混沌小结-知识
混沌综述
一混沌现象，定义及其基本特征二混沌系统的数学模型及分析三杜芬系统检测弱信号的思想四混沌判别方法及混沌系统判据五混沌系统的进一步发展六进一步的想法和理解一混沌的想象，定义及其特征混沌并非无序，简单确定的系统不仅可以产生简单确定的行为，还可以产生貌似随机的不确定行为，即混沌行为。
混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象；是确定性与不确定性，规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象；目前在不同的学科领域里对混沌有不同的理解和表达方法，体现出在各自领域中的应用特点。
1）混沌是非线性动力系统在一定控制参数范围内产生的，对初始条件具有敏感依赖性的非周期行为的状态，处于这种行为状态的系统称为混沌系统。
其中非线性是动力系统出现混沌行为最根本的条件，是系统必然要具备的因素。
（2）在决定论混沌中，混沌是一种动力学系统的演化形式。
在经典力学中，不论耗散系统还是保守系统的运动，都可用相空间中的轨迹来表示。
混沌运动是确定论系统中局限于有限相空间的轨道的高度不稳定的运动。
（3）世界知名的动力气象学家，混沌理论的创立者之一Lorenz指出混沌具有三个特点1貌似随机；2对初始条件敏感的依赖性；3敏感的依赖于初始条件的内在变化。
二混沌特征（1）对初始条件的敏感依赖性表现为对一条混沌轨道施加无穷小的扰动，则在时间演化过程中该轨道将以指数律发散的形式偏离原轨道。
典型的现象是蝴蝶效应，也可用“失之毫厘，谬以千里”（2）长期不可预测性混沌的非线性动力学特性决定了混沌是不可以预测的，混沌对初始值的敏感性说明对其进行预测存在一定难度。
对于一个混沌过程，对初始值的敏感性导致了每预测一次就会丢失一部分信息，当预测若干次后，丢失的信息越来越多，剩余的信息不足以进行合适的预测，因此混沌不适合做长期预测。
（3）分形性分形性指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征，表示混沌运动状态具有多叶，多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。
2_混沌的基本概念
2. 混沌基本特征与混沌定义
自动化学院
School of Automation
“混沌既不收敛、也不发散、也不周期（似周期） ，是确 定性系统中的一种非周期行为 （这正是 Lorenz 本人对混 沌运动的本质描述）”。在确定性系统中，常规行为（非 混沌行为或平庸行为）无不外乎是三种情况：收敛、发 散、周期。而混沌行为则是除了这三种平庸行为之外的 第四种行为。换言之，混沌是确定性系统中一种“既不 收敛、也不发散、也不周期”的非周期运动形态。下面 将要讲到的 Li-Yorke 混沌定义，正是以此为依据的。
自动化学院
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迭代结果如下图所示：
xn +1
( x2 , x3 )
xn +1 = xn
x0 闭合圈
不动点(周期1)
x3 x2
( x0 , x1 )
x1
( x1 , x2 ) ( x2 , x2 ) ( x1 , x1 )
f ( x)
xn −1
非闭合圈 x2
x1
不动点
混沌的发现，改变了人们以往对动力系统行为的 片面认识。混沌基本特征体现在以下几个方面： “混沌是确定性系统中的内秉随机性”。通过对混沌 的研究发现，在确定性系统中，也可以产生长期不可 预测的随机行为，这是人类认识论上一大飞跃。因此 可将“混沌”称之为“确定性系统中的内秉（内在）随 机性”。而随机系统产生的随机行为完全是由于方程 本身存在的随机项引起的，称为“外在随机性”。
对一维离散动力系统，可以用作图法得到点 x 的前向轨道前面 有限项的性态。下面以抛物线映射 xn +1 = λxn (1 − xn ) 为例来说明，但 该方法对一般离散系统 xn+1 = f ( xn ) 都是适用的。为此，可先作出
混沌理论学习的总结
(1)
式中 τ 为时间延迟，m 为嵌入维数。 （2） 选取邻近点。设中心点 XM 的 K 个邻近相点为（XMi=1,2…,K） ，到中心点 XM 的欧式距 离为 d i ，设 dmin 是 d i 中最小值，定义 X Mi 的权值为 Pi ，则
di X M X Mi
判断系统是否具有混沌特征（需先求出 τ 和 m） 常用表征系统是否具有混沌特征一般有两类方法：定性方法（功率谱）和定量方法（最 大Lyapunov指数） 。利用Fourier分析法求出时间序列的功率谱，从而可以识别该时间序列表征 的动力系统的规则性态与不规则性态。若时间序列具有混沌特征，则其功率谱具有连续性、 噪声背景和宽峰特征等图形特征；若时间序列是确定性的周期系统，则其功率谱是仅包含有 基频和其谐波或分频的离散波形；若时间序列是确定性的准周期系统，则其功率谱是包括不 同层次频率的离散波形，但谱线并不像周期运动那样以某间隔的频率分离。 最大Lyapunov指数是评判和表征非线性时间序列混沌特性的重要参数，是一个非常关键 的混沌不变量。Lyapunov指数是用来描述混沌系统内部相邻相点间辐散的平均速率（其中正 Lyapunov指数值（ Lyapunov指数＞0）评判两个相邻轨道的平均指数分离程度，负 Lyapunov 指数值（Lyapunov指数＜0）评判两个相邻轨道的平均指数靠拢程度） 。如果一个非线性系统 是离散的，那么正Lyapunov指数则是衡量系统是否混沌的一个重要指标。 （PS：Lyapunov指数 的倒数就是有效预测步数！ ） 从时间序列的角度来研究混沌，我们知道对于决定系统长期演化的任一变量均包含了系 统所有变量长期演化的所有信息。因此，我们可以通过决定系统的长期演化的任一单变量时 间序列来研究系统的混沌行为，于是帕卡德（Packard）等人提出的重构相空间理论。 相空间的重构： 混沌动力学系统分析的第一步是相空间重构。由 Takens 定理可知系统中任意一个分量的 演化均是由与它相互作用的其它分量所决定的。所以，这些相关分量的数据信息隐含在任意 一分量的变化过程中，系统相空间的重构只需要考察其中的一个分量，再通过某些延时点上 的观测数值找到如 Y={x(i),x(i+τ),…,x(i+(m-1)τ},x(i+ (m-1)τ)}所示的 m 维向量，就能重构出一 个等价的相空间用于恢复原有的动力学系统。 从 Y 中可以看出， 未知参数只有 m 和 τ， 所以， 如何选择适当的嵌入维数 m 和延迟时间 τ 是相空间重构的主要研究内容。 举例： 设时间序列为 X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}，假设算出此时间序 列的 τ=3，m=5。则相空间重构有：M=N-（m-1）τ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
混沌
对初值不敏感依赖的系统，可以是线性的也可以是非线性的。但对初值敏感依赖的系统却只有非线性的才有可能。确定论系统的随机性是由非线性所致。
单摆和布朗运动是两种极端情况，自然界中常见的运动形态，往往既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于二者之间。因此混沌系统是非常广泛的。
混沌现象19世纪就观察到了，但由于混沌的研究非常复杂，需要很高的数学要求，所以当时没有进展。计算机的广泛应用，为人类，也为数学家打开了另外一个窗口。在求解微分方程上，有了一种称之为数值解的东西。于是混沌第一次被提出在1975年。混沌理论是近年来非线性科学取得的重要成果。
不确定系统
不确定系统的研究是从赌博开始的，这就是概率论，数理统计和随机过程。这个在经济方面目前用得很广泛，好理解但要深入却难。它在物理学的应用好象开始是热力学的布朗运动，气体分子的运动呈现统计
在上个世纪（20世纪），量子理论的诞生，它却是建立在概率统计的基础上，最典型的是测不准原理，就是你无法同时测量到微观粒子的位置和动能，只能测到其中一个量，这样微分方程一开始就没有初始值，更谈不上求解了。
确定论系统
确定论系统——描述其数学模型是不含任何随机因素的完全确定的方程的系统。
混沌工程总结报告
混沌工程总结报告全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：混沌工程是一种具有挑战性和创新性的项目管理方法，被广泛应用于各类复杂工程项目中。
在混沌工程的实践过程中，项目团队需要具备高度的灵活性和创造力，以应对项目过程中出现的各种不确定性和变化。
本文将对混沌工程的概念、特点、优势以及实施过程中的注意事项进行总结和分析，旨在帮助读者更好地理解和应用混沌工程方法。
一、混沌工程的概念混沌工程是一种基于复杂系统理论和混沌理论的项目管理方法，其核心思想是将项目视作一个复杂、不确定的系统，通过有效的协调和管理来应对项目过程中的混沌状态。
混沌工程的实践过程通常包括项目计划、执行、监控和调整等阶段，项目团队需要灵活应对各种变化和挑战，以实现项目的最终成功。
1. 不确定性高：混沌工程所面临的环境和项目风险较高，项目过程中可能会出现大量的不确定性因素，项目团队需要灵活应对。
2. 变化频繁：在混沌工程中，项目需求和要求可能会发生频繁变化，项目团队需要及时调整项目计划和资源布局。
3. 自组织性强：混沌工程倡导项目团队自组织和自管理，鼓励团队成员之间的密切协作和信息共享，以提升项目执行效率和项目结果质量。
4. 创新性强：混沌工程鼓励团队成员开展创新性的工作方式和方法，以帮助项目团队应对挑战和解决问题。
1. 灵活性强：混沌工程能够帮助项目团队灵活应对项目过程中的各种变化和挑战，提升项目的执行效率和项目结果的质量。
2. 创新性高：混沌工程倡导创新思维和创新方式，能够激发团队成员的创造力和发明心，推动项目的持续发展和成功。
四、混沌工程实施中的注意事项1. 提前规划：在项目启动前，项目团队需要在细致规划项目目标、范围和资源时，充分考虑项目中可能出现的不确定性和挑战，为项目执行奠定良好基础。
2. 持续监控：在项目执行过程中，项目团队需要及时监控项目执行情况，发现并规避潜在风险和问题，提前调整项目计划和资源分配。
4. 加强沟通：在混沌工程中，项目团队需要加强团队成员之间的沟通和协作，确保信息的及时传递和共享，以促进项目的顺利执行。
关于混沌小论文--概念、混沌控制方法、应用领域等
混沌论文即使没有外界影响社会系统在自身理性逻辑的控制下，它的发展行为也是完全不可预测的。
甚至政策上的微小变化都有可能导致完全不同的变化───莫斯基德（E.Mosckilde）拉森（rsen）斯特曼（J.D.Sterman) 这种多因素影响的事物发展过程的不确定性即混沌。
（一）混沌的概念：混沌(c h a os ) 是指在确定的系统中出现的一种貌似不规则的运动, 是非线性动力系统具有内在随机性的一种表现。
其特征表现为对初始值的敏感性和对未来(即长期演变)的不可预测性。
混沌所显示的类似随机的行为过程, 与具有外在随机项的非线性的不规则结果有着根本的差异。
对于那些由于方程中加卜随机项或随机系数lflJ’得到的随过程来说, 系统的精确行为无法界定; 而对于混沌来说, 系统的结构是确定的, 而且系统的行为在短期内也是可以确定的。
但是在某些参数值范围内, 系统的行为会出现不稳定的或是不规则的变化, 初始条件的微小变化经一系列的递归演化后将导致系统行为的轨道发生巨大的漂移, 从而使系统行为演化轨道的概念失去原有的描述含义。
混沌现象是非线性系统中普遍存在的, 而产生混沌的途径也是多种多样的, 一般有以下四种:(1) 倍周期分又路径, 即系统中相继出现2 , 2^2，2^3……2^m的倍周期分叉, 然后进入混沌状态。
(2) 阵发混沌路径, 即在系统中发生切分叉点之后, 表现出忽而周期忽而混乱, 随机地在两者之问跳跃的生成路径。
阵发混沌与倍周期分叉实质上是李生现象, 在凡是能观察到倍周期分叉的系统中, 原则上均会出现阵发混饨现象。
(3) 含有不可约频率的准周期路径, 即山具有两个或多个不可约(也即比值为无理数)的频率成分的准周期运动进人混沌状态。
(4)稳定流和不稳流横截相交产生混沌。
混沌有如下特点：①对初值的极其敏感性。
混沌的本质特征是系统长期行为对初始条件的敏感依赖性,或称“蝴蝶效应”, 若初值有微小偏差,长时间后会出现较大的、无法预测的偏差,即系统的长期不可预测性。
混沌的启示
混沌的启示庄周我在给交易员上理念课的时候，经常被问及：“究竟什么是混沌？”。
答案涉及很多方面，很难用只言片语来解释清楚。
常识将混沌理解成“随机”，比如水分子的“布朗运动”，博彩中A球出现的现象，或者洗一副扑克牌。
事实上，远不止如此，混沌还要微妙。
混沌一词，作为科学术语，指的是貌似随机事件背后隐藏的内在联系，一般称为秩序，或高级秩序等等。
通常，我们以线性的眼光来看待世界，去发现所谓的“非此即彼”的、“有因必有果”的“规律”-----在Y=X+3中，如果X=5，那么Y=8；如果X=7，那么Y=10，这是“铁定”的，无论X如何，Y一定有一个唯一的对应的数值，Y随着X的变化形成一条线性的直线（如果公式有变化，也可能是曲线），这就是“规律”；如果汽车每小时行驶60公里，那么10小时将行驶600公里，这也是“规律”；秋天过去了，将是冬天，这还是“规律”。
秩序则有所不同。
我们说电影院散场的观众是有“秩序”的，这并不是说他们排着整齐的队伍出场，而是指他们形成了某种“状态”，这种状态没有明显的“规律”可言，但是毫无疑问，因为这种状态，从总体上说，人们在以最快，最安全，最简单的方式离开电影院。
同样，排队购物的人们也是有秩序的，我们可以看到队伍毫不混乱，似乎形成了某种状态，但是你并不能用什么线性的计算方法来计算队伍的形状------这种状态在随时变化，同时又处于相对的稳定中。
山峰、海岸线的形状也是有秩序的。
它似乎有某种规律的表象，但是又具有绝对的单一性、独特性。
在生活中，我们无时无刻不处于“混沌”的状态，我们试图弄清：暴风雨，洪水，山峰，海岸线，股票价格走势，人体神经和血管所呈现的各种各样的复杂图案。
混沌科学即是研究“隐藏的模式”、“细微的差别”和“事物的敏感性”的科学，是试图发现那些看似杂乱无章的事件背后所存在的“秩序”的科学。
证券市场的价格运动形式，毫无疑问也属于混沌的状态。
市场中的价格运动，本身由无数的交易者行为构成。
混沌小结-知识
混沌的判断依据：混纯理论在不同的领域有着不同的定义和内涵，加上应用领域广阔，至今没公认的统一判断标准，一般情况主要依靠混纯系统的相关概念来判别，具体有:(a)通过数值计算和计算机绘图，观察混纯相图结构和效果，判断混纯现象是否产生吸引子等。
此方法一般不是很科学，没有严格判断标准。
(b)通过计算系统方程的Lyapunov指数，若Lyapunov指数大于零，则称系统是混纯的。
(C)通过计算系统方程的测度熵或者拓扑熵，若测度熵值大于零，则称系统是混纯的。
(d)通过计算系统方程的Hausdorff维数或者关联分维数，若维数非整数，则称系统是混纯的。
(e)通过分析系统方程的功率谱,若功率谱连续,则称系统是混纯的。
(f)通过分析和计算给定系统方程的复杂性与其测度,从而判断该系统是否产生混纯。
由于混沌系统自身的特点，混沌控制也有其鲜明的特点:(l)混沌控制的目标轨道可以是不稳定的平衡点或者是不稳定的周期轨道(极限环)。
设计的控制器用来镇定这些不稳定的轨道或者驱动受控系统从一条轨道切换到另一条轨道。
轨道之间的切换可以是混沌到规则、混沌到混沌、规则到混沌或者规则到规则。
而常规的控制通常并不研究动态系统中的轨道切换问题，并且绝不考虑将系统的轨道驱动到不稳定状态或者混沌状态上去的问题。
(2)混沌系统具有典型的镶嵌着不稳定轨道的稠密集,对微小的初值扰动极为敏感。
这个特点只能够在产生混沌的非线性系统中得到。
(3)大多数的常规控制模式通常是工作在状态空间的框架下，混沌控制则同时涉及参数空间、相空间并且需要应用Pnincare映射、延迟坐标嵌入、参数变换等典型的但非常规的工具。
(4)在经典控制中,跟踪的目标通常是状态空间中的某个定常向量或信号(一般情况下,跟踪目标也可能是参考模型的输出信号),而不是系统自身的状态轨迹,并且控制的终止时间通常是有限的(例如,至少对于线性系统和非线性系统来说,可控性就是通过一个有限的确定的终止时间来定义的)。
物理混沌品质知识点总结
物理混沌品质知识点总结一、混沌的定义混沌是指某些非线性系统具有高度不可预测性和不确定性的状态。
在这种状态下，系统的演化呈现出高度复杂的行为，即使是微小的扰动也可能导致系统的演化轨迹有很大的不同，因此很难进行长期的预测和控制。
二、混沌的来源混沌现象的产生主要是由于系统的非线性和灵敏度。
在非线性系统中，系统的行为往往会呈现出复杂、不规则和不可预测的特性，因为非线性系统的演化方程通常是复杂的非线性方程，难以用数学方法来精确描述。
而系统的灵敏度则是指系统对初始条件的微小变化非常敏感，即初始条件的微小不同可能会导致系统演化轨迹的显著不同，从而产生混沌现象。
三、混沌的特征1. 随机性：混沌系统的演化轨迹呈现出随机的特性，即使系统的演化方程是确定性的，也很难进行长期的预测。
2. 不可预测性：混沌系统的演化轨迹对初始条件非常敏感，微小的扰动就可能导致系统的演化轨迹产生巨大的差异，因此很难进行长期的预测。
3. 确率性：混沌系统的演化轨迹在某种程度上是确定性的，但受到噪声和随机扰动的影响也可能呈现出概率性的特性。
4. 复杂性：混沌系统的演化轨迹通常呈现出高度复杂的结构和形态，不规则性和多样性。
四、混沌的研究方法1. 数值模拟：利用计算机等技术手段对非线性系统进行数值模拟，以便研究系统的演化轨迹和动力学特性。
2. 实验观测：通过实验手段观测和测量真实系统的演化轨迹，以研究系统的混沌特性。
3. 理论分析：通过数学方法对非线性系统进行理论分析，以推导系统的混沌特性和动力学特性。
五、混沌在自然界中的应用1. 大气环流和气候系统：混沌现象在大气环流和气候系统中广泛存在，例如热带气旋、季风环流等都表现出混沌特性。
2. 生物系统：混沌现象在生物系统中也有着重要的应用，例如心脏的跳动、生物体的运动等都可能受到混沌现象的影响。
3. 水文系统：混沌现象在水文系统中也有着重要的应用，例如河流的泥沙运动、地下水的流动等都可能受到混沌现象的影响。
复杂混沌知识点归纳总结
复杂混沌知识点归纳总结一、混沌现象的基本特征混沌现象最早是由洛依德发现的，它表现出了一些特殊的动力学特征，例如无限不可预测性、灵敏依赖于初态、幂律分布等。
对于混沌系统的初态，即使是微小的扰动也可能导致非常大的偏差，这一点使得预测混沌系统的行为变得极其困难。
此外，混沌系统的特征指数展示出一种幂律分布的性质，这也是混沌系统的一种重要特征。
二、混沌系统的数学描述混沌系统的数学描述通常是通过非线性动力学方程来实现的。
典型的混沌系统包括洛伦兹系统、齐明系统、Henon映射等。
这些系统通常可以通过一些简单的微分方程或者差分方程来描述，但是它们通常表现出非常复杂的行为。
混沌系统的数学描述在很多情况下可以通过数值模拟的方法来实现，这一点为我们研究混沌系统的动力学行为提供了非常重要的方法。
三、混沌控制混沌控制是指通过一些外部的干扰或者反馈来改变混沌系统的动力学行为，使其进入一种特定的状态。
混沌控制在很多领域都有非常广泛的应用，比如在通信领域中，我们希望通过一些调制技术来将信息传输到混沌系统的特定状态，从而实现信息的安全传输。
在生物医学领域中，混沌控制也可以用来控制一些生物系统的行为。
混沌控制的方法通常是通过干扰或者反馈来实现的，通过改变系统的控制参数或者在系统中添加一些外力来实现混沌系统的控制。
四、混沌同步混沌同步是指通过一些外部的干扰或者反馈来使两个或多个混沌系统的状态进入同步状态。
混沌同步在很多领域都有重要应用，比如在通信领域中，我们希望通过一些技术来实现两个混沌系统之间的同步以实现信息传输。
在工程系统中，混沌同步也可以用来实现一些复杂的控制任务。
混沌同步的方法通常是通过一些反馈控制来实现的，在混沌系统的控制参数中加入一些反馈项来实现系统之间的同步。
总之，复杂混沌系统是一类非常重要的系统，它们表现出了一些非常重要的动力学特征，比如无限不可预测性、灵敏依赖于初态、幂律分布等。
对于混沌系统的研究在很多领域都有广泛的应用，例如在通信领域、生物医学领域、金融市场等。
包馄饨心得体会10篇
包馄饨心得体会10篇心得体会是指一种读书、实践后所写的感受性文字。
语言类读书心得同数学札记相近;体会是指将学习的东西运用到实践中去，通过实践反思学习内容并记录下来的文字，近似于经验总结。
下面给大家带来关于包馄饨心得体会，希望会对大家的工作与学习有所帮助。
包馄饨心得体会1今天，我学会了一招——包馄饨。
我和爸爸先上市场买了肉，又买了一棵小白菜，和两斤馄饨皮，回到家，爸爸先剁了肉，又切了小白菜，把它们放在一起，又切了葱、姜、蒜。
把他们也放进去，又加了盐、酒、酱油，然后拌了一下，又腌了一会，腌好后，爸爸就开始包了，只见那些馄饨像一个个挺着大肚子的“将军”，我便也想包，就拿起一张面皮，加了很多馅，然后我把它包好，一捏这头，那头出馅了，一捏那头，这头又出馅了，气得我把两头都一捏，肚子却破了，我马上用手把肚子粘了起来，放在那里，和爸爸的比起来，我包的却像一个“伤兵”，我爸便告诉我，包混饨要少加馅，不能加太多了，要不就会破了大肚子了，哦，原来是这样!我知道了，又包了一个又一个，却没有一个破肚子的。
爸爸把馄饨放进锅里煮，煮好了，我就开吃了，我觉得今天的馄饨特好吃，因为有我做的，我心里真高兴!包馄饨心得体会2今天，我和妈妈去菜场买菜，妈妈说：“上次的馄饨真好吃，今天我们再包吧!”我高兴地说：“好啊，这回我也要帮忙!”妈妈把买来的肉和青菜切碎，放入调料搅拌均匀就可以开始包了。
只见妈妈把馅料添进皮子里，用筷子一抵、一捏、一拔，一个漂亮的小馄饨就大功告成了。
我也学着妈妈的样子包了起来。
可是，一不小心，筷子就把皮戳破了，皮可真薄啊!我接连浪费了好几张皮子。
可是我不气馁，又试了几次，终于成功了!妈妈夸我包的真好看!接下来是煮馄饨，我们把水煮沸了，把馄饨放进锅里，等它们漂起来以后，就表示烧熟了。
小馄饨像一条条小金鱼，在锅里游来游去，两个大馄饨像两个金元宝。
我说：“谁吃了金元宝，谁就会有好运哦!”终于等到出锅了。
我品尝了一口，真鲜真香真美味!真是越吃越爱吃!就连幸运的元宝馄饨也吃到了，真开心!今天，我既学会了包馄饨的技巧，还品尝了自己的劳动成果，真是非常充实的一天啊!包馄饨心得体会3今天晚上我们家准备吃馄饨，妈妈问：“要不要帮忙包馄饨?”我说：“要。
混沌(授课)
身边的混沌现象（ ） 身边的混沌现象（3）
6. 人口动力学中指出：在动物种群，如果数量上不存在混 沌或者变异，那么，这个种群必将灭亡。 7. 冥王星的运行轨道不规则，因为太阳系中存在着的混沌。 8. 一大群人的行为是可以预测的，因为最前面的领路人影 响极为重要。这就象群飞的大雁。
身边的混沌现象（ ） 身边的混沌现象（4）
混沌 论——一个确定的系统因随机性产生复杂 ——一个确定的系统 随机性 特性: 特性:
-非线性 -复杂形态 -耗散结构 耗散结构 -循环对称 -对初始状态具高敏感 初始状态具高敏感
规则的 规则的状态
Devancy’s Definition of Chaos
f:X→X is said to be chaotic on X if i) f is topologically transitive. transitive : for all non-empty open subsets U and V of X, there exists a nonnatural number k such that fk(U)∩V is nonempty. ii) The periodic points of f are dense in X. The point x in X is a periodic point of period n if fn(x)=x, n: positive integer. iii) f has sensitive dependence on initial conditions. if there is a positive real number δ (a sensitivity constant) such that for every point x in X and every neighborhood N of x there exists a point y in N and a nonnegative integer n such that the nth iterates fn(x) and fn(y) of x and y respectively, are more than distance δ apart.
混沌操作法基础知识与技巧经验
混沌操作法基础知识与技巧经验混沌操作法（Chaos Magick）是一种现代魔法实践方法，其主要特点是强调个人自由和创造力。
混沌操作法起源于20世纪70年代的英国，由Peter J. Carroll等人创建并发展起来。
混沌操作法的核心理念是混合和整合各种不同的魔法传统和技术，包括神秘主义、占星术、假设宗教、塔罗牌等，以达到个人意愿的目的。
以下是混沌操作法的基础知识和技巧经验：1.信念系统的灵活性：混沌操作法强调对信念系统的灵活性。
魔术师可以随意选择和改变自己的信仰，不被传统的限制所束缚。
重要的是相信自己的意愿能够实现。
2.意愿的清晰表达：在进行混沌操作时，确保你的意愿清晰明确地表达出来。
这可以通过写下来或大声说出来来实现。
要清楚地知道自己想要实现的结果，并集中注意力和精力于此。
3.自我实现术：自我实现术是混沌操作法中的一种重要技巧。
它是通过将感知和行为与自己的目标和意愿保持一致来实现的。
通过积极地塑造自己的思想、情感和行为，你可以逐渐改变现实，实现自己的意愿。
4.魔术仪式的自定义：在进行魔术仪式时，可以根据自己的偏好和需要对仪式进行个性化的调整。
混沌操作法允许魔术师自由地选择和整合各种不同的仪式元素，以符合自己的目标和喜好。
5.灵感的开发和运用：开发和运用灵感是混沌操作法中非常重要的一步。
灵感可以通过冥想、观察自然、研究符号等方法得到。
魔术师可以通过挖掘和利用灵感来开拓思维，扩展意识，实现自己的意愿。
6.平衡和自律：在混沌操作法中，平衡和自律是非常重要的。
保持身心的平衡和健康可以使魔术师更好地实践魔法。
要注意休息和恢复，保持身体和精神的健康状态。
7.实践和经验的积累：混沌操作法是一种需要不断实践和积累经验的技巧。
随着实践的深入，你会逐渐发现自己独特的方法和技巧，不断提升自己的魔法实践能力。
总之，混沌操作法是一种强调个人自由和创造力的现代魔法实践方法。
通过灵活运用各种不同的魔法传统和技术，以自由地追求和实现个人意愿为目标。
混沌理论 综述 很全
混沌现象举例--昆虫繁衍
假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵 后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于 1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时 又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接 触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负 增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换 后，在 1976 年生物学家罗伯特 .梅最终得到虫口方程如下： Xn+1=λXn (1—Xn) 式中各量的取值范围为 n：1，2，3，···∞； Xn：[0，1]； λ：[0，4]
n
则称 f 在S上是混沌的。
混沌的概念
Li-Yorke 定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质： 存在所有周期的周期轨道； 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现； 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
1. 2.
3.
Байду номын сангаас
混沌的特点
3.
长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差 异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长 期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长 期演化行为是不可预测的。
混沌的特点
4.
分形性
分形 (Fractal) 这个词是由曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot) 在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
混沌现象举例 -蝴蝶效应 1961 年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述
混沌入门
12.1.1 混沌理论的发展"混沌"一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之起源持混沌论，主张宇宙是从混沌状态开始，逐渐形成现今有条不紊的世界的。
1890年，法国科学家庞加莱在研究三体问题时发现，三体引力相互作用能产生复杂的行为，确定的动力学方程的某些解有不可预见性。
三体运动是典型的混沌现象，这一发现使庞加莱成为公认的混沌理论开创者。
庞加莱还为混沌动力学理论贡献了一系列重要概念，如奇异点、分岔、同宿、异宿等，还提出了参数微绕、庞加莱截面法等混沌研究方法。
到了1903年，庞加莱把动力学系统与拓扑学结合起来，指出混沌存在的可能性。
此后，很多科学家在各自的研究领域为混沌的建立进行了知识积累。
1918年，G. Duffing的研究揭示了非线性振动系统的奇异现象，后来在生态领域总结出Logistic方程，作为最简单的一维混沌系统，Logistic方程也是目前研究最深入、应用最广泛的混沌系统。
现代意义的混沌（Chaos）起源于20世纪五六十年代。
在保守系统的研究中，Kolmogrov发现如果把一个充分接近可积Hamilton系统的不可积系统当作可积Hamilton系统的扰动来处理，则在小扰动条件下，系统的运动图像与可积系统基本一致；当扰动较大时，系统图像就会产生混沌现象。
随后Arnold和Moser分别给出了较弱条件下的证明。
后来，在耗散系统的研究中，美国气象学家Lorenz做出了突出贡献。
1963年，Lorenz在用计算机模拟天气变化时，发现一个确定的含有3个变量的自治方程却能产生混沌解，使得气候不能精确重演。
他在其著名的论文《确定性的非周期流》中揭示了混沌系统的不可预测性，并指出了非周期性和不可预见性之间的联系，由此拉开了混沌研究的序幕。
他还发现了著名的"蝴蝶效应"，并开创了用数值实验方法研究混沌的先河。
20世纪是混沌科学蓬勃发展、突飞猛进的时代。
混沌原理实验报告总结(3篇)
第1篇一、实验背景混沌现象是自然界和人类社会中普遍存在的一种复杂现象，它具有对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性和丰富多样的动力学行为等特点。
近年来，混沌理论在工程、物理、生物、经济等领域得到了广泛的应用。
为了深入理解混沌现象，我们进行了混沌原理实验，以下是实验总结。
二、实验目的1. 了解混沌现象的产生原因和特点；2. 掌握混沌系统的基本动力学行为；3. 研究混沌现象在工程领域的应用。
三、实验原理混沌现象的产生与非线性动力学系统密切相关。
在非线性系统中，系统状态的变化往往受到初始条件、参数选择等因素的影响，从而导致系统呈现出复杂的行为。
混沌现象具有以下特点：1. 对初始条件的敏感依赖性：系统状态的微小差异会导致长期行为的巨大差异；2. 长期行为的不可预测性：混沌系统在长期演化过程中表现出随机性；3. 动力学行为的丰富多样性：混沌系统具有多种动力学行为，如周期运动、倍周期运动、分岔、吸引子等。
四、实验内容1. 搭建混沌电路实验平台；2. 观察混沌现象的产生过程；3. 研究混沌系统的动力学行为；4. 分析混沌现象在工程领域的应用。
五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生过程：通过实验观察到，在混沌电路中，当电路参数达到一定范围时，系统状态将呈现混沌行为。
此时，电路输出信号呈现出复杂、无规律的变化，表现出混沌现象。
2. 混沌系统的动力学行为：实验过程中，我们观察到混沌系统具有以下动力学行为：（1）周期运动：当电路参数在某一范围内变化时，系统状态呈现周期性变化；（2）倍周期运动：当电路参数进一步变化时，系统状态呈现倍周期性变化；（3）分岔：当电路参数继续变化时，系统状态发生分岔，产生新的混沌吸引子；（4）吸引子：混沌系统在长期演化过程中，最终趋于某一稳定状态，称为吸引子。
3. 混沌现象在工程领域的应用：混沌现象在工程领域具有广泛的应用，如：（1）混沌加密：利用混沌系统对信息进行加密，提高信息安全性；（2）混沌通信：利用混沌信号进行通信，提高通信质量；（3）混沌控制：利用混沌系统进行控制，实现精确控制目标。
混沌学——精选推荐
混沌学中的简单与复杂何谓简单？何谓复杂？我们对于简单的理解有很多，比如说，当组成系统的要素只有有限的个数，最好是可以搬着手指数得过来，就说这样的系统是简单的，这是构成的简单。
如果系统总是在不断重复中运行，像钟摆、像绕太阳运动的行星一样周而复始，就说这是简单的周期运动，这是行为的简单。
如果物体的形状用有限个直线和圆就可以描述，外观舒展整齐、线条洗练，就说它是几何化的（当然是欧几里得几何），这是形状的简单。
还有作用的简单，如果系统中要素间的相互作用是线性的、可叠加的，……对应着简单，对于复杂的认识也有不少，比如说，要素众多、盘根错节的运动轨迹、难以描述的图形、多变的结构、非线性作用，等等，都是从不同角度理解复杂。
迂回一点的话，我们还可以从解决问题所需要花费时间的多少、所编计算机程序的长短等，判断事情复杂与否。
在上个世纪70年代之前，人们对简单或复杂的看法很明确，简单就是简单，复杂就是复杂，因此，简单系统的行为必然简单，复杂行为的原因肯定复杂。
然而，在混沌学中简单与复杂的关系可不简单，呈现种种深刻的关联。
首先，简单系统能够产生出复杂行为。
混沌可以出现在一些极简单的确定性系统中，具体地说，它只要求构成要素不低于三个，因此只有三个要素的系统就可能具备极复杂的行为。
比如说我们已经习惯了地球年复一年地绕太阳运行，这是个简单力学系统中的简单周期运动。
但如果让地球绕两个太阳运行，虽然仍是简单力学系统，只不过由两个天体增加到了三个，地球的运动便将复杂到无法想象的程度，就像一只被无数只大脚乱踢的足球。
需要注意的是，这时“地球”的运动仍是严格遵循力学规律的。
1963年建立的洛仑兹动力学方程，一个描述大气对流状况的数学模型，也向世人展示了这一现象。
这个方程描述的系统只有三个变量，其运动却是混沌的。
我们可以试着感受它的复杂：想象天空中有一只美丽的蜻蜓，它不是在自由的飞翔，而是按照一个极为确定的指令——洛仑兹动力方程——飞翔，那么它所留下的轨迹就正好是洛仑兹动力学方程描绘的运动轨迹，结果你就看到了一种奇特的形状——像一只展开了双翼的蝴蝶（见图），有着永不相交、永不重复的高深莫测的圈和螺线。
论文----我对混沌的认识
我对混沌的认识摘要：蝴蝶效应（Butterfly Effect ）是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。
这是一种混沌现象。
混沌一个看似荒谬的现象，却是存在的真实的普遍的现象，给科学发展注入新的活力。
那混沌是什么？关键词：混沌理论控制发展及应用一、引言湍流现象——无序中的有序在雷诺的管流实验中，湍流是指流体中质点的运动杂乱无章，其中含有大量的无规则的三维旋涡，流体质点的动量和能量高效率的相互混合，使其平均速度在剖面中心部分平坦而边缘陡峭，造成壁面剪应力增大，从而使管流阻力增大的流体的一种流动状态。
湍流的特点之一是它的物理量无论对时间还是对空间都是随机涨落的。
湍流的实验特点在于湍流中物理量是随机脉动的。
然而湍流的实验发现：湍流并非是流体完全随机的无序运动，而是在紊乱中存在着相当有组织的有序运动。
湍流也是混沌现象之一。
混沌运动是1963 年由美国气象学家洛伦兹（E.Yorke）在研究区域小气候求解他所提出的模型方程首先发现的。
因此，洛伦兹方程在混沌学历史上也有重要地位，特别是对它的分析在了解非线性方程如何出现混沌解方面很有意义。
现代非线性理论中的混沌的概念是1975 年李天岩和约克（J.Yorke）在题为《周期3 蕴涵着混沌》的论文中首先提出，即混沌是非线性系统中的一种特殊的运动状态。
但是，论文中关于混沌的概念与通常人们（特别是过去）对混沌（chaos）一词的理解完全不一样（在古代，无论是中国还是西方，混沌都表示宇宙形成之前的元气）。
开始时（主要是20 世纪70 年代）为了把它与传统的表示无序概念加以区别，有时人们把这种具有专门含义的混沌称为“确定性混沌”（deterministic chaos）。
现在科技界已普遍接受并习惯使用“混沌”一词的专门含义了，于是一般便去掉了“确定性”这一定语。
人们已普遍认为“混沌”就是“确定性系统中出现的随机状态”（1986 年英国皇家学会举办的一次国际性专题学术会上与会者达成的共识）。
同济大学考研10。混沌
混沌(Chaos)古希腊神话中天父 之神。他现今所拥有的大量新概念： “内在随机性”，“自相似”，“分 岔”、“分型”、“分维数”、“吸 引子”等等，足以装点起一个奇妙的 场景――上帝正在谨慎地掷“骰子”， 否则将会“差之毫厘，失之千厘”。
1, 牛顿体系的决定论
X 动力学方 X+dx 程(微分)
面：2维：面积一定=0。 海岸线（在一定范围）面积为0，长度无限
1< 维数 < 2
分 形 (fractal)
——具有伸缩对称性或多重自相似性的对象
山川；河流；云朵；树木；材料断口…
体 系 的 “ 维 ” 数
— — 描 述 一 个 几 何 体 所 需 要 的 独 立 变 量 数
点
零维
线
一维 问题的关键:
4-2 布 朗 运 动 与 分 形
标度变换下的 不变性
自相似
英国海岸线多长？
分形的特点：整体与部分之间存在自相似性
整体具有多种层次结构
4．分形（fractal）
1．标度变换不变性——自相似现象 ①海岸线②对数螺线③布朗运动轨迹④ 期货、股票、K线图⑤气象图⑥动植物经 脉…… 2．分数维： 线：1维：面积为0 ,长 度有限。
动力学方程的非线性项使其结果在某些条 件下敏感地依赖于初始条件.而其长期行为 不能解析预测.
2.非线性方程的解进入混沌后周期趋于无
限,即无法用解析式表达,只能是图解或数
值解(依赖电脑).实际应用时也必须电脑即 时跟踪.
其结果敏感地依赖于初始条 件
三个月后。。。
蝴蝶效应
X=f (dx/dt, d 2x /dt2 ,sint)
ln r3 lnr
=3
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混沌的判断依据：
混纯理论在不同的领域有着不同的定义和内涵，加上应用领域广阔，至今没公认的统一判断标准，一般情况主要依靠混纯系统的相关概念来判别，具体有: (a)通过数值计算和计算机绘图，观察混纯相图结构和效果，判断混纯现象是否产生吸引子等。
此方法一般不是很科学，没有严格判断标准。
(b)通过计算系统方程的Lyapunov指数，若Lyapunov指数大于零，则称系统是混纯的。
(C)通过计算系统方程的测度熵或者拓扑熵，若测度熵值大于零，则称系统是混纯的。
(d)通过计算系统方程的Hausdorff维数或者关联分维数，若维数非整数，则称系统是混纯的。
(e)通过分析系统方程的功率谱,若功率谱连续,则称系统是混纯的。
(f)通过分析和计算给定系统方程的复杂性与其测度,从而判断该系统是否产生混纯。
由于混沌系统自身的特点，混沌控制也有其鲜明的特点:
(l)混沌控制的目标轨道可以是不稳定的平衡点或者是不稳定的周期轨道(极限环)。
设计的控制器用来镇定这些不稳定的轨道或者驱动受控系统从一条轨道切换到另一条轨道。
轨道之间的切换可以是混沌到规则、混沌到混沌、规则到混沌或者规则到规则。
而常规的控制通常并不研究动态系统中的轨道切换问题，并且绝不考虑将系统的轨道驱动到不稳定状态或者混沌状态上去的问题。
(2)混沌系统具有典型的镶嵌着不稳定轨道的稠密集,对微小的初值扰动极为敏感。
这个特点只能够在产生混沌的非线性系统中得到。
(3)大多数的常规控制模式通常是工作在状态空间的框架下，混沌控制则同时涉及参数空间、相空间并且需要应用Pnincare映射、延迟坐标嵌入、参数变换等典型的但非常规的工具。
(4)在经典控制中,跟踪的目标通常是状态空间中的某个定常向量或信号(一般情况下,跟踪目标也可能是参考模型的输出信号),而不是系统自身的状态轨迹,并
且控制的终止时间通常是有限的(例如,至少对于线性系统和非线性系统来说,可控性就是通过一个有限的确定的终止时间来定义的)。
然而,在混沌控制中,跟踪的目标不局限于此。
它通常是给定系统的不稳定周期轨道,这种跟踪通常只需要很小的控制作用,但从技术上来讲,却由于目标轨道的不稳定性而非常难以实
Lorenz混沌系统的同步控制及实验研究现。
并且在混沌控制中,无限的终止时间也是有意义的和符合实际的，因此大多数的非线性动态行为如平衡态、极限环、吸引子和混沌等都是渐近意义下的性质。
(5)依赖于不同的情况或目的,混沌控制和常规控制的性能度量指标是不同的。
混沌控制使用的标准是LyaPunov指数、功率谱、遍历性,而常规的控制通常强调系统的稳定性或控制性能的鲁棒性、控制能量或时间的最优化、抗干扰的能力等。
(6)混沌控制中包括一种特殊的控制一混沌反控制。
在一些特殊的应用中(像生物医药工程等)要求反控制,即产生混沌或者强化己有混沌来改善性能。