勾股定理题型总结
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b abc c b a E D C B A②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数）毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数）柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例3.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 21E DCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 。
第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
第18章 勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形 理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形； ③ 若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cba HG F EDCBA bacba c ca bcab a bc c baE D CBA221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例 4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积ABC30°DCB A ADBCCB DA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =勾股定理练习一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
勾股定理知识点与常见题型总结
《勾股定理分类练习》题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2变形公式：1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理变形公式！4、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A ．25B ．14C ．7D ．7或251、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为2、已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为3、已知△ABC ，∠A=90 °， ∠B=30°,AB=5，求AC,BC 的值.题型三：勾股定理的逆定理：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．10，8，4C ．7，25，24D ．7，15，122、分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有：（ ）Ａ、４组 Ｂ、３组 Ｃ、２组 Ｄ、１组3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题（判断真假）题型四、与直角三角形面积相关直角三角形的面积公式：1. 底×高×21 2.两短边相乘×21 （a×b×21 ) 3. 斜边×斜边上的高×21（每种求面积的方法举例两个）1、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边为＿＿，三角形的面积为＿＿，斜边上的高为 ＿＿＿2、在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝3、已知：如图，⊿ABC 中，∠ACB =︒90，AB = 5cm ，BC = 3 cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长及三角形的面积；4、等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .题型五、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用1、如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =︒90，∠DBC =︒90，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；题型六、折叠问题 1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）（A ） 2cm （B ） 3 cm （C ） 4 cm （D ） 5 cm2、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长3、已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 2题型七：实际问题中应用勾股定理1、 如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，2、 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm4、一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定.B C A D D E。
勾股定理知识点与常见题型总结
第18章勾股定理复习一.知识归纳1・勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为「方，斜边为C,那么/+庆=疋勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2・勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的而积不同的表示方法，列出等式，推导岀勾股定理常见方法如下：方法—：+ S正方形MG" = SjE方矽A BO F 4 x —cib + (b- a)~ = c~)化11U 可证•方法二四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为S=4x1" +宀加十?2大正方形面积为S = (a + b)2=a 2+2ab + b 2所以 a 2 +b 2 =c 2方法二：S^ = ^(a+b)-(a+h), S 梯形=2S®+5沁=2•如+ 扫‘3 •勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三 角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾 股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 .勾股定理的应用化简得证b a①己知直角三角形的任意两边长，求第三边在A4BC 中，ZC = 90°,贝lJc = x/7+F, b = Jd? , a = ^c2-b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系勾股定理知识点与常见题型总结③可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长°, b, C满足那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和/+戻及较长边的平方』作比较，若它们相等时，以—为三边的三角形是直角三角形；若/+戸<云，时，以£为三边的三角形是钝角三角形；若,r+/r>c2,时，以/,, c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a, b, c及/+戸=疋只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长—满足/+—那么以…，c为三边的三角形是直角三角形，但是方为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6 •勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，°, 方，c为正整数时，称°, b, c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等③用含字母的代数式表示“组勾股数：n2 -\.2njr +1 （n>2, n为正整数）；2n + l,2n2+2n,2n2+2n+l（“为正整数）m2 - n~, 2/nnjir + n2（m > n t m , n为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8 ..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和及最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和及第三边的平方比较而得到错误的结论.9 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形:题型一：直接考查勾股定理例 1 .在SABC中，ZC = 90° .⑴已知AC = 6, BC=8.求AB的长⑵己知AB = 17, AC = 15,求BC的长分析：直接应用勾股定理^+/?=c2解：(1)/仏=(力+砧=10(2) BC =J AB^A F=8题型二：应用勾股定理建立方程例2 .(1)在AABC 中,ZACB = 90°, AB=5 cm , BC = 3 cm , CD 丄AB「D , CD =⑵己知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶己知直角三角形的周长为30⑷，斜边长为13®,则这个三角形的而积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边及斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:(l)AC = y/AB2-BC2 =4 , CD=AC -iC =2.4ABA(2)设两直角边的长分别为弘,4R・・・(3b + (4幻—52，•上=3, 5 = 54⑶设两直角边分别为a , b ,则a+b = l7 , a2+b2=2S9 ,可得ab = 60 :.S = —ab = 30 cm22例3•女口图WC 中，ZC = 90°, Z1 = Z2, CD = 1.5, BD = 2.5 ,求AC 的长分析：此题将勾股定理及全等三角形的知识结合起来解：作DE1AB于E,•・・ Z1 = Z2, ZC = 90°・•・ DE = CD = L5在中・・・ ABED = 90。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
《勾股定理》主要题型
《勾股定理》主要题型题型一：直接考查勾股定理，已知两边求第三边例：:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?解：∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4例、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？类型二：勾股定理的构造应用例、如图，已知：，，于P.求证：.解：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.题型三：在数轴上表示无理数例、在数轴上作出表示10的点．解：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：以10为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为10的线段即可．题型四：利用勾股定理测量长度例、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2，设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.题型五：利用勾股定理求线段的长1、如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x在Rt△ABF中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42∴64－16x+x2=2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm例、如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD．解：∵BC=14，且BC=BD+DC，设BD=x，则DC=14﹣x，则在直角△ABD中，AB2=AD2+BD2，即132=AD2+x2，在直角△ACD中，AC2=AD2+CD2，即152=AD2+（14﹣x）2，整理计算得x=5，∴AD==12，类型六：数学思想方法（一）转化的思想方法例、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
勾股定理常见题型总结
典型题型题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒．⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC =题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB C D E分析：根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =解：①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=,且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222ab c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS SS ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222ab c +=方法三：1()()2Sa b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE SS ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baED CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222ab c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222ab c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222ac b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC =题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC ， 2.4AC BCCD AB ⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289ab +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ， Q 12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Q Rt ACD Rt AED ∆≅∆Q AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m 在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=Q ，222.5 6.25c==∴ABC∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=Q ，22516a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=Q ，且264c=222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD Q 为中线，5BD DC ∴==cm 在ABD ∆中，22169ADBD +=Q ，2169AB=222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169ACAD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
勾股定理知识点与题型总结大全
CA BD 勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900,AC=7,BC=24，C D ⊥AB 于D. （1）求AB 的长； （2）求CD 的长.类型二：面积问题【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
【练习1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形， （1)求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。
（2）求∠ADC 的度数。
【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______。
【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是（ ）A. 12 B 。
13 C 。
144 D 。
194类型三：距离最短问题【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧,分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米,且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂,向A 、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCD7cmBD EB16925A BCDL【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。
他要完成这件事情所走的最短路程是多少？类型四：判断三角形的形状【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状.【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2，2mn ，m 2+n 2（m,n 为正整数，且m ＞n)，判断△ABC 是否为直角三角形。
第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
第18章 勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 b a c b a c c a b c a b a b c cb a E D C B Ac b a H G F E D CB A③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形： 题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =，2.5c = ②54a =，1b =，23c =题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =A B C 30°D CB A A D BC CB D A D B AC 21D C BA18.2 勾股定理的逆定理 达标训练一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图1所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.3.如图2，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图3，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图4，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边长，△A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ，那么△A 1B 1C 1是直角三角形吗？为什么？8.如图5，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.求证：△ABC 是直角三角形.9.如图6所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.10.阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判断△ABC的形状.解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，(A)∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2)，(B)∴c 2=a 2+b 2，（C)∴△ABC是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.11.已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.12.已知：如图7，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD 的面积.13、如果梯子底端离建筑物5m ，那么13m 长的梯子可达到建筑物的高度是____________m 。
勾股定理及常见题型分类
勾股定理及常见题型分类一、知识要点：1.勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
2.勾股定理的证明方法包括几何证明和代数证明，其中几何证明使用勾股树。
3.勾股定理的逆定理是指若一个三角形的三边满足勾股定理，则该三角形是直角三角形。
4.勾股定理常见题型包括勾股定理的应用、勾股定理的证明和勾股定理的逆定理。
二、典型题题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积1.如图所示，正方形A、B、C、D构成了一棵勾股树，求最大正方形E的面积。
2.如图所示，直线l上有三个正方形a、b、c，已知a、c 的边长分别为6和8，求b的面积。
3.如图所示，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，探索三个半圆的面积之间的关系。
4.如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是S1+S2=S3.5.如图所示，依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是4、5、6、7.题型二：勾股定理与图形问题1.如图所示，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是n+1.2.如图所示，求该四边形的面积。
3.如图所示，已知在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为3.4.如图所示，某公司的大门为长方形ABCD，上部为以AD为直径的半圆，已知AB=2.3m，BC=2m，卡车高2.5m，宽1.6m，判断卡车是否能通过公司的大门，并说明理由。
5.如图所示，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
题型三：已知两边求第三边1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm、2cm，则斜边长为√5cm。
2.已知直角三角形的两边长为3cm、2cm，则另一条边长的平方是5cm²。
勾股定理必考题型
勾股定理必考题型
勾股定理是数学中的一个重要定理，也是中考数学中的重要考点之一。
以下是几个常见的勾股定理必考题型：
1.直接应用勾股定理求直角三角形的边长。
这类题目通常会给出直角三角形两条边的长度，要求找出第三条边的长度。
解题时，可以直接应用勾股定理进行计算。
2.运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。
题目可能会给出一个三角形三条边的长度，要求判断这个三角形是否为直角三角形。
解题时，可以运用勾股定理的逆定理进行判断。
3.综合运用勾股定理和相似三角形解决问题。
这类题目通常涉及到几何图形的构造、拼接和分割，需要通过勾股定理找出边长之间的关系，再通过相似三角形进一步解决问题。
4.解决生活中的实际问题。
例如：通过勾股定理计算建筑物的高度、桥梁的长度等。
这类题目需要将实际问题转化为数学问题，再通过勾股定理求解。
《勾股定理》经典题型梳理
勾股定理（一）勾股定理的证明【例1】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？（二）翻折中的勾股定理【例2】．如图，折叠矩形的一边，使点D 落在BC 边的点F 处，其中cm 10,cm 8==BC AB ，你知道FC 多长吗？（三）方位角与勾股定理【例3】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？（四）勾股定理的逆用【例4】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.OAB（五）逆用勾股定理作无理线段【例5】右图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A 、B 、C 、D 、E 、F 得线段AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA ，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？并在数轴上作出表示1、2、3、4、5的点.（六）最值问题【例6】如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行（ ）cm. 当堂练习考点一：已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在 4．在数轴上作出表示10的点．5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？_ D_ F_ AC_ BEAB考点二：利用列方程求线段的长1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（）．A．3 B．4C5 D．53.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？4．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三：综合其它考点的应用1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm，82cm，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm．2．小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．3．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是（）米．FEDCBAADE BC4．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（ 取3）5．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．6．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．8．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．9．已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．6 8ECDBA 10．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗 杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子 下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米， 你能帮它计算一下旗杆的高度．11．有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．12． 如图∠B=90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm ，求四边形ABCD 的面积．13．如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？14．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB 间的尺寸．考点四：判别一个三角形是否是直角三角形1．若△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB 与最小边BC 的关系是_________．2．若一个三角形的周长123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是______． 3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形 4．下列命题中是假命题的是( )．A ．△ABC 中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC 是直角三角形.B ．△ABC 中,若a 2=(b+c)(b －c),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC 是直角三角形. D ．△ABC 中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC 是直角三角形. 5．在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是（）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6．如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE 41=．你能说明∠AFE 是直角吗？。
2023年勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边旳平方和等于斜边旳平方；表达措施：假如直角三角形旳两直角边分别为，，斜边为，那么a b c 222a b c +=２.勾股定理旳证明，常见旳是拼图旳措施 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变化②根据同一种图形旳面积不一样旳表达措施，列出等式，推导出勾股定理常见措施如下：措施一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形A B C D 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．措施二：四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和等于大正方形旳面积．四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和为 221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为因此222()2S a b a ab b =+=++222a b c +=措施三：，，化简得证1()()2S a b a b =+⋅+梯形2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形３.勾股定理旳合用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在旳数量关系，它只合用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察旳对象是直角三角形４.勾股定理旳应用：勾股定理可以协助我们处理直角三角形中旳边长旳计算或直角三角形中线段之间旳关系旳证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形旳前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（一般作垂线），构造直角三角形，以便对旳使用勾股定理进行求解．①已知直角三角形旳任意两边长，求第三边。
在中，，则，ABC ∆90C ∠=︒c =b =，a =②懂得直角三角形一边，可得此外两边之间旳数量关系cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bccb aE D CBA③可运用勾股定理处理某些实际问题５.勾股定理旳逆定理 假如三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
勾股定理知识与题型总结及测试题含答案
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。
（利用勾股定理探究长度为,3何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。
若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。
（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。
如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
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勾股定理知识技能和题型归纳（一）一一知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理一一揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
③作长为、.n的线段。
（利用勾股定理探究长度为..2, ... 3,……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如 c）②验证a2b2与c2是否具有相等关系：若a2b2二c2，则△ ABC是以/ C为90°的直角三角形。
若a2，b2 =c2，则△ ABC不是直角三角形。
补充知识：2 2 2 2 2 2当a b y 时，则是锐角三角形；当a b::: c时，则是钝角三角形。
（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。
如：3, 4, 5; 5, 12, 13; 6, 8, 10; 8, 15, 17; 9, 40, 41;……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律：①丢番图发现的：式子m2-n2,2mn,m2n2（m・n的正整数）②毕达哥拉斯发现的：2n ■ 1,2n2■ 2n,2n22n T （n • 1的整数）③柏拉图发现的：2n,n27 n2• 1 （n 1的整数）/ C=90°,图中有阴影的三个半圆 的面积S1,S2,S3有什么关系？ 答：（2） A 如图一〈3C=90\B △ ABC 的面积为煨20 在AB 的同侧，分别以 AB,BC,AC 为直径 作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形””）的面积为 __________勾股定理知识技能和题型归纳（二）——题型(1)S2如左图: 3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个 角是否为直角。
（2 ）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可， 不必专门训练•二、本章解题技能归纳1、 直角三角形的性质与判定小结 （1） 直角三角形的性质： 角的关系：直角三角形两锐角互余。
边的关系：直角三角形斜边大于直角边。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
边角关系：直角三角形中， 30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
双垂图：双垂图中的线段关系。
（2） 直角三角形的判定：① 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
② 有两个角互余的三角形是直角三角形。
③ 两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。
2、 已知直角三角形的两边长，会求第三边长设直角三角形的两直角边为 a,b,斜边长为c,由勾股定理知道：a 2，b 2二c 2。
变形2 2 ■ 2 2 . 2 2c -b,b 二・c -a,c-.a b ，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。
3、当直角三角形中含有 30°与45。
角时，已知一边，会求其它的边 （1）含有30°的直角三角形的三边的比为： 1: '• 3:2。
（2）含有45°的直角三角形的三边的比为：1 :1 > 2。
（3）等边三角形的边长为 a ，则高为—3a，面积为—3a 2。
24三、阅读与思考一一“希波克拉底月牙形”/、基础练习（要求熟练掌握）1、在 A ABC 中，a,b,c 为三边长.⑴当/A=90°时，三边关系 ___________ . ________ (2) 当/ C=90°时，三边关系 _________ . ________ (3) 当 a 2- c 2=b 2时，=90 ° .2、如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, BC=a,AC=b,AB=c (1) 已知 a=5, b=12,则 c= ________ ; (2) 已知 b=6, c=10,则 a= ________ (3) 已知 a=2, c= , 5 ,则 b= _____ ;(4) 已知a=15,b=20,则厶ABC 的周长= _____________ ; (5) 已知a=2, c =2.5, 则厶ABC 的面积= ____________ ； (6) 已知 a: c =3:5, a+ c =32, 则 b= _________ ;(7)已知 c =10, a: b=3:4,贝U a= _____ , b= _______ ，斜边上的高= _________3、已知△ ABC 是直角三角形， AC=3, BC=5, 求AB 的长。
4、在厶 ABC 中，/ C=90° , AB=20。
(1)若/ B=45°,求 BC 、AC 。
( 2)若/ A=60°,求 BC 、AC 。
5、求下列图中未知数 x 、y 、z 的值:7、 若厶ABC 的三边a,b,c 满足条件a 2b 2c 2338 = 10a - 24b - 26c ，判断 △ ABC 的形状。
8、 △ ABC 的三边 a,b,c ,满足 a 2b 2100 =12b 16a,c 边的长是2x5——3 * --- 的解，求△ ABC 中最大角的度数。
x 「5 x 「519、 用本章学过的知识判断直线 y =3x • 3与y x 3的位置关系，说明理由。
310、 在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60。
方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15海里的速度前进，2小时后，甲船到 M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 11、 为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
12、 如图，铁路上 A 、B 两站(视为直线上两点)相距 25 千米，C 、D 为两个村庄(视为两个点)，DA 丄AB 于A,|x= ;y= _______z= ;ABC 的形状。
（二 18、19、 20、CB 丄AB 于B , DA=15千米，CB=10千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站 E,使得C 、D 两村到E 的的距离相等，则 E 应建在距A 多少千米处？13、 在河L 的同侧有两个仓库 A 、B 相距1640米，其中A 距河210米，B 距河570 米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最 短路程是多少？码头应建在何处？三、典型数学思想、方法的训练（一）方程思想进行计算14、 小明用一根长 30厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下， 其中一条线段的长度比较短线段长7厘米，比较长线段短 1厘米，请你帮助小明判断一下，他围成的三角形是直角三角形吗？15、已知△ ABC 中，/ C=90°, D 、E 分别为 BC 、AC 的中点，AD=5, BE=2 10 , 求AB 的长. 16、 有一个水池，水面是一个边长为 10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它 高出水面1尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水 面。
这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？ 17、 如图所示.已知：在正方形 ABCD 中，/ BAC 的平分线交 BC于E,FG 作EF 丄AC 于F ，作FG 丄AB 于G.求 2的值.AB）构造直角三角形已知△ ABC 中，AB=8, AC=7, BC=6，求△ ABC 的面积。
已知△ ABC 中，/ B=30°,Z C=45°, AB-AC=2- . 2 已知：如图， AB = AC= 20, BC= 32, D 为BC 边上一点，/ DAC = 90°.求BD 的长. l D21、（ 1）写出三种用“构造斜边长为 ..7的直角三角形的方法”作长为 ..7的线段的方案。
（2） 能否通过“构造直角边长为.7的直角三角形的方法” 来作长为.7的线段?若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由。
（3） 在（1 ）中，作长为.7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为.7的线段，对于正整数 k ，能否通过构造两边均为 有理数的直角三角形 求出作长为■k 的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说 明理由。
CE BC'的位置，连结积证明勾股定理。
C25、设hl,h2,h3表示三角形的三条高，如果 D' A B（刊2（鬻h 2h 3(三) 勾股定理与变换22、已知矩形 ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一平面内 C '处，BC '与AD 交 于点E ，AD=8，AB=4,求DE 的长。
23、( 2004年荆州中考)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾 A __E 理的一种证明方法。
如图，火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到ABC 》 CC '，设 AB 二 a, BC 二 b, AC 二 c ,请利用四边形 BCC 'D '的24、A ABC 中,CD 是 AB 边上的中线，AC =8，BC=6，CD =5, (四) 面积法：是什么三角形?26、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。
27、已知：平面直角坐标系xOy 内，点A (-3・、3,0)，B ( •.. 3,0)，C(0, — 3),(1) 判断 ABC 的形状并说明理由；(2) 若点D 的坐标为(_...3, _4)，求. BCD 中CD 边上的高h 的值.28.如图，已知直线 y x 1与x 轴、y 轴分别3交于点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt △ ABC, / BAC=90°,且P(1, a)为坐标系中 的一个动点.(1)求厶ABC 的面积S ABC ；(2)证明不论a 取任何实数，△ BOP 的面积是一个常数； ⑶要使得△ ABC 和厶ABP 的面积相等，求实数 a 的值.(五) 代数计算证明几何问题29、求证：直 角三角形中两直角边上的中线的平方和的430、如图△ ABC 中，/ C=90°, M 是CB的中点，MD 丄AB 于D, AC 总能构成一个直角三角形。