计算机数学基础

计算机数学基础 集合代数
关系与函数
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函数
函数---单值的二元关系
– 设F 为二元关系，如果 ∀x ∈ dom F，∃!y ∈ ran F，使 得xFy成立，则称F 为函数。 如果<x, y> ∈ F，则记F(x) = y，并 称y 是F 的函数值。 ∃! == 存在唯一的
函数性质
例 某校某个班有49
人，其中年龄 最大的是20 岁，最小的17 岁， 则其中必有两个学生是同年同 月生。
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常见的函数
常数函数： – f：A→B， – 如果存在y ∈ B，使得所有的x ∈ A 都有 f (x) = y，则f 称为常数（常值）函数 恒等函数： – A 上的恒等关系IA称为恒等函数，它是双 射的。
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常见的函数

单调递减函数： – f：R→R 称为 – 单调递减： 如果对于任意的x1、x2，如果x1 < x2， 则f(x1) ≥ f(x2)； – 严格单调递减： 如果对于任意的x1、x2，如果x1< x2， 则f(x1) > f(x2)；
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函数的合成
∀x ∈ dom (f g) 有f g (x) = g (f(x))。 设 f：X→Y 和 g：Y→Z – 则有f g：X→Z， – 且∀x ∈ X，有f g(x)= g(f(x))；
2)
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常见的函数

单调增加函数： – f：R→R 称为 – 单调增加： 如果对于任意的x1、x2，如果x1 < x2， 则f(x1) ≤ f(x2) – 严格单调增加 如果对于任意的x1、x2，如果x1 < x2， 则f(x1) < f(x2)
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函数
设A、B 是集合，如果函数f 满足以下条 件： – a) dom f ⊆ A – b) ran f ⊆ B 则称f 是从A 到B 的偏函数，记为f： A+→B。 – 其中A 是f 的前域，B 是陪域。

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将所有从A 到B 的函数构成的集合记为BA – BA={f | f：A→B} 如果A、B 分别为n、m 元集合，则BA 的元素 个数为mn。


如果A、B 至少有一个是φ ，而从A 到B 的函 数存在，则φ φ = Bφ = {φ } 不存在从A ≠φ 到φ 的函数。

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函数
设A、B
是集合，如果函数f 满足以 下条件： – a) dom f = A – b)ran f ⊆ B 则称是从A 到B 的全函数，简称从A 到B 的函数。 – 记为f：A→B。
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函数
显然一个从A 到B
的函数，是满足 下列性质的二元关系： – (1) 每个元素x∈A，都必须有一 个y∈A 与之成为二元关系中一个 元素
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函数性质
为使得从A 到B 的函数具有某种性质，A、 B 的元素个数需要满足一定的条件。 对于有限集合，我们有 – 1) |A|≤|B|，从A 到B 才能存在单射函数 – 2) |A|≥|B|，从A 到B 才能存在满射函数 – 3) |A| = |B|，从A 到B 才能存在双射函数
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函数
对一个从A 到B 的函数来说，其值域可 能是B 的真子集。 如下术语都是函数的同义词，在不同的 场合可交替使用：

– “变换” – “映射” – “对应” – “运算”
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函数
函数性质

设函数f：A→B， – (1) 若ran f = B，则称f 是满射的； – (2) 若对任意的y ∊ran f，只存在唯一 的x 使得f (x) = y，则称f 是单射的， 或一对一的； – (3) 若f 既是满射的，又是单射的，则 称f 是双射的，或一一对应的。
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函数的合成
函数是关系的特例，因此函数
也有合成的概念。 设f：X→Y 和g：Y→Z 是两个 函数，则合成关系f g是f 和g 的合成函数
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函数的合成
1)
dom(f g) = {x | x ∈domf ∧ f(x)∈dom g } 因为 – i） dom(f g) ⊆ domf； – Ii） ran f ⊆ dom g，否则f g 是空 函数。
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函数的合成
函数的合成满足结合律
– (f g) h = f ( g h) 函数的幂定义: – i） (1) f 0(x) = I (x) (2) f n+1(x) = f (f n(x)) – Ii）如果f 2 = f ，则称f 是等幂函数。

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函数性质
其中1)也称为鸽巢原理（抽屉原
则），其通俗说法是 – 如果m 只鸽子（物体）放入n 个 鸽巢（盒子）里，且m>n – 则某个鸽巢（盒子）里一定有两 个或更多的鸽子（物体）。
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即函数的定义域就是A
本身，而不
是A 的一个真子集。
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函数
(2)
任何一个x∈A，都只能有唯一 一个y∈A 与之成为二元关系中一个 元素，
– 即<x, y> ∈ f∧<x, z> ∈ f ⇒ y = z
(3)
如果任何一个y∈A，都只有唯 一一个x∈A 与之成为二元关系中一 个元素，则函数称为单根的。