量纲分析与无量纲化(量纲原理)
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=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
m1m2 f k 2 r
量纲齐次原则
例：单摆运动
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t m l g
1 2
g g1
3 1 1 3
1 1,
v1 2 l1 ( ) v l
2 2
s1 l1 2 ( ) s l
f1 l f l
( 1 )
按一定尺寸比例造模型船， 量测 f，可算出 f1 ~ 物理模拟
f1 l1 3 ( ) f l
无量纲化
例：火箭发射
星球表面竖直发射。初速v, 星球半 径r, 表面重力加速度g 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
1 A 0 2 (g) 1 3 1 2 1 ( L) 0 1 0 0 1 ( M ) 0 0 1 0 2 (T ) (l ) ( ) (v) ( s) ( f )
不能忽略项 忽略项
3)
1 v , x 2 (x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
2
1, x (0) 1 x (0) 0, x
t2 x (t ) t 2
x t 2 x ,t t xc tc x (t ) t 2 2
例: 航船阻力的物理模拟
Leabharlann Baidu通过航船模型确定原型船所受阻力
已知模 型船所 v , s 1 2 受阻力 l2 gl
f l g ( 1 , 2 )
3
可得原 型船所 v1 , s1 1 2 2 受阻力 l1 g1l1
) f1 l g ( 1, 2
未定
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
量纲分析在物理模拟中的应用
x 无解
不能忽略项
1 x ( x 1) 2 2) x (0) 0 2 v (0) , x rg
忽略项 x
1 , 2 ( x 1) (0) 0 x (0) 0, x
x (t ) 0 x(t ) 0
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T
( g , l , , v, s, f ) 0
1 2 是原问题 x(t ) gt vt 的近似解 2
可以忽略项
为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1) 2)不能?
2 x v / g , tc v / g 3）令 c
r g x 原 2 (x r) 问 题 x (0) 0, x ( 0) v
2
xc v / g , tc v / g
1 2 x(t ) gt vt 2
g x x ( 0) 0 x ( 0) v
火箭发射过程 中引力m1g不变 即 x+r r
j 1
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f 航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
x
m1
0 m2
v g
r
m1 m2 k m1 x 2 2 ( x r ) km2 r g
g ( x 0) x
r g x 2 (x r) ( 0) v x (0) 0, x
2
x x(t; r, v, g ) ——3个独立参数
用无量纲化方法减少独立参数个数
( L0 M 0T 1 ) y ( L0 M 1T 0 ) y ( L1 M 0T 0 ) y
1 2
3
(L M T ) L M T
1 0 2 y4 0 0
0
L
y
y3 y4
M T
y2
y1 2 y4
LM T
0 0
0
y3 y 4 0 y2 0 y 2y 0 4 1
T
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l s 2 g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价 F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
量纲矩阵记作 线性齐次方程组
A {aij }nm ,
若 rankA r
Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
y sj
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
s qj
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 用参数r,v,g的组合,分别 构造与x,t具有相同量纲 的xc, tc （特征尺度） 如
令
x t x ,t xc tc
—无量纲变量
xc r, tc r / v
x, t
3 1 1 1
f , s, l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
f l 3 g ( 1 , 2 ) v s 1 , 2 2 l gl
) f1 l13 g1 1 ( 1, 2 v1 s1 2 1 , 2 l1 g1l1
s qj
j 1
m
ysj
为得到阻力 f 的显式表达式
g l v 1 2 2 l s g 1l 3 1 f 3 3 (1, 2 ) F=0
1 2 1 2
f l g (1, 2 ),
3
v s 1 , 2 2 l gl
r/g
x x(t; r, v, g )
x x (t ; )
为无量纲量
3）令
1 x ( x 1) 2 x (0) 0 2 v x (0) , rg
xc v / g , tc v / g
2
x x(t; r, v, g )
v rg
2
1
在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？ 2 1 1 v 0, 忽略 项 2 x , ( x 1) 2 1) ( x 1) rg ( 0) 1 x (0) 0, x
x (0) 0, x (0) 1
f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
p1 p1 p2 p 2
p= f(x,y,z)的形式为
f ( x, y, z ) x y z
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (2, 0, 1, 1)
T
T
t l g F ( ) 0
2 1
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
l t g
l t 2 g
t m l g
1 2
3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
f (ax1 , by1 , cz1 ), p2 f (ax2 , by2 , cz2 ) p1
量纲分析与无量纲化
量纲齐次原则
物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k]
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
r g x (x r)2 ( 0) v x (0) 0, x
2
1 v , x 2 ( x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
2
x x(t; r, v, g )
x x (t ; )
为无量纲量
2）令 xc r , t c
f (t , m, l , g ) 0
t m l g
y1 y2 y3 y4
0 0 1 [ t ] L M T 0 1 0 [ m ] L M T 1 0 0 [l ] L M T 1 0 2 [ g ] L M T
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
利用新变量 x , t , x x(t; r , v, g ) 将被简化
xc, tc的不同构造
x t x ,t xc tc
x x(t; r, v, g ) 的不同简化结果 1）令 xc r, tc r / v x x / r, t vt / r
dx v x vx dt 2 2 2 v d x v x x 2 r dt r
x x (t ; )
为无量纲量
1 v , x 2 (x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
2
1 ） 2） 3） 的共同点
重要差别
3
解
x x (t ; )
只含1个参数——无量纲量 考察无量纲量
rg 6370 10 9.8 8000 (m / s) v
1 2
1
3
(1)
l m
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t ] [m] [l ] [ g ]
T M L
1 0 2 1 / 2 1 / 2 3
3
2 3
T
23
mg 对比
1 0 2 3 0 2 1 3
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
m1m2 f k 2 r
量纲齐次原则
例：单摆运动
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t m l g
1 2
g g1
3 1 1 3
1 1,
v1 2 l1 ( ) v l
2 2
s1 l1 2 ( ) s l
f1 l f l
( 1 )
按一定尺寸比例造模型船， 量测 f，可算出 f1 ~ 物理模拟
f1 l1 3 ( ) f l
无量纲化
例：火箭发射
星球表面竖直发射。初速v, 星球半 径r, 表面重力加速度g 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
1 A 0 2 (g) 1 3 1 2 1 ( L) 0 1 0 0 1 ( M ) 0 0 1 0 2 (T ) (l ) ( ) (v) ( s) ( f )
不能忽略项 忽略项
3)
1 v , x 2 (x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
2
1, x (0) 1 x (0) 0, x
t2 x (t ) t 2
x t 2 x ,t t xc tc x (t ) t 2 2
例: 航船阻力的物理模拟
Leabharlann Baidu通过航船模型确定原型船所受阻力
已知模 型船所 v , s 1 2 受阻力 l2 gl
f l g ( 1 , 2 )
3
可得原 型船所 v1 , s1 1 2 2 受阻力 l1 g1l1
) f1 l g ( 1, 2
未定
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
量纲分析在物理模拟中的应用
x 无解
不能忽略项
1 x ( x 1) 2 2) x (0) 0 2 v (0) , x rg
忽略项 x
1 , 2 ( x 1) (0) 0 x (0) 0, x
x (t ) 0 x(t ) 0
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T
( g , l , , v, s, f ) 0
1 2 是原问题 x(t ) gt vt 的近似解 2
可以忽略项
为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1) 2)不能?
2 x v / g , tc v / g 3）令 c
r g x 原 2 (x r) 问 题 x (0) 0, x ( 0) v
2
xc v / g , tc v / g
1 2 x(t ) gt vt 2
g x x ( 0) 0 x ( 0) v
火箭发射过程 中引力m1g不变 即 x+r r
j 1
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f 航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
x
m1
0 m2
v g
r
m1 m2 k m1 x 2 2 ( x r ) km2 r g
g ( x 0) x
r g x 2 (x r) ( 0) v x (0) 0, x
2
x x(t; r, v, g ) ——3个独立参数
用无量纲化方法减少独立参数个数
( L0 M 0T 1 ) y ( L0 M 1T 0 ) y ( L1 M 0T 0 ) y
1 2
3
(L M T ) L M T
1 0 2 y4 0 0
0
L
y
y3 y4
M T
y2
y1 2 y4
LM T
0 0
0
y3 y 4 0 y2 0 y 2y 0 4 1
T
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l s 2 g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价 F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
量纲矩阵记作 线性齐次方程组
A {aij }nm ,
若 rankA r
Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
y sj
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
s qj
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 用参数r,v,g的组合,分别 构造与x,t具有相同量纲 的xc, tc （特征尺度） 如
令
x t x ,t xc tc
—无量纲变量
xc r, tc r / v
x, t
3 1 1 1
f , s, l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
f l 3 g ( 1 , 2 ) v s 1 , 2 2 l gl
) f1 l13 g1 1 ( 1, 2 v1 s1 2 1 , 2 l1 g1l1
s qj
j 1
m
ysj
为得到阻力 f 的显式表达式
g l v 1 2 2 l s g 1l 3 1 f 3 3 (1, 2 ) F=0
1 2 1 2
f l g (1, 2 ),
3
v s 1 , 2 2 l gl
r/g
x x(t; r, v, g )
x x (t ; )
为无量纲量
3）令
1 x ( x 1) 2 x (0) 0 2 v x (0) , rg
xc v / g , tc v / g
2
x x(t; r, v, g )
v rg
2
1
在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？ 2 1 1 v 0, 忽略 项 2 x , ( x 1) 2 1) ( x 1) rg ( 0) 1 x (0) 0, x
x (0) 0, x (0) 1
f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
p1 p1 p2 p 2
p= f(x,y,z)的形式为
f ( x, y, z ) x y z
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (2, 0, 1, 1)
T
T
t l g F ( ) 0
2 1
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
l t g
l t 2 g
t m l g
1 2
3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
f (ax1 , by1 , cz1 ), p2 f (ax2 , by2 , cz2 ) p1
量纲分析与无量纲化
量纲齐次原则
物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k]
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
r g x (x r)2 ( 0) v x (0) 0, x
2
1 v , x 2 ( x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
2
x x(t; r, v, g )
x x (t ; )
为无量纲量
2）令 xc r , t c
f (t , m, l , g ) 0
t m l g
y1 y2 y3 y4
0 0 1 [ t ] L M T 0 1 0 [ m ] L M T 1 0 0 [l ] L M T 1 0 2 [ g ] L M T
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
利用新变量 x , t , x x(t; r , v, g ) 将被简化
xc, tc的不同构造
x t x ,t xc tc
x x(t; r, v, g ) 的不同简化结果 1）令 xc r, tc r / v x x / r, t vt / r
dx v x vx dt 2 2 2 v d x v x x 2 r dt r
x x (t ; )
为无量纲量
1 v , x 2 (x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
2
1 ） 2） 3） 的共同点
重要差别
3
解
x x (t ; )
只含1个参数——无量纲量 考察无量纲量
rg 6370 10 9.8 8000 (m / s) v
1 2
1
3
(1)
l m
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t ] [m] [l ] [ g ]
T M L
1 0 2 1 / 2 1 / 2 3
3
2 3
T
23
mg 对比
1 0 2 3 0 2 1 3