至诚离散证明题

离散数学证明题专项训练1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群证明：由条件e a =2，所以1-=a a ，则对任意的a ，b ，11-*-=*b a b a另外，由e b a =*2)(，得e b a b a b a =***=*)()(2)(，两边同时左乘以1-a ，右乘以1-b ，利用结合律，得11-*-=*b a a b 所以a b b a *=*，<G ，*>是交换群2．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 证明(1) SCP 规则 (2) ⌝S ∨PP(3) P(1),(2)析取三段论(4) P →(Q →R) P (5)Q →R (3),(4)假言推理 (6)QP(7)R(5),(6)假言推理3.设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø证明：A —B=AA ∩~B=A =>A ∩~B ∩B=A ∩B=>A ∩B= øA∩B= ø=>(A∩B)∪~B=~B=>A∪~B=~B=>A∩(A∪~B)=A∩~B=>A∪(A∩~B)=A-B=>A=A-B4. 设R,S都是非空集合A上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS具有对称性当且仅当 RoS=SoR.证明：1）必要性对于任意<x,y>∈RoS<=><y.x>RoS<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=>存在z(<z,y>∈S ∧<x,z>∈R)<=><x,y>∈SoR所以RoS=SoR.2)充分性对于任意<x,y>∈RoS<=> <x,y>∈SoR<=>存在z(<x,z>∈R ∧<z,y>∈S)<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=><y,x>∈RoS所以：RoS具有对称性。

5、（7分）A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1)}, R={<(a,b),(c,d)>| (a,b),(c,d)∈A 且a+b=c+d }. (1)证明：R 是A 上的等价关系． (2)给出R 确定的对A 的划分(分类).5、证明：（1）（5分）自反性。

对于),(),(,),(b a R b a b a b a A b a +=+∈∀ 自反性成立对称性。

对于d c b a d c R b a A d c b a +=+∈∀),,(),(,),(),,(如果),(),(b a R d c b a d c 所以+=+ 对称性成立传递性。

),,(),(),,(),(,),(),,(),,(y x R d c d c R b a A y x d c b a 如果∈∀),(),(,,,y x R b a y x b a y x d c d c b a 从而所以+=++=++=+传递性成立（2）A/R={{(0,0)},{(0,1),(1,0)},{(1,3),(2,2),(3,1)},{(2,3)}}6、（6分）设>< ,G 是群, },|{x y y x G y G x x S =∈∀∈=且对于, 证明S 是G 的子群.6、证明：（每步各2分） （1）S 不空：>< ,G 是群，设e 是>< ,G 的单位元，那么S e ye ey G y ∈=∈∀,,都有，所以 S 不空。

（2）221121,,,,yx y x yx y x G y S x x ==∈∀∈∀都有那么对于)()()()()()(212121212121x x y x yx x y x yx x y x x y x x =====那么所以,,21S x x ∈（3）1111,,,----==∈∀∈∀yxx x xyx x yx xy S y S x 都有那么对于y x yx 11--=即所以,S x∈-1S 是G 的子群.7、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f g 是满射，则f 是满射。

(2)若f g 是单射，则g 是单射。

证明 因为g ：A →B ，f ：B →C ，由定理5.5知，f g 为A 到C 的函数。

(1)对任意的z ∈C ，因f g 是满射，则存在x ∈A 使f g (x )＝z ，即f (g (x ))＝z 。

由g ：A →B 可知g (x )∈B ，于是有y ＝g (x )∈B ，使得f (y )＝z 。

因此，f 是满射。

(2)对任意的x 1、x 2∈A ，若x 1≠x 2，则由f g 是单射得f g (x 1)≠f g (x 2)，于是f (g (x 1))≠f (g (x 2))，必有g (x 1)≠g (x 2)。

所以，g 是单射。

8.（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得<a ，b >∈T ⇔<a ，b >∈R 且<b ，a >∈R ，证明T 是一个等价关系。

证明 因R 自反，任意a ∈A ，有<a ，a >∈R ，由T 的定义，有<a ，a >∈T ，故T 自反。

若<a ，b >∈T ，即<a ，b >∈R 且<b ，a >∈R ，也就是<b ，a >∈R 且<a ，b >∈R ，从而<b ，a >∈T ，故T 对称。

若<a ，b >∈T ，<b ，c >∈T ，即<a ，b >∈R 且<b ，a >∈R ，<b ，c >∈R 且<c ，b >∈R ，因R 传递，由<a ，b >∈R 和<b ，c >∈R 可得<a ，c >∈R ，由<b ，a >∈R 和<c ，b >∈R 可得<c ，a >∈R ，由<a ，c >∈R 和<c ，a >∈R 可得<a ，c >∈T ，故T 传递。

9、（15分）若<G，*>是群，H是G的非空子集，则<H，*>是<G，*>的子群⇔对任意的a、b∈H有a*b－1∈H。

证明必要性：对任意的a、b∈H，由<H，*>是<G，*>的子群，必有b－1∈H，从而a*b－1∈H。

充分性：由H非空，必存在a∈H。

于是e＝a*a－1∈H。

任取a∈H，由e、a∈H得a－1＝e*a－1∈H。

对于任意的a、b∈H，有a*b＝a*(b－1)－1∈H，即a*b∈H。

又因为H是G非空子集，所以*在H上满足结合律。

综上可知，<H，*>是<G，*>的子群。

10. (6分) G是一个群, H是G的子群. ∀g1,g2∊G, (g1,g2) ∊R ⇔ g1g2-1∊H. 证明R 是G上等价关系.证明: ◆对于任意的a∊G，∵ a·a-1=e∊H，∴ (a,a) ∊ R，故R是自反的。

◆对于任意的a，b∊G，若(a,b) ∊ R，∴ a·b-1∊H，∴(a·b-1)-1=b·a-1∊H，∴ (b,a) ∊ R，故R是对称的。

◆对于任意的a,b,c∊G，若(a,b) ∊ R，(b,c) ∊ R，∴ a·b-1∊H且 b·c-1∊H，∴ (a·b-1)·(b·c-1)=a·c-1∊H，∴ (a,c) ∊ R，故R是传递的。

11.已知 f: A→B, g: B→C, f是单射,g是单射,证明g∘f 是单射. 若g∘f是满射,证明g是满射.证明: (1) 对于任意的x1,x2∊A, 若g∘f (x1)= g∘f (x2), 即有 g(f(x1))= g(f(x2)).由于g是单射,故有f(x1)=f(x2). 由于f是单射,故有x1=x2. 因而, g∘f 是单射.(2) 对于任意z∊C, 存在x∊A, 使得g∘f (x)=z ,即 g(f(x))=z. 故存在 y=f(x) ∊B, 使得g(y)=z.故 g是满射.12. (8分) (G, ·)是一个群，取定u ∊ G. ∀g 1,g 2∊G ，定义： g 1*g 2= g 1·u -1·g 2. 证明: (G,*)是群。

证明: (1) 封闭性 (2) 可以结合性 (3) 幺元 e *=u.事实上, g*e *=g*u=g·u -1·u=g·e=ge **g=u*g=u·u -1·g=e·g=g(4) 逆元对于∀g ∊G, 在代数运算*下的逆元记为g *-1于是, g *-1=u·g -1·u 这里, g -1是在代数运算·下的逆元13. 已知(G, *)，(A, △)是两个群，f: G →A 是群同态的。

证明: (1) f(e G )=e A (e G ∈G 是幺元, e A ∈A 是幺元).(2) ∀g ∊G, f(g -1)=(f(g))-1.证明: (1) f(e G ＊e G )＝f(e G )，又f(e G ＊e G )＝f(e G ) △ f(e G )，所以 f(e G ) △ f(e G )＝f(e G *e G ) ＝f(e G )＝f(e G )△e A ，根据群的左消去律, 有 f (e G ) ＝ e A 。

(2) 对于任意的g ∊G ，f(g*g -1)＝f(g) △ f(g -1)， 又f(g*g -1)＝f(e G )＝e A ，所以 f(g) △ f(g -1)＝e A ＝ f(g) △(f(g))-1，由左消去律，f(g -1) ＝ (f(g))-1。

14.设<R,*>是一个代数系统，*是R 上二元运算，b a b a b a Rb a ⋅++=∈∀*,，则0是幺元且<R,*>是独异点。

（10分）R a ∈∀ ，000*,00*0⋅++==⋅++=a a a a a a a即 为幺元00**0∴==a a aR b a ∈∀,，由于+，·在R 封闭。