初中函数图像及性质

函数的定义

一、自变量与应变量

在数学中，通常我们用X 来表示y 的式子描述函数解析式。那么y 随着X 变化而变 化，则我们把X 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是X 函数。

一次函数的图像及性质

一、 一次例函数定义

形如y =kx ∙ b k = O 这样的函数叫一次函数。 二、 正比例函数

当一次函数y=kx ∙bk +0中b = 0时，y = kx k 六0叫正比例函数。

三、 正比函数性质 1、正比例函数图像为恒过坐标原点（0,0 ）和点（0,b ）的直线。且与y 轴的截距是b

与y 轴的交点坐标为0,b 。

2、当k 0时，正比例y =kx 的函数图像过一、三象限, y 随X 的增大而增

大。

3、当k <0时，正比例y=kx 的函数图像过二、四象限, y 随X 的增大而减

小。

设一次函数y = kX ∙ b k = 0与坐标轴所围成的三角形为

1、 当k 0,

b . 0时，一次函数 ^kX b 的图像

过一、二 .、三象限。

2

、 当k 0, b ：：： 0时，一次函数 ^kX b 的图像

过一、三 .、四象限。 3、 当 k ：：： 0, b • 0时，一次函数 ^kX b 的图像

过一、二 .、四象限。 4、 当 k ：：： 0, b ：：： 0时，一次函数 ^kX b 的图像

过二、三 .、四象限。 四、一次函数图像及性质 五、一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积公式 1

I 1 b I b 2

XB

■ YA

- 一—■ b

S . AOB

AOB 则S-A o B 为多少?

六、用函数的观点看不等式

设两个一次函数yι=kιx b i和y2 =k2X b2的交点

反比例函数图像及性质

、反比例函数定义

—

形如y二―k = 0这样的函数叫反比例函数。k叫比例系数k为常数。

X

、反比例函数的图像反比例函数图像为双曲线。

三、反比例函数的性质

IZ

的图像分布在一、三象限。

X

IZ

y=-的图像分布在二、四象限。

X

四、反比例函数图像上的点。

点p X o, y o在反比例函数y

k

k "的图像上=X o ∙y°=k

X

五、反比例函数图像上图形面积与比例系数

k

1、在y 中如上图所示S -OAB

X

OABC = 为点X。，y。，如图可知

(1)时, y i y2 ；

(2)时, y i =y2 ；

(3)时, y

i

：：：y2。

2、当k . 0时，反比例函数

3、当k <0时，反比例函数

k

3、在y 中如上图所示

X

S 应BC= k

k

4、在y 中如上图所示

X

S 'OAB = S∖OCD

二次函数图像及性质

一、二次函数定义形女口y

= ax 2 bx C 叫做二次函数。

二、二次函数的图像二次函

数的图像是抛物线。

三、二次函数的性质

2

=ax bx

二次函数

a = O这样的函数

如右图所示

1

、

2

、

二次函数y 当

a 0时, 小

值；

• c a = 0的图像恒过点0,c ,且与y轴的截距为C ；

=ax 2bx ∙ca=0的图像抛物线开口向上，且有最

3

、

当a ：：：0

时,

大值；

二次函数

C

4

、

二次函数y=ax 2亠bx

2

a= 0的对称轴为直线X -最值为y = 4aC - b

2a 4a

四、二次函数的形式

1、三点式：已知二次函数图像上三点，求函数解析式如下

已知点Ax1,y1、BX2,y2、C X3,y3在一个二次函数图像上，则求该二次函数

解析式。

解：设这个二次函数解析式为y = ax 2 bx C，

3 , y3

把题中三点分别代入解析式得

< 2

ax i ■ bx ι -^= y ι ax 2 ■ bx 2 -C =y 2

2

C ――

然后扌H 3a 、弋、c C 的値分别带入假设的解析式中，此题得解 2、两点式：已知二次函数图像与 X 轴的两个交点,

求函数解析式如下 已知二次函数图像与X 轴的交点分别为点

Ax 1,0

与点B X 2 ,0 ,求函数解析式如下

合并同类项，降幂排列的y = ax -a x 1亠x 2 X ax 1x 2 ,通常考出两点式的题型,

a 的值会很容易求出

3、顶点式：已知二次函数的对称轴与最值求二次函数解析式如下 已知二次函数的对称轴为直线x =h ， 最值（最大值或者最小值）为k 。则它 的解析式为y =a X — h 「:∙∙k ,这种题 型中a 的也很容易求出。

4、顶点式的变形考法，也就是通常常考内容，利润问题和最

值问题。解决这类 问题时，一般分为3个步骤： （1） 列出二次函数解析式

（2） 把这个二次函数解析式配方成顶点式的形式 （3） 根据顶点式直接可以写出当x=h 时，

①当 a 0 时，y t min = k ； 当 a ：：：0 时，y t max H k ；

求两个函数图像的交点

求两个函数图像交点的题型，通常都是把这两个函数解析式联立成方程组,

然后解次方程组，求得的方程组的对应 x 的值与相应 y 的值，正好就构成两个函 数图像的其中一个交点的坐标。

归纳为：方程组的解就是图像的交点，图像的交点就是方程组的解。

解：设这个二次函数解析式为

^aX

X i X — X 2

， 然后利用多项式乘法展开后

解得