基本不等式的变形及应用
应用基本不等式的八种变形技巧
因为 a>0，b>0，a＋b＝2，所以 2≥2 ab，所以 ab≤1，所以
1 1 1 ＋11＋ ≥4(当且仅当 a＝b＝1 时取等号)，所 ≥ 1 . 所以 b ab a 1 1 以a＋1b＋1的最小值是
4.
变形后使用基本不等式 设 a>1，b>1，且 ab－(a＋b)＝1，那么( A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) )
应用基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的 最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需 要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适 当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
加上一个数或减去一个数使和或积为定值 4 函数 f(x)＝ ＋x(x<3)的最大值是( x－3 A．－4 C．5 B．1 D．－1 )
1 2 y 法二：因为 ＋ ＝1，所以 x＝ . x y y－ 2 因为 x>0，y>0，所以 y－2>0. y2－y （y－2）2＋3（y－2）＋2 y 所以 x＋y＝ ＋ y＝ ＝ ＝ y－ 2 y－ 2 y－ 2
2 2 y－2＋ ＋3≥3＋2 2当y－2＝y－2，即y＝2＋ 2 y－ 2
已知 a>0，b>0 且
[点拨]
1 1 a＋b＝2，求a＋1b＋1的最小值．
由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开
后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】 3 ab＋1，
1 1 1 1 1 1 a＋b 由题得 a＋1 b＋1 ＝ab＋a＋b＋1＝ab＋ ab ＋1＝
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
高中数学——基本不等式及其应用
基本不等式及其应用一.小题回顾1.函数2294y x x =+的最小值为 ,此时x = . 2.当1a >时，11a a +-的最小值为 3.若33log log 4m n +=,则m n +的最小值为 .4.已知0x >,0y > ,且2520x y +=,那么lg lg x y +的最大值为 .5.已知正数x ,y 满足21x y +=,则11x y +的最小值为 .二．知识梳理1.当0a >,0b >时,称 为a ,b 的算术平均数;称 为a ,b 的几何平均数.2.如果a ,b 是正数，那么称 为基本不等式.（当且仅当时取“=”）3.基本不等式常见变形： .三．例题精析例1．（1）已知0x <，求函数2()2f x x x =++的最大值； （2）已知205x <<，求函数()(25)f x x x =-的最大值； （3）若,(0,)x y ∈+∞，且821x y +=，求x y +的最小值.例2．（1）求函数(5)(2)()1x x f x x ++=+(1)x >-的值域； （2）求函数21()(1)1x f x x x x -=>++的值域.例3．（1）若不等式220x kx k -->对任意1x >-的实数恒成立，求实数k 的取值范围；（2）设0k >，若关于x 的不等式151kx x +-≥对任意1+x ∈∞（，）恒成立，求实数k 的最小值.四．反思小结五．巩固训练1．函数312(0)y x x x=--<的最小值为 . 2.当312x <<时，函数(3)(12)x x y x--=的最大值为 .3.若实数a ,b 满足12a b +=，则ab 的最小值为 .4. 要制作一个容积为4 m 3、高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 元.5.用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物.已知木板的长为a ，宽为b ()a b >，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直，如何放置才能使这个空间最大？。
基本不等式的性质以及初步应用
4 .如 果 ab 0 , 那 么 b a
2
a b
2
2
, ab (
ab 2
)
2
2
a b
2
2(当 且 仅 当 a b时 取 " " 号 )
2
5 .结 论
2(a b ) (a b )
二、讲解范例：
例1.已知x、y都是正数，求证：
基本不等式的应用
一、复习引入：
1.重要不等式：
如 果 a , b R , 那 么 a b 2 ab (当 且 仅 当 a b时 取 " " 号 )
2 2
2.定理：
如 果 a , b R ,那 么
+
ab 2
ab (当 且 仅 当 a b时 取 " " 号 ).
3.公式的等价变形：
· 2
2 b c· a c
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc. (当且仅当a=b=c时，上式取等号）
xy f ( d ) 是 减 函 数
例.
x 0, y 0 (1) 如 果 x y 1 0, 那 么 xy _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
x (2 ) 如 果 xy 1 0, 那 么 x y _ __2_ _10_ _ f ( d ) 是 增 函 数 _ _ _ _ y
A
B G D A F
2.
B
C E C N
3.
D
M
A
B
变式：如果：围成一个直角三角形 求：面积的最大值
解:(1)设两条直角边长为x,y x 那么： y x y 4 a
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
基本不等式的几种应用技巧
即
一不正, a 0, b 0常用a b 2 ab
二不定, 需变形
三不等, 常用单调性
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基本不等式的几种应用技巧
练一练
4 1. 已知 x 2, 求函数 y x 的最大值 . x2
２ .若0 x 2, 则函数 y x 8 2 x 2 有最
x 1
x 1
5 5 x 1 5 2 x 1 ５ x 1 x 1
2 5 5
当且仅当x 1 5,即x 5 1时等号
2
成立，故原函数的值域 为２ ５５，
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基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
1 １ 例４.已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y 解 x 0，y 0 错因：解答中两次 ： 1 2 x y 2 2 xy
1 xy 即 2 2 号过渡，而这两次取 xy 2 2
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
1
运用基本不等式取“=” “=”号的条件是不同 的，故结果错.
1 1 即 的最小值为4 2. x y
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1 １ 例４. 已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y
基本不等式
当且仅当 a b时等号成立
ab ab ( a 0, b 0) 2
ab a b 2 2
2 2
常用不等式串
2 ab ab
当且仅当
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ab
a b 时等号成立
基本不等式的几种应用技巧
阅读与欣赏六应用基本不等式的八种变形技巧
2 ＝
y－2＋y－2 2＋3≥3＋2 2????当y－2＝y－2 2，即y＝2＋ 2
时取等号，此时 x＝ 2＋1???.
第七章 不等式
求以形如或可化为 ax＋by＝1 型为条件的 cx＋dy(a，b，c，d 都 不为 0)的最值可利用 “1”的代换求乘法．本题中的条件 1x＋2y＝ 1 也可化为 2x＋y－xy＝0.
函数 f(x)＝x－4 3＋x(x<3)的最大值是 (
)
A．－ 4
B．1
C．5
D．－ 1
第七章 不等式
【解析】 因为 x<3，所以 3－x>0，所以 f(x)＝ －????3－4 x＋（3－x）????＋3≤－ 2 3－4 x·（3－x）＋ 3＝－ 1.当 且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时等号成立，所以 f(x)的最大值 是－1. 【答案】 D
－x)] ＝a2＋a2（1x－x ）＋1b－2xx＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
上式当且仅当
a2（1－ x
x
）＝1b－2xx
时，等号成立．
所以ax2＋1－b2 x≥(a＋b)2.
故函数 f(x)的最小值为 (a＋b)2.
第七章 不等式
若实数 a，b 满足 ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)·(b ＋2)的最小值是 __________ ． [ 点拨] 由于所给条件式中含两个变量 a，b，因此可以用一 个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子 后求其最值．
第七章 不等式
若 a，b 为常数，且 0<x<1，求 f(x)＝ax2＋1－b2x的最小 值． [ 点拨] 根据待求式的特征及 0<x<1 知 x>0，1－x>0.又 1＝x ＋(1－x)，因此可考虑利用“ 1”的代换法．
高中数学基础之基本不等式及应用
当acb取得最大值时，3a＋1b－1c2的最大值为( C )
A．3
B．94
C．1
D．0
[思路引导] (1)2x－1>0，y－1>0→构建与2x－1，y－1相关的基本不等式． (2)三元变成二元→确定acb取得最大值时a，b，c的关系→求出结果．
[解析]
(1)依题意得2x－1>0，y－1>0，则
4x2 y－1
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多 少？(保留分数形式)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范 围内？
[解]
(1)依题意得，y＝
920v v2＋3v＋1600
＝
920 3＋v＋16v00
≤
920 83
，当且仅当v＝
16v00，即v＝40时，等号成立，
3－
k m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知
2021年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，
厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定
投入和再投入两部分资金)．
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
＋
y2 2x－1
＝
[2x－1＋1]2 y－1
＋
[y－1＋1]2 2x－1
≥
42x－1 y－1
＋
4y－1 2x－1
≥4×2
2yx－－11×2yx－－11
＝8，即
4x2 y－1
＋
y2 2x－1
2x－1＝1，
≥8，当且仅当
y－1＝1， 2yx－－11＝2yx－－11，
基本不等式的几种应用技巧
（１）各项必须为正值
（２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
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基本不等式的几种应用技巧
题型一：基本不等式的直接应用
例１已知 x, y R xy的最大值为 ________。
x y ，且满足 ＝１，则 ３ ４
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基本不等式的几种应用技巧
6 6 2 解 : y 3x 2 ＝３ x １ 2 ３ 二定 x 1 x 1 6 2 x １ x 2 1 ３＝６ ２３ ２ ３ 6 2 当且仅当３ x １ 2 时，等号成立 x 1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
即ymin ６ ２３
2
成立，故原函数的值域 为２ ５５，
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基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
1 １ 例４.已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y 解 x 0，y 0 错因：解答中两次 ： 1 2 x y 2 2 xy
当且仅当sin 等号成立.
2 2
2时，
2 时，即sin sin
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基本不等式的几种应用技巧
又0 sin 1,原函数不能取最小值 2 2.
2 的单调性么？ y t 在0,1上单调递减， t
当 t 1 时，即sin 1, y有最小值 .
1 1 １ １ 正解： 2x y x y x y
y 2x 3 3 2 2 x y
“1”代 换法
高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式及其变形公式的应用(第三课时)》新授课详细教案
第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、知识结构二、重点叙述1. 基本不等式模型一般地,如果a>0,b>0,则立。
我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或,当且仅当a=b时等号成即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。
拓展:若a、b∈R,则2. 基本不等式证明方法,当且仅当a=b时等号成立。
3.基本不等式的应用①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。
三、案例分析案例1：(1)（xx天津·理）设的最小值为A 8B 4C 1D (2) （xx海南、宁夏·理7）已知，，成等差数列，若成等比数列，则Ａ．Ｂ．的最小值是（）Ｃ．Ｄ．分析：（1）由是与的等比中项，得。
用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。
根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。
也可以用特殊值法解决。
解：（1）∵是与的等比中项，∴，得。
∴，当且仅当即时，“=”成立。
故选择C。
成等差数列，成等比数列，（2）（直接法）∵∴∴，∵，，∴，∴，当且仅当时，等号成立。
∴。
故选D。
成等差数列，成等比数列分别都为另解：（特殊值法）令，则，故选D。
案例2：(1) （xx重庆·文）已知A．2B．，则C．4的最小值是（） D．5(2)（xx山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则的最小值为________________.分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。
基本不等式的变形及其应用
基本不等式的变形及其应用基本不等式公式：当a＞0，b＞0，则，(当a=b时，等号成立)基本不等式公式的变形：上述7式中，当a=b时，等号成立备注：1.求最值的条件：一正，二定，三相等一正：a，b的范围为正数二定：“a·b”之积为定值或者“a+b”之和为定值三相等：等号成立时，a=b2.当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
这就是上面所说的“二定”，和为定值或者积为定值。
3.均值不等式：(a＞0，b＞0)，即“调和平均数”≤“几何平均数”≤“算术平均数”≤“平方平均数”，当a=b时，等号成立。
4.a3+b3+c3≥3abc (a+b+c＞0即可，当a=b=c或者a+b+c=0时，等号成立)常见题型一、凑系数(乘除变量系数)例题：当0＜x＜4时，求函数y=x(8-2x)的最大值解析：如果把x前面的系数变成2，那么2x+(8-2x)=8，为常数(和为定值)，这样就可以用基本不等式了。
原式变为，根据公式：，即，当且仅当2x=8-2x，即x=2时等号成立。
备注：1.这题也可以用一元二次函数求最值的方法来做，但是如果基本不等式运用的熟练的话解题速度更快一些2.运用基本不等式或者其变形的核心观念就是两个数的积或者和是定值。
3.运用基本不等式或者其变形，最后一定要确认等号是否成立变式：当0＜x＜4时，求函数的最大值二、凑项(加减常数)例题：已知，求的最大值解析：备注：1.当a＜0，b＜0，那么2.再此强调，运用基本不等式及其变形时，一定要确保最值的条件“一正，二定，三相等”变式：已知x＞-1，求的最大值三、分离“分子”或“分母”例题：x＞-1，求函数de de dd的最小值解析：变式：当x＞0，求的最大值四、公式变形例题：求函数，求最大值解析：备注：当题目中所求式子带有根号的，通常要想到和这两个基本不等式的变形。
基本不等式的变形及推广
a1
a2
an
1
,则
a1
a2
an
( 1 )n n
(2)若a1 a2 an 1 ,则 a1 a2 an n
当且仅当 a1 a2 an 时取等x>0，y
x
4 x2
的最小值是
；
（2）设 a 1,b 2, y a b
1
(a 1)(b 2)
（2）如果x2＋y2 ＝S是定值，则当
最值
；
时，xy 有
（3）如果x2＋y2 ＝S是定值，则当
有最 值
；
时，x＋y
（4）如果x＋y ＝S是定值，则当
有最 值
；
时， x2＋y2
例题讲解
2(1)已知a,b,c,d都是正数, 求证:
a b c d 4 abcd
公
4
式
(2)已知a,b,c都是正数, 求证:
的最小值. 忽视“等”
复习回顾
重要不等式:
(1) a2+b2≥2ab; a,b∈R,当且仅当a=b时,取“=”号
(2) a b ab(a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，取“=”号）
(3)a2 b2 c2 ab bc ca(a R,b R)
（当且仅当a=b=c时，取“=”号）
(1)a3 b3 c3 3abc
推
广
(2) a b c 3 abc 3
公式推广
对称于An个 a正1 数a2a1
,a 2
,
an
, an .
为n个正数的算术
平均数. n
称 G n a1 a2 an为n个正数的几何平均数.
A≥G, 当且仅当 a1 a2 an 时取等号.
推论: (1)若
几类基本不等式及其应用
几类基本不等式及其应用1 前言基本不等式及其应用是高等数学中非常重要的一个内容，也是高等数学中困难度非常高，学生难以掌握的内容.在高等数学中，基本不等式也是考察学生掌握情况的重要内容.学生在学习高等数学过程中，掌握并能够正确的运用基本不等式，将有助于将复杂的数学问题简单化，还能够在各类实际问题中得到广泛的应用，并且不等式还是学习、研究现代科学和技术的基本工具之一.在现阶段关于不等式的研究，向着更加高深、复杂，并且多方向化的方向发展，而探究不等式及其应用对不等式的理论研究有着重要的意义.不等式的应用，需要综合应用多种数学知识和思维方式，而通过不等式的学习和应用，对学生的数学思维和逻辑思维能力发展均有着重要的作用.本研究通过探究几类不同基本不等式及其应用，能够为高数不等式教学提供参考和借鉴. 2 几类基本不等式及其应用分析 2.1 基本不等式2.1.1 基本不等式定义及公式基本不等式是数学中最基本、最基础的不等式，是任何两个正数的算数平均值，不小于其几何平均值，公式为：2a +2b ≥2ab当且仅当两数值相等时，即a =b ，等号成立.基本不等式还有以下变形：ab ≤2ba +或a +b ≥2ab ，基本不等式的成立条件为：a >0，b >0，当且仅当a =b 时等号成立.此外还有拓展基本不等式：ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，其中a ，b ∈.2.1.2 基本不等式的应用基本不等式可以用于比较实数大小或证明不等式、求最值、求取值范围等. 例1 证明不等式.已知a >0，b >0，a +b =1，证明21+a +21+b ≤2.在对此不等式进行证明时，可以将不等式左边的a +21和b +21转换为112a ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭和112b ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，然后运用基本不等式定理进行证明.证明 根据基本不等式定理，可以得出21+a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅211a ≤2211++a =43+2a ，即21+a ≤43+2a ，同理21+b =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅211b ≤2211++b =43+2b ，即21+b ≤43+2b ，因此21+a +21+b ≤43+2a +43+2b≤2， 即得到不等式21+a +21+b ≤2. 例2 求最值.分别求当x >0，x <0时，函数y =()()xx x 164++的最值.在此题中，对x 的取值范围进行了规定，而在不等式中有着“一正”前提，如不对前提进行考虑，容易造成计算错误，因此在对此题进行求解时，要首先对x 的正负进行讨论.解 当x >0时，y =()()xx x 164++=x +20+x 64≥20+2xx 64⋅=36， 当且仅当x =x64时，即x =8时，取等号. 因此当x =8时，y =()()xx x 164++取最小值，为36.当x <0时，−x >0，−x64>0， (−x )+(−x64)≥2()⎪⎭⎫⎝⎛--x x 64=16，y =x +20+x 64=20−[(−x )+(−x64)]≤20−16=4， 当且仅当−x =−x64时，即x =−8，等号成立. 因此当x =−8时，y =()()xx x 164++取最大值，为4.例3 求取值范围.设x >0，y >0，不等式x +y ≤y x a +恒成立，则求a 的取值范围. 在对此题进行求解时，要注重将已知条件进行转换，转换为a ≥yx y x ++，然后求yx y x ++的最大值，即可求得a 的取值范围.解 由题目中可以得知a ≥yx y x ++恒成立，并且x >0，y >0，则a >0，则a必然大于或等于yx y x ++的最大值，根据基本不等式定理，得出2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x =y x xy y x +++2=1+y x xy +2≤2 当且仅当x =y 时，等号成立，即2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 的最大值为2，y x yx ++的最大值则为2.因此此题中a 的取值范围为[2，+∞). 2.2 均值不等式2.2.1 均值不等式定义及公式均值不等式又可以称为平均值不等式、平均不等式等，是数学中重要的不等式之一.均值不等式是指调和平均数不超过几何平均数、几何平均数不超过算术平均值、算术平均值不超过平方平均值，即公式为：na a a n11121+++ ≤n 21n a a a ≤n a a a n +++ 21≤n a a a n22221+++若各数值均为正实数，当且仅当各数值相等时，即1a =2a==n a ，等号成立.2.2.2 均值不等式的应用均值不等式主要应用在极限的证明、求极限等. 例4 证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim的存在性. 证明 先对nn 11⎪⎭⎫⎝⎛+进行单调递增证明.令1a =2a ==n a =1+n1，1+n a =1，则由基本不等式得出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++〈⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++1n 11n 11111.n 11n 111n n 即111n 111++〈⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n,因此，nn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+<11n 11+⎪⎭⎫ ⎝⎛++n .得出数列nn 11⎪⎭⎫⎝⎛+呈单调递增.再证明数列nn 11⎪⎭⎫⎝⎛+存在上限.首先假设nn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+的上限为1k 11+⎪⎭⎫⎝⎛+k （k 为正整数）.则需要先证明nn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+<1k 11+⎪⎭⎫⎝⎛+k （当n>k 时）.假设121,1k ka a a n +====+2+k a ==n a =1，则由均值不等式得出：111.1+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n k n k k k <()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⋅++k n k k k 111n 1=1+n n . 因此可以得出，11+⎪⎭⎫⎝⎛+k k k <11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n ，即111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n <111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k .由于1+n 1>1，可以得出n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，因此n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k .当n>k 时，随机取一个正整数k ，M=111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k ，均是nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的上限，并且前文已证明nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11呈单调递增，这就使得当n≤k 时，nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k 不等式仍然成立.因此n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11（n=1,2…）存在n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k （k 为正整数）.这就说明了任选一个k 值，M=111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k 均能够成为nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的上限.从而说明了nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11单调递增，并且存在界限.在单调有界定理下，nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11存在极限.设定极限值为e ，即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .通过上面的证明，可以通过均值不等式证明111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n 存在极限，且极限同样为e ，具体证明过程如下：记n x =111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，则n x 1=11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n =11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n ·1≤()22111+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+n n n n n =221+⎪⎭⎫⎝⎛++n n n =11+n x 由此证明n x 呈单调递减，并且1<n x <1x <4，n x 为收敛，极限为e .在上面的证明中，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<e <111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，两边分别取对数，不等式同样成立，即11+n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 11ln <n1. 由此可以证明， n a =1+21++１ｎ−ln ｎ为收敛，其极限值为Euler 数.例5 求极限nn n lim∞→.解 均值不等式n 21n a a a ≤na a a n+++ 21，则nn = n1211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-个n n n ≤n n n 11++++ =n n n 22-+<n 2+1， 因此0≤n n −1<n 2，得出nn n lim ∞→=1.2.3 绝对值不等式2.3.1 绝对值不等式定义及公式在不等式的应用中，在涉及到重量、面积、体积、数学对象的大小、绝对值等情况时，需要通过非负数进行度量，这就出现了绝对值不等式.公式为：b a -≤b a ±≤a +b当且仅当ab ≤0时，b a -=b a ±；ab ≥0时，b a ±=a +b .a 表示数轴上的点a 到原点之间的距离叫做数a 的绝对值. 其中ab =b a ，b a =ba（b ≠0），a <b 可逆推出b >a ，是绝对值不等式的重要性质.2.3.2 绝对值不等式的应用绝对值不等式主要应用于最值的求解、求取值范围等. 例6 最值的求解.设函数()x f =x +bx -1+c (b ≤−1，c∈)，函数()x g =()x f 在区间[−1,1]上的最大值为M ，若M≥k 对任意的b 、c 恒成立，求k 的最大值.解 将函数()x f 进行化简，得出()x f =x －b +bx -1+b +c 若b <−2，则()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥11f M f M ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--+-≥+-+≥c b M c b M 111111，这里利用了()x f 在区间[−1,1]为单调， 根据绝对值不等式定理，得出 2M ≥c b +-+111+c b +--+-111≥⎪⎭⎫⎝⎛+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+c b c b 111111=2122b -+ ≥34， 因此当b <−2时，M ≥32. 若−2≤b ≤−1，则有()()()⎪⎩⎪⎨⎧+≥≥-≥111b f M f M f M ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++≥+-+≥+--+-≥c b M c b M c b M 2111111， 根据绝对值不等式定理消一元，即运用2(m +n )M ≥()()()()111++-+-b f n m nf mf (m>0,n>0)可以将c 消除，得出2(m +n )M ≥()n m bm m b n n +-+++-+211， 要想使等号成立，必须满足()1-f = ()1f =－()1+b f ，可以得出b =－2，c =-1，将b =－2，c =－1带入到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++≥+-+≥+--+-≥c b M c b M c b M 2111111中，可以求得M 的最小值为2－1，因此k 的最大值为2－1.例7 求取值范围. 设函数()x f =b ax x --，a ,b ∈，若对任意实数a ,b ，总存在0x ∈[1,9]，使得不等式()0x f ≥M 成立，求实数M 的取值范围.解 令t =x ，则()t g =-2at +t －b ，()x f =()t g ，其中t ∈[1,3] 根据题目设必要条件为()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥491f M f M f M 即为⎪⎩⎪⎨⎧--≥--≥--≥ba Mb a M ba M 42931运用绝对值不等式，将参数a ,b 将消除，则设m ()1g +n ()3g +k ()2g ≥()()()231kg ng mg -+再运用待定系数法，将m 、n 、k 值求出，则为⎩⎨⎧=+--=+--0049k n m k n m 得出一组解为⎪⎩⎪⎨⎧===835k n m因此16M≥5b a --1+3b a --93+8ba --42 ≥()()()b a b a b a -----+--42893315=2则得出1.8M ≤即M 的最大值为81，此时a =41，b =87.本题解得M 的取值范围为(−∞,81].2.4 泰勒公式2.4.1 泰勒公式定义及公式泰勒公式的定义：设函数()x f 在点0x 处的某开区间（a ，b ）内具有n +1阶导数，则在该邻域内非0x 处的任意点x ()b a ,∈，在0x 和x 之间存在一个ξ，使得：()x f =()0x f +()()0x x x f -'+()()2002x x x f -''！++()()()n n x x n x f 00-！+()()()()1011++-+n n x x n f ！ξ 定理1 设函数()x f 在a 存在n 阶导数，则()a U x ∈∀，存在()x f =()a f +()()a x a f -'！1+()()22a x a f -''！++()()()n n a x n a f -！+()x R n 其中()x R n =()()()a x a x o n →-是比()n a x -的高阶无穷小，此式称为函数()x f 在a 的泰勒展开公式. 当a =0时，此式则变为()x f =()0f +()x f ！10'+()220x f ！''++()()nn x n f ！0+()n x o 此式称为麦克劳林公式.定理2 设二元函数()y x f ,在点()b a P ,的邻域G 内具有n +1阶连续的偏导数，则()G k b h a Q ∈++∀,，有()k b h a f ++,=()b a f ,+()b a f y k x h ,11⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂！+()b a f y k x h ,212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！++()b a f y k x h n n,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！+()()k b h a f y k x h n n θθ++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++,111！，0<θ<1其中符号()b a f y x l i,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂表示偏导数l i l i y x f ∂∂∂+在()b a P ,的值， ()b a f y k x h m,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=()b a f y x k h C i m i m i m i mi i m ,0--=∂∂∂∑.上式称为二次函数()y x f ,在点()b a P ,的泰勒公式.在此式中令a =0，b =0，可得二次函数()y x f ,的麦克劳林公式：()k h f ,=()0,0f +()0,011f y k x h ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂！+()0,0212f y k x h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！++()0,01f y k x h n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！+()()k h f y k x h n n θθ,111+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+！，0<θ<1.2.4.2 泰勒公式的应用泰勒公式在高等数学中的应用，主要体现在估计函数界、求函数极限、近似计算、判断反常积分及级数敛散性.例8 估计函数界.①设函数()x f 在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A ，B ，使得()x f ≤A ，()x f ''≤B .证明对于∈∀x [0,1]，有()x f '≤2A +2B. 在运用泰勒公式进行函数最值的计算过程中，需要确定已知函数泰勒展开的位置，并且展开到哪阶导数最为合适.在此例题中，已知函数()x f 在[0,1]上存在二阶导数，且函数、二阶导函数均有最值，需要证明一阶导函数在[0,1]有最值，这就需要运用泰勒公式，将函数()x f 在x 处展开到二阶，并将点0和1带入到展开时中，进行简单计算验证本题.证明 泰勒公式中，()0f =()x f +()()x x f -'0+()()202x f -''ξ，()x ,0∈ξ，()1f =()x f +()()x x f -'1+()()212x f -''η，()1,x ∈η， 两式进行相减，得()x f '=()1f －()0f －()()212x f -''η+()22x f ξ''，()1,x ∈η，因为()x f ≤A ，()x f ''≤B ，得出()x f '≤2A +2B()[]221x x +-，而()21x -+2x 在[0,1]内，且最大值为1，因此可以得出()x f '≤2A +2B . ②设()y x f ,在2x +2y ≤1上有连续的二阶导数，2xx f +22xy f +2yy f ≤M .若()00，f =()00，x f =()00，y f =0，证明()⎰⎰≤+122,y x dxdy y x f ≤M 4π.此题考察的是对抽象函数二重积分不等式的证明.在不等式的左边，能够设想到积分绝对值与绝对值积分的相互关系，从而可以计算()y x f ,的值.在题目中设()y x f ,在点(0,0)，运用泰勒公式展开到二阶，并且已知2xx f +22xy f +2yy f ≤M ，将()y x f ,的展开式进行处理，转化成为两个向量的乘积，并运用积分估值，将抽象函数二重积分转化为常见、熟悉的简单函数二重积分，既完成证明.证明 ()y x f ,在点(0,0)进行泰勒展开到二阶， 得出()y x f ,=()21,2x y f x y x y θθ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭，其中()1,0∈θ，记()w v u ,,=()y x f y y x x θθ,,,222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂，则()y x f ,=21()222wy vxy ux ++ 已知2xxf +22xy f +2yy f ≤M ， 所以()w v u ,2,=2222w v u ++≤M ，并且()22,2,y xy x =2x +2y ，因此可以得出()()22,2,,2,y xy x w v u ≤M (2x +2y )，即等同于()y x f ,≤21M (2x +2y )从而得出()⎰⎰≤+122,y x dxdy y x f ≤21M()⎰⎰≤++12222y x dxdy y x=M 4π.证明结束.例9 求函数极限.①计算极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→x x x x x 22ln 111320lim .此题可以运用洛必达法和泰勒公式求解，若使用前者，则需要进行四次求导才能够计算出结果，计算量较为庞大，而运用泰勒公式，则运算过程较为简单.解 首先对算式进行变换：x x -+22ln =2121ln x x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21ln x −⎪⎭⎫ ⎝⎛-21ln x 算式中xx x -+22ln 13的分母为3x ，运用函数y=()x +1ln 在0点的麦克劳林展开公式，将⎪⎭⎫ ⎝⎛+21ln x 和⎪⎭⎫⎝⎛-21ln x 进行展开到三阶，则有x x -+22ln =[2x −2221⎪⎭⎫ ⎝⎛x +3231⎪⎭⎫ ⎝⎛x +()3x o ]+[2x +2221⎪⎭⎫ ⎝⎛x +3231⎪⎭⎫⎝⎛x +()3x o ] =x +3121x +()3x o 因此，1+21x −x x x -+22ln 13=1+21x −⎪⎭⎫ ⎝⎛+331211x x x +()33x x o =1−121+()33x x o 可以得出⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→x x x x x 22ln 111320lim=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→331211lim x x o x =1211.本题解得⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→x x x xx 22ln 111320lim=1211.在运用泰勒公式进行分母或分子中含有n x 这类极限求解题目时，要注意在()x f x lim 0→中，要运用泰勒公式，将非零因子项（乘或者除项）进行转换，再通过四则运算方式将极限值求解出来，不过在计算过程中，加减项不能代换.在进行这类题目的计算过程中，注意到这些原理有助于提高计算的准确度.②计算极限()()()()2222220,0,1cos sin lim y x y x y x y x +-+++→. 在此极限计算中，设()y x f ,=()22sin y x ++()22cos y x +−1，由于()y x f ,在上存在任意连续偏导数，且22y x +为该式的分母，这就需要运用麦克劳林公式，将()y x f ,在点(0,0)展开到二阶，这样容易得出极限值.解()y x f x ,=2()22cos y x x +−2()22sin y x x +，()0,0x f =0，()y x f y ,=2()22cos y x y +−2()22sin y x y +，()0,0y f =0，()y x f xx ,=2()22cos y x +−4()222sin y x x +−2()22sin y x +−4()222cos y x x +，()0,0xx f =2，()y x f xy ,=()y x f yx ,=−4()22sin y x xy +－4()22cos y x xy +，()0,0xy f =()0,0yx f =0，()y x f yy ,=2()22cos y x +－4()222sin y x y +－2()22sin y x +－4()222cos y x y +，()0,0yy f =2，即()y x f ,=()22y x ++()y x R ,2，其中()y x R ,2=-2()222y x +θ[()2222sin y x θθ++()2222cos y x θθ+]+()322334y x +θ[()2222sin y x θθ+－()2222cos y x θθ+]，(0<θ<1)，因此()()()()2222220,0,1cos sin lim y x y x y x y x +-+++→=()()()22222220,0,lim y x y x R y x y x ++++→=1 本题解得()()()()2222220,0,1cos sin lim y x y x y x y x +-+++→=1. 例10 近似计算. ①求方程xx 1sin2=2x －501的近似值，精确至0.001. 在此算式中含有x 1sin，就不能采用初等函数方法进行计算.此题要求计算近似值，就需要将x 1sin 用初等函数即多项式代替，即通过泰勒公式将x1sin 展开.方程右边是x 的一次式，因此在对方程左边进行泰勒公式展开时，也要转换成x 的一次式，故将其在原点进行麦克劳林公式展开至一阶.运用泰勒公式对方程进行近似值计算，可以依据题目中精确度要求展开至合适的阶数.解 根据泰勒公式t sin =t －()22sin t t θ(0<θ<1)， 令t=x1，得x 1sin =x 1−212sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x x θ， 带入到题目中原方程，得 x −2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛xθ=2x −501，即x =501−2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛xθ，由此可以知道x >500，0<x θ<5001，所以501-x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛xθ≤x θ21<10001=0.001， 即当x =501时，满足题目中的假设条件解.②求96.308.1的近似值，精确至410-.在近似值计算题中，对计算的精确度要求较低时，可以采用线性进逼公式()y x f ,≈()00,y x f +()00,y x f x (x −0x )+()00,y x f y (y −0y )，即可以运用全微分近似代替全增量；当对计算的精确度要求较高时，则可以采用高阶泰勒公式进行计算，并根据题目中对精确度的具体要求，来确定泰勒展开式的阶数.解 令()y x f ,=y x ，通过计算二元函数在点(1,4)的泰勒展开式，则y x =1+4(x −1)+[6()21-x +(x －1)(y －4)]+[4()31-x +27()21-x (y －4)]+ [()41-x +313()31-x (y －4)+21()21-x ()24-y ]+将x =1.08，y =3.96带入到上式中，得出96.308.1=1+(4×0.08)+(6×208.0－0.08×0.04)+(4×308.0－27×208.0×0.04)+[408.0－313×308.0×0.04+21×208.0×204.0]+=1+0.32+0.0352+0.001152+0.000034026+由于余项3R =0.000034026<410-，因此96.308.1≈1.356352.例11 判断反常积分及级数敛散性. ①判断积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0311sin 1是否收敛？是否绝对收敛？证明所述结论.此题目需要判断瑕积分dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1与无穷积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-1311sin 1的敛散性.瑕积分dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1的被积分31sin 1-⎪⎭⎫⎝⎛-x x 在区间(0,1]内恒正，所以对于瑕积分dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1来说，其收敛等同于绝对收敛.在对310sin 1lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x λ极限值进行求解时，需要运用比较判别法，通过λ的阶数和极限值进行敛散性的判断，在这种情况下，将x xsin 在x =0处进行泰勒展开，是一种简单且十分快速有效的求解方法.解dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0311sin 1=dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1−⎰10dx +dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1311sin 1 其中dx x x ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-1031sin 1是以x =0为瑕点的瑕积分，将x x sin 在x =0处进行泰勒展开到二阶，有31sin 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x =()312231-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x o x ！，该式与321x同阶，通过比较法可以知道dx x x ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-1031sin 1.因为当∈x (0,1)时，1－xxsin >0， 因此dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-131sin 1=dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1收敛，且绝对收敛. 其次对无穷积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-1311sin 1，当x >1时，x x sin <1，收敛，因此可以运用()αx +1的泰勒公式进行展开，得到31sin 1-⎪⎭⎫⎝⎛-x x −1=x x sin 31+⎪⎭⎫ ⎝⎛21x o ， 则dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1311sin 1=dx x x ⎰+∞1sin 31+⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛121x o .运用狄利克雷判别法得知dx x x⎰+∞1sin 为条件收敛，⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛121x o 为绝对收敛，所以原积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0311sin 1为条件收敛.②设n a =nn n p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 1，判断∑n a 的敛散性.n a =nn n p e⎪⎭⎫⎝⎛-ln 1ln =⎪⎭⎫⎝⎛-n n p n eln 1ln ，而当n →+∞时，n n ln →0，因此⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n p ln 1ln ～-nnp ln .从而可得出n a ～⎪⎭⎫⎝⎛-n n p n e ln =p n -.证明 ()x +1ln 在x =0处进行泰勒展开，得出()x +1ln =x -221x +()2x o ，n a =nn n p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 1=nn n p e ⎪⎭⎫⎝⎛-ln 1ln =⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n p n eln 1ln =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-23ln ln n n p n n n e=p n -·⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23ln n np e～p n -（当n→+∞时），即当n →+∞时，n a 是n1的p 阶无穷小量， 所以当且仅当p >1时，∑n a 为收敛. 2.5 柯西不等式2.5.1 柯西不等式定义及公式柯西（Cauchy ）不等式是高等数学中的基础不等式，灵活的运用柯西不等式能够解决数学上的多种问题，而柯西不等式的推广公式，又可以解决一些难度较大的问题.在柯西不等式中，设有两组实数1a ，2a ，，n a 以及1b ，2b ，，n b ，均为任意实数，则不等式：21⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i i b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i b a 1212成立. 当且仅当各数值相等时，即11b a =22b a==nnb a 时，等号成立.柯西不等式在数学不同领域内的应用，具有着不同的形式，在微积分中，柯西不等式又被称为可以柯西-施瓦茨不等式，公式为：()()()()222d .b b b a a a f x g x x f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰在线性代数中，柯西不等式又被称为柯西-布涅柯斯基不等式，公式为：∀向量α，β，则有()βα，≤α·β当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使α1k + β2k =0时，等式成立. 在概率论中，柯西不等式被称为柯西-施瓦茨矩不等式，公式为：ηξ,∀，若2ξE 、2ηE 存在，则有[]2ξE ≤2ξE ·2ηE ，当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使P(ξ1k +η2k =0)=1时，等式成立. 2.5.2 柯西不等式的应用在柯西不等式的应用中，可以在参数取值范围的计算、等式证明、极值相关问题、点面距离计算等，均能够得到应用.例12 参数取值范围的计算.已知x ,y ,z +∈R ，x +y +z =xyz 且不等式y x +1+z y +1+zx +1≤λ恒成立，求λ的取值范围.解 根据均值不等式定理和柯西不等式定理可以得出y x +1+z y +1+z x +1≤xy 21+yz 21+xz21 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯+++⨯+++⨯z y x yz y x x z y x z 11121 ≤()2122211121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++z y x yz y x x z y x z =23 因此可以得出λ的取值范围在[23，+∞）之间. 例13 等式证明.已知a ,b +∈R ，且a a 4sin +b a 4cos =b a +1，证明38sin a a +38cos b a =()31b a +.证明 根据已知条件可以得出（a +b ）（a a 4sin +ba4cos ）=1当且仅当aaa 2sin =bab2cos 时，等号成立，即a a 2sin =a b 2cos ，由上两式解得a 2sin =b a a +，a 2cos =ba b+ 因此38sin a a +38cos b a =431⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a a +431⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b b =()31b a +. 所以通过柯西不等式，证明38sin a a +38cos b a =()31b a +. 例14 极值相关问题. 如1x +2x ++n x =1，i a >0，证明当且仅当11x a =22x a==n n x a 时，()x f =211x a +222x a ++2n n x a 的最小值为na a 1111++ .证明1x +2x ++n x =1111x a a ++n n nx a a 1≤()21222221121111n n n x a x a x a a a +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++即211x a +222x a ++2n n x a ≥na a 1111++ ，当且仅当1111a x a ==nnn a x a 1时，即11x a =22x a ==n n x a ，等式成立，()x f =211x a +222x a ++2n n x a 取最小值na a 1111++ .因此在1x +2x ++n x =1，i a >0条件下，当且仅当11x a =22x a==n n x a 时，()x f =211x a +222x a ++2n n x a 的最小值为na a 1111++ .例15 点面距离计算.运用柯西不等式，推到空间的一点P ()000,,z y x ，到平面α：Ax +By +Cz +D=0的距离公式为d =222000CB A DCz By Ax +++++.解 设1P ()111,,z y x 是平面α：A x +B y +C z +D =0上的任一点，则A 1x +B1y +C 1z +D =0，则1PP =()()()210210210z z y y x x -+-+-的最小值，就是点P 到平面α的距离.由柯西不等式，得出1222PP C B A ++≥()()()101010z z C y y B x x A -+-+-=D Cz By Ax +++000即1PP ≥222000CB A DCz By Ax +++++，当且仅当1PP 垂直于平面α时，取等号，因此P()000,,z y x 到平面α：D Cz By Ax +++=0的距离公式为d =222000CB A DCz By Ax +++++.2.6 施瓦茨不等式2.6.1 施瓦茨不等式定义及公式施瓦茨不等式是对于在[a ,b ]上的任意连续函数()x f ，()x g ，则有不等式为：()()()()222d .b b b a a a f x g x x f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰若()x f =0，或者()x f 与()x g 有正比时，等号成立. 2.6.2 施瓦茨不等式的应用在施瓦茨不等式的应用中，可以在实数域、微积分、多元函数等，均能够得到应用.例16 若级数∑∞=11i mia ，∑∞=12i mia，∑∞=1i m mia都收敛，则对N n ∈∀有不等式mn i mi i i a a a ⎪⎭⎫⎝⎛∑=121...≤∑∞=11i mi a ·∑∞=12i mia ··∑∞=1i mmia ，证明对于定义在[a ,b ]上的任意连续函数()x f j （j =1,2,,n ）有()nb a nj j dx x f ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰∏=1≤()∏⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n j b a n j dx x f 1. 证明 已知函数()x f j 定义在区间[a ,b ]上，且连续（N j ∈），将[a ,b ]区间进行m 等分，则每个小区间长度为x ∆，取每个小区间的左端点i ξ(i =1,2,,m )，则有()⎰∏=b an j jdx x f 1=()()()()xf f f mi ii i n ∆∑=∞→1121lim ξξξ()⎰bai nj dx x f =()()∑=∞→mi in jn f 1limξ，j =1,2,,n令n i a 1=()i n f ξ1，ni a 2=()i nf ξ2，，nni a =()i nn f ξ，则级数 ∑∞=11i nia，∑∞=12i n i a ，，∑∞=1i nni a 都收敛， 可以得出0≤ni ni i i a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=121 ≤∑∞=11i n i a ·∑∞=12i ni a ··∑∞=1i nni a 即()()()nni i n i i f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=121ξξξ ≤()∑=n i i nf 11ξ·()∑=ni i n f 12ξ··()∑=ni i n n f 1ξ因此()()()ni i n i i x f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∞=121ξξξ ≤()x f i i n∆∑∞=11ξ·()x f i i n ∆∑∞=12ξ··()x f i i n n ∆∑∞=1ξ由此可以得出()nb a n j j dx x f ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰∏=1≤()∏⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n j b a n j dx x f 1，因此原命题成立. 例17 设()y x f ,是区域D 内的非负可积函数，且()σd y x f D⎰⎰,≤A ，其中A 是区域D 的面积，证明()()σd y x f y x f D⎰⎰+,1,2≤2A ≤()σd y x f D ⎰⎰+,11. 证明 因为1+()y x f ,2≥2()y x f ,， 则有()()σd y x f y x f D ⎰⎰+,1,2≤⎰⎰Dd σ21=2A ， 由于()y x f ,≥0，1+()y x f ,≥1，则有2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰D d σ≤()()⎰⎰+D d y x f σ,1·()⎰⎰+Dd y x f σ,11， 即()⎰⎰+Dd y x f σ,11≥()()⎰⎰+Dd y x f A σ,12=()⎰⎰⎰⎰+DDd y x f d A σσ,2≥2A， 即有()()σd y x f y x f D⎰⎰+,1,2≤2A ≤()σd y x f D ⎰⎰+,11，原命题成立. 例18 证明不等式0≤()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≤()()2122224⎪⎭⎫ ⎝⎛--c d a b e e e e A 其中区域D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤d y c bx a ，A 表示区域D 的面积.证明 设()y x f ,=()2221y x e xy +，则()y x f ,≥0，()y x ,∈D ，因此有()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≥0，根据施瓦茨不等式，可以得出()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≤2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎰⎰⎰⎰+D D y x dxdy xye dxdy ， 因为⎰⎰+Dy x dxdy xye22=⎰bax dx xe 2·⎰dcy dy ye 2=41(2b e -2a e )(2d e -2c e ),⎰⎰D dxdy =A ,则有0≤()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≤()()2122224⎪⎭⎫ ⎝⎛--c d a b e e e e A ，不等式成立. 3结论在高等数学中，不等式是重要的组成部分之一.作为高等数学中的基本不等式，基本不等式、均值不等式、绝对值不等式、泰勒公式、柯西不等式、施瓦茨不等式，有助于解决高等数学中各种问题，这些不等式可以应用于不同的问题，而合理的运用不等式，将有助于各类高等数学问题的解决，并且灵活应用，可以更好的渗透不等式中的数学思想.随着高等数学的发展，现代数学已成为一门庞大的科学体系，不等式成为了现代数学的重要工具之一，而随着现代数学与其他学科的融合发展，不等式将不断渗透到自然科学、动力系统、工程技术等多个领域，逐渐成为理解各种信息的有力工具.参考文献[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2015.[2]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报（自然科学版），2014,15(2):88-90.[3]冉凯.均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报，2017,10(4):35-38.[4]夏静.高等数学中不等式证明的常用方法[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2015,31(10):19-20.[5]邱克娥，彭长文.泰勒公式在高等数学解题中的应用举例[J].贵州师范学院学报，2017,12(6):76-79.[6]许雁琴.泰勒公式及其应用[J].河南机电高等专科学校学报，2015,9(6):11-15.[7]黄卫.柯西不等式证明及应用[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2014,12(4):19-20.[8]俸卫.Cauchy 不等式的变式及应用探析[J].科技信息，2015,2(7):51-52.[9]高波.高等数学中函数不等式的证明[J].教育教学论坛，2016,7(30):212-213.[10]孙晓莉.柯西-施瓦茨不等式的推广与应用[D].合肥工业大学，2013.。
基本不等式使用技巧
基本不等式使用技巧基本不等式有个使用口诀：一正，二定，三相等，和定积大，积定和小。
和定积大：两个正数的和为定值，则它们的乘积小于等于它们相等时的乘积积定和小：两个正数的积为定值，则它们的和大于等于它们相等时的和。
基本不等式简单推导：由a -b 2≥0⇒a 2+b 2-2ab ≥0即a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时等号成立),令a =a ,b =b 得a +b ≥2ab 即a +b 2 ≥ab (a >0,b >0,此不等式称为基本不等式，反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数)。
重要变形：a 2+b 2≥2ab ⇒a 2+b 2≥2ab (a ,b 同号)a 2+b 2≥-2ab (a ,b 异号) ；ab ≤a 2+b 22 ；ab ≤a +b 24 (即ab ≤a +b 2 2)；a +b ≥2ab (a >0,b >0)；a +b ≤-2ab (a <0,b <0)；2(a 2+b 2)≥(a +b )2(即a 2+b 22 ≥a +b 2 2)，以上各式均是当且仅当a =b 时等号成立。
典型例题：已知x ,y 为实数，4x 2-5xy +4y 2=5,求x 2+y 2的最大值和最小值。
解：∵4x 2-5xy +4y 2=5∴x 2+y 2=54(xy +1)≥2xy (x ,y 同号时)⇒xy ≤53∴x 2+y 2=54 (xy +1)≤54 (53 +1)=103又∵x 2+y 2=54(xy +1)≥2xy (x ,y 异号时)⇒xy ≥-513∴x 2+y 2=54 (xy +1)≥54 (-513 +1)=1013∴x 2+y 2最大值为103 ，x 2+y 2最小值为1013使用技巧：(一).凑项与凑系数例1：已知x >0,y >0且x 2+y 22=1,则x y 2+1 的最小值为_____。
解：方法一：凑项：∵x 2+y 22=1∴x 2+y 2+12 =32∴x 2∙y 2+12 ≤34 ×34(和为定值乘积小于等于相等时的乘积)∴x 2∙(y 2+1)≤98 ∴x y 2+1 ≤32 4 ∴x y 2+1 的最小值为32 4方法二：凑系数：∵x 2+y 22=1∴2x 2+y 2=2∴x y 2+1 =2 2 ×2 x ×y 2+1 ≤2 2 ×(2 x )2+y 2+1 22 (ab ≤a 2+b 22 )=2 2 ×2x 2+y 2+12 =2 2 ×32 =32 4 ∴x y 2+1 的最小值为32 4例2：椭圆E ：x 23+y 2=1的上顶点为A ，过点A 的直线l 与E 交于另一点B ，求AB 的最大值？解：①当l 斜率不存在时，易知AB =2②当l 斜率存在时，设l 斜率为k ，则l 方程为：y =kx +1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立x 23 +y 2=1y =kx +1 ⇒3k 2+1 x 2+6kx =0∴x 1+x 2=-6k 3k 2+1x 1x 2=0 由弦长公式知：AB =1+k 2 ×(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2 ×6k 3k 2+1 =63k 2+1 ×k ×1+k 2 =2 2 ×63k 2+1 ×2 k ×1+k 2 ≤2 2 ×63k 2+1 ×2 k 2+1+k 2 22 (ab ≤a 2+b 22 )=2 2 ×63k 2+1 ×2k 2+1+k 22 =32 2 ∵32 2 >2∴AB 的最大值为32 2.(二).活用常数(活用“1”)例1：已知m >0,n >0且m +n =1,则1m +4n的最小值为？解：∵1m +4n =1m +4n m +n =5+n m +4m n ≥5+2n m ×4m n =9∴1m +4n的最小值为9例2：已知x >-1,y >0且x +2y =1,则1x +1 +2y的最小值为？解：∵x +2y =1∴(x +1)+2y ⋅12=1∴1x +1 +2y =1x +1 +2y∙(x +1)+2y ⋅12 =5+2y x +1 +2(x +1)y ⋅12 ≥5+22y x +1 ×2(x +1)y ⋅12=92 ∴1x +1 +2y 的最小值为92例3：已知a >0,b >0且a -2ab +b =0，则a +4b 的最小值为？解：∵a -2ab +b =0∴a +b =2ab ⇒a +b 2ab =1即(1a +1b)⋅12 =1∴a +4b =a +4b ∙(1a +1b )⋅12 =(5+4b a +a b )⋅12 ≥5+24b a ×a b ⋅12=92 ∴a +4b 的最小值为92例4：已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n ，使得a m a n =4a 1,则1m +9n的最小值为()A.83 B.114 C.145 D.176解：由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，可得a 5q 2=a 5q +2a 5，所以q 2-q -2=0，解得q =2或q =-1(舍去)．因为a m a n =4a 1，所以q m +n -2=16，所以2m +n -2=24，所以m +n =6.∴1m +9n =(1m +9n )×m +n 16 =16 (10+n m +9m n)≥16 (10+6)=83 当且仅当n m =9m n,即n =3m ，即m =32 ,n =92时等号成立，不合题意(∵m ,n ∈N +)由m +n =6,m ,n ∈N +则m =1n =5 或m =2n =4 或m =3n =3 或m =4n =2 或m =5n =1代入式子1m +9n 知最小值为114，故选B 例5：已知x >0,y >0且x +y =1,(1)求x 2x +1 +y 2y +1的最小值,(2)求12x +y +1x +3y的最小值。
基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的八种变形技巧基本不等式是用来求两个正变量和与积的最值的，但有些题目需要用到基本不等式的变形形式才能求最值，或者需要对待求式作适当变形后才能求最值。
下面介绍几种常见的变形技巧。
1.加上一个数或减去一个数使和或积为定值例如，对于函数$f(x)=\frac{x}{3-x}$，当$x<3$时，求$f(x)$的最大值。
因为$x0$，所以$f(x)=\frac{-3+x}{3-x}+3\leq \frac{4}{3-x}\leq -2+\frac{4}{3-x}=2+\frac{2}{3-x}$。
当且仅当$3-x=2$时等号成立，即$x=1$时，$f(x)$的最大值为$-1$。
2.平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值。
例如，若$x>0$，$y>0$，且$2x^2+y^2=8$，求$x^6+2y^2$的最大值。
由于已知条件式中有关$x$，$y$的式子均为平方式，而所求式中$x$是一次的，且$\sqrt{y}$是二次的，因此考虑平方后求其最值。
设$a=x^2$，则$2a+y^2=8$，所以$y^2=8-2a$，代入$x^6+2y^2=x^6+16-4a$，即要求$a$的最小值。
由于$x>0$，所以$a>0$，所以$2a+y^2>0$，即$8-2a>0$，所以$a<4$。
由基本不等式，$(1+1+1+1+1+1)(a+a+a+y^2+y^2+y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$，即$6(6a+3y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$。
代入$y^2=8-2a$，整理得$x^6+2y^2\leq 29$，当且仅当$x^2=2$，$y^2=2$时等号成立，所以$x^6+2y^2$的最大值为$29$。
3.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值。
例如，已知$a>0$，$b>0$且$a+b=2$，求$(a+1)(b+1)$的最小值。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
基本不等式的变形及应用讲课讲稿
基本不等式ab b a 222≥+的变式及应用 不等式ab b a 222≥+是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用1、十种变式①222b a ab +≤； ②2)2(b a ab +≤；③2)2(222b a b a +≤+ ； ④)(222b a b a +≤+ ⑤若0>b ，则b a b a -≥22； ⑥ ,,+∈R b a 则ba b a +≥+411 ⑦若ab b a R b a 4)11(,,2≥+∈+⑧若0≠ab ，则222)11(2111b a ba +≥+ 上述不等式中等号成立的充要条件均为：b a =⑨若R b a R n m ∈∈+,,,，则nm b a n b m a ++≥+222)(（当且仅当bm an =时等号成立） ⑩)(3)(2222c b a c b a ++≤++（当且仅当c b a ==时等号成立） 2、应用例1、若+∈R c b a ,,，且2=++c b a ，求证：4111<+++++c b a证法一：由变式①得21111++≤+⋅a a 即121+≤+aa 同理：121+≤+b b ，121+≤+cc因此12111+≤+++++a c b a 41212≤++++cb由于三个不等式中的等号不能同时成立，故4111<+++++c b a评论：本解法应用“222b a ab +≤”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功能。
证法二：由变式④得)11(211+++≤+++b a b a同理：)11(211++≤++c c∴≤++++++1111c b a )4(2)2(2)2(2+++≤++++c b a c b a512<= 故结论成立评论：本解法应用“)(222b a b a +≤+”，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。
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基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用
不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它
各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用
1十种变式
2、应用
由于三个不等式中的等号不能同时成立，故
■ a 1 .b 1 . c 1 4
a 2
b 2
评论：本解法应用“ ab
”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是
2
一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功
①ab
a 2
b 2 _ a b 2 ② ab (
)；
2
a b 、2 2
a b 2
③（ ）
;
2 2
⑤若b 0，
2
则a
2a b ;
b
1
⑦若a,b R ,(
1)2
4
a b
ab
上述不等式中 等号成立的允要条件均为
⑥a,b
R ,则 1 1
4
a b a
b
⑧若ab
0 ,则 1 2 a 1 b 2
a b
b 2
(a b)
(当且仅当an m n
⑩(a b c)2
3(a 2 b 2 c 2
（当且仅当a b c 时等号成立）
例 1、若 a,b,c R c 2，求证：.a 1
. b 1 c 1 4
证法一：由变式①得
即..a 1
HI 二
理
同b- 2
V
C- 2 a- 2
4
C- 2
b- 2 2
④ a b . 2(a 2 b 2)
a 2
⑨若 m, n R ,a,b R ，则
bm 时等号成立）
1
匕
止 因
证法二：由变式④得a 1 b 1 2(a 1 b 1)
同理：..c 1 1 . 2(c_1一1)
.a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) . 2(c 2) .. 2(a b c 4) .12 5 故结论成立
评论：本解法应用“ a b J2(a2b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。
证法三：由变式⑩得
( a 1 . b 1 、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15
故.a 1 .. b 1 ... c 1 4 即得结论
评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边
同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式⑩，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。
本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个
整平方，从而有效的去掉了根号。
例2、设a,b,c R ，求证:
a b
.b . c
Ja Vb Jc a
证明：由变式⑤得〒
v'b 2 . a , b，b
=2勺b J c，厂2\i c Q a
c a
三式相加即得：—
Vb b
c
c
a a、b
、、c
评论: 本解法来至于“若b
a
2
0，则
b
2a b”这个变式将基本不等式转化成更为
灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。
2 2
例3、实数a,b满足(a 4) (b 3)
2，求a b的最大值与最小值
个特殊分式的关系，它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题，也为我们 处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径。
ab(a b)即得变式⑥，本题两次使用基本不等式，第一次应用变式⑥，第二次应用基本不 等式。
值得注意的是两次
等号成立的条件必须一致，否则，最值是取不到的。
解析：结合变式⑨得
2 (a 4)2
(b 3)2 (a b 7)2
4 3 4 3
因此 、14 a b
7 ..14 即 7 ,14 a b
7 (14)
3.14
3.14
a 3
a 3
当且仅当3(a 4)
4( b 3)、再结合条件得
7
及
7
时，分
4. 14
414 b 4
b 4
7
7
别获得最小值与最大值；
评论：由a 2m 2
2 2
b n
2mnab n(m n)a 2
m(m n)b 2
mn (a 2
b)再结合
个很特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一
m, n R 即得变式⑨，这可是
例4、已知x, y (
2,2)，且 xy 1，
解析：由变式⑥u
4 4 x 2
2
X) (1
4
(1
____ 4
x 2 2 (
T 2 7)
12 5
上述两不等式当且仅当
屮、再结合xy
2
时,
_6 3
取得最小值; 评论：由a 2 b 2
2ab b(a b) a(a b) 4ab 结合a,b R ,两边同除以
2 2 2 2 2
1 2 2 2
2(a b ) (a b) b a (a b)结合ab 0 ,两边同除a b 即得变式⑧。
本
题的求解，虽然“廖廖几步”，但来之实在不易。
首先这两个变式不一定大家都熟悉， 其次,
三次使用变式进行转化，必须保证等号在同一时刻取得，可谓步履维艰。
2 2
可以看出：不等式a b 2ab 的各种变式及其灵活运用给予我们带来了不仅仅是
个又一个的难题被“攻克”了，而是一次又一次的体验数学的真谛，一次又一次地充分享 受数学解题的乐趣。
例5、当0 x a 时，不等式 2
x
(a x)2
2恒成立，求a 的最大值;
解：由变式⑧、⑦、②得
1 1 ](丄 1 )
2 x 2 (ax)2
2 x a x
14 14
2 x(a x) 2(X a x )2
上述三个不等式中等号均在同一时刻
8 由笃 2 0 a 2
a
故a 的最大值为2 ；
x a x 时成立
评论：由(a b)2
4ab 再结合a,b
2
R 即得变式⑦；又由a
b 2
2ab 得。