考点53 曲线与方程(解析版)

考点53 曲线与方程

1．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）P 为圆1C ：22

9x y +=上任意一点，Q 为

圆2C ：22

25x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上

的概率为（ ） A ．

1325

B ．

35

C ．

12

25π

D ．

35π

【答案】B 【解析】

设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入2

2

9x y +=，

得()()22

00229x x y y -+-=，

化简得：22

009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭， 又22

0025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，

故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫

⎪⎝⎭

为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，

即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上， 即应有2

2

2

(14)x y r r +=，

那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为

16153

25255

πππ-==，

故选B.

2．（江西省宜春市2019届高三4月模拟考试数学理）已知点是单位正方体的对角面

上的一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体的侧面相交于、两点，则的面积的最大值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

解：由题意知，MN⊥平面BB1D1D，其轨迹经过B，D1和侧棱AA1，CC1的中点E，F，

如图，设正方体中心为O1,当P点在线段BO1上运动时，MN随BP的增大而线性增大，所以△BMN的面积表达式应是开口向上的二次函数图像递增的一部分; 当P点在线段D1O1上运动时, MN随D1P的增大而线性减小，所以△BMN的面积表达式应是开口向下的二次函数图像递减的一部分.所以当MN与EF重合时，△BMN 的面积取最大值，

此时，BM＝BN，

MN，

S△BMN．

故选：A．

3．（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）在直角坐标平面内，已知，以及动点是的三个顶点，且，则动点的轨迹曲线的离心率是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

∵sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，

∴sinAsinB=2cosAcosB ，即tanAtanB=2，∴，

设C （x ，y ），又A （﹣2，0），B （2，0）， 所以有

，

整理得，∴离心率是

故选A ．

4．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）已知正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为AD 的中点，P 为正方形1111D C B A 内的一个动点（含边界），且5PE ≤，则111PA PB PC ++的最小值为（ ） A ．171- B ．173-

C ．17

D ．171+

【答案】B 【解析】

设11A D 的中点为F ，连接EF 、PF ，则在EFP ∆中，EF FP ⊥，222EP EF FP =+，∴21FP ≤. ∴P 是以F 为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形1111A B C D 内）.

以1A 为原点建系如图所示，则()10,0A ，()12,0B ，()()12,2,F 0,1C ，设P 的坐标为(),x y ，则

()()()111,,2,,2,2PA x y PB x y PC x y =--=--=--,()111 43,23y PA PB PC x ++=--.

()()

22

22

111424323333PA PB PC x y x y ⎛⎫⎛⎫

++=

-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

.

设Q 点的坐标为42,33⎛⎫

⎪⎝⎭

，则()111331PA PB PC PQ QF ++=≥- 173=-.

故选：B

5．（湖南师大附中2019届高三月考试题（七)数学理）已知动圆C 经过点()A 2,0，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

【答案】D 【解析】

设圆心C （x ，y ），弦为BD ，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，则|BE |＝2， ∴|CA |2＝|CB |2＝|CE |2+|BE |2，

∴（x ﹣2）2+y 2＝22+x 2，化为y 2＝4x ． 故选D ．

6．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义

[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：

()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2

设点P 220y +-=上任意一点，则[]1min OP =；

()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；

()

4设点P 是椭圆2

219

x y +=上任意一点，则[]max OP ．

其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134

C ．()()()234

D ．()()()124

【答案】D 【解析】

()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且

()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：