初中平面几何一题多变

平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：1变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。

题 X 已知，∆ABC 中，ZACB-9C∣⅛,. CD丄AB, D 为垂定:OK图中有几条⅜⅛段？02、图中有几个角，是哪几个角？03s图中耳哪几个三角形，请你写出来“04s图中⅛ZCAB相等的是哪些角？和Z CAB互余的角是哪些角？05s ∆ABC中，BCifi上的高是哪条疑段？∆ABC的垂心是（）点AC - BOAB ∙CDΞ∆ADCi Ξ∆CDB =AD1 DB ∆ABC^∆ACD∞∆CBDnn十、T AC' =ADAB09、SCuEiBC^BDABKk 求证「AC' ÷ BC' - AB'Ih 如果AC-ΞBC f那么5CD-2AB12.如果AB=2BD,那么- SBC11 久求证】^^DC f)i= SLABC SABDC14、求证:15、设丽的中点为隔求证=AC^BC^WM AB证证证求求求⅝⅛\678OoO16 （⅛⅛□题1的条件）DE丄AC于E, DF丄BC于F,求证:Cl).CE CF BC = AC(%CD i = CE-CF-ABC3)> AE= Bc rJ l Ae i口（增加题1的条件）CE平分NBCD求证：AE- =AD ABISs （增加题［的条件）在原图中，作ZBCE-ZBCD求证：BD i DA=C叭AE'19、（增加题1的条件）AE平分∠ BAC交BC于E, 求证：CE: EB=CD : CB20、（增加题1的条件）CE平分∠ BCD , AF平分∠ BAC交BC于F求证：(1) BF∙CE= BE∙ DF(2)AE 丄CF(3)设AE 与CD 交于Q,贝U FQ Il BC21、已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC 于E、F，求证：CE: BC=CF : AC （注意本题和16题有无联系）22、已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD 为直径的圆交BC于F,求证：EF是O 01和Θ O2的一条外公切线23、已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，作以AC为直径的圆01,和以CD为弦的圆02,求证：点A到圆02的切线长和AC相等（AT=AC ）=AB∕AD -BD-AB24、已知，△ ABC 中，∠ ACB=90度，CD 丄AB , D 为垂足,E 为ACD 的中点，连ED 并延长交CB 的延长线于F ,求证：DF : CF=BC : AC内公切线DO交外公切线EF 于点0,25、如图，Θ 01与Θ O2外切与点 D ,求证：OD 是两圆半径的比例中项。

题14解答：因为 CD^2=AD DBAC^2=AD∙ ABBC^2=BD∙ AB所以 1∕AC^2+1∕BC^2=1/ (AD-AB ) +1/ ( BD-AB )=(AD+DB ) / (AD-BD-AB )=1∕AD ∙BD=1∕CD^215题解答：因为M 为AB 的中点，所以AM=MB , AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，作以AC为直径的圆01 ,求证：过点D的圆O1的切线平分BC26、（在19题基础上增加一条平行线）已知，于F, 求证：△ ABC 中，∠ ACB=90 度，CD 丄ABFG Il AB 交BC 于点G,CE=BGD为垂足, AE 平分∠BACBC于交CD27、（在19题基础上增加一条平行线）已知，于F, 求证：△ ABC 中，/ ACB=90 度，CD 丄ABFG Il BC交AB于点G,连结EG, 四边形CEGF是菱形D为垂足, AE 平分∠BAC BC于交CD2& （对已知，于F, 求证：19题增加一个结论）ABC 中，∠ ACB=90 度，CD 丄AB D为垂足, AE 平分∠BAC BC于交CD CE=CF于F ,求证：O CED 平分线段AF31、 （在题1中增加一个条件）已知，△ ABC 中，∠ ACB=90度，CD 丄AB ，D 为垂足，∠ A=30度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第 117页第3题）32、 （在18题基础上增加一条直线）已知，△ ABC 中，∠ ACB=90 度，CD 丄AB , D 为垂足，作∠ BCE= ∠ BCDP 为AC 上任意一点，直线 PQ 交CD 于Q ,交CB 于M ,交CE 于N求证：PQ∕PN=QM∕MN32题证明：作NS Il CD 交直线AC 与点S ,贝U PQ∕PN=CQ∕SN又∠ BCE= Z BCD∙∙∙ QM∕MN=CQ∕CN （三角形内角平分线性质定理）Z BCE+ Z NCS= Z BCD + Z ACDNS Il CD ,∙∙∙Z NSC=Z ACD∕∙Z NSC= Z NCSD 为垂足，AE 平分∠ BAC 交BC 于E ,交CD/. SN=CN/. PQ∕PN=QM∕MN题33在题一中”，延长CB到E,使EB=CB ,连结AE、DE ,求证：DE∙AB= AE∙ BE题33证明CB^2= BD -AB因EB=CB•/ EB^2= BD∙ AB•/ EB : BD=AB : BE 又∠ EBD= ∠ ABE ./△ EBD ABE•/ EB : AB=DE : AE•/ DE∙ AB= AE∙ BE题34（在19题基础上增加一条垂线）已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足, AE平分CD于F, EG⊥AB交AB于点G,求证：EG^2= BE∙ ECC证明：延长AC、GE,设交点为H ,/•△ EBG EHC/• EB : EH=EG : EC/• EH∙ EG= BE- EC又HG Il CD , CF=FD/• EH=EG/• EG^2= BE- EC题35 （在题19中增加点F）已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD丄AB，D为垂足,AE平分∠ BCA交BC于点E ,交CD于F，求证：2CF∙FD = AF -EF题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ ACB=90度这个条件）已知，△ ABC中，CD丄AB，D为垂足，DE丄AC于E，DF丄BC于F，求证：CE∕BC=CF∕AC题37（在题17中，删除∠ ACB=90度和CD丄AB , D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点, 满足∠ ACD= ∠ ABC）已知，△ ABC中，D是AB上一点，满足∠ ACD= ∠ ABC ,又CE平分∠ BCD求证：AE^2= AD∙ AB题38已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，PC为Θ ABC的切线求证：PA∕AD=PB∕BD题39（在题19中点E该为E为BC上任意一点”）已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE , CF ⊥ AE , F为垂足，连结DF,求证：△ ADF AEB题40:已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足求证：SΘ ADC : SΘ BDC=AD : DB已知，如图，△ ABC中，CD ⊥ AB , D为垂足，且AD∕CD=CD∕BD ,求∠ ACB的度数。

题42已知，CD是厶ABC的AB边上的高，D为垂足，且AD∕CD=CD∕BD ,贝U∠ACB - -定是90度吗？为什么？题43:已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，△ ADC的内切圆O 01 ,△ BDC的内切圆O 02 ,求证：S O01 : S O 02=AD : DB题44:已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD⊥AB , D为垂足，△ ADC的内切圆O 01的半径R1, △ BDC的内切圆O 02的半径R2, △ ABC的内切圆O 0的半径R ,求证：R1+R2+R=CDA D 6题45、已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，作以AC为直径的圆01,和以BD 为直径的圆02 ,设01和02在厶ABC内交于P求证：△ PAD的面积和厶PBC的面积相等题45解：Z CAP= Z CDP= Z DBP （圆周角、弦切角）/• Rt △APC S Rt △BPD/• AP∙ PD= BP∙ PC又Z APD 和Z CPB 互补（Z APC+ Z BPD=180 度）S △PAD=1/2 -AP 卩D∙sin Z APDS △PBD=1/2 ∙BP∙PC∙sin Z CPB/• S △ PAD= S △ PBD题46 （在题38的基础上变一下）已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，PC为Θ ABC的切线，又CE平分Z ACB 交Θ ABC 与E，交AB 与D，若PA=5，PC=10，求CD-CE的值XI+=<1-∣- a)< 1 -∣-b >=1 ÷a+b ÷ab ⅛∙1÷Z÷2=⅛兰1 a→,时” Eμz2vΛ-RC ⅛⅛J⅛⅞j≤±⅛ = 时"÷⅜ 弓威 龙”题47在题46中，求Sin ∠ PCA题48 (由题19而变)已知，△ ABC 中，∠ ACB=90度，CD 丄AB , D 为垂足,AE 平分∠ ACB 交BC 于E , EG ⊥ AB 交AB 于点G, 求证：(1)AC=AG(2 )、AG^2= AD∙ AB(3) 、G 在∠ DCB 的平分线上(4)、FG Il BC (5) 、四边形CEFG 是菱形题49Ci+- 1 -)(1 + —-—) - 5仪 CoS a题49解答:b —解： 构造斜谊上高 口口 苗1的臣角 三角形如 国，⅜S. EC=a≈ AC=H 1 AB=Ti 1 ^AP-C= ISilll X Qb- UZD - AE TTTU CD<4r题目50 （题33再变）已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，延长CB到E,使EB=CB ,连结AE交CD的延长线于F,如果此时AC=EC，求AF= 2FE题50解：过点E 作EM 丄CF，M 为垂足，则AD : DB=AC^2 : CB^2=4 : 1 又DB : EM=I : 2所以，AD : EM=2 : 1△ ADF EMF/• AF : EF=AD : EM=2 : 1/• AF=2EF题目51 （题50中连一线）已知，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足，延长CB到E,使EB=CB ,连结AE交CD的延长线于F,连结FB ,如果此时AC=EC , 求证：∠ ABC= ∠ EBFF（题51的几种解法）解法1、作∠ ACB的平分线交AB于点G,易证△ ACG◎△ CEFCG=EF.•.证厶CBG EBF∕∙∠ ABC= ∠ EBF题51解法2作∠ ACB的平分线交AB于点G,交AE于点P, 则点G ACE 的垂心，∙∙∙ GF Il CE 又∠ AEC= ∠ GCE,四边形CGFE为等腰梯形/• CG=EF再证△ CBG EBF∕∙∠ ABC= ∠ EBF题51解法3作∠ ACB的平分线交AB于点G,交AE于点P,则点G ACE的垂心，易证△ APG CPF (AAS )/• PG=PF又∠ GPB= ∠ FPB,PB=PB/•△ PBGFBP (SAS)∕∙∠ PBG= ∠ FBP∕∙∠ ABC= ∠ EBF题51解法4 (原题图)由题50得，AF=2EF/• AF : EF=AC : BE=2又∠ CAF= ∠ BEF=45 度ACF EBF∕∙∠ ACF= ∠ EBF又∠ ACF= ∠ CBA∙∙∙∠ ABC= ∠ EBF题51解法5作ME丄CE交CD的延长线于M ,证厶ABC CME (ASA )∕∙∠ ABC= ∠ M再证△ MEF BEF (SAS)∙∙∙∠ EBM= ∠ M∕∙∠ ABC= ∠ EBF题51解法6作点B关于点C的对称点N ,连结AN , 则NB=2BE ,又由题50, AF=2EF , /• BF Il AN∙∙∙∠ EBM= ∠ N又∠ ABC= ∠ N (对称点).∙.∠ ABC= ∠ EBFN题51解法7过点C作CH Il BF交AB于M ,V B为CE的中点，F为HE的中点又由题50, AF=2EF ,H为AF的中点又CH Il BFM为AB的中点∙∙∙∠ MCB= ∠ MBC又∠ EBM= ∠ MCB∕∙∠ ABC= ∠ EBF题目52 (题50、51结论的引伸)已知，△ ABE 中，AC=EC，/ ACE=90 度, CD丄AB交斜边AB于F，D为垂足，B为CE的中点，连结FB, 求证：(1 )、AF=2EF(2 )、/ ABC= / EBF(3)、/ EBF= / E+∠ BAE(4)、/ ABF=2 / DAC(5)、AB : BF=AE : EF(6)、CD : DF=AE : AF(7)、AD : DB=2AF : EF(8)、CD∕DF∙ FA∕AE∙ EB∕BC=1题目53 (题52的一部分)已知如图，①、AC=CE②、AC丄CE③、CB=BE④、CF⊥ AB求证：⑤、AF=2EF⑥、∠ ABC= ∠ EBF（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）题目54（题53的逆命题1）已知如图，⑤、AF=2EF②、AC丄CE③、CB=BE④、CF⊥ AB求证：①、AC=CE⑥、∠ ABC= ∠ EBF平面几何一题多变题目55 （题53的逆命题2）已知如图，①、AC=CE⑤、AF=2EF③、CB=BE④、CF⊥ AB求证：②、AC丄CE⑥、∠ ABC= ∠ EBF题目56（题53 的逆命题3）已知如图，①、AC=CE②、AC ⊥CE⑤、AF=2EF④、CF⊥ AB求证：③、CB=BE⑥、∠ ABC= ∠ EBF题目57（题53 的逆命题4）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑤、AF=2EF③、CB=BE求证：④、CF⊥ AB⑥、∠ ABC= ∠ EBF题目58（题53 的逆命题5）已知如图，③、CB=BE⑥、∠ ABC= ∠ EBF②、AC⊥CE④、CF⊥ AB求证：⑤、AF=2EF①、AC=CE题目59（题53 的逆命题6）已知如图，①、AC=CE④、CF⊥ AB③、CB=BE⑥、∠ ABC= ∠ EBF求证：⑤、AF=2EF②、AC⊥CE题目60（题53 的逆命题7）已知如图，①、AC=CE②、AC ⊥CE⑥、∠ ABC= ∠ EBF④、CF⊥ AB求证：⑤、AF=2EF③、CB=BE题目61（题53 的逆命题8）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE③、CB=BE⑥、∠ ABC= ∠ EBF求证：⑤、AF=2EF④、CF⊥ AB题目62（题53 的逆命题9）已知如图，⑤、AF=2EF④、CF⊥ AB③、CB=BE⑥、∠ ABC= ∠ EBF求证：①、AC=CE②、AC⊥CE题目63（题53 的逆命题10）已知如图，②、AC⊥CE⑤、AF=2EF④、CF⊥ AB⑥、∠ ABC= ∠ EBF求证：①、AC=CE③、CB=BE题目64（题53 的逆命题11）已知如图，③、CB=BE⑥、∠ ABC= ∠ EBF②、AC⊥CE⑤、AF=2EF求证：①、AC=CE④、CF⊥ AB题目65（题53 的逆命题12）已知如图，①、AC=CE⑤、AF=2EF④、CF⊥ AB⑥、∠ ABC= ∠ EBF求证：②、AC⊥CE③、CB=BE题目66（题53 的逆命题13）已知如图，①、AC=CE⑤、AF=2EF③、CB=BE⑥、∠ ABC= ∠ EBF求证：②、AC⊥CE④、CF⊥ AB题目67（题53 的逆命题14）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑤、AF=2EF⑥、∠ ABC= ∠ EBF求证：③、CB=BE④、CF⊥ AB题目68已知如图，△ ABC中，∠ ACB=90度，CD丄AB , D为垂足,CM 平分∠ ACB ,如果S A ACM=30 , S A DCM=6 , 求S A BCD= ?(题68解答)解：设S A BCD=X,贝U I S△ ACM/ S △ CMB=30/ (6+ X) =AM∕MBS A ACD/ S △CDB=36/ x=AD∕DB又AC^2= AD∙ ABBC^2= BD -AB/• AC^2/ BC^2=AD∕BDT CM 平分∠ ACB/•( AM/ BM ) ^2=AD/BD[30∕(6+x)]^2=36∕x解方程得x=4或x=9/• S A BCD=4 或S A BCD=9题目69已知如图，△ ABC中，∠ ACB=90度，D为斜边AB上一点，满足AC^2= AD∙ AB 求证：CD丄AB题目70已知如图，△ ABC 中，AC>BC, /ACB=90 度,CM 平分∠ ACB ,且CM+CB=AC ,求证：1∕AC-1∕BC=√ 2题70证明：过点M作MD丄BC , D为垂足，作MD丄AC , E为垂足,设ME=x,AC=b,BC=a,贝U CM√2 X , AE=b-x,由AE∕AC=ME∕BC ,得(b-x)∕b=x∕a,∕∙ x=ab∕(a+b)又CM+CB=AC∕∙ √2 x+a=b,∕∙ ab∕(a+b)=(b-a)/ √2整理得：b^2-a^2=√2ab两边都除以ab,/• 1∕AC- 1∕BC=√2题目71（依题68变）已知如图，△ ABC 中（AC>BC）, ∠ ACB=90 度，CD⊥AB , D 为垂足, CM平分∠ ACB,且BC、AC是方程x^2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。