2bcosC(I)判断�.A BC的形状；(2)若µ,A BC的外接圆半径为1，求＾ABC周长的朵大值16（本小题满分15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A,D分别为RB,RC的中点，BC=BR=4,将...RAD沿AD折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD,RB（l)若M为PC的中点，求证：DM/／平面PAB;2 (2)若平面PAD上平面ABCD,点E在线段BC上，平面PDE与平面ABED夹角的余弦值为－，求线3段BE的长17（本小题满分15分）甲乙丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜,乙与丙比赛时，乙获胜的概率为P3的概率为P2(I)若p l=p2 =p3=0.5，求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望：(2)若p1+p3>l，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略18（本小题满分17分）已知过点(1,0)的归线与抛物线E:y2 =2px(p >0)交于A,B两点，O为坐标原点，当且线A B垂直于X轴时，A OB的面积为五(I)求抛物线E的方程；(2)若0为A BC的巫心，直线AC,B C分别交））轴于点M,N,记�M CN,�A O B的面积分别为S"S2, s 求-一的取值范围s19.（本小题满分17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合A={l,2,...,n},nEN十的函数称为n次置换满足对任意iEA，几）＝l的置换称作恒等置换所有n次置换组成的集合记作S,，对千f(i)ES,,,我们可用列表法表示此置换：兀）＝［ 1 2心］，记f(l) f(2)f (i) =I'(i),t(f (i)) =/2 (i),1(12 (i)) =/3 (i), ,f(广(i))=f飞），i EA,k EN+．(I)若f(l)E&，几）＝（：： 1 3 :），计算广(l)(2)证明对任意/(i)ES4,存在kEN+，使得广(i)为恒等置换，(3)对编号从．1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，，依次类推这样橾作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I:： [ 1:［ ［1:I:[ [ I二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分JO杻CD1答案I BC I BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.1+2✓2 13.2 514.a =-－或－1,,a< l4四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解析】(l)因为a=2bcosC,所以sinA= 2sinBcosC,所以sin(B + C) = 2sinBcosC,所以sinBcosC+ c osBsinC = 2sinBcosC,所以sinBcosC-cosBsinC = 0,即sin(B-C)=O,因为B-C云(-7t,7t），所以B=C:所以,t,.ABC为等腰三角形：(2)由题意可知a=2sinA,b =2sinB, c = 2sinC = 2sinB,所以ABC的周长为：a+b+c =2<;inA+4sinB =2sin(n-28)+4sinB =2sin28+4sinB,设f(B) =2sin28+4sin8, B十彗+ 4cosB =8cos2 B + 4cosB-4 = 4(cosB + 1)(2cosB-l),则/'(B)= 4cos2B所以当BE（吁］时，cosB>沪'(B)> O,f (B)单调递增当B E(巴卫]时,cos B<』,＇B3 2) - 2 f'(B) <0,/(B)单调递减兀所以当B＝一时，．f(B)取到最大值3✓3'3所以周长的最大值为3./3.16.【解析】(I)取PB中点N,连接AN,MN,1则MNII BC,且MN=�BC,2因为A,D分别为R B,R C的中点，1所以ADIi BC,且AD=－BC,2所以ADIi MN且AD=MN,所以四边形ADMN为平行四边形，所以DM II AN,又ANc平面PAB,DMc;:.平面PAB,所以DM/／平面PAB(2)因为平而PAD..L平面ABCD,平而PAD＾平而ABCD=AD,D,所以AB..L平面PAD,又D,所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y立轴建系，设B E=t,则P(0,0,2),D(0,2,0),E(2,t,0),所以PD=(0,2,-2),DE=(2,t-2,0),设n=(x,y,z)为平面P DE的法向量，则{n P D=0，即｛2y-2z=0 n·D E=O'�,·p x+(t-2)y=O'令y=2得n=(2-t,2,2)易知平面ABED的法向量为m=(0,0,1),设平面PDE与平面ABED的夹角为0,则cos0= !cos(ii，利＝2 2＝－ 扣－t）2+4+43'解得t=l或t=3,故BE=l或317.【解析】(I)由题意可知，X的取值可能为4,6,8P(x=4) =0.5x0.5x2=0.5;P(x=6) =0.5x0.5x0.5x2 =0.25;P(x =8) = 0.5x0.5x0.5x2= 0.25;所以三人总积分X的分布列为x 4 6 8p 0.5 0.25 0.25所以EX=0.5x4+0.25x6+0.25x8 =5.5.(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜“,B为“第一局乙对甲最终乙获胜“,C为“第一局甲对丙而最终乙获胜＂，则有：P(A)=A(l-P i)+p孔(l-p2)p3+（l-p3队(l-p l)p”P(B) =(1-p,)PJ +(l-P i)(1-A)P i(l-P i)+ P, (1-Pi)A (l-P,);P(C)= P i(l-p,)PJ +(l-P2趴(1-Pi) =A(1-P i);显然P(B)>P(C);P(A)-P(B) =A P, (1-Pi)A +(l-PJ)P2 (1-P1)PJ -(l-P1)(l-PJ)P2 (1-P,)-P, (1-P2)A (1-P,)= (Pi + P :1 -l) P i (1-P 2) p 3 + (Pi + P :1 -l) (l -p 3屈(l-p l )=(p, + PJ -l)[P , (1-P i ) P 3 +(1-PJ 队(1-p ,)]>0所以P (A )>P (B );故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局18【解析】(I)由题意可知，SAOB =1x 2l x2痴＝石，所以p =1,所以抛物线E 的方程为l =2x(2)设A (xl,y l ),B (乓,A ),C(X:i,),3），因为0为，AB C 的重心，所以X 1+x2＋X':i = (), s AOB = s AOC = s BOC ;因为SMO C ＝巴生－X 3,s /1,，oc＝四＝飞s AOC IACx ,-X:J ,S 80C l8CI X 2 -X 3且S .,.,,oc+SNoc飞，S AOC = S BOC = S 2 ;所以江二立十二土＿＝x 1 +x 2 + X 1 +x 2 = 3(x 1飞）2＝ 3(x 1飞）2s 2x 1 -X 3 x 2 -X 3互＋凸X 1+2x 2 (2x 1飞）（x 1+2x 2) 2(x 1飞）2＋X l x 2 ; 设AB:x =ty +l ，与y 2=2x 联立得：y 2-2ty -2=0,所以Y 1Y 2= -2,2所以环＝（y心）＝1'则X1飞么仄�=2;4．． ＼）3-2， 4-3＿＿E 2、I'儿一1+斗3 ,i l '、＋ 2 ＝s i ＿鸟以所s所以忒的取值范围为［彗）19.【解析】2( 1 2 3 4l 2 3 4(I )由题意可知f l)＝（3 2 4 1)吓）＝（12 3 4](2)【解法一】1 2 3 4＠若氏）＝［12 34)，则吓）为恒等置换，＠若存在两个不同的i'使得f (i)=i'不妨设i=1,2,则兀）＝［12 34)1 2 4 3所以吓）＝（｝： ： ：），即吓）为恒等置换，l2 341 2 3 4＠若存在唯一的i'使得兀）＝i'不妨设i =2,则兀）＝（）32 4 1或f (i)＝(421 3)当兀）＝（12 3 4)时，由(I)可知广(i 4 2 1 3 ）为恒等置换；1 2 3 4同理可知，当f (i)=( ）时，广(·32 4 1 l)也是恒等置换；＠若对任意的i,J (i)妇，则情形一：f（i)＝(1 22 1情形二：f (i )=(� ! 几）＝（：： ： ｝）： ：）或f(t )＝（：： ： ：）或f (i)＝（；二32 :) 34 :]或f (l)＝［；: ： ：］或f (i )=G � !:]或或几）＝（；： ： ：）幻(i)=(�: : �)对于悄形一：广(i)为恒等置换；对于情形二：广(i)为恒等置换；综上，对任意/(i)ES 4,存在KEN +，使得广(i)为恒等置换，【解法二】对千任意iE {1,23,4}，都有j 、1(l)，广(t)，广(i)，广（小叶123,4},所以广（小f飞），广(t )，广(i )中，至少有一个满足广(l)＝l ,即使得广(i)= i的K的取值可能为1,2,3,4.当l分别取1,2,3,4时，记使得广(i)= i的K值分别为k"k2,k3, k4,只需取k为k“幻，k3,k4的最小公倍数即可所以对任意f(i)ES4,存在kEN+,使得广(i)为恒等暨换：(3)不妨设原始牌型从上到下依次编号为l到52,则洗牌一次相当于对{1,2,...,52}作一次如下暨换：兀）＝（1 2 3 4 5,1 272 28 3, 其中k=1,2,...,26 52)，即几）＝ ｛K，i =2K-1, 52)..''126+k,i=2k,注意到各编号在置换中的如下变化：l f l f f f i l l f f f l l l f ll➔1,2➔27今14➔33➔17➔9➔5➔3➔2,4今28今40今46今49今25➔13➔7➔4f f f f f l l f f f f f l f f f6➔29➔15➔8➔30➔41今21➔11➔,10➔31➔16➔34➔43➔22今37➔19➔lO,12➔32今42➔47今24➔38➔45➔23今12,18今35➔18,20➔36➔44➔48➔50➔51➔26今39➔20,52➔52;所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最小公倍数为8,由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型。
2025届浙江省杭州市五校联盟高三第二次联考数学试卷含解析
2025届浙江省杭州市五校联盟高三第二次联考数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?2．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=() A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+5．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-，B ．[2]-，C ．(2]-，D ．2,2⎡-⎣6．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3πB ．23πC ．2πD ．π8．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ）A ．函数()f x 在()0,3上单调递增B ．函数()f x 在()0,3上单调递减C ．函数()f x 图像关于32x =对称D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 9．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(1,2] C ．(,0][2,)-∞+∞ D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞10．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ）A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a11．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C ．23D ．16312．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学联考数学答案
2023学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级政治学科题号123456789答案B D C A D B D C C题号1011121314151617答案A A A D C B A B题号18192021222324答案D A A B C C B54525.（1）个人梦为中国梦的实现汇聚强大力量，村民们为村庄规划建言献策助力实现乡村振兴的中国梦（2分）；中国梦让每一个村民共同享有梦想成真的机会，乡村振兴让村民生活切实改善，真正享受到发展的成果。
（2分）（2）①坚持中国共产党的领导，发挥党总揽全局协调各方的领导核心作用。
（1分）下姜村响应总书记号召，通过建立党建联建机制，实现平台共建、资源共享，将党的组织优势转变为下姜村的发展优势，助力乡村振兴。
（2分）②坚持基层民主自治制度，发挥人民在基层治理中的主体作用，让村民真正成为村庄规划的制定者，为乡村振兴提供不竭动力。
（2分）③政府履行促进社会发展的职能，在党的领导下积极组织经济建设。
下姜村依托政府对村庄旅游业的财政支持、产业培育，积极发展旅游业，实现乡村蜕变。
（2分）26.（1）矛盾具有特殊性，要求我们具体问题具体分析，即在矛盾普遍性原理的指导下，具体分析矛盾的特殊性，找到解决矛盾的正确方法。
（3分）浙江各地市在“八八战略”的指导下（1分），具体分析了本区域的特色、优势和资源禀赋（1分），因地制宜，找到体现地域特色的发展模式，大力推动区域经济社会持续健康发展（1分）。
（2）建议①：建设高素质的领导干部队伍，引导其树立正确政绩观，不断解决人民群众急难愁盼的现实问题。
（2分）理由①：正确的价值判断和价值选择应以人民群众的利益作为最高的价值标准。
我们要自觉站在最广大人民的立场上，牢固树立为人民服务的思想，把献身人民事业、维护人民利益作为自己最高的价值追求。
（2分）（从“价值观的导向作用”、“人民群众是社会历史的主体”等角度回答亦可得分）建议②：要深入基层，深入群众，通过调查研究，了解事物的真实情况，对调查得到的材料进行分析、综合，作出正确的决策。
浙江Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2024届高三第二次联考数学试题(解析版)
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第二次联考数学试题卷注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合{}2,0,2,{2}M N =−=<，则M N ∩=（ ）A. {}2,0,2-B. {}2,0−C. {}0,2D. {}0【答案】C 【解析】【分析】求出对应集合，再利用交集的定义求解即可.2<，解得22x −<≤，则{22}N xx −<≤∣， 故M N ∩={}0,2， 故选：C2. 已知12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m −+=的一个根，则m =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m −+=的一个根， 所以()()2012i 12i 2m +−++=，整理得到: 50m −=即5m =， 故选：D.3. 已知向量()()1,1,2,0a b =−=，向量a 在向量b 上的投影向量c =（ ） A. ()2,0− B. ()2,0 C. ()1,0− D. ()1,0【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,1,2,0a b =−=，所以向量a 在向量b 上的投影向量()21,0a b c b b⋅=⋅=− ， 故选：C4. 已知直线0x my −=交圆22:((1)4C x y −+−=于,A B 两点，设甲：0m =，乙：60ACB ∠= ，则（ ）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】【分析】结合直线和圆的位置关系，判断甲：0m =和乙：60ACB ∠= 之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】圆22:((1)4C x y −+−=的圆心为，半径为2r =， 当0m =时，直线0x =，则到直线0x =此时||2AB =，而||||2CACB ==，即ACB △为正三角形， 故60ACB ∠= ；当60ACB ∠= 时，ACB △为正三角形，则C 到AB的距离为sin 60dr =即圆心C 到直线0x my −=距离为d ==，解得0m =或m =，即当60ACB ∠= 时，不一定推出0m =，故甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：A5. 已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a −−−−−+≥∈N ，则n a =（ ）A. 22n −B. 22n n −C. 21n −D. 2(21)n −【答案】B 【解析】【分析】根据递推关系可证明21n a n−为等差数列，即可求解. 【详解】()()()()212321483=2123n n n a n a n n n n −−−−−+−−，所以112123n n a a n n −−=−−，111a =，所以21n a n −为等差数列，且公差为1，首项为1， 故1+121na n n n =−=−，即()2212n a n n n n =−=−， 故选：B6. 函数()()2ln 21f x x x x =−−+的单调递增区间是（ ） A. ()0,1B. 1,12C.D. 12 【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，再令()0f x '>，解得即可.【详解】函数()()2ln 21f x x x x =−−+的定义域为1,2 +∞，且()()22212212121x f x x x x −−′=−+==−− 令()0fx '>，解得12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为12 .故选：D 7. 已知ππ,π,0,22αβ ∈∈，若()1sin ,cos 3αββ+==，则cos2α=（ ） A.13 B. 13−C.2327 D. 2327−【答案】D 【解析】【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得cos(),sin αββ+的值，利用两角差的余弦公式即可求得cos α，继而利用二倍角余弦公式求得答案. 【详解】由于ππ,π,0,22αβ ∈∈，则π3π,22αβ+∈， 而()1sin 3αβ+=，故π,π,cos()2αβαβ+∈∴+由0c ,2s πo ββ ∈ =，可得sin β=， 则cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+−=+++13=+，故2223cos22cos 12(127αα=−=×−=−， 故选：D8. 假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,Ybx e E e D e σ=+ == .要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==−∑取最小值时的b 的值，则（ ）A. 121ˆni ii nii x ybx===∑∑B. 121ˆni ii nii x yby===∑∑Cˆnb =D.ˆnx x y y b −−=【答案】A 【解析】【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值. 【详解】因为()()222211(,)2n ni iii i i i i Q a b y bx ybx y b x ===−=−+∑∑2221112nn ni i i i i i i b x b x y y ====−+∑∑∑，上式是关于b 的二次函数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当b 的取值为121ˆni ii nii x ybx===∑∑.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简为二次函数形式，利用其性质得到最值时的b .二､多项选择题：本题共45分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是（ ）A.时速在[)70,80的数据有40个B. 可以估计该组数据的第70百分位数是65C. 时速在[)50,70的数据的频率是0.07.D. 可以估计汽车通过该路段的平均时速是62km 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，直接由对应的频率乘以200即可验算；对于B ，由百分位数的定义即可判断；对于C ，由对应的长方形面积之和即可判断；对于D ，由平均数的计算公式即可得解.【详解】对于A ，()2000.02807040××−=，即时速在[)70,80的数据有40个，故A 正确； 对于B ，1100.040.020.010.03a =÷−−−=， 所以该组数据的第70百分位数位于[)60,70不妨设为x ，则()()0.010.0310600.040.7x +×+−×=，解得67.5x =，故B 错误； 对于C ，时速在[)50,70的数据的频率是()0.030.04100.7+×=，故C 错误； 对于D ，可以估计汽车通过该路段的平均时速是()0.01450.03550.04650.02751062km ×+×+×+××=，故D 正确. 故选：AD.10. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()()11,11f x f x f −=+=−，以下结论正确的是（ ） A. ()30f =B. ()40f =C.20231()0k f k ==∑D.20231(21)0k f k =−=∑ 【答案】BC 【解析】【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求()()()2,3,4f f f 的值，即可求解. 【详解】由条件()()11f x f x −=+，可知()()()2f x f x f x +=−=−，所以()()()42f x f x f x +=−+=， 所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()3111f f f =−=−=，故A 错误；()()400f f ==，故B 正确；由条件()()11f x f x −=+，可知()()200f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()20231()5051234202120222023k f k f f f f f f f = =++++++ ∑()()()1230f f f =++=，故C 正确；由函数的周期为4，且()11f =−，()31f =，所以()()()()()()20231(21)1357...20212023k f k f f f f f f =−=++++++∑()()0202331f f =+==，故D 错误. 故选：BC11. 曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点()4,4P 是抛物线2:2C x py =上的点，F 是C 的焦点，点P 处的切线1l 与y 轴交于点T ，点P 处的法线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点G ，与C 交于另一点B ，点M 是PG 的中点，则以下结论正确的是（ ） A. 点T 的坐标是()0,2−B. 2l 的方程是2120x y +−=C. 2||TGPA PB =⋅D. 过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条 【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A ，利用法线的定义判断B ，利用两点间距离公式判断C ，分类讨论判断D 即可.【详解】对A ，将点()4,4P 代入22x py =，得2p =，则2,42x xyy ′=，当4x =时，2y ′= 故1l 的方程为()424y x −=−，令0x =，则4,y =−∴点T 的坐标是()0,4−，故A 错误；对B ，122l l l ⊥∴ 的方程为()1442y x −=−−，整理得2120x y +−=，故B 正确； 对C ，易得2l 与x 轴的交点A 的坐标为()12,0，与y 轴的交点G 的坐标为()0,6， 联立221204x y x y +−== ，解得69x y =− = 或44x y = =. 与C 的另一个交点B 的坐标为()6,9−，则22||100,|||||||||TG PA PB TG PA PB ===∴=⋅，故C 正确； 对D ，易得点M 的坐标为()2,5，设点()00,Q x y 为抛物线上一点， 当Q 是原点时，Q 处的法线为y 轴，显然不过点M ，当点Q 不是原点时，则Q 处的法线方程为()0002y y x x x −=−−， 将点()2,5M 代入得，()000252y x x −=−−， 又2004x y =，则()()23000012160,420x x x x −−=∴−+=， 故04x =或2,−∴过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条，故D 正确. 故选：BCD12. 已知棱长为1的正方体1111,ABCD A B C D δ−是空间中一个动平面，下列结论正确的是（ ） A. 设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222sin sin sin 1αβγ++= B. 设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222cos cos cos 1αβγ++= C. 正方体的12条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8D. 四面体11A B CD −的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8 【答案】ACD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，利用向量法求线面角和射影问题.【详解】对于A ，以点A 坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，为则()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A B C D A B D ,得()1,0,0AB =，()()10,1,0,0,0,1ADAA ==，设δ的法向量为(),,n a b c =，则222222sin AB n a a b c AB nα⋅==++⋅ ，同理可得2222222222sin ,sin ,b c a b c a b c βγ==++++， 222sin sin sin 1αβγ∴++=，故A 正确；对于B ，则()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 312αβγαβγ++=−+−+−=−=，故B 错误； 对于C ，1,,AB AD AA 这3条棱在平面δ上的射影长度的平方和为()()()2221cos cos cos 2AB AD AA αβγ++=，12∴条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8，故C 正确；对于D ，()()111,1,0,1,1,0AC D B ==− ，设AC 与平面δ所成角为11,D B θ与平面δ所成角为ϕ， 则()()22222222222()()sin ,sin 22AC n a b a b a b c a b c AC nθϕ⋅+−===++++⋅ ， 2222222sin sin a b a b cθϕ+∴+=++， 11,AC D B ∴在平面δ上的射影长度的平方和为 ()()()()22222211(cos )cos 2cos cos 22sin sin AC D B θϕθϕθϕ+=+=−+ 22222224a b a b c+=−++， 则四面体11A B CD −的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为2222222222222222222224441248a b b c c a a b c a b c a b c+++−+−+−=−= ++++++，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，向量法求线面角的正弦值和余弦值，向量法求射影长度，结果用,,a b c 表示，化简即可.第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 422x x +的展开式中x 的系数是__________. 【答案】8 【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x +展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x x x −−+ =⋅⋅=⋅⋅ ，(其中0,1,2,3,4r =)， 令431r −=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28×=. 故答案为：814. 已知正方形ABCD 的四个顶点均在椭圆2222:1x y E a b+=上，E 的两个焦点12,F F 分别是,AB CD 的中点，则E 的离心率是__________.【解析】【分析】由题意||2BC a =，将x c =代入椭圆方程22221x y a b+=，得22||b CD a =，结合正方形性质可得||||BC CD =，即可得,a c 齐次式，即可求得答案.【详解】不妨设12,F F 为椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点，由题意知AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，且,AB CD 经过椭圆焦点，12(,0),(,0)F c F c −，则2BC c =，将x c =代入椭圆方程22221x ya b +=，得2||b y a=，故22||2||b CD y a==，由||||BC CD =，得222b c a =， 结合222b a c =−，得220c ac a +−=，即210e e +−=，解得e =（负值舍），故E ，15. 设函数()πsin (0)6f x x ωω=−>，若存在()00,πx ∈使()012f x =成立，则ω的取值范围是__________. 【答案】4(,)3+∞ 【解析】【分析】根据题意确定()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω−∈−，结合正弦函数的图象和性质找到当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值，由此列出不等式，即可求得答案.【详解】由于函数()πsin (0)6f x x ωω=−>，当()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω−∈−， 根据正弦函数sin y x =的性质可知当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值为7π6−, 故存在()00,πx ∈，使()012f x =成立，需满足π7π4π<,663ωω−−∴>，即ω的取值范围为4(,)3+∞，故答案为：4(,)3+∞ 16. 已知函数()2212exf x x =+，()2lng x m x =−，若关于x 的不等式()()f x xg x ≤有解，则m 的最小值是__________. 【答案】12##0.5 【解析】【分析】参变分离可得()2ln 2e2ln x xm x x −−≥−−−有解，令2ln t x x =−−，()e t g t t =−，利用导数求出()min g t ，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由()()f x xg x ≤得()22122ln exx x m x +≤−，显然0x >， 所以()2ln 2122ln e 2ln ex x xm x x x x x −−≥++=−−−有解， 令2ln t x x =−−，则t ∈R ，令()e tg t t =−，则()e 1tg t ′=−，所以当0t <时()0g t ′<，当0t >时()0g t ′>，所以()g t 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以()()min 01g t g ==，即()2ln e 2ln 1x xx x −−−−−≥，所以21m ≥，则12m ≥，即m 最小值是12. 故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到()2ln 2e 2ln x xm x x −−≥−−−有解，再构造函数，利用导数求出()2ln mine2ln x xx x −− −−−.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()()22111,41,41n n n n a b S a T b ===+=+.的（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和.【答案】17. 21na n =−，1(1)n nb −− 18. ()11n n −−【解析】【分析】（1）根据()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n −−=−=+−+≥∈得到na和1n a −的关系式，同理得到n b 和1n b −的关系式，根据{}n a 是等比数列和{}n b 是等比数列求出n a 和n b 的通项；（2）令()1(1)21n n n n c a b n −=⋅=−−，对n 分偶数和奇数讨论即可. 【小问1详解】()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n −−=−=+−+≥∈得：()()1120n n n n a a a a −−+−−=， 10n n a a −∴+=或12n n a a −−=， 同理：10n n b b −∴+=或12n n b b −−=， {}n a 是等差数列，12221n n n a a d a n −∴−=∴=∴=−，{}n b 是等比数列1101(1)n nn n bb q b −−∴+=∴∴=−；【小问2详解】令()1(1)21n n n n c a b n −=⋅=−−，其前n 项和为n H ， 当n 为偶数时，()()()()1234561n n n H c c c c c c c c −=++++++++()()()()()135********n n n =−+−+−++−−−=−⋅ 当n 为奇数时，()111(1)21nn n n H H c n n n ++=−=−−−−+=.综上所述，1(1)n n H n −−.18. 如图，已知三棱锥,P ABC PB −⊥平面,,PAC PA PC PA PB PC ⊥==，点O 是点P 在平面ABC 内的射影，点Q 在棱PA 上，且满足3AQ PQ =.（1）求证：BC OQ ⊥；（2）求OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系P xyz −，先判断ABC 是正三角形，再求点O 的坐标，进而利用向量的垂直关系即可证明BC OQ ⊥；（2）先求平面BCQ 的法向量，再利用向量法即可求解. 【小问1详解】 连结PO ，PB ⊥ 平面,,PAC PA PC ⊂平面,PAC PB PA PB PC ∴⊥⊥，又PA PC PA PB PC ⊥∴ ､､两两垂直，以P 为原点，PA 为x 轴，PC 为y 轴，PB 为z 轴建立空间直角坐标系P xyz −，如下图所示：不妨设4PA =，可得()()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,0P A C B Q ，()()4,0,4,4,4,0AB AC C =−=− .AB BC CA === ABC 是正三角形，点O 为正三角形ABC 的中心，所以()()2118448,4,4,,323333AO AB AC=×+=−=−， ()8444444,0,0,,,,333333PO PA AO =+=+−=,所以444,,333O. 144,,333QO ∴=，又()0,4,4BC=−，0QO BC BC OQ ∴⋅=∴⊥.【小问2详解】()()0,4,4,1,4,0BC QC =−=− ，144,,333QO =，QO =， 设平面BCQ 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n BC n QC ⋅= ⋅=，得：44040y z x y −= −+= ， 则()1444,1,1,4,1,1,4114333x y z n n n QO ===∴===⋅=×+×+×= ，设OQ 与平面BCQ 所成角为θ，则sin cos QO θ= . 故直线OQ 与平面BCQ. 19. 在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c，cos sin cos20A B a B a +−=. （1）求tan A 的值； （2）若a =，点M 是AB 的中点，且1CM =，求ABC 的面积.【答案】（1； （2. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得tan A =；的（2）根据同角三角函数关系求出cos A A=再利用余弦定理求出,b c值，最后利用三角形面积公式即可.【小问1详解】cos sin cos20A B a B a+−=()2cos sin1cos22sinA B a B a B∴=−=由正弦定理得：22sin2sin sinA B A B=，()0,πB∈，则sin0B>，sinA A=，cos A不等于0，tan A∴【小问2详解】sintancosAAA==()0,Aπ∈，所以0,2Aπ∈，联立22sin cos1A A+=，cos A A∴==，在ABC中，由余弦定理得：222222cos22b c a b cAbc bc+−+−==①在AMC中，由余弦定理得：222212222cos222c cb bAc bcb+−+−==⋅②由①=②式得：b=故222cos12b cA c bbc+−==∴==，1sin2ABCS bc A∴===20. 已知双曲线2222:1x yCa b−=的左右焦点分别为12,F F，点()1,2P−在C的渐近线上，且满足12PF PF⊥.（1）求C 的方程；（2）点Q 为C 的左顶点，过P 的直线l 交C 于,A B 两点，直线AQ 与y 轴交于点M ，直线BQ 与y 轴交于点N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】（1）2214y x −=； （2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出,,a b c 即可得解.（2）设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出MN 的中点纵坐标即可得解. 【小问1详解】设()()12,0,,0F c F c −，()()121,2,1,2PF c PF c =−+−=+−，由12PF PF ⊥，得212140PF PF c ⋅=−+=，解得25c =，即225a b +=，而曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为22220x y a b−=，由点()1,2P −在C 2220b=，即224b a =，因此221,4a b ==， 所以C 的方程为2214y x −=.【小问2详解】由（1）知(1,0)Q −，设直线l 为1122342(1),(,,,,)(0,,0)()(,)y k x A x y B x y M y N y −=+，由()222144y k x x y −=+ −=消去y 得：()()2222424480k x k k x k k −−+−−−=， 则221212222448,44k k k k x x x x k k+−−−+==−−， 113(1,),(1,)QA x y QM y =+=，由,,A Q M 三点共线，得1311y y x =+，同理2421y y x =+，因此12341211y yy y x x +=+++()()12211212121y x y x y y x x x x +++=+++()()()()122112*********kx k x kx k x kx k kx k x x x x +++++++++++=+++()()()12121212222241kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()()222222248222424448244k k k k k k k k k k k k k −−−+++++−=−−−+++−1644==−−， 所以MN 的中点T 为定点()0,2−.21. 某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下： ①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得；③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；（2）顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？（3）设顾客在消耗X 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得X 张抽奖券，至少要在商场中消费满Y 元，求()(),E X D Y 的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为p .随机变量ξ表示当恰好出现r 次失败时已经成功的试验次数.则ξ服从参数为r 和p 的负二项分布.记作(),NB r p ξ∼.它的均值()1prE pξ=−，方差()2.(1)prDp ξ=−）【答案】（1）1136；（2）12；（3）()16E X =，()900000D Y =. 【解析】【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即 可得答案；（2）分别求出顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，以及顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（3）由题意确定53,,16r p X ξ===−，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案. 【小问1详解】由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为16，摸到白球的概率为56，故甲至少获得1份礼品的概率551116636P =−×=； 【小问2详解】设A =“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”，B =“顾客乙在消耗第2 张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”()2323244515125C 666666P A =⋅=⋅⋅=，()()()()232321435515175C C 366666P AB P A P AB=−=−⋅=⋅⋅=，()()()4525167526P AB P B A P A ∴===∣；【小问3详解】由题意可知53,,16r p X ξ===− 则()()()52111116116prE X E X E pξ−+++−， ()()()()21001001001000010000900000(1)prD Y D X D D p ξξ+⋅−.22. 已知函数()πe sin cos 1,0,2xf x x ax x x =+−−∈，（1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）若函数()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）π20,e（2）2a ≤ 【解析】【分析】（1）求导()πe cos sin cos e sin 00,2x x f x x x x x x x x=++−=+>∈′，易得()f x 在π0,2∈x 上单调递增求解；（2）方法一：()()e sin 1cos xf x ax x a x =+−′+分0a ≤，01a <≤，12a <≤，2a >，由()min0f x ≥求解；方法二：当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f=≥成立，当π0,2x ∈ 时，转化为e sin 1cos x x a x x+−≤恒成立，由()min a g x ≤求解.【小问1详解】因为()e sin cos 1xf x x x x =+−−， 所以()πe cos sin cos e sin 00,2xxf x x x x x x x x=++−=+>∈′， ()f x ∴在π0,2 ∈ x 上单调递增又()π2π00,e 2f f==，()f x ∴的值域是π20,e.【小问2详解】 方法一：①当0a ≤时，()πe sin cos 1sin cos 00,2x f x x ax x x ax x x+−−≥−≥∈在上恒成立，②当01a <≤时，()()()πe cos sin cos e sin 1cos 1cos 00,2x x f x x ax x a x ax x a x a x x =++−=++−>−>∈′， ()f x ∴在π0,2 ∈x 上单调递增，()()00f x f ∴≥=成立. ③当2a >时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++−′， 则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+−++>′， 所以()g x π0,2∈ x 上单调递增，即()f x ′在π0,2 ∈x 上单调递增， ()π2ππ020,e 022f a f a =−=+ ′′ ， 0π0,2x ∴∃∈使得当()00,x x ∈时()0f x ′<，故()f x 在()00,x x ∈上单调递减， 则()()000,f x f <=不成立， ④当12a <≤时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++−′， 则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+−++>′， 所以()g x 在π0,2 ∈x 上单调递增，即()f x ′在π0,2 上单调递增， ()()020f x f a ∴=′−′≥≥，即()f x 在π0,2上递增，则()()00f x f ≥=成立. 综上所述，若函数()0f x ≥恒成立，则2a ≤.方法二当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f =≥ 成立， 当π0,2x ∈ 时，e sin 1cos x x a x x+−≤恒成立， 令()e sin 1cos x x g x x x+−=，则min ()a g x ≤， 在又()e sin 1sin e 1cos cos x xx x x x g x x x x x +−+−>∴=> ， 令()()()()()221cos cos sin cos sin sin ,cos cos x x x x x x x x x x h x h x x x x x +⋅−+−+==′， 222sin sin cos cos x x x x x x x+−=， 当π0,2x∈时，sin x x >， ()()222222sin 1cos sin sin sin sin cos 0cos cos x x x x x x x x x h x x x x x−++−∴>=>′， ()h x ∴在π0,2上单调递增. 00sin 1cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x→→++==−， ，故()2h x >，()e sin 12cos x x g x x x+−∴=>，又00e sin 1e cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x x →→+−+==− ， min ()2g x ∴→，故2a ≤.【点睛】方法点睛：对于()0,f x x D ≥∈恒成立问题，法一：由()min 0,f x x D ≥∈求解；法二：转化为 ()g x a ≥()(),g x a x D ≤∈由()()()min min ,g x a g x a x D ≥≤∈求解.。
浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2024届高三第二次联考数学试题含答案
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第二次联考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}2,0,2,{2}M N x =-=<，则M N ⋂=（）A.{}2,0,2- B.{}2,0- C.{}0,2 D.{}0【答案】C 【解析】【分析】求出对应集合，再利用交集的定义求解即可.2<，解得22x -<≤，则{22}N xx =-<≤∣，故M N ⋂={}0,2，故选：C2.已知12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m -+=的一个根，则m =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m -+=的一个根，所以()()2012i 12i 2m +-++=，整理得到:50m -=即5m =，故选：D.3.已知向量()()1,1,2,0a b =-= ，向量a 在向量b 上的投影向量c =（）A.()2,0- B.()2,0C.()1,0- D.()1,0【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,1,2,0a b =-=，所以向量a 在向量b 上的投影向量()21,0a b c b b⋅=⋅=- ，故选：C4.已知直线0x my -=交圆22:((1)4C x y -+-=于,A B 两点，设甲：0m =，乙：60ACB ∠= ，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合直线和圆的位置关系，判断甲：0m =和乙：60ACB ∠= 之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】圆22:((1)4C x y -+-=的圆心为，半径为2r =，当0m =时，直线0x =，则到直线0x =，此时||2AB ==，而||||2CA CB ==，即ACB △为正三角形，故60ACB ∠= ；当60ACB ∠= 时，ACB △为正三角形，则C 到AB 的距离为sin 60d r == ，即圆心C 到直线0x my -=距离为d ==，解得0m =或m =，即当60ACB ∠= 时，不一定推出0m =，故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A5.已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a ----=-+≥∈=N ，则n a =（）A.22n -B.22n n -C.21n -D.2(21)n -【答案】B 【解析】【分析】根据递推关系可证明21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，即可求解.【详解】()()()()212321483=2123n n n a n a n n n n ----=-+--，所以112123n n a a n n --=--，111a =，所以21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，且公差为1，首项为1，故1+121na n n n =-=-，即()2212n a n n n n =-=-，故选：B6.函数()()2ln 21f x x x x =--+的单调递增区间是（）A.()0,1 B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，再令()0f x ¢>，解得即可.【详解】函数()()2ln 21f x x x x =--+的定义域为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，且()()()()22121221221212121x x x f x x x x x ⎤⎤-----⎣⎦⎣⎦'=-+==---，令()0f x ¢>，解得11222x <<，所以()f x的单调递增区间为11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D 7.已知ππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()13sin ,cos 33αββ+==，则cos2α=（）A.13B.13-C.2327D.2327-【答案】D 【解析】【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得cos(),sin αββ+的值，利用两角差的余弦公式即可求得cos α，继而利用二倍角余弦公式求得答案.【详解】由于ππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π3π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而()1sin 3αβ+=，故π22,π,cos()23αβαβ⎛⎫+∈∴+==- ⎪⎝⎭，由0c ,2s 3π,o ββ⎛⎫∈ ⎪=⎝⎭，可得sin 3β=，则cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+-=+++913333=-+=-⨯⨯，故2223cos22cos 12(1279αα=-=⨯-=-，故选：D8.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩.要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，则（）A.121ˆniii nii x ybx===∑∑ B.121ˆniii nii x yby===∑∑C.ˆniix yb =∑ D.()()ˆniix x y y b --=∑【答案】A 【解析】【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值.【详解】因为()()222211(,)2nnii i i i i i i Q a b ybx y bx y b x ===-=-+∑∑2221112nnnii i i i i i bxb x y y ====-+∑∑∑，上式是关于b 的二次函数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当b 的取值为121ˆniii nii x ybx===∑∑.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简为二次函数形式，利用其性质得到最值时的b .二､多项选择题：本题共4小题，每小颗5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是（）A.时速在[)70,80的数据有40个B.可以估计该组数据的第70百分位数是65C.时速在[)50,70的数据的频率是0.07D.可以估计汽车通过该路段的平均时速是62km 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，直接由对应的频率乘以200即可验算；对于B ，由百分位数的定义即可判断；对于C ，由对应的长方形面积之和即可判断；对于D ，由平均数的计算公式即可得解.【详解】对于A ，()2000.02807040⨯⨯-=，即时速在[)70,80的数据有40个，故A 正确；对于B ，1100.040.020.010.03a =÷---=，所以该组数据的第70百分位数位于[)60,70不妨设为x ，则()()0.010.0310600.040.7x +⨯+-⨯=，解得67.5x =，故B 错误；对于C ，时速在[)50,70的数据的频率是()0.030.04100.7+⨯=，故C 错误；对于D ，可以估计汽车通过该路段的平均时速是()0.01450.03550.04650.02751062km ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故D 正确.故选：AD.10.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()()11,11f x f x f -=+=-，以下结论正确的是（）A.()30f = B.()40f =C.20231()0k f k ==∑ D.20231(21)0k f k =-=∑【答案】BC 【解析】【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求()()()2,3,4f f f 的值，即可求解.【详解】由条件()()11f x f x -=+，可知()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()3111f f f =-=-=，故A 错误；()()400f f ==，故B 正确；由条件()()11f x f x -=+，可知()()200f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()20231()5051234202120222023k f k f f f f f f f =⎡⎤=++++++⎣⎦∑()()()1230f f f =++=，故C 正确；由函数的周期为4，且()11f =-，()31f =，所以()()()()()()20231(21)1357...20212023k f k f f f f f f =-=++++++∑()()0202331f f =+==，故D 错误.故选：BC11.曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点()4,4P 是抛物线2:2C x py =上的点，F 是C 的焦点，点P 处的切线1l 与y 轴交于点T ，点P 处的法线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点G ，与C 交于另一点B ，点M 是PG 的中点，则以下结论正确的是（）A.点T 的坐标是()0,2-B.2l 的方程是2120x y +-=C.2||TG PA PB=⋅D.过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A ，利用法线的定义判断B ，利用两点间距离公式判断C ，分类讨论判断D 即可.【详解】对A ，将点()4,4P 代入22x py =，得2p =，则2,42x x y y '==，当4x =时，2y '=故1l 的方程为()424y x -=-，令0x =，则4,y =-∴点T 的坐标是()0,4-，故A 错误；对B ，122l l l ⊥∴ 的方程为()1442y x -=--，整理得2120x y +-=，故B 正确；对C ，易得2l 与x 轴的交点A 的坐标为()12,0，与y 轴的交点G 的坐标为()0,6，联立221204x y x y +-=⎧⎨=⎩，解得69x y =-⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩.与C 的另一个交点B 的坐标为()6,9-，则22||100,|||||||||TG PA PB TG PA PB ===∴=⋅，故C 正确；对D ，易得点M 的坐标为()2,5，设点()00,Q x y 为抛物线上一点，当Q 是原点时，Q 处的法线为y 轴，显然不过点M ，当点Q 不是原点时，则Q 处的法线方程为()0002y y x x x -=--，将点()2,5M 代入得，()000252y x x -=--，又2004x y =，则()()23000012160,420x x x x --=∴-+=，故04x =或2,-∴过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条，故D 正确.故选：BCD12.已知棱长为1的正方体1111,ABCD A B C D δ-是空间中一个动平面，下列结论正确的是（）A.设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222sin sin sin 1αβγ++=B.设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222cos cos cos 1αβγ++=C.正方体的12条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8D.四面体11A B CD -的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8【答案】ACD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，利用向量法求线面角和射影问题.【详解】对于A，以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A B C D A B D ,得()1,0,0AB = ，()()10,1,0,0,0,1AD AA == ，设δ的法向量为(),,n a b c =，则222222sin AB na abc AB nα⋅==++⋅，同理可得2222222222sin ,sin b c a b c a b cβγ==++++，222sin sin sin 1αβγ∴++=，故A 正确；对于B，则()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 312αβγαβγ++=-+-+-=-=，故B 错误；对于C ，1,,AB AD AA 这3条棱在平面δ上的射影长度的平方和为()()()2221cos cos cos 2AB AD AA αβγ++=，12∴条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8，故C 正确；对于D ，()()111,1,0,1,1,0AC D B ==-，设AC 与平面δ所成角为11,D B θ与平面δ所成角为ϕ，则()()22222222222()()sin ,sin 22AC na b a b a b ca b cAC nθϕ⋅+-===++++⋅，2222222sin sin a b a b cθϕ+∴+=++，11,AC D B ∴在平面δ上的射影长度的平方和为()()()()22222211(cos )cos 2cos cos 22sin sin AC D B θϕθϕθϕ+=+=-+ 22222224a b a b c+=-++，则四面体11A B CD -的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为2222222222222222222224441248a b b c c a a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，向量法求线面角的正弦值和余弦值，向量法求射影长度，结果用,,a b c 表示，化简即可.第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.【答案】8【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r -=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28⨯=.故答案为：814.已知正方形ABCD 的四个顶点均在椭圆2222:1x y E a b+=上，E 的两个焦点12,F F 分别是,AB CD 的中点，则E 的离心率是__________.【答案】12【解析】【分析】由题意||2BC a =，将x c =代入椭圆方程22221x y a b+=，得22||b CD a =，结合正方形性质可得||||BC CD =，即可得,a c 齐次式，即可求得答案.【详解】不妨设12,F F 为椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点，由题意知AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，且,AB CD 经过椭圆焦点，12(,0),(,0)F c F c -，则2BC c =，将x c =代入椭圆方程22221x ya b +=，得2||b y a=，故22||2||b CD y a ==，由||||BC CD =，得222b c a=，结合222b a c =-，得220c ac a +-=，即210e e +-=，解得152e -±=（负值舍），故E 512-，故答案为：512-15.设函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若存在()00,πx ∈使()012f x =成立，则ω的取值范围是__________.【答案】4(,)3+∞【解析】【分析】根据题意确定()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω-∈-，结合正弦函数的图象和性质找到当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值，由此列出不等式，即可求得答案.【详解】由于函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω-∈-，根据正弦函数sin y x =的性质可知当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值为7π6-,故存在()00,πx ∈，使()012f x =成立，需满足π7π4π<,663ωω--∴>，即ω的取值范围为4(,)3+∞，故答案为：4(,)3+∞16.已知函数()2212ex f x x =+，()2ln g x m x =-，若关于x 的不等式()()f x xg x ≤有解，则m 的最小值是__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】参变分离可得()2ln 2e2ln x xm x x --≥---有解，令2ln t x x =--，()e t g t t =-，利用导数求出()min g t ，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由()()f x xg x ≤得()22122ln ex x x m x +≤-，显然0x >，所以()2ln 2122ln e 2ln ex xxm x x x x x --≥++=---有解，令2ln t x x =--，则t ∈R ，令()e tg t t =-，则()e 1tg t '=-，所以当0t <时()0g t '<，当0t >时()0g t '>，所以()g t 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()min 01g t g ==，即()2ln e 2ln 1x xx x -----≥，所以21m ≥，则12m ≥，即m 的最小值是12.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到()2ln 2e 2ln x xm x x --≥---有解，再构造函数，利用导数求出()2ln mine2ln x xx x --⎡⎤---⎣⎦.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()()22111,41,41n n n n a b S a T b ===+=+.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和.【答案】17.21n a n =-，1(1)n n b -=-18.()11n n--【解析】【分析】（1）根据()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n --=-=+-+≥∈得到na和1n a -的关系式，同理得到n b 和1n b -的关系式，根据{}n a 是等比数列和{}n b 是等比数列求出n a 和n b 的通项；（2）令()1(1)21n n n n c a b n -=⋅=--，对n 分偶数和奇数讨论即可.【小问1详解】()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n --=-=+-+≥∈得：()()1120n n n n a a a a --+--=，10n n a a -∴+=或12n n a a --=，同理：10nn b b -∴+=或12n n b b --=，{}n a 是等差数列，12221n n n a a d a n -∴-=∴=∴=-，{}n b Q 是等比数列1101(1)n nn n bb q b --∴+=∴=-∴=-；【小问2详解】令()1(1)21n n n n c a b n -=⋅=--，其前n 项和为n H ，当n 为偶数时，()()()()1234561n n n H c c c c c c c c -=++++++++ ()()()()()135********n n n ⎡⎤=-+-+-++---=-⋅⎣⎦ 当n 为奇数时，()111(1)21nn n n H H c n n n ++=-=----+=.综上所述，1(1)n n H n -=-.18.如图，已知三棱锥,P ABC PB -⊥平面,,PAC PA PC PA PB PC ⊥==，点O 是点P 在平面ABC 内的射影，点Q 在棱PA 上，且满足3AQ PQ =.（1）求证：BC OQ ⊥；（2）求OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系P xyz -，先判断ABC 是正三角形，再求点O 的坐标，进而利用向量的垂直关系即可证明BC OQ ⊥；（2）先求平面BCQ 的法向量，再利用向量法即可求解.【小问1详解】连结PO ，PB ⊥ 平面,,PAC PA PC ⊂平面,PAC PB PA PB PC ∴⊥⊥，又PA PC PA PB PC ⊥∴ ､､两两垂直，以P 为原点，PA 为x 轴，PC 为y 轴，PB 为z 轴建立空间直角坐标系P xyz -，如下图所示：不妨设4PA =，可得()()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,0P A C B Q ，()()4,0,4,4,4,0AB AC C =-=-.AB BC CA ===ABC 是正三角形，点O 为正三角形ABC 的中心，所以()()2118448,4,4,,323333AO AB AC ⎛⎫=⨯+=-=- ⎪⎝⎭，()8444444,0,0,,,,333333PO PA AO ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以444,,333O ⎛⎫⎪⎝⎭.144,,333QO ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又()0,4,4BC =-，0QO BC BC OQ ∴⋅=∴⊥.【小问2详解】()()0,4,4,1,4,0BC QC =-=- ，144,,333QO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3QO == ，设平面BCQ 的一个法向量为(),,n x y z =，由0n BC n QC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得：44040y z x y -=⎧⎨-+=⎩，则()1444,1,1,4,1,1,4114333x y z n n n QO ===∴===⋅=⨯+⨯+⨯= ，设OQ 与平面BCQ 所成角为θ，则sin cos ,33QO nQO n QO nθ⋅===⋅.故直线OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值为26633.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos sin cos20A B a B a +-=.（1）求tan A 的值；（2）若a =，点M 是AB 的中点，且1CM =，求ABC 的面积.【答案】（1；（2）4.【解析】【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得tan A =；（2）根据同角三角函数关系求出cos ,sin 44A A ==，再利用余弦定理求出,b c 值，最后利用三角形面积公式即可.【小问1详解】cos sin cos20A B a B a +-=()2cos sin 1cos22sin A B a B a B∴=-=由正弦定理得：22sin 2sin sin A B A B =，()0,πB ∈ ，则sin 0B >，sin A A =，cos A 不等于0，tan A ∴【小问2详解】sin tan cos A A A == ()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，联立22sin cos 1A A +=，cos 44A A ∴==，在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 22b c a b c A bc bc+-+-==①在AMC 中，由余弦定理得：222212222cos 222c c b b A c bc b ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭==⋅②由①=②式得：22b c =故2223222cos ,12422c b c A c b bc -+-===∴==，1147sin 244ABC S bc A ∴===.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ，点()1,2P -在C 的渐近线上，且满足12PF PF ⊥.（1）求C 的方程；（2）点Q 为C 的左顶点，过P 的直线l 交C 于,A B 两点，直线AQ 与y 轴交于点M ，直线BQ 与y 轴交于点N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】（1）2214y x -=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出,,a b c 即可得解.（2）设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出MN 的中点纵坐标即可得解.【小问1详解】设()()12,0,,0F c F c -，()()121,2,1,2PF c PF c =-+-=+- ，由12PF PF ⊥，得212140PF PF c ⋅=-+=，解得25c =，即225a b +=，而曲线2222:1x y C a b -=的渐近线方程为22220x y a b-=，由点()1,2P -在C 的渐近线上，得2222(1)20a b --=，即224b a =，因此221,4a b ==，所以C 的方程为2214y x -=.【小问2详解】由（1）知(1,0)Q -，设直线l 为1122342(1),(,,,,)(0,,0)()(,)y k x A x y B x y M y N y -=+，由()222144y k x x y ⎧-=+⎨-=⎩消去y 得：()()2222424480kx kk x k k --+---=，则221212222448,44k k k k x x x x k k +---+==--，113(1,),(1,)QA x y QM y =+=，由,,A Q M 三点共线，得1311y y x =+，同理2421y y x =+，因此12341211y yy y x x +=+++()()12211212121y x y x y y x x x x +++=+++()()()()122112*********kx k x kx k x kx k kx k x x x x +++++++++++=+++()()()12121212222241kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()()222222248222424448244k k k k k k k k k k k k k ---+++++-=---+++-1644==--，所以MN 的中点T 为定点()0,2-.21.某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；（2）顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？（3）设顾客在消耗X 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得X 张抽奖券，至少要在商场中消费满Y 元，求()(),E X D Y 的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为p .随机变量ξ表示当恰好出现r 次失败时已经成功的试验次数.则ξ服从参数为r 和p 的负二项分布.记作(),NB r p ξ~.它的均值()1prE pξ=-，方差()2.(1)prD p ξ=-）【答案】（1）1136；（2）12；（3）()16E X =，()900000D Y =.【解析】【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案；（2）分别求出顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，以及顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（3）由题意确定53,,16r p X ξ===-，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案.【小问1详解】由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为16，摸到白球的概率为56，故甲至少获得1份礼品的概率551116636P =-⨯=；【小问2详解】设A =“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”，B =“顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”()2323244515125C 666666P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()232321435515175C C 366666P AB P A P AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()4525167526P AB P B A P A ∴===∣；【小问3详解】由题意可知53,,16r p X ξ===-则()()()52111116116prE X E X E pξ=-+=+=+==-，()()()()21001001001000010000900000(1)prD Y D X D D p ξξ==+==⋅=-.22.已知函数()πe sin cos 1,0,2xf x x ax x x ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）2a ≤【解析】【分析】（1）求导()πe cos sin cos e sin 00,2xxf x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，易得()f x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 上单调递增求解；（2）方法一：()()e sin 1cos xf x ax x a x =+-'+分0a ≤，01a <≤，12a <≤，2a >，由()min 0f x ≥求解；方法二：当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，转化为e sin 1cos x x a x x+-≤恒成立，由()min a g x ≤求解.【小问1详解】因为()e sin cos 1xf x x x x =+--，所以()πe cos sin cos e sin 00,2x xf x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，()f x ∴在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增又()π2π00,e 2f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x ∴的值域是π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】方法一：①当0a ≤时，()πe sin cos 1sin cos 00,2x f x x ax x x ax x x ⎡⎤=+--≥-≥∈⎢⎥⎣⎦在上恒成立，②当01a <≤时，()()()πe cos sin cos e sin 1cos 1cos 00,2x x f x x ax x a x ax x a x a x x ⎛⎫⎡⎤=++-=++->->∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，()f x ∴在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，()()00f x f ∴≥=成立.③当2a >时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++-'，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+-++>'，所以()g x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，即()f x '在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，()π2ππ020,e 022f a f a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝''⎭ ，0π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得当()00,x x ∈时()0f x '<，故()f x 在()00,x x ∈上单调递减，则()()000,f x f <=不成立，④当12a <≤时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++-'，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+-++>'，所以()g x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，即()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()020f x f a ∴='-'≥≥，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，则()()00f x f ≥=成立.综上所述，若函数()0f x ≥恒成立，则2a ≤.方法二当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin 1cos x x a x x +-≤恒成立，令()e sin 1cos x x g x x x+-=，则min ()a g x ≤，又()e sin 1sin e 1cos cos x xx x x x g x x x x x +-+->∴=> ，令()()()()()221cos cos sin cos sin sin ,cos cos x x x x x x x x x x h x h x x x x x+⋅-+-+=='，222sin sin cos cos x x x x x x x+-=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x >，()()222222sin 1cos sin sin sin sin cos 0cos cos x x x x x x x x x h x x x x x-++-∴>=>'，()h x ∴在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.00sin 1cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x→→++==-，，故()2h x >，()e sin 12cos x x g x x x +-∴=>，又00e sin 1e cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x xx x x →→+-+==- ，min ()2g x ∴→，故2a ≤.【点睛】方法点睛：对于()0,f x x D ≥∈恒成立问题，法一：由()min 0,f x x D ≥∈求解；法二：转化为()g x a ≥()(),g x a x D ≤∈由()()()min min ,g x a g x a x D ≥≤∈求解.。
2021年3月浙江省名校协作体(G12)高三下学期联考数学试及答案题
题目要求的
1．设全集U = {1, 2,3, 4,5, 6} ，集合 A = {2,3,5} ， B = {1,3, 4, 6} ，则集合 A U B = （ ▲ ）
A． {3}
B． {2, 5}
4
2020 学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案
命题：学军中学
高三年级数学学科
嘉兴一中（审校） 审核：衢州二中
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案 B C D D B A A C D D
【解析】由点 P 的唯一性知 OP OA ，所以 OP OA OA OB OA OA OB 0 ，
2
又 OP
OA OB
2
得2
2 OA OB
2
4
.两式联合得 2
4
2
，所以
2
2 4
4 ，等号当且仅当
2 时等号成立.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(a2015 −1)3 + 2019 (a2015 −1) =−1，则下列结论正确的是
（▲）
A． S2020 = 2020 ， a2015 < a6
B． S2020 = 2020 ， a2015 > a6
C． S2020 = −2020 ， a2015 ≤ a6
D． S2020 = −2020 ， a2015 ≥ a6
高三数学：2024届浙江名校协作体高三下学期返校考试数学答案
2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．+1；13．2；14．=-a 45或11a -<．四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】（1）因为=a b C 2cos ，所以=A B C sin 2sin cos ，......................................................... 2分所以+=B C B C sin()2sin cos ，所以+=B C B C B C sin cos cos sin 2sin cos ，所以-=B C B C sin cos cos sin 0，即-=B C sin()0， ............................................. 4分 因为，-∈-ππB C ()，所以=B C ； 所以△ABC 为等腰三角形； ..................................................................................... 6分 （2）由题意可知，，====a A b B c C B 2sin 2sin 2sin 2sin ， 所以△ABC 的周长为：++=+=π-+=+a b c A B B B B B 2sin 4sin 2sin(2)4sin 2sin 24sin ， .................. 8分 设，，=+∈πf B B B B 2()2sin 24sin (0)， 则=+=+-=+-'f B B B B B B B ()4cos24cos 8cos 4cos 44(cos 1)(2cos 1)2， .... 10分所以当(0)3B π∈，时，1cos 2B >，()0f B '>，()f B 单调递增；当()32B ππ∈，时，1cos 2B <，()0f B '<，()f B 单调递减；所以当3B π=时，()f B取到最大值 所以周长的最大值为 ....................................................................... 13分16．【解析】（1）取PB 中点N ，连接AN ，MN ，则MNBC ，且12MN BC =， ............................................................................... 2分 因为A D ，分别为RB RC ，的中点， 所以AD BC ，且12AD BC =， 所以ADMN 且AD MN =，所以四边形ADMN 为平行四边形， ........................................................................ 4分 所以DMAN ，又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ， 所以DM平面PAB ． ............................................................................................ 7分（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD =AD ，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，又PA AD ⊥，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴建系， ............................ 8分 设BE t =，则(002)P ，，，(020)D ，，，(20)E t ，，， 所以(022)PD =-，，，(220)DE t =-，，， 设()x y z =，，n 为平面PDE 的法向量，则 00PD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2202(2)0y z x t y -=⎧⎨+-=⎩， 令2y =得(222)t =-，，n . ..................................................................................... 10分 易知平面ABED 的法向量为(001)=，，m ， ......................................................... 12分 设平面PDE 与平面ABED 的夹角为θ，则2cos |cos |3θ===，n m ，解得1t =或3t =，故1BE =或3． ........................................................................ 15分 17．【解析】（1）由题意可知，X 的取值可能为4，6，8． ............................................................. 1分(4)0.50.520.5P x ==⨯⨯=； (6)0.50.50.520.25P x ==⨯⨯⨯=；(8)0.50.50.520.25P x ==⨯⨯⨯=； ......................................................................... 4分 所以三人总积分X 的分布列为X 4 6 8 P0.50.250.25所以0.540.2560.258 5.5EX =⨯+⨯+⨯=． ........................................................... 6分 （2）设事件A 为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，C 为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，则有：3131233213()(1)(1)(1)(1)P A p p p p p p p p p p =-+-+--； 1313211231()(1)(1)(1)(1)(1)(1)P B p p p p p p p p p p =-+---+--；21323131()(1)(1)(1)(1)P C p p p p p p p p =-+--=-； ............................................ 9分显然()()P B P C >； ................................................................................................. 11分3123321313211231()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)P A P B p p p p p p p p p p p p p p p p -=-+--------- 123313213(1)[(1)](1)(1)[(1)]p p p p p p p p p p =---+---- 13123321(1)[(1)(1)(1)]0p p p p p p p p =+--+-->所以 ()()P A P B >； ............................................................................................... 14分 故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局． ....................................................... 15分 18．【解析】（1）由题意可知，112AOB S =⨯⨯△， ............................................................ 2分所以 1p =，所以 抛物线E 的方程为22y x =. ............................................................................ 4分 （2）设112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，，因为 O 为ABC △的重心，所以 1230AOB AOC BOC x x x S S S ++===，△△△； ....................................................... 6分 因为313||||MOC AOC S x MC S AC x x -==-△△，323||||NOC BOC S x NC S BC x x -==-△△， ................................ 10分 且1MOC NOC S S S +=△△，2AOC BOC S S S ==△△；所以 22331121212122213231212121212123()3()22(2)(2)2()x x S x x x x x x x x S x x x x x x x x x x x x x x x x --++++=+=+==--++++++； ................................................................................................................................... 12分 设 :1AB x ty =+，与22y x =联立得：2220y ty --=，所以 122y y =-， 所以 21212()14y y x x ==，则122x x +=≥； ............................................. 14分所以 12212343[)1322()S S x x =∈++，； 所以12S S 的取值范围为43[)32，. ............................................................................... 17分 19．【解析】（1）由题意可知21234()3241f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31234()1234f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ........................................... 3分 （2）【解法一】①若1234()1234f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1()f i 为恒等置换；②若存在两个不同的i ，使得()f i i =，不妨设12i =，，则1234()1243f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以21234()1234f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2()f i 为恒等置换；③若存在唯一的i ，使得()f i i =，不妨设2i =，则1234()3241f i ⎛⎫=⎪⎝⎭或1234()4213f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 当1234()4213f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，由（1）可知3()f i 为恒等置换；同理可知，当1234()3241f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，3()f i 也是恒等置换； ④若对任意的i ，()f i i ≠，则情形一：1234()2143f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()3412f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()4321f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭；情形二：1234()2341f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()2413f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()3142f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()3421f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()4123f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()4312f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对于情形一：2()f i 为恒等置换； 对于情形二：4()f i 为恒等置换；综上，对任意4()f i S ∈，存在k +∈N ，使得()k f i 为恒等置换； ....................... 9分 【解法二】对于任意{1234}i ∈，，，，都有1234()()()(){1234}f i f i f i f i ∈，，，，，，，所以1234()()()()f i f i f i f i ，，，中，至少有一个满足()k f i i =， 即使得()k f i i =的k 的取值可能为1，2，3，4．当i 分别取1，2，3，4时，记使得()k f i i =的k 值分别为1234k k k k ，，，， 只需取k 为1234k k k k ，，，的最小公倍数即可． 所以 对任意4()f i S ∈，存在k +∈N ，使得()k f i 为恒等置换； ......................... 9分 （3）不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对{1252}，，，作一次如下置换:1234552()127228352f i ⎛⎫=⎪⎝⎭，即21()262k i k f i k i k =-⎧=⎨+=⎩，，，， 其中1226k =，，，． 注意到各编号在置换中的如下变化：112271433179532428404649251374fffffffffffffffff→→→→→→→→→→→→→→→→→，，，629158304121116103116344322371910f f f f f f f f f f f f f f f f→→→→→→→→→→→→→→→→，， 123242472438452312ffffffff→→→→→→→→，183518ff→→，2036444850512639205252f f f f f f f f f→→→→→→→→→，；所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1，2，8的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型． ............................................... 17分。
浙江省五校2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
浙江省五校2025届高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．223-C ．23-D ．13-2．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．1053．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．224．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+5．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β； ④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13- C ．1D ．38．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-9．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ） A．1⎛ ⎝⎭B．(C．1⎛ ⎝⎦ D．10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''==O C ''=ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+11．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦12．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年浙江省名校协作体高三(下)月考数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年浙江省名校协作体高三（下）月考数学试卷1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知复数z满足：，则( )A. B. C. D.3.若向量，满足，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.4.设x，y为正实数，若，则的最小值是( )A. 4B. 3C. 2D. 15.刍甍是如图所示五面体ABCDEF，其中，底面ABCD是平行四边形，《九章算术商功》对其体积有记载：“求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一”，意思是：若，，AB、CD之间的距离是h，直线EF与平面ABCD之间的距离是H，则其体积，现有刍甍ABCDEF，，，AB、CD之间的距离是2，EF与平面ABCD之间的距离是4，过AE的中点G，作平面平面ABCD，将该刍甍分为上下两部分，则上下体积之比为( )A. 1：3B. 1：7C. 5：7D. 5：236.已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若，则( )A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为( )A. 17B. 16C. 15D. 138.对任意正整数对，定义函数如下：，，，则( )A. B.C. D.9.下列结论中，正确的有( )A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5B. 若随机变量，则C. 已知经验回归方程为，且，则D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于10.已知函数，则( )A. 有两个极值点B.若方程有三个实根，则或C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线11.已知正三棱锥的底面边长为2，表面积为，A，B，C三点均在以O为球心的球O 的球面上，Q是该球面上任意一点，下列结论正确的有( )A. 球O的半径为B. 三棱锥的内切球半径为C. 的取值范围是D. 若平面ABC，则异面直线AC与QB所成角的余弦值为12.已知F为双曲线C：的右焦点，P在双曲线C的右支上，点设，，，下列判断正确的是( )A. 最大值为B.C. D. 存在点P满足13.展开式中含项的系数为______ .14.直线与圆相交于A，B两点，且为坐标原点，则______ .15.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是______ .16.已知定义在R上可导函数，对于任意的实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是______ .17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，C为锐角.求C；若，的面积.18.已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，求数列，的通项公式；设数列的通项，求数列的前n项和19.第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”.已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为，射进小门的概率依次为，，，假设各次进球与否互不影响.求这3人中至少有2人射进大门的概率；记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望.20.如图，在多面体ABCDE中，面BCDE为平行四边形，，，，，F为AC中点.求证：；二面角的正切值为4，求多面体ABCDE的体积.21.已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若恒成立，求实数m的取值范围.22.已知椭圆的离心率为，且经过点，，为椭圆C的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为求椭圆C的标准方程；①若，证明：；②若，探究，，之间关系.答案和解析1.【答案】B【解析】解：由集合，，，故选：先化简集合A，再进行集合的运算即可．本题考查交、并、补集的混合运算，可查学生的计算能力，比较基础．2.【答案】B【解析】解：，则，故故选：根据复数的四则运算可求得z，再根据模长公式即可得出结果．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，则，解得，，与的夹角为故选：根据平面垂直向量和向量数量积的定义，即可求解．本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为x，y为正实数，且，令，，则，则，当且仅当，即，时取等号．故选：由，令，，即可得到，则，利用基本不等式计算可得．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由，得，，所以，所以上下体积之比为5：故选：根据题意中的体积公式分别求出总体积和上部分的体积，即可求解．本题考查多面体的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设，，AB：，联立，得，，，解得，，，，，消去整理可得，又，故选：利用设而不求的思想，联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，根据弦长公式建立方程，求得直线斜率，结合向量数乘的坐标表示，可得答案．本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：，，的一个对称中心为，，，的对称轴方程，有，解得，又，所以，，为奇数，在上单调，则，得，由选项知，需要依次验证，15，13，⋯，直至符合题意为止，当时，，有，得，由得，此时，可以验证在上不单调，不符合题意；当时，，有，得，由得，此时，可以验证在上单调，符合题意；综上，的最大值为故选：根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可．本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：因为，所以，令，则，所以，A错误；因为，，，…，，累乘得：，因为，所以，令，则B错误；因为…，所以…，，则C正确；，则D错误．故选：根据新定义得，令即可判断A，根据，，，…，累乘可判断B，利用二项式定理求得…，结合判断C，，结合等比数列的前n项和公式判断本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：数据4，1，6，2，9，5，8整理为1，2，4，5，6，8，9，，则数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：随机变量，，则，所以选项B正确；经验回归方程为，且，则，所以选项C正确；根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率大于，所以选项D错误．故选：第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：，所以选项B正确；，所以选项C正确；此推断犯错误的概率大于，所以选项D错误．本题主要考查了百分位数的计算，考查了正态分布曲线的对称性，以及线性回归方程的性质，属于中档题．10.【答案】ACD【解析】解：由解得，，则函数在，上单调递增，在上单调递减，所以在，处取得极值，所以函数有两个极值点，所以选项A正确；由选项A可知，若方程有三个实根，需要a的取值介于两个极值点之间，即，即，所以选项B错误；计算得，则点是曲线的对称中心，所以选项C正确；当时，解得，而，，所以直线是曲线在点处得切线，所以选项D正确．故选：有两个极值点，，所以选项A正确；得，所以选项B错误；函数满足，所以选项C正确；直线是曲线在点处得切线，所以选项D正确．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：设G，H，，分别为BC，AB，AQ的中点，为的中心，，，，故选项A正确；设三棱维的内切球半径为，，，，故选项B正确；，，，故选项C错误；，，所以异面直线AC与QB所成角就是或其补角，因为，，所以异面直线AC与QB所成角的余弦值为，故选项D正确．故选：设G，H，分别为BC，AB，AQ的中点，为的中心，求出，故选项A正确；求出三棱推的内切球半径为，故选项B正确；，故选项C错误；求出㫒面直线AC与QB所成角的余弦值为，故选项D正确．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：A：设，于是，设，得，于是其中，所以，解得，即，A错误；B：，，，，令，则，当，即时，，B正确；C：，而，所以，C正确；D：当P纵坐标接近0时，很小而很大，当P纵坐标很大时，接近而很小，故必存在点P满足，D正确．故选：设，利用两点求斜率公式和换元法、辅助角公式可得，解不等式即可判断A；根据两点求距离公式和换元法可得，结合二次函数的性质即可判断B；根据和计算即可判断C；根据点P纵坐标与、的变化关系即可判断本题考查双曲线的几何性质，三角换元，函数思想，属中档题．13.【答案】21【解析】解：展开式的通项公式为，令则，所以含项为，所以系数为21，故答案为：根据二项展开通项公式求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由，得，又O到直线的距离为，所以，得故答案为：先求出O到直线的距离为，再解方程即得解．本题考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．15.【答案】【解析】解：法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，则；，小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是，法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率，故答案为：法1：设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用贝叶斯公式即可得到答案；法2：直接在迟到的前提下计算概率本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：令，，则易得，即为偶函数，当时，有，即函数在上单调递减，故在上单调递增，由，得，即，由为偶函数得，又在上单调递增，所以，故答案为：构造函数，，讨论奇偶性和单调性，根据函数的单调性和奇偶性解不等式．本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理得化简得，化简得，即，所以，又因为，所以，代入上式得，即，因为C为锐角，所以，则，故由可得：，根据余弦定理可知，代入数据后得：，解得，根据面积公式，所以的面积为【解析】利用正弦定理将边化角可得，根据三角恒等变换即可求得；由余弦定理以及可求得ab，再由三角形面积公式计算可得结果．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：设数列的公比为q，因为，即，解得或，当时，，不合题意，舍去，所以，由，解得，所以，对于，因为①，当时，，则，当时，②，由①-②得，即，又，也适合上式，故，，所以，所以；由可得，则数列的前n项和，①当n为偶数，时，，因为，，所以，②当n为奇数，且时，由可得，此时，当时，，也适合上式，所以，综上所述，【解析】对于，由题意列出关于，q的方程，求解即可；对于，由条件可得，采用累乘法求通项即可；对n分为两种情况，当n为偶数，时，根据的表达式，采用分组求和法求出结果；当n为奇数，且时，为偶数，，结合中结论及验证当时的情形，即可得出结果．本题主要考查了累乘法求数列的通项公式，考查了分组求和法的应用，属于中档题．19.【答案】解：设三人中射进大门的人数为Y，则，；甲获得“拉伊卜”的概率，乙、丙获得“拉伊卜”的概率，，，，的分布列如下：X0123P【解析】根据二项分布求概率公式计算即可求解；分别求出甲和乙、丙获得“拉伊卜”的概率，再求出、、、，列出分布列，结合数学期望的求法即可求解．本题考查二项分布的概率的求解，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．20.【答案】解：证明：取AB中点M，连接EM，FM，，M为AB中点，，为AB中点，F为AC中点，，，，，，，面MEF，面MEF，，平面MEF，由知，是二面角的平面角，，为锐角，由，解得，，，，，在中，由余弦定理得：，，，以M为坐标原点，MB所在直线为x轴，MF所在直线为y轴，过M作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设面BCDE的法向量，，取，得，点A到面BCDE的距离为，多面体ABCDE的体积为：【解析】取AB中点M，连接ME，MF，通过证明平面MEF，由此能证明；根据二面角的正切值以及余弦定理计算边长，利用向量法求得点A到面BCDE的距离，进而求得多面体ABCDE的体积．本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、多面体体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：当时，，所以所以，，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即由题易得，由，得：，令，则，所以在R上单调递增，式等价于，即，所以，，令，，则有，令，即，解得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以；所以只需，即综上，实数m的取值范围是【解析】利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；利用指数对数同构及构造函数，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的应用及分离参数法解决不等式恒成立问题，然后利用导数法研究函数的最值即可求解．本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．22.【答案】解：由题意得，解得，，所以椭圆C的标准方程为；①证明：由知，，，则可得，消去x可得，即，整理可得，，即，又，若，则，，即，，，即；②解：设：，令，则：，联立消去x得：，，整理得，，，，，设，令，，消去x得：，整理得，，两边同时除以得，，，【解析】由已知根据椭圆的性质即可求解；①根据两点求斜率公式和直线的点斜式方程表示出直线、，得根据平面平行向量的坐标表示可得，即可证明；②设直线方程，联立椭圆方程，消去x，得关于y的一元二次方程，化简整理方程可得同理可得，对于化简计算即可求解．本题主要考查了椭圆的性质的应用，还考查了直线与椭圆位置关系，数学运算的核心素养，属于难题．。
浙江省名校协作体高三下学期3月考试数学试题Word版含答案
2017学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.，，)A. D.2( )A. B. C.3( )A. B. C. D.4.）已( )A. B.6.已知袋子中装有若干个标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，若随机抽取一个小球，取到标有数字22，( )A. B.7.数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.( )A.B.C.D.如图所示，在棱长为1）A.10.时，，400）A. 5B.8C.11D.12二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________，体积为_________．12. 的等差数列，，当有最大值.13.的展开式中，所有有理项系数之和为，把所有项进行重新排列，则有理项互不相邻的排法有种.，则，若______.15.的取值范围是 .16，则此双曲线的离心率为.17足点构成，且区体积则_________.三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.（14分）且相邻个最(1)(2).19.（15分）在如图所示几何体中，为菱形.（1（2.20.（15(1)(2)大值的取值范围.21.（15直(1)(2).22.（15（1（2（3首命题：长兴中学次命题兼审校：温岭中学审核：嘉兴市第一中学2017学年第二学期浙江省名校协作体参考答案高三年级数学学科首命题：长兴中学次命题兼审校：温岭中学审核：嘉兴市第一中学一、选择题（每小题4分，共40分）二、11. 12. ，10 ；13. 32 ，144 ；14.15.17.三、解答题（18题14分，19-22题每题15分，共74分）18. （14分）（1……（2分）………………（4分）……（6分）……（8分）(2)……（10分）……（14分）19.（15分）（1.证明如下：.……（4分）.（6分）（2）解法一：为原点，轴，.9分）…………（11分）…………（13分）…………（15分）…………（7分）…………（8分）………………（12分）…………（14分）15分）20．（15分）（1……（1分）2分）……（4分）……（6分）……（8分）（2……（10分）.…………（12分）…………（15分）21.（15分）……（2分）…………（4分）…………（6分）…………（8分）(2)…………（10分）∴……（12分）∴…………（15分）22.（15分）（1. …………（5分）(2)由（1…………（10分）(3)…………（11分）…………13分…………（15分）。
浙江省名校协作体2021届高三下学期联考数学试题
【分析】
根据条件可确定点B的坐标，代入双曲线方程化简即可求出离心率.
【详解】
因为双曲线C： 的左焦点F ，
所以将 代入双曲线方程时，可得 ，
不妨设 ，根据 ， ，
可知三角形为等腰 ，
所以 ，
代入双曲线方程可得， ，
化简得 ，
即 ，
可得 ，
即 ，
解得 或 （舍去）
故选：C
【点睛】
关键点点睛：根据题意可知点B到直角三角形斜边的距离等于斜边长 的一半，且点的纵坐标为为 ，即可求出 ，代入双曲线方程后化简是解题的关键.
故选：D.
【点睛】
本题考查线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
4．D
【分析】
根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可.
【详解】
若 ， ，才有 ，故A错误
一条直线垂直于平面内两条相交的直线，才垂直于这个平面，故B错误
若 ，推不出 ，故C错误
若 ，则 ，故D正确
故选：D
5．B
【分析】
故答案为： ； .
13．
【分析】
本题可通过令 求出 的值，然后通过令 得出 ，通过令 得出 ，最后两式相减，即可得出结果.
【详解】
由题意可知， ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ①，
令 ，则 ②，
① ②可得： ，即 ，
故答案为： ， .
14．
【分析】
根据独立事件的概率公式知 ，结合已知即可求p的值，写出 时随机变量X分布列，根据随机变量X的分布列，求期望.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．设等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则下列结论正确的是（）
2020届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题(解析版)
2020届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题一、单选题1．已知集合{(){}|,|ln 1A x y B x y x ====-，则A B =I ( )A ．{|2}x x ≥B ．{|12}x x ≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x >【答案】A 【解析】根据二次根式的被开方数大于等于0，即可求出集合A ，根据对数函数的真数大于0，即可求出集合B ，再根据交集的运算即可求出A B I . 【详解】解：由题意得，{{}|2A x y x x ===≥，(){}{}|ln 11B x y x x x ==-=>，则{}2A B x x ⋂=≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算和函数的定义域，运用到二次根式的被开方数大于等于0和对数函数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题.2．椭圆22124x y +=的离心率是( )A ． BC ．2D 【答案】C【解析】根据椭圆的方程求得a 、c 的值，即可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】在椭圆22124x y +=中，2a =，b =c ==因此，椭圆22124x y +=的离心率为2c e a ==. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查计算能力，属于基础题.3．若实数x，y满足约束条件203101x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值是( )A．2 B．9 4C．134D．154【答案】D【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值. 【详解】不等式组203101x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如下图阴影部分所示：目标函数2z x y=+，可整理为1122y x z=-+，与直线12y x=-平行.数形结合可知，目标函数当且仅当过点17,44A⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值.故17152444maxz=+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查简单线性规划问题的最值求解，注意数形结合即可，属基础题.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．35B ．40C ．402D ．48【答案】B【解析】由三视图还原出几何体的直观图，可知几何体为四棱柱，再利用棱柱的体积公式，结合题给数据，即可求出几何体的体积. 【详解】解：由题给的三视图可得，该几何体为如下图：即为直四棱柱ABFE DCGH -，4,1AB EF ==，4BF BC ==，则底面ABFE 的面积为：()144102S +⨯==，棱柱的高：4h BC ==，该几何体的体积为：10440V Sh ==⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，涉及棱柱的体积公式，画出几何体的直观图是解题的关键.5．若a ，b ∈R .则“关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根”是“a >|b |+1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若已知关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根，由根的判别式得出24a b >，由于a ，b R ∈，可取0,1a b ==-，进行验算即可判断不能推出1a b >+，反之已知1a b >+，则444a b ->，利用()220a -≥，可得出24a b >，则>0∆，可知能推出方程20x ax b -+=有两个不等实数根，最后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得出答案. 【详解】解：由题可知，a ，b R ∈，若已知关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根， 则240a b ∆=->，即24a b >，取0,1a b ==-时满足24a b >，即>0∆，则方程20x ax b -+=有两个不等实数根， 但此时1a b <+，故充分条件不成立；反之，若已知1a b >+，即1a b ->，则444a b ->， 由于()220a -≥，即244a a ≥-，所以24a b >，则有24a b >，即>0∆，则方程20x ax b -+=有两个不等实数根， 故必要条件成立；所以“关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根”是“1a b >+”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次方程根和判别式的关系是解题的关键. 6．函数()2x x xx e y eππ--+≤=…的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用定义法判断函数的奇偶性，得出()f x 为奇函数，排除C 和D ，由于()()()()222x x x x xx e e x e e f x ee---+--'=+，当3x =，求得()30f '<，得出原函数图象逼近π时，图象单调递减，故A 正确.【详解】解：由于函数()()2x x xf x ex e y ππ-=-≤=≤+， 则()()2xx x f xee f x -+--==-， 所以()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，排除C 和D ， 由于()()()()222x x x x x x e e x e e f x e e ---+--'=+，当3x =时，()()333333268222640xxx x e ex e e e e e e e e--+--=+-+=-+<， 即()30f '<，即原函数图象逼近π时，切线的斜率小于0， 所以原函数图象逼近π时，图象单调递减，故A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，利用定义法判断奇偶性和利用导数法判断单调性进行排除.7．随机变量ζ的分布列如下表所示，若()13E ζ=-，则()31D ζ-=( ) ζ-1 0 1p12abA ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由于()13E ζ=-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D ζ，再由()()319D D ζζ-=，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E ζ=-Q ，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()5319959D D ζζ-==⨯=， 所以()315D ζ-=. 故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，考查运算求解能力.8．已知函数()||f x x x a =-的图象与()31g x ax =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A ．1, 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．⎫∞⎪⎪⎝⎭C ．41⎛ ⎝⎭D ．1(2 【答案】A【解析】当0a <时，根据函数的图象知()f x 和()g x 的图象不可能有三个不同的交点，故舍去.当0a >时，根据()f x 和()g x 相切时的图象即可得到a 的取值范围. 【详解】当0a <时，如图所示：()f x 和()g x 的图象不可能有三个不同的交点，故舍去.当0a >时，()f x 和()g x 相切时，如图所示：()31x x a ax -=-，即2410x ax -+=. 21640a ∆=-=，解得：12a =. 所以当12a >时，()f x 和()g x 的图象有三个不同的交点. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的交点个数，同时考查了分类讨论的思想，根据题意画出图象为解题的关键，属于中档题.9．已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点，沿直线DE 将ADE V 翻折成PDE △，直线PB 与平面BCDE 所成角最大时，线段PB 长是( )A ．743 B ．543C ．742D ．542【答案】C【解析】取CD 的中点F ，连接AF 交于DE 的中点O ，AF DE ⊥，进而有DE ⊥平面POF ，过点P 作PQ AF ⊥于点Q ，可证PQ ⊥平面BCDE ，连接BQ ，设直线PB 与平面BCDE 所成的角为α，平面PDE 与平面BCDE 所成的角为β，根据条件可知,AO DE PO DE ⊥⊥，PQ ⊥平面BCDE ，,PBQ POQ αβ∠=∠=，通过边长关系求出OQ β=，PQ β=，AQ AO OQ β=+=，以及利用余弦定理求出)228BQ β=+，从而得出)()22222tan 8PQ BQ βαβ==+，根据同角三角函数关系和换元法令[]2cos 64,8t β+=∈，得出24tan 1328t tα=-++-，再根据基本不等式时得出当cos 3t β=⇒=时，2tan α取得最大值，从而可求出线段PB 长【详解】解：取CD 的中点F ，连接AF 交于DE 的中点O ， 在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为AB 中点， 所以四边形AEFD 为正方形，AF DE ⊥， 所以,,PO DE OF DE PO OF O ⊥⊥=I ，故DE ⊥平面POF ，在平面POF 内过点P 作PQ AF ⊥于点Q ， 则,DE PQ DE AF O ⊥=I ，所以PQ ⊥平面BCDE ，连接BQ ， 设直线PB 与平面BCDE 所成的角为α，即PBQ α∠= 设平面PDE 与平面BCDE 所成的角为β，,OF DE PO DE ⊥⊥，所以POQ β∠=，所以DE PO AO ===所以在Rt POQ △中，,PQ OQ ββ==，则AQ AO OQ β=+=，在ABQ △中，4,4AB BAQ π=∠=，则由余弦定理得出：()22822cos BQ β=++，则有()()222222sin tan 822cos PQBQ βαβ==++222sin 822cos 4cos βββ=+++22sin cos 2cos 5βββ=++ 221cos cos 2cos 5βββ-=++22cos 61cos 2cos 5βββ+=-+++，令[]2cos 64,8t β+=∈，则6cos 2t β-=， 即：24tan 1328t tα=-++-， 当直线PB 与平面BCDE 所成角α最大时，2tan α最大， 即24tan 1328t tα=-++-取得最大值时，当且仅当32t t=， 此时42cos 223t β=⇒=-， 所以，()()2222sin 822cos PB ββ=+++72124cos 822β=+==，即742PB =.故选：C.【点睛】本题考查线面角和二面角的定义，还运用余弦定理和利用基本不等式求最值，还涉及同角三角函数关系和换元法，考查转化思想和化简运算能力.10．数列{}n a 满足*31101,N ,n n n n a a a a n S +>=-∈+，表示数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，则下列选项中错误．．的是( ) A ．若1203a <<，则1n a < B ．若1213a <<，则{}n a 递减 C ．若112a =，则1142n n S a +⎛⎫>- ⎪⎝⎭D ．若12a =，则200023S >【答案】D【解析】对于选项A ，令()31f x x x =-+，()0,1x ∈，利用导数求出()()0,1f x ∈即可；对于选项B，首先得到当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭()()11f f x f <<<=⎝⎭，然后结合1213a <<和21a a <可得出{}n a 递减；对于选项C ，证明11114n n n a a a +⎛⎫>-⎪⎝⎭即可；对于选项D ，证明117116n n n a a a +⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可. 【详解】对于选项A ，令()31f x x x =-+，()0,1x ∈则()231f x x '=-，所以()f x在0,3骣琪琪桫上单调递减，在3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增 因为()()01,10,1139f f f ⎛⎫==->= ⎪⎪⎝⎭，所以()()0,1f x ∈ 所以当()120,0,13a ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭时1n a <，故A 正确 对于选项B ，()()3212111n n n n n n n a a a a a a a +=-+=-+--因为1213a <<，所以21110a a +->，所以21a a < 因为()31f x x x =-+在3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭()()11f f x f <<<=⎝⎭所以1231n a a a a >>>>>->L ，所以{}n a 递减，故B 正确 对于选项C ，令()391,05g x x x x =-+> 则()2935g x x '=-，易得()min 10525g x g ⎛==-> ⎝⎭所以39105n n a a -+>，所以3415n n n a a a -+>，即145n n a a +> 所以11114n n n a a a +⎛⎫>- ⎪⎝⎭所以122132111111111111144++1114244n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++>-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L故C 正确对于选项D ，因为12a =，所以()32121210n n n n n n a a a a a a +=-=-+-+>所以()22114n nn n a a a a +>-≥≥令()381,4h x x x x =-+>，则()238h x x '=-易得()()40h x h >>，所以3810n n a a -+>，所以317n n n a a a -+>，即17n n a a +>所以117116n n n a a a +⎛⎫<- ⎪⎝⎭所以2233411111711711711++22666n n n n a a a a a a a a S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 2111711171111226267263n n a a a ++⎛⎫⎛⎫=+-=+-<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故D 错误 故选：D 【点睛】本题考查的是数列的综合问题，解答的关键是结合导数的知识，构建合适的不等式，属于难题.二、双空题11．已知复数z 满足()1234(i z i i -=+为虚数单位)，则复数z =________；|z |=________.【答案】12i -+【解析】根据复数的运算法则即可化简求得复数z ，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为()1234i z i -=+，故可得()()()()341234510121212125i i i iz i i i i +++-+====-+--+.又z ==故答案为：12i -+【点睛】本题考查复数的运算法则，以及复数模长的求解，属综合基础题.12．二项式3(n x-的展开式中，各项系数之和为64，则n =________；展开式中的常展开式中的常数项是________. (用数字作答) 【答案】6 135【解析】令1x =，求出展开式各项的系数和，建立关于n 的方程，进而求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出项数，即可得出结论. 【详解】对于二项式3(n x，令1x =， 得各项的系数和为264,6nn =∴=，二项式63(x的展开式中，通项为366621663()((1)3k k k k k k k k T C C x x---+==-⋅⋅，0,1,2,6k =L ，令360,42k k -==，所以展开式中常数项为2463135C ⋅=.故答案为：6，135. 【点睛】本题考查二项展开式定理以及性质，利用赋值法是解题的关键，熟记展开式的通项，属于基础题.13．已知椭圆2214x y +=.点E 为椭圆在第一象限内一点，点F 在椭圆上且与点E 关于原点对称，直线10x y +-=与椭圆交于A ，B 两点，则点E ，F 到直线x +y -1=0的距离之和的最大值是________；此时四边形AEBF 的面积是________. 【答案】10855【解析】根据题意，设出,E F 两点坐标，利用点到直线的距离公式，求得距离之和的表达式，结合E 点在椭圆上坐标满足椭圆方程，利用柯西不等式即可求得距离之和的最大值；联立椭圆方程和10x y +-=，求得,A B 两点坐标，即可求得AB ，则四边形的面积可得. 【详解】根据题意，作图如下：不妨设()00,E x y ，则()00,F x y --， 故,E F 到直线10x y +-=的距离之和0000112x y x y d +-+++=因为点E 是椭圆上位于第一象限的点，根据直线划分平面，以及点E 位于直线AB 的右上侧，故可得：0010x y +->，且0010x y ++>， 则)0000001122x y x y d x y +-+++==+.又因为点E 在椭圆上，故220044x y +=，由柯西不等式可得：()()222220001412x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即()2005x y +≤，解得00x y +≤，当且仅当00x y ==时取得等号.故)00d x y =+≤=；联立椭圆方程2214x y +=与直线方程10x y +-=，可得2580x x -=，解得()830,1,,55A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得5AB ==.故四边形AEBF 的面积125S AB d =⨯=.. 【点睛】本题考查椭圆中四边形面积的求解，涉及椭圆中范围问题的求解，涉及柯西不等式的利用，属综合中档题.14．在锐角ABC ∆中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 56A B π+=，则b a的取值范围是________.若这个三角形中的A ，B 同时满足tanA =2tanB ，则()sin A B -=________.【答案】⎝⎭ 16 【解析】（1）利用正弦定理将b a转化为sin sin BA ，然后将B 转化为A ，利用A 的取值范围，求得ba的取值范围. （2）利用tan 2tan A B =以及56A B π+=，结合两角差的正切公式，求得tan A 的值，将()sin A B -转化为含tan A 的表达式的形式，由此求得()sin A B -的值. 【详解】（1）由正弦定理得51sin cossin1622sin sin sin2tanA A Ab Ba A A A Aπ⎛⎫-⎪⎝⎭====+由于三角形ABC是锐角三角形，所以0,232 50,62AAB Aπππππ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⇒<<⎨⎛⎫⎪=-∈⎪⎪⎝⎭⎩，所以)1tan,0,2tan6AA⎛∈+∞∈⎝⎭，所以1223tan2A⎛+⎝⎭.（2）由于5tan tan56tan2tan2tan2561tan tan6AA B AAπππ-⎛⎫==-=⨯⎪⎝⎭+⋅，化简得2tan20A A--=①，由于A为锐角，所以tan0A>，所以①解得tan A=由tan2tanA B=可得sin2sinsin cos2cos sincos cosA BA B A BA B=⇒=，所以()sin sin cos cos sinA B A B A B-=-5cos sin cos sin6A B A Aπ⎛⎫==-⎪⎝⎭211cos cos cos cos22A A A A A A⎛⎫==⎪⎪⎝⎭222211cos sin cos tan2222cos sin1tanA A A AA A A++==++，将tan A=得211221tan6AA+=+，即()1sin6A B-=.故答案为：（1）23⎛⎝⎭；（2）16.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变形，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.三、填空题15．设正数a ，b 满足， 11316a b a b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则a bb a +的最大值是________.【答案】18【解析】变形已知13(3)()16a b a b+++=，利用基本不等式构造a b b a+，由1316(3)()a b a b =+++≥化简可得解. 【详解】113()16a b a b +++=Q ，13(3)()16a b a b∴+++=1316(3)()a b a b ∴=+++≥8∴≥3()54b a a b ∴+≤，18b a a b ∴+≤当且仅当133=8a b a b ++=即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立.故答案为：18 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.16．已知平面向量,,a b c r r r ，1||||1,,22a b a b a c ==⋅=⋅=u u r u u r r r r r ，若对于任意的向量d r均有||d c -r r|d a -r r ，则||||d a d b -+-u r r rr 的取值范围是________.【答案】⎡⎣【解析】设向量,,,a b c d r rr r 的始点为原点O ，终点分别为,,,A B C D，取1(1,0),(2a b ==r r，则点C 在直线2x =上，设点D 到直线2x =的距离为d ，则||d c -r r ||CD d =≥，所以||22AD d =，设(,)D x y ，可得点D 的轨迹方程为2212x y +=，再根据椭圆的定义可得结果. 【详解】设向量,,,a b c d r rr r 的始点为原点O ，终点分别为,,,A B C D ，因为1||||1,,22a b a b a c ==⋅=⋅=u u r u u r r r r r，取13(1,0),(,)22a b ==rr，则由2a c ⋅=r r 可知点C 在直线2x =上， 设点D 到直线2x =的距离为d ，则||d c -r r||CD d =≥，根据题意得2||2||d a AD d -==rr，即||22AD d =， 设(,)D x y ，则22(1)22x y -+=， 化简得2212x y +=，所以动点D 的轨迹是以A (1,0)为焦点，直线2x =为准线的椭圆， 设另一个焦点为1A ，则1(1,0)A -， 易知点13(,)2B 在椭圆内， 如图所示：所以||||d a d b -+-u r r rr ||||DA DB =+11|||||DA DB A B =+≤+==D 为1BA 的延长线与椭圆的交点时取得等号，||||d a d b -+-u r r rr ||||DA DB =+1||||DA DB =+1||A B ≥=当D 为1A B 的延长线与椭圆的交点时取得等号，所以||||d a d b -+-u r r rr 的取值范围是⎡⎣.故答案为：⎡⎣【点睛】本题是平面向量和椭圆的综合题，根据平面向量的几何意义得到动点D 的轨迹为椭圆是解题关键，考查了根据椭圆的定义求动点到定点的距离之和的最值，属于难题. 17．已知函数()||1ln x a f x xex -=--，当[)1,x ∈+∞时，()f x 的最小值为0，且对任意的1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式22cos ax m x ≥-恒成立，则实数m 的最大值是________. 【答案】2【解析】根据题意，由()f x 的最小值为0分析可得1a =，再对不等式变形可得22cos x x m +≥，构造函数()22cos g x x x =+，求得最小值为()02g =，即可得到结论.【详解】由题意，()1ln ,1ln 1ln ,x a x aa x xe x x af x xex xe x x a ---⎧--≥=--=⎨--≤⎩，当1a ≤时，()1ln x af x xex -=--，此时()()11x a f x x e x-'=+-，当[)1,x ∈+∞时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递增， 所以，()f x 的最小值为()1110af e-=-=，解得1a =.当1a >时，()1ln ,1ln ,x a a x xe x x af x xe x x a--⎧--≥=⎨--≤⎩，当x a ≥时，此时()1ln x af x xex -=--，()()110x a f x x e x-'=+-≥恒成立，所以，函数()f x 的最小值为()1ln 0a af a ae a -=--=，解得1a =（舍），当x a ≤时，此时()1ln a xf x xex -=--，()()110a x f x x e x-'=--≤恒成立， 所以，函数()f x 的最小值为()1ln 0a af a aea -=--=，解得1a =（舍）.综上，当[)1,x ∈+∞时，()f x 的最小值为0时，此时1a =，所以，不等式22cos x m x ≥-对1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，即22cos x x m +≥， 令()22cos g x x x =+，则()()22sin 2sin g x x x x x '=-=-，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥恒成立，即()h x 在R 上单调递增，又()00h =，所以，当102x -≤<时，()0h x ≤，即()0g x '≤；当01x ≤≤时，()0h x ≥，即()0g x '≥.即()g x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在[]0,1上单调递增， 所以，()g x 在0x =处取得最小值，此时最小值为()02g =， 所以，2m ≤，即实数m 的最大值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，构造函数，考查不等式恒成立，属于中档题.四、解答题18．已知关于x 的函数()22sin cos ,f x x x x m m R =-++∈，其图象过点(,2)12π. （1）求实数m 的值； （2）设()0,απ∈，212f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求cos α的值.【答案】（1（2.【解析】（1）根据题意化简函数()f x ，再由函数图象过点,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即可得到m . （2）根据212f α⎛⎫=⎪⎝⎭，可得1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由()0,απ∈可得cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再将cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得到结论. 【详解】由题意，())22sin cos 1cos2sin 2f x x x x m x x m =-++=-++，即()2sin 23f x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）因函数()f x 其图象过点,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即2sin 21263f m πππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m . （2）由12sin 232f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,απ∈，则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以，cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即11cos 24α=+=【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，灵活运用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键.19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形90ADC ︒∠=，BC //A D ，1,2,CD BC AD PAB ===∆为正三角形，M 为PD 中点.（1）证明:CM //平面PAB ； （2）若二面角P -AB -C 的余弦值为33，求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）根据题意，取AD 的中点为E ，连接EM ，EC ，利用中点可得平面//PAB 平面MEC ，进而可得结论；（2）根据题意，取AB 的中点F ，连接PE ，BE ，EF ，计算可得PE EF ⊥，进而可得PE ⊥平面ABCD ，建立坐标系，利用空间向量计算即可. 【详解】（1）证明：取AD 的中点为E ，连接EM ，EC ，如图：由题意，ABCD 为直角梯形，1BC CD ==，2AD =，M 为PD 中点， ∴ME PA //，//EC AB ， 又PA AB A =I ，ME EC E =I ，∴平面//PAB 平面MEC ，而CM ⊂平面MEC ，CM ⊄平面PAB ， 故//CM 平面PAB .（2）由题意，取AB 的中点F ，连接PE ，BE ，EF ，如图：因ABE ∆为等腰直角三角形，PAB ∆为正三角形，则EF AB ⊥，PF AB ⊥，即AB ⊥平面PEF ，即PE AB ⊥即二面角P AB C --的平面角为PFE ∠，则3cos 3PFE ∠=，又2AB =，则62PF =，2EF ，由余弦定理可得1PE =，则222EF PE PF +=，即PE EF ⊥，而EF AB F =I ，所以，PE ⊥平面ABCD ，由ABCD 为直角梯形，所以，以,,EB ED EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,0,1P ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，则()0,2,0AD =u u u r ，()0,1,1PD =-u u u r ，()1,0,1PB =-u u u r设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，由00n PD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即00y z x z -=⎧⎨-=⎩，取1z =，所以1x y ==，所以，平面PBD 的一个法向量为()1,1,1n =r， 所以3sin cos ,323n AD θ===⨯r u u u r， 即直线AD 与平面PBD 所成的正弦值为33. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．20．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足()11*N 1,2,n n n a a S S n n -=-∈=….（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n T 为{}1n n a S +的前n 项和n *∈N ，证明: ()31421n T n n ≥-++.【答案】（1）()1,11,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项与公差都为1的等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）可得()1211n n a S n n +=-+，即21321n n n T a S a S a S +=+++L ，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）当2n ≥时，由11n n n n n a S S S S --=-=-⋅，即1111n n n n n n S S S S S S ----=-⋅⋅， 所以，1111n n S S --=，又11111S a ==，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项与公差都为1的等差数列， 所以，1n n S =，即1n S n=，故()111n n n a S S n n -=-=--，而11a =， 故数列{}n a 的通项公式：()1,11,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩. （2）由（1）可得()1211n n a S n n +=-+，所以，()2132122211112231n n n T a S a S a S n n +=+++=---⨯⨯+L L 要证明()31421n T n n ≥-++，即证明()()2221111221233411n n n n -+---≥⨯⨯++L . 数学归纳法证明： 当1n =时，左边211122=-=-⨯，右边31142122=-+=-⨯⨯，不等式成立；假设当n k =时，()()2221111221233411k kk k -+---≥⨯⨯++L 成立， 那么当1n k =+时， 左边()()()2222111112231111k k k k =----⨯⨯++++L ()()()()()22231132421412212k k k k k k k k k ++-+-=-++≥++++()()()()()22213344212212k k k k k k k k k k ++-+=-++≥+++()()3142111k k =-+=+++右边.即当1n k =+时，不等式也成立；综上，当n *∈N 时，不等式()()2221111221233411n n n n -+---≥⨯⨯++L 成立， 故()31421n T n n ≥-++. 【点睛】本题考查了递推关系的应用、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21．如图，已知椭圆C :2212x y +=过原点的直线与椭圆交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点()0,0E x ，设直线BE 与椭圆的另一交点为P ，连接AP 得到直线l ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N .（1）若01x =，求直线AP 的斜率；（2）记,,ABP OEP OMN ∆∆∆的面积分别为S 1，S 2，S 3，求1232S S S -的的最大值.【答案】（1）2-；（2）12. 【解析】（1）根据01x =，求出,,E A B 的坐标，再求出直线BE的方程，并与椭圆方程联立解得P 的坐标，最后用斜率公式可得直线AP 的斜率；（2）设11(,)P x y ，00(,)A x y ，则00(,)B x y --，利用三角形的面积公式求出12002S S x y -=，根据斜率公式和椭圆方程可得PA 的斜率和直线PA 的方程，进而求出,M N 的坐标和3S ，最后用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为01x =，所以022y =， 所以(1,0)E ，2(1,)A ，2(1,)B --， 所以直线BE 的方程为：220(1)11y x ---=---，即221x y =+，联立2222112x y x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得2104210y y +-=，所以122y =-，2210y =，所以72(,)510P ，所以222102715APk -==--.（2）设11(,)P x y ，00(,)A x y ，则00(,)B x y --，则1ABE APE S S S =+V V 000101()2x y y x x =+-， 因为11(,)P x y 在直线BE ：0002x x y x y =+上，所以011002x x y x y =+，所以0100010212x S x y y y y =+⨯0001x y x y =+，因为20112S x y =， 所以12000101002S S x y x y x y x y -=+-=，因为221101022101010o PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-2210221011111222x x x x -+-==--， 所以0011222PA PB x k y k y x =-=-=-⨯， 所以直线PA ：0000()x y y x x y -=--， 所以2000(,0)y M x x +，2000(0,)x N y y +， 所以2200300001()()2y x S x y x y =++2220000()2x y x y +=， 所以0012222003002()2x y S S x y S x y -=+2200222002()x y x y =+2200220024x y x y ≤12=， 当且仅当00x y=3=时，等号成立. 所以1232S S S -的的最大值为12. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点问题，考查了直线方程的点斜式和直线的斜率公式，考查了基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()ln xa f x a xe a e x -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，a R ∈(其中e 为自然对数的底数).（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若不等式()ln f x a x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递增；（2）1e a e -≥.【解析】（1）将1a =代入解析式，并求得()f x '，令()1xx g x e =-+并求得()g x '；由()g x '的符号可判断()g x 的单调性，进而求得()min 0g x >，即可由()f x '符号判断函数()f x 的单调性；（2）根据不等式及函数()f x 的解析式，代入后化简变形，并令xt a=，转化为关于t 的不等式，分离常数后构造函数()ln tt t e h t te--+=，求得()h t '后，再构造函数()1ln g t t t e =+--，求得()g t '；由()g t '的符号可判断()g t 的单调性，进而可知存在021,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00g t =，从而判断出()h t 的单调性与极值点，结合函数解析式求得()()10e h e h t e -==，即可由恒成立问题求得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，函数()xf x xe e x -=-+，则()()211x xx xx e xe e f x x e e --++'==， 令()1x x g x e =-+，则()1xg x e '=-，令()0g x '=，解得0x =，所以当0x <时，()10xg x e =-<'，()1xx g x e =-+在0x <时单调递减，当0x >时，()10xg x e =-'>，()1xx g x e =-+在0x >时单调递增，即()()min 1200xg x g e x -+==>=，所以()10x xx e f x e '=+>-，即函数()f x 在R 上单调递增.（2）当0a >时，不等式()ln f x a x ≥恒成立，代入可得ln ln xa a xe a e x a x -⎛≥⎫+-+ ⎪⎝⎭， 因为0a >，化简可得ln ln xax xe a e x a -+-≥+，即ln 0x a x xxe a ae ---≥+，令,0xt t a=>，所以,x at =则不等式可化为ln 0t ate e t t --+≥-， 变形可得ln tt t e a te--+≥，令()ln tt t e h t te--+=，则()()()()()()2211ln 11ln t t t t t te t t e e te t t t e t h t t e te-----⎛⎫---+- ⎪-+--⎝⎭'==， 令()1ln g t t t e =+--，则()111t g t t t-'=-=， 令()0g t '=，解得1t =，当01t <<时，()0g t '<，则()g t 在01t <<内单调递减， 当1t <时，()0g t '>，则()g t 在1t <内单调递增， 而()111ln120g e e =+--=-<，221130g e e e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，()0g e =，所以存在021,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00g t =， 从而当()00,t t ∈时()0h t '>，则()ln tt t e h t te--+=在()00,t t ∈时单调递增；当()0,1t t ∈时，()0h t '<，则()ln t t t e h t te--+=在()0,1t t ∈时单调递减；当()1,t e ∈时，()0h t '>，则()ln tt t e h t te--+=在()1,t e ∈时单调递增；当()1,t ∈+∞时，()0h t '<，则()ln tt t e h t te--+=在()1,t ∈+∞时单调递减.则()ln tt t e h t te --+=在0x t =或x e =处取得最大值，而()11e e h e e e e--==⋅，()00000ln t t t e h t t e --+=⋅，因为()00g t =，即001ln 0t t e +--= 则()ln 11001000000000ln t t e e e t t t e t e e e h t e t t t t e -+-+---+⋅=====， 综上可知，a 的取值范围为1e a e -≥. 【点睛】本题考查了导函数与函数单调性的关系，函数单调性、极值、最值的综合应用，由导函数研究不等式恒成立问题，分离参数与构造函数法的综合应用，是高考的常考点，属于难题.。
浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考试题 数学含答案
浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学试卷（答案在最后）命题:一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.若全集U ,集合A,B 及其关系如图所示,则图中阴影部分表示的集合是()A.()U A B ⋂ðB.()U A B ⋃ðC.()U A B⋂ð D.()U A B⋂ð2.已知(1,2),||2a b == ,且a b ⊥ ,则a b - 与a的夹角的余弦值为()A.5B.3C.4D.63.设b ,c 表示两条直线,,αβ表示两个平面,则下列说法中正确的是()A.若//,b c αα⊂,则//b cB.若//,b c b α⊂,则//c αC.若,//c αβα⊥,则c β⊥ D.若//,c c αβ⊥,则αβ⊥4.已知角α的终边过点(3,2cos )P α-,则cos α=()A.2B.2-C.2±D.12-5.设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,则“2q =”是“{}1n S a +为等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知实数x ,y 满足3x >,且2312xy x y +-=,则x y +的最小值为()A.1+B.8C. D.1+7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点A 为双曲线的左顶点,以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ,Q 两点,且23PAQ π∠=,则该双曲线的离心率为()C.2138.在等边三角形ABC 的三边上各取一点D ,E ,F ,满足3,90DE DF DEF ︒==∠=,则三角形ABC 的面积的最大值是()A. B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在学校组织的《青春如火,初心如炬》主题演讲比赛中,有8位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列说法中正确的是()A.剩下评分的平均值变大B.剩下评分的极差变小C.剩下评分的方差变小D.剩下评分的中位数变大10.在三棱锥A BCD -中,已知3,2AB AC BD CD AD BC ======,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点，则()A.MN ⊥ADB.异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是78C.三棱锥A BCD -的体积为3D.三棱锥A BCD -的外接球的表面积为11π11.已知函数()(sin cos )xf x e x x =⋅+,则()A.()f x 的零点为,4x k k Z ππ=-∈B.()f x 的单调递增区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时,若()f x kx ≥恒成立,则22k e ππ≤⋅D.当10031005,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,过点1,02π-⎛⎫⎪⎝⎭作()f x 的图象的所有切线,则所有切点的横坐标之和为502π三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.直线3430x y -+=的一个方向向量是.13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为.14.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若(21),(2)f x g x --均为偶函数,且当[1,2]x ∈时,3()2f x mx x =-,则(2024)g =.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)如图,斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形,90ACB ︒∠=,点1B 在底面ABC 内的射影恰好是BC 的中点,且2BC CA ==.(I)求证:平面11ACC A ⊥平面11B C CB ;(II),求平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值.16.(本小题满分15分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.17.(本小题满分15分)记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n 次这样的构造,可得到n 个复数,将它们的乘积记为n z .已知复数具有运算性质:|()()||()||()|a bi c di a bi c di +⋅+=+⋅+,其中,,,a b c d R ∈.(I)当2n =时,记2z 的取值为X ,求X 的分布列;(II)当3n =时,求满足32z ≤的概率;(III)求5n z <的概率n P .18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy 中,我们把点*(,),,x y x y N ∈称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点(,)x y 进行赋值记为(,)P x y ,例如(2,3)8P =,(4,2)14,(2,5)17P P ==.(I)求(,1)P x ;(II)求证:2(,)(1,)(,1)P x y P x y P x y =-++;(III)如果(,)P x y 满足方程(1,1)(,1)(1,)(1,1)2024P x y P x y P x y P x y +-+++++++=,求(,)P x y 的值.19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy 中,过点(1,0)F 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于M ,N 两点(M在第一象限).(I)当||3||MF NF =时,求直线l 的方程;(II)若三角形OMN 的外接圆与曲线C 交于点D (异于点O ,M ,N ),(i)证明:△MND 的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;(ii)求凸四边形OMDN 的面积的取值范围.参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.题号12345678答案CBDBCACA二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案BCABDACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.31,4⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一)13.2514.-6四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(第I 问,6分;第II 问,7分)解:(I)取BC 中点为M ,连接11,B M B 在底面内的射影恰好是BC 中点,1B M ∴⊥平面ABC ,又AC ⊂ 平面1,ABC B M AC ∴⊥,又90,ACB AC BC ︒∠=∴⊥ ,1,B M BC ⊂ 平面111,,B C CB B M BC M AC ⋂=∴⊥平面11B C CB ,又AC ⊂ 平面11,ACC A ∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .(II)以C 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,2BC CA == ,11(2,0,0),(0,2,0),(0,1,0),(0,A B M B C ∴-,111((2,2,0),(0,2,0)AB AB B C =-=-=-,设平面1BAB 的法向量为(,,)n x y z =,100n AB n AB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩则有20220x y x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩,令z =,则3,x y n ==∴= ,设平面1BAB 的法向量为(,,)m a b c =,11100m AB m B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩则有2020a b b ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩,令a =则0,2,b c n ==∴=,||5|cos ,||||7| n m n m n m ⋅∴<〉==,平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值为57.16.(本小题满分15分)(第I 问,6分;第II 问,9分)(I)1()f x a x'=-,则(1)1,(1)f a f a '=-=-,故曲线()y f x =在1x =处的切线为(1)(1)y a a x +=--,即(1)1y a x =--,当1a =时,此时切线为1y =-,不符合要求当1a ≠时,令0x =,有1y =-,令0y =,有11x a =-,故111a=--,即2a =,故2a =(II)11()ln ,()axf x x ax f x a x x-=-∴=-= ,①当0a ≤时,()f x 在(0,e]上单调递增,()f x ∴的最大值是(e)1e 3f a =-=-,解得40ea =>,舍去;②当0a >时,由11()0ax f x a x x -=-==,得1x a=,当10e a <<,即1a e >时,10,a x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时,1()0;,e f x x a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时,()0f x <,()f x ∴的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间是1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又()f x 在(0,e]上的最大值为2max 13,()1ln 3,e f x f a a a ⎛⎫-∴==--=-∴= ⎪⎝⎭;当1e a ≤,即10ea <≤时,()f x 在(0,e]上单调递增,max ()(e)1e 3f x f a ∴==-=-,解得41e ea =,舍去.综上,存在a 符合题意,此时2e a =17.(本小题满分15分)(第I 问,6分;第II 问,4分;第III 问,5分)(I)由题意可知,可构成的复数为{1,,1}i i +,|1|||1,||||||| 2.i i =====+=且X的可能取值为,111111224242111111666666122(1),(,(2)999C C C C C C P X P X P X C C C C C C ⋅⋅⋅=========⋅⋅⋅，112211661(3)9C C P X C C ⋅===⋅111142221111666621(,(4)99C C C C P X P X C C C C ⋅⋅======⋅⋅，所以分布列为:(II)共有111666216CC C ⋅⋅=种,满足32z ≤的情况有:①3个复数的模长均为1,共有1112228C C C ⋅⋅=种;②3个复数中,2个模长均为1,1或者2,共有2111322448C C C C ⋅⋅⋅=种;所以()38487221627P z +≤==.(III)当1n =或2时,显然都满足,此时1n P =;当3n ≥时,满足5n z <共有三种情况:①n 个复数的模长均为1,则共有()122nn C =;②1n -个复数的模长为1,剩余1或者2,则共有()11111242n n n n C C C n --+⋅⋅=⋅;③2n -个复数的模长为1,剩余2个模长为2,则共有()221111244(1)2n n n nCCC C n n --+⋅⋅⋅=-⋅.故()()()2112621222(1)212563n n n n n nn nn n n n n P z C ++++⋅+-⋅+<===,此时当1,2n =均成立.所以()21253n nn P z +<=.18.(本小题满分17分)(第I 问,4分;第II 问,7分;第III 问,6分)解:(I)根据图形可知(1)(,1)1232x x P x x +=++++=,(II)固定x ,则(,)P x y 为一个高阶等差数列,且满足(,1)(,)1,(1,)(,),P x y P x y x y P x y P x y x y +-=+-+-=+所以(1)(,1)(,1)12(1)(1)2y y P x y P x y y x y x ++-=++++-=+- (1)(1)(,1)(1)22y y x x P x y y x +++=+-+所以(1)(1)(,)(1)(1)22x x y y P x y x y +-=++--,(1)(1)(1,)(2)(1)22x x y y P x y x y ---=++--,所以(1)(1)(1)(1)(,1)(1,)(2)(1)(1)2222x x y y y y x x P x y P x y x y y x --++++-=++--++-+222322(,)x y xy y x P x y =++--+=(III)P(x +1,y -1)+P(x ,y +1)+P(x +1,y )+P(x +1,y +1)=2024等价于(,)(,1)(1,)(1,1)2023P x y P x y P x y P x y +++++++=,等价于(,1)3(1,)2023P x y P x y +++=即13[(1)(21)][(1)(2)(1)(2)]202322x x y y x x x y y x +++-++++-+=,化简得2221010(1)()21010y xy x y x x y x y x ++-+=⇔+-++=,由于x y +增大,(1)()x y x y +-+也增大,当31x y +=时,(1)()29921010x y x y x +-++<<,当33x y +=时,(1)()210561010x y x y x +-++>>,故当32x y +=时,(1)()210109,23x y x y x x y +-++=⇒==,即9102322(9,23)82247422P ⨯⨯=++⨯=19.(本小题满分17分)(第I 问,4分;第II 问,5分;第III 问,8分)解:(I)设直线()()1122:1,,,,MN X my M x y N x y =+联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得2440y my --=,所以12124,4y y m y y +=⋅=-,||3||MF NF =,则123y y =-122212224,34y y y m y y y +=-=∴⋅=-=-,则213m =,又由题意0,3m m >∴=,直线的方程是y =;(II)(i)方法1:设()()()112233,,,,,M x y N x y D x y 因为O ,M ,D ,N 四点共圆,设该圆的方程为220x y dx ey +++=,联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩,消去x ,得42(416)160y d y ey +++=,即()3(416)160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程3(416)160y d y e +++=的3个根,则()()()3123(416)16y d y e y y y y y y +++=---,因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-,由2y 的系数对应相等得,1230y y y ++=,所以MND 的重心的纵坐标为0.方法2:设()()()112233,,,,,M x y N x y D x y ,则1213234444,,,OM ON MD ND k k k k y y y y y y ====++,因为O,M,C,N 四点共圆,所以MON MDN π∠+∠=,即tan tan 0MON MDN ∠+∠=,()21124tan 116OM ONOM ON y y k k MON k k y y --∠==+⋅+()()()1213234tan ,116ND MDND MD y y k k MDN k k y y y y --∠==+⋅+++化简可得:312y y y =--,所以MND 的重心的纵坐标为0.(ii)记,OMN MND 的面积分别为12,S S ,由已知得直线MN 的斜率不为0设直线:1MN x my =+,联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得2440y my --=,所以12124,4y y m y y +=⋅=-,所以11211||22S OF y y =⋅⋅-==由(i)得,()3124y y y m =-+=-,所以2223311(4)444x y m m ==⨯-=,即()24,4D m m -,因为()21212||2444MN x x m y y m =++=++=+,点D 到直线MN的距离d =所以()22211||448122S MN d m m =⋅⋅=⋅+⋅-,所以)221281181S S S m m =+=+-=+-M 在第一象限,即1230,0,40y y y m ><=-<,依次连接O,M,D,N 构成凸四边形OMDN ,所以()3122y y y y =-+<,即122y y -<,又因为122244,2y y y y ⋅=-<,即222y <,即20y <<,所以122244m y y y y =+=->+=,即24m >,即218m >,所以)218116S m m =+-=,设t =,则4t >,令()2()161f t t t =-,则()()222()1611614816f t t t t t ''=-+-=-,因为4t >,所以2()48160f t t '=->,所以()f t在区间4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增,所以()42f t f ⎛⎫>=⎪⎝⎭,所以S的取值范围为,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三下学期联考(二模)数学答案
绝密★考试结束前2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DACABBDC目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案ACDBCAB三、填空题：本题共312．45︒（或4π）13．2514．5) 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．解：（1）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz . 由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,3,0,1,0,0,0,3,4,1,0,2,3,1,A B A B C −−因此()()()111111,3,2,1,3,2,0,23,3,AB A B AC ==−=−.................................. 3分 由1110AB A B ⋅=得111AB A B ⊥.由1110AB AC ⋅=得111AB AC ⊥. 111111111111,,A B AC A A B AC A B C 平面=⊂ 所以1AB ⊥平面111A B C . .....................................................................................6分 （2）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由（Ⅰ）可知()()()110,23,1,1,3,0,0,0,2,AC AB BB ===设平面1ABB 的法向量(),,n x y z =.由10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取()3,1,0n =−,................................................10分所以11139sin |cos ,|13AC n AC n AC nθ⋅===⋅. 因此，直线AC 1与平面ABB 1 ............................13分16．（1）由题意可知123(2)1,(4)2,(8)4a a a ϕϕϕ======， ……………4分 由题意可知，偶数与2n 不互素，所有奇数与与2n 互素， 所以1(2)2nn n a ϕ−==； .………6分（2）由（1）知1(2)2n n n a ϕ−==，所以2212(2)2n n n a ϕ−==，所以21222212log log 221(1)(1)(1)(21)(42)()244n n n nn n n n n n a b n n a −−=−=−=−−=−− .....……8分12n n S b b b =+++所以12111112()6()(46)()(42)()4444n n n S n n −=⨯−+⨯−++−⨯−+−⨯−①23111111()2()6()(46)()(42)()44444n n n S n n +−=⨯−+⨯−++−⨯−+−⨯−② .....……10分所以①-②得121511112()4[()()](42)()44444n n n S n +=⨯−+−++−−−⨯−1111[1()]111644(42)()1241()4n n n −+−−=−+⨯−−⨯−−−111111[1()](42)()2544n n n −+=−+−−−−⨯−13206105(4)n n ++=−−⨯−，…………………………13分所以62062525(4)n nn S +=−+⨯− . …………………………15分 17. （1）设双曲线C 的两渐近线方程分别为,b by x y x a a==−，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22265c a b =，由题意可得：2222222265941a c b a ba cb ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪−=⎪⎩，...................………....…………………3分解得223,2a b ==，则双曲线C 的方程为22132x y −=； ............................................................................................5分（2）设直线1l的方程为(y k x =，由12,l l 互相垂直得2l的方程1(y x k=−，..............................................................................6分联立方程得2212(3x y k x y ⎧⎪⎨−==⎪⎩ 消y 得()2222216035k x x k −−−−=，0∆>成立，所以12(2M M Mx x x y k x +==== 所以点M坐标为，.............................................................................................8分联立方程得221(321x y x k y ⎧⎪⎪⎨⎪−=−⎩=⎪，所以341(2N N N x x x y x k +===−= 所以点N坐标为，..............................................................................................10分 根据对称性判断知定点在x 轴上，直线MN 的方程为N MM M N My yy y x x x x （）−−=−−，...............................................................................12分则当0y =时，2M N N M N M x y x y x y y −====−−.................................14分所以定点坐标为(−. .........................................................................................................15分 18. （1）由题意知），定义域（∞+0)(x f 当5=m 时，⎪⎩⎪⎨⎧<−+−≥−+−−+−=x x x x x x x x x x f ln 154ln ln 154154)(333，，-------------------------------------1分)1(1251250)(12500512)(154)(2'3=∞+⇒<<⇒>+−=−+−=g x g x x x g x x x g ）单调递减，且，）单调递增，（，在（令）（）单调递增，而在（令10)1(0ln )(h f x x h ==∞+= 1311(),()ln 1,(0)141644110()(),1,()0()44g h g x g x h x x g x h x ==<−=−<<>≤<>>又而所以当时，当时----------------------------------------------4分)()(1),()(10x h x f x x g x f x =≥=<<时，当时，所以当 ⎩⎨⎧≥<<−+−=1ln 10154)(3x x x x x x f ，，所以单调递减，单调递增，和，在所以)1125(),1()1250()(+∞x f21154)0)(512(0154))(512()154,(,512)(10i 003002003002003002'=−+−−+−=−+−−+−=−+−+−=<<x x x x x x x x x x y x x x M x x f x ，解得所以又此切线过原点，则此切线方程为设切点时，）当（2=−y x 即此时切线方程是- -----------------------------------------6分e e ln )0(10,ln )(1),ln ,(1)(ln )(1ii 000000000'=−=+−=+−===≥y x x x x x x x x x y x x xx f x x f x 所以此时切线方程解得又此切线过原点，所以此时切线方程设切点为所以时，）当（020e =−=−y x y x 或程是：综上所述，所求切线方----------------------------------8分有两个零点此时）），）且单调递减，，单调递增，和，在）知，由（时）当）（（)(01(,016341(10()1125(),1()1250()(15i 2x f f f f x f m =>= =+ =-----------------------11分）没有零点，）只有一个零点，（，在（所以而）时，，（所以且）递减，）递增，（，在（）知：由（时，当时，当∞+−=>∞+∈=−+−=−+−<−+−<<>1251250)(1)0(,0)(1250)1(,11251250154)(114154105)ii (333x f f x f x g x x x g mx x x x x m----------------------------------13分30,112001931)12()12(4)12(14)(,10)(,1ln )(1(1)1251200121450iii 3323<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<−=−+−=−+−=<<==≥<<<>+−='−+−=<<m m mm m m m m f mx x x f x x f x x x f x m x m x y mx x y m 得没有零点时当只有一个零点，只需要要保证只有一个零点时，当知由得此时时，）当（---------------------------------------15分1)(,014)(g ),0(0iv 3=<−+−=+∞∈≤x x f mx x x x m 只有一个零点此时时，时，当）当（()35f x m m >综上，只有一个零点时，＜或-----------------------------------------17分19. （1）记甲获胜为事件A ，甲抢到3道题为事件3A ,甲抢到2道题为事件2A ,甲抢到1道题为事件1A ,甲抢到0道题为事件0A ，............................................................................................................1分则331128P A ==()(),23231328P A C ==()(),13313013112828P A C P A ====()(),()()，...............................................................................................3分而32233111112222(|)()()()P A A C =+−=，21221111711222312P A A C =+⋅⋅−−=(|)()()()， 112221122221233332333(|)()()P A A =⋅+⋅⋅+−⋅⋅=，312032122033327(|)()()P A A C =+⋅⋅=，.................................................................................................5分 所以33221100()()(|)()(|)()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+++113732120539.=⋅+⋅+⋅+⋅= .................................................................................................6分 52,,20)取值相互独立，12202011222020),,,)()(()x X x X x X x P X x P X P x =======41061041122201()])]()()()[(i i X P X p p =−=−= (135463105311113532222222222)()(()()]()()()()p p p p p p−−−−=−； 35，。
数学丨浙江省温州十校联合体2025届新高三6月期末联考数学试卷及答案
2023学年第二学期温州十校联合体期末联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分(共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=(0.1,2,3,4,5},A=(1,2,3}),a,B=(1,4,5},则A∩B=( )A.0B.(1c(0.1,2,3}D.(2.3}的展开式中的常数项为( )B.60C.-120D.120A.-603.已知圆台的高为8,上、下底面圆的半径分别为2和8,则圆台的表面积为( )A.80πB.100πC.148πD.168π4.已知向量a=(-2,4),P(1,0),Q(2,2),PQ在a上的投影向量记为方，则A“。
5.已知则s i n2θ=()A3m云c o6已知数列{a,)的前n项和S,=2a。
+k,则“k≠0”是“{a,}为等比数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件有4个零点，则正数①的取值范围是( )7.若函数A)“c)”8.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)-f(v)=f(x+y)f(x-y),f(1)=1,f(3)=-1,则下列结论错误的是( )A.f(2)=0B.f(4)=2c.f(x)是奇函数D.f(x+4)=f(x)二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(i为虚数单位),下列结论正确的是( )9.已知复数A|=2B.z²为纯虚数C.E对应的点位于第四象限D.E²=|=β10已知函数f(x)=ax²+Inx,下列结论正确的是()A当a=-1时，f(x)在(1.f(1)处的切线方程为y=-xB.当a=-1时，f(x)+x≤0恒成立c.若f(x)恰有一个零点，则a∈(0,+2)D若f(x)恰有两个零点，则11.如图，P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B;CD₂的表面上一个动点，E为棱A,B,的中点，O为侧面ADD,A,的中心.下列结论正确的是( )A.O E⊥平面A₁B C;B.AB与平面A₁BC,所成角的余弦值为c.若点P在各棱上，且到平面A₁BC₁的距离为则满足条件的点P有9个D.若点P在侧面BCC;B内运动，且满足|PE|=1,则存在P点，使得AP与BC,所成角为60°非选择题部分(共92分)三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12.连续抛掷一枚质地均匀的股子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为_13.在△ABC中，AB=BC =6,P,Q为△ABC所在平面内的两点，,则QC-QP的值为1的左焦点为F,直线1与椭圆F和圆心为M(a,b)的圆相切于同一点E(2,1),则14.椭圆T:|MF|的最小值为_四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
浙江省名校协作体2021届高三数学下学期2月开学联试题
浙江省名校协作体2021届高三数学下学期2月开学联试题考生注意：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，{}1,3,4,6B =，则集合UA B =（ ）A.{}3B.{}2,5C.{}1,4,6D.{}2,3,52.过点()1,0且倾斜角为30°的直线被圆()2221x y -+=所截的弦长为（ ）A.32B.1C.3D.23 3.设实数x 、y 满足不等式组3603030x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则x y -的最大值为（ ）A.4-B.32-C.0D.6 4.已知平面α，l ，m 是两条不同的直线，且m α⊂（ ） A.若//l m ，则//l α B.若l m ⊥，则l α⊥ C.若//l α，则//l m D.若l α⊥，则l m ⊥5.设函数()331log 1x x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，则函数()f x 的图像可能为（ ） A. B.C. D.6.将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位所得图象的对应函数为()g x ，则“3πϕ=”是“()g x 为偶函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()3661201911a a -+-=，()()3201520151201911a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ） A.20202020S =，20156a a <B.20202020S =，20156a a >C.20202020S =-，20156a a ≤D.20202020S =-，20156a a ≥8.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作x 轴的垂线交双曲线于点A ，双曲线C 上存在点B（异于点A ），使得2ABF π∠=.若4BAF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A.12B.13+C.22D.23+9.设函数()()f x x ∈R 满足()()f x f x -=，且当[)0,1x ∈时，()3f x x =，当1x ≥时，()()122f x f x =-，又函数()()sin g x x x π=，函数()()()h x g x f x =-在[]1,2-上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.710.在矩形ABCD 中，3AB =3AD =，E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，且2AE BF ==，现将ABE △沿直线BE 折成1A BE △，使得点1A 在平面BCDE 上的射影在四边形CDEF 内（不含边界），设二面角1A BE C --的大小为θ，直线1A B 与平面BCDE 所成的角为α，直线1A E 与直线BC 所成角为β，则（ ）A.βαθ<<B.βθα<<C.αβθ<<D.αθβ<<第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积________3cm ；表面积是________2cm .12.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e cos sin ix x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则e 1i π+=________；3132⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭________. 13.二项展开式()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0a =________；135a a a ++=________. 14.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为34，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若()1036P X ==，p =________；若12p =，则随机变量X 的期望()E X =________.15.有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有________种不同的坐法16.设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22212a b a b ++-的最大值是________. 17.不共线向量OA ，OB 满足1OA OB ==.若对于给定的实数μ∈R ，存在唯一的点P ，满足OP OA OB λμ=+（,λμ∈R ）且2OP =，则2μλ的最小值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知角α，β（0α<，βπ<）的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点13,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()26,26B-+分别在角α，β的终边上.（Ⅰ）设函数()()2sin 2f x x α=-，3, 82x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若点C 在角β的终边上，且线段AC 的长度为6，求AOC △的面积. 19.已知四边形ABCD ，90ABC CAD ∠=∠=︒，2AB BC AD ==，将ABC △沿AC 翻折至PAC △.（Ⅰ）若PA PD =，求证：AP CD ⊥； （Ⅱ）若二面角P AC D --的余弦值为14-，求PD 与面PAC 所成角的正弦值. 20.已知数列{}n a 满足：114a =，11230n n n n a a a a ++-+=.（Ⅰ）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记()221n n n b a n =++，求使[][][][]1232020n b b b b ++++≤成立的最大正整数n 的值.（其中，符号[]x 表示不超过x 的最大整数）21.已知椭圆1C ：2212x y +=和抛物线2C ：()220x py p =>，点Q 为第一象限中抛物线2C 上的动点，过Q 作抛物线2C 的切线l 分别交y 轴、x 轴于点A 、B ，F 为抛物线2C 的焦点.（Ⅰ）求证：FB 平分AFQ ∠；（Ⅱ）若直线l 与椭圆1C 相切于点P ，求APF △面积的最小值及此时p 的值. 22.已知函数()e ln xf x x a x =-，定义域为()0,+∞.（Ⅰ）当2e a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）记()()min g a f x =，当()0,a ∈+∞，求()g a 的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在0c >，d ∈R ，使得()()()2max f x g a c x d -≥-.若存在，求c 的取值范围；若不存在，请说明理由.2020学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCDDBAACDD10.【答案】D【解析】过A 作BE 的垂线，分别交EB ，EF ，DC 于M ，G ，N .显然A MN θ'∠=.因为//BC AD ，所以直线A E '与AD 所成角即为β.当A '在平面BCDE 上的射影为G 时，AE ⊥平面A EF '，此时2πβ=.于是当A '在平面BCDE 上的射影在线段GN 上时，2A ED π'∠<，所以A ED β'=∠.由于EA EA '=，MA MA '=，进而得2EAA β'∠=，2MAA θ'∠=.因为AM 是AA '在平面ABCD 上的射影，所以由线面角最小性知22EAA MAA βθ''∠=>∠=，即βθ>.再由二面角的最大性知θα>.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.34cm 3，2623cm + 12.0，1- 13.032a =，135121a a a ++=- 14.23p =，()74E X =； 15.480 16.627-17.【答案】4【解析】由()2OP OA OBλμ=+得()222cos 40λμθλμ-+-=（其中θ为向量OA ，OB 的夹角），因为P 点唯一，所以关于λ的方程()222cos 40λμθλμ-+-=有唯一解，于是()2224cos 440μθμ∆=--=224sin μθ⇔=.又cos λμθ=，所以消去θ得224λμ+=，进而2244μλλλ+=≥，等号当且仅当2λ=时等号成立. 【解析】由点P 的唯一性知OP OA ⊥，所以()0OP OA OA OB OA OA OB λμλμ⋅=+⋅=+⋅=，又()2OP OA OB λμ=+得2224OA OB λλμμ+⋅+=.两式联合得224λμ+=，所以2244μλλλ+=≥，等号当且仅当2λ=时等号成立.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.【解析】解：（Ⅰ）由α过点13,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭知1cos 2α=，3sin 2α=， ∴3πα=，()2sin 23x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵3,82x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭∴522,3123x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴()(3,2]f x ∈. ∴()max 2f x = （Ⅱ）由β过点()26,26B-+知26sin 4β+=，26cos 4β-=， 2cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=，即2cos 2AOC ∠=. <方法一>由余弦定理知2222cos AC OC OA OA OC AOC =+-⋅⋅∠，∴22123OC OC =+-，∴326OC ±=， ∴1326233AOC S ±±==△.（少一解扣1分）<方法二>由正弦定理知sin sin OA ACACO AOC=∠∠， ∴232sin 26ACO ∠==，1cos 2ACO ∠=±，()23162sin sin 2CAO ACO AOC ⎛⎫±∠=∠+∠=±= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴11662332||||sin 2AOC AOM S S OA AC OAC ±±==⋅⋅∠==△△.（少一解扣1分）19.【解析】（Ⅰ）取CD 的中点E ，连接AE ，PE 不妨设2AD =，则2AB BC ==即2AP PC ==因为90ABC CAD ∠=∠=︒， 所以2AC =，则AE CD ⊥，又因为PA PC PD ==，所以PE CD ⊥，且AE PE E =，∴CD ⊥面PAE ，PA ⊂面PAE ，则AP CD ⊥.（Ⅱ）取AC 的中点O ，连接PO ，OE ，PE ，过点E 作EH PO ⊥，不妨设2AD =，则2AB BC ==2AP PC ==因为90ABC CAD ∠=∠=︒，则PO AC ⊥，又因为O 为AC 中点，E 为CD 的中点，则//OE AD ，所以OE AC ⊥， 所以POE ∠为二面角P AC D --的平面角. 且OEPO O =，∴AC ⊥面POE ，AC ⊂面PAC ，又EH PO ⊥，则EH ⊥面PAC ，在EOH △中，1OE =，1cos 4EOH ∠=，所以154EH =，所以点D 到面PAC 距离为1522EH =，7PD = 设PD 与面PAC 所成的角为θ，则2105sin EH PD θ== 解法2：取AC 的中点O ，连接PO ，OE ，PE ，过点E 作EH PO ⊥， 不妨设2AD =，则2AB BC ==2AP PC ==因为90ABC CAD ∠=∠=︒，则PO AC ⊥，又因为O 为AC 中点，E 为CD 的中点，则//OE AD ，所以OE AC ⊥， 所以POE ∠为二面角P AC D --的平面角.因此以点O 为坐标原点，以OA ，OE ，Oz 分别为x ，y ，z 轴建空间直角坐标系如图：()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,0,0C -，1150,4P ⎛- ⎝⎭ 设面PAC 的法向量为(),,n x y z =，()2,0,0CA =，1150,4OP ⎛=- ⎝⎭，9151,4DP ⎛=--⎝⎭ 则20115044x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以0x =，令15y =1z =， 所以面PAC 的一个法向量为()0,15,1n =， 设PD 与面PAC 所成的角为θ，则105sin 14||||n DP n DP θ⋅==. 20.（Ⅰ）证明：∵11230n n n n a a a a ++-+=， ∴1132n n a a +=-，111131n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，且131n n a =+. （Ⅱ）212131n n n b n ⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()22211131nn n n n -+++++∵()()2211131n n n n +<+++，()()()22311n n n n ≥⇔<+- ()()23110n n n ⇔+-->∵3(12)12nnn =+≥+，∴()()2231120n n n n +--≥->，2n ≥ ∴[]2(1)n b n =-，2n ≥ ∴[][][][]123121222(1)n b b b b n ++++=+⨯+⨯++-212020n n =-+≤，∴45n ≤.21.（Ⅰ）设()0,A A y ，(),0B B x ，(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，l ：y kx b =+.l 与抛物线2C 联立得：2220x pkx pb --=.由题意知0∆=，即220pk b +=. 而Q 的横坐标Q x pk =，B 的横坐标2B b pkx k =-=， 所以B 为AQ 的中点.由Q 到焦点的距离等于Q 到准线的距离可知，22Q A p pFQ y y FA =+=+=. 所以FB 平分AFQ ∠.（Ⅱ）l 与椭圆1C 联立得：()222124220k x kbx b +++-=. 由条件知0∆=，即2221k b +=.由（1）知220pk b +=，可得：240pb b p +-=.又因为0b <，所以b =.P 的横坐标22221P kb kx k b=-=-+，k =所以APF △面积112222APF F A P p k S y y x b b ⎛⎫⎛⎫=-⋅=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△2p ⎛==⎭令2t =.2APF S ==≥△（当4t =即p =所以APF △面积的最小值是2，此时p =22.（Ⅰ）解：当2e a =时，∵()e ln x f x x a x =-∴()2e(1)e x x x f x '=+-，因为()f x '在区间()0,+∞上单调递增，且()10f '=.所以()f x 在区间()0,1上单调递减；在区间()1,+∞上单调递增.（Ⅱ）∵()e ln x f x x a x =-，∴()(1)e x f x ax x '=+-且()1e f =.显然对每个0a >存在唯一的正数0x ，满足()00f x '=即()0001e x x x a +=，所以()f x 最小值在0x 处取到，即()()()0000000000e ln e 1e ln x x xg a f x x a x x x x x ==-=-+令()()1e e ln x x x x h x x x +=-，∴()()2e 1ln x h x x x x ⎡⎤'=-++⎣⎦所以在区间()0,1上()0h x '>，()h x 在区间()0,1上单调递增；在区间()1,+∞上()0h x '<，()h x 在区间()1,+∞上单调递减.所以max max ()()(1)e g a h x h ===，此时2e a =.（Ⅲ）由（Ⅱ）知2e a =当()e f x ≥时，且当1x =时不等号左边0，因此1d =. 设存在0c >，使()2e ln e 1x x a x c x --≥-成立，令()2e 2eln e (1)x m x x x c x =----，则()10 m =， ()()()2e1e 21x m x x c x x '=+---，且()10 m '=，()()22e2e 2x m x x c x ''=++-，且()15e 2m c ''=-，所以当5e 20c -≥，即50e 2c <≤时，()()0m x m x '''≥⇒单调递增，当()0,1x ∈时，()()0m x m x '<⇒单调递减，当()1,x ∈+∞，()()0m x m x '≥⇒单调递增，所以，()()10m x m ≥=，即()2e 2eln e 1x x x c x --≥-成立； 当5e 2c >时，()10m ''<，又x →+∞时，()m x ''→+∞， 所以存在01x >使()00m x ''=；所以，当()01,x x ∈时，有()()0m x m x '''<⇒单调递减， ()()()10m x m m x ''<=⇒单调递减，()()10m x m <=，即()2e 2eln e 1x x x c x --<-，故不合. 综上，50e 2c <≤.。
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浙江省名校协作体2019届高三第二学期联考数学2019.2一、 选择题（本大题共 10 小题， 每小题 4 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1.设集合 A = {x | -2 ≤ x < 3}， N 是自然数集， 则 A ∩N =( ▲ )A 、{-2，-1，0，1， 2}B 、{0，1， 2，3}C 、{0，1，2}D 、{1，2}2.二项式6x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 ( ▲ )A 、-15B 、15C 、-20D 、203.设α，β，γ 是三个互不重合的平面， m ， n 是两条不重合的直线， 则下列命题中正确的是 ( ▲ )A 、若α ⊥ β ，β ⊥ γ ，则α ⊥ γB 、若α ⊥ β ， m ⊥ α ，则 m / /βC 、若α / /β， m ⊄ β， m / /α ，则 m / /βD 、若 m / /α，n / /β，α ⊥ β 则 m ⊥ n 4.将函数 y = sin 2x 图像沿 x 轴向左平移ϕ (ϕ > 0)个单位得到函数 sin （2x ＋3π）的图像， 则ϕ 的最小值为 ( ▲ ) A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π5.函数 f (x ) = (x 2 - 2)ln ｜x ｜的图像为 ( ▲ )6.非零实数 x ， y 满足｜x + y ｜+｜xy ｜=｜x + y - xy ｜的充要条件是 ( ▲ ) A 、x + y = 0 B 、xy < 0 C 、(x + y )xy > 0 D 、(x + y )xy ≤ 07.不等式组040(0)x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是9， 则 m 的值是 ( ▲ )A 、8B 、6C 、4D 、18.连续掷一枚质地均匀的骰子3次， 各次互不影响， 记ξ出现6点的次数．则D （ξ） = ( ▲ )A ．16B ．12 C ．156 D ．5129.若平面向量a ，b ，e 满足｜a ｜= 2，｜b ｜= 3，｜e ｜=1，且 a ⋅b - e ⋅(a + b )+1= 0， 则｜a -b ｜的最小值是 ( ▲ ) A 、1 B 、1343- C 、1243- D 、710.在三棱锥 S - ABC 中， ∠SCA = θ，∠ACB = π -θ ， SB 与AC 所成的角为α ，下列判断一定正确的是 ( ▲ )A 、θ≥αB 、θ≤αC ．θ +α ≥2π D ．θ +α ≤2π 二、 填空题（本大题共 7 小题， 多空题每题 6 分， 单空题每题 4 分， 共 36 分， 把答案填在题中横线上） 11.若复数121iz i i-=-+，则 z 的虚部为 ▲ ，｜z ｜= ▲ ． 12.已知直线 l 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线， F 1，F 2 是双曲线 C 的左、 右焦点， 点 F 1关于直线 l 的对称点在双曲线 C 的另一条渐近线上， 则双曲线 C 的渐近线的斜率为 ▲ ， 离心率 e 的值为 ▲ ．13.某几何体的三视图如右图所示，（数量单位是 cm ） ， 则它的体积是 ▲ cm 3， 表面积是 ▲ cm 2 ．第14题14.四面体 S - ABC 中， SA ⊥面 ABC ， H 是 ∆SBC 的垂心，且 AH ⊥面 SBC ，则三对对棱 SA 与 BC ， SB 与 AC ，SC 与 AB 中互相垂直的有 ▲ 对； 若 H 也是 ∆SBC 的重心，则二面角 S - BC - A 的正弦值为 ▲ ．15.某校高一（16） 班有 5位同学报名参加数学、 物理、 化学三科兴趣小组， 若每位同学只能参加一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加， 则共有 ▲ 种不同的报名方法（用数字作答）．16.若 P (x 0， y 0 )是抛物线C 1 : y 2 = 4x 上的点， 过点 P 作射线 PAB ，交圆C 2 :(x + 4)2 + y 2 =1于 A ， B 两点， 且｜PA ｜= 2｜AB ｜，则 x 0 的取值范围是 ▲ ．17.若正数 a ，b ，c 满足 a 2 +b 2 + c 2- ab -bc = 1， 则 c 的最大值是 ▲ ．三、解答题（本大题共 5 小题， 共 74 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 18.三角形 ABC 中， 角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ， 且 sin 2 B +sin 2 C - 2 sin B sin C = sin 2 A ． （1） 求角 A 的大小；（2） 若 ∆ABC 的面积 S =1， 求 a 的最小值．19.四棱锥 P - ABCD 的底面为菱形， AB = 4，∠ABC = 60°， M 为 PB 的中点， N 为 BD上一点， 且BN =13ND ．若 PA = PC = 5，PB =21。
（1） 求证：MN / /平面PAC ； （2） 求证：PN ⊥平面ABCD ；（3）求直线 PN 与平面 PCD 所成角的正弦值．20.已知S n 是数列{a n }的前n 项和， a 1 = 2 ，a n > 0 且 2S n +1 - a n +12 =-2S n ， 其中 n ∈ N * ． （1） 求数列{a n }的通项公式； （2） 若数列{b n }满足23n n b a =，Tn 是数列{b n }的前n 项和． 求证：54n T <。
21.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =33， 焦距为2，直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若直线 l 过椭圆的右焦点 F ， 且｜AF ｜ = 2 ｜FB ｜， 求直线 l 方程； （3） 设 O 为坐标原点， 直线 OA ，OB 的斜率分别为 k 1，k 2 ，若1223k k =-， 求 ∆AOB 面积 S 的值．22.已知函数 f (x )＝ln x a x+（1） 若函数 f (x )有极值， 求实数 a 的取值范围；（2）当 a = 1时， 若 f (x )在 x = x 1，x 2 (x 1 ≠ x 2 )处导数相等， 证明：f (x 1) + f (x 2 ) > 1+ 2ln 2 ；（3） 若函数 f (x )在(0，+∞)上有两个零点 x 1，x 2 (x 1 ≠ x 2 )， 证明： x 1 ＋x 2＞2e。
参考答案一、选择题二、填空题11．3-， 3； 12．3 2； 13932， 1863+ 14．3，6315．150； 16．0,356⎡⎤⎣⎦； 17．62题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C B C A BD D D B A三、解答题18．解：（1）由正弦定理得：2222a bc c b =-+--------------------------2分222cos 222=-+=∴bc a c b A ，从而4π=A ------------------------------7分（2）1sin 21==A bc S ，从而22=bc ------------------------------------------------9分 4244cos 222222-≥-+=-+=∴c b A bc c b a ----------------------------------12分故122min -=a ----------------------------------------------------------------------------14分19．证明：（1）连结AC ，交BD 于点O ，则BOBNBP BM ==21 PO MN //∴-------------------------------------------------------------------------------------2分 从而//MN 面PAC ---------------------------------------------------------------------------3分 （2）连结PO ，PNPC PA = ，O 是AC 中点AC PO ⊥∴，又5==PC PA ，2=AOPB PO ==∴21，BD PN ⊥∴-------------------------------------5分且易求23=PN ，7=NC222PC NC PN =+∴，从而NC PN ⊥---------------------------------7分又N NC BD =⊥∴PN 平面ABCD ---------------------------------------------------8分（3）方法一：设N PCD d h -=，PN 与平面PCD 所成角为θ，则PNh=θsin ----------------------10分 N PCD P NCD V V --=-------------------------------------------------------------------------------12分PN S h S NCD PCD ⋅=⋅∴∆∆，计算可得33=∆NCD S ，53=PD ，113=∴∆PCD S ，又3PN =1163=∴h ，从而1133sin =θ--------------------------------------------------------------15分方法二：如图，建立空间直角坐标系，则(0,B -，(2,0,0)C ，(0,D ，(0,N设000(,,)P x y z则222000222000222000(2)25(2)25(23)21x y z x y z x y z ⎧+++=⎪-++=⎨⎪+++=⎩得0000332x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(0,3,32)P ∴---------------------------------------------------------10分设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =则00n CD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，223023320x x y z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩令1y =，得362x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 6(3,1,2n ∴=------------------------------------------------------------------------------12分 记直线PN 与平面PCD 所成角为θ，则1133sin =⋅=PNn PN n θ------------15分 （用其它方法解答，酌情给分！）20．解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥+=+=-++)2(222212121n S S a S S a n n n nn n)(21221n n n n a a a a +=-∴++---------------------------------------------------------------------2分0>n a ，21=-∴+n n a a )2(≥n ----------------------------------------------------------4分令1=n ，则求得42=a ，212=-∴a a21=-∴+n n a a )(*N n ∈----------------------------------------------------------------------5分故n a n 2=-----------------------------------------------------------------------------------------7分 （2）112335,444n b T b n ===<； 当2n ≥时2233441n b n n =<-()()32121n n =+-31122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭---------11分 n n b b b T ++++=∴ (43323311111)14235572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦--------13分531542214n =-⋅<+即45<n T --------------------------------------------------------------------------------------15分 21．解：（1）221c c =⇒=，c a a =⇒=b ⇒=22:132x y C ⇒+=------3分 （2）设直线1:+=ty x l联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩， 设),(11y x A ，),(22y x B ，则324221+-=+t t y y ，324221+-=⋅t y y -----------------5分 又122y y =-122152y y y y ⇒+=- ()2121212y y y y +⇒=-212t ⇒=t ⇒=±分 故直线022:=-±y x l -------------------------------------------------------------------9分（3）当直线l 斜率为0时，则21k k -=，易求两点坐标分别为），（126），（126- 或），（126-），（126--，此时26=∆AOB S ------------------------------10分 当直线l 斜率不为0时，设直线m ty x l +=:联立()22222234260236x ty mt y tmy m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩则324221+-=+t tmy y ，32622221+-=⋅t m y y 12121223203k k y y x x =-⇒+=，又()21221221y y tm m y y t x x +++=()()022********=++++∴m y y tm y y t ，得22232m t =+------------------------13分从而()()22222246232416m m t m t =-+-=∆26263262212122221==+=-=∴∆m m t m m y y m S AOB-------------------------------15分 21．解：（1）()()'20x af x x x -=> 0a ⇒>------------------------------------------3分 （2）1212121 2.22212111'(),'()'()x x x f x f x f x x x x x x x x ---===+=由得，即------5分 因为.42,0,212121212121>>+=≠>x x x x x x x x x x x x ，得，所以且--------7分 则.12ln 214ln 1ln 1ln 1ln )()(21221121+=+>+=+++=+x x x x x x x f x f ----8分 （3）0ln )(=+=xa x x f 即x x a ln =-，令x x x g ln )(=，则1ln )('+=x x g则函数.11),1()1,0(ln )(e e g e e x x x g -=⎪⎭⎫⎝⎛+∞=单调递增，单调递减，在-------10分 令t e x -=，其中0>t ，则t tt et e e x g -ln )(==--，212t t e t++> ，2111212t tt t t et t ++=++<∴当+∞→t 时，+→0t e t ，故-0-→t e t 从而当⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,1e a 时有两个零点----------------------------------------------------------11分不妨设2110x e x <<<，若ex 22≥，则结论成立；若e x 22<，即⎪⎭⎫⎝⎛∈e e x 2,12时令⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x e x e x x x e g x g x h 2ln 2ln 2)()(，⎪⎭⎫⎝⎛∈e x 1,0则22ln ln )('+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x e x x h ，从而0212211)(''>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--+=xx e x e x e x x h )('x h ∴在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递增，01)(''=⎪⎭⎫⎝⎛<e h x h)(x h ∴在⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0上单调递减---------------------------------------------------------------14分01)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛>∴e h x h ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛->x e g x g 2)(在⎪⎭⎫⎝⎛e 10，上恒成立⎪⎭⎫⎝⎛->=∴1122)()(x e g x g x g⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e e x 2,12 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-e e x e 2,121而)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛e e 21，上单调递增122x e x ->∴，即ex x 221>+------------------------------------------------------------15分。