三角形四心[向量形式]
向量形式下的三角形四心相关结论
向量形式下的三角形四心相关结论
向量形式下的三角形四心相关结论三角形是几何学中的重要概念之一，其四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。
在向量形式下，我们可以得出一些有关这四个点的重要结论。
重心是三角形内部三条中线的交点，用向量表示为G=(A+B+C)/3，其中A、B、C分别是三角形的三个顶点。
重心具有平衡的作用，对于任意一点P，PG的向量和PA、PB、PC 的向量和为零。
外心是三角形外接圆的圆心，用向量表示为O=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c分别是三角形的三个边长。
外心具有唯一性，且到三角形三个顶点的距离相等。
内心是三角形内切圆的圆心，用向量表示为I=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c分别是三角形的三条边的长度。
内心到三角形三个边的距离相等，且与三角形的角度有关。
垂心是三角形三条高的交点，用向量表示为H=A+B+C。
垂心到三角形三个顶点的距离相等，且与三角形的角度有关。
综上所述，向量形式下的三角形四心具有一些重要的性质。
研究这些结论不仅可以帮助我们更好地理解三角形的几何特性，还可以应用于解决一些与三角形相关的问题。
三角形“四心“的向量统一形式及证明
三角形“四心“的向量统一形式及证明三角形的“四心”是指三角形内部的四个特殊点：重心、外心、垂心和内心。
以三角形的三个顶点A、B、C为坐标原点，分别取AD、BE、CF 为坐标轴，其中D、E、F分别为BC、AC、AB的三个中点。
则A、B、C的坐标分别为A(0, 0)B(1, 0)C(k, m)其中k、m为未知数，待求。
重心的坐标为三个顶点坐标的平均值，即G((0+1+k)/3, (0+0+m)/3) = (1/3*k, m/3)外心的坐标可以通过垂直平分线的交点求得。
设AB的垂直平分线为x=1/2，AC的垂直平分线为y=mx+b，交点为(Ox, Oy)。
由于垂直平分线是两条对称轴，所以可以得到下面两个方程：(1/2 + k) / 2 = Oxm * Ox + b = Oy解方程可以得到Ox = 1/4 + k/2Oy = m/4 + b垂心的坐标可以通过高的垂直线交点求得。
设高的垂直线分别为x=c1和y=mc2+b2，两条垂直线的交点为(Hx, Hy)。
由于高的垂直线是两条轴线，所以可以得到下面两个方程：c1 = 0mc2 + b2 = 0解方程可以得到Hx = 0Hy = -b2/m内心的坐标可以通过三条角平分线的交点求得。
设角A的平分线为y=mx+b1，角B的平分线为y=mx+b2，角C的平分线为y=mx+b3，三条平分线的交点为(Ix, Iy)。
由于角平分线相交于内心，所以可以得到下面三个方程：Ix = (k+b2-b1) / (2*m)Iy = m * Ix + b2由以上分析可以得到“四心”的坐标：重心G：(1/3*k, m/3)外心O：(1/4 + k/2, m/4 + b)垂心H：(0, -b2/m)内心I：((k+b2-b1) / (2*m), m * ((k+b2-b1) / (2*m)) + b2)证明这些点的向量统一形式，可以分别计算这些点和三个顶点之间的向量，观察它们是否有统一的形式。
三角形的四心向量表达式
三角形的四心向量表达式三角形的四心，那可是三角形里相当有趣的存在，就像一个小团队里各有神通的角色。
这四心呢，都能用向量表达式来表示，今天咱们就好好唠唠这事儿。
咱先说说重心。
重心啊，就像是三角形这个大家庭里的老管家，要把家里的各种事情都平衡好。
你看，在三角形里，重心是三条中线的交点。
要是把三角形的三个顶点看作是三个小伙伴，那重心就是他们之间最和谐的平衡点。
从向量的角度看呢，若三角形的三个顶点是\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，那重心\(G\)的向量表达式就是\(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarr ow{OB}+\overrightarrow{OC})\)。
这就好比三个人一起抬一个重物，要想抬得稳稳当当，每个人使的力气就得按照这个比例来，多一点少一点都不行。
你说是不是挺神奇的？要是不按照这个来，那三角形这个小世界不就乱套了嘛。
再聊聊外心。
外心就像是三角形这个小城堡的守门人，它到三个顶点的距离都相等，就像这个守门人要站在一个位置，不管是到前门（一个顶点）、后门（另一个顶点）还是侧门（第三个顶点）的距离都得一样。
在向量上，如果\(O\)是外心，\(A\)、\(B\)、\(C\)是三角形的顶点，那对于\(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OB}\)、\(\overrightarrow{OC}\)的长度都相等，\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert=\vert \overrightarrow{overrightarrow{OC}\vert\)。
外心的向量表达式会涉及到三角形三边的垂直平分线，因为外心就在这些垂直平分线的交点上。
这就好比是在一个圆形的操场上画了一个三角形，外心就是这个操场的圆心，不管从圆心到三角形哪个顶点，就像从圆心到操场边缘的距离一样，都是固定的。
三角形“四心”优美的向量统一形式
三角形“四心”优美的向量统一形式三角形“四心”的向量的统一形式：x是△abc的心λxa+μxb+υxc=0其中，重心的充要条件最简单，也容易证明。
而内心、外心、重心的证明则比较困难，受此启发，笔者联想到既然有统一的结构，是否可以借用重心的充要条件证明其它“三心”的情况呢？因为要借用重心的向量形式来证明，所以还要给出重心的另一性质：g为△abc的重心的充要条件是s=△gab=s△gbc=s△gca= s△abc.（图1）一、重心（中线交点）1.g是△abc的重心ga+gb+gc=0证明：设g是△abc的重心，如图2，延长ag交bc于点d.因为g为△abc的重心，所以d为bc的中点，有gd= （gb+gc）且ga=-2gd 因此ga+gb+gd+gc=0，反之亦成立.2.设p是△abc所在平面内任意一点，则pg= （pa+pb+pc）g为△abc的重心证明：g是△abc的重心ga+gb+gc=0 gp+ap+gp+pb+gp+pc=03pg=pa+pb+pc pg= （pa+pb+pc）二、内心（内角平分线交点，内切圆圆心）1.i是△abc的内心aia+bib+cic=0（其中a，b，c分别为△abc 的三个内角a，b，c所对的边长）.证明：设i是△abc的内心，如图3，作向量ia’=aia，ib=bib，ic’=cic连结，得到△a’b’c’.因为i为△abc内心，所以内心i到△abc各边的距离为△abc的内切圆的半径，设为r.s△ib’c’= |ib’|·|ic’|sin∠bic= b|ib|·c|ic|·sin∠bic=b·cs△ibc=bc· ar= abcr同理可得s△ibc= abcr，s△ic’a’= abcr所以s△ia’b’=s△ib’c’=s△ic’a’= abcr，i为的重心，有ia+ib+ic=0即ala+bib+cic=0成立，反之亦成立.2.i是△abc的内心（sina）la+（ainb）ib+（sinc）ic=0证明：根据i是△abc的内心aia+bib+cic=0，由正弦定理得i是△abc的内心（sina）ia+（subb）ib+（sinc）ic=03.设p是△abc所在平面内任意一点，i为△abc内心pi=证明：i是△abc的内心aia+bib+cic=0aip+aip+bip+bpb+cip+cpc=0 pi=三、外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心）1.p是△abc外心（sin2a）pa+（sin2b）pb+（sin2c）pc=0证明：设p是△abc的外心，如图4，作向量pa=（sin2a）pa，pb=（sin2b）pb，pc（sin2c）pc连结a′，b′，c′，得△a′b′c′.因为p为△abc外心，所以外心p到△abc各顶点的距离为△abc 的外切圆的半径，设为r，且∠bpc=2a.s△pb’c’= |pb’|·|pc’|sin∠b’p’c’= sin2b|pb|sin2c·|pc|sin∠bpc=sin2bsin2c r2sin2a= r2sin2asin2bsin2c同理可得s△pa’b’= r2sin2asin2b·sin2c，s△p’c’a’= r2sin2asin2bsin2c△所以s△pa’b’=s△pa’b’=s△pa’b’ s△pa’b’，得p为△a′b′c′的重心，有pa’+pb’+pc’=0即（sin2a）pa+（sin2b）pb+（sin2c）pc=0成立，反之亦成立.2.p是△abc的外心（acosa）·pa+（bcosb）·pb+（ccosc）pc=0 证明：根据p是△abc的外心（sin2a）·pa+（sin2b）·pb+（ccosc）pc=0由正弦定理得p是△abc的外心（acosa）·pa+（bcosb）·pb+（ccosc）pc=03.设p是△abc 所在平面内任意一点，o为△abc的外心po=证明：o为△abc的外心（sin2a）oa+（sin2b）+（sin2c）oc=0 （sin2a）op+（sin2a）pa+（sin2b）op+（sin2b）pb+（sin2b）op+（sin2c）pc=0po=四、垂心（高线交点）1.h是△abc的垂心ha·hb=hb·hc=hc·ha证明：由ha·hb=hb·hc hb（hc-ha）=0 hb·ac=0 hb⊥ac同理hc⊥ab故h是△abc的垂心，反之亦然.2.h是△abc的垂心证明：由ha2+bc2=hb+ac2ha2-hb2+bc2+bc2-ac2=0（ha+hb+bc+ac）·ba=02hc·ba=0 hc⊥ab同理ha⊥bc，故h是△abc的垂心，反之亦然.3.h是△abc（非直角三角形）的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）hc=0证明：设h是△abc的垂心，如图5，作向量连结a′，b′，c′，得到△a′b′c′.s△hcb= |hb’|·|hc‘|sin∠b’hc’= （tanb）|hb|·（tanc）|hc|·sin∠bhc=tanbtanc·s△hbc=tanc· |bc|·|hd|因为h为△abc垂心，所以∠bhd=∠acb，∠chd=∠abc.所以有|bd|=|hd|tan∠bhd=|hd|tanc|bd|=|hd|tan∠bhd=|hd|tanc|cd=|hd|tan∠chd=|hd|tanb.又因为|ad|=|bd|tanb.|ad|=|cd|tanc，所以|ad|2=|bd|·|cd|tanbtanc=|hd|2 （tanbtanc）2即|ad|=|hd|tanbtanc所以s△hbc= |bc|·|ad|=s△hbc同理可得s△hbc=s△abc；s△hb’c’=s△abc所以s△ha’b’=s△hb’c’=s△hc’a’= s△a’b’c’h为△a′b′c′的重心，从而ha’+hb’+hc’=0，即（tana）ha’+（tanb）hb+（tanc）hc=0成立，反之亦成立.4.h是△abc（非直角三角形）的垂心·ha+ ·hb+ ·hc=0·ha+ ·hb+ ·hc=0.证明：由 =tana， =tanb， =tanc及正弦定理得h是△abc的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）=0 ·ha+ ·hb+ ·hc=0 ·ha+ ·hb·hc=0（tana）hp+（tana）pa+（tanb）hp+（tanb）pb+（tanc）hp+（tanc）pc=0再由余弦定理得h是△abc的垂心·ha ·hb ·hc=05.设p是△abc（非直角三角形）所在平面内任意一点，h是△abc 的垂心pa=证明：h是△abc的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）hc=0（tana）hp+（tana）pa+（tanb）hp=（tanc）hp+（tanc）pc=0 ph=向量是高中教材的重要内容之一，它具有代数和几何的“双重身份”，所以它的引入给传统的中学数学带来了无限生机和活力，使我们对量的数学表达的认识进入了一个崭新的领域。
三角形的四心的向量表示及其应用
三角形的四心的向量表示及其应用以三角形的四心的向量表示及其应用为题，我们将探讨三角形的四个特殊点，即垂心、重心、外心和内心，并介绍它们在几何学和工程中的应用。
让我们来了解这四个特殊点的定义和向量表示。
对于任意给定的三角形ABC，我们可以定义以下四个特殊点：1. 垂心（Orthocenter）：垂心是三角形三条高线的交点，记为H。
垂心到三角形三个顶点的向量分别为AH、BH和CH。
2. 重心（Centroid）：重心是三角形三条中线的交点，记为G。
重心到三角形三个顶点的向量分别为AG、BG和CG。
3. 外心（Circumcenter）：外心是三角形三条垂直平分线的交点，记为O。
外心到三角形三个顶点的向量分别为AO、BO和CO。
4. 内心（Incenter）：内心是三角形三条角平分线的交点，记为I。
内心到三角形三个顶点的向量分别为AI、BI和CI。
这些特殊点在几何学和工程中有着广泛的应用。
下面我们将介绍它们的一些应用：1. 垂心的应用：垂心在三角形的垂心定理中起着重要作用。
根据垂心定理，垂心到三个顶点的距离乘积等于垂心到三个对边的距离乘积。
这个定理在解决三角形的垂直问题时非常有用。
2. 重心的应用：重心是三角形的质心，它将三角形分成六个等面积的三角形。
重心在结构力学中的应用非常广泛，例如在计算物体的质心、计算物体的转动惯量等方面。
3. 外心的应用：外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是唯一一个同时与三个顶点相切的圆。
外心在计算三角形的外接圆半径、判断三角形的形状等方面有着重要的应用。
4. 内心的应用：内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是唯一一个同时与三条边相切的圆。
内心在计算三角形的内切圆半径、判断三角形的形状等方面有着重要的应用。
除了上述应用之外，这些特殊点还可以用于解决三角形的相似性、面积计算、角度计算等问题。
它们在计算机图形学、建筑设计、航空航天等领域也有着广泛的应用。
总结起来，三角形的四个特殊点——垂心、重心、外心和内心——在几何学和工程中具有重要的地位和应用。
三角形“四心”优美的向量统一形式
三角形“四心”优美的向量统一形式三角形是几何学中的重要概念，其形状可以通过边长和角度来描述。
而在研究三角形的过程中，人们发现了一些特殊点，被称为“四心”。
这四个心分别是外心、内心、垂心和重心。
本文将从向量的角度探讨这四个心，并给出它们的统一形式。
1. 外心外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，使得三个顶点都在同一条圆周上的点。
可以用向量表示外心。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对应的向量分别为A→、A→、A→。
向量的加法满足三角形的形状，即A→+A→+A→=A→。
则外心A→可以表示为：A→=(A→+A→+A→)/32. 内心内心是指三角形内切圆的圆心，即与三条边都相切的圆的圆心。
同样可以用向量表示内心。
设三角形的边向量分别为A→、A→、A→，则内心I→可以表示为：A→=(A→AA+A→AA+A→AA)/(A→A+A→A+A→A)其中，A→A、A→A、A→A分别为边向量A→、A→、A→的单位向量。
3. 垂心垂心是指三角形的三条高线交于一点的点。
同样可以用向量表示垂心。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对应的向量分别为A→、A→、A→。
则垂心H→可以表示为：A→=A→+A→+A→4. 重心重心是指三角形的三条中线交于一点的点。
同样可以用向量表示重心。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对应的向量分别为A→、A→、A→。
则重心G→可以表示为：A→=(A→+A→+A→)/3综上所述，四个心的向量统一形式可以表示为：A→=(A→+A→+A→)/3A→=(A→AA+A→AA+A→AA)/(A→A+A→A+A→A)A→=A→+A→+A→A→=(A→+A→+A→)/3这样的向量统一形式在研究三角形时具有很大的应用价值。
通过向量的使用，我们可以更加方便地计算并理解三角形“四心”的几何性质。
这种统一形式为解决三角形相关问题提供了一种新的思路和方法。
结论本文从向量的角度，对三角形的“四心”进行了探讨，并给出了它们的统一向量表示形式。
2022年高考数学之平面向量专题突破专题十 平面向量与三角形的四心(解析版)
2022年高考数学之平面向量专题突破专题十平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0．(2)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A⇔sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0．(3)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0⇔sin A ·OA →＋sin B ·OB →＋sin C ·OC →＝0．(4)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0．关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G 为△ABC 的重心，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ．②2=S r a b c ++，特别地，在Rt △ABC 中，∠C =90°，=2a b cr +-．(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．考点一三角形四心的判断【例题选讲】[例1](1)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过()A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点答案C解析取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2(1－λ)3OD →＋1＋2λ3OC →，而2(1－λ)3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．答案内心解析由条件，得OP→－OA →＝AP →＝，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．(3)在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必经过△ABC 的()A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心答案C解析设BC 边中点为D ，∵AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，∴(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2AM →·BC →，即AD →·BC →＝AM →·BC →，∴MD →·BC →＝0，则MD →⊥BC →，即MD ⊥BC ，∴MD 为BC 的垂直平分线，∴动点M 的轨迹必经过△ABC 的外心，故选C ．(4)已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B＋AC →|AC →|cos C)，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心答案B 解析因为OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，所以AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C)，所以BC →·AP →＝BC →·λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．(5)已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA bOB cOC ++=0 ，②tan tan tan A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0，③sin 2sin 2sin 2A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0 ，④OA OB OC ++=0则点O 分别为ABC ∆的()A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心答案D(6)下列叙述正确的是________．①1()3PG PA PB PC G =++⇔为ABC ∆的重心．②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心．③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的外心．④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA O +⋅=+⋅=+⋅=⇔为ABC ∆的内心．答案①②解析①G为ABC∆的重心⇔GA GB GC ++=0 ⇔PA PG PB PG PC PG -+-+-=0 ⇔1()3PG PA PB PC =++，①正确；②由PA PB PB PC ⋅=⋅ ⇔()0PA PC PB -⋅=⇔0CA PB AC ⋅=⇔⊥ PB ，同理AB PC ⊥，BC PA ⊥，②正确；③||||||AB PC BC PA CA PB ++=0 ⇔||||()AB PC BC PC CA ++ ||()CA PC CB ++=0(||||||)||||AB BC CA PC BC CA CA CB ⇔++++=0 ． ||||||||BC CA CA CB = ，∴||BC CA ||CA CB + 与角C 的平分线平行，P ∴必然落在角C 的角平分线上，③错误；④()OA OB AB +⋅= (OB222)()0||||||OC BC OC OA CA OA OB OC OA OB OC O +⋅=+⋅=⇔==⇔==⇔ 为ABC ∆的外心，④错误．∴正确的叙述是①②．故答案为：①②．【对点训练】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心2．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2OB OC OP AP λ+=+，且1λ≠，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心4．O 为ABC ∆所在平面内一点，A ，B ，C 为ABC ∆的角，若sin sin sin A OA B OB C OC O ⋅+⋅+⋅=，则点O 为ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心5．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心6．已知ABC ∆所在的平面上的动点M 满足||||AP AB AC AC AB =+，则直线AP 一定经过ABC ∆的()A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心7．设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，P 是ABC ∆所在平面上的一点，c PA PB PA PCb⋅=⋅ +22b c c a c PA PB PC PB b a a--=⋅+，则点P 是ABC ∆的()A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心8．已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的()．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心9．P 是△ABC 所在平面内一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心10．若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+，则点(O )A ．在AB 边的高所在的直线上B ．在C ∠平分线所在的直线上C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是ABC ∆的外心12．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心13．已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||, OA OB OC NA NB NC ==++=0，且PA PB ⋅= PB PC⋅ =PA PC ⋅，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的()A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心14．点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC ∆的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足(0)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++>，则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλλ+=++> ，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中．考点二三角形四心的应用【例题选讲】[例2](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝__________．答案π6解析由G 为△ABC 的重心知GA →＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此a GA →＋b GB →＋33c (－GA →－GB →)－33c －33c →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a＝b ＝33c ．由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c 2＝32，又0<A <π，所以A ＝π6．(2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AC ＝3，设O 是△ABC 的内心．若AO →＝pAB →＋qAC →，则pq＝________．答案32解析如图，O 为△ABC 的内心，D 为AC 中点，则O 在线段BD 上，cos ∠DAO ＝12|AC→||AO →|＝32|AO →|，根据余弦定理cos ∠BAC ＝4＋9－42×2×3＝34；由AO →＝pAB →＋q AC →得AO →·AB →＝pAB →2＋qAB →·AC →，所以|AO ，→||AB ，→|cos ∠BAO ＝pAB →2＋q |AB →||AC →|cos ∠BAC ，所以3＝4p ＋92q ①；同理AO →·AC →＝pAB →·AC →＋qAC →2，所以可以得到92＝92p ＋9q ②．①②联立可求得p ＝37，q ＝27，所以p q ＝32．(3)已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为()ABC －45，D －35，答案A解析取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →，OM →＝AM→－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC→)－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)－xAB →．由OM →⊥AB →，得2－yAC →·AB →＝0，①，由ON →⊥AC →，得2－xAC →·AB →＝0，②，又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③，把③代入①、②得－2x ＋y ＝0，＋x －8y ＝0，解得x＝45，y ＝35．故实数对(x ，y )(4)在△ABC 中，O 是△ABC 的垂心，点P 满足：3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是________．答案23解析如图，设AB 的中点为M ，设12OA →＋12OB →＝ON →，则N 是AB 的中点，点N 与M 重合，故由3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，可得2OP →＝OM →－OP →＋2OC →，即2OP →－2OC →＝OM →－OP →，也即PM →＝2CP →，由向量的共线定理可得C 、P 、M 共线，且MP ＝23MC ，所以结合图形可得△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是23．(5)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是ABC ∆的外心、垂心，且M 为BC 中点，则()A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO+=- C ．24AB AC HM MO +=+ D ．24AB AC HM MO+=- 答案D解析如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM = ，M 为BC 中点，∴AB AC +22()2(2)4224AM AH HM OM HM OM HM HM MO ==+=+=+=-．故选D ．【对点训练】1．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________．2．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC＝0，则B 的大小为________．3．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________．4．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．5．过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，PC →＝34AC →，QC →＝nBC →，则n 的值为____．6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝m AM →成立，则m 等于()A ．2B ．3C ．4D ．57．已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60˚，则△OBC 的面积为()A ．33B ．3C ．32D ．238．已知在△ABC 中，点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．9．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋OC＝0，则△ABC 的内角A 等于()A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°10．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝()A ．10B ．9C ．8D ．611．若点P 是△ABC 的外心，且PA →＋PB →＋λPC →＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为()A ．12B ．－12C ．－1D ．112．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于()A ．32B ．3C ．3D ．2313．若△ABC 的面积为3，AB →·AC →＝2，则△ABC 外接圆面积的最小值为()A ．πB ．4π3C ．2πD ．8π314．已知O 为锐角△ABC 的外心，|AB →|＝3，|AC →|＝23，若AO →＝xAB →＋yAC →，且9x ＋12y ＝8，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OA →·OC →，则()A ．I 2<I 1<I 3B ．I 3<I 2<I 1C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 3<I 115．已知O 是△ABC 的外心，∠C ＝45°，则OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是()A ．[－2，2]B ．[－2，1)C ．[－2，－1]D ．(1，2]16．已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，如图所示，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．417．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．18．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则|PA →＋PB →＋2PC →|的最大值为()A ．23B ．33C ．43D ．5319．已知O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心，且A θ∠=，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B += ，则m ＝()A ．sin θB ．cos θC ．tan θD ．不能确定20．在ABC ∆中，5BC =，G ，O 分别为ABC ∆的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC ∆的形状是()A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能21．在ABC ∆中，3AB=，BC =，2AC =，若点O 为ABC ∆的内心，则AO AC ⋅的值为()A ．2B ．73C ．3D ．522．设O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，若AO →＝λ1AB →＋λ2AC →，则()A ．λ1λ2＝b cB ．λ21λ22＝b cC ．λ1λ2＝c 2b2D ．λ21λ22＝c b23．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为()A ．1063B ．1463C ．43D ．6224．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形25．ABC ∆外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m 的值()A ．12B ．2C ．1D ．34专题十平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0．(2)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A⇔sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0．(3)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0⇔sin A ·OA →＋sin B ·OB →＋sin C ·OC →＝0．(4)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0．关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G 为△ABC 的重心，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ．②2=S r a b c ++，特别地，在Rt △ABC 中，∠C =90°，=2a b cr +-．(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．考点一三角形四心的判断【例题选讲】[例1](1)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过()A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点答案C解析取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2(1－λ)3OD →＋1＋2λ3OC →，而2(1－λ)3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．答案内心解析由条件，得OP →－OA →＝AP →＝，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．(3)在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必经过△ABC 的()A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心答案C解析设BC 边中点为D ，∵AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，∴(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2AM →·BC →，即AD →·BC →＝AM →·BC →，∴MD →·BC →＝0，则MD →⊥BC →，即MD ⊥BC ，∴MD 为BC 的垂直平分线，∴动点M 的轨迹必经过△ABC 的外心，故选C ．(4)已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B＋AC →|AC →|cos C)，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心答案B 解析因为OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，所以AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C)，所以BC →·AP →＝BC →·λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．(5)已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA bOB cOC ++=0 ，②tan tan tan A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0，③sin 2sin 2sin 2A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0 ，④OA OB OC ++=0则点O 分别为ABC ∆的()A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心答案D(6)下列叙述正确的是________．①1()3PG PA PB PC G =++⇔为ABC ∆的重心．②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心．③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的外心．④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA O +⋅=+⋅=+⋅=⇔为ABC ∆的内心．答案①②解析①G为ABC ∆的重心⇔GA GB GC ++=0 ⇔PA PG PB PG PC PG -+-+-=0 ⇔1()3PG PA PB PC =++，①正确；②由PA PB PB PC ⋅=⋅ ⇔()0PA PC PB -⋅=⇔0CA PB AC ⋅=⇔⊥ PB ，同理AB PC ⊥，BC PA ⊥，②正确；③||||||AB PC BC PA CA PB ++=0 ⇔||||()AB PC BC PC CA ++ ||()CA PC CB ++=0(||||||)||||AB BC CA PC BC CA CA CB ⇔++++=0 ． ||||||||BC CA CA CB = ，∴||BC CA ||CA CB + 与角C 的平分线平行，P ∴必然落在角C 的角平分线上，③错误；④()OA OB AB +⋅= (OB222)()0||||||OC BC OC OA CA OA OB OC OA OB OC O +⋅=+⋅=⇔==⇔==⇔ 为ABC ∆的外心，④错误．∴正确的叙述是①②．故答案为：①②．【对点训练】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心1．答案C解析由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．2．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2OB OC OP AP λ+=+，且1λ≠，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心2．答案C 解析设BC 的中点为M ．由已知原式可化为2PA OB OP OC OP λ=-+- ．即2PA PBλ=2PC PM += ，所以PM PA λ=，所以P ，A ，M 三点共线．所以P 点在边BC 的中线AM 上．故P 点的轨迹一定过ABC ∆的重心．3．已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．答案C解析∵|AB |sin B ＝|AC |sin C ，设它们等于t ，∴OP →＝OA →＋λ·1t(AB →＋AC →)，设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，λ·1t (AB →＋AC →)表示与AD →共线的向量AP →，而点D 是BC 的中点，即AD 是△ABC 的中线，∴点P 的轨迹一定通过三角形的重心．故选C ．4．O 为ABC ∆所在平面内一点，A ，B ，C 为ABC ∆的角，若sin sin sin A OA B OB C OC O ⋅+⋅+⋅=，则点O 为ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心4．答案C 解析由正弦定理得2sin 2sin 2sin 0R AOA R BOB R COC ++= ，即0aOA bOB cOC ++=，由上式可得()()cOC aOA bOB a OC CA b OC CB =--=-+-+ ，所以()a b c OC aCA bCB ++=--=ab -(||||CA CB CA CB +，所以OC 与C ∠的平分线共线，即O 在C ∠的平分线上，同理可证，O 也在A ∠，B ∠的平分线上，故O 是ABC ∆的内心．5．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心5．答案C 解析3AB = ，2AC =，13||22AB ∴= ，33||42AC = ．即133||||242AB AC ==，设12AE AB = ，34AF AC = ，则||||AE AF =，∴1324AD AB AC AE AF =+=+ ．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形．AD ∴为菱形的对角线，AD ∴平分EAF ∠．∴直线AD 通过ABC ∆的内心．故选C ．6．已知ABC ∆所在的平面上的动点M 满足||||AP AB AC AC AB =+，则直线AP 一定经过ABC ∆的()A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心6．答案C解析||||AP AB AC AC AB =+ ∴11||||()||||AP AB AC AC AB AC AB =+，∴根据平行四边形法则知11||||AC AB AC AB +表示的向量在三角形角A 的平分线上，而向量AP 与11||||AC AB AC AB +共线，P ∴点的轨迹过ABC ∆的内心，故选C ．7．设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，P 是ABC ∆所在平面上的一点，c PA PB PA PCb⋅=⋅+22b c c a c PA PB PC PB b a a--=⋅+，则点P 是ABC ∆的()A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心7．答案C 解析因为22c b c c a c PA PB PA PC PA PB PC PB b b a a--⋅=⋅+=⋅+ ，所以2PA PB PA ⋅-=()c PA PC PA b ⋅-，2()c PA PB PB PB PC PB a ⋅-=⋅- ，所以c PA AB PA AC b ⋅=⋅ ，c BA PB PB BC a⋅=⋅ ，所以||cos ||cos c PA c PAB PA b PAC b ⋅∠=∠ ，||cos ||cos c PB c PBA PB a PBC a⋅∠=∠ ，所以PAB PAC ∠=∠，PBA PBC ∠=∠，所以AP 是BAC ∠的平分线，BP 是ABC ∠的平分线，所以点P 是ABC ∆的内心，故选C ．8．已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的()．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心8．答案B解析9．P 是△ABC 所在平面内一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心9．答案D解析由PA →·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，PA →⊥BC →．∴P 是△ABC 的垂心．10．若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心10．答案D解析11．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ ，则点(O )A ．在AB 边的高所在的直线上B ．在C ∠平分线所在的直线上C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是ABC ∆的外心11．答案A 解析取AB 的中点D ，则 22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ ，∴2()||BA OA OB BC ⋅+=-+2||AC ，∴2(2)BA OD AB CD ⋅=⋅-，∴20BA OC = ，∴BA OC ⊥ ，∴点O 在AB 边的高所在的直线上，故选A ．12．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．答案D 解析 BC OC OB =- ，CA OA OC =- 、AB OB OA =- ，∴由22222OA BC OB CA OC+=+= 2AB + ，得222222()()()OA OC OB OB OA OC OC OB OA +-=+-=+- ，∴OB OC OA OC OA OB ⋅=⋅=⋅ ，即()()()OC OB OA OA OC OB OB OC OA ⋅-=⋅-=⋅-，∴OC AB OA BC OB AC ⋅=⋅=⋅ ，则OC AB ⊥，OA BC ⊥，OB AC ⊥．O ∴是ABC ∆的垂心．故选D ．13．已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||, OA OB OC NA NB NC ==++=0，且PA PB ⋅= PB PC⋅ =PA PC ⋅，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的()A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心13．答案C14．点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC ∆的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足(0)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++>，则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλλ+=++> ，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中．14．答案①②③④⑤解析对于①， 动点P 满足OP OA PB PC =++ ，∴AP PB PC =+，则点P 是ABC ∆的心，故①正确；对于②， 动点P 满足()(0)||||AB AC OP OA AB AC λλ=++>，∴(||ABAP AB λ=+||AC AC (0)λ>，又||||AB ACAB AC +在BAC ∠的平分线上，∴AP 与BAC ∠的平分线所在向量共线，ABC ∴∆的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++(0)λ>，∴()||sin ||sin AB ACAP AB B AC C λ=+，(0)λ>，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则||sin AB B = ||sin AC C AD =，()AP AB AC ADλ=+，向量AB AC + 与BC 边的中线共线，因此ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足()(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，(AP λ= ∴)(0)||cos ||cos AB AC AB B AC C λ+> ，∴()(||||cos ||cos AB ACAP BC BC BC AB B AC Cλλ=+=-||)0BC =，∴AP BC ⊥ ，ABC ∴∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足OP = ()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC AB B AC C λλ+++> ，设2OB OC OE += ，则(||cos ABEP AB Bλ=+)||cos AC AC C ，由④知(0||cos ||cos AB ACBC AB B AC C+=，∴0EP BC = ，∴EP BC ⊥ ，P ∴点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；ABC ∴∆的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．考点二三角形四心的应用【例题选讲】[例2](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝__________．答案π6解析由G 为△ABC 的重心知GA →＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此a GA →＋b GB →＋33c (－GA →－GB →)－33c－33c →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c ．由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c 2＝32，又0<A <π，所以A ＝π6．(2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AC ＝3，设O 是△ABC 的内心．若AO →＝pAB →＋qAC →，则pq＝________．答案32解析如图，O 为△ABC 的内心，D 为AC 中点，则O 在线段BD 上，cos ∠DAO ＝12|AC→||AO →|＝32|AO →|，根据余弦定理cos ∠BAC ＝4＋9－42×2×3＝34；由AO →＝pAB →＋q AC →得AO →·AB →＝pAB →2＋qAB →·AC →，所以|AO ，→||AB ，→|cos ∠BAO ＝pAB →2＋q |AB →||AC →|cos ∠BAC ，所以3＝4p ＋92q ①；同理AO →·AC →＝pAB →·AC →＋qAC →2，所以可以得到92＝92p ＋9q ②．①②联立可求得p ＝37，q ＝27，所以p q ＝32．(3)已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为()A B C －45，D －35，答案A解析取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →，OM →＝AM→－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)－xAB →．由OM →⊥AB →，得2－yAC →·AB →＝0，①，由ON →⊥AC →，得2－xAC →·AB →＝0，②，又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③，把③代入①、②得－2x ＋y ＝0，＋x －8y ＝0，解得x＝45，y ＝35．故实数对(x ，y )(4)在△ABC 中，O 是△ABC 的垂心，点P 满足：3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是________．答案23解析如图，设AB 的中点为M ，设12OA →＋12OB →＝ON →，则N 是AB 的中点，点N 与M 重合，故由3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，可得2OP →＝OM →－OP →＋2OC →，即2OP →－2OC →＝OM →－OP →，也即PM →＝2CP →，由向量的共线定理可得C 、P 、M 共线，且MP ＝23MC ，所以结合图形可得△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是23．(5)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是ABC ∆的外心、垂心，且M 为BC 中点，则()A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO+=- C ．24AB AC HM MO +=+ D ．24AB AC HM MO+=- 答案D解析如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM = ，M 为BC 中点，∴AB AC +22()2(2)4224AM AH HM OM HM OM HM HM MO ==+=+=+=-．故选D ．【对点训练】1．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________．1．答案4解析设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos 60°＋32)＝4．2．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC＝0，则B 的大小为________．2．答案60°解析∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA→＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0．又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°．秒杀∵G 为△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，又∵sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC ＝0，∴sin A ＝sin B ＝sin C ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°．3．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________．3．答案112解析设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA →＋3b ·GB →＋3c ·GC →＝0，则2a ·GA →＋3b ·GB →＝－3c ·GC →＝－3c (－GA →－GB →)，即(2a －3c )GA →＋(3b －3c )GB →＝0．又GA →，GB →不共3c ＝0，－3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112．秒杀∵G 为△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，又∵2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，∴2sin A＝3sin B ＝3sin C ，∴2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112．4．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．4．答案5解析如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴C (a ，0)．∵AC →·AB →＝－1－12，－－12，－＋34＝－1，解得a ＝4．∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12(BA →＋BC →)(4，0)＝BO →·AC →5．5．过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，PC →＝34AC →，QC →＝nBC →，则n 的值为____．5．答案35解析因为O 是重心，所以OA →＋OB →＋OC →＝0，即OA →＝－OB →－OC →，PC →＝34AC →⇒OC →－OP →＝34(OC →－OA →)⇒OP →＝34OA →＋14OC →＝－34OB →－12OC →，QC →＝nBC →⇒OC →－OQ →＝n (OC →－OB →)⇒OQ →＝nOB →＋(1－n )OC →，因为P ，O ，Q 三点共线，所以OP →∥OQ →，所以－34(1－n )＝－12n ，解得n ＝35．6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝m AM →成立，则m 等于()A ．2B ．3C ．4D ．56．答案B解析∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →．又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB→＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，故选B ．7．已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60˚，则△OBC 的面积为()A ．33B ．3C ．32D ．237．答案A解析∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60˚，∴|AB →|·|AC →|＝4．又S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC的面积为33，故选A ．8．已知在△ABC 中，点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．8．答案(－2，0)解析依题意，设OP →＝λOC →(0<λ<1)，由OA →＋OB →＋OC →＝0，知OC →＝－(OA →＋OB →)，所以OP →＝－λOA →－λOB →，由平面向量基本定理可知，m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2，0)．9．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋OC＝0，则△ABC 的内角A 等于()A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°9．答案B 解析由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°．10．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝()A ．10B ．9C ．8D ．610．答案A解析作OS ⊥AB ，OT ⊥AC ∵O 为△ABC 的外接圆圆心．∴S 、T 为AB ，AC 的中点，且AS →·SO→＝0，AT →·TO →＝0，AO →＝AS →＋SO →，AO →＝AT →＋TO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝AO →·AB →＋AO →·AC →＝(AS →＋SO →)·AB →＋(AT →＋TO →)·AC →＝AS →·AB →＋SO →·AB →＋AT →·AC →＋TO →·AC →＝12AB →·AB →＋12AC →·AC →＝12|AB →|2＋12|AC →|2＝8＋2＝10．故选A ．优解：不妨设∠A ＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B (4，0)，C (0，2)，则O 为BC 的中点O (2，1)，∴AB →＋AC →＝2AO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝2|AO →|2＝2(4＋1)＝10．故选A ．11．若点P 是△ABC 的外心，且PA →＋PB →＋λPC →＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为()A ．12B ．－12C ．－1D ．111．答案C 解析设AB 的中点为D ，则PA →＋PB →＝2PD →．因为PA →＋PB →＋λPC →＝0，所以2PD →＋λPC →＝0，所以向量PD →，PC →共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB ．因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA →＋PB →＝2PD →＝PC →，所以2PD →＋λPC →＝PC →＋λPC →＝0，所以λ＝－1，故选C ．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于()A ．32B ．3C ．3D ．2312．答案C解析∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB →＝－OC →，故点O 是BC 的中点，且△ABC 为直角三角形，又△ABC 的外接圆的半径为1，|OA →|＝|AB →|，∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°，∴CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos 30°＝3×2×32＝3．13．若△ABC 的面积为3，AB →·AC →＝2，则△ABC 外接圆面积的最小值为()A ．πB ．4π3C ．2πD ．8π313．答案B 解析设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由题意可得12bc sin A ＝3，bc cos A＝2，∴tan A ＝3．又A ∈(0，π)，∴A ＝π3．∴bc cos π3＝2，即bc ＝4．由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝4，即a ≥2．又由正弦定理得asin A＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴2R sin A ＝a ≥2，即3R ≥2，∴R 2≥43，∴三角形外接圆面积的最小值为4π3．14．已知O 为锐角△ABC 的外心，|AB →|＝3，|AC →|＝23，若AO →＝xAB →＋yAC →，且9x ＋12y ＝8，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OA →·OC →，则()A ．I 2<I 1<I 3B ．I 3<I 2<I 1C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 3<I 114．解析：选D如图，分别取AB ，AC 的中点，为D ，E ，并连接OD ，OE ，根据条件有OD ⊥AB ，OE⊥AC ，∴AO →·AB →＝12|AB ―→|2＝92，AO →·AC →＝12|AC ―→|2＝6，∴AO →·AB →＝(xAB →＋yAC →)·AB →＝9x ＋63y ·cos ∠BAC ＝92，①，AO →·AC →＝(xAB →＋yAC →)·AC →＝63x cos ∠BAC＋12y ＝6，②，又9x ＋12y ＝8，③，∴由①②③解得cos ∠BAC ＝33－78．由余弦定理得，BC ＝9＋12－2×3×23×33－78＝15＋3212．∴BC >AC >AB ．在△ABC 中，由大边对大角得，∠BAC >∠ABC >∠ACB ，∴∠BOC >∠AOC >∠AOB ，∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，且余弦函数在(0，π)上为减函数，∴OB →·OC →<OA →·OC →<OA →·OB →，即I 2<I 3<I 1．15．已知O 是△ABC 的外心，∠C ＝45°，则OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是()A ．[－2，2]B ．[－2，1)C ．[－2，－1]D ．(1，2]15．答案B解析由题意∠C ＝45°，所以∠AOB ＝90°，以OA ，OB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A (1,0)，B (0,1)，则C 在圆O 的优弧AB 上，设C (cos α，sin α)，则α显然OC →＝cos αOA →＋sin αOB →，即m ＝cos α，n ＝sin α，m ＋n ＝cos α＋sin α＝2sinαα＋π4∈∈－1m ＋n ∈[－2，1)，故选B ．16．已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，如图所示，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大。
专题08 三角形”四心“向量形式的充要条件(解析版)
三角形”四心“向量形式的充要条件本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：ABC 的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔ABC 的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔ABC 的外心sin 2:sin 2:sin 2C S A B C =⇔sin ABC 的垂心⇔::tan :tan A B C S S S A =ASCS BSA．外心B．内心【答案】B【法一】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，【法二】记点O 到AB 、BC 、C A 的距离分别为123h h h ，，，212OBC S a h =⋅ ，312OAC S b h =⋅ ，112OAB S c h =⋅ ，因为0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△，则233111=0222a h OAb h OBc h OC⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ，即2310a h OA b h OB c h OC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，又因为0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，所以123h h h ==，所以点P 是△ABC 的内心.故选：B【反思】设O 为ABC ∆所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC ∆的内心⇔0aOA bOB cOC ++=.利用结论可直接得到O 为ABC 的内心.例题2：已知G 是ABC ∆的重心，且满足56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=，求角B【详解】因为G 是ABC ∆的重心，所以0GA GB GC ++=,所以56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =，所以sin :sin :sin 5:7:8A B C =，由正弦定理::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C ==，由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，因为(0,)B π∈，所以3B π=.【反思】设G 是ABC ∆的重心,直接利用奔驰定理结论O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=，所以在本例中，已知56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=可得到56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =，从而得到sin :sin :sin 5:7:8A B C =，再利用正弦定理，余弦定理求解.例题3：设点O 在ABC ∆内部，且5370OA OB OC ++=,则ABC ∆与AOC ∆的面积之比为.【详解】因为点O 在ABC ∆内部，满足奔驰定理0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，且5370OA OB OC ++=，所以::5:3:7A B C S S S =,从而得到::(537):35:1ABC AOC S S ∆=++=【反思】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆,AOC ∆,AOB ∆的面积分别记作A S ,B S ,C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，对于满足条件的选择，填空题，都可以直接使用该结论.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足ASCS BSA ．外心B ．内心【答案】B【详解】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理A ．25B ．12C ．16【答案】D【详解】解：O 为三角形ABC 内一点，且满足2OA + ∴233()2()()3OA OB OC OB OA OC OB OA OC OA ++=-+-+-⇒．13C A B C S S S S ==++，△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠A ．若230OA OB OC ++=，则:A S S B ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，C ．若O 为△ABC 的内心，34OA OB +=设AF m =，tan A ∠又:tan BE AE EC A =∠由AB FC AC BE ⋅=⋅S 的三个内角，以下命题正确的有（A ．若0OA OB OC ++=，则O 为ABC B ．若230OA OB OC ++=，则::A B S S C ．若5π||||2,6OA OB AOB ==∠= ，2OA B ：若2,OE OB OD == 所以AOE DOE S S S == 则::1:2:3A B C S S S =，正确；C ：由题设1225π6ins 2C S =⨯⨯⨯=所以0OF OE OD ++=，即O 为而16C EOF S S =，则6EOF S = ，故所以1391244ABC S =++= ，错误；D ：由BOC BAC π∠+∠=，则OB 同理，||||cos OB OA OB OA BOA ⋅=∠A ．O 为ABC 的外心B ．BOC ∠C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C = D ．:A S S 【答案】BCD【详解】依题意，()OA OB OB OC OB OA OC ⋅=⋅⇔⋅-= 同理OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，则O 为ABC 的垂心，A 错误；AB ，AC 于P ，Q ，由选项2OBC ACB π∠+∠=，OCB ∠又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=A ．O 为ABC 的垂心B ．AOB ACBπ∠=-∠C ．sin :sin :sin ::OA OB OC BAC ABC ACB ∠∠∠=D ．tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=【答案】ABDOB OC ⋅ ，即OA OB OB OC ⋅-⋅ 0CA =，OB CA ⊥ ，AB，正确；因为OA CB ⊥，所以90ADB ∠=o ，BAO Ð因为OB CA ⊥，所以90BEA ∠= ，ABO Ð则(90AOB ABO BAO ππ∠=-∠-∠=-A ．O 为ABC 的垂心B ．C ．:sin :si n :n :si O A A OB O C C B =D ．【答案】ABD【详解】对于A ，OA OB OB OC ⋅=⋅ ，(OB OA ∴⋅由A 可知：AD BC ⊥，BE ⊥AOE C ∴∠=∠，又AOE ∠+∠对于C ，由B 可得：OA OB ⋅= 同理可得：OB OC OB OC ⋅=-⋅对于②：记点P 到AB 、为PBC PAC S PA S PB ++ △△a h b h PA PB c h PC +⋅⋅⋅+。
专题 三角形四心的向量表示
则O点是ABC的
心
总结：单位向量的运用 答案：内心
变式3.
O是ABC平面上一点，若对ABC平面上
任意点P满足：
uuur PO
uuur aPA
uuur bPB
uuur cPC
a+b+cຫໍສະໝຸດ 则O点是ABC的心
答案：内心
例3 ：
O是平面上一点，A,B,C是平面上不共线的三点，
动点P满足：
uuur OP
uuur
则动点P的轨迹通过ABC的
心
答案：内心
变式 1．O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点， 动点满足：O→P＝O→A＋λ |AA→→BB|＋|AA→→CC|，λ∈[0，＋∞)， 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心
总结：单位向量的运用 答案：内心
uuur uuur uuur
变式2. 三个不共线的向量OA,OB,OC满足：
uuur OA •（
uuur uAuBur
+
uuur CuuAur
uuur ）=OB •（
uuur uBr A
+
uuur CurB
uuur ）=OC •（
uuur BurC
+
uuur Cur A
）=0
| AB | | CA |
| BA| | CB |
| BC | | CA |
OA (
uuur uuurAB
uuur uuurAC
), [0, )
| AB | cos B | AC | cos C
则动点P的轨迹通过ABC的
1
[(1
uuur )OA
(1
uuur
三角形四心的向量性质及证明
三角形四心的向量性质及证明收集(部分证明)了三角形四心相关性质,对高中生更加了解向量和三角形有一定帮助。
符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模【一些结论】：以下皆是向量1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC 内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求证P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP*BC=入{(AB*BC /|AB|＾2*sin2B)+AC*BC /(|AC|＾2*sin2C)}, AP*BC=入{|AB|*|BC|cos(180° -B) /(|AB|＾2*sin2B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP*BC=入{-|AB|*|BC| cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP*BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC ∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP*BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3. OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
三角形“四心”向量表示
三角形 【2 】四心的向量问题三角形重心.垂心.外心.心坎向量情势的充要前提的向量情势 一．常识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是心坎ABC ∆的充要前提是|CB ||CA |OC |BC ||BA |OB AC|AB |OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使前提变得更简练.假如记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则适才O是ABC∆心坎的充要前提可以写成0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆心坎的充要前提也可所以0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心坎,则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心坎;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠地点直线过ABC ∆的心坎(是BAC ∠的角等分线地点直线); 二．典范(一)．将平面向量与三角形心坎联合考核 例1．O 是平面上的必定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹必定经由过程ABC ∆的（）（A ）外心（B ）心坎（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 偏向上的单位向量分离为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的根本性质知AP 等分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 等分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新鲜.生疏”,起首AB是什么？没见过！想想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简略的根本常识,如向量的加减法.向量的根本定理.菱形的根本性质.角等分线的性质等,若十分熟习,又能敏捷地将它们迁徙到一路,解这道题一点问题也没有.(二)将平面向量与三角形垂心联合考核“垂心定理”例2．H 是△ABC 地点平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 地点平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的（D ） A ．外心B ．心坎C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考核平面向量有关运算,及“数目积为零,则两向量地点直线垂直”.三角形垂心界说等相干常识.将三角形垂心的界说与平面向量有关运算及“数目积为零,则两向量地点直线垂直” 等相干常识奇妙联合.(三)将平面向量与三角形重心联合考核“重心定理” 例4．G 是△ABC 地点平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证实 作图如右,图中GE GC GB =+贯穿连接BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0, 得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=,故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5．P 是△ABC 地点平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证实CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CGBG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点,0OA OB OC ++= ,则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-,如图以OB.OC 为相邻双方构作平行四边形,则OB OC OD +=,由平行四边形性质知12OE OD =,2OA OE=,同理可证其它双方上的这共性质,所所以重心,选D.点评：本题须要扎实的平面几何常识,平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点,所分这比为21λ=.本题在解题的进程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质等相干常识奇妙联合.(四)．将平面向量与三角形外心联合考核 例7若O 为ABC ∆内一点,OA OB OC==,则O 是ABC ∆ 的（ ）CA ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的界说知O 到ABC ∆的三极点距离相等.故O 是ABC ∆ 的外心 ,选B. 点评：本题将平面向量模的界说与三角形外心的界说及性质等相干常识奇妙联合. (五)将平面向量与三角形四心联合考核例8．已知向量1OP ,2OP ,3OP 知足前提1OP +2OP +3OP =0,|1OP |=|2OP |=|3OP |=1,求证△P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下）,温习参考题五B 组第6题） 证实 由已知1OP +2OP =-3OP ,双方平方得1OP ·2OP =21-,同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-,∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3,从而△P1P 2P 3是正三角形.反之,若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中间,则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 地点平面内一点,1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中间.例9．在△ABC 中,已知Q.G.H 分离是三角形的外心.重心.垂心.求证：Q.G.H 三点共线,且QG:GH=1:2.【证实】：以A 为原点,AB 地点的直线为x 轴,树立如图所示的直角坐标系.设A(0,0).B （x 1,0）.C(x 2,y 2),D.E.F 分离为AB.BC.AC 的中点,则有：212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，212(,)BC x x y =- 2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232()()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y即=3QH QG ,故Q.G.H 三点共线,且QG ：GH =1：2【注】：本例假如用平面几何常识.向量的代数运算和几何运算处理,都相当麻烦,而借用向量的坐标情势,将向量的运算完整化为代数运算,如许就将“形”和“数”慎密地联合在一路,从而,许多对称.共线.共点.垂直等问题的证实,都可转化为闇练的代数运算的论证.例10．若O.H 分离是△ABC 的外心和垂心. 求证 OC OB OA OH ++=.证实 若△ABC 的垂心为H ,外心为O ,如图. 连BO 并延伸交外接圆于D ,贯穿连接AD ,CD .∴AB AD ⊥,BC CD ⊥.又垂心为H ,BC AH ⊥,AB CH ⊥, ∴AH ∥CD ,CH ∥AD ,∴四边形AHCD 为平行四边形,∴OC DO DC AH +==,故OC OB OA AH OA OH ++=+=.有名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心.重心.垂心的地位关系：（1）三角形的外心.重心.垂心三点共线——“欧拉线”;（2）三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.“欧拉定理”的向量情势显得特殊简略,可简化成如下的向量问题. 例11．设O .G .H 分离是锐角△ABC 的外心.重心.垂心.求证 OHOG 31=证实 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++=按垂心定理 OC OB OA OH ++=由此可得 OHOG 31=.补充演习1．已知A.B.C 是平面上不共线的三点,O 是三角形ABC 的重心,动点P 知足OP =31 (21OA +OB21+2OC ),则点P 必定为三角形ABC 的（B ）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M,则OM OB OA 2=+,由OP =31 (21OA+OB 21+2OC )可得3MC OM OP 23+=,∴MC MP 32=,即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点,且点P 不过重心,故选B.2．在统一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ知足关系式： 2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2OC＋2AB ,则Ｏ为ABC ∆的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心2．已知△ABC 的三个极点A.B.C 及平面内一点P 知足：0PA PB PC ++=,则P 为ABC ∆的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一 定点,A.B.C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足：)(AC AB OA OP ++=λ,则P 的轨迹必定经由过程△ABC 的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心4．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的动点,且动点P 知足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=,则P 点为三角形的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心5．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的一点,且点P 知足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=,则P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心G A BCMN G图16．在三角形ABC 中,动点P 知足：CP AB CB CA •-=222,则P 点轨迹必定经由过程△ABC 的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB →与AC →知足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC→|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与知足(||||AB AC AB AC +)·=0,即角A 的等分线垂直于BC,∴ AB=AC,又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12,∠A=3π,所以△ABC 为等边三角形,选D ．8.ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m = 19.点O 是三角形ABC 地点平面内的一点,知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的（B）（A ）三个内角的角等分线的交点（B ）三条边的垂直等分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10. 如图1,已知点G 是ABC ∆的重心,过G 作直 线与AB,AC 双方分离交于M,N 两点,且AM xAB =,AN y AC =,则113x y +=.证 点G 是ABC ∆的重心,知GA GB GC ++=O ,得()()AG AB AG AC AG -+-+-=O ,有1()3AG AB AC =+.又M,N,G 三点共线（A 不在直线MN 上）, 于是消失,λμ,使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且,有AG x AB y AC λμ=+=1()3AB AC +,得113x y λμλμ+=⎧⎪⎨==⎪⎩,于是得113x y +=。
三角形”四心”的向量表示汇总
文_
教育教学
46三角形的重心，外心，内心，垂心这四心与
向量之间有着密切的联系。
下面对三角形四心的向
量表示进行总结并证明。
一、三角形重心的向量表示
点P 为△ABC 的重心
⇔(D 为BC 中
点)
⇔
证明：
D 为BC 中点
P 为△ABC
的重心
注：点P 为△ABC
的重心的
另一种证法：
“充分性”：已知点P 为△ABC 的重心
以PB,PC 为邻边作平行四边形PBEC，对角线PE 交BC 于D ∵平行四边形PBEC 对角线互相平分∴∵点P 为△ABC
的重心“必要性”：反之亦成立∴点P 为△ABC 的重心二、三角形外心的向量表示1.点P 为△ABC 的外心.2.点O 为△ABC
的外心 证明：设D 为AB 中点，E 为BC 中点，F 为AC 中点O 是△ABC
的外心同理，三、三角形内心的向量表示1.若，则点P 的轨迹经过△ABC 的内心。
证明：∵，分别为,方向上的单位向量∴点P 在∠BAC 的角平分线上∴点P 的轨迹经过△ABC 的内心2.
若,则O 为△ABC 的内心。
证明： 设则E 在∠BAC 的外角平分线上∴O 在∠BAC 的角平分线上同理O 在∠ABC 的角平分线上, 也在∠ACB 的角平分线上（作者单位：四川省雅安市雅安中学）参考文献[1]王波《也谈三角形四心的统一表达形式》数学通讯.2010年第8期三角形”四心”的向量表示汇总
陆竞怡。
三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案
三角形“四心”向量形成的充耍条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以员课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。
现旧纳总结如下:一.知识点总结____________________1 ） 0 是AABC 的重心 <=> OA+OB + OC=0若0 是AABC 的重° , | SaBOC = SaaOC = SaaOB = 3 Smbc jj OA+OB+OC = 0 PG = ^（PA + PB + PC） OG为AABCtf｝重心.2）o 是AABC的垂心<=>OA 6B = OB OC = OC OA若0 是AABC（非直角三角形）的垂心，U| S ABOC5S AAOCS S AZ\OB =tan A：tan B：tan C故tan AOA + tan BOB + tan COC = 63 ）0 是AABC 的外心<=> IOAI=IOBI=IOCI（或=而2 =疋2）若0是AABC的外心则S ABOC：S AAOC： S M（）B = slnZBOC:sinZAOC ：sinZAOB = sin2A : sln2B : sin2C故sin2AOA + sln2BOB + sin2COC = 64）0是心AABC的充要条件是贰（亘-亘）=而（亘-匹）=显（亘-JL）=oIABI AC I BA I IBCI I CAI ICBI引IS单位向量，使条件变鶴更简洁。
如果记入瓦说，不的单位向量为兀瓦恳，则刚才0是AABC 心的充要条件可以写成:OA.（e[+e^） = OB.（e[ + e^） = OC.（e^ + e^） = 00是AABC心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0若0 是AABC 的心，则S AB（）c：S AA<）c： Su（）B=a： b： c故aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + slnBOB + sinCOC = 6.\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB = O^ P ^ABC的心；向量兄（輕+姿）（几工0）所在直线il AABC的心（是ABAC的角平分线IABI IACI所在直线）；(-).将平面向量与三角形心结合考查例1・0是平面上的一罡点，ABC是平面上不共线的三f点，动点P满竺+丝），几w[o,p ）则P 点的珈迷一定通11MBC 的（ KI（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心解析：因为丝是向量丽的单位向量设丽与疋方向上的单位向量分别为勺和J, JHI 一〜OP-dA = AP原式可化为AP = A （e { +勺），由菱形的基本性质知AP 平分ABAC, SI ）么在A4BC中，AP 平分Z3AC,则知选B.点评：2ii®给人的M 象当然是“新颖、陌生J 首先箔是什么？没见过！想想，一个非零M向量除以它的模不就是单位向量?此题所用的部必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量 的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉，乂能迅速地wtiiffg 到一起, 解fiiii-^rnjg 也没有。
三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明
三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明①O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PPP ∆三边) 证明：充分性1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心 若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP ，2OP 为邻边作平行四边形132'OP P P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OP OP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
必要性：O 是123PP P ∆的重心⇒1230OP OP OP ++=如图，延长1PO 交23P P 于P ，则P 为23P P 的中点，由重心的性质得12POOP =. ∵()12323122()2=-=-⨯+=-+OP OP OP OP OP OP ∴1230OP OP OP ++= ②点O是123PP P ∆的垂心⇔122O POP O P O P O PO P⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OP PP ⊥,123OP P P ⊥31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅. ③点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OPOP ==． 证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)P 12PP 3OPABCDO④O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下:一． 知识点总结 1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++３)Ｏ是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==（或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++４)O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);二． 范例(一).将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A ，B,C 是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ )（Ａ）外心(B)内心(C)重心（D ）垂心 解析:因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么?没见过!想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
三角形四心的向量表示
3.（2006陕西）已知非零向量AB与 A满C足
( AB AC ) BC 0且 AB AC 1 ,
| AB | | AC |
| AB | | AC | 2
则△ABC为（ ） D A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
2.在 ABC中，给出 AD 1 AB AC , 2 等于已知AD是 ABC 中 BC边的中线;
3. O是ABC 的重心 OA OB OC 0
4.PG
1 3
(PA
PB
PC)
G
为 ABC 的重心.
例1． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
a2b1
|
【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式; (2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.
例5.如图,在ABC内求一点P,使得: |AP|2 +|BP|2 +|CP|2 的值最小.
解:设AP=m,AB=a,AC=b,则BP=m-a,CP=m-b.
| AP |2 | BP |2 | CP |2
三角形“四心”的向量表 示
一、 外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
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若 O 是 ∆ABC 的重心，则 S 3∆ABC故 OA + OB + OC = 0若 O 是 ∆ABC (非直角三角形)的垂心，则 S ： ： S ：S： ：| AB | - + AC ) ， λ ∈ [0,+∞ ) 则 P 点的轨迹一 ... . ..三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角 形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一．知识点总结1）O 是 ∆ABC 的重心 ⇔ OA + OB + OC = 0 ;= S = SS ∆BOC ∆AOC PG = 1 ( P A + PB + PC ) ⇔ G 为 ∆ABC 的重心.3;2）O 是 ∆ABC 的垂心 ⇔ OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ：S ：S ∆BOC∆AOC;∆AOB= tan A tan B tan C故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 03）O 是 ∆ABC 的外心 ⇔ | OA |=| OB |=| OC | (或 OA 2= OB 2= OC 2)若 O 是 ∆ABC 的外心则∆BOC：S∆AOC∆AOB= sin ∠BOC sin ∠AOC sin ∠AOB = sin2A : sin2B : sin2C故 sin 2AOA + sin 2BOB + sin 2COC = 0 4）O 是内心 ∆ABC 的充要条件是OA ⋅ (AB AC AC ) = OB ⋅ ( BA | BA | - BC | BC | ) = OC ⋅ ( CA | CA | - CB | CB | ) = 0引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 ,e 3 ，则刚才 O 是 ∆ABC内心的充要条件可以写成： OA ⋅ (e 1 + e 3 ) = OB ⋅ (e 1 + e 2 ) = OC ⋅ (e 2 + e 3 ) = 0 O 是 ∆ABC 内心的充要条件也可以是 aOA + bOB + cOC = 0若 O 是 ∆ABC 的内心，则 S ：S ∆BOC ：S ∆AOC∆AOB = a ：b ：c故 aOA + bOB + cOC = 0或 sin AOA + sin BOB + sin COC = 0;| AB | PC + | BC | P A + | CA | PB = 0 ⇔ P ∆ABC 的内心;向量 λ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ∆ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线)；| AB | | AC |二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动AB点 P 满足 OP = OA + λ (ABAC定通过 ∆ABC 的（ ）Be1Ae2C（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为AB是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单PAB位向量分别为 e 和 e ， 又 OP - OA = AP ，则原式可化为 AP = λ (e + e ) ，由菱形的基本性质知 AP 1212平分 ∠BAC ，那么在 ∆ABC 中，AP 平分 ∠BAC ，则知选 B.学习参考⇔ PG = (P A + PB + PC) .由此可得 PG = (P A + PB + PC) .（反之亦然（证略））... . ..点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除AB以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、 菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也 没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2． H 是△ABC 所在平面内任一点， HA ⋅ HB = HB ⋅ HC = HC ⋅ HA ⇔ 点 H 是△ABC 的垂心.由 HA ⋅ HB = HB ⋅ HC ⇔ HB ⋅ ( H C - HA) = 0 ⇔ HB ⋅ AC = 0 ⇔ HB ⊥ AC ,同理 HC ⊥ AB ， HA ⊥ BC .故 H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若 P A ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ P A ，则 P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析:由 P A ⋅ PB = PB ⋅ PC 得 P A ⋅ PB - PB ⋅ PC = 0 .即 PB ⋅ (P A - PC) = 0,即PB ⋅ CA = 0 则 PB ⊥ CA,同理P A ⊥ BC , PC ⊥ AB所以 P 为 ∆ABC 的垂心. 故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关 知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧 妙结合。
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4． G 是△ABC 所在平面内一点， GA + GB + GC =0 ⇔ 点 G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中 GB + GC = GE连结 BE 和 CE ，则 CE=GB ，BE=GC ⇔ BGCE 为平行四边形 ⇒ D 是 BC的中点，AD 为 BC 边上的中线.将 GB + GC = GE 代入 GA + GB + GC =0， 得 GA + EG =0 ⇒ GA = -GE = -2GD ，故 G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例 5 ． P 是 △ ABC 所 在 平 面 内 任 一 点 .G 是 △ ABC 的 重 心13证明PG = P A + AG = PB + BG = PC + CG ⇒ 3PG = ( AG + BG + CG ) + (P A + PB + PC )∵G 是△ABC 的重心∴ GA + GB + GC =0 ⇒ AG + BG + CG =0，即 3PG = P A + PB + PC 1 3例 6 若 O 为 ∆ABC 内一点， OA + OB + OC = 0 ，则 O 是 ∆ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂 心 D ．重心解析：由 OA + OB + OC = 0 得 OB + OC = -OA ，如图以 OB 、OC 为相邻两边构作平行1四边形，则 OB + OC = OD ，由平行四边形性质知 OE = OD ， OA = 2 OE ，同理2可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D 。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及 三角形重心性AOB EDC质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为 λ = 2 1。
本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查学习参考2x x + x y x y 2 2 2 2 2x C(x 2,y 2)2 Q ∴ A H = (x , y )， = ( 2 - 1 , 2 - y ) 2 2 2 y 2 2 2 2 y 2∴QH = (x - 1 , y - y ) =（2 22y 21... ...例 7 若 O 为 ∆ABC 内一点， OA = OB = OC ，则 O 是 ∆ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 解析：由向量模的定义知 O 到 ∆ABC 的三顶点距离相等。
故 O 是 ∆ABC 的外心 ，选 B 。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8．已知向量 OP ， OP ， OP 满足条件 OP + OP + OP =0，| OP |=| OP |=| OP |=1，1 2 3 1 2 3 1 2 3求证 △P 1P 2P 3 是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五 B 组第 6 题） 证明 由已知 OP + OP =- OP ，两边平方得 OP · OP = - 123121 2，同理 OP · OP = OP · OP = - 1，2331∴| P 1 P 2 |=| P 2 P 3 |=| P 3 P 1 |= 3 ，从而 △P 1P 2P 3 是正三角形.反之，若点 O 是正三角形 △P 1P 2P 3 的中心，则显然有 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |.即 O 是△ABC 所在平面内一点，OP 1 + OP + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 | ⇔ 点 O 是正 △P 1P 2P 3 的中心. 例 9．在△2ABC 中，已知 Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：Q 、G 、H 三点共线，且 QG:GH=1:2。
【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。
设 A(0,0)、B （x 1,0）、 C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为 AB 、BC 、AC 的中点，则有：D （ 1 ,0)、E ( 1 2 , 2 )、F ( 2 , 2 )y由题设可设 （ 1 , y )、H (x , y ) ,3 2 4x + x yG ( 1 2 , 2 )3 32 4 3QFx x yFGHEBC = (x - x , y )212QxAH ⊥ BC∴ A H • BC = x (x - x ) + y y = 02 2 1 2 4∴ y = - x 2 (x 2 - x 1 )4 2QF ⊥ ACx x y ∴QF • AC = x (2 - 1 ) +y ( 2 - y ) = 0 22 3A DB(x 1,0)x (x- x )y ∴ y = 2 2 + 232 x 2x - x3x (x - x ) y 21 , -2 2 1 - 2 )2432学习参考2 - y ) =（3 2 3 6 32y2求证 OG = OH 证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心 ⇔ OG = (OA + OB + OC)由此可得 OG = OH .；CA ＝ O C∴QG = ( . .. . ..x + x x y 2x - x y x (x - x ) y2 1 - 1 , 2 1 , 2 - 2 2 1 - 2 )3 2= ( 2x - x 3x (x - x ) y 1 2x - x 3x (x - x ) y 2 1 , - 2 2 1 - 2 ) = ( 2 1 , - 2 2 1 - 2 )6 6y 6 3 2 2y 22 21= QH 3即QH =3QG ，故 Q 、G 、H 三点共线，且 QG ：GH =1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、 共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。