直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程

知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断

设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2

－

4AC 。

若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；

直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题

设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2

+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2

－4ac 。

k 为直线斜率） 例题选讲：

例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2

－y 2

＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数

k 的取值范围；

解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2

-y 2

=1后，整理得(k 2

-2)x 2

+2kx+2=0.①

依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，

故⎩⎪⎨⎪⎧

k 2－2≠0，

Δ＝(2k )2

－8(k 2

－

2)>0，－2k k 2－2>0，

2k 2

－2>0.

解得k 的取值范围是－2

例2：

（Ⅰ）求双曲线的方程；

例3：已知椭圆C 1的方程为x 2

4

＋y 2

＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而

C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．

(1)求双曲线C 2的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →

>2 (其中O 为原点)，求k 的取值范围．

解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1，

则a 2

＝4－1＝3，c 2

＝4，由a 2

＋b 2

＝c 2

，得b 2

＝1， 故C 2的方程为x 2

3

－y 2

＝1.

(2)将y ＝kx ＋2代入x 2

3－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2

－62kx －9＝0.

由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 ⎩⎨⎧

1－3k 2

≠0.

Δ＝(－62k )2

＋36(1－3k 2

) ＝36(1－k 2

)>0.

∴k 2≠13

且k 2

<1.

①

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－9

1－3k 2.

∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2

＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2

＋73k 2－1

.

又∵OA →·OB →

>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，

∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13

⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫33，1.

例4：已知双曲线的中心在原点， （1）求双曲线方程；

（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=； （3）对于（2）中的点M ，求21MF F ∆的面积．

解：（1）由题意，可设双曲线方程为2

2

x y λ-=，又双曲线过点()

4,10-，解得6λ=

∴ 双曲线方程为2

2

6x y -=； （2）由（1）可知，6a b ==

，23c =， ∴ ()

123,0F -，()

223,0F

∴ ()

1233,MF m =---，()

2233,MF m =--， ∴ 2

123MF MF m ⋅=-，

又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 2

96m -=，

∴ 2

3m =， 即120MF MF ⋅=；

（3）121211

433622

S F MF F F m =

=⋅⋅= ∴21MF F ∆的面积为6．

知识点2：抛物线及其标准方程

1．抛物线定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0)

图形

范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

对称轴 x 轴

顶点坐标 原点O (0,0)

焦点坐标

⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－p 2，0