2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)

3．（2018 全国新课标Ⅰ理）记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和.若 3S3 S2 S4 ，a1 2 ，则 a5 （ ）
A． 12
B． 10 C．10 D．12
3. 答案：B 解答：
3(3a1
32 2
d)
2a1
d
4a1
43d 2
9a1
9d
6a1
7d
3a1
2d
0
6 2d 0 d 3 ，∴ a5 a1 4d 2 4 (3) 10 .
1 ，所以
an
2n1 ，所以
S6
1 (1 26) 1 2
63 .
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三、解答题
1．（2018 北京文）设an 是等差数列，且 a1 ln 2 ， a2 a3 5ln 2 ．
（1）求an 的通项公式；
（2）求 ea1 ea2 L e an ．
1．【答案】（1） n ln 2 ；（2） 2n1 2 ．
即1 1 ，1 d 3 ， 3 2d 5 ， 7 3d 9 ，得 7 d 5 ．
3
2
因此，
d
的取值范围为
7 3
,
5 2
．
（2）由条件知： an b1 n 1 d ， bn b1qn1 ．
若存在 d ，使得 an bn b1（ n 2 ，3， ， m 1）成立，
即 b1 n 1 d b1qn1 b1 （ n 2 ，3， ， m 1），
7 21
11 22
4n 5 2n2
，
错位相减得
bn
b1
14
4n 3 2n2
，
所以 bn
15
4n 3 2n2
.
5．（2018 天津文）设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于 0，其 前 n 项和为 Tn（n∈N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求 Sn 和 Tn； （Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值．
4.答案：（1）
q
2
；（2） bn
15
4n 3 2n2
.
解答：（1）由题可得 a3 a4 a5 28 ， 2(a4 2) a3 a5 ，联立两式可得 a4 8 .
所以
a3
a4
a5
源自文库
8( 1 q
1
q)
28
，可得
q
2
（另一根
1 2
1，舍去）.
（2）由题可得 n 2 时， (bn1 bn )an 2n2 n [2(n 1)2 (n 1)] 4n 1 ，
b₃-b₂，…b201-b200 中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围。
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3．（2018 江苏）设{an} 是首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列，{bn} 是首项为 b1 ，公比为 q 的等比数列． （1）设 a1 0,b1 1, q 2 ，若 | an bn | b1 对 n 1, 2,3, 4 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 a1 b1 0, m N*, q (1, m 2] ，证明：存在 d R ，使得 | an bn | b1 对 n 2,3,, m 1 均成 立，并求 d 的取值范围（用 b1, m, q 表示）．
因此，当
2
n
m
1
时，数列
q
n1 2 n 1
单调递增，
故数列
q
n1 2 n 1
的最大值为
q
m m
2
．
②设 f x 2x 1 x ，当 x 0 时， f x ln 2 1 x ln 2 2x 0 ，
所以 f x 单调递减，从而 f x f 0 1．
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ean 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
ea1 ea2 L ean eln 2 eln 22 L eln 2n =2 22 L 2n =2n1 2 ， ea1 ea2 L ean =2n1 2 ．
2. （2018 上海） 给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意 n N * ，都有 | bn an | 1，则称{bn}与{an} “接近”。
以只需研究 25 an 26 是否有满足条件的解，
此时 Sn 2 11 + 2 2 1 + 2m 1 + 2 22 25 m2 251 2 ，
an+1 2m 1， m 为等差数列项数，且 m 16 ．
由 m2 251 2 12 2m 1 ， m2 24m 50 0 ，m 22 ， n m 5 27 ，
整理得 n2 3n 4 0 ，解得 n 1 （舍），或 n 4 ．所以 n 的值为 4．
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2．【答案】27
【解析】设 an =2k ，
则 Sn 2 1 1 + 2 2 1 + 2 2k1 1 + 2 22 2k
2k1 1 2 2k1 1 2 1 2k
22k 2 2k 1 2 ，
2
12
由 Sn 12an1 得 22k2 2k1 2 12 2k 1 ，2k1 2 20 2k1 14 0 ， 2k1 25 ， k 6 ，所
2018 年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （数列）
一、选择题
1．（2018 北京文、理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个
单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 ．若第一个单音 的频率 f ，则第八个单音频率为（ ）
得满足条件的 n 最小值为 27．
3 （2018 上海）记等差数列an 的前几项和为 Sn，若 a₃ 0，a8 a7 14 ，则
S7=
。
4. （2018 上海）设等比数列{ }的通项公式为 an=qⁿ+1（n∈N*），前 n
项和为
Sn。若
lim
n
Sn an1
1 2
，则
q=____________
3．【答案】（1）
d
的取值范围为
7 3
,
5 2
；
（2）
d
的取值范围为
b1
qm 2
,
b1q
m
，证明见解析．
m
m
【解析】（1）由条件知： an n 1 d ， bn 2n1 ．
因为 an bn b1 对 n 1，2，3，4 均成立，
即 n 1 d 2n1 1对 n 1 ，2，3，4 均成立，
二、填空 1．（2018 北京理）设 an 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 an 的通项公式为__________．
1．【答案】 an 6n 3
【解析】 Q a1 3 ， 3 d 3 4d 36 ， d 6 ，an 3 6n 1 6n 3 ．
2．（2018 江苏）已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} ， B {x | x 2n , n N*} ．将 A B 的所有元素从 小到大依次排列构成一个数列{an} ．记 Sn 为数列{an} 的前 n 项和，则使得 Sn 12an1 成立的 n 的 最小值为 ▲ ．
即当
n
2
，3，
，
m
1 时，
d
满足
qn1 2 n 1
b1
d
q n
n1
1
b1
．
因为 q 1, m 2 ，则1 qn1 qm 2 ，
从而
qn1 2 n 1
b1
0
，
q n 1 n 1
b1
0
，对
n
2
，3，
，
m
1 均成立．
因此，取 d 0 时， an bn b1 对 n 2 ，3， ， m 1均成立．
【解析】（1）设等差数列an 的公差为 d ， Q a2 a3 5ln 2 ，2a1 3d 5ln 2 ， 又 a1 ln2 ， d ln 2 ，an a1 n 1 d n ln 2 ．
（2）由（1）知 an n ln 2 ， Q ean enln 2 eln 2n 2n ，
可得
3a1
13d
16
，从而
a1
1，
d
1 ，故
an
n
，所以，
Sn
nn 1
2
．
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（2）由（1），有 T1 T2 Tn
21 23 2n
2 1 2n n =
1 2
n 2n 1 n 2 ，由
Sn
T1
T2
Tn
an
4bn
可得
nn 1
2
2n1
n
2
n
2n1 ，
（1）设{an}是首项为 1，公比为 的等比数列，bn an1 1，n N * ，判断数列{bn}是 否与 {an } 接近，并说明理由；
（2）设数列{an}的前四项为：a₁=1，a ₂=2，a ₃=4， =8，{bn}是一个与{an}接近的 数列，记集合 M={x|x=bi，i=1,2,3,4},求 M 中元素的个数 m； （3）已知{an}是公差为 d 的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在 b₂-b₁，
A． 3 2 f B． 3 22 f
C． 12 25 f
D． 12 27 f
1．【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为 12 2 ， an 12 2an1 n 2，n N ，
又 a1 f ，则 a8 a1q7 f 12 2 7 12 27 f ，故选 D．
2．（2018 浙江）已知 a1, a2 , a3 , a4 成等比数列，且 a1 a2 a3 a4 ln(a1 a2 a3 ) ．若 a1 1，则（ ）
5．（2018 全国新课标Ⅰ理）记 Sn 为数列 an 的前 n 项和.若 Sn 2an 1 ，则 S6 _____________．
5.答案： 63
解答：依题意，
S S
n 2an 1, n1 2an1
1,
作差得
an1
2an
，所以 {an } 为公比为
2
的等比数列，又因
为 a1
S1
2a1
1，所以 a1
当 n 1 时， (b2 b1)a1 2 1 3 也满足上式，所以 (bn1 bn )an 4n 1， n N ,
而由（1）可得 an
8 2n4
2n1 ，所以 bn1
bn
4n 1 an
4n 1 2n1
，
所以 bn
b1
(b2
b1) (b3
b2 ) (bn
bn1)
3 20
qn
当 2 n m 时，
n qn1
q n 1
n
1
2n
1
1 n
f
1 n
1，
n 1
因此，当
2
n
m
1
时，数列
q n
n1
1
单调递减，
故数列
q n
n1 1
的最小值为
qm m
．
因此，
d
的取值范围为
b1
qm 2
,
b1qm
．
m
m
4．（2018 浙江）已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5 的等差中项．数列 {bn}满足 b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前 n 项和为 2n2+n． （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
5．【答案】（1）
Sn
nn 1
2
， Tn
2n
1 ；（2）4．
【解析】（1）设等比数列 bn 的公比为 q ，由 b1 1 ， b3 b2 2 ，可得 q2 q 2 0 ．
因为 q 0 ，可得 q 2 ，故 bn
2n1 ．所以， Tn
1 2n 1 2
2n
1．
设等差数列 an 的公差为 d ．由 b4 a3 a5 ，可得 a1 3d 4 ．由 b5 a4 2a6 ，
下面讨论数列
q
n1 2 n 1
的最大值和数列
q n
n1 1
的最小值
（ n 2 ，3， ， m 1）．
①当
2
n
m 时，
qn n
2
qn1 2 n 1
nqn
qn nqn1
n n 1
2
n
qn qn1 qn 2
n n 1
，
1
当1 q 2m 时，有 qn qm 2 ，从而 n qn qn1 qn 2 0 ．
A． a1 a3 , a2 a4
B． a1 a3 , a2 a4
C． a1 a3 , a2 a4
D． a1 a3 , a2 a4
2．.答案：B
解答：∵ ln x x 1， ∴ a1 a2 a3 a4 ln(a1 a2 a3) a1 a2 a3 1 ， 得 a4 1，即 a1q3 1 ，∴ q 0 . 若 q 1 ，则 a1 a2 a3 a4 a1(1 q)(1 q2 ) 0 ， a1 a2 a3 a1 (1 q q 2 ) a1 1 ，矛盾. ∴ 1 q 0 ，则 a1 a3 a1(1 q2 ) 0 ， a2 a4 a1q(1 q2 ) 0 . ∴ a1 a3 ， a2 a4 .