7.2.1 控制系统的阶跃响应汇总
总结系统阶跃响应
总结系统阶跃响应一、内容综述当我们谈论一个系统的阶跃响应时，其实就是在探讨这个系统对于突然变化的反应。
就像我们日常生活中遇到的各种情况，有时候事情突然变化，我们需要了解这个变化对整个系统的影响。
今天这篇文章，就是来给大家聊聊如何总结系统的阶跃响应。
我们知道系统在不同的条件下会有不同的反应，当系统受到一个强烈的刺激，也就是所谓的阶跃刺激时，它会怎样回应呢？是迅速响应还是反应迟钝？是保持稳定还是出现波动？这些都是我们要探讨的问题，接下来我们就来一起看看这个系统在面对阶跃刺激时的一些基本表现和变化规律。
让我们一起理解系统的这些表现，帮助我们更好地应对各种挑战和变化。
1. 介绍阶跃响应在系统分析中的重要性当我们谈论系统分析时，阶跃响应是一个不可忽视的重要概念。
你知道吗阶跃响应就像是系统的一辆“反应快车”，让我们知道系统在面对突然变化时是如何快速做出反应的。
想象一下当你按下遥控器的按钮时，电视屏幕上的画面立刻发生变化，这就是阶跃响应的一个例子。
了解系统的阶跃响应，可以帮助我们更好地理解系统的性能特点。
这就像是在观察一个运动员的反应速度一样，反应越快表现越优秀。
所以阶跃响应在系统分析中扮演着至关重要的角色，通过它我们可以预测系统在遇到突发情况时的表现，从而做出相应的调整和优化。
这样我们的系统就能更加稳定、可靠地运行啦！2. 概述阶跃响应的基本概念及其在实际应用中的作用接下来，让我们来聊聊阶跃响应这个有趣的话题。
你听说过阶跃响应吗？可能一开始听起来有点陌生，但它其实在我们的生活中无处不在。
阶跃响应简单来说，就是一个系统在突然受到强烈刺激或者变化时的反应。
就好比我们突然打开一扇门，看看房间里的空气流动情况，或者按下遥控器换频道，看看电视的反应速度。
这些都是阶跃响应的实际例子，在实际应用中，阶跃响应的概念非常重要。
无论是工业制造、汽车控制，还是电子设备的性能评估，都需要了解系统对突然变化的反应。
这就像是我们想知道电视的反应是否灵敏，汽车加速是否迅速，机器在遇到突发状况时是否能稳定运行。
阶跃函数和阶跃响应
一、阶跃函数
单位阶跃函数(t)的定义为
(t)
0 1
t0 t 0
(6 26)
波形如图(a)所示。当t=0时，(t)从0跃变到1。当跃变量是k
个单位时，可以用阶跃函数k(t)来表示，其波形如图(b)所
示。当跃变发生在t=t0时刻，可以用延迟阶跃函数 (t-to) 表 示，其波形如图(c)所示。函数(-t)表示t<0时，(-t)=1，t>0
其中时间常数=RC或=L/R。
已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意 分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如 图6-36(b)所示信号作用图6-36(a)所示RC串联电路时，由于 图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 号的叠加。
图6-36
图6－36 RC串联电路在分段恒定信号激励下的零状态响应
τ
RoCo
R1R2 R1 R2
(C1
C2 )
现在计算初始值uC2(0+)。在t<0时，(t)=0，电路处于
零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻，两个电容电压应 该满足以下KVL方程
uC1(0 ) uC2 (0 ) 1V
上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一个结 点的各电容总电荷量保持恒定(此例中总电荷为零)，由此 得到以下方程
说，等效于图(d)所示的阶跃电流源I0(t)。
图6－31 用阶跃电源来表示开关的作用
图6－31 用阶跃电源来表示开关的作用
与此相似，图(e) 所示电路等效于图(f) 所示阶跃电压
源 U0 (-t)；图(g) 所示电路等效于图6－31(h) 所示阶跃电 流源I0(-t)；引入阶跃电压源和阶跃电流源，可以省去电路
《自动控制》一二阶典型环节阶跃响应实验分析报告
《自动控制》一二阶典型环节阶跃响应实验分析报告一、实验目的本实验旨在通过实际的一二阶典型环节阶跃响应实验，掌握自动控制理论中的基本概念和方法，并能够分析系统的动态响应特性。
二、实验原理1.一阶惯性环节：一阶惯性环节是工程实际中常见的系统模型，其传递函数为G(s)=K/(Ts+1)，其中K为传递函数的增益，T为时间常数。
2.二阶惯性环节：二阶惯性环节是另一类常见的系统模型，其传递函数为G(s)=K/((Ts+1)(αTs+1))，其中K为传递函数的增益，T为时间常数，α为阻尼系数。
3.阶跃响应：阶跃响应是指给定一个单位阶跃输入，观察系统的输出过程。
根据系统的阶数不同，其响应形式也不同。
实验仪器：电动力控制实验台，控制箱，计算机等。
三、实验步骤1.将实验台上的一阶惯性环节模型接入控制箱和计算机，并调整增益和时间常数的初始值。
2.发送一个单位阶跃信号给控制器，观察实验台上的输出响应，并记录时间和输出值。
3.根据记录的数据，绘制一阶惯性环节的阶跃响应图像。
4.类似地，将实验台上的二阶惯性环节模型接入控制箱和计算机，并调整增益、时间常数和阻尼系数的初始值。
5.发送一个单位阶跃信号给控制器，观察实验台上的输出响应，并记录时间和输出值。
6.根据记录的数据，绘制二阶惯性环节的阶跃响应图像。
四、实验结果与分析1.一阶惯性环节的阶跃响应图像如下：（在此插入阶跃响应图像）根据图像可以看出，随着时间的增加，输出逐渐趋于稳定。
根据实验数据，可以计算出一阶惯性环节的增益K和时间常数T的估计值。
2.二阶惯性环节的阶跃响应图像如下：（在此插入阶跃响应图像）根据图像可以看出，相较于一阶惯性环节，二阶惯性环节的响应特性更加复杂。
根据实验数据，可以计算出二阶惯性环节的增益K、时间常数T和阻尼系数α的估计值。
五、实验结论通过本实验，我们成功地进行了一二阶典型环节阶跃响应实验，并获得了实际的响应数据。
通过对实验数据的分析，我们得到了一阶惯性环节和二阶惯性环节的估计参数值。
自动控制原理二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
当 ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 n 的不衰减
（等幅）振荡。
阻尼比和超调量的关系曲线
d n 1 2
在 一定的情况下，n
越大，振荡频率 d也越
高，响应平稳性也越差。
结论：对于欠阻尼二阶系
统而言， 大， n 小，系 统响应的平稳性好。
• 快速性
时削弱了等效阻尼比 d 的平稳作用。
d
1 2
Tdn
(s) C(s)
n2 (1 Td s)
R(s) s2 (2n Tdn2 )s n2
总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正
改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时
间常数 Td 。若 Td 大一些，使 c1(t)具有过阻尼的
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性
峰值时间：tp
n
0.037秒 1 2 84.85
超调量：％ e 12 52.7%
调节时间：ts
3.0
n
0.17秒
例题解析(4) 当KA ＝13.5时
▪系统的闭环传递函数：
(s)
s2
67.5 34.5s
67.5
▪与标准的二阶系统传递函数对照得：
n 67.5 8.21 rad s1
s1,2 n n 2 1
此时s1,s2 为两个负 实根，且 位于复平 面的负实 轴上。
③特征根分析—（临界阻尼） 1
s1,2 n n 2 1 n
此时s1,s2为 一对相等的 负实根。
s1=s2=-n
④特征根分析—（无阻尼） 0
s1,2 n n 2 1 jn
此时s1,s2为 一对纯虚根， 位于虚轴上。
自动控制实验报告二-二阶系统阶跃响应相关数据及其图像
自动控制实验报告二-二阶系统阶跃响应相关数据及其图像二阶系统阶跃响应报告书-数据及图像一、实验目的1．研究二阶系统的特征参数，阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn对系统动态性能的影响。
定量分析ζ和ωn与最大超调量Mp和调节时间t S之间的关系。
2．进一步学习实验系统的使用方法3．学会根据系统阶跃响应曲线确定传递函数。
二、实验仪器1．EL-AT-III型自动控制系统实验箱一台2．计算机一台三、实验原理1．模拟实验的基本原理：控制系统模拟实验采用复合网络法来模拟各种典型环节，即利用运算放大器不同的输入网络和反馈网络模拟各种典型环节，然后按照给定系统的结构图将这些模拟环节连接起来，便得到了相应的模拟系统。
再将输入信号加到模拟系统的输入端，并利用计算机等测量仪器，测量系统的输出，便可得到系统的动态响应曲线及性能指标。
若改变系统的参数，还可进一步分析研究参数对系统性能的影响。
2. 域性能指标的测量方法：超调量ó%：1）启动计算机，在桌面双击图标 [自动控制实验系统] 运行软件。
2) 检查USB线是否连接好，在实验项目下拉框中选中实验，点击按钮，出现参数设置对话框设置好参数，按确定按钮，此时如无警告对话框出现表示通信正常，如出现警告表示通信不正常，找出原因使通信正常后才可以继续进行实验。
3)连接被测量典型环节的模拟电路。
电路的输入U1接A/D、D/A 卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入，将两个积分电容连在模拟开关上。
检查无误后接通电源。
4)在实验项目的下拉列表中选择实验二[二阶系统阶跃响应] 。
5)鼠标单击按钮，弹出实验课题参数设置对话框。
在参数设置对话框中设置相应的实验参数后鼠标单击确认等待屏幕的显示区显示实验结果6)利用软件上的游标测量响应曲线上的最大值和稳态值，代入下式算出超调量：Y MAX - Y∞ó%=——————×100%Y∞T P与T P：利用软件的游标测量水平方向上从零到达最大值与从零到达95%稳态值所需的时间值，便可得到T P与T P。
阶跃响应的分析介绍
在时间坐标上次切距的长度等于时间常数
5、能量关系 电容放电电阻耗能 S
_ uR +
R i
WR i (t )Rdt
R越大 i=u/R 放电电流越小
越大 过渡过程越长
u C U 0e
1 t RC
从任一时刻t0开始，经过 ：
u C ( t 0 ) U 0e
1
( t 0 ) /
U 0e e
1 t 0 /
e u C (t 0 ) 0.368u C (t 0 )
uC
E 1.5mA 解：（1） i L (0 ) i1 (0 ) R R1
uC (0 ) i1 (0 )R1 3V
（2）i1 (0 ) i L (0 ) i L (0 ) 1.5mA
uC (0 ) uC (0 ) 3V
（3）t=0+时的等效电路
求解一阶齐次微分方程
du C RC uC 0 dt uC(0+) =U0
把方程的通解 u C Ae
pt
代入方程
1 特征方程：RCp+1=0 p RC
将 uC(0+) =U0 代入方程的通解：
u C Ae pt
得到：A = uC(0+) =U0 微分方程的解为：
u C U 0e
四、换路定则
如果把换路的时刻记为t=0
t=0- —— 换路前的最终时刻
t=0+ —— 换路后的最初时刻 对任一变量X，如果：
X( 0+ ) X( 0- )
则表明：物理量X在换路瞬间发生跃变
换路定则
在换路前后，电容电流和电感电压 为有限值的条件下，换路瞬间电容电 压和电感电流不能突变。
阶跃响应冲激响应
(t)
h(t)
零状态
(t)
0
t
(t) 0 (t 0)
(t)dt 1
分析冲激响应时，时间范围为 0 到 t 。
措施一 ： 分两个时间段来考虑
（1） t 在 0- ～ 0+；（2） t > 0+。
例1 已知：uC (0 ) 0。 求： iS(t)为单位冲激时电路旳响应uC(t)和 iC (t)。
f(t )(t)
f (t )
f(t )(t-t0)
t 0 t0
f(t )(t) f(t-t0 )(t-t0)
注意 不要写为
1 R
e
t
RC
(
t
-
t0
)
0
t
例 求图示电路中电流 iC(t)
10k
uS/V
+
iC
10
10k
- uS
100F
0 0.5 t/s
uC(0-)=0
解 uS [10 (t) 10 (t 0.5)] V
2. 延迟旳单位阶跃函数
(t-t0)
def 0
(t t0 ) 1
(t t0 ) (t t0 )
0 t0
t
S
US
R+ uC C
–
开关在t =t0 时闭合
3. 由单位阶跃函数可构成复杂旳信号
例1
f(t)
1
0 t0
t
1
f
(t
)
0
(0 t t0 ) (t 0 , t t0)
试用阶跃函数表达上图所示旳矩形脉冲。
减小，脉冲变窄，面积不变。
0
1 面积不变
令 lim p(t) (t) 0
阶跃响应与冲激响应实验总结
阶跃响应与冲激响应实验总结引言阶跃响应与冲激响应是信号系统领域中重要的概念，用于描述系统对输入信号的响应特性。
本文将对阶跃响应与冲激响应的实验进行总结与探讨。
实验目的本次实验的目的是通过测量系统的阶跃响应和冲激响应，了解信号传输过程中系统的性质和特性。
具体目标包括： 1. 了解阶跃信号与冲激信号的定义和性质； 2. 掌握如何测量系统的阶跃响应和冲激响应； 3. 分析阶跃响应和冲激响应的特性，如稳态响应、时间常数等。
实验原理阶跃响应阶跃响应是指系统对阶跃输入信号的响应。
阶跃信号是在某一时刻突变到一个常数值的信号，常用单位阶跃信号(Heaviside function)表示，具体定义如下：u (t )={0,t <01,t ≥0系统对阶跃信号的响应通常包括了两个重要的部分：零状态响应和零输入响应。
其中，零状态响应是指在初始时刻系统无驱动力时产生的响应，零输入响应是指在初始时刻系统已存在驱动力时产生的响应。
冲激响应冲激响应是指系统对冲激输入信号的响应。
冲激信号是单位冲击函数(单位脉冲函数)的导数，通常用单位冲激函数(单位脉冲函数)表示，具体定义如下：δ(t )={∞,t =00,t ≠0∫δ∞−∞(t )dt =1系统对冲激信号的响应称为冲激响应，它可以反映系统的特性和性能。
实验装置本实验需要使用以下实验装置： 1. 信号发生器：用于产生阶跃信号和冲激信号；2. 示波器：用于接收和显示系统的响应信号；3. 测量仪器：例如计时器、数字万用表等，用于测量信号的参数。
实验步骤1.连接实验装置：将信号发生器和示波器正确连接，并对系统进行初始化设置；2.测量阶跃响应：将信号发生器设置为阶跃信号输出模式，调整阶跃信号的幅值和时间参数，观察示波器上的响应曲线，并记录相关数据；3.分析阶跃响应特性：根据测量得到的数据，分析系统的稳态响应、时间常数等特性；4.测量冲激响应：将信号发生器设置为冲激信号输出模式，调整冲激信号的幅值和时间参数，观察示波器上的响应曲线，并记录相关数据；5.分析冲激响应特性：根据测量得到的数据，分析系统的零状态响应、零输入响应等特性；6.实验数据处理：根据测量数据进行进一步分析和计算，得出阶跃响应和冲激响应的相关参数；7.结果比较与讨论：比较阶跃响应和冲激响应的差异和联系，分析实验结果的合理性和有效性。
自动控制实验报告二-二阶系统阶跃响应
实验二二阶系统阶跃响应一、实验目的1．研究二阶系统的特征参数，阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn对系统动态性能的影响。
定量分析ζ和ωn与最大超调量Mp和调节时间t S之间的关系。
2．进一步学习实验系统的使用方法3．学会根据系统阶跃响应曲线确定传递函数。
二、实验仪器1．EL-AT-III型自动控制系统实验箱一台2．计算机一台三、实验原理1．模拟实验的基本原理：控制系统模拟实验采用复合网络法来模拟各种典型环节，即利用运算放大器不同的输入网络和反馈网络模拟各种典型环节，然后按照给定系统的结构图将这些模拟环节连接起来，便得到了相应的模拟系统。
再将输入信号加到模拟系统的输入端，并利用计算机等测量仪器，测量系统的输出，便可得到系统的动态响应曲线及性能指标。
若改变系统的参数，还可进一步分析研究参数对系统性能的影响。
2. 域性能指标的测量方法：超调量Ó%：1）启动计算机，在桌面双击图标 [自动控制实验系统] 运行软件。
2) 检查USB线是否连接好，在实验项目下拉框中选中实验，点击按钮，出现参数设置对话框设置好参数，按确定按钮，此时如无警告对话框出现表示通信正常，如出现警告表示通信不正常，找出原因使通信正常后才可以继续进行实验。
3)连接被测量典型环节的模拟电路。
电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入，将两个积分电容连在模拟开关上。
检查无误后接通电源。
4)在实验项目的下拉列表中选择实验二[二阶系统阶跃响应] 。
5)鼠标单击按钮，弹出实验课题参数设置对话框。
在参数设置对话框中设置相应的实验参数后鼠标单击确认等待屏幕的显示区显示实验结果6)利用软件上的游标测量响应曲线上的最大值和稳态值，代入下式算出超调量：Y MAX - Y∞Ó%=——————×100%Y∞T P与T P：利用软件的游标测量水平方向上从零到达最大值与从零到达95%稳态值所需的时间值，便可得到T P与T P。
《自动控制》一二阶典型环节阶跃响应实验分析报告
《⾃动控制》⼀⼆阶典型环节阶跃响应实验分析报告⾃动控制原理实验分析报告姓名：学号：班级：⼀、典型⼀阶系统的模拟实验：1.⽐例环节（P) 阶跃相应曲线。
传递函数：G(S)=-R2/R1=K说明：K为⽐例系数（1）R1=100KΩ，R2=100KΩ；特征参数实际值：K=-1.（2）（2）R1=100KΩ，R2=200KΩ；即K=-2.〖分析〗：经软件仿真，⽐例环节中的输出为常数⽐例增益K；⽐例环节的特性参数也为K，表征⽐例环节的输出量能够⽆失真、⽆滞后地按⽐例复现输⼊量。
2、惯性环节（T) 阶跃相应曲线及其分析。
传递函数：G(S)=-K/(TS+l) K=R2/R1 , T=R2C说明：特征参数为⽐例增益K和惯性时间常数T。
（1）、R2=R1=100KΩ , C=1µF；特征参数实际值：K=-1，T=0.1。
（2）、R2=R1=100KΩ , C=0.1µF；特征参数实际值：K=-1，T=0.01。
〖分析〗：惯性环节的阶跃相应是⾮周期的指数函数，当t=T时，输出量为0.632K，当t=3～4T时，输出量才接近稳态值。
⽐例增益K表征环节输出的放⼤能⼒，惯性时间常数T表征环节惯性的⼤⼩，T越⼤表⽰惯性越⼤，延迟的时间越长，反之亦然。
传递函数：G(S)= -l/TS ，T=RC说明：特征参数为积分时间常数T。
（1）、R=100KΩ , C=1µF；特征参数实际值：T=0.1。
（2）R=100KΩ , C=0.1µF；特征参数实际值：T=0.01。
〖分析〗：只要有⼀个恒定输⼊量作⽤于积分环节，其输出量就与时间成正⽐地⽆限增加，当t=T时，输出量等于输⼊信号的幅值⼤⼩。
积分时间常数T表征环节积累速率的快慢，T越⼤表⽰积分能⼒越强，反之亦然。
4、⽐例积分环节（PI) 阶跃相应曲线及其分析。
传递函数：G(S)=K( l+l/TS) K=-R2/R1, T=R2C说明：特征参数为⽐例增益K和积分时间常数T。
一阶电路和二阶电路的阶跃响应、冲击响应解读
1 A2 3
单位阶跃响应：
4 t 1 4 t iL (t ) 1 e e (t )A 3 3
电路的动态过程是过阻尼性质。
9
§7-7 一阶和二阶电路的冲激响应
1. 单位冲激函数
p(t)
1）单位冲激函数的定义
(t) = 0，t≠0
t
根据叠加定理，得到电路的响应为： iC (t ) 10s(t ) 10s(t 0.5)
e 2t (t ) e 2(t 0.5) (t 0.5) mA
2 t e mA (0 t 0.5 s) 分段表示为： i C (t ) - 2(t -0.5) 0.632 e mA (t 0.5 s)
(t)
C
+ uC -
d 2 uC duC LC 2 RC uC (t ) dt dt
0 d uC duC 0 LC dt 2 dt 0 RC dt dt 0 uCdt 0 (t )dt 0 0 0 2
0
0
有限值
有限值
18
duC duC LC (0 ) LC (0 ) 1 dt dt duC 1 uC (0 ) uC (0 ) 0 iL (0 ) C (0 ) dt L L iL R 1 u ( 0 ) 0 2）t ≥0+： C iL (0 ) + L uC 2 C d uC duC LC 2 RC uC 0 dt dt
1 u C (0 ) RC
发生突变
13
1 2 ） t ≥0 +： u C ( 0 ) RC 电容放电，零输入响应
一阶电路和二阶电路的阶跃响应、冲击响应ppt课件
解 1）0–≤t ≤0+：uC(0-)=0
Ri
电容充电，零状态响应
+
RC
duC dt
uC
(t)
(t) C uC
–
0
0RC duC dt
0
dt
0 0
uCdt
0 (t)dt
0
注意：uC不是冲激函数，否则KVL不成立。
RCuC (0 ) uC (0 ) 1
uC (0 )
1 RC
发生突变
§7-7 一阶和二阶电路的阶跃响应
1.单位阶跃函数
1）单位阶跃函数的定义
(t)
( t ) =
0，t < 0 1，t > 0
2）单位阶跃函数的延迟
( t-t0 ) =
0，t < t0 1，t > t0
整理版课件
1
0
(t – t0)
1
0 t0
t
t
1
3）单位阶跃函数的作用
① 表示开关动作
（t = 0）
+ 10k iC
uS(V) 10
uS -
10k 100F
应用叠加定理
0
0.5 t(s)
uS 10 (t) 10 (t 0.5)V
求单位阶跃响应s(t)
uC (0 ) uC (0 ) 0
iC (0 ) 0.1mA iC () 0 ReqC 0.5s
整理版课件
5
t
s(t) iC () [iC (0 ) iC ()]e
iR
uC 0.2
5uC
iC
2
duC dt
uC
uL
0.25
diL dt
实验二 控制系统的阶跃响应
图 2-5 单位斜坡响应 4、特征参量 和 n 对二阶系统性能的影响
电子 1303
标准二阶系统的闭环传递函数为：
n2 C (s) 2 2 R ( s ) s 2n s n
设定无阻尼自然振荡频率 n 1(rad / s ) ，考虑 5 种不同的 值： =0,0.25,0.5,1.0 和 2.0，利用 MATLAB 对每一种 求取单位阶跃响应曲线，分析参数 对系统的影响。 为便于观测和比较，在一幅图上绘出 5 条响应曲线（采用“hold”命令实现） 。 num=[0 0 1]; den1=[1 0 1]; den2=[1 0.5 1]; den3=[1 1 1]; den4=[1 2 1]; den5=[1 4 1]; t=0:0.1:10; step(num,den1,t) grid text(4,1.7,'Zeta=0'); hold step(num,den2,t) text(3.3,1.5,'0.25') step(num,den3,t) text(3.5,1.2,'0.5') step(num,den4,t) text(3.3,0.9,'1.0') step(num,den5,t) text(3.3,0.6,'2.0') title('Step-Response Curves for G(s)=1/[s^2+2(zeta)s+1]') 由此得到的响应曲线如图 2-6 所示。
C (s) 1 G(s) 2 R(s) s 0.2s 1
在 matlab 中可表示为 num=[0 0 1]; den=[1 0.2 1]; impulse(num,den) grid title(‘Unit-impulse Response of G(s)=1/(s^2+0.2s+1)’) 由此得到的单位脉冲响应曲线如图 2-3 所示。 ② 求脉冲响应的另一种方法 应当指出，当初始条件为零时，G (s)的单位脉冲响应与 sG(s)的单位阶跃响应相同。 考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应，因为对于单位脉冲输入量，R(s)=1 所以
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X0(t) X 0 ( ∞) 0.9 0.05x0(∞) 或 0.05x0(∞)
0.1
0 (b) 图3-27
tr
ts
t
单调变化的单位阶跃响应 稳定系统的单位阶跃响应
式中 Xmax 输出超过稳态值的最大值； X0（∞） 输出稳态值。 超调量的大小直接表示了系统的相对稳定性。此值一 般应控制在5%-35%间。 2.峰值时间tp 指输出超过稳态值达到第一个峰值所需的时间 3.上升时间tr 对具有衰减振荡的响应，指输出由零值上升到第一次 穿过稳态值所需的时间。 4.调节时间ts 指输出X0（t）与稳态值X0（∞）之间的偏差，达到规 定的允许范围 ，且以后不再超过此范围所需的最小时间.
输入单位阶跃信号时 1 1 Xi(s)= , X0(s)= Ф(s)
s
X0(t)=L-1[Ф(s) 输入单位斜坡信号时
1 ] s
s
1 1 1 Xi(s)= 2 ,X0v(s) = Ф(s) =X0(s) 2 s s s
X0v(t)= .
t
0
x0 (t )dt
输入单位脉冲信号时
Xi(s)=1,X01(s)= Ф(s)∫=X0(s)s
2n
调的曲线。
Im xo(t) 1 -p1
-p2
0
Re
0
t
(a) 图3-32
(b) 过阻尼时的单位阶跃响应
二、二阶系统性能指标与系统参数的关系 在0<ξ<1时，响应为衰减振荡曲线，其性能指标可以计算 如下 (1)上升时间tr
arccos t=tr= d n 1 2
-p1,2= -ω n
0 ó (a)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 (b)
控制工程基础(第四章,控制系统的时域响应分析)
, b2
a1a 4 a0a5 a1
,
b3
a1a 6
a0a7 a1
,L
c1
b1a3 a1b2 b1
, c2
b1a5 a1b3 b1
,
c3
b1a7 a1b4 b1
,L
（1）若表中第一列的系数均为正值，则系统稳定； （2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数 等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为 不稳定。
为系统的阻尼比;n为系统的无阻尼自然频率
根据阻尼比的大小分类，对应的极点分布情况
s1.2 n n 2 1
欠阻尼时，d n 1 2为阻尼振荡频率
特征根分布与响应形式之间的关系
1、二阶系统的单位阶跃响应
（1）欠阻尼 0 1 时 s1.2 n jn 1 2 n jd
令Rs 1/ s，则
一阶系统单位 斜坡响应
线性定常系统的性质：
（1）一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号的 时域响应的导数；
（2）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的 时域响应的积分；
输入信号的选取。 由典型信号的响应曲线特征，可推知系统特征参数、 结构特征。
三、二阶系统的时域响应
Cs
n2
R s s2 2n s n2
s2 2knk s
2 nk
j 1
k 1
2
A0 q
Aj
r Bk
s j1 s p j k1
s knk Cknk s2 2knk s
1
2 nk
k
即：
C t
A0
q j1
Aje pjt
r
eknkt
k 1
Bk
自动控制原理实验一控制系统的阶跃响应
实验设备G(s)二%分子多项式系数 %分母多项式系数 %构造传递函数并显示 %赋增益值，标量 %赋零点值，向量 %赋极点值，向量 %零极点模型转换成多项式模型%构造传递函数并显示 实验一控制系统的阶跃响应一、实验目的1. 掌握控制系统多项式模型和零极点模型的建立方法及它们之间的相互转换 2 •观察学习控制系统的单位阶跃响应。
3 •记录单位阶跃响应曲线。
4 •掌握时间响应分析的一般方法。
5•分析系统阶跃响应曲线与传递函数参数的对应关系。
PC 机，MATLAB 仿真软件。
三、实验内容1 •作以下二阶系统的单位阶跃响应曲线102s 2s 102 .分别改变该系统的和二，观察阶跃响应曲线的变化3 •作该系统的脉冲响应曲线四、实验原理1.建立系统模型在MATLAB 下，系统数学模型有三种描述方式，在本实验中只用到多项式 模型和零极点模型。
(1) 多项式模型 num 表示分子多项式的系数，den 表示分母多项式的系数，以行向量的方式 输入。
例如，程序为nu m=[0 1 3]; den=[1 2 2 1]； prin tsys (num, den) (2) 零极点模型z 表示零点，p 表示极点，以行向量的方式输入，k 表示增益。
例如，程序为 k=2; z=[1]；P=[-1 2 -3];[num, den]=zp2tf(z, p, k)； prin tsys( num, den) (3) 相关MATLAB 函数函数tf(num, den)用来建立控制系统的多项式模型；函数zpk(z, p, k)用来建立控制系统的零极点模型；[n um, den ]=zp2tf (z, p, k) %零极点模型转换成多项式模型 [z, p, k]=tf2zp (n um, de n) %多项式模型转换成零极点模型[num, den]=ord2(侧E) %用来建立二阶系统标准模型G(s) = 10 2s 2s 102. 控制系统的单位阶跃响应(1) 给定系统传递函数的多项式模型，求系统的单位阶跃响应。
控制系统的阶跃响应
控制系统的阶跃响应实验⼀控制系统的阶跃响应⼀、实验⽬的1、观察学习⼆阶控制系统的单位阶跃响应、脉冲响应。
2、记录单位阶跃响应曲线、脉冲响应曲线。
3、掌握时间响应分析的⼀般⽅法。
4、掌握系统阶跃响应曲线与传递函数参数的对应关系。
⼆、实验设备PC 机，MATLAB 仿真软件。
三、实验内容1、作以下⼆阶系统的单位阶跃响应曲线10210)(2++=s s s G2、分别改变该系统的ζ和n ω，观察阶跃响应曲线的变化。
3、作该系统的脉冲响应曲线。
四、实验步骤1、⼆阶系统为10210)(2++=s s s G（1）键⼈程序观察并纪录阶跃响应曲线实验程序为：clc %清除屏幕clear %清除变量close all %关闭所有窗⼝num=[10]; %系统传函分⼦系数den=[1 2 10];printsys(num,den); %将系统传函打在屏幕上figure(1)step(num,den);title('num=[10] den=[1 2 10]')实验曲线为：图1 阶跃响应曲线（2）健⼊damp（den）计算系统的闭环根、阻尼⽐、⽆阻尼振荡频率，并作记录。
记录结果为:Eigenvalue Damping Freq. (rad/s)-1.00e+000 + 3.00e+000i 3.16e-001 3.16e+000-1.00e+000 - 3.00e+000i 3.16e-001 3.16e+000则闭环根为：x1=-1.00+3.00j；x2=-1.00-3.00j；阻尼⽐为：ζ=0.316；⽆阻尼振荡频率：16ω；.3=n健⼊[y，x，t]=step（num，den）%返回变量输出y与时间t（变量x为状态变量矩阵）[y，t']%显⽰输出向量y与时间向量t（t为⾃动向量）记录实际测取的峰值⼤⼩、C max(t p)、峰值时间t p、过渡时间t s并与理论值相⽐较。
记录结果为：ans =0 00.0562 0.1104 0.1205 0.1656 0.2034 0.2209 0.3006 0.2761 0.4078 0.3313 0.5208 0.3865 0.6358 0.4417 0.7492 0.4969 0.8580 0.55210.9596 0.60741.0516 0.6626 1.1326 0.7178 1.2013 0.7730 1.2570 0.8282 1.2995 0.8834 1.3289 0.9386 1.3458 0.9939 1.3509 1.0491 1.3454 1.1043 1.3306 1.1595 1.3077 1.2147 1.2785 1.2699 1.2442 1.3252 1.2065 1.3804 1.1668 1.4356 1.1264 1.4908 1.0867 1.5460 1.0486 1.6012 1.0130 1.6564 0.9808 1.7117 0.9526 1.7669 0.9286 1.8221 0.9092 1.8773 0.8945 1.9325 0.8843 1.9877 0.87852.0429 0.8769 2.0982 0.8789 2.1534 0.8842 2.2086 0.8923 2.2638 0.9027 2.3190 0.9147 2.3742 0.9280 2.42940.9561 2.5399 0.9701 2.5951 0.9834 2.65030.9958 2.70551.00712.7607 1.0170 2.8159 1.0253 2.8712 1.0321 2.92641.03722.9816 1.04073.0368 1.0427 3.0920 1.0432 3.1472 1.0424 3.2024 1.0405 3.2577 1.0377 3.3129 1.0340 3.3681 1.0298 3.4233 1.0251 3.4785 1.0202 3.5337 1.0152 3.5889 1.0103 3.6442 1.0057 3.6994 1.0013 3.7546 0.9974 3.8098 0.9939 3.8650 0.99103.9202 0.9887 3.9755 0.98694.0307 0.9857 4.0859 0.9850 4.1411 0.9848 4.1963 0.9851 4.2515 0.9858 4.3067 0.9868 4.3620 0.9881 4.4172 0.9896 4.4724 0.9912 4.5276 0.9930 4.5828 0.9947 4.6380 0.9964 4.6932 0.9981 4.74850.9996 4.80371.0010 4.85891.0022 4.91411.0032 4.96931.0040 5.02451.0046 5.07971.0050 5.13501.0053 5.19021.0053 5.24541.0052 5.30061.0050 5.35581.0046 5.41101.0042 5.46621.0036 5.52151.0031 5.57671.0024 5.63191.0018 5.68711.0012 5.74231.0007 5.79751.0001 5.85270.9996 5.90800.9992 5.9632理论值计算：峰值21/1ξξ-∏-+=e x cm =1+316.0*316.01/*316.0-∏-e =1.3535 峰值时间)10*316.0*316.01/(1/2-∏=-∏=n m w t ξ=1.0472 过渡时间ts=（±5%）=n ξω/3=3/(0.316*10)=3.0022 过渡时间ts=（±2%）=n ξω/4 =4/(0.316*10)=4.0029 则得下表：实际值理论值峰值 C max (t p ) 1.3509 1.3535峰值时间t p 1.0491 1.0472过渡时间t s %5± 2.5399 3.0022 %2± 3.5889 4.0029⽐较理论值与实际值，可知：峰值、过渡时间的理论值⽐实际值都稍偏⼤，峰值时间的理论值⽐实际值稍⼩。
7.2.1 控制系统的阶跃响应
7.2.1 控制系统的阶跃响应1. 实验目的（1）观察学习控制系统的单位阶跃响应 （2）记录单位阶跃响应曲线（3）掌握时间响应分析的一般方法2. 实验内容（1） 二阶系统为10210)(2++=s s s G1） 键入程序，观察，记录阶跃响应曲线num=[10]; den=[1 2 10]; sys=tf(num,den); step(sys)【请将阶跃曲线复制在下方】图1 系统阶跃曲线2）键入num=[10];den=[1 2 10];sys=tf(num,den);damp(den)计算系统的闭环根，阻尼比，无阻尼振荡频率，并作记录(填入下表)表1【将数据填入下表】step(sys)[y,t,x]=step(sys);[y,t]记录实际测取的峰值大小Cmax（tp），峰值时间tp，过渡时间ts，填入下表，并与理论值比较。
表2（2） 修改参数，分别实现2,1==ξξ的响应曲线，并作记录 程序为：≫ n0=10;≫ d0=[1 2 10]; ≫ step(n0,d0); ≫ hold on n1=10;d1=[1 6.32 10]; step(n1,d1);00.51 1.52 2.530.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d en2=10;d2=[1 12.64 10]; step(n2,d2)01234567890.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e修改参数，分别实现02012,21n n n n ωωωω==的响应曲线，并作记录 (在下表中记录对应参数，表格前加上说明例如) 表3 1=ξ时的参数和曲线【曲线】【曲线】（3） 试作出以下系统的阶跃响应，并比较与原系统响应曲线的差别与特点，作出相应的实验分析结果 1） 102102)(2+++=s s s s G0.511.5Step ResponseTime (seconds)A m p l i t u d e表2⑵ 102105.0)(22++++=s s s s s G0.650.70.750.80.850.90.9511.051.11.15Step ResponseTime (seconds)A m p l i t u d e表2⑶ 1025.0)(22+++=s s ss s G-0.0500.050.10.150.20.250.3Step ResponseTime (seconds)A m p l i t u d e表2试作出一个三阶系统和一个四阶系统的阶跃响应，分析实验结果。
二阶系统的阶跃响应结论
4.3 二阶系统的阶跃响应
将 tm
1 n
2
代入得最大值为
xmax 1
e
1 2
1 2
sin
因为 sin sin 1 2
所以
xmax 1 e
1 2
4.3 二阶系统的阶跃响应
根据超调量的定义
（2）斜坡函数
0，t 0 xr (t ) At，t 0
A=1时称为单位斜坡函数
X r ( s)
1 s2
4.1 自动控制系统的时域指标
（3）抛物函数
0，t 0 xr (t ) 2 At ，t 0
当A=1/2时，称为单位抛物线函数
1 X r (s) 3 s
系统的时间常数T 越小，调节时间ts越小， 响应过程的快速性也越好。
4.2 一阶系统的阶跃响应
例3-1 一阶系统的结构如下图所示。试求 该系统单位阶跃响应的调节时间 ts ；如果 要求 ts(5%) 0.1( 秒 ) ，试问系统的反馈系 数应取何值？
4.2 一阶系统的阶跃响应
解： （1）首先由系统结构图写出闭环传递函数
4.3 二阶系统的阶跃响应
2.二阶系统暂态特性指标 当 xr (t ) 1(t ) 时，典型二阶系统的输出响应为
xc (t ) 1 1 1 2 ent sin d t , (0 1)
快速性指标：上升时间tr ，调节时间ts 平稳性指标：最大超调量 % ，振荡次数
结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多。这时， 二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的响应。
4.3 二阶系统的阶跃响应
（2）临界阻尼 1
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7.2.1 控制系统的阶跃响应
1. 实验目的
（1）观察学习控制系统的单位阶跃响应 （2）记录单位阶跃响应曲线
（3）掌握时间响应分析的一般方法
2. 实验内容
（1） 二阶系统为
10
210
)(2++=
s s s G
1） 键入程序，观察，记录阶跃响应曲线
num=[10]; den=[1 2 10]; sys=tf(num,den); step(sys)
【请将阶跃曲线复制在下方】
图1 系统阶跃曲线
2）键入
num=[10];
den=[1 2 10];
sys=tf(num,den);
damp(den)
计算系统的闭环根，阻尼比，无阻尼振荡频率，并作记录(填入下表)
表1【将数据填入下表】
step(sys)
[y,t,x]=step(sys);
[y,t]
记录实际测取的峰值大小Cmax（tp），峰值时间tp，过渡时间ts，填入下表，并与理论值比较。
表2
（2） 修改参数，分别实现2,1==ξξ的响应曲线，并作记录 程序为：
≫ n0=10;
≫ d0=[1 2 10]; ≫ step(n0,d0); ≫ hold on n1=10;
d1=[1 6.32 10]; step(n1,d1);
00.51 1.52 2.53
0.10.20.30.40.50.6
0.70.80.9
1Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
n2=10;
d2=[1 12.64 10]; step(n2,d2)
0123456789
0.10.20.30.40.50.6
0.70.80.9
1Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
修改参数，分别实现02012,2
1
n n n n ωωωω==
的响应曲线，并作记录 (在下表中记录对应参数，表格前加上说明例如) 表3 1=ξ时的参数和曲线
【曲线】
【曲线】
（3） 试作出以下系统的阶跃响应，并比较与原系统响应曲线的差别与特点，作出相应的
实验分析结果 1） 10
210
2)(2
+++=
s s s s G
0.5
1
1.5
Step Response
Time (seconds)
A m p l i t u d e
表2
⑵ 10
210
5.0)(22++++=s s s s s G
0.65
0.70.750.80.850.90.951
1.051.11.15Step Response
Time (seconds)
A m p l i t u d e
表2
⑶ 10
25.0)(22+++=s s s
s s G
-0.05
00.050.10.150.20.250.3Step Response
Time (seconds)
A m p l i t u d e
表2
试作出一个三阶系统和一个四阶系统的阶跃响应，分析实验结果。