n次独立重复试验和二项分布

1．条件概率及其性质
[归纳·知识整合]
条件概率的定义
条件概率的性质
设A、B为两个事件，且
(1)0≤P(B|A)≤1
P(A)>0，称P(B|A)＝
PAB PA
(2)如果B和C是两个互
为在事件A发生条件下，事 斥事件，则P(B∪C|A)
件B发生的条件概率
＝ P(B|A)＋P(C|A)
2.事件的相互独立性 (1)定义：设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)， 则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝ P(B) ，P(A|B)＝ P(A)，P(AB)＝ P(A)P(B) ． ②如果事件A与B相互独立，那么 A与 B ， A 与B ， A 与 B 也相互独立．
P2＝P(A·B·C )＋P(A·B ·C)＋P( A ·B·C)＋P(A·B·C)
＝110×110×25＋110×190×35＋190×110×35＋110×110×35＝55090.
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求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
∴X的分布列为：
X4
3
2
1
0
P 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081
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二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为 n(Ω)＝A25＝20； 根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12； 于是P(A)＝nnΩA＝2102＝35.
(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以
P(AB)＝nnAΩB＝260＝130. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次
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条件概率的求法
(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝
PAB PA
求P(B|A)； (2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A包
含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数
n(AB)，得P(B|A)＝nnAAB.
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因为 P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公 式知 P( D )＝0.4，P( E )＝0.5，P( F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F， D EF，DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为 P＝P(DE F )＋P(D E F)＋P( D EF)＋P(DEF) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.55.
子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( )
A．0.26
B．0.08
C．0.18
D．0.72
解析：P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案：A
4．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为
2 3
，若将此硬
币掷4次，则正面朝上3次的概率是________．
解析：设正面朝上X次，则X～B4，23，
解：(1)设该同学在一次投掷中投中 A 区域的概率为 P(A)，
依题意，P(A)＝14. (2)依题意识，X～B3，14，从而 X 的分布列为：
X0 1 2 3
P
27 64
27 64
9 64
1 64
(3)设 Bi 表示事件“第 i 次击中目标时，击中 B 区域”，Ci 表 示事件“第 i 次击中目标时，击中 C 区域”，i＝1,2,3.依题意
80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是
______．
[自主解答] (1)甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记 为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，
故P(B|A)＝PPAAB＝00..122＝0.6.
(2)记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P(A)＝ 0.7，P(B|A)＝0.95.故P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝ 0.665.
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3．如图，一圆形靶分成A，B，C三部分， 其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶 投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次 投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的． (1)求该同学在一次投掷中投中A区域的概率； (2)设X表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求X 的分布列； (3)若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分， 1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．
知 P＝P(B1C2C3)＋P(C1B2C3)＋P(C1C2B3)＝3×14×12×12＝136.
(2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 又由(1)知 D] E]F、D E F 、D－E －F 是两两互斥事件，且各 盘比赛的结果相互独立． P(ξ＝1)＝P( D E F)＋P( D E F )＋P(D－E －F ) ＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35. 即红队队员获胜 1 盘的概率为 0.35.
P(An)
[探究] 2.二项分布的计算公式和二项式定理的公
式有何联系？ 提示：如果把 p 看成 a,1－p 看成 b，则 Cknpk(1－p)n－
k 就是二项式定理中的通项．
[自测·牛刀小试]
1．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝
1 4
，则P(EF)的值
等于
A．0
1 B.16
1 C.4
条件概率
[例1] (1)甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报
的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同
时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为
()
A．0.6
B．0.7
C．0.8
D．0.66
(2)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品
占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是
P(X＝3)＝C34233131＝3821.
答案：3821
5．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件 下，则他在周六晚上值班的概率为________．
解析：设事件 A 为“周日值班”，事件 B 为“周六值班”， 则PA＝CC1627，P(AB)＝C127，故 P(B|A)＝PPAAB＝16. 答案：16
解析： EF代表E与F同时发生，
() 1 D.2
故P(EF)＝P(E)·P(F)＝116.
答案：B
2．已知P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则P(A)等于 ( )
A.136
B.1136
C.34
D.14
解析：由P(AB)＝P(A)P(B|A)可得P(A)＝34.
答案:C
3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种
独立重复试验与二项分布
[例3] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件， 已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7、 0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的 零件数是乙机床加工的零件数的二倍．
(1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 求至少有一件一等品的概率；
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.了解条件概率和两个事
相互独立事件、n次独立重
件相互独立的概念． 复试验的概率求法是每年高考
2.理解n次独立重复试验 的热点，特别是相互独立事件、
的模型及二项分布，并 n次独立重复试验及二项分布的
能解决一些简单的实际 综合更是高考命题的重中之重，
问题.
如2012年山东T19等.
(3)依题意抽取的4件样品中一等品的个数X的可能取值为
0,1,2,3,4，则
P(X＝4)＝C04×0.74＝0.2401， P(X＝3)＝C14×0.3×0.73＝0.4116， P(X＝2)＝C24×0.32×0.72＝0.2646， P(X＝1)＝C34×0.33×0.7＝0.0756， P(X＝0)＝C44×0.34＝0.0081.
则P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检 验，至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从 中任意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入
手计算．
2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛， 甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙 胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率； (2)求红队队员获胜总盘数为1的概率． 解：(1)设甲胜A为事件D，乙胜B为事件E，丙胜C为事 件F，则 D ， E ， F 分别表示事件甲不胜A、事件乙不胜 B、事件丙不胜C.
1 10
，不堵车的概率为
9 10

；走公
路Ⅱ堵车的概率为
3 5
，不堵车的概率为
2 5
，若甲、乙两辆汽车走
公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三
辆汽车是否堵车相互之间没有影响．
(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；
(2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．
[自主解答] 记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A， “汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B. “汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C. (1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为 P1＝P(A·B )＋P( A ·B)＝110×190＋190×110＝590. (2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，求它是一等品的概率；
(3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求X的分布列．
[自主解答] (1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中 任取一件是一等品分别为事件A，B，C，
[答案] (1)A (2)0.665
在本例2中，条件改为“甲厂产品的合格率是95%， 其中60%为一级品”，求甲厂产品中任选一件为一级品的 概率．
解：设甲厂产品合格为事件A，一级品为事件B，则 甲厂产品中任一件为一级品为AB，
所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝95%×60%＝0.57.
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3 抽到理科题的概率P(B|A)＝PPAAB＝130＝12. 法二：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以5P(B|A)＝nnAAB＝162＝12.
相互独立事件的概率
[例2] 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市
E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路．统
计表明：
汽车走公路Ⅰ堵车的概率为
[探究] 1.“相互独立”和“事件互斥”有何不同？ 提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事 件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的 概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
3．独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事
在相同条件下重 件A发生的次数，设每次试验中事
1．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依 次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概 率． 解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为 事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
定义
复做的n次试验称 为n次独立重复试
件A发生的概率是p，此时称随机变 量X服从二项分布，记作
验
X～B(n，p) ，并称p为 成功概率
_________ Ai(i＝1,2，…，n) 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰 计算 表示第i次试验结 好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Ckn 公式 果，则P(A3…An) pk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n) ＝P(A1)P(A2)…