分式与根式
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第一课时根式及分数指数幂
教学目的：
1. 掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中
2. 理解分数指数幂的概念.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
4．培养学生用联系观点看问题.
教学重点：1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
教学难点：对分数指数幂概念的理解.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入
初中我们学过平方根和立方根，
什么叫平方根？什么叫立方根呢？
提出问题：
如果29
x=，则x= ；x叫做9的；
如果23
x=，则x= ；x叫做3的；
如果38
x=，则x= ；x叫做8的；
如果38
x=-，则x= ；x叫做-8的．
=，那么x=a的平方根（二次方根）a的算术平方如果2x a
=，那么x=a的立方根（三次方根）．
根；如果3x a
学生讨论（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
1.平方根的表示方法：
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 其中a 叫做被开方数 2.立方根的概念：
如果3x a =
，那么x a 的立方根（三次方根）． 如53=125 则把5叫做125的立方根 （-5）3=-125 则把-5叫做-125的立方根 数a 的立方根用符号“
读作“三次根号a ” .
开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
•
（1） 81 （2） 0.49
22516
• （5）8 （6）－9
•
（7）（－4）2 （8） 10－2
求下列各数的立方根： 1）-8
2）8
a a -a
±数a 的立方根用符号“ ”表示，.
3
a
正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根 ；另一个是 ，它们是一对互为相反数，合起来是
278
（4）0.216
(5) 0
动脑思考 探索新知
问题1: 如果一个数的n 次方(其中n 是 大于1的整数)等于a ，你能否类比平方根 和立方根说明这个数的意义？ 1、如果一个数x 的n 次方等于 a (n 是大于1的整数)，则这个 数x 叫a 的n 次方根； 2、求一个数的n 次方根的运 算叫做开n 次方. 问题2：求下列各题中的x x5=32，x= ；x5=-32，x= .
x4=16，x= ；x4=-16，x= .
x5=0， x= ；x4=0， x= 问题3：观察以上运算及结果， 类比平方根与立方根，你能否说 明当根指数n 取不同的值时，a 的 n 次方根可以分为几类？每一类 方根有哪些性质？ ２）n 次方根的表示
1．整数指数幂的概
*)(N n a a a a a a
n n
∈⋅⋅=
个 )0(10≠=a a ,0(1
N n a a
a n n
∈≠=
- 2．运算性质：
)
()()
,()()
,(Z n b a ab Z n m a
a Z n m a a a n n n mn
n
m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
3．注意
① n
m
a a ÷可看作n
m
a
a -⋅ ∴n m a a ÷=n
m a
a -⋅=m a
-② n b a )(可看作n
n b a -⋅ ∴n b
a )(=n n
b a -⋅n n b
二、讲解新课：
1．根式：
⑴计算（可用计算器）
①2
3= 9 ，则3是9的平方根 ；
②3
)5(-=－125 ，则－5是－125的立方根 ； ③若4
6=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ； ④5
7.3=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 . ⑵定义：
一般地，若*),1(N n n a x n
∈>= 则x 叫做a 的n 次方根
n
a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为532-，6
a 的3次方
根表示为36a ；16的4次方根表示为!416，即16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反. ⑶性质：
①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数
记作：
n a x = ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）
记作： n
a x ±=
③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为0
注：当a ≥0时，n a ≥0，表示算术根，所以类似416=2的写法是错误的. ⑷常用公式
根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5
=-32.
②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨
⎧<-≥)
0()
0(a a a a .
例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2
)3(-=|-3|=3.