数理方程第二章 有界弦的自由振动-1资料
数学物理方程4
由分离变量,波动方程(偏微分方程)变为常微分方程组:
T ' ' (t ) a T (t ) 0(4)
2
X ' ' ( x) X ( x) 0(5) X (0) 0 和 X (l ) 0(6)
Step 2
求特征值和特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0(5) X (0) 0 X (l ) 0(6)
2. 齐次边界条件 是确定特征函数的根本
ξ 2.2 有限长杆上的 热传导
定解问题
ut a 2u xx , 0 x L u u | x 0 0, x L hu | x L 0 x u |t 0 ( x)
第几类边界条件? 是齐次边界条件吗?
初始条件确定叠加系数:
2 nx An ( x) sin dx; l 0 l
l
2 nx Bn ( x) sin dx na 0 l
l
nat nat nx u ( x, t ) ( A cos B sin ) sin . n l l l n 1 n
注意:1. 对齐次偏微分方程才能分离变量! (§2.1,2.2,2.3代表三类齐次方程的解法!)
其中 N n
An A B , n arctan Bn
2 n 2 n
研究方法:我们讨论叠加之前的每一个振动波的特点
(1)固定t=t0,即在某一固定时刻去观察弦上的点
n取定后,振幅Nnsin(wnt0+φ n)是定值
n u ( x, t ) N sin( w t ) sin x l
nx X n ( x) C2 sin l
:特征函数
数理方程(PDF)
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同,因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l,a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
,因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处,振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处,振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
【数理方程】93有界弦的自由振动
r1 r2 0
通解为:X ( x ) Ax B
B0 将条件 X (0) X (l ) 0 代入有 Al B 0 解得:A=B=0
则X(x)=0,不符合非零解的要求,因此 不能等 于零。 ③0
并令 ,为非零数,
2
方程
X ( x ) X ( x ) 0
8)得到满足定解条件的解,除了由上式确定系数 Cn , Dn 之外,还要求上面得到的级数收敛,并且能够对 x,t 微分两次。而这些要求只要对函数 ( x ) 及 ( x ) 加一些 条件,即能满足要求。
说明
当 n 时,它平均收敛于形式解u(x,t)。
始条件,则当n很大时,可以把 Sn ( x, t ) 看成是 u(x,t)的近似解。 在大多数情况下,都是先求形式解,然后在一 定条件下验证这个形式解就是古典解。这个验 证的过程称为综合工作。 我们要求只求形式解,就认为定解问题得到解 决。
【例如1】设有一根长为10个单位的弦,两端固定, x (10 x ) 初速度为0,位移为 ( x ) 1000 ,a 2 10000 求弦作微小横向振动时的位移。
解:设位移函数为u(x,t),其定解问题为:
2u 2u 10000 2 , 0 x 10, t 0 2 t x u x 0 0, u x 10 0, t 0 x(10 x ) u u t 0 , 0 x 10 t 0 0, 1000 t
a 2 n 2 2 ( t ) Tn Tn ( t ) 0 2 l
为二阶常系数线性齐次微分方程。 2 2 2 a n 2 其特征方程为: r 0 2 l an an r1 i r2 i l l nat nat cos sin Dn 通解为:Tn ( t ) C n (n=1,2,…) l l
1方程导出01-弦振动方程
ρ
, f ( x, t ) =
f 0 ( x, t )
ρ
.
注意:由前面的推导,边界张力的垂直分量为:
∂u ( x, t ) Ta ⋅ i u = −T0 , ∂x x = a
u
∂u ( x, t ) Tb ⋅ i u = T0 . ∂x x =b
f0
Tax
A
Ta
Tay
αa
B
Tby
αb
Tbx
Tb
a
b
想的曲线。
∂u ( x, t ) < < 1 ,故 其 高 阶 项 可 近 似 看 着 为 0 。 微小的振动 ─ ∂x
外力── 线密度可设为 f0 ( N / m);方向:f0 > 0向上,f0<0向下。 拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。
4.受力分析及各物理量计算公式
①.受力分析: 如图:小段弦受外力、张力共同作用
问题的数学提法:
设 刻 , 对 应 于 x点 处 的 位 移 为 u ( x , t ) , 求 函 数 t 时 u = u ( x, t )
1
0.5 u 0.5 0
u 1
2
x 1 2 3 4 5 6
-0.5 -0.5 -1 -1 0
1.5 1
t
2 0.5 x 4 6 0
3.分析、假设
①.波动原因: 对 速度变化,当把小段弦视作质点时,这小段弦服从Newton 第二定律:F=ma(外力的合力=质量*加速度)。 ②.术语及假设: 柔软── 抗拉伸,不抗弯曲,从而拉力与弦线相切。 均匀── 弦的线密度为常数,可设为ρ kg/m。 细弦── 弦的直径与长度之比远远小于1,弦可视为理
例
∂u ∂2u − 2 = u +1 ∂t ∂x
数理方程第二章(1)
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路:运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路:运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景:乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景: 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线, 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线,其 振幅依赖于时间 t ,即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
-π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
-π
π
-π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
-π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
-π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π] 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时,y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时,y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
数理方程第讲教学教材
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
有界弦的自由振动
•基本思想: 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解,然后 由叠加原理作出这些解的线性组合,最后: a.物理上由叠加原理作保证,数学上由解的唯一性作保证; b.把偏微分方程化为常微分方程来处理,使问题简单化。
•适用范围: 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
2 2u u 2 0 x l, t 0 t 2 a x 2 , t 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) ( x), t ( x), 0 x l X X 0 ▪分离变量 u( x, t ) X ( x)T (t )
l n at n at Tn (t ) C 'n cos D 'n sin (n 1, 2,3,) l l n a n a n un ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) sin x (n 1, 2,3,) l l l
T ''n (t )
na na n t Dn sin t ) sin x l l l
l l m n m Cm Cn sin x sin xdx 0 ( x) sin l xdx 0 2 l l n 1 2 l m Cm ( x) sin xdx 0 l l 2 l n 2 l n Dn ( x) sin xdx Cn ( x) sin xdx 0 na l l 0 l l
T 104 T 0
X X 0, 0 x 10 X (10) 0 X (0) 0, 2 0 x x 2 X ( x ) Ae Be X X 0 X (0) A B 0 X (l ) Ae10 Be10 0 AB0 X ( x) 0 0 X ( x) Ax B X 0 AB0 X ( x) 0 2 0 X ( x) A cos x B sin x X 2 X 0
3-1 有界弦的自由振动
n 2 π 2 代入方程(4): ′′( t ) + λ a 2T ( t ) = 0 得: T 将特征值 λ = 2 l
a 2 n2 π2 T ′′( t ) + T (t ) = 0 2 l 此方程的通解为:
nπ a nπ a ′ ′ Tn ( t ) = C n cos t + Dn sin t l l 其中 C n 和 Dn 为任意常数. ′ ′
= X ( x )T ( t )
λ
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设定解问题的特解为:
u( x , t ) = X ( x )T ( t )
代入(1)中,则有 或
⎧ ∂ 2u ⎪ 2 = X ′′( x )T ( t ) ⎪ ∂x ⎨ 2 ⎪ ∂ u = T ′′( t ) X ( x ) ⎪ ∂t 2 ⎩
Dn = 0
因此,所求的解为:
4 u( x , t ) = 3 5π
1 (2n + 1)π ∑ (2n + 1)3 sin 10 x cos10(2n + 1)πt n= 0
∞
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解定解问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , ⎪ 2 ∂x ⎪ ∂t ⎪ ⎨ u | x = 0 = ux | x = l = 0, ⎪ ∂u 2 ⎪ u |t = 0 = x − 2lx , |t = 0 = 0, ⎪ ∂t ⎩
通解为 X ( x ) = A cos β x + B sin β x 代入(6)′得
⎧A = 0 ⎨ ⎩ B cos β l = 0
由于 B ≠ 0 ,故 cos β l = 0 ,即
数理方程总结完整版
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数, 即时当f(x,t)为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程,其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u(x,t) = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法,分别是有界弦的
自由振动方程,有限杆上的热传导方程,这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的,齐次或非齐 次边界条件的,齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程,这类方程相对于比较简单,考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程(方程是齐次的)的基本 解:
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④:“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程:
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
数学物理方程第二章(波动)
T T ',与x位置无关
纵向: sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中: cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设:
1)柔软的细弦:弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧:指弦线在弹性范围内,服从虎克定律。 3)横振动:指振动只有沿u轴方向的位移,可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小:指弦上各点位移与弦长相比很小,夹角很小,即
数学物理方程
第二章 波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导:
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题:均匀柔软且拉紧的细弦, 在平衡位置附近作微小横振动, 求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中: dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得: f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式
数理方程第二章 有界弦的自由振动-1
深圳大学电子科学与技术学院
§2.1
什么是分离变量法?
有界弦的自由振动
运用分离变量法所应该具备的条件? 如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意 初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2 2u u 2 a , 0 x L,t 0 2 2 x t u | x 0 0 , u | x L 0 , t 0 u | ( x) , u ( x) , 0 x L t 0 t t 0
(5) (6)
X ( x) 常数 X ( x)
两边对x求导数:
设这一常数为-,则
X ( x) X ( x) 0 T (t ) a 2T (t ) 0
至此可以看出,利用分离变量法的条件是: 泛定方程必须是齐次的。否则(5)变成 方程 X ( x)T (t ) a2 X ( x)T (t ) f ( x, t ) ,不能写 出变量分离的形式(6)。
泛定方程
(1) (2) (3)
边界条件
初始条件
深圳大学电子科学与技术学院
主导思想:
在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时,
常微分方程——不但含有未知函数,而且 还含有未知函数的导数,且自变量只有一 个,称之为常微分方程。
求出足够多的形式解
线性迭加这些足够多的形式解
线性——未知函数,以及未知函数的导数 都是一次幂,称之为线性。
深圳大学电子科学与技术学院xlncxunnsin0但是本征解的初始值不能满足任意初始条件但是本征解的初始值不能满足任意初始条件2为了使原定解问题的解满足任意初始条件考虑到原泛定方程是线性的服从叠加原理可以取为了使原定解问题的解满足任意初始条件考虑到原泛定方程是线性的服从叠加原理可以取本征解的叠加构成定解问题的一般解
数理方程与特殊函数(钟尔杰)2弦振动和几类波动方程的定解条件
u( x,0) 0, ut ( x,0) ( x), 0 x L
(
x)
I /(2
0,
),
L/2
other
x
L/2
12/16
波动方程定解条件III O
u(L,t)
L
细杆在 x = 0 点固定, 在 x = L 处受外力 F(t) 作用
utt F (t ) SYu x (L , t )
u]x L
L, 0,
0 0
t t
u( x,0) 0, ut ( x,0) 0, 0 x L
14/16
偏微分方程定解条件小结: 第一种情况: 初始条件( 求解区域为无界区域 ) 第二种情况: 初边值条件(求解区域为有界区域) I. 第一类边界条件: 给定函数在边界上的函数值 II. 第二类边界条件: 给定函数在边界上的导数值 III. 第三类边界条件: 给定函数在边界上的函数值和
utt
由
ux
(
x
dx, t) dx
ux
(
x,
t)
uxx
(
x,
t)
令 a2 = Y/。化简,得 utt = a2 uxx
或
2u t 2
a2
2u x 2
弦振动问题定解条件
细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.受到垂直于 x 轴方向的扰动,作微小横振动。初始 条件包括初始位移和初始速度 边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态
0 x L
13/16
波动方程定解条件IV
弦的一端固定在原点,另一端与 x 轴上 L 处的弹簧相 接.受到扰动,作上下微小横振动。
分离变量法(有界弦的自由振动)
求解(2.5),将分 λ 求解 三种可能逐一加以分析 (1) λ < 0
<0 λ =0 λ >0
(2.5)的解为
−λ x
X ( x) = C1e
+ C2 e −
−λ x
C1 和 C 2 由(2.7)确定,即有
⎧C1 + C 2 = 0, ⎪ ⎨ −λ l − ⎪C1e + C2e ⎩
−λ l
= 0.
(2.15)
至此,定解问题(2.1)-(2.3)的解已经求出
注意:
分离变量法求解定解问题的关键步骤是: 确定特征函数、运用叠加原理。
分离变量法之所以可行,是因为偏微分方程 和边界条件都是齐次的。
二阶线性偏微分方程的解,不一定是分离变量 的乘积形式。
例 1:求下列定解问题的解:
u tt − a u xx = 0 (0 < x < 1, t > 0)
⎧ X (0)T (t ) = 0 ⎨ ⎩ X ′(l )T (t ) = 0
(6)
∵ T (t ) ≠ 0
故得
X (0) = 0 X ′(l ) = 0
(7)
相应的固有值问题为求
X ′′ + λX = 0
X (0) = 0, X ′( l ) = 0
(5)
的非零解。
(7)
重复前面的讨论可知,只有当 λ > 0 时,上述固有值 问题才有非零解.此时式(5)的通解仍为
附录:
y 二阶常系数微分方程: + py + qy = 0
'' '
r 特征方程: + pr + q = 0
2
根的三种情况:
数理方程与特殊函数(钟尔杰)2弦振动和几类波动方程的定解条件
结合实际应用问题,进一步研究这些方程的定解条件和求解方法,为工程、物理、生物等领域的实际问题提供更好的数学模型和解决方案。
深入研究其他类型的波动方程,如非线性波动方程、色散波动方程等,探究其解的性质和行为。Biblioteka 研究展望THANKS
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有限差分法
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法,它将连续的空间离散化,从而得到一组差分方程,再利用迭代法求解。
05
几类波动方程的定解条件
初始条件(Initial conditions):在一维波动方程中,初始条件通常指在某个特定时间点上波函数的值。
边界条件(Boundary conditions):这些条件描述波函数在空间边界上的行为。
在统计力学中的应用
07
研究结论与展望
研究结论
证明了2弦振动方程的解的存在性和唯一性,并给出了其解的表达式。
对于几类波动方程,推导并证明了它们的定解条件,包括初始条件、边界条件和物理约束条件。
通过数值模拟和分析,揭示了这些波动方程的解的性质和行为,包括传播速度、振幅和波形等。
01
02
03
进一步研究2弦振动方程和其他复杂振荡系统的动力学行为,包括多振荡模式、混沌等现象。
xx年xx月xx日
数理方程与特殊函数(钟尔杰)2弦振动和几类波动方程的定解条件
目录
contents
引言数理方程的基本概念特殊函数的基本概念弦振动方程的定解条件几类波动方程的定解条件数理方程与特殊函数在物理中的应用研究结论与展望
01
引言
数学模型在自然科学、工程技术和金融等领域有广泛应用,如物理中的弦振动方程描述了弦的振动行为,金融中的偏微分方程刻画了资产价格的演变过程。
华科大数理方程与特殊函数课件——有界弦的自由振动
utt a 2u xx u(0,t) 0,
(0 x l, t 0), u(l,t) 0,
(1) (2)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x),
(3)
18
存在性定理*
若(x) C 4[0,l](四次导数连续的函数),
(x) C 3[0,l],并且 , '', 在 x 0, l 处取值
于是得
n
( n
l
)2
(n 1, 2 , ).
(10)
从而找到一族非零解
特征值
X
n
(x)
Bn
sin
nx
l
(n 1, 2, ). (11)
特征函数
10
现在考虑 T ''(t) a2T (t) 0,
(6)
将特征值
n
( n )2
l
代入方程(6)得
(n 1, 2 , ).
(10)
其通解为
T ''(t) ( na )2T (t) 0,
l
Tn
(t)
Cn
cos nat
l
Dn
sin
nat
l
(n 1, 2, ). (12)
这样就得到方程(1)的满足齐次边界条件(2)的
变量分离形式的特解 un (x,t) X n (x)Tn (t)
11
un
( x, t )
(an
cos
nat
l
bn
sin
nat
l
) s in
nx
l
(n 1, 2, ),(13)
nx
l
(n 1, 2, ),(13)
8.1有界弦的自由振动
Mathematical Methods in Physics 武汉大学 物理科学与技术学院Wuhan University第八章 分离变量法The Method of Separation of VariablesWuhan University问题的引入:⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0行波法1 1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 2 2a∫x + atx − atψ (α ) d α缺点: 通解不易求,用定解条件定特解常有困难, 有局限性。
思路:引入一直接求特解的方法Wuhan University第三章 分离变量法中心内容: 用分离变量法求解各种有界问题 基本要求: • 掌握有界弦的自由振动的解及物理意义• 着重掌握分离变量法的解题思想、解题步骤及 其核心问题——本征值问题 • 掌握求解非齐次方程的本征函数展开法 • 掌握将非齐次边界条件齐次化的方法 • 掌握在柱、球坐标系中对 Δu = 0 和 Δu + λu = 0 的分离变量及所得到的特殊函数微分方程Wuhan University§8.1 有界弦的自由振动Free transverse vibration of a finite string 一.定解问题⎧utt = a 2u xx , 0 < x < l ⎪ ⎨u x =0 = 0, u x =l = 0 ⎪ u = ϕ (x ), u t t =0 = ψ ( x ) ⎩ t =0二. 求解(1) (2) (3)思路: 两端固定的弦形成驻波,故可用驻波 法(即分离变量法)求解。
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Lux, y, z, t 0
基本问题:将二元的偏微分方程转化为空间和 时间的常微分方程,比如
u( x, t ) X ( x)T ຫໍສະໝຸດ t )Lux, t 0
L x X ( x) 0 LtT (t ) 0
(7)
这样空间函数 X ( x) 构成下列常微分方程的边值问题:
(8)
至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐 次的。否则 X (0)T (t ) f ,不能写出关于空间函数 X(x)单独的 边界条件(7),不能构成定解问题(8)。
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以下的任务:
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
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§2.1
什么是分离变量法?
有界弦的自由振动
运用分离变量法所应该具备的条件? 如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意 初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2 2u u 2 a , 0 x L,t 0 2 2 x t u | x 0 0 , u | x L 0 , t 0 u | ( x) , u ( x) , 0 x L t 0 t t 0
使之满足初始条件 从物理学知,乐器发出的声音,可以分解为各种不同频率的单音,每种 单音振动时所形成的正弦曲线,其振幅依赖于时间 t 。 为此,特解可表示为
u( x, t ) A(t ) sin x
特点:
的形式.
u 中的变量 x , t
被形式上分离为 振幅-关于时间t 位相-关于坐标x
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偏微分方程
定解条件
求满足它们的解(定解问题)
在微积分学中: 多元函数的 微分 积分 (转化为) 一元函数的 微分 积分
分离变量法: 偏微分方程 (转化为)
(定解问题)
常微分方程的求解
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基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化 为几个单元函数的常微分方程
u( x, y, z, t ) X ( x)Y ( y)Z ( z)T (t )
分离变量:
设方程(1)有分离变量解: u( x, t ) X ( x)T (t ) (4) 代入方程(1):
X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )
d X ( x) d T (t ) 0 2 dx X ( x) dx a T (t )
泛定方程
(1) (2) (3)
边界条件
初始条件
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主导思想:
在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时,
常微分方程——不但含有未知函数,而且 还含有未知函数的导数,且自变量只有一 个,称之为常微分方程。
求出足够多的形式解
线性迭加这些足够多的形式解
线性——未知函数,以及未知函数的导数 都是一次幂,称之为线性。
boundary condition
definite solution problem 非齐次泛定方程: Nonhomogencous Universal Definite Equation Method of separation of variables:分离变量法
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物理学、工程技术领域的许多问题 ,都可以归结为偏微分方程的 定解问题。
(9) (10)
1. 0 :方程(9)的通解为 X ( x) A Bx
由(10)得 A B 0 (平庸解:X(x)=0) 2. 0: 方程(9)的通解为
X ( x) A exp(kx) B exp(kx)
设k
(11)
(5) (6)
X ( x) 常数 X ( x)
两边对x求导数:
设这一常数为-,则
X ( x) X ( x) 0 T (t ) a 2T (t ) 0
至此可以看出,利用分离变量法的条件是: 泛定方程必须是齐次的。否则(5)变成 方程 X ( x)T (t ) a2 X ( x)T (t ) f ( x, t ) ,不能写 出变量分离的形式(6)。
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将边界条件(2)代入形式解(4):
X (0)T (t ) 0, X ( L)T (t ) 0,
由于 T (t ) 0,否则 u( x, t ) 0 (平庸解,无实际意义),故
X (0) X ( L) 0
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
X ( x ) X ( x ) 0 有满足条件
X (0) X ( L) 0 的非零解;
确定取何值时 ,方程
——本征值
求出这个非零解 X ( x )
本征值 问题
本征函数
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下面求解边值问题:
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
使之满足初始条件
通解——一般地讲,一阶常微分方程含有 一个任意常数的解,称之为通解。
特解——确定了任意常数的解,称之为特 解。一般来说,当初始条件给定之后,满 足初始条件的特解只有一个。
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启发:
求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的形式解。
线性组合这些足够多的形式解
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分离变量法提要: • • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
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definite condition 定解条件 initial condition