基本不等式的变形及应用

基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用
不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它
各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用
1十种变式
2、应用
由于三个不等式中的等号不能同时成立，故
■ a 1 .b 1 . c 1 4
a 2
b 2
评论：本解法应用“ ab
”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是
2
一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功
①ab
a 2
b 2 _ a b 2 ② ab (
)；
2
a b 、2 2
a b 2
③（ ）
;
2 2
⑤若b 0，
2
则a
2a b ;
b
1
⑦若a,b R ,(
1)2
4
a b
ab
上述不等式中 等号成立的允要条件均为
⑥a,b
R ,则 1 1
4
a b a
b
⑧若ab
0 ,则 1 2 a 1 b 2
a b
b 2
(a b)
(当且仅当an m n
⑩(a b c)2
3(a 2 b 2 c 2
（当且仅当a b c 时等号成立）
例 1、若 a,b,c R c 2，求证：.a 1
. b 1 c 1 4
证法一：由变式①得
即..a 1
HI 二
理
同b- 2
V
C- 2 a- 2
4
C- 2
b- 2 2
④ a b . 2(a 2 b 2)
a 2
⑨若 m, n R ,a,b R ，则
bm 时等号成立）
1
匕
止 因
证法二：由变式④得a 1 b 1 2(a 1 b 1)
同理：..c 1 1 . 2(c_1一1)
.a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) . 2(c 2) .. 2(a b c 4) .12 5 故结论成立
评论：本解法应用“ a b J2(a2b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。

证法三：由变式⑩得
( a 1 . b 1 、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15
故.a 1 .. b 1 ... c 1 4 即得结论
评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边
同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式⑩，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。

本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个
整平方，从而有效的去掉了根号。

例2、设a,b,c R ，求证:
a b
.b . c
Ja Vb Jc a
证明：由变式⑤得〒
v'b 2 . a , b，b
=2勺b J c，厂2\i c Q a
c a
三式相加即得：—
Vb b
c
c
a a、b
、、c
评论: 本解法来至于“若b
a
2
0，则
b
2a b”这个变式将基本不等式转化成更为
灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。

2 2
例3、实数a,b满足(a 4) (b 3)
2，求a b的最大值与最小值
个特殊分式的关系，它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题，也为我们 处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径。

ab(a b)即得变式⑥，本题两次使用基本不等式，第一次应用变式⑥，第二次应用基本不 等式。

值得注意的是两次
等号成立的条件必须一致，否则，最值是取不到的。

解析：结合变式⑨得
2 (a 4)2
(b 3)2 (a b 7)2
4 3 4 3
因此 、14 a b
7 ..14 即 7 ,14 a b
7 (14)
3.14
3.14
a 3
a 3
当且仅当3(a 4)
4( b 3)、再结合条件得
7
及
7
时，分
4. 14
414 b 4
b 4
7
7
别获得最小值与最大值；
评论：由a 2m 2
2 2
b n
2mnab n(m n)a 2
m(m n)b 2
mn (a 2
b)再结合
个很特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一
m, n R 即得变式⑨，这可是
例4、已知x, y (
2,2)，且 xy 1，
解析：由变式⑥u
4 4 x 2
2
X) (1
4
(1
____ 4
x 2 2 (
T 2 7)
12 5
上述两不等式当且仅当
屮、再结合xy
2
时,
_6 3
取得最小值; 评论：由a 2 b 2
2ab b(a b) a(a b) 4ab 结合a,b R ,两边同除以
2 2 2 2 2
1 2 2 2
2(a b ) (a b) b a (a b)结合ab 0 ,两边同除a b 即得变式⑧。

本
题的求解，虽然“廖廖几步”，但来之实在不易。

首先这两个变式不一定大家都熟悉， 其次,
三次使用变式进行转化，必须保证等号在同一时刻取得，可谓步履维艰。

2 2
可以看出：不等式a b 2ab 的各种变式及其灵活运用给予我们带来了不仅仅是
个又一个的难题被“攻克”了，而是一次又一次的体验数学的真谛，一次又一次地充分享 受数学解题的乐趣。

例5、当0 x a 时，不等式 2
x
(a x)2
2恒成立，求a 的最大值;
解：由变式⑧、⑦、②得
1 1 ](丄 1 )
2 x 2 (ax)2
2 x a x
14 14
2 x(a x) 2(X a x )2
上述三个不等式中等号均在同一时刻
8 由笃 2 0 a 2
a
故a 的最大值为2 ；
x a x 时成立
评论：由(a b)2
4ab 再结合a,b
2
R 即得变式⑦；又由a
b 2
2ab 得。