三角形四心[向量形式]

若 O 是 ∆

ABC 的重心，则 S 3

∆ABC

故 OA + OB + OC = 0

若 O 是 ∆ABC (非直角三角形)的垂心，则 S ： ： S ：S

： ：

| AB | - + AC ) ， λ ∈ [0,+∞ ) 则 P 点的轨迹一 .

.. . ..

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角 形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：

一．知识点总结

1）O 是 ∆ABC 的重心 ⇔ OA + OB + OC = 0 ;

= S = S

S ∆BOC ∆AOC PG = 1 ( P A + PB + PC ) ⇔ G 为 ∆ABC 的重心.

3

;

2）O 是 ∆ABC 的垂心 ⇔ OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ：S ：S ∆BOC

∆AO

C

;

∆AOB

= tan A tan B tan C

故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 0

3）O 是 ∆ABC 的外心 ⇔ | OA |=| OB |=| OC | (或 OA 2

= OB 2

= OC 2

)

若 O 是 ∆ABC 的外心

则

∆BOC

：S

∆AOC

∆AOB

= sin ∠BOC sin ∠AOC sin ∠AOB = sin2A : sin2B : sin2C

故 sin 2AOA + sin 2BOB + sin 2COC = 0 4）O 是内心 ∆ABC 的充要条件是

OA ⋅ (

AB AC AC ) = OB ⋅ ( BA | BA | - BC | BC | ) = OC ⋅ ( CA | CA | - CB | CB | ) = 0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记

AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 ,e 3 ，则刚才 O 是 ∆ABC

内心的充要条件可以写成： OA ⋅ (e 1 + e 3 ) = OB ⋅ (e 1 + e 2 ) = OC ⋅ (e 2 + e 3 ) = 0 O 是 ∆ABC 内心的充要条件也可以是 aOA + bOB + cOC = 0

若 O 是 ∆ABC 的内心，则 S ：S ∆BOC ：S ∆AOC

∆AOB = a ：b ：c

故 aOA + bOB + cOC = 0或 sin AOA + sin BOB + sin COC = 0

;

| AB | PC + | BC | P A + | CA | PB = 0 ⇔ P ∆ABC 的内心;

向量 λ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ∆ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线)；

| AB | | AC |

二．范例

(一)．将平面向量与三角形内心结合考查

例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动

AB

点 P 满足 OP = OA + λ (

AB

AC

定通过 ∆ABC 的（ ）

B

e

1

A

e

2

C

（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心

解析：因为

AB

是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单

P

AB

位向量分别为 e 和 e ， 又 OP - OA = AP ，则原式可化为 AP = λ (e + e ) ，由菱形的基本性质知 AP 1

2

1

2

平分 ∠BAC ，那么在 ∆ABC 中，AP 平分 ∠BAC ，则知选 B.

学习参考

⇔ PG = (P A + PB + PC) .

由此可得 PG = (P A + PB + PC) .（反之亦然（证略））

.

.. . ..

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先

AB

是什么？没见过！想想，一个非零向量除

AB

以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、 菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也 没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例 2． H 是△ABC 所在平面内任一点， HA ⋅ HB = HB ⋅ HC = HC ⋅ HA ⇔ 点 H 是△ABC 的垂心.

由 HA ⋅ HB = HB ⋅ HC ⇔ HB ⋅ ( H C - HA) = 0 ⇔ HB ⋅ AC = 0 ⇔ HB ⊥ AC ,

同理 HC ⊥ AB ， HA ⊥ BC .故 H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））

例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若 P A ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ P A ，则 P 是△ABC 的（D ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心 解析:由 P A ⋅ PB = PB ⋅ PC 得 P A ⋅ PB - PB ⋅ PC = 0 .

即 PB ⋅ (P A - PC) = 0,即PB ⋅ CA = 0 则 PB ⊥ CA,同理P A ⊥ BC , PC ⊥ AB

所以 P 为 ∆ABC 的垂心. 故选 D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关 知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧 妙结合。

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例 4． G 是△ABC 所在平面内一点， GA + GB + GC =0 ⇔ 点 G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中 GB + GC = GE

连结 BE 和 CE ，则 CE=GB ，BE=GC ⇔ BGCE 为平行四边形 ⇒ D 是 BC

的中点，AD 为 BC 边上的中线.

将 GB + GC = GE 代入 GA + GB + GC =0， 得 GA + EG =0 ⇒ GA = -GE = -2GD ，故 G 是△ABC 的重心.（反之亦

然（证略））

例 5 ． P 是 △ ABC 所 在 平 面 内 任 一 点 .G 是 △ ABC 的 重 心

1

3

证明

PG = P A + AG = PB + BG = PC + CG ⇒ 3PG = ( AG + BG + CG ) + (P A + PB + PC )

∵G 是△ABC 的重心

∴ GA + GB + GC =0 ⇒ AG + BG + CG =0，即 3PG = P A + PB + PC 1 3

例 6 若 O 为 ∆ABC 内一点， OA + OB + OC = 0 ，则 O 是 ∆ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂 心 D ．重心

解析：由 OA + OB + OC = 0 得 OB + OC = -OA ，如图以 OB 、OC 为相邻两边构作平行

1

四边形，则 OB + OC = OD ，由平行四边形性质知 OE = OD ， OA = 2 OE ，同理

2

可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D 。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及 三角形重心性

A

O

B E

D

C

质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为 λ = 2 1

。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行

四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

(四)．将平面向量与三角形外心结合考查

学习参考