2、数轴上任意两点间的距离公式

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平面直角坐标系中的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修一

平面直角坐标系中的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修一

D.2 7
).
解析:易知两直线之间的距离的最大值为 P,Q 两点间的距离,由两点间的距离公
式得|PQ|= (2+ 1)2 + (-1-3)2=5.故直线 l1 ,l2 之间的距离 d 的取值范围为(0,5],
所以 0<
3 2 1
- 2 - 4
所以当 =
3
,即
2

1
1
,0<S≤
.
4
8
9
m=4时,△ABC 的面积
S 最大.
=
=
-1
,即
4-1
| -3 +2|
,
10
x-3y+2=0.
1.此题要求△ABC面积的最大值,可转化成求点B到直线AC的距离的最大
值.
2.在解题过程中将得到的式子进行转化,利用函数的思想把问题转化成二
|AC|= (4-5)2 + (1-5)2 = 17,
2
2
|BC|= (4-1) + (1-4) = 18,
因为|AB|=|AC|≠|BC|,
所以△ABC 为等腰三角形.
(2)AB 边的中点 M 的坐标为
9
3, 2
,
2
由两点间的距离公式得|CM|= (3-4) +
2
9
-1
2
=
53
.
2
1.对于任意两点,只要给出两点的坐标,就可利用两点间的距离公式求出两
分别对应相等.
2.一般地,与已知直线l的距离为d(d>0)的直线有两条,且都与l平行.求其方
程时,可利用平行直线系方程的设法,设出其方程,再利用两条平行直线间

两点之间的距离公式及中点坐标公式

两点之间的距离公式及中点坐标公式
复习
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图:有序实数对 与点P对 如图:有序实数对( x,y)与点 对 与点 这时( 称为点P的坐标 应,这时 x,y)称为点 的坐标, 这时 称为点 的坐标, 并记为P(x,y),x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标,y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明:取A为坐标原点,AB所在直线为X 证明:取A为坐标原点,AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ,依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A,B,C,D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2

1.1.6+平面直角坐标系中的距离公式课件高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

1.1.6+平面直角坐标系中的距离公式课件高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

B1
x
O
A
C
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、两点间的距离公式
2、平面直角坐标系中两点之间的距离公式:
问题2:在平面直角坐标系中,若两点为 , , , ,如何计算A,B之间
的距离?
y
B
方法二: AB ( x x , y y )
2
1
2
1
A1
平面直角坐标系中两点间的距离公式:
一、两点间的距离公式
2、平面直角坐标系中两点之间的距离公式:
问题3:在平面直角坐标系中,两点为 , , , ,若AB平行于坐标轴,
则A,
y
1 , 1
y
1 , 1
2 , 2
o
x
o
x
2 , 2
= −
= 2 − 1
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
例 1 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是直线 l : y 2 x b 上的两点,若 x2 x1 3 ,求 AB .
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
例 2 如图,已知 ABC 的三个顶点分别为 A(4,3), B(1,2), C (3,4) .
根据点到直线的距离公式,得:
d
Ax1 By1 C2
A2 B 2

C1 C2
A2 B 2
. 即,d
O
C2 C1
A B
2
x
(其中A, B不全为0,且C1 C2)
.
2
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂检测 课堂小结
三、两条平行线间的距离公式

数轴上动点问题(电子蚂蚁)

数轴上动点问题(电子蚂蚁)

h f o一、与数轴上的动点问题相关的基本概念数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。

主要涉及以下几个概念:1.数轴上两点间的距离,即为这两点所对应的坐标差的绝对值d=|a-b|也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。

两点中点公式:线段AB中点坐标=(a+b)÷22.点在数轴上运动时,由于数轴向右的方向为正方向,因此向右运动的速度看作正速度,而向作运动的速度看作负速度。

这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为a—b;向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3.数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

二、数轴上的动点问题基本解题思路和方法:1、表示出题目中动点运动后的坐标(一般用含有时间t的式子表示)。

2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度(一般用含有时间t的式子表示)。

3、根据题目问题中线段的等量关系(一般是和、差关系)列绝对值方程。

4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果。

(解绝对值方程通常用0点分类讨论方法)已知:b是最小的正整数,且a、b满足(c-5)2+|a+b|=0,请回答问题(1)请直接写出a、b、c的值.a=________,b=________,c=________(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为易动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时(即0≤x≤2时),请化简式子:|x+1|-|x-1|+2|x+5|(3)(3)在(1)(2)的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和p个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问:BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.r二、典例分析例1.已知数轴上有A、B、C三点,分别代表—24,—10,10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行,甲的速度为4个单位/秒。

模型39 数轴上动点问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型39 数轴上动点问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

1.数轴(1)数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素:原点,单位长度,正方向.(2)数轴上的点:所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数.)(3)用数轴比较大小:一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大.✮(4)数轴上两点间的距离公式:AB=X B-X A(即:右端点减左端点)✮(5)数轴上中点数公式:=+2(即:中点等于两端点相加除以2)例题精讲【例1】.如图,点A在数轴上表示的数为﹣3,点B表示的数为2,点P在数轴上表示的是整数,点P不与A、B重合,且PA+PB=5,则满足条件的P点表示的整数有___________.解:∵PA+PB=5,∴点P在A,B两点之间,A,B两点之间的整数有﹣2,﹣1,0,1,变式训练【变式1-1】.如图,点O为原点,A、B为数轴上两点,AB=15,且OA=2OB,点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动,当点P开始运动时,点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动,设运动时间为t秒,若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化,则m= 2.5或5.5.解:∵AB=15,OA=2OB,∴AO=AB=10,BO=AB=5,∴A点对应数为﹣10,B点对应数为5,设经过t秒,则AP==,OP=5+4t,BP=5+4t﹣(5+2t)=2t,当t≤15时,3AP+2OP﹣mBP=45﹣3t+10+8t﹣2mt=(5﹣2m)t+55,∴当5﹣2m=0,即m=2.5时,3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化,当t>15时,3AP+2OP﹣mBP=3t﹣45+10+8t﹣2mt=(11﹣2m)t﹣35,∴当11﹣2m=0,即m=5.5时,上式为定值﹣35,也不随t发生改变,故m为2.5或5.5.故答案为:2.5或5.5.【变式1-2】.已知数轴上两点A、B对应的数分别是6,﹣8,M、N、P为数轴上三个动点,点M从A点出发,速度为每秒2个单位,点N从点B出发,速度为M点的3倍,点P 从原点出发,速度为每秒1个单位.(1)若点M向右运动,同时点N向左运动,求多长时间点M与点N相距46个单位?(2)若点M、N、P同时都向右运动,求多长时间点P到点M,N的距离相等?(3)当时间t满足t1<t≤t2时,M、N两点之间,N、P两点之间,M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点,请直接写出t1,t2的值.解:(1)设运动时间为t秒,由题意可得:6+8+2t+6t=46,∴t=4,∴运动4秒,点M与点N相距46个单位;(2)设运动时间为t秒,由题意可知:M点运动到6+2t,N点运动到﹣8+6t,P点运动到t,由t=﹣8+6t可得t=1.6,当t<1.6时,点N在点P左侧,若MP=NP,则t﹣(﹣8+6t)=6+2t﹣t,解得t=(s);当t>1.6时,点N在点P右侧,若MP=NP,则﹣8+6t﹣t=6+2t﹣t,解得t=(s),∴运动s或s时,点P到点M,N的距离相等;(3)由题意可得:M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小,M、N两点距离最大,M、P两点距离最小,可得出M、P两点向右运动,N点向左运动①当t1=4s时,P在4,M在14,N在﹣32,再往前一点,MP之间的距离即包含10个整数点,NP之间有47个整数点;②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动,P点向右运动,若N点移动到﹣33时,此时N、M之间仍为47个整数点,若N点过了﹣33时,此时N、M之间为48个整数点故t2=+4=(s),∴t1,t2的值分别为4s,s.【例2】.如图,周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A,B,C,D,E,F,点A 落在2的位置,将圆在数轴上沿负方向滚动,那么落在数轴上﹣2023的点是点D.解:由图形可知,旋转一周,点B对应的数是1,点C对应的数是0,点D对应的数是﹣1,点E对应的数是﹣2,点F对应的点为﹣3,点A对应的点为﹣4,继续旋转,点B对应的点为﹣5,点C对应的点为﹣6.∵2023÷6=337…1,∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合.故答案为:点D.变式训练【变式2-1】.在数轴上,点A,O,B分别表示﹣15,0,9,点P,Q分别从点A,B同时开始沿数轴正方向运动,点P的速度是每秒4个单位,点Q的速度是每秒1个单位,运动时间为t秒.若点P,Q,O三点在运动过程中,其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点,则运动时间为或或秒.解:由题知,P点对应的数为:﹣15+4t,Q点对应的数为:9+t,(1)当O为PQ中点时,根据题意得15﹣4t=9+t,解得t=,(2)当P是OQ的中点时,根据题意得2(4t﹣15)=9+t,解得t=,(3)当Q是OP的中点时,根据题意得2(9+t)=4t﹣15,解得t=,故答案为:或或.【变式2-2】.如图:在数轴上A点表示数﹣3,B点示数1,C点表示数9.(1)若将数轴折叠,使得A点与C点重合,则点B与数表示的点重合;(2)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动.①若t秒钟过后,A,B,C三点中恰有一点为另外两点的中点,求t值;②当点C在B点右侧时,是否存在常数m,使mBC﹣2AB的值为定值,若存在,求m的值,若不存在,请说明理由.解:(1)AB=9﹣(﹣3)=12,12÷2=6,AB的中点表示的数为:9﹣6=3,3﹣1=2,3+2=5,则点B与5表示的点重合;(2)①由题意可知,t秒时,A点所在的数为:﹣3﹣2t,B点所在的数为:1﹣t,C点所在的数为:9﹣4t,(i)若B为AC中点,则.∴t=1;(ii)若C为AB中点,则,∴t=4;(iii)若A为BC中点,则,∴t=16,∴综上,当t=1或4或16时,A,B,C三点中恰有一点为另外两点的中点;②假设存在.∵C在B右侧,B在A右侧,∴BC=9﹣4t﹣(1﹣t)=8﹣3t,AB=1﹣t﹣(﹣3﹣2t)=4+t,mBC﹣2AB=m(8﹣3t)﹣2(4+t)=8m﹣3mt﹣8﹣2t=8m﹣8﹣(3mt+2t)=8m﹣8﹣(3m+2)t,当3m+2=0即m=时,mBC﹣2AB=8×(﹣)﹣8=﹣为定值,∴存在常数m=﹣,使mBC﹣2AB的值为定值.1.如图,将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1cm),刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点,那么x等于()A.5B.6C.7D.8解:根据数轴可知:﹣3+8=5,故选:A.2.等边△ABC在数轴上的位置如图所示,点A、C对应的数分别为0和﹣1,若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点B所对应的数为1,则连续翻转2021次后,点B()A.对应的数是2019B.对应的数是2020C.对应的数是2021D.不对应任何数解:结合数轴,根据连续翻转可得出从原点开始,向右依次是A、B、C循环排列,2021次后共得出2022个顶点,∵2022÷3=674,∴最后一个点为C,∵最后一个点C是翻转了2021次后得到的,∴点C表示的数为2021,∴点B表示的数为2020,故选:B.3.在解决数学实际问题时,常常用到数形结合思想,比如:|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离,|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离.结合以上知识,下列说法中正确的个数是()①若|x﹣2022|=1,则x=2021或2023;②若|x﹣1|=|x+3|,则x=﹣1;③若x>y,则|x﹣2|>|y﹣2|;④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|=3有无数个解.A.1B.2C.3D.4解:①若|x﹣2022|=1,可得x﹣2022=±1,则则x=2021或2023;所以①说法正确;②若|x﹣1|=|x+3|,几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点,即可得出x=﹣1;所以②说法正确;③当y<x<0时,则|x﹣2|<|y﹣2|,所以③说法不正确;④因为|x+1|+|x﹣2|=3的几何意义是到数轴上表示﹣1的点与表示2的点的距离和等于3的点,即﹣1≤x≤2时满足题意,所以有无数个解,故④说法正确.故选:C.4.数轴上点A表示的数是﹣3,把点A向右移动5个单位,再向左移动7个单位到A′,则A′表示的数是﹣5.解:依题意得:﹣3+5﹣7=﹣5,即则A′表示的数是﹣5.故答案为:﹣5.5.数轴上点A表示﹣8,点B表示6,点C表示12,点D表示18.如图,将数轴在原点O 和点B,C处各折一下,得到一条“折线数轴”.在“折线数轴”上,动点M从点A出发,以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动,从点O运动到点C期间速度变为原来的一半,过点C后继续以原来的速度向终点D运动;点M从点A出发的同时,点N从点D出发,一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动.其中一点到达终点时,两点都停止运动.设运动的时间为t秒,t=4.4时,M、N两点相遇(结果化为小数).解:当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上,即t≥2时,M表示的数是×(t﹣2)=2t﹣4,N表示的数是12﹣3(t﹣2)=18﹣3t,∵M、N两点相遇时,M、N表示的数相同,∴2t﹣4=18﹣3t,解得:t==4.4,故答案为:4.4.6.如图,在一条不完整的数轴上,从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分,点A、B、C对应的数分别是a、b、c,且ab<0.(1)原点在第②部分(填序号);(2)化简式子:|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|;(3)若|c﹣5|+(a+1)2=0,且BC=2AB,求点B表示的数.解:(1)∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c,且ab<0,∴a<0,b>0,∴原点在点A和点B之间,又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分,∴原点在第②部分;故答案为:②(2)∵a<0,b>0,∴a﹣b<0,c>0,∴c﹣a>0,∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|=b﹣a﹣(c﹣a)﹣(﹣a)=b﹣a﹣c+a+a=a+b﹣c;(3)∵|c﹣5|+(a+1)2=0,又∵|c﹣5|≥0,(a+1)2≥0,∴c﹣5=0,a+1=0,∴c=5,a=﹣1,∵B对应的数是b,5>b>﹣1,∴BC=5﹣b,AB=b﹣(﹣1)=b+1,又∵BC=2AB,∴5﹣b=2×(b+1),即3b=3,解得:b=1,∴点B表示的数为1.7.已知b是最小的正整数,且(c﹣5)2与|a+b|互为相反数.(1)填空:a=﹣1,b=1,c=5;(2)若P为一动点,其对应的数为x,点P在0和2表示的点之间运动,即0≤x≤2时,化简:|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|(请写出化简过程);(3)如图,a,b,c在数轴上所对应的点分别为A,B,C,在(1)的条件下,若点A 以1个单位长度/s的速度向左运动,同时,点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动.ts后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问:BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.解:(1)依题意得,b=1,c﹣5=0,a+b=0,解得a=﹣1,c=5.故答案为:﹣1,1,5;(2)点P在0和2表示的点之间运动,即0≤x≤2时,当0≤x≤1时,x+1>0,x﹣1≤0,x+5>0,原式=x+1+x﹣1+2x+10=4x+10;当1<x≤2时,x+1>0,x﹣1>0,x+5>0,原式=x+1﹣x+1+2x+10=2x+12.综上可知,|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|=4x+10或2x+12;(3)不变,理由:t秒后A点表示的数是﹣1﹣t,B点表示的数是1+2t,C的表示的数是5+5t,∵AB=1+2t﹣(﹣1﹣t)=3t+2,BC=5+5t﹣(1+2t)=3t+4,∴BC﹣AB=2,∴BC﹣AB的值不变,是2.8.数轴上有A、B、C三点,如图1,点A、B表示的数分别为m、n(m<n),点C在点B 的右侧,AC﹣AB=2.(1)若m=﹣8,n=2,点D是AC的中点.①则点D表示的数为﹣2.②如图2,线段EF=a(E在F的左侧,a>0),线段EF从A点出发,以1个单位每秒的速度向B点运动(点F不与B点重合),点M是EC的中点,N是BF的中点,在EF 运动过程中,MN的长度始终为1,求a的值;(2)若n﹣m>2,点D是AC的中点,若AD+3BD=4,试求线段AB的长.解:(1)①∵m=﹣8,n=2,∴AB=2﹣(﹣8)=10.∵AC﹣AB=2,∴AC=12,∴点C对应的数字为4,∵点D是AC的中点,∴CD=AC=6,设点D表示的数为x,∴4﹣x=6,∴x=﹣2.∴点D表示的数为﹣2.故答案为:﹣2;②设EF运动的时间为t秒,则点E对应的数字为t﹣8,点F对应的数字为t﹣8+a,∵点M是EC的中点,N是BF的中点,∴点M对应的数字为=,点N对应的数字为=,∵MN=1,∴||=1.解得:a=0或a=4,∵a>0,∴a=4;(2)设点C对应的数字为c,点D对应的是为d,∵点A、B表示的数分别为m、n(m<n),点C在点B的右侧,AC﹣AB=2,∴c=n+2,AB=n﹣m.∵点D是AC的中点,∴d=,∴AD=m=,BD=n﹣=,∵AD+3BD=4,∴=4,解得:n﹣m=3.∴AB=3.9.如图,数轴上点A,B分别表示数a,b,其中a<0,b>0.(1)若a=﹣7,b=3,求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c;(2)该数轴上有另一点D表示数d.①若d=2,点D在点B的左侧,且AB=5BD.求整式2a+8b+2023的值;②若d=﹣2,且AB=5BD,能否求整式2a+8b+2023的值?若能,求出该值;若不能,说明理由.解:(1)∵a=﹣7,b=3,∴线段AB的中点C表示的数c=3﹣×(|﹣7|+3)=3﹣×10=3﹣5=﹣2;(2)①∵d=2,点D在点B的左侧,且AB=5BD,∴AB=b﹣a,BD=b﹣2,∴b﹣a=5(b﹣2),∴a+4b=10,∴2a+8b+2023=2(a+4b)+2023=2×10+2023=2043;②能求出代数式的值,∵d=﹣2,点D在点B的左侧,且AB=5BD,∴AB=b﹣a,BD=b+2,∴b﹣a=5(b+2),∴a+4b=﹣10,∴2a+8b+2023=2(a+4b)+2023=2×(﹣10)+2023=﹣20+2023=2003;10.先阅读,后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值,也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|可以看做|5﹣(﹣2)|,表示5与﹣2的差的绝对值,也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.(1)如图,先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B,再把点A向左移动1.5个单位,得到点C,则点B和点C表示的数分别为﹣4.5和 3.5,B,C两点间的距离是8;(2)若点A表示的整数为x,则当x为﹣2时,|x+6|与|x﹣2|的值相等;(3)要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2.解:(1)4.5的相反数是﹣4.5,即点B表示的数为﹣4.5;点C表示的数为5﹣1.5=3.5;B,C两点间的距离是3.5﹣(﹣4.5)=3.5+4.5=8;故答案为:﹣4.5,3.5,8;(2)∵|x+6|与|x﹣2|的值相等,∴x+6=x﹣2此种情况等式不成立,或x+6=﹣(x﹣2),x=﹣2,∴x=﹣2时,|x+6|与|x﹣2|的值相等;故答案为:﹣2;(3)∵|x+1|+|x﹣2|值最小,∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小,∴数x只能在﹣1与2之间,包括﹣1与2两个端点,∴﹣1≤x≤2.故答案为:﹣1≤x≤2.11.如图,已知点O为数轴的原点,点A、B、C、D在数轴上,其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3.(1)填空:线段AB的长度AB=4;(2)若点A是BC的中点,点D在点A的右侧,且OD=AC,点P在线段CD上运动.问:该数轴上是否存在一条线段,当P点在这条线段上运动时,PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化?(3)若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动,同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动,M、N分点别是PE、OF的中点.点P、E、F的运动过程中,的值是否发生变化?请说明理由.解:(1)∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3,∴OA=1,OB=3,∴AB=OA+OB=4.故答案为:4;(2)数轴上存在一条线段,当P点在这条线段上运动时,PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化.理由:A、B两点对应的数分别为﹣1、3,∴OA=1,OB=3,∵点A是BC的中点,∴AC=AB=4.∴OC=AC+OA=5,∴C点对应的数为﹣5.又∵OD=AC,点D在点A的右侧,∴D点对应的数为4.设P点对应的数为x,①P点在射线CA上时,PA=﹣1﹣x,PB=3﹣x,∴PA+PB=﹣1﹣x+(3﹣x)=2﹣2x,∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化;②P点在线段AB上时,PA=x﹣(﹣1)=x+1,PB=3﹣x,∴PA+PB=x+1+(3﹣x)=4,∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化;③P点在射线BD上时,PA=x﹣(﹣1)=x+1,PB=x﹣3,∴PA+PB=x+1+(x﹣3)=2x﹣2,∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化.综上,P点在线段AB上时,PA+PB的值没有发生变化,∴数轴上存在一条线段,当P点在这条线段上运动时,PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化;(3)在运动过程中,的值不发生变化.理由:设运动时间为t 分钟,则OP =t ,OE =5t +1,OF =20t +3,∴EF =OE +OF =25t +4,∵M 、N 分别是PE 、OF 的中点,∴EM =PM =PE =(OP +OE )=3t +,ON =OF =10t +,∴OM =OE ﹣EM =5t +1﹣(3t +)=2t +,∴MN =OM +ON =12t +2,∴.∴在运动过程中,的值不发生变化.12.如图,在数轴上,点O 表示原点,点A 表示的数为﹣1,对于数轴上任意一点P (不与点A 点O 重合),线段PO 与线段PA 的长度之比记作k (p ),即,我们称k (p )为点P 的特征值,例如:点P 表示的数为1,因为PO =1,PA =2,所以.(1)当点P 为AO 的中点时,则k (p )=1;(2)若k (p )=2,求点P 表示的数;(3)若点P 表示的数为p ,且满足p =2n ﹣1,(其中n 为正整数,且1≤n ≤7),求所有满足条件的k (p )的和.解:(1)由题意可知,当点P 为AO 的中点时点P 表示的数为,,∴,故答案为:1;(2)设点P 表示的数为x ,则PO =|x |,PA =|x ﹣(﹣1)|=|x +1|,∵k (p )=2,∴,即PO =2PA ,∴|x|=2|x+1|,∴x=2(x+1)或x=﹣2(x+1),解得:x=﹣2或;故:点P表示的数﹣2或;(3)点P表示的数为p,且满足p=2n﹣1,(其中n为正整数,且1≤n≤7),p=2n﹣1>0,此时:PO=p,PA=p﹣(﹣1)=p+1,当p=2n﹣1时∵1≤n≤7,且n为正整数,则所有满足条件的k的值分别为:(p),故所有满足条件的k的和为:=(p),令,则,②﹣①得:,∴==.13.把一根小木排放在数轴上,木棒左端点与点A重合,右端点与点B重合,数轴的单位长度为1cm,如图所示.(1)若将木棒沿数轴向右移动,当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20;若将木棒沿数轴向左移动时,当它的右端点移动到点A处时,木棒左端点在数轴上对应的数为5,由此可得木棒的长为5cm;我们把这个模型记为“木捧摸型”;(2)在(1)的条件下,已知点C表示的数为﹣2.若木棒在移动过程中,当木棒的左端点与点C相距3cm时,求木棒的右端点与点A的距离;(3)请根据(1)的“木棒模型”解决下列问题.某一天,小字问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在那么大,你还要41年才出生;你若是我现在这么大,我就有124岁了,世界级老寿星了,哈哈!”请你画出“木棒模型”示意图,求出爷爷现在的年龄.解:(1)由图观察可知,三根木棒长是20﹣5=15(cm),则此木棒长为:15÷3=5(cm);故答案为:5cm;(2)由题可知,点A所表示的数是5+5=10,∵木棒的左端点与点C相距3cm,点C表示的数为﹣2,当左端点在点C右侧3cm时,此时木棒左端点表示的数为:﹣2+3=1,右端点表示的数为;1+5=6,木棒的右端点与A的距离为:10﹣6=4,当左端点在点C左侧3cm时,此时木棒左端点表示的数为:﹣2﹣3=﹣5,木棒的右端点表示的数为:﹣5+5=0,木棒的右端点与点A的距离=10﹣0=10,∴木棒的右端点与点A的距离为4或10;(3)由图可知,把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB,类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时,此时A点所对应的数位﹣41,因为当A点移动到B点时,此时B点所对应的数为124,所以爷爷比小红大[124﹣(﹣41)]÷3=55(岁),所以爷爷的年龄为124﹣55=69(岁),答:爷爷现在的年龄是69岁.14.对于数轴上的A,B,C三点,给出如下定义:若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系,则称该点是其它两个点的“联盟点”.例如:数轴上点A,B,C 所表示的数分别为1,3,4,此时点B是点A,C的“联盟点”.(1)若点A表示数﹣1,点B表示的数2,下列各数:,0,1,4,5所对应的点分别为C1,C2,C3,C4,C5,其中是点A,B的“联盟点”的是C2,C3,C5;(2)点A表示的数是﹣1,点B表示的数是3,P是数轴上的一个动点:①若点P在线段AB上,且点P是点A,B的“联盟点”,求此时点P表示的数;②若点P在点A的左侧,点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”,求出此时点P表示的数.解:(1)∵AC1═﹣﹣(﹣1)═,BC1═2﹣(﹣)═,∴2AC1≠BC1,∴C1不是A,B的“联盟点”.∵AC2═0﹣(﹣1)═1,BC2=2﹣0=2,∴2AC2═BC2,∴C2是A,B的“联盟点”.∵AC3═1﹣(﹣1)=2,BC3═2﹣1=1,∴AC3═2BC3,∴C3是A,B的“联盟点”.∵AC4═4﹣(﹣1)=5,BC4═4﹣2=2,∴AC4≠BC4,∴C4不是A,B的“联盟点”.∵AC5═5﹣(﹣1)=6,BC5═5﹣2=3,∴AC5═2BC5,∴C5是A,B的“联盟点”.综合上述,是点A,B的“联盟点”的是C2,C3,C5.(2)解;设点P表示的数为x,①∵P在线段AB上,∴AP=x+1,BP=3﹣x,当AP=2BP时,有x+1=2(3﹣x),解得x=,当BP=2AP时,有3﹣x=2(x+1),解得x=,综上所述,点P表示的数为,.②由题意得,AB=4,∵P在A的左侧,∴AP=﹣1﹣x,BP=3﹣x,当点A为B,P的“联盟点”时,若AB=2AP,则有4=2(﹣1﹣x),解得x=﹣3,若AP=2AB,则有﹣1﹣x=2×4,解得x=﹣9,当点B为A,P的“联盟点”时,2AB=BP,则有2×4=3﹣x,解得x=﹣5,当点P为A,B的“联盟点”时,BP=2PA,则有3﹣x=2(﹣1﹣x),解得x=﹣5,综上所述,P表示的数为﹣9,﹣3,﹣5.15.如图,点A,O,B,D在同一条直线l上,点B在点A的右侧,AB=6,OB=2,点C 是AB的中点,如图画数轴.(1)若点O是数轴的原点,则点B表示的数是2,点C表示的数是﹣1;(2)若点O是数轴的原点时,D点表示的数为x,且AD=5,求x;(3)若点D是数轴的原点,点D在点A的左侧,点A表示的数为m,且A,B,C,O 所表示的数之和等于21,求m;(4)当O是数轴的原点,动点E,F分别从A,B出发,相向而行,点E的运动速度是每秒2个单位长度,点F的运动速度是每秒1个单位长度,当EF=3时,求点A,B,E,F表示的数之和.解;(1)点B在点A的右侧,OB=2,∴点B表示的数是﹣2,故答案为:2;AB=6,点C是AB的中点,∴BC=3,∴点C表示的数是2﹣3=﹣1,故答案为:﹣1;(2)AB=6,点B在点A的右侧,点A表示的数是﹣4,AD=|﹣4﹣x|=5,x=1或x=﹣9;(3)若点D是数轴的原点,点D在点A的左侧,点A表示的数为m,∵AB=6,C是AB的中点,OB=2,∴AC=3,AO=4,∴点O表示的数是m+4,点C表示的数是m+3,点B表示的数是m+6,m+(m+6)+(m+3)+(m+4)=21,解得m=2;(4)设运动时间为t,据题意得:6﹣2t﹣t=3,解得t=1,AE=2,BF=1,点E表示的数是﹣2,点F表示的数是1,点A,B,E,F表示的数之和为:﹣4+2+(﹣2)+1=﹣3,16.如图,在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数c,a,c满足|a+4|+(c﹣2)2=0,b是最大的负整数.(1)a=﹣4,b=﹣1,c=2.(2)若将数轴折叠,使得点A与点C重合,则点B与数﹣1表示的点重合;(3)点A,B,C开始在数轴上运动,若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动,同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动,点C到达原点后立即以原速度向右运动,运动时间为t秒,若点A与点B之间的距离表示为AB,点B与点C之间的距离表示为BC,请问:5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求出5AB﹣BC的值.解:(1)∵|a+4|+(c﹣2)2=0,b是最大的负整数,a=﹣4,b=﹣1,c=2,故答案为:﹣4,﹣1,2;(2)AB=﹣1﹣(﹣4)=3,AC=2﹣(﹣4)=6,点B为AC的中点,故将数轴折叠,使得点A与点C重合,则点B与自身重合,故答案为:﹣1;(3)AB=3+0.4t=0.3t=3+0.1t,当C运动到原点时,t=2÷0.2=10(秒),点B运动到点A的位置,当t≤10秒时,BC=3+0.3t﹣0.2t=3+0.1t,5AB﹣B=5(3+0.1t)﹣(3+0.1t)=15+0.5t﹣3﹣0.1t=12+0.4t,5AB﹣BC的值随时间的变化而变化;当t>10时,BC=4+0.3t+0.2t=4+0.5t,5AB﹣BC=5(3+0.1t)﹣(4+0.5t)=15+0.5t﹣4﹣0.5t=11.这时5AB﹣BC的值不变.17.定义:对于数轴上的三点,若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系.如下图,数轴上点A,B,C所表示的数分别为1,3,4,此时点B就是点A,C的一个“关联点”.(1)写出点A,C的其他三个“关联点”所表示的数:﹣2、2、7.(2)若点M表示数﹣2,点N表示数4,数﹣8,﹣6,0,2,10所对应的点分别是C1,C2,C3,C4,C5,其中不是点M,N的“关联点”是点C2.(3)若点M表示的数是﹣3,点N表示的数是10,点P为数轴上的一个动点.①若点P在点N左侧,且点P是点M,N的“关联点”,求此时点P表示的数.②若点P在点N右侧,且点P,M,N中,有一个点恰好是另外两个点的“关联点”,求此时点P表示的数.解:(1)2﹣1=1,4﹣2=2,2是A,C的一个“关联点”,设x是A,C的一个“关联点”,x﹣1=2(x﹣4)解得x=7,设y是A,C的一个“关联点”,2(1﹣y)=4﹣y解得y=﹣2,A,C的其他三个“关联点”所表示的数为:﹣2、2、7,故答案为:﹣2、2、7,(2)∵﹣2﹣(﹣8)=6,4﹣(﹣8)=12,∴C1是关联点,∵﹣2﹣(﹣6)=4,4﹣(﹣6)=10,∴C2不是关联点,∵0﹣(﹣2)=2,4﹣0=4,∴C3是关联点,∵2﹣(﹣2)=4,4﹣2=2,∴C4是关联点,∵10﹣(﹣2)=12,10﹣4=6,∴C5是关联点,故答案为:C2.(3)①若点P在点N左侧且在M的右侧,设点P表示的数为x,当2(x+3)=10﹣x解得,当x+3=2(10﹣x)解得,若点P在M点左侧,设点P表示的数为x,∴2(﹣3﹣x)=10﹣x解得x=﹣16,综上所述:P表示的数为:;②若点P在点N右侧,设点P表示的数为x,当PN=2MN时,则2×13=x﹣10解得x=36,当MN=2PN时,则13=2×(x﹣10)解得,当MP=2MN时,则x+3=2×13解得x=23,当MP=2PN时,则x+3=2×(x﹣10)解得x=23,综上所述:P表示的数为:,23.36.18.[知识背景]:数轴上,点A,点B表示的数为a,b,则A,B两点的距离表示为AB=|a﹣b|.线段AB的中点P表示的数为.[知识运用]:已知数轴上A,B两点对应的数分别为a和b,且(a﹣4)2+|b﹣2|=0,P 为数轴上一动点,对应的数为x.(1)a=4,b=2;(2)若点P为线段AB的中点,则P点对应的数x为3,若点B为线段AP的中点,则P点对应的数x为0;(3)若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动,点A的速度为每秒1个单位长度,点B的速度为每秒3个单位长度,则经过122秒点B追上点A;(4)若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动,它们的速度都为每秒1个单位长度,与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动.经过多长时间后,点A、点B、点P三点中,其中一点是另外两点组成的线段的中点?解:(1)∵(a﹣4)2+|b﹣2|=0,∴a﹣4=0,b﹣2=0,∴a=4,b=2.故答案为4、2.(2)点A,B表示的数分别为4,2,P对应数为x,若点P为线段AB的中点,则P点对应的数x==3,若B为线段AP的中点时,则=2,解得x=0.故答案为1,0;(3)解:设经过x秒点B追上点A,(3﹣1)x=4﹣2,2x=2,x=1,答:经过1秒点B追上点A.(4)经过t秒后,点A,点B,点P三点中其中一点是另外两点的中点,t秒后,点A的位置为:4﹣t,点B的位置为:2﹣t,点P的位置为:﹣16+2t,当点A为PB的中点时,则有,2×(4﹣t)=2﹣t﹣16+2t,解得:t=,当点B为PA的中点时,则有,2×(2﹣t)=4﹣t﹣16+2t,解得:t=,当点P为BA的中点时,则有,2×(﹣16+2t)=4﹣t+2﹣t,解得:t=,答:经过秒,秒,秒后,点A,点B,点P三点中其中一点是另外两点的中点.故答案为:秒,秒,秒.19.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:(1)探究:①数轴上表示5和3的两点之间的距离是2.②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是3.③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是8.(2)归纳:一般的,数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|.(3)应用:①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间,则|a+4|+|a﹣3|的值=7.②若a表示数轴上的一个有理数,且|a﹣1|=|a+3|,则a=﹣1.③若a表示数轴上的一个有理数,|a﹣1|+|a+2|的最小值是3.④若a表示数轴上的一个有理数,且|a+3|+|a﹣5|>8,则有理数a的取值范围是a>5或a<﹣3.(4)拓展:已知,如图2,A、B分别为数轴上的两点,A点对应的数为﹣20,B点对应的数为100.若当电子蚂蚁P从A点出发,以4个单位/秒的速度向右运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发,以3单位/秒的速度向左运动,求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度,并写出此时点P所表示的数.解:(1)①5﹣3=2,故答案为:2;②(﹣1)﹣(﹣4)=3,故答案为:3;③5﹣(﹣3)=8,故答案为:8;(2)根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|,故答案为:|a﹣b|;(3)①∵表示数a的点位于﹣4与3之间,∴|a+4|+|a﹣3|=a+4+3﹣a=7,故答案为:7;②∵|a﹣1|=|a+3|∴表示数a的点在1和﹣3之间,∴|a﹣1|=|a+3|,1﹣a=a+3,a=﹣1,故答案为:﹣1;③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值,∴表示a的点在﹣2与1之间,∴|a﹣1|+|a+2|=1﹣a+a+2=3,故答案为:3;④|a+3|+|a﹣5|>8,当﹣3<a<5时,|a+3|+|a﹣5|=a+3+5﹣a=8,不合题意舍去;当a<﹣3时,|a+3|+|a﹣5|=﹣(a+3)+5﹣a>8,a<﹣3;当a>5时,|a+3|+|a﹣5|>8,a+3+a﹣5>8,a>5,故答案为:a<﹣3或a>5;(4)设电子蚂蚁运动x秒时,P、Q相距20个单位长度,①4x+3x+20=20+100,x=,点P表示的是4×﹣20=②4x+3x﹣20=20+100,x=20,点P表示的是4×20﹣20=60,20.将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到如图所示的“折线数轴”,图中点A表示﹣10,点B表示10,点C表示18.我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度.动点P从点A出发,以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动.当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半.经过点B后立刻恢复原速;同时,动点Q从点C出发,以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动,当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍,经过O后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒.(1)动点P从点A运动至点C需要19秒,动点Q从点C运动至点A需要23秒;(2)P,Q两点相遇时,求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数;(3)是否存在t值,使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B 在“折线数轴”上的“友好距离”?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.解:(1)∵点A表示﹣10,点B表示10,点C表示18,∴OA=10,BO=10,BC=8,∴动点P从点A运动至点C需要的时间是:10÷2+10÷1+8÷2=19(s),动点Q从点C运动至点A需要的时间是:10÷1+10÷2+8÷1=23(s),故答案为:19,23;(2)根据题意可知,P、Q两点在OB上相遇,P点运动到OB上时表示的数是t﹣5,Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2(t﹣8),∴t﹣5=10﹣2(t﹣8),解得t=,∴M点表示的数是﹣5=;(3)存在t值,使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”,理由如下:∵点A表示﹣10,点B表示10,∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20,①当0≤t≤5时,P点在OA上,Q点在BC上,此时P点表示的数是﹣10+2t,Q点表示的数是18﹣t,∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t=28﹣3t,由题意可得,28﹣3t=20,解得t=;②当5<t≤8时,P点在OB上,Q点在OC上,此时P点表示的数是t﹣5,Q点表示的数是18﹣t,∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5=23﹣2t,由题意可得,23﹣2t=20,解得t=(舍);③8<t≤13时,点P、Q都在BO上,此时PQ<10,∴此情况不符合题意;④13<t≤15时,P点在OB上,Q点在OA上,此时P点表示的数是t﹣5,Q点表示的数是t﹣13,∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+t﹣13=2t﹣18,由题意可得,2t﹣18=20,解得t=19(舍);⑤15<t≤19时,P点在BC上,Q点在OA上,此时P点表示的数是2t﹣20,Q点表示的数是t﹣13,∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20=3t﹣33,由题意可得,3t﹣33=20,解得t=;⑥19<t≤23时,P点在C的右侧,Q点在OA上,此时P点表示的数是2t﹣20,Q点表示的数是t﹣13,∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20=3t﹣33,由题意可得,3t﹣33=20,解得t=(舍);⑦t>23时,P点在C点右侧,Q点在A点左侧,PQ>20,不符合题意;综上所述:t的值为或.21.在数轴上,点M,N对应的数分别是m,n(m≠n,mn≠0),P为线段MN的中点,同时给出如下定义:如果=10,那么称M是N的“努力点”.例如:m=1,n=,M是N的“努力点”.(1)若|m﹣10|+(n+90)2=0则m=10,n=﹣90;(2)在(1)的条件下,下列说法正确的是③(填序号);①M是P的“努力点”;②M是N的“努力点”③N是M的“努力点”;④N是P的“努力点”(3)若mn<0,且P是M,N其中一点的“努力点”,求值?解:(1)∵|m﹣10|+(n+90)2=0,∴m=10,n=﹣90,故答案为:10,﹣90;(2)∵m=10,n=﹣90,∴P点对应的数是﹣40,∵||=,∴M不是P的“努力点”,故①不符合题意;∵m=10,n=﹣90,∴||=,∴M不是N的“努力点”,故②不符合题意;∵||=10,∴N是M的“努力点”,故③符合题意;∵||=,∴N是P的“努力点”,故④不符合题意;故答案为:③;(3)∵P为线段MN的中点,∴P点对应的数为,当P是M点的“努力点”时,||=10,∴=21或=﹣19,∵mn<0,∴=﹣;当P是N点的“努力点”时,||=10,∴=21或=﹣19,∵mn<0,∴=﹣19;综上所述:的值为﹣19或﹣.22.在数轴上,O为原点,点A,B对应的数分别是a,b(a≠b,ab≠0),M为线段AB的中点.给出如下定义:若OA÷OB=4,则称A是B的“正比点”;若OA×OB=4,则称A是B的“反比点”.例如a=2,时,A是B的“正比点”;a=2,b=﹣2时,A是B的“反比点”.(1)若|a+2|+(b﹣4)2=0,则M对应的数为1,下列说法正确的是③④(填序号).。

高中数学北师大版必修2 课件:平面直角坐标系中的距离公式

高中数学北师大版必修2 课件:平面直角坐标系中的距离公式

方法归纳 1.计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),则|P1P2|= x2-x12+y2-y12. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离 公式的特殊情况求解. 2.解答本题还要注意构成三角形的条件.
跟踪训练 1 (1)已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|= 2 5,则实数m=________; (2)设A(3,4),在x轴上有一点P,使得|PA|=5,则P点坐标为 ________.
|自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l:Ax+By+C1=0到l2:Ax+By+C2=0的距离是|C1- C2|.( × ) (2)点到直线的距离公式不适用于点在直线上的情形.( × ) |C| (3)原点到直线Ax+By+C=0的距离公式是 2 2.( √ ) A +B (4)求平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公 式.( √ )
【课标要求】 1.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求 两平行线间的距离. 2.会根据图形建立适当的平面直角坐标系, 并用解析法 解析几何问题.
自主学习 |新知预习|
基础认识
1.两点间的距离公式 类别 图示 数轴上两点 间的距离公 式 平面内两点 间的距离公 式
公式 |AB|=|xB-xA|
3 1 【解析】 (1)①直线y= 4 x+ 4 化为一般式为3x-4y+1=0, |3×3-4×-2+1| 18 由点到直线的距离公式可得d= =5. 2 2 3 +-4 ②因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6| =8. ③因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1. (2)因为所求直线方程过点A(-1,2),且斜率存在,所以设直线 方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,又原点到直线的距离等 |k+2| 2 2 于 2 ,所以 2 = 2 ,解得k=-7或k=-1. k +1 故直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.

高中数学概念、公式整理

高中数学概念、公式整理

高中数学概念、公式整理一、 函数1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n 2,所有非空真子集的个数是22-n 。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=,顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422,。

用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(一般式)c bx ax x f ++=2)(,(零点式))()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()( (顶点式)。

2、 幂函数nmx y = ,当n 为正奇数,m 为正偶数,m<n 时,其大致图象是3、 函数652+-=x x y 的大致图象是由图象知,函数的值域是)0[∞+,,单调递增区间是)3[]5.22[∞+,和,,单调递减区间是]35.2[]2(,和,-∞。

二、 三角函数1、 以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则sin α=ry,cos α=r x ,tg α=xy,ctg α=y x ,sec α=x r ,csc α=y r 。

2、同角三角函数的关系中,平方关系是:1cos sin22=+αα,αα22sec 1=+tg ,αα22csc 1=+ctg ;倒数关系是:1=⋅ααctg tg ,1csc sin =⋅αα,1sec cos =⋅αα;相除关系是:αααcos sin =tg ,αααsin cos =ctg 。

3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。

如:=-)23sin(απαcos -,)215(απ-ctg =αtg ,=-)3(απtg αtg -。

4、 函数B x A y ++=)sin(ϕω),(其中00>>ωA 的最大值是B A +,最小值是A B -,周期是ωπ2=T ,频率是πω2=f ,相位是ϕω+x ,初相是ϕ;其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω,凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

2017-2018学年高中数学北师大必修2课件:第二章 §1 1.5 第一课时 两点间的距离公式

2017-2018学年高中数学北师大必修2课件:第二章 §1 1.5 第一课时 两点间的距离公式
-1-02+0+m2 2= 1+m42(m≠0). [答案] (1)D (2) 1+m42(m≠0)
使用两点间距离公式要注意结构特点,公式与两点 的先后顺序无关,使用于任意两点P1(x1,y1),P2(x2, y2),但对于特殊情况结合图形求解会更便捷.
[活学活用] 已知点A(-1,2),B(2, 7),在x轴上求一点P,使|PA| =|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x,0),于是由|PA|=|PB|得
[解] 法一:∵|AB|= 3+32+-3-12=2 13, |AC|= 1+32+7-12=2 13, 又|BC|= 1-32+7+32=2 26, ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形.
法二:∵kAC=1-7--13=32,kAB=3--3--13=-23, 则kAC ·kAB=-1, ∴AC⊥AB. 又|AC|= 1+32+7-12=2 13, |AB|= 3+32+-3-12=2 13, ∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.
解析法证明几何问题的步骤 (1)建立适当的坐标系,用坐标表示几何条件; (2)进行有关的代数运算; (3)把代数运算结果“翻译”成几何关系. 另外,如果题目中没有坐标系,则需要先建立坐标 系.建立坐标系的原则是:尽量利用图形中的对称关系.
[活学活用] 已知AO是△ABC的边BC的中线.求证:|AB|2+|AC|2= 2(|AO|2+|OC|2). 证明:以O点为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系, 设B(-a,0),C(a,0),A(x,y), 由两点间距离公式得 |AB|2=(x+a)2+y2,|AC|2=(x-a)2+y2, ∴|AB|2+|AC|2=2x2+2y2+2a2, |AO|2=x2+y2,|OC|2=a2, |AO|2+|OC|2=x2+y2+a2, ∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

高中文科数学公式总结大全

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高中文科数学公式总结大全高中文科数学相对理科数学来说是比较简单的,但是其中的公式还是有许多。

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高中文科数学公式总结大全一、对数函数log.a(MN)=logaM+logNloga(M/N)=logaM-logaNlogaM^n=nlogaM(n=R)logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1)二、简单几何体的面积与体积S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高)S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半)设正棱台上、下底面的周长分别为c′,c,斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*hS圆柱侧=c*lS圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*lS圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*lS球=4*兀*R^3V柱体=S*hV锥体=(1/3)*S*hV球=(4/3)*兀*R^3三、两直线的位置关系及距离公式(1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1|(2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式|AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2](3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=|Ax0+By0+C|/sqr(A^2+B^2)(4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1-C2|/sqr(A^2+B^2)同角三角函数的基本关系及诱导公式sin(2*k*兀+a)=sin(a)cos(2*k*兀+a)=cosatan(2*兀+a)=tanasin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tanasin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tanasin(兀+a)=-sinasin(兀-a)=sinacos(兀+a)=-cosacos(兀-a)=-cosatan(兀+a)=tana四、二倍角公式及其变形使用1、二倍角公式sin2a=2*sina*cosacos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2]2、二倍角公式的变形(cosa)^2=(1+cos2a)/2(sina)^2=(1-cos2a)/2tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina五、正弦定理和余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bccosAb^2=a^2+c^2-2accosBc^2=a^2+b^2-2abcosCcosA=(b^2+c^2-a^2)/2bccosB=(a^2+c^2-b^2)/2accosC=(a^2+b^2-c^2)/2abtan(兀-a)=-tanasin(兀/2+a)=cosasin(兀/2-a)=cosacos(兀/2+a)=-sinacos(兀/2-a)=sinatan(兀/2+a)=-cotatan(兀/2-a)=cota(sina)^2+(cosa)^2=1sina/cosa=tana两角和与差的余弦公式cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinbcos(a-b)=cosa*cosb-sina*sinb两角和与差的正弦公式sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinbsin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb两角和与差的正切公式tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)高中数学知识点速记口诀1.《集合与函数》内容子交并补集,还有幂指对函数。

2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式练习(含解析)北师大版必修2

2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式练习(含解析)北师大版必修2

1.5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上:一般地,数轴上两点A ,B 对应的实数分别是x A ,x B ,则|AB |=|x B -x A |. (2)平面直角坐标系中:一般地,若两点A ,B 对应的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=x 2-x 12+y 2-y 12. 2.点到直线的距离点P (x 0,y 0)到直线Ax +By +C =0的距离记为d ,则d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B2. 3.两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0,两条直线间的距离记为d ,即d =|C 2-C 1|A 2+B2.判一判1.原点O 到点P (x ,y )的距离为|OP |=x 2+y 2.(√) 23.平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式.(√)4.直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0的距离是|C 1-C 2|.(×)5.原点到直线Ax +By +C =0的距离公式是|C |A 2+B2.(√)6.平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值.(√) 7.连接两条平行直线上两点,即得两平行线间的距离.(×)8想一想1. 提示:点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式.2.两条平行直线间的距离公式写成d =|C 1-C 2|A 2+B 2时对两条直线应有什么要求?提示:两条平行直线的方程都是一般式,并且x ,y 的系数分别对应相等. 3.两条平行直线间距离有哪几种求法? 提示:(1)直接利用两平行线间的距离公式.(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点,如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点).(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时,可利用数形结合来解决. ①当两直线都与x 轴垂直时,l 1:x =x 1,l 2:x =x 2,则d =|x 2-x 1|; ②当两直线都与y 轴垂直时,l 1:y =y 1,l 2:y =y 2,则d =|y 2-y 1|. 4.距离公式综合应用的常见类型有哪些? 提示:(1)最值问题.①利用对称转化为两点之间的距离问题.②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值. (2)求参数问题.利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求值. (3)求方程的问题.立足确定直线的几何要素——点和方向,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系),巧设直线方程,在此基础上借助三种距离公式求解.思考感悟:练一练1.已知A (3,7),B A .5 B. 5 C .3 D .29 答案:B2.已知直线上两点A (a ,b ),B (c ,d ),且a 2+b 2-c 2+d 2=0,则( ) A .原点一定是线段AB 的中点 B .A ,B 一定都与原点重合C .原点一定在线段AB 上,但不是线段AB 的中点D .原点一定在线段AB 的垂直平分线上 答案:D3.点(1,-1)到直线x -y +1=0的距离是( )A .3 2 B.22C .3 D.322答案:D4.点(5,-3)到直线x +2=0的距离等于( ) A .7 B .5 C .3 D .2 答案:A5.直线l 1:x +y =0与直线l 2:2x +2y +1=0间的距离是________.答案:24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2,m )与点B (m,1)间的距离是13,则实数m =( )A .-1B .4C .-1或4D .-4或1 解析:∵|AB |=m -22+1-m 2=13,∴m 2-3m -4=0,解得m =-1或m =4. 答案:C2.已知点A (2,1),B (-2,3),C (0,1),则△ABC 中,BC 边上的中线长为________. 解析:BC 中点为(-1,2),所以BC 边上中线长为2+12+1-22=10. 答案:10知识点二 求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x -y +1=0的距离为1,则a 的值为( ) A .1 B .-1 C. 2 D .± 2解析:由题意,得|a -1+1|12+-12=1,即|a |=2, 所以a =± 2.故选D. 答案:D4.点P (x ,y )在直线x +y -4=0上,O 是原点,则|OP |的最小值是( ) A.10 B .2 2 C. 6 D .2解析:由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x +y -4=0的距离d =|-4|2=2 2.知识点三 两条平行直线间的距离5.12b +c 等于( )A .-12B .48C .36D .-12或48解析:将l 1:3x +4y +5=0改写为6x +8y +10=0, 因为两条直线平行,所以b =8. 由|10-c |62+82=3,解得c =-20或c =40.所以b +c =-12或48.故选D. 答案:D6.已知直线3x +2y -3=0和6x +my +1=0互相平行,则它们之间的距离是( )A .4 B.21313C.51326 D.71326解析:由两直线平行可知36=2m ≠-31,故m =4.又方程6x +4y +1=0可化简为3x +2y +12=0,∴平行线间的距离为|12--3|22+32=71326.故选D. 答案:D知识点四 对称问题7.直线y =3xA .y =3x -10B .y =3x -18C .y =3x +4D .y =4x +3解析:在直线上任取两点A (1,-1),B (0,-4),则其关于点P 的对称点A ′,B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3,-1),B ′(4,2),由两点式可求得方程为y =3x -10.答案:A8.直线2x +3y -6=0关于点(1,-1)对称的直线的方程是( ) A .3x -2y +2=0 B .2x +3y +7=0 C .3x -2y -12=0 D .2x +3y +8=0解析:由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x +3y -6=0平行,则可设所求直线的方程为2x +3y +C =0(C ≠-6).在直线2x +3y -6=0上任取一点(3,0),其关于点(1,-1)对称的点为(-1,-2),则点(-1,-2)必在所求直线上,∴2×(-1)+3×(-2)+C =0,解得C =8. 故所求直线的方程为2x +3y +8=0. 答案:D综合知识 距离公式的综合应用9.已知△ABC 中,A (2,-1),B (4,3),C (3,-2). (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式; (2)求△ABC 的面积.解析:(1)因为k BC =3--24-3=5,所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k =-15.所以AD 所在直线方程为y +1=-15(x -2).即x +5y +3=0.(2)BC 的直线方程为:y +2=5(x -3). 即5x -y -17=0,点A 到直线BC 的距离为|2×5--1-17|52+-12=626. 又因为|BC |=3-42+-2-32=26,所以△ABC 的面积S =12×626×26=3.10.已知直线l 1经过点A (0,1),直线l 2经过点B (5,0),且直线l 1∥l 2,l 1与l 2间的距离为5,求直线l 1,l 2的方程.解析:∵直线l 1∥l 2,∴当直线l 1,l 2垂直于x 轴时,直线l 1的方程为x =0,直线l 2的方程为x =5, 这时直线l 1,l 2之间的距离等于5,符合题意. 当直线l 1,l 2不垂直于x 轴时,可设其斜率为k , 依题意得,直线l 1的方程为y =kx +1,即kx -y +1=0,直线l 2的方程为y =k (x -5), 即kx -y -5k =0.由两条平行直线间的距离公式,得|1+5k |1+k2=5, 解得k =125.∴直线l 1的方程为12x -5y +5=0,直线l 2的方程为12x -5y -60=0.综上,符合题意的直线l 1,l 2的方程有两组:l 1:x =0,l 2:x =5或l 1:12x -5y +5=0,l 2:12x -5y -60=0.基础达标一、选择题1.点P (1,-1)到直线l :3y =2的距离是( )A .3 B.53C .1 D.22解析:点P (1,-1)到直线l 的距离d =|3×-1-2|02+32=53,选B. 答案:B2.已知点M (1,4)到直线l :mx +y -1=0的距离为3,则实数m =( )A .0 B.34C .3D .0或34解析:点M 到直线l 的距离d =|m +4-1|m 2+1=|m +3|m 2+1,所以|m +3|m 2+1=3,解得m =0或m =34,选D.答案:D3.两条平行直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析:直线3x +4y -12=0,即直线6x +8y -24=0,根据直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0平行,可得a =6,故两条平行直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0间的距离为|-24-11|36+64=72. 答案:C4.已知点A (1,3),B (3,1),C (-1,0),则△ABC 的面积等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6解析:设AB 边上的高为h ,则S △ABC =12|AB |·h .|AB |=3-12+1-32=22,AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离.AB 边所在的直线方程为y -31-3=x -13-1,即x +y -4=0.点C 到直线x +y -4=0的距离为|-1+0-4|2=52,因此,S △ABC =12×22×52=5.答案:C5.直线l 垂直于直线y =x +1,原点O 到l 的距离为1,且l 与y 轴正半轴有交点.则直线l 的方程是( )A .x +y -2=0B .x +y +1=0C .x +y -1=0D .x +y +2=0解析:因为直线l 与直线y =x +1垂直,所以设直线l 的方程为y =-x +b .又l 与y 轴正半轴有交点,知b >0,即x +y -b =0(b >0),原点O (0,0)到直线x +y -b =0(b >0)的距离为|0+0-b |12+12=1,解得b =2(b =-2舍去),所以所求直线l 的方程为x +y -2=0. 答案:A6.已知△ABC 的三个顶点是A (-a,0),B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2,32a ,则△ABC 的形状是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .斜三角形解析:因为k AC =32a a 2+a =33,k BC =32a a2-a=-3,k AC ·k BC =-1,所以AC ⊥BC ,又|AC |=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2=3|a |. |BC |=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2-a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫32a -02=|a |,|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形.答案:C7.若动点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)分别在直线l 1:x +y -7=0和l 2:x +y -5=0上移动,则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A .3 2B .2 C. 2 D .4解析:由题意,知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为x +y +c =0,则|c +7|2=|c +5|2,即c =-6,∴点M 在直线x +y -6=0上,∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x +y -6=0的距离,即|-6|2=3 2.答案:A 二、填空题8.已知点A (-1,2),B (3,b )的距离是5,则b =________.解析:根据两点间的距离公式,可得3+12+b -22=5,解得b =5或b =-1. 答案:5或-19.若点(2,k )到直线5x -12y +6=0的距离是4,则k 的值是________.解析:∵|5×2-12k +6|52+122=4, ∴|16-12k |=52,∴k =-3,或k =173.答案:-3或17310.两直线3x +y -3=0与6x +my +n =0平行且距离为10,则m +n =________. 解析:因为两直线平行,所以m =2, 由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪-3-n 232+12=10, 解得n =14或n =-26.所以m +n =16或m +n =-24. 答案:16或-2411.已知直线l 过点P (3,4)且与点A (-2,2),B (4,-2)等距离,则直线l 的方程为________________________________________________________________________.解析:显然直线l 的斜率不存在时,不满足题意; 设所求直线方程为y -4=k (x -3), 即kx -y +4-3k =0,由已知,得|-2k -2+4-3k |1+k 2=|4k +2+4-3k |1+k 2, 所以k =2或k =-23.所以所求直线l 的方程为2x -y -2=0或2x +3y -18=0. 答案:2x -y -2=0或2x +3y -18=012.已知实数x ,y 满足2x +y +5=0,那么x 2+y 2的最小值为________.解析:求x 2+y 2的最小值,就是求2x +y +5=0上的点到原点的距离的最小值,转化为坐标原点到直线2x +y +5=0的距离d =522+12= 5. 答案: 5 三、解答题13.已知点P (2,-1).(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程;(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解析:(1)过P 点的直线l 与原点距离为2,而P 点坐标为(2,-1),可见,过P 点垂直于x 轴的直线满足条件,此时直线l 的斜率不存在,其方程为x =2.若直线l 的斜率存在,设其方程为y +1=k (x -2),即kx -y -2k -1=0.由已知,得|-2k -1|k 2+1=2,解得k =34,此时l 的方程为3x -4y -10=0.综上,直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线.由l ⊥OP ,得k l k OP=-1,所以k l =-1k OP=2.由直线方程的点斜式得y +1=2(x -2),即2x -y -5=0.即直线2x -y -5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线,最大距离为|-5|5= 5.(3)由(2)可知,存在过点P 且到原点距离最大为5的直线,因此不存在过点P 到原点距离为6的直线.14.已知直线l 1:x +3y -3m 2=0和直线l 2:2x +y -m 2-5m =0相交于点P (m ∈R ). (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标;(2)当m 为何值时,点P 到直线x +y +3=0的距离最短?并求出最短距离.解析:(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +3y -3m 2=0,2x +y -m 2-5m =0,得x =3m ,y =m 2-m ,∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ,m 2-m ).(2)设点P 到直线x +y +3=0的距离为d ,d =|3m +m 2-m +3|2=|m 2+2m +3|2=|m +12+2|2=m +12+22,∴当m =-1时,即P 点坐标为(-3,2)时,点P 到直线x +y +3=0的距离最短,最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3),B (4,1),直线l :x +2y -2=0,在直线l 上求一点P . (1)使|PA |+|PB |最小; (2)使||PA |-|PB ||最大.解析:(1)可判断A ,B 在直线l 的同侧,设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1,y 1), 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1+22+2·y 1+32-2=0,y 1-3x 1-2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=-25,y 1=-95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y -1-95-1=x -4-25-4,即y =711(x -4)+1,由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -2=0,y =711x -4+1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625,-325,由平面几何知识可知,此时|PA |+|PB |最小.(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y -31-3=x -24-2,即x +y -5=0.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -2=0,x +y -5=0得直线AB 与l 的交点为P (8,-3),此时||PA |-|PB ||最大.16.已知三条直线l 1:mx -y +m =0,l 2:x +my -m (m +1)=0,l 3:(m +1)x -y +(m +1)=0,它们围成△ABC .(1)求证:不论m 取何值时,△ABC 中总有一个顶点为定点; (2)当m 取何值时,△ABC 的面积取最值?并求出最值. 解析:(1)证明:设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx -y +m =0,m +1x -y +m +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =0,∴点A 的坐标为(-1,0),∴不论m 取何值,△ABC 中总有一个顶点A (-1,0)为定点.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x +my -m m +1=0,m +1x -y +m +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =m +1,即l 2与l 3交点为B (0,m +1).再由⎩⎪⎨⎪⎧mx -y +m =0,x +my -m m +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =m m 2+1,y =m 3+m 2+mm 2+1,即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2+1,m 3+m 2+m m 2+1.设边AB 上的高为h , ∴S △ABC =12|AB |·h =12·1+m +12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m +1m 2+1-m 3+m 2+m m 2+1+m +1m +12+1=12·|m 2+m +1|m 2+1=12·m 2+m +1m 2+1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+m m 2+1.当m =0时,S =12;当m ≠0时,S =12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1+1m +1m . ∵函数f (x )=x +1x的值域为[2,+∞)∪(-∞,-2].∴-12≤1m +1m <0或0<1m +1m≤12,∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m =1时,△ABC 的面积的最大值为34,当m =-1时,△ABC 的面积的最小值为14.。

模型39 数轴上动点问题(原卷版)

模型39 数轴上动点问题(原卷版)

1.数轴(1)数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素:原点,单位长度,正方向.(2)数轴上的点:所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数.)(3)用数轴比较大小:一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大.✮(4)数轴上两点间的距离公式:AB=X B-X A (即:右端点减左端点)(即:中点等于两端点相加除以2)✮(5)数轴上中点数公式:X M=X A+X B2例题精讲【例1】.如图,点A在数轴上表示的数为﹣3,点B表示的数为2,点P在数轴上表示的是整数,点P不与A、B重合,且P A+PB=5,则满足条件的P点表示的整数有___________.➢变式训练【变式1-1】.如图,点O为原点,A、B为数轴上两点,AB=15,且OA=2OB,点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动,当点P开始运动时,点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动,设运动时间为t秒,若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化,则m =.【变式1-2】.已知数轴上两点A、B对应的数分别是6,﹣8,M、N、P为数轴上三个动点,点M从A点出发,速度为每秒2个单位,点N从点B出发,速度为M点的3倍,点P从原点出发,速度为每秒1个单位.(1)若点M向右运动,同时点N向左运动,求多长时间点M与点N相距46个单位?(2)若点M、N、P同时都向右运动,求多长时间点P到点M,N的距离相等?(3)当时间t满足t1<t≤t2时,M、N两点之间,N、P两点之间,M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点,请直接写出t1,t2的值.【例2】.如图,周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A,B,C,D,E,F,点A落在2的位置,将圆在数轴上沿负方向滚动,那么落在数轴上﹣2023的点是.➢变式训练【变式2-1】.在数轴上,点A,O,B分别表示﹣15,0,9,点P,Q分别从点A,B同时开始沿数轴正方向运动,点P的速度是每秒4个单位,点Q的速度是每秒1个单位,运动时间为t秒.若点P,Q,O 三点在运动过程中,其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点,则运动时间为秒.【变式2-2】.如图:在数轴上A点表示数﹣3,B点示数1,C点表示数9.(1)若将数轴折叠,使得A点与C点重合,则点B与数表示的点重合;(2)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动.①若t秒钟过后,A,B,C三点中恰有一点为另外两点的中点,求t值;②当点C在B点右侧时,是否存在常数m,使mBC﹣2AB的值为定值,若存在,求m的值,若不存在,请说明理由.1.如图,将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1cm),刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点,那么x等于()A.5B.6C.7D.82.等边△ABC在数轴上的位置如图所示,点A、C对应的数分别为0和﹣1,若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点B所对应的数为1,则连续翻转2021次后,点B()A.对应的数是2019B.对应的数是2020C.对应的数是2021D.不对应任何数3.在解决数学实际问题时,常常用到数形结合思想,比如:|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离,|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离.结合以上知识,下列说法中正确的个数是()①若|x﹣2022|=1,则x=2021或2023;②若|x﹣1|=|x+3|,则x=﹣1;③若x>y,则|x﹣2|>|y﹣2|;④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|=3有无数个解.A.1B.2C.3D.44.数轴上点A表示的数是﹣3,把点A向右移动5个单位,再向左移动7个单位到A′,则A′表示的数是.5.数轴上点A表示﹣8,点B表示6,点C表示12,点D表示18.如图,将数轴在原点O和点B,C处各折一下,得到一条“折线数轴”.在“折线数轴”上,动点M从点A出发,以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动,从点O运动到点C期间速度变为原来的一半,过点C后继续以原来的速度向终点D运动;点M从点A出发的同时,点N从点D出发,一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动.其中一点到达终点时,两点都停止运动.设运动的时间为t秒,t时,M、N两点相遇(结果化为小数).6.如图,在一条不完整的数轴上,从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分,点A、B、C对应的数分别是a、b、c,且ab<0.(1)原点在第部分(填序号);(2)化简式子:|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|;(3)若|c﹣5|+(a+1)2=0,且BC=2AB,求点B表示的数.7.已知b是最小的正整数,且(c﹣5)2与|a+b|互为相反数.(1)填空:a=,b=,c=;(2)若P为一动点,其对应的数为x,点P在0和2表示的点之间运动,即0≤x≤2时,化简:|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|(请写出化简过程);(3)如图,a,b,c在数轴上所对应的点分别为A,B,C,在(1)的条件下,若点A以1个单位长度/s的速度向左运动,同时,点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动.ts后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问:BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.8.数轴上有A、B、C三点,如图1,点A、B表示的数分别为m、n(m<n),点C在点B的右侧,AC﹣AB=2.(1)若m=﹣8,n=2,点D是AC的中点.①则点D表示的数为﹣2.②如图2,线段EF=a(E在F的左侧,a>0),线段EF从A点出发,以1个单位每秒的速度向B点运动(点F不与B点重合),点M是EC的中点,N是BF的中点,在EF运动过程中,MN的长度始终为1,求a的值;(2)若n﹣m>2,点D是AC的中点,若AD+3BD=4,试求线段AB的长.9.如图,数轴上点A,B分别表示数a,b,其中a<0,b>0.(1)若a=﹣7,b=3,求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c;(2)该数轴上有另一点D表示数d.①若d=2,点D在点B的左侧,且AB=5BD.求整式2a+8b+2023的值;②若d=﹣2,且AB=5BD,能否求整式2a+8b+2023的值?若能,求出该值;若不能,说明理由.10.先阅读,后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值,也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|可以看做|5﹣(﹣2)|,表示5与﹣2的差的绝对值,也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.(1)如图,先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B,再把点A向左移动1.5个单位,得到点C,则点B和点C表示的数分别为和,B,C两点间的距离是;(2)若点A表示的整数为x,则当x为﹣2时,|x+6|与|x﹣2|的值相等;(3)要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是.11.如图,已知点O为数轴的原点,点A、B、C、D在数轴上,其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3.(1)填空:线段AB的长度AB=;(2)若点A是BC的中点,点D在点A的右侧,且OD=AC,点P在线段CD上运动.问:该数轴上是否存在一条线段,当P点在这条线段上运动时,P A+PB的值随着点P的运动而没有发生变化?(3)若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动,同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动,M、N分点别是PE、OF的中点.点P、E、F的运动过程中,的值是否发生变化?请说明理由.12.如图,在数轴上,点O表示原点,点A表示的数为﹣1,对于数轴上任意一点P(不与点A点O重合),线段PO与线段P A的长度之比记作k(p),即,我们称k(p)为点P的特征值,例如:点P表示的数为1,因为PO=1,P A=2,所以.(1)当点P为AO的中点时,则k(p)=;(2)若k(p)=2,求点P表示的数;(3)若点P表示的数为p,且满足p=2n﹣1,(其中n为正整数,且1≤n≤7),求所有满足条件的k(p)的和.13.把一根小木排放在数轴上,木棒左端点与点A重合,右端点与点B重合,数轴的单位长度为1cm,如图所示.(1)若将木棒沿数轴向右移动,当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20;若将木棒沿数轴向左移动时,当它的右端点移动到点A处时,木棒左端点在数轴上对应的数为5,由此可得木棒的长为5cm;我们把这个模型记为“木捧摸型”;(2)在(1)的条件下,已知点C表示的数为﹣2.若木棒在移动过程中,当木棒的左端点与点C相距3cm时,求木棒的右端点与点A的距离;(3)请根据(1)的“木棒模型”解决下列问题.某一天,小字问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在那么大,你还要41年才出生;你若是我现在这么大,我就有124岁了,世界级老寿星了,哈哈!”请你画出“木棒模型”示意图,求出爷爷现在的年龄.14.对于数轴上的A,B,C三点,给出如下定义:若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系,则称该点是其它两个点的“联盟点”.例如:数轴上点A,B,C所表示的数分别为1,3,4,此时点B是点A,C的“联盟点”.(1)若点A表示数﹣1,点B表示的数2,下列各数:,0,1,4,5所对应的点分别为C1,C2,C3,C4,C5,其中是点A,B的“联盟点”的是;(2)点A表示的数是﹣1,点B表示的数是3,P是数轴上的一个动点:①若点P在线段AB上,且点P是点A,B的“联盟点”,求此时点P表示的数;②若点P在点A的左侧,点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”,求出此时点P表示的数.15.如图,点A,O,B,D在同一条直线l上,点B在点A的右侧,AB=6,OB=2,点C是AB的中点,如图画数轴.(1)若点O是数轴的原点,则点B表示的数是,点C表示的数是;(2)若点O是数轴的原点时,D点表示的数为x,且AD=5,求x;(3)若点D是数轴的原点,点D在点A的左侧,点A表示的数为m,且A,B,C,O所表示的数之和等于21,求m;(4)当O是数轴的原点,动点E,F分别从A,B出发,相向而行,点E的运动速度是每秒2个单位长度,点F的运动速度是每秒1个单位长度,当EF=3时,求点A,B,E,F表示的数之和.16.如图,在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数c,a,c满足|a+4|+(c﹣2)2=0,b是最大的负整数.(1)a=,b=,c=.(2)若将数轴折叠,使得点A与点C重合,则点B与数表示的点重合;(3)点A,B,C开始在数轴上运动,若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动,同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动,点C到达原点后立即以原速度向右运动,运动时间为t秒,若点A与点B之间的距离表示为AB,点B与点C之间的距离表示为BC,请问:5AB ﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求出5AB﹣BC的值.17.定义:对于数轴上的三点,若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系.如下图,数轴上点A,B,C所表示的数分别为1,3,4,此时点B就是点A,C的一个“关联点”.(1)写出点A,C的其他三个“关联点”所表示的数:、、.(2)若点M表示数﹣2,点N表示数4,数﹣8,﹣6,0,2,10所对应的点分别是C1,C2,C3,C4,C5,其中不是点M,N的“关联点”是点.(3)若点M表示的数是﹣3,点N表示的数是10,点P为数轴上的一个动点.①若点P在点N左侧,且点P是点M,N的“关联点”,求此时点P表示的数.②若点P在点N右侧,且点P,M,N中,有一个点恰好是另外两个点的“关联点”,求此时点P表示的数.18.[知识背景]:数轴上,点A,点B表示的数为a,b,则A,B两点的距离表示为AB=|a﹣b|.线段AB 的中点P表示的数为.[知识运用]:已知数轴上A,B两点对应的数分别为a和b,且(a﹣4)2+|b﹣2|=0,P为数轴上一动点,对应的数为x.(1)a=,b=;(2)若点P为线段AB的中点,则P点对应的数x为,若点B为线段AP的中点,则P点对应的数x为;(3)若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动,点A的速度为每秒1个单位长度,点B的速度为每秒3个单位长度,则经过秒点B追上点A;(4)若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动,它们的速度都为每秒1个单位长度,与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动.经过多长时间后,点A、点B、点P 三点中,其中一点是另外两点组成的线段的中点?19.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:(1)探究:①数轴上表示5和3的两点之间的距离是.②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是.③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是.(2)归纳:一般的,数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于.(3)应用:①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间,则|a+4|+|a﹣3|的值=.②若a表示数轴上的一个有理数,且|a﹣1|=|a+3|,则a=.③若a表示数轴上的一个有理数,|a﹣1|+|a+2|的最小值是.④若a表示数轴上的一个有理数,且|a+3|+|a﹣5|>8,则有理数a的取值范围是.(4)拓展:已知,如图2,A、B分别为数轴上的两点,A点对应的数为﹣20,B点对应的数为100.若当电子蚂蚁P 从A点出发,以4个单位/秒的速度向右运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发,以3单位/秒的速度向左运动,求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度,并写出此时点P所表示的数.20.将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到如图所示的“折线数轴”,图中点A表示﹣10,点B表示10,点C表示18.我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度.动点P从点A出发,以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动.当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半.经过点B后立刻恢复原速;同时,动点Q从点C出发,以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动,当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍,经过O后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒.(1)动点P从点A运动至点C需要秒,动点Q从点C运动至点A需要秒;(2)P,Q两点相遇时,求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数;(3)是否存在t值,使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.21.在数轴上,点M,N对应的数分别是m,n(m≠n,mn≠0),P为线段MN的中点,同时给出如下定义:如果=10,那么称M是N的“努力点”.例如:m=1,n=,M是N的“努力点”.(1)若|m﹣10|+(n+90)2=0则m=,n=;(2)在(1)的条件下,下列说法正确的是(填序号);①M是P的“努力点”;②M是N的“努力点”③N是M的“努力点”;④N是P的“努力点”(3)若mn<0,且P是M,N其中一点的“努力点”,求值?22.在数轴上,O为原点,点A,B对应的数分别是a,b(a≠b,ab≠0),M为线段AB的中点.给出如下定义:若OA÷OB=4,则称A是B的“正比点”;若OA×OB=4,则称A是B的“反比点”.例如a=2,时,A是B的“正比点”;a=2,b=﹣2时,A是B的“反比点”.(1)若|a+2|+(b﹣4)2=0,则M对应的数为,下列说法正确的是(填序号).①A是M的“正比点”;②A是M的“反比点”;③B是M的“正比点”;④B是M的“反比点”;(2)若ab>0,且M是A的“正比点”,求的值;(3)若ab<0,且M既是A,B其中一点的“正比点”,又是另一点的“反比点”,直接写出的值.23.在数轴上,把原点记作点O,表示数1的点记作点A.对于数轴上任意一点P(不与点O,点A重合),将线段PO与线段P A的长度之比定义为点P的特征值,记作,即=,例如:当点P是线段OA 的中点时,因为PO=P A,所以=1.(1)如图,点P1,P2,P3为数轴上三个点,点P1表示的数是﹣,点P2与P1关于原点对称.①=;②比较,,的大小(用“<”连接);(2)数轴上的点M满足OM=OA,求;(3)数轴上的点P表示有理数p,已知<100且为整数,则所有满足条件的p的倒数之和为.24.阅读下列材料:我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离;即|x|=|x﹣0|;这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离.绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用:例1:解方程|x|=4.容易得出,在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4,即该方程的x=±4;例2:解方程|x+1|+|x﹣2|=5.由绝对值的几何意义可知,该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上,﹣1和2的距离为3,满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边.若x对应的点在2的右边,如图1可以看出x=3;同理,若x对应点在﹣1的左边,可得x=﹣2.所以原方程的解是x=3或x =﹣2.例3:解不等式|x﹣1|>3.在数轴上找出|x﹣1|=3的解,即到1的距离为3的点对应的数为﹣2,4,如图2,在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|>3,所以|x﹣1|>3的解为x<﹣2或x>4.参考阅读材料,解答下列问题:(1)方程|x+3|=5的解为;(2)方程|x﹣2020|+|x+1|=2023的解为;(3)若|x+4|+|x﹣3|≥11,求x的取值范围.。

2.1.1 数轴上的基本公式

2.1.1 数轴上的基本公式

2.1.1 数轴上的基本公式教材知识检索考点知识清单1.数轴:一条给出了 、 和 的直线叫做数轴,也称直线坐标系.2.数轴上的向量:数轴上的任意一点A 沿着数轴的正向或负向移动到另一点B ,则说点在轴上作了一次 ,简称为向量;用一个实数表示轴上的向量,实数的绝对值为线段AB 的 ,如果起点到终点的方向与轴同向,则此实数为 .否则为 ,那么这个实数为向量AB 的3.设A 、B 、C 是数轴上的三点,则=AC4.数轴上两点间的距离公式:设),()(21x B x A 、则-== =),(,B A d要点核心解读1.数轴一条给出了原点、度量单位和正方向的直线,叫做数轴或直线坐标系,当点P 与实数x 对应时,称x 为点P 的坐标,记作P (x ).如图2-1-1 -1所示,数轴x 上的点P 、Q 、R 的坐标依次是x 、-1、2,可分别记为⋅-)2()1()(R Q x P 、、2.向量当数轴上的任意一点A 移动到另一点B 时,就说点在轴上作了一次位移,当点不动时,就说点作了零位移.位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,简称为向量.今后,我们统一用有向线段表示向量.起点为A 、终点为B 的向量,记为,AB 线段AB 的长度叫做向量AB 的长度或模,记为|,|AB 它体现的是向量的大小;向量的方向由起点指向终点.同向且等长的向量叫做相等的向量;模为1 个单位长度的向量叫做单位向量;向量的坐标(或称数量AB)是一个实数,实数的绝对值就是|,B |A 当向量起点指向终点的方向与轴同向时,这个实数就是AB ;反之,就是BA.例如,如图2-1-1-2所示 ,⋅-=--=-=211212)(,A x x x x BA x x B起点和终点重合的向量是零向量,它没有确定的方向,它的模和坐标都是0.3.数轴上的基本公式如图2 -1 -1 -2所示,不难看出,下面的公式成立: ,BC AB AC +=,12x x AB -=.||||),(2112x x x x B A d -=-=其中,d(A ,B)表示A 、B 两点间的距离.4.利用数轴上两点间的距离公式解决某些绝对值不等式绝对值不等式,尤其是一元一次绝对值不等式,与两点间的距离公式之间存在一定的联系,因此我们可以借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等式问题.符合条件1|2|>-x 的点)(x P 位于x 轴的何处?可以用代数法即去掉绝对值符号解不等式,也可以运用距离公式的几何意义即“几何法”来求解.[解析] 解法一:(代数法)解绝对值不等式1|2|>-x 得12>-x 或,12-<-x 即x>3或x<l ,故点P 位于x 轴上M(l)的左侧或N(3)的右侧,解法二:(几何法)如图2 -1-1-3所示,设Q(2),则,(P d |,2|)-=x Q 由题意可知,P 、Q 两点间的距离大于1,结合数轴可以确定P 点位于M(l)的左侧或N(3)的右侧.典例分类剖析考点1 求数轴上点的坐标及两点间的距离命题规律2已知坐标求距离或已知距离求坐标(或数量).[例1] 已知数轴上的三点).()5()1(x C B A 、、-(1)当8),(||=+C B d 时,求x ;(2)当0=+CB AB 时,求x ;(3)当B =时,求x ;(4)当1=AC 时,求证:.AC BC AB =+[解析] 本例用到两个公式,即=-=),(,12N M d x x MN ==|MN ||MN =-||12x x .||21x x -其中1x 与2x 分别是M 、N 两点的坐标.[答案] (1)由),()5()1(x C B A 、、-可知.|5|),(,6){1(5|||-==--=x C B d 当8),(||=+C B d 时,有,8|5|6=-+x解得 .73==x x 或(2)由,0=+CB AB 可知,05)1(5=-+--x解得 .11=x(3)由=可知,|,||=且||AB 与||同向,即5)1(5-=--x所以 ,65=-x解得 .11=x(4)当1=AC 时,有 ,1)1(=--x解得 ,0=x所以 .150)1(5AC BC AB ==-+--=+母题迁移 1.若数轴上的顺次四点A ,B ,C ,D ,且),6(),0(),(),7(D C x B A -满足,CD AB =求实数x 考点2 向量的数量与点的坐标的关系命题规律把数轴上的向量转化为点的坐标进行运算,进而求值或证明.[例2] 设A 、B 、C 是数轴上不同于原点O 的任意三点,且.000=+CA C BA B 求证:⋅=+AC B 020101 [解析] 把向量的数量转化为点的坐标.[答案] 设A 、B 、C 在数轴上的坐标分别为).()(b B a A 、),(c C 则.,,,,c a CA b a BA c OC b OB a OA -=-====,0,00=-+-∴=+c a c b a b CA C BA OB 即abc c b 2=+ 又,11011bc c b c b C OB +=+=+且⋅=+∴=AC OB a A 02011,202 [点拨] 证明有关同一数轴上的若干点所成的向量的数量等式或条件等式时,关键要抓住“数量”这一本质,设数轴上点的坐标,把向量的数量转化为点的坐标,通过化简即可证明.母题迁移 2.已知数轴上点A 、B 、P 的坐标分别为).()3()1(x P B A 、、-(1)当P 与B 的距离是P 与A 的距离的3倍时,求⋅)(x P(2)若 P 到A 和B 的距离都是2时,求),(x P 此时P 与线段AB 有怎样的关系? (3)在线段AB 上是否存在点P(x),使得P 到A 和B 的距离都是3?若存在,求出P(x);若不存在,请说明理由.考点3 利用数轴上的基本公式解决实际问题命题规律将实际问题转化为数轴上的基本公式这一数学问题,进而加以解决.[例3] 一条公路由西向东设有A 、B 、C 、D 、E 五个站点,相邻两个站点之间的距离依次为32千米、48千米、40千米、36千米,且在公路旁A 、E 两站的中点处设有加油站.请你以加油站为原点,正东为正方向,cm 201为单位长度画数轴,并将五个站点在数轴上表示出来. [解析] 由于例题中已规定了数轴的原点、正方向和单位长度,因此,解决问题的关键在于确定五个站点分别在加油站的哪一侧,与加油站的距离是多少?[答案] 因为,36404832+>+所以A 、B 两站在加油站西侧(原点左侧),G 、D 、E 三站在加油站东侧(原点右侧).因为A 站到E 站的距离为156********=+++(千米),所以A 、E 两站到加油站(原点)的距离为78千米,而+-=-4078,463278(,2)36=,423678=-所以B 、C 、D 三站到加油站(原点)的距离依次为46千米、2千米、42千米,即A 、B 、C 、D 、E 五站在数轴上表示的数依次为 .784224678、、、、--取cm 201为单位长度,画数轴如图2 -1-1-4所示.[点拨] 解决实际问题的关键是将实际问题数学化,即建立数学模型,而数学模型是近几年高考的热点,同学们在日常生活中要注意观察、了解、总结数学与社会、生活之间的密切联系.母题迁移 3.某海洋救护站接到一船只发出的求救信号,船只在救护站正东方100 km 的A 处,正以每小时20 km 的速度缓慢靠近救护站,接到求救信号后,救护站立即派出救护艇以每小时180 km 的速度驶向求救船只,问救护艇会在何位置遇到求救船只?考点4 ∣a-b ∣的几何意义命题规律利用∣a –b ∣的几何意义解决不等式或方程中的问题.[例4] 对一切,R x ∈证明.5|3||2|≥-++x x[解析] 讨论2-≤x 或32≤<-x 或3>x 三段可求得原不等式的解,这里给出用数轴上两点间的距离公式解题的方法,即将|2|+x 看成数轴上的坐标为x 与-2的两点的距离,把|3|-x 也看成两点的距离,结合数轴求解不等式.[答案] 设点A 、B 、P 在数轴上的坐标为-2、3、x ,则.|3||||,2|||,5|32|||-=+==--=x BP x AP AB由平面几何知识知|,|||||AB BP AP ≥+当且仅当P 点在线段AB 上时取“=”, .5|3||2|≥-+⋅+∴x x上式当且仅当32≤≤-x 时,“=”成立.母题迁移 4.根据下列条件,在数轴上分别画出点⋅)(x P;2||)1(<x ;2||)2(=x ;2||)3(>x ;2|1|)4(>-x .2|1|)5(>+x优化分层测讯学业水平测试1.不在数轴上画点,确定下列各组点中,哪一组中的点C 位于点D 的右侧( ).A .C (-3)和D( -4)B .C(3)和D(4)C .C (-4)和D(3)D .C (-4)和D( -3)2.下列说法中正确的个数有( ).①数轴上的向量的坐标一定是一个实数;②向量的坐标等于向量的长度;③向量AB 与向量BA 的长度是一样的;④如果数轴上两个向量的坐标相等,那么这两个向量相等.1.A2.B3.C4.D3.A 、B 、C 三点都在数轴上,且A 是线段BC 的中点,则以下四个结论:;BC AB =①;AC BC =②0||||=-CA AB ③中,正确命题的序号是4.若点A (x )位于点B(2)和点C(8)之间,则x 的取值范围是5.在数轴上画出以下各点.⋅=/=/+-)0,0)(||||();2();3();2(y x yy x x D C B A6.对点A(a)和点B( -a)在数轴上的位置,你认为有几种,依据是什么?高考能力测试(测试时间:45分钟测试满分:100分)一、选择题(5分x8 =40分)1.数轴上A 、B 、C 的坐标分别为-7、2、3,则CA AB +的值为( )1.A 19.B 1.-C 19.-D2.对于数轴上的任意三点A 、B 、0,在如下向量的坐标关系中,不成立的是( ).A B AB A 00.-= 00.=++BA B AO B OB AO AB C +=. 0.=++BO AO AB D3.当数轴上的三点A 、B 、0不重合时,它们的位置关系有六种情况,其中使-=和 ||||||OA OB AB -=同时成立的情况有( ).A.l 种B.2种C.3种D.6种4.数轴上的两点),2()2(a x B x A +、则A 、B 两点的位置关系为( ).A.A 在B 的左侧B.A 在B 的右侧C.A 与B 重合 D .由a 的值决定5.A 、B 为数轴上的两点,A 点坐标为,5,2=AB 则B 点坐标为( ).3.-A 7.B 37.-或C 37.或-D6.A 、B 、C 是同一直线上的三点,若等式AC BC AB =+成立,则( ).A.A 在B 、C 之间B.B 在C 、A 之间 C .C 在A 、B 之间 D .以上都有可能7.已知数轴上的点A 、B ,其中点B 的坐标为,2||,2=BA 则点A 的坐标为( ).4.A 2.-B 0.C 40.或D8.数轴上点),4()8()(--B A x P 、、若|,|2||=则=x ( ).0.A 316.⋅-B 316.C 3160.-或D 二、填空题(5分x4 =20分)9. A 、B 、C 、D 是数轴上的任意四点,则=+++DA CD BC AB10.已知数轴上三点),3()0()2(C B A 、、-则的坐标为 ,BC 的坐标为 ,的坐标为11.若不等式a x x >++-|3||1|恒成立,则实数a 的取值范围为12.已知数轴上的向量、、B AB 的坐标分别为==BC AB 、2,45-=-DC 、则=|| =AD ,三、解答题(10分x4 =40分)13.求满足下列各式的x 的范围. );,29(2)9,()1(x d x d < ⋅-≥+)0,()20,86()2(2x x d x d14.(1)在数轴上求一点的坐标,使它到点A (-1)与到点B(5)的距离相等;(2)在数轴上求一点的坐标,使它到点A(O)的距离是它到点B(-9)的距离的⋅2115.已知点A (x)位于)(2x B 的右侧,求d(A ,B)的最大值.16.已知数轴上有点),3()1()2(D B A 、、-点C 在直线AB 上,且有,21=BC AC 延长DC 到E ,使,41),(),(=E D d E C d 求点E 的坐标,。

数轴与动点基础常见题型

数轴与动点基础常见题型

利用数轴上两点距离公式结合分类讨论解决问题:1.数轴上两点距离公式:AB=x右-x左不能确定左右用绝对值AB=︱x A-x B︱2.数轴上动点表示数口诀:左减右加。

例如A点原来表示-3,那么从动点P从A点向右移动,每秒走2个单位,那么t秒后P点表示的数为-3+2t;向左移动,那么t秒后P点表示的数为-3-2t。

解题步骤:第一步先把题目中涉及到的点用数或者含有某个字母的式子来表示;第二步根据两点距离公式表示出题目中已知或者问题中涉及的线段;第三步根据题目的等量关系列方程求解,或者是列出代数式求值。

1.如图,已知点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且点O为数轴上的原点,|a+5|+(a+b+1)2=0(1)求a、b的值;(2)若数轴上有一点C,且AC+BC=15,求点C在数轴上对应的数;(3)若点P从A点出发沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动,同时Q点从B点出发沿数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度运动,运动时间为t秒,当OP=2OQ 时,求t的值?2.如图,点O为原点,A、B为数轴上两点,AB=15,且OA:OB=2:1,点P从点B以每秒4个单位的速度向右运动.(1)A、B对应的数分别为、;(2)当点P运动时,分别取BP的中点E,AO的中点F,请画图,并求出的值;(3)若当点P开始运动时,点A、B分别以每秒2个单位和每秒5个单位的速度同时向右运动,是否存在常数m,使得3AP+2OP﹣mBP为定值?若存在,请求出m的值以及这个定值;若不存在,请说明理由.3.动点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动,设运动时间为t秒.(1)直接写出数轴上点P,Q所表示的数(用含t的代数式表示);(2)若点P,Q分别从A,B两点同时出发,问点P运动多少秒与Q相距2个单位长度?(3)若M为AQ的中点,N为BP的中点.当点P在点Q的左侧时,运动过程中等量关系2MN﹣PQ=12始终成立,请说明理由.利用线段的加减进行动点计算如图①,已知点M是线段AB上一点,点C在线段AM上,点D在线段BM上,C、D 两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动,运动方向如箭头所示.(1)若AB=10cm,当点C、D运动了2s,求AC+MD的值.(2)若点C、D运动时,总有MD=3AC,则:AM=AB.(3)如图②,若AM=AB,点N是直线AB上一点,且AN﹣BN=MN,求的值.。

高中数学(北师大)必修二课件:2.1.5.1两点间的距离公式

高中数学(北师大)必修二课件:2.1.5.1两点间的距离公式

1
4 m2
(3)由 y 解x,得交点为(1,1),

x解得y交 2点为0(,2,2).
y x, 所以所x 求y线段4 的 0长,度为
2 12 2 12= 2.
【方法技巧】 1.计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),则 |P1P2|= (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可利用距离公式的特殊情况直接 求解.
7
|Байду номын сангаасA|=
|PB|=
由|PA|=|PB|得x=1,所以所求点为P(1,0),
且|PA|=
(x 1)2 0 22 x2 2x 5, x 22 0 72 x2 4x 11,
112 0 22=2 2.
(2)式子 的几何意义是什么?
提示:式子
表示平面上的点(x,y)
到原点的距离.
x2 y2
x2 y2 x 02 y 02
【即时练】
1.已知点A(4,12)到x轴上的点P的距离等于13,则点P的坐标为________. 2.已知两点分别为A(10,2)和B(7,-2),则这两点之间的距离为________.
13
【解析】(1)因为xA=xB=2,所以|AB|=|5-9|=4. 答案:4
(2)|MN|=
答案:2
(3)因为|AB|=
所以(3-a)2=4,
解得a=1或a=5.
答案:1或5( 3 1)2 2 42= 20=2 5.
5 (1 2)2 (3 a)2 13,
【要点探究】
知识点 两点间的距离公式
对平面直角坐标系中两点间距离公式的说明
(1)当P1,P2的连线与坐标轴垂直时,两点间的距离公式同样适用.设P1(x1,

两点的距离公式

两点的距离公式
y1
N1
P1(x1,y1)
M1
Q (x2,y1)
M2
O
x1
x2
x
| PQ 1 || x2 x1 |
|P1P2 | |P1Q| |P2 Q|
2 2 2
两点间距离公式
y
| PQ 1 || x2 x1 |
P2(x2,y2)
| P2Q || y2 y1 |
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
PA ( x 5) 2 (0 12) 2 13
解得x=0或x=10, 所以所求点P有两个,
它们的坐标分别是(0,0),(10,0)
练习
4、已知点P的横坐标是7,点P与点N(-1,5)间的 距离等于10,求点P的纵坐标。
解:设所求点为P(7,y),于是有
PN (7 1) ( y 5) 10
a=±8
例题分析
例2 已知点 A( 1,2), B( 2, 7 ), 在x轴上求一点 P , 使 得 | PA || PB |,并求 | PA | 的值 .
解:设所求点为P(x,0),于是有
|PA| (x 1)2 (0 2)2 x 2 2x 5 |PB| (x 2) (0 7 ) x 4x 11
2 2 2 2
D (b,c)
C(a+b,c)
|AB| a , |CD| a 2 2 2 2 2 2 |AD| b c , |BC| b c 2 2 |AC|2 (a b) c2 , |BD|2 (b - a) c2
所以 AB
AC
2 所以 | AB|
2
o A(0,0)
B (a,0) x
AB (3 2) (5 1) 17

8.1+两点间的距离与线段中点的坐标

8.1+两点间的距离与线段中点的坐标


怎样求点M的坐标?
脑y
思 考
B( x2 , y2 )
AM (x0 x1, y0 y1)

( x0,y0 )M

MB (x2 x0, y2 y0)
由于点M 是中点,则 AM MB
新 A( x1, y1 )
(x0 x1, y0 y1) (x2 x0, y2 y0 )
知O
x
解得
x0
动 脑
我们将向量
uuuur P1P2
的模
,叫做点
P1
, P2
之间的距
离,记作 P1P2



探 索 新 知
uuuur uuuur uuuur | P1P2 | P1P2 P1P2 gP1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
(8.1)
例1 求A(−3,1)、B(2,−5)两点间的距离.


5,5
习 3.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,2),B(-4,6)、C(-3,
-2),试求AB边上的中线CD的长度
1 平面内两点间的距离公式
理 论
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2


2 线段的中点坐标公式

体 建
x0
x1
2
x2
,
y0
y1
2
y2
.


已知点 M (0,2),N(2,2),求线段MN的长度,并写出线段

并计算两点之间的距离.找出B点坐标与A点C点
的关系?
两点间的中点坐标公式
思考题的计算结果显示,
创 设
| AB || BC | 1 | AC | 2
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分类讨论
1、一只蚂蚁从数轴上的点A 出发,爬了6个单位长度到了表示-1的点,则点A 所表示的数是 .
2、数轴上与表示-2的点相距两个单位长度的点表示的数是 。

3、【数形结合思想】根据如图所示的数轴,解答下面问题:
(1)在数轴上,A ,B 两点分别表示几?
(2) 请问A ,B 两点之间的距离是多少?
(3) 在数轴上与A 点距离为2个单位长度的点表示的数是什么?
4、若|a|=1
2
,则a = 。

5、绝对值大于2但不大于5的整数是 。

相反数
1、如图所示,已知A ,B ,C ,D 四个点在一条没有标明原点的数轴上.若点A 和点C 表示的数互为相反数,则原点为( )
A. A 点
B.B 点
C.C 点
D.D 点
2、一个数在数轴上所对应的点向左移2 020个单位长度后,得到它的相反数对应的点,则这个数是(C) A.2 020 B.-2 020 C.1 010 D.-1 010
3、如图,1个单位长度表示1,观察图形,回答问题:
(1)若点B 与点C 所表示的数互为相反数,则点B 所表示的数为 ; (2)若点A 与点D 所表示的数互为相反数,则点D 所表示的数是 ; (3)若点B 与点F 所表示的数互为相反数,则点E 所表示的数的相反数是多少?
4、化简下列各数:
①-[-(+1)] ②-[+(-8)] ③-(-a) ④-[-(-a)]
(2)化简过程中,你有何发现?化简结果的符号与原式中的“-”的个数有什么关系?
巧取特殊值
1、a,b两数在数轴上的对应点的位置如图,下列各式正确的是( )
A.b>a
B.-a<b
C.|a|>|b|
D.b<-a<a<-b
2、有理数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列运算结果中是正数的有( )
①a-b;②b-c;③d-a;④c-a.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
数轴上任意两点间的距离公式
一、阅读下列材料:
我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离,即|x|=|x-0|,也可以说,|x|表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离,这个结论可以推广为|x1-x2|表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离.
例1:已知|x|=2,求x的值.
解:在数轴上与原点距离为2的点表示的数为-2或2,所以x的值为-2或2.
例2:已知|x-1|=2,求x的值.
解:在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3或-1,所以x的值为3或-1.
仿照材料中的解法,求下列各式中x的值.
(1)|x|=3;
(2)|x-(-2)|=4.
二、已知A ,B 两点在数轴上表示的数分别为m ,n. (1)对照数轴填写下表:
(2)若A ,B 两点间的距离记为d ,试问d 与m ,n 有何数量关系?并用文字描述出来;
(3)已知A ,B 两点在数轴上表示的数分别为x 和-1,则A ,B 两点间的距离d 可表示为 .如果d =3,求x 的值.
三、 (1)求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离 3与-2; 2与6; -3与-5
(2)根据(1)的运算结果,我们发现,若用有理数a 和b 分别表示数轴上的点M 和N ,则M 和N 之间的距离可以表示为 。

(3)数轴上表示x 和3的两点之间的距离为5,求x 。

四、 阅读下列材料:
点A 、B 在数轴上分别表示数a 和b ,A 、B 两点之间的距离为AB 。

当A 、B 两点有一点在原点时,不妨设A 点在原点,如图1, b a b OB AB -===;
当A 、B 两点都不在原点,如图2,点A 、B 都在原点的右边,b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=; 如图3,点A 、B 都在原点的左边, b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=)(; 如图4, A 点和B 点在原点的两边, b a b a b a OA OB AB -=-+=+=+=)(。

综上所述,数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=。

回答下列问题:
(1) 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离
是 ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ; (2) 数轴上表示x 与-1的两点A 和B 之间的距离是 ,如果2=AB ,那么x 为 ; (3) 当代数式21-++x x 取最小值时,相应的x 的取值范围是 。

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