高等数学定积分的应用

授课单元12教案

教学内容

课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法

在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积

iinb

??????x ?ff ?xdx ?lim （即整体量） 后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分．

iia 0??1i ?

事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实

??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间 ：

两步：

x [a ,b ] ，求出积分区间确定积分变量1） （[x ,x ?dx ]]a ,b [ ，并在该小区间上找出所求量Q ） 在区间上，任取一小区间的微分元（2素

dQf (x )dx ＝b

Q 的定积分表达式（3） 写出所求量?dxxQ ?)f (a

用以上两步来解决实际问题的方

法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积

b

?

f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、

．由 轴所围成图形面积公式 及，a

d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所

???xxdxs???dx解

围成的图形面积及x与直线172033

40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线

?dxyy?xx?A）的面积成平面图形（如图112a

2211b??????

图1 图2

???????????y?xyyxxx?xyx?y?c,y?d(c?d)2所和与直线、由两条连续曲线

2121d?dy)](x)(xA?[y?y如图(围成平面图形2) 的面积12c 22x?yxy?和（1）计算由两条抛物线所围成图形的面积．例

??xxy?sin x,y?cos0x?如图，及直线(所围成的平面图形的面积2（）求由曲线4).

图4 图3

1）第一步画图求交点，解方程组解（2?xy??????110,BO,0，两抛物线的交点为和

?121121213?

?2?x?y???10,x第二步取横坐标为积分变量，则积分区间为3

]?x?[xx?Axdx????2. 第三步（平方单位）0333330xy?sin???x)?(0?x?得，

??(sin x?cos?x)dx?(cos x?sin x)Adx4?0

于是）解方程组（2?x?cos y4???

4???[sin x?cos x]?[?cos x?sin x]?224（平方单位）?402y?2xy?x?4所围成的图形面积．和直线例

计算由抛物线

图5

所示．首先求出所给直线与抛物线交点，为此，解方程组5这个图形如图解．

y?x?4??2y?2x?????4,482,?222,y??;x?8,y??xx为本题选横坐标即所求交点为，得两组

解．．2121y为积分变量，所求面积为积分变量时，计算较为复杂．因此，应该选取纵坐标4 ?]y?4y?[dy??yy?4A18?? = =．（平方单位）622??2?2?练习

21y1??432

?3x?3轴所围成的平面图形的面积。1、求正弦曲线及和直线]x?[0,xy?sin,?x22（答案3）2x?y8?2xy?）（答案和直线362、求曲线所围成的平面图形的面积。用定积分求平面图形面积的步骤：小结 1）画草图，准确找出所求面积的图形，求曲线交点。（ 2）选择积分变量，确定积分区间，把所求面积表示成定积分。（ 3）计算定积分。（、平面图形面积公式2三、小结：1、定积分的元素法 10）1）--（p185 1作业上册（

课题2用定积分求体积一、平形截面为已知的立体体积)(xA(x)A b?x?a x,且是，设有一立体，被垂直于x轴的平面所截得到的截面面积为的连续函数，求该立体的体积。

x)b]xA([a,在区间上任取一点，，已知截面面积是,dxS(x)dV?x dx，则在点设厚度是微分的体积微元b?dxxA(A?)立体体积为a?R，并且与底面夹角为例一平面经过半径为求截得的楔形的体积。的圆柱体的底面圆心，1x]R,R[??积分变量，区间建立如图坐标系，解?(t y?y a x n)A 22111RR23322????tan x?x)R(?v?x)tan?dx?tan R(R R?3322R?

R??y ox R x

二、旋转体的体积??x?fyxxb??xa,x轴旋转一周所、连续曲线轴所围成的曲边梯形，绕以及，直线1 形成的旋转体（图１）的体

积．

2

图图1

)f(x x][x?a,b为半径的圆，其面积x轴的截面是以，过点取积分变量为，x且垂直于

b2??dxf)(?Vx2?)f(x)(Ax?，于是得旋转体的体积为是a?ycyy?d?(y)y?x轴旋转一周轴所围成的曲边梯形绕、直线２、由连续曲线及、d2???dy?V(y)c

而成的旋转体（图2）的体积为2xy?0?y2x?轴旋转所得到旋转体的体积，与直线所围成的图

??dxxV?解：=x502x?y4?y0?x与直线轴旋转所得到旋转形绕x例：求由抛物线?3224

体的体积所围成的图形绕例：求由抛物线x，42???8dy(yV?)?解：y02xy?y0?y2x?轴旋转所得到

旋转体的体积与直线，例求由抛物线所围成的图形绕（如图）．

解?4244??8???[y8]?16??V?4(???y)dy?[4?y]0020

22yx1??x例求椭圆轴旋转一周所形成立体体积轴和y所围成的平面图形分别绕

22ba b22xay??xxx轴围成的图形绕轴旋转一周所形成立体可以看作半个椭圆解绕与a.

????aa2222???dxxa?xa?dx?V?22aa0?a32?4b2x

轴旋转而成的旋转体22?b2b

2a2?abx?]??[a（立方单位）．0233a22yx1??y类似可求出椭圆绕轴旋转而成的椭

???bdy?V?ab?y??.

球的体积是22ab2a4??b222

（立方单位）b3??b?

练习

21?,xy?x,?0yx y轴旋转一周所形成旋转体的体积所围成的图形分别绕1、求由轴和??,）（答案522y?x,y?xx轴旋转一周所形成旋转体的体积y轴和所围成的图形分别绕求由、2．

??2,）（答案156三、小结

旋转体体积公式

bd22?????dy(x)]Vdx?y[V?)][f(ox oy绕轴旋转：；绕轴旋转：ca作业上册p186 4