初中函数图像及性质
常用函数性质及图像
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时， 直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1)解析式：y=kx（k 是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时， 图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k ≠0)（2）必过点：（0，b）和（-kb，0）（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-kb，0）走向k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y 随x 的增大而减小。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数1(yf (xx a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4) ()n n n b a ab=b.根式的性质；(1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂； (1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，f xxxx g ⎪⎫⎛=1)(记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
九种基本初等函数图像及性质
九种基本初等函数图像及性质基本初等函数包括一次函数、平方函数、立方函数、根号函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数和正切函数等9种函数。
下面简单介绍它们的图像及性质。
一次函数的图像是一条直线，表达函数的形式为：y=ax+b(a≠0)，其中a表示斜率，b表示函数的截距，函数的性质是其增减性由斜率a决定。
平方函数的图像为一条凹凸不平的抛物线，表达函数的形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，a≠0，此函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。
立方函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a≠0，函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。
根号函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=a√x+b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是常数变动，函数的解析式在a变动时它的单调性也由正负变化。
指数函数的图像是一条右倾的曲线，表达函数的形式为：y=axb，其中a、b为实数，a>0、b≠0，函数的性质是其单调性由a、b的正负决定，是增函数当a>0且b>0时，是减函数当a>0且b<0时。
对数函数的图像是一个右倾的曲线，表达函数的形式为：y=alogx + b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是变数变动，函数的解析式在x变动时它的单调性也由正负变化。
正弦函数的图像是一个周期性的曲线，表达函数的形式为：y=Asin（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质是其单调性由A的正负决定，是增函数当A>0时，是减函数当A<0时。
余弦函数的图像同正弦函数，表达函数的形式为：y=Acos（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质同正弦函数一样。
正切函数的图像为一个弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=tanx，其中x代表，函数的性质是函数的单调性变化于π/2，函数的解析式在x变动到π。
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
初中数学 八年级下册 19-2-2-2一次函数的图像与性质(课件)
y=-
1
连线.
0.5x+1 - O
我们用同样的方法也可以画出 1 -
函数y=-0.5x+1的图象：
1
点(0，1)
y=2x-1 12 x
点(1，0.5)
x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
两点确定了一条直线， 那函数上的其它点是不 是都在这条直线上呢？
y=-
y
0.5x+1 1
点(0，1)
对函数图象有什么影响？
知识点 2 一次函数的性质
分别画出下面四个函数的图象.
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+l
观 察 观察图象，填写表格.
y=kx+b
b>0 k＞0 b=0
b<0 b>0 k＜0 b=0 b<0
图象经过的象限
一、二、三
一、三 一、三、四 一、二、四
二、四 二、三、四
y=2x-1
-O 1 2 x
11 点(1，0.5)
x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
①y=2x-1
y=-
y 点(0.5，
0)
令x=-0.5，此时y= -2 点的坐标为 (-0.5，-2)
0，；.5x+1
1
y=2x-1
令x=0.5，此时y= 0 ， 点的坐标为 (0.5，0) .
-O 1 2 x
y和x的变化
y随x的增大 而增大
y随x的增大 而减小
初中知识点归纳——函数图像篇
初中知识点归纳——函数图像篇函数图像是初中数学中的重要内容之一。
通过函数图像的形状、特点以及变化规律，可以深入理解函数的性质和作用。
本文将从函数图像的基本形状与分类、常见函数图像的特点及其变化规律等方面进行归纳与总结。
一、函数图像的基本形状与分类函数图像的形状可以分为线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等几种常见类型。
1. 线性函数图像线性函数的特点是图像为一条直线。
直线的斜率表示了函数的增减趋势，当斜率为正时，函数图像呈上升趋势；当斜率为负时，函数图像呈下降趋势；斜率为0时，函数图像为水平直线。
2. 二次函数图像二次函数的图像通常为抛物线形状。
抛物线的开口方向由二次项的系数决定，当二次项的系数为正时，抛物线开口向上；当二次项的系数为负时，抛物线开口向下。
二次函数的图像还受到常数项的影响，常数项决定了抛物线的位置。
3. 指数函数图像指数函数的图像为指数曲线，呈现上升或下降的趋势。
指数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。
当底数大于1时，指数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，指数曲线呈现下降趋势。
4. 对数函数图像对数函数的图像为对数曲线，也呈现上升或下降的趋势。
对数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。
当底数大于1时，对数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，对数曲线呈现下降趋势。
二、常见函数图像的特点与变化规律1. 线性函数的特点与变化规律线性函数的图像为一条直线，具有以下特点和变化规律：（1）斜率决定了线性函数图像的倾斜程度和方向，斜率越大图像越陡峭，斜率为正表示函数图像上升，斜率为负表示函数图像下降。
（2）截距决定了线性函数图像与纵轴的交点位置，截距为正表示交点在纵轴上方，截距为负表示交点在纵轴下方。
2. 二次函数的特点与变化规律二次函数的图像为抛物线，具有以下特点和变化规律：（1）开口方向由二次项的系数决定，正系数表示抛物线开口向上，负系数表示抛物线开口向下。
（2）顶点是抛物线的最高点或最低点，在坐标系中的横坐标为顶点的x坐标，纵坐标为顶点的y坐标。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
基本初等函数图像及性质大全(初中高中)(word文档良心出品)
」、一次函数与二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x) ax 2 bx c(a 0) ②顶点式：f(x) a(x h)2 k(a 0)③两根式：f (x) a(x xj(x x 2)(a 0) (2) 求二次函数解析式的方法 ① 已知三个点坐标时，宜用一般式.② 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③ 若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f (x)更方便.(3)①.二次函数f (x) ax2 bx c(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x—,顶点坐标2a②当时,b 4ac b2)J )2a 4aa 0时，抛物线开口向上, 函数在( b］上递减，在［上,2a2a)上递增，当2a f min(X)◎；当a4a 0时，抛物线开口向下, 函数在( 2a］上递增，在［2a上递减，当xb 4ac b2—时，f max(x) 2a4a:■、幕函数(1)幕函数的定义般地，函数y x叫做幕函数，其中x为自变量, 是常数.(2)幕函数的图象过定点：所有的幕函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1) •(1)根式的概念：如果x n a, a R, x R, n 1，且n N，那么x叫做a的n次方根.(2)分数指数幕的概念m①正数的正分数指数幕等于0. 的意义是：a下卩凤0, m, n N,且n1) . 0的正分数指数幕②正数的负分数指数幕的意义是：m m1 - a n ( )n j(丄)"(a0,m, n N ,且n 1). 0的负a,a分数指数幕没有意义.(3 )运算性质① a r a s a r s(a 0,r, s R)②( r s rsa ) a (a0,r,s R)③(ab)r a r b r(a 0, b 0,r R)(1)对数的定义： ①若a N(ao,且a 1)，则X 叫做以a 为底N 的对数，记作x log a N ,其中a 叫做底数，N 叫做真数.②负数和零没有对数.x log a N a x N (a 0,a 1,N 0). (2)几个重要的对数恒等式： log a 1 0 , log a a 1, log a a b b .③对数式与指数式的互化:(3) 常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即log 10 N ;自然对数:(4)对数的运算性质 如a 0, a 1, MlnN ，即 log e N (其中 e 2.71828…).0,N0,那么①加法：log a M log a N log a (MN) ②减法：log a M log a Nlog a③数乘：n log a M log a M n (n R) ④ a logaN N⑤ log b M n n log a M (b 0, n R) a b⑥换底公式：log a Nlog b N log b a(b 0,且 b 1)(1)反函数的概念设函数y f (x)的定义域为A，值域为C，从式子y f (x)中解出x，得式子x (y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x (y) , x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x (y)表示x是y的函数，函数x (y)叫做函数y f (x)的反函数，记作x f 1( y),习惯上改写成y f tx).(2)反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f (x)中反解出x f 1(y)；③将x f 1(y)改写成y f tx)，并注明反函数的定义域.(3)反函数的性质1①原函数y f(x)与反函数y f(X)的图象关于直线y X对称.②函数y f (x)的定义域、值域分别是其反函数y f 1(x)的值域、定义域.③若P(a,b)在原函数y f (x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y f 1(x)的图象上.④一般地，函数y f (x)要有反函数则它必须为单调函数.六、三角函数的图像和性质(一)正弦与余函数的图像与性质2.正切与余切函数的图像与性质七、反三角函数的图像与性质1.。
初三数学三角函数的图像与性质
初三数学三角函数的图像与性质三角函数是初中数学中的重要知识点，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
本文将介绍三角函数的图像与性质，帮助读者深入理解这一内容。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数的函数图像呈现出一种特殊的波动形状，其性质主要包括以下几个方面：1. 周期性：正弦函数的图像以原点为对称轴，形状在[-π/2, π/2]区间内完成一次波动，因此正弦函数的周期是2π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，这意味着将正弦函数沿y轴对称后，图像不变。
3. 幅值：正弦函数的幅值表示最高点与最低点的差值，即图像的峰值。
正弦函数的幅值为1。
4. 上下偏移：正弦函数的整体图像可以向上或向下平移，这取决于函数中y的常数值。
例如，f(x) + a可以将图像上移a个单位。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数与正弦函数非常相似，但它们的图像形状有一定的差异，其主要性质如下：1. 周期性：余弦函数的图像以最高点为对称轴，形状在0到2π区间内完成一次波动，因此余弦函数的周期也是2π。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)，这意味着将余弦函数沿y轴对称后，图像不变。
3. 幅值：余弦函数的幅值与正弦函数相同，都为1。
4. 上下偏移：余弦函数的整体图像可以向上或向下平移，这取决于函数中y的常数值。
例如，f(x) + a可以将图像上移a个单位。
三、正切函数的图像与性质正切函数的图像形状不同于正弦函数和余弦函数，它的性质如下：1. 周期性：正切函数的图像是由无数个波峰和波谷组成的，没有固定的周期。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，这意味着将正切函数沿y轴对称后，图像不变。
3. 垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，分别为x = (2n+1)π/2和x = nπ，其中n为整数。
4. 上下偏移：正切函数的整体图像可以向上或向下平移，这取决于函数中y的常数值。
例如，f(x) + a可以将图像上移a个单位。
初中数学函数图像总结
初中数学函数图像总结函数是数学中一个非常重要的概念，而函数的图像则是函数概念的直观表现。
在初中数学中，我们学习了一些常见的函数及其图像，下面我将对初中数学中常见的函数图像进行总结。
一、一次函数。
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。
二、二次函数。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
三、指数函数。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。
指数函数的图像是一条逐渐增长（a>1）或逐渐减小（0<a<1）的曲线，且必过点(0,1)。
四、对数函数。
对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1，x>0。
对数函数的图像是一条逐渐增长（0<a<1）或逐渐减小（a>1）的曲线，且必过点(1,0)。
五、绝对值函数。
绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的V形曲线。
六、三角函数。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像是周期性的波浪线，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷分别在y轴上方和下方，而正切函数的图像则有无数个渐近线。
以上是初中数学中常见的函数图像总结，通过对这些函数图像的了解，我们可以更好地理解函数的性质和特点，为进一步学习数学打下坚实的基础。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
初中数学课件《一次函数的图像与性质》
？
新知探究一： 一次函数y=kx+b的图象与直线y=kx的关系
画一次函数 y =2x-3 的图象． 列表 描点 连线
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x-3 … -7 -5 -3 -1 1 … y
y=2x … -4 -2 0 2 4 … 2
1.观察：函数y=2x－3的图象
它可以看作由直线 y=2x向下 平
新知探究二： 一次函数y=kx+b的性质
一次函数y＝kx＋b有下列性质： 1.当k＞0时，y随x的增大而__增_大__ 这时函数
的图象从左到右__上_升__
（2） 当k＜0时，y随x的增大而_减__小__，这
时函数的图象从左到右_下__降__．
新知探究二： 一次函数y=kx+b的性质
当k>0时，y随x的增大而增大
例：在同一坐标系中画出函数 y=2x-1 与 y=-0.5x+1的图象.
x y=2x－１
x
y= －0.5x+1
y 6
5
4
3
2
1
- - - - - - o1 2 3 4 5 6x 6 5 4 3 2 1-
1 2 3 4 5-6
例：用两点法在同一坐标系中画出函数y=2x－1 与y=－0.5x+1的图象．
数学思想：类比、数形结合、从特殊到一般。
归纳
对于一次函数y=kx+b（k,b为常数，k≠0) （1）判断k值符号的方法
①增减性法：当y随x的增大而增大时k > 0;反之k < 0 ②直线升降法：当直线从左到右上升时，k > 0; 反之k < 0 ③经过象限法：直线经过一、三象限时k > 0；
(完整版)基本初等函数图像及性质大全(初中高中),推荐文档
1、一次函数与二次函数（一）一次函数（二）二次函数①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,24b ac b a a--②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．二、幂函数过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．三、指数函数（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1(0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rrrab a b a b r R =>>∈（4）指数函数函数名称指数函数四、对数函数（1）对数的定义： ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化： log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()naan M M n R =∈ ④log a Na N=⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且（5）对数函数五、反函数设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．六、三角函数的图像和性质（一）正弦与余函数的图像与性质函数xy sin =xy cos =图像定域义R R值域[]1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时，单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2]Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减奇偶性奇函数偶函数周期性是周期函数，2为最小正周期π是周期函数，2为最小正周期π对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数x y tan =xy cot =图像定域义{|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且{|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,)Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性奇函数奇函数周期性是周期函数，为最小正周期π是周期函数，为最小正周期π对称性对称中心(,0)2k π对称中心(,0)2k π七、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数反余弦函数arccos y x=是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义[]1,1-[]1,1-值域,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π单调性[1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数arctan y x =是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数反余切函数arccot y x =是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义(,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,π单调性(,,)-∞+∞在上递增(,,)-∞+∞在上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心（0，0）对称中心（0，π/2）11。
初中数学函数图像知识点汇总
初中数学函数图像知识点汇总函数是数学中的重要概念，而函数图像则是理解函数性质的重要工具之一。
在初中数学中，学习函数图像有助于学生理解函数的变化规律、性质和应用。
下面将对初中数学函数图像的知识点进行详细总结。
1. 基本函数图像：(1) 常数函数 f(x)=a : 这是一条平行于x轴的直线，横坐标不变，纵坐标为常数a。
(2) 一次函数 f(x)=kx+b : 这是一条斜率为k的直线，纵截距为b。
(3) 平方函数 f(x)=x^2 : 这是一条开口向上的抛物线，对称轴是y轴。
(4) 绝对值函数 f(x)=|x| : 这是一条以原点为顶点的V字形折线。
2. 函数的变换：(1) 平移：将函数图像沿x轴或y轴平行地移动。
当函数图像向右平移h单位时，函数表示形式为f(x-h)；当函数图像向上平移k单位时，函数表示形式为f(x)+k。
(2) 翻折：将函数图像沿x轴或y轴翻转。
当函数图像关于x轴对称时，函数表示形式为-f(x)；当函数图像关于y轴对称时，函数表示形式为f(-x)。
(3) 压缩与拉伸：将函数图像沿x轴或y轴进行扩大或缩小。
当函数图像水平方向压缩为原来的1/a倍，纵轴方向拉伸为原来的a倍时，函数表示形式为f(ax)；当函数图像水平方向拉伸为原来的a倍，纵轴方向压缩为原来的1/a倍时，函数表示形式为f(x/a)。
3. 常见函数图像特征：(1) 斜率：一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度。
斜率越大，函数图像越陡峭。
(2) 零点：函数图像与x轴相交的点称为零点。
零点对应于函数的解，即f(x)=0。
(3) 最值：函数图像的最高点称为最大值，最低点称为最小值。
(4) 对称中心：若函数图像关于某一点对称，则该点为对称中心。
常见对称中心有原点和y轴。
(5) 单调性：函数图像在某一区间上递增或递减称为函数的单调性。
4. 常用函数图像的特点：(1) 常数函数 f(x)=a : 函数图像平行于x轴，斜率为0，没有零点，单调性为常数。
初二函数的图像与性质
初二函数的图像与性质在初中数学中，学习函数是一个重要的内容。
而了解函数的图像和性质，则有助于我们更深入地理解函数的概念和应用。
本文将以初中函数的图像与性质为主题，介绍函数图像的特点及其对应的性质。
一、线性函数的图像与性质线性函数是最简单的一种函数形式，其图像呈现为一条直线。
线性函数的一般形式为：y = kx + b，其中k和b分别代表斜率和截距。
线性函数的图像性质如下：1. 斜率的意义：线性函数的斜率k决定了图像的斜率，表示了函数图像在单位横坐标上上升或下降的比例。
2. 斜率的特点：当斜率k为正数时，函数图像呈现上升趋势；当斜率k为负数时，函数图像呈现下降趋势；当斜率k为0时，函数图像呈现一水平直线。
3. 截距的意义：线性函数的截距b代表了函数图像与y轴交点的纵坐标，即当x=0时，函数图像所对应的y值。
二、二次函数的图像与性质二次函数是一种抛物线函数，其图像呈现为一条U形或者倒U形。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的图像性质如下：1. 抛物线方向：二次函数的系数a决定了图像的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是通过抛物线顶点的一条直线。
对称轴的方程为x = -b/(2a)。
3. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。
三、指数函数的图像与性质指数函数是一种以底数为常数、以指数为变量的函数。
指数函数的一般形式为：y = a^x，其中a是底数。
指数函数的图像性质如下：1. 底数的意义：底数a决定了函数图像的增长速度。
当a>1时，函数图像呈现递增趋势；当0<a<1时，函数图像呈现递减趋势。
2. y轴截距：当x=0时，指数函数图像所对应的y值表示y轴截距。
人教版数学八年级下册课件 19.2一次函数的图像和性质 (共28张PPT)
课堂小结
说一说你在这节课上都收 获到了什么知识？
时间是一个常数,但对勤 奋者来说,是一个“变数”.
你在学业上的收获与你 平时的付出是成正比的
求出y=kx+b（k,b为常数，k≠0） 的图像与x轴、y轴的交点，你发现 了什么规律？
结论：
函数y=kx+b（k，b为
常数，k≠0）的图像
与x轴交于（-
b k
，0）
与y轴交于（0，b）
用你认为最简单的方法画出函 数y=2x-1与y=-2x+l的图象.
思考：一次函数解析式y=kx+b (k, b是常数，k≠0)中，k的正负对 函数图象有什么影响？（3分钟）
即它可以看作由直线
y=x向_上___平移 2 个
1 2 3 x 单位长度而得到．
函数y=x-2的图象与y轴 交于点(0,-2)，即它可以看
作由直线y=x向下 平移_2_
个单位长度而得到．
一次函数y=3x-4的图象是 什么形状？它与直线y=3x有什 么关系？
函数y=-2x+3的图像是由 哪个正比例函数的图像平移 得到的？ 需要平移几个单位 长度？
y=-2x+1
y
o·· x
y=-2x-1
k的取值范围 b的取值范围
的象限
一、三、二
k>0
b<0
一、三、四
k<0
b>0
二、四、一
k<0
b<0
二、四、三
比一比看谁记得快，你发现 什么规律了么？
直线y=2x-3与x轴交点坐标为_(_23__,0_)_, 与y轴交点坐标为_（__0_，_-_3_）__ 图象经过第__一_、__三_、__四__象限, y随x增大而__增__大_______.
初中：二次函数性质与图像
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0
时，抛物线的开口向上，这时当x≤－
b 2a
时，y随x的增大而减
小；当x≥－2ba时，y随x的增大而增大；当x＝－2ba时，y有最
小值
4ac－b2 4a
．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－
b 2a
时，y随x的增大而增大；当x≥－
1．二次函数的定义： 一般地，形如_y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶 点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数， a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图 象的对称轴为直线__x＝x1＋2 x2．
＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)
两点．有下列结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2＋bx
＋c的图象的对称轴为直线x＝－1；③2a＋c＝0；④a
－b＋c＞0.其中正确的有
()
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【解析】 函数图象开口向下，∴a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴c＞0，∴ac＜0，故①错误． 二次函数的图象与x轴相交于点A(－2，0)，B(1，0)，由对称性可知其对
(1)b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有两个交点
－b±
2ba2－4ac，0.
(2)b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴只有一个交点－2ba，0. (3)b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴没有交点．
初中三类函数的图像及其性质
初中三类函数的图像及其性质一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y 叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质：1．图象的位置:2．增减性k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小3．求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种一是由已知函数推导或推证二是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
三是用待定系数法求函数解析式。
“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：（1）利用一次函数的定义构造方程组。
（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向（3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程（4）利用题目已知条件直接构造方程反比例函数图像及其性质1.反比例函数：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k 1-=kxyxky1=2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和y=-x。
对称中心是：原点3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的定义
一、自变量与应变量
在数学中，通常我们用X 来表示y 的式子描述函数解析式。
那么y 随着X 变化而变 化，则我们把X 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是X 函数。
一次函数的图像及性质
一、 一次例函数定义
形如y =kx ∙ b k = O 这样的函数叫一次函数。
二、 正比例函数
当一次函数y=kx ∙bk +0中b = 0时，y = kx k 六0叫正比例函数。
三、 正比函数性质 1、正比例函数图像为恒过坐标原点（0,0 ）和点（0,b ）的直线。
且与y 轴的截距是b
与y 轴的交点坐标为0,b 。
2、当k 0时，正比例y =kx 的函数图像过一、三象限, y 随X 的增大而增
大。
3、当k <0时，正比例y=kx 的函数图像过二、四象限, y 随X 的增大而减
小。
设一次函数y = kX ∙ b k = 0与坐标轴所围成的三角形为
1、 当k 0,
b . 0时，一次函数 ^kX b 的图像
过一、二 .、三象限。
2
、 当k 0, b ：：： 0时，一次函数 ^kX b 的图像
过一、三 .、四象限。
3、 当 k ：：： 0, b • 0时，一次函数 ^kX b 的图像
过一、二 .、四象限。
4、 当 k ：：： 0, b ：：： 0时，一次函数 ^kX b 的图像
过二、三 .、四象限。
四、一次函数图像及性质 五、一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积公式 1
I 1 b I b 2
XB
■ YA
- 一—■ b
S . AOB
AOB 则S-A o B 为多少?
六、用函数的观点看不等式
设两个一次函数yι=kιx b i和y2 =k2X b2的交点
反比例函数图像及性质
、反比例函数定义
—
形如y二―k = 0这样的函数叫反比例函数。
k叫比例系数k为常数。
X
、反比例函数的图像反比例函数图像为双曲线。
三、反比例函数的性质
IZ
的图像分布在一、三象限。
X
IZ
y=-的图像分布在二、四象限。
X
四、反比例函数图像上的点。
点p X o, y o在反比例函数y
k
k "的图像上=X o ∙y°=k
X
五、反比例函数图像上图形面积与比例系数
k
1、在y 中如上图所示S -OAB
X
OABC = 为点X。
，y。
，如图可知
(1)时, y i y2 ；
(2)时, y i =y2 ；
(3)时, y
i
：：：y2。
2、当k . 0时，反比例函数
3、当k <0时，反比例函数
k
3、在y 中如上图所示
X
S 应BC= k
k
4、在y 中如上图所示
X
S 'OAB = S∖OCD
二次函数图像及性质
一、二次函数定义形女口y
= ax 2 bx C 叫做二次函数。
二、二次函数的图像二次函
数的图像是抛物线。
三、二次函数的性质
2
=ax bx
二次函数
a = O这样的函数
如右图所示
1
、
2
、
二次函数y 当
a 0时, 小
值；
• c a = 0的图像恒过点0,c ,且与y轴的截距为C ；
=ax 2bx ∙ca=0的图像抛物线开口向上，且有最
3
、
当a ：：：0
时,
大值；
二次函数
C
4
、
二次函数y=ax 2亠bx
2
a= 0的对称轴为直线X -最值为y = 4aC - b
2a 4a
四、二次函数的形式
1、三点式：已知二次函数图像上三点，求函数解析式如下
已知点Ax1,y1、BX2,y2、C X3,y3在一个二次函数图像上，则求该二次函数
解析式。
解：设这个二次函数解析式为y = ax 2 bx C，
3 , y3
把题中三点分别代入解析式得
< 2
ax i ■ bx ι -^= y ι ax 2 ■ bx 2 -C =y 2
2
C ――
然后扌H 3a 、弋、c C 的値分别带入假设的解析式中，此题得解 2、两点式：已知二次函数图像与 X 轴的两个交点,
求函数解析式如下 已知二次函数图像与X 轴的交点分别为点
Ax 1,0
与点B X 2 ,0 ,求函数解析式如下
合并同类项，降幂排列的y = ax -a x 1亠x 2 X ax 1x 2 ,通常考出两点式的题型,
a 的值会很容易求出
3、顶点式：已知二次函数的对称轴与最值求二次函数解析式如下 已知二次函数的对称轴为直线x =h ， 最值（最大值或者最小值）为k 。
则它 的解析式为y =a X — h 「:∙∙k ,这种题 型中a 的也很容易求出。
4、顶点式的变形考法，也就是通常常考内容，利润问题和最
值问题。
解决这类 问题时，一般分为3个步骤： （1） 列出二次函数解析式
（2） 把这个二次函数解析式配方成顶点式的形式 （3） 根据顶点式直接可以写出当x=h 时，
①当 a 0 时，y t min = k ； 当 a ：：：0 时，y t max H k ；
求两个函数图像的交点
求两个函数图像交点的题型，通常都是把这两个函数解析式联立成方程组,
然后解次方程组，求得的方程组的对应 x 的值与相应 y 的值，正好就构成两个函 数图像的其中一个交点的坐标。
归纳为：方程组的解就是图像的交点，图像的交点就是方程组的解。
解：设这个二次函数解析式为
^aX
X i X — X 2
， 然后利用多项式乘法展开后
解得。