多元正态分布的检验精品PPT课件

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正态分布ppt课件统计学

正态分布ppt课件统计学
详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响,导致身高和体重的差异。根据正态分布规律,大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近,而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况,并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法,用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大,P值越小,说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点,即大部分考生成绩集中在平均分附近,高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ,中间高,两侧逐渐降低 ,对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小,函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ,表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值,表示数据的中 心位置,所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为: $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中,$mu$表示平均值,$sigma$ 表示标准差,该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象

多元统计分析——多元正态分布

多元统计分析——多元正态分布

一、多元正态分布的定义
1、一元正态分布的定义 若变量 X 的概率密度为:
x 2
2 2
1 f x e 2
, 0 ,
则称 X 服从一元正态分布,记为 X ~ N , 2 。 我们可以将上式改写为:


f x 2

1 2
1 exp x ' 2 2
量 X 的相关阵为
R rij p p
其中
rij
Var X i Var X j
covX i , X j

ij ii Байду номын сангаасj
i, j 1,2,, p
另证明:标准化数据的协方差阵正好是原始指标的相 关阵
第2节
多元正态分布
一、多元正态分布的定义 二、均值向量和协方差阵的估计 三、维希特(Wishart)分布 四、统计距离
三、多元变量的独立性
定义 3 两个随机向量 x 和 y 相互独立的充要条件为:
PX x, Y y PX x PY y
对任意的 x, y
若 F x, y 为 x, y 的联合分布函数; G x 和 H y 分别为 x 和 y 的分布函数, 则 x 与 y 独立当且仅当 F x, y G x H y 若 X ,Y ' 有密度函数 f x, y , g x 和 h y 分别表示 X 和 Y 的分布密度, X 和 Y 用 则 独立当且仅当


X 1 X 2 X p q
q
μ 1 μ 2 μ p q
q
11 21
12 21 p q

多元正态分布参数估计与检验

多元正态分布参数估计与检验

则称随机向量 为X维正p态随机向量,
其中
称为均值向量, V为协方差矩阵(协差阵),且
V0. 对于一般情形 V0, 仍可定义多维正
态随机向量, 记为 X~ Np(,V 。) 当 V0时,
X有前面的密度表示,而当
布是退化的正态分布。
时|V,|0 X的分
多元正态分布的性质:
(1) p维正态分布由其均值向量和协方差阵唯


H0
成立时, 1
时,
2
D 0 6 n 1 n 20 7(X Y )T V 0 8 1 (X Y )0 9 2 (p )1 0
n n 而当 不 1有偏2 大的趋
因此,对
给定的显著

H 成立时, 0
势。
D
性水平 ,
D n n 11 n n 22(X Y )T V 1 (X Y )1 2 (p )
体 Np(,V)的简单样本, 令
X
1n nk1
Xk
——样本均值向量
n
S (XkX)X (kX)T —样本离差阵
k1
定理18.1
态总体
的简单样本,
设 X 1 ,X 2 , ,X n ( n 是p ) 来自多元正
态总体 Np(,的V简)单样本,
且 V,0 则 X是
的极大似然估计,
1 S 是 V的极大似然估计。
体 Np(,V的) 简单样本,
其中 V已知。 考虑假设
检验问题
H 0 : 0 , H 1 : 0
令 D n (X 0)T V 1(X 0),则可以证明当
H 0 成立时,即 时,0 D~ 2(p)
H0
D
01
0 2
03
04

多元正态分布(新) ppt课件

多元正态分布(新)  ppt课件

2 22

EX1 1, EX 2 2 ,
(1 0,2 0, 1)
Var(
X
1
)

2 11VBiblioteka r(X2)


2 22
,
( X1, X 2 ) cov(X PPT课件1, X 2 ) 11 22
5
二元正态分布曲面(
2 11

1,
2 22
X i1 X1

11
§2多元正态分布的参数估计
一、多元样本及其样本数字特征
1.多元样本阵
X11 X12
X


X
21

X 22

X
n1
X n2

X(i) ( Xi1, Xi2 ,Xip )
X1p

X
2
p



X
np

i 1,2n
PPT课件
12
2、多元样本的数字特征
样本均值:
一、多元正态分布的定义 定义1:若p维随机向量 X (X1,X p) 的密度函数为:
f (x1,xp )
1
(2 ) p
1/ 2
exp
1 2
(x

μ)1( x

μ)
其中, x (x1,xp ), μ 是p维向量 是p阶
正定矩阵,则称X服从p维正态分布,记为 X ~ N p(μ,)
第一章 多元正态分布及其参数估计
PPT课件
1
§1多元正态分布的定义及其性质
多元正态分布的重要性: (1)多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接

正态分布完整ppt课件

正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法,对 误差项进行正态性检验,以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布,常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中,通过比较不同组间的方差与组内方差,判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等,结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据,往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验,选择合适的数据处理和分析方法,如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性:正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性:正态分布曲线只有一个峰值 ,位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线,中间高,两边低。
对称性
关于均值对称,即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处,且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布,通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设,利用马科维茨投资组合理论等方法,构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR(Value at Risk)计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失(VaR),以衡量潜在风 险。

多元正态分布的检验精品PPT课件

多元正态分布的检验精品PPT课件

139..2376
199.26 88.38
S d
88.38
418.61
T 2 11 9.36
13.27
0.0055 0.0012
00.0.0002162 139..2376 13.6
取 0.05,求得
n2 i 1
yi
s12
1 n1 1
n1 i 1
( xi
x)2,
s22
1 n2 1
n2 i 1
( yi
y)2
sw2
1 n1 n2 2
(n1 1)s12 (n2 1)s22
或检验统计量:
F
t2
1 n1
1 n2
1
xy sw
2
x
y
1 n1
1 n2
s2w
1
x
y
当F Fα(1,n1 n2 2)时,拒绝H 0
i
2
n
i
i
2
n
i 的T 2 联合置信区间为:
1
1
Xi
T
S2 ii n
i
Xi
T
S2 ii n
i 的Bonferroni 联合置信区间为:
1
1
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n
i
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n
§2.2 两个正态总体均值 的成组比较
一元情形的回顾
设 x1, x2 ,, xn1和 y1, y2 ,, yn2 分别取自于
F
(
p,
n1
n2
p
1).
均值差的T2置信区间
两个p维总体均值差 11 12,21 22,, p1 p2 的10(0 1)% T 2 联合置信区间为:

第二章 多元正态分布 《应用多元统计分析》 ppt课件

第二章 多元正态分布 《应用多元统计分析》 ppt课件
写字母表示; 随机变量用大写字母表示,其实现值用小写字母表示。
1
一、随机向量
在理论上,对多维随机向量的研究和对一维随机 变量的研究思路是类似的,通过分布及其特征进 行刻画。不同的是,可能要考虑变量之间的相关 关系。
在统计应用上,对多维随机向量的研究和对一维 随机变量的研究思路也是一样的,要通过样本资 料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ,则 E(X) μ,D(X) Σ ,即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量, Σ 恰好是多维随机 向量 X 的协差阵。其中,
1
μ
2

p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp ),则 X(1) 的边缘 密度函数为:
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt,p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的 乘积,则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp

多元正态分布

多元正态分布
专业课件讲义教材PPT文档 8
另,x1 和
1 x1 1 2 f1 ( x1 ) exp[ ( ) ] 21 2 1 2 1 1 x2 2 f 2 ( x2 ) exp 2 2 2 2 1
x2 的边际密度函数分别是
,其中 u ~ N 2 (0, I ) ,
1 0 ,则 X 的分布就是退化的三元正 A 0 1 1 1
态分布,即 x ~ N3 (0, ) ,其中
1 0 1 0 1 1 0 1 T AA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1
(2 )
p 2

1 2
1 T 1 exp (x ) (x ) 2
专业课件讲义教材PPT文档 4
设随机向量 u ~ N P (0, I ) , 为 p 维常 数向量, A 是一个 p q 常数矩阵,则称 x Au 的分布为多元正态分布,仍记 T X ~ N ( , ) 作 ,其中 AA 。 P
专业课件讲义教材PPT文档 1
u 的均值和协方差矩阵分别为
E (u) E (u1 ),, E (u p )
V (u) E (uuT )


T
0
u12 u1u2 u1u p 1 0 0 2 u2u1 u2 u2u p 0 1 0 E I u u u u u2 0 0 1 p 2 p p 1 u 的分布称为均值为 0 ,协方差矩阵为 I 的多元正态分布,记作 u ~ N P (0, I )
第三章
第一节
多元正态分布
多元正态分布的定义

多元正态分布.ppt

多元正态分布.ppt

(2)

Y


X X
2 3

X1


0 0 1
1 0 0
0 1 0

X1 X2 X3


BX
,
由性质1知,Y为3维正态随机向量,且
0 1 0 2 0
y

Bx


0 1
0 0
10 00


02

1
xp ap1u1 ..... appu p p
u A
x1 xp
u p
u p
AA 1 2 1 2

§2.2
故 J (u x) 1 1 2. J(x u)
§2.2
⑤ 写出X=AU+μ
fX
(x)

1
(2 ) p
B
fX (x)dx
B
以下来求Jacobi行列式J(u→x).
§2.2
④ 积分变换的Jacobi行列式J(u→x)可利用线性变换
x=Au+μ及J(x→u)来计算:
x1 xp

J (x u) x
u1

u1

x1

a11u1
.....
a1pu p

1

2 1
1 1 2




1
1
2
1

2 2




12 1
2
1

2 2
2

二元正态随机向量X

第二章_多元正态分布的参数估计 ppt课件

第二章_多元正态分布的参数估计 ppt课件

故此时偏相关系数与条件相关系数是同一个值,从而
ρij∙k+1,⋯,p同时也度量了在Xk+1, ⋯,Xp值给定的条件下Xi和 Xj间相关关系的强弱。
§3.5 X 和(N − 1)S2的抽样分布
一、X 的抽样分布 二、 (n − 1)S的抽样分布
一、X 的抽样分布
1.正态总体
设X~Np (μ, Σ), Σ>0 ,X1,X2, ⋯,Xn是从总体X中抽取的 一个样本,则
X3
1

(0,1,
0)
2
2
3
11 12 aΣa (0,1, 0) 21 22
31 32
13 0
23
1
22
33 0
(2) 其中
AX
1
0
0 0
0 1
X X X
1 2 3
X1
X
3
~
N
(Aμ
,AΣA
)

1 0
0 0
0 1
1 2 3
X X
1 2
X
np
X p
(2)样本离差阵定义为
n
S p p ( X (a) X )( X (a) X ) (sij ) pp a 1 (2.11)
这里,
n
( X (a) X )( X (a) X )
a 1
n
X a1 Xa2
X1 X2
(
X
a1
X1,
μˆ
X
1 n
n a 1
X (a)
(X1, X2,
, X p )
(2.10)
其中
X11 X 21
1
n

多元统计分析(第一章)PPT课件

多元统计分析(第一章)PPT课件

第七章 对应分析
第八章 典型相关分析 两组变量的相关分析
使用的教材
21世纪统计学系列教材
多元统计分析
(中国人民大学出版社,何晓群,2012.1)
参考书
1. 应用多元统计分析(朱建平,科学出版社,2006) 2.实用多元统计分析(方开泰,1989,华东师范大学出版社 3. 多元统计分析引论(张尧庭,方开泰, 科学出版社,
xx 1
min xAx x0
xx p
(2)若A是p阶对称矩阵,B是p阶正定矩阵,
《静静地顿河》,萨尔仁尼琴 质疑,认为不是肖洛霍夫所写, 而是Kryukov所作。Kjetsaa对此作了研究。
著作
Marking (Kryukov) The way and the road(肖洛霍夫)
静静地顿河
抽样字数
1000 1000 1000
不同的词汇
589 656 646
1、“统”,就是全部,“计”,就是计算,统计学即是“具有 全局意义的数字计算”。(陈希孺)
(3)若A为p阶对称矩阵,则存在正交矩阵T及对角矩阵 Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λp),使得 A=TΛT′
二、矩阵的迹
设A为p阶方阵,则它的对角线元素之和称为A的迹, 记作tr(A),即
tr(A)=a11+a22+⋯+app 方阵的迹具有下述基本性质:
➢ (1)tr(AB)=tr(BA)。特别地,tr(ab′)=b′a。
2、统计学是收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。
3、一堆数字,就像一对沙子,谁喜欢?但是,一旦你发现了这 一堆数字中隐藏的奥秘,你就会喜欢这对数据了,在你眼里, 就是一堆沙子变成了一堆财富。统计学,就是帮你把一堆沙子 变成财富的方法。即吕洞宾那根“点石成金”的手指。

第十二讲多元正态分布的参数估计与检验

第十二讲多元正态分布的参数估计与检验
检验问题
H 0:? ? ? 0,H 1:? ? ? 0
令F
?
n (n ? p
p)( X
?
? 0 )T S ?1 ( X
?
? 0 ),
则可以证
明当 H 0 成立时,即 ? ? ? 0时,F ~ F ( p, n ? p)
而当
H
不成立时,
0
F
有偏大的趋势。因此,对
给定的显著性水平 ? ,当
F
?
n (n ?
?
?
)T V
?1(X
?
?
)?? ?
则称随机向量 X 为 p维正态随机向量,其中 ?
称为均值向量,V 为协方差矩阵(协差阵),且
V ? 0. 对于一般情形V ? 0, 仍可定义多维正
态随机向量, 记为X ~ N p(? ,V )。 当 V ? 0时,
X有前面的密度表示,而当 |V |? 0 时, X 的分 布是退化的正态分布。
且相互独立, 故 ? 2 ? 分布的定义知 Y TY ~ ? 2 ( p).
二、参数的估计
在此给出多元正态分布的参数 ? 和V的估
计。为简单计,仅考虑 V ? 0 的情形。 设 X 1, X 2 ,? , X n (n ? p) 是来自多元正态总
体 N p (? ,V )的简单样本,令
? X
?
1 n
Y ~N p ( A? ? b, AVA T ).
(4) X 为 p 维正态随机向量的充要条件为对任
一 p维向量c, cT X 是一维正态随机变量。
(5)
设X
?
(
X
T 1
,
X
T 2
)T
为多维正态随机向量,

多维正态分布优秀课件

多维正态分布优秀课件

样本相关矩阵
标准化随机向量
为了克服变量量纲不同对统计分析结果带来
的影响,往往采用标准化变量 No
标准化随机向量有:
Image
E(X*)0
(X*)R(X*) 1 X*'X* n1
即:标准化数据的协方差阵正好是原变 量的相关阵
五、多维正态分布
wTa
矩阵×向量——投影
例:23个地区供电局的经营数据:利润和售 电量。用一综合指标评估其运营绩效
设: a1=(售电量s )23×1 , a2=(利润s )23×1 a=(a1, a2)23×2, w1T=(0.766 , 0.643)
0.76 6 z1a1 w (a1,a2) 0.64 0 3 .7a 6 1 6 0.6a 42运3算结果
z2
a1
2.0
1.5
1.0
Hale Waihona Puke .50.0-1.00
0.00
1.00
2.00
s
-.5
售 电 量
Z2
-1.0
-1.5
-2.0
-2
-1
Z1
w2
0
1
w1
2
3
四、随机向量及其数字特征
均值向量
自协方差矩阵
若xi独立
总方差
随机向量的相关矩阵
相关阵与协方差阵
简单随机抽样
样本均值向量
样本协方差矩阵
p
A λilili' i 1
二、坐标系与多维数据的图示
说明:向量-列,向量、矩阵-粗,标量-普通
坐标系(以二维为例)
标准基向量 e1 T(1,0) eT 2(0,1)
§向量
(0,1)
–坐标系中的点或方向线 (矢量)

正态分布ppt精品课件

正态分布ppt精品课件
结果解释
根据检验结果,解释两组数据 是否存在显著差异,并结合实
际背景进行讨论。
06
正态分布在生活中的应用举例
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中,正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析,可以确定产品特性的均值和标准差,进而设定合理的上下规格限。
02 03
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数(如Cp 和Cpk),可以了解生产过程是否稳定,并确定是否需要采取改进措施 。
多元方差分析(MANOVA)与多元回归分析( Multiple Regression Analysis):当涉及多个自 变量或多个因变量时,可以使用多元方差分析或 多元回归分析来探究它们之间的关系。
回归分析(Regression Analysis):用于探究自 变量与因变量之间的线性或非线性关系,通过拟 合回归方程来预测因变量的取值。
概率密度函数性质 f(x)≥0,对于所有x∈R。
02
正态分布在统计学中应用
描述性统计量计算
均值(Mean):表示数据的“中心 ”或“平均”水平,计算方法是所有 数值之和除以数值个数。
偏度(Skewness):描述数据分布 形态的偏斜程度,正偏态表示数据向 右偏,负偏态表示数据向左偏。
标准差(Standard Deviation):衡 量数据分布的离散程度,即数据偏离 均值的程度,计算方法是方差的平方 根。
实例分析:两组数据是否存在显著差异
数据描述
给出两组数据的描述性统计量, 如均值、标准差等。
假设检验步骤
按照上述假设检验步骤,对两组 数据进行假设检验。
结果解释
根据检验结果,判断两组数据是 否存在显著差异,并给出相应的

多元正态分布 ppt课件

多元正态分布  ppt课件

ppt课件
16
一元正态分布密度函数图形
f (x) O
0.5 1
2
图1 2 1
ppt课件
x
17
二元正态分布密度函数
f ( x1, x2 )

1
2 1 2
1
2

exp

1 2(1
2)

( x1 1 )2

2 1

2

x1 1 1
20
多元正态分布定义1
定义1.2.1 若 p维随机向量 X 的概率密度函数为
ppt课件
4
随机矩阵的数学期望
定义1.1.2
z11 z12
设Z


z21
z22
zp1 zp2
则Z的数学期望(均值)E(Z )为
z1q
z2q

为p

q阶随机矩阵

zpq
E(z11)
E(
Z
)


E
(
z21
)
E(zp1)
E(z12 ) E(z22 )

x2 2 2

( x2 2 )2

2 2



ppt课件
18
二元正态分布密度函数图形
ppt课件
19
一元正态分布密度函数变形
f (x)
1
( x )2

e 2 2
2

(2

)
1 2
(
2

)
1 2
exp

1
(
x

多元正态分布及检验PPT共59页

多元正态分布及检验PPT共59页
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢!
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ,而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸,生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业,需 要决心 ,能力 ,组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
多元正态分布及检验
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 德行为训练,不是通过语言影响 ,而是 让儿童 练习良 好道德 行为, 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体,养 成儿童 自觉的 纪律性 ,这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
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置信域和T2置信区间的关系
PaX
T
(aSa)
1 2
n
a
aX
T
(aSa)
1 2
n
, a
0 1
ห้องสมุดไป่ตู้ P
(X
)
S n
1
( X
)
T2
1
置信域和T2置信区间的关系(续)
2
1
2
2
1
1
p 2 时的情形
的k 个线性组合 a1,a2 ,,ak 的10(0 1)%
Bonferroni 联合置信区间为:
1 0.95
n
K=p
2
4 10
15
0.88 0.69 0.29
25
0.90 0.75 0.48
50
0.91 0.78 0.58
100
0.91 0.80 0.62
0.91 0.81 0.66
联合置信区间与单一置信区间的比较
的单一置信区间: i
X
t
S1 2
(n 1) ii
X
t
S1 2
(n 1) ii
i
2
n
i
i
2
n
i 的T 2 联合置信区间为:
S n
1
(X
0
)
给定显著性水平 ,当T 2 T2时,
拒绝原假设H . 0
其中:X
1 n
n i 1
Xi
(样本均值)
S
1 n1
n i 1
(Xi
X )( X i
X )(样本协方差)
或检验统计量
F n p T 2 p(n 1)
当F
F ( p, n
p )时,拒绝 H 0
注:
T2
p(n 1) n p F ( p, n
检验统计量 :
t
x
0
sn
给定显著性水平 ,当 | t | t (n 1)时,
2
拒绝原假设H0 .
或检验统计量为
F
t2
x s
0
n
2
(x
0
)
s2 n
1
(x
) 0
给定显著性水平 ,当F F (1, n 1)时,
拒绝原假设H . 0
注:F
(1,
n
1)
t2
(n
1)
2
单个多元正态总体均值的检验
的随机样本,检验假设
H0 : 0 , H1 : 0 2已知
检验统计量 : U x 0 n
给定显著性水平,当 | U | u 时,
2
拒绝原假设H0 .
(2) 2 未知时
设x1, x2 ,, xn为取自于正态总体 N ( , 2 )
的随机样本,检验假设
H0 : 0 , H1 : 0 2未知
(1) 已知时
设X1
,
X
2
,,
X
为取自于
n
p维正态总体
N p ( , )的随机样本,检验假设 :
H0 : 0 , H1 : 0 已知
1
其中:
2
,
p
10
0
20
p0
马氏距离 的n倍
检验统计量
T0 2
(X
0
)
1
n
(X
0 )
给定显著性水平,当T02 2 (p)时,
T
(aiSai
)
1 2
n
ai
aiX
T
(aiSai
)
1 2
n
,i 1,2,, p 1
的 p 个分量 1,2,, p 的100(1 )%
T 2 联合置信区间为:
1
1
Xi
T
S2 ii n
i
Xi
T
S2 ii n
i 1,2,, p
其中,X 是均值向量X的第i个分量, i
S 是协方差矩阵S第i个对角线上的元素。 ii
a aX
T
(aSa)
1 2
n
P aX
T
1
(aSa)2 n
a
aX
T
1
(aSa)2 n
, a 0
1
的 p 个线性组合 a1,a2 ,,ap 的10(0 1)%
T 2 联合置信区间为:
aiX
T
(aiSai
)
1 2
n
ai
aiX
T
(aiSai
)
1 2
n
i 1,2,, p
PaiX
p)
例题:
设一个容量为n 3的随机样本取自二维正 态总体, 其样本数据为
n
123
x1
6 10 8
x2
963
试对0 (9,5)计算T2的值。
多元正态总体均值的置信域
设X
1
,
X
2
,,
X
为取自于正态总体
n
N
p
(
,
)的随机样本,

F n p T2 p(n 1)
n p
(X
)
S
1
( X
)
~
F(
p, n
xx tt2((nn11))
2
ss nn
xx
tt 2
((nn
11))
2
ss nn
多元正态总体均值的T2置信区间
设X1, X 2 ,, X n为取自于正态总体N p (, ) 的随机样本, 未知,则的所有线性组合
a(a为任一非零常数向量)的10( 0 1 )%
置信区间为:
aX
(
aSa
)
1 2
T n
拒绝原假设H0 .
其中:X
1 n
n i 1
Xi
(样本均值)
(2) 未知时
设X1, X 2 ,, X n为取自于p维正态总体
N p (, )的随机样本,检验假设 : H0 : 0 , H1 : 0 未知
1
其中:
2
,
p
10
0
20
p0
检验统计量
T
2
(X
0
)
i 1,2,, p
如果仅考虑 的k 个线性组合,
且k较小时一般选择Bonferroni
联合置信区间作为 的区间估
计,为什么?
因为,当k较小时,t (n 1) T于是,在置信度相同 2k
的情况下,Bonferroni置信区间比T 2置信区间更短。
表2.1 Bonferroni区间宽度 T 2区间宽度
第二章 多元正态分布参数的检验
§2.1 单个正态总体均值的检验及置信区间 §2.2 两个正态总体均值的成组比较 §2.3 两个正态总体均值的成对比较
§2.1 单个正态总体均值的检 验及置信区间
一元正态总体均值检验的回顾
(1) 2 已知时
设x1, x2 ,, xn为取自于正态总体 N ( , 2 )
T2
置信域和T2置信区间的关系(续)
2
1
p 2 时的情形
一元正态总体均值的置信区间
设 x ,设x ,x1, x, x2 ,为,取xn自为于取正自态于总正体态总体
12
n
NN((,, 22))的的随随机机样样本本,,2未2未知知, 则, 则
的的1100(0( 011))%%置置信信区区间间为为::
p)
p(n 1)
n
PF F ( p, n p) 1 即
P( X
) S 1 ( X
n
)
p(n 1) n p
F
(
p,
n
p) 1
或:P
(
X
)
S n
1
( X
)
T2
1
于是, 的100(1 )%置信域是一椭球,它由 满足
下式的的集合所构成:
(X
)
S n
1
( X
)
aiX
t
(n
1)
(aiSai
1
)2
2k
n
ai
aiX
t
(n
1)
(aiSai
)
1 2
2k
n
i 1,2,, k
特别地, 的 p 个分量 1,2,, p 的10(0 1)%Bonferroni 联合置信区间为:
1
1
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n
i
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n
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