高中数学：人教A版高中数学必修四同步课时分层训练：模块综合质量检测卷

模块综合质量检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪
⎪⎪⎪cos θ2＝－
cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知，θ
2为第二象限角．故选B.
2．若sin (π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，则cos (π＋α)的值为( )
A ．5
3 B ．－5
3 C ．±53
D ．－23
解析：选B ∵sin (π－α)＝sin α＝log 22－23＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，∴cos (π
＋α)＝－cos α＝－
1－sin 2α＝ －
1－49＝－5
3.故选B.
3．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值是( )
A ．34
B ．537
C ．2537
D ．53737
解析：选D ∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 2
1＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37， ∴|3e 1＋4e 2|＝37.
又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，
∴cos θ＝537
＝537
37.故选D.
4．(2018·安徽太和中学期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝
a ＋(λ－1)
b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( )
A ．－1
B ．2
C ．－2或1
D ．－1或2
解析：选D 由于A ，B ，C 三点共线，故AB
→∥AC →，因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，所以λ(λ－1)－2×1＝0，解得λ＝－1或λ＝2.故选D.
5．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝
( )
A ．14A
B →－34A
C → B ．14AB →＋34AC →
C ．34AB →－14AC →
D ．34AB →＋14AC →
解析：选B 解法一：设AD
→＝xAB →＋yAC →，由BC →＝－4CD →可得，BA →＋AC →＝
－4CA →－4AD →，即－AB →－3AC →＝－4x AB →－4y AC →
，则⎩⎨⎧
－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
4，y ＝34，
即AD
→＝14AB →＋34
AC →，故选B.
解法二：在△ABC 中，BC
→＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →
－14BC →＝AC →－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B.
6．(2019·河北定州中学调研)函数f (x )＝1
2(1＋cos2x )·sin 2x (x ∈R )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π
2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π
2的偶函数
解析：选D 由题意，得f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos2x )＝14(1－cos 22x )＝1
4sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π
2的偶函数，故选D.
7．(2018·永州二模)已知tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2π4－α＝( )
A ．7
25 B ．925 C ．1625
D ．2425
解析：选B ∵tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝34，
∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4
＝sin 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
α＋π4
＝tan 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝
925.故选B. 8．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2的值域是( )
A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤
－32，12
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，32
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，1
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
解析：选B 由x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.
故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－1
2. 所以，所求值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，32.故选B.
9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分
图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π
3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )
A ．y ＝－cos2x
B ．y ＝cos2x
C ．y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋5π6
D ．y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6
解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝
2π
ω＝π，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，1代入
可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3
个单位长度，可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C ． 10.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC
→的值为( )
A ．－5
8 B ．18 C ．14 D ．118
解析：选B
如图所示，AF
→＝AD →＋DF →.
又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD
→＝12AB →，DF →＝DE →＋
EF
→＝12AC →＋14AC →＝34
AC →， 所以AF
→＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →. 又BC
→＝AC →－AB →，
则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)
＝1
2AB
→
·AC
→
－
1
2AB
→2
＋
3
4AC
→2
－
3
4AC
→
·AB
→
＝3
4AC
→2
－
1
2AB
→2
－
1
4AC
→
·AB
→
.
又|AB
→
|＝|AC
→
|＝1，∠BAC＝60°，
故AF
→
·BC
→
＝
3
4－
1
2－
1
4×1×1×
1
2＝
1
8.故选B.
11．(2019·吉林百校联盟联考)已知cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
2＋α＝3sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
7π
6，则tan⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
12＋α＝()
A．4－2 3 B．23－4
C．4－4 3 D．43－4
解析：选B由题意可得－sin α＝－3sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
6，即sin⎣⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
12－
π
12＝
3sin
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
12＋
π
12，
∴sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
12·cos
π
12－cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
12sin
π
12＝3sinα＋
π
12cos
π
12＋3cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
12sin
π
12，整理可得tan⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
12＝－2tan
π
12＝－2tan⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
4－
π
6＝－2×
tan
π
4－tan
π
6
1＋tan
π
4tan
π
6
＝23－4.故选B.
12．(2019·浙江部分市学校联考)
如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB＝2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则AC
→
·PB
→
的最大值是()
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：选B连接BC，则∠ACB＝90°.∵AP⊥PC，
∴AC
→
·PB
→
＝AC
→
·(PC
→
＋CB
→
)＝AC
→
·PC
→
＝(AP
→
＋PC
→
)·PC
→
＝PC
→2
.依题意可证Rt△
APC ∽Rt △ACB ，∴|PC →||CB →|＝|AC →||AB →|，即|PC →|＝|AC →||CB →|2.∵|AC
→|2＋|CB →|2＝|AB →|2，∴|AC →|2
＋|CB
→|2＝4≥2|AC →||CB →|，即|AC →||CB →|≤2，当且仅当|AC →|＝|CB →|时取等号，
∴|PC →|≤1，∴AC →·PB →＝PC →2≤1，AC →·PB →的最大值为1，故选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，
令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π
4(k ∈Z )． ★答案★：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 14．(2019·山东师大附中一模)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋2b |＝3，则a ，b 的夹角为________．
解析：因为|a ＋2b |＝3，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(3)2.又a ，b 是两个单位向量，所以|a |＝1，|b |＝1，所以a ·b ＝－1
2.因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，则a ，b 的夹角为2π
3.
★答案★：2π
3
15．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：1cos 80°－3
sin 80°＝________. 解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°
cos 80° ＝
2sin (80°－60°)1
2sin 160°＝2sin 20°
12
sin 20°＝4.
★答案★：4
16．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．
解析：设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，则由题意得(2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝132，表示以⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，52
为圆心，26
2为半径的圆，所以|c |的最大值为26.
★答案★：26
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π
3，b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.
解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4.∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0. ∵b ·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，
∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c . ∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a ·b ，即a ·b ＝2m ，①
在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝±6. ∴a ·b ＝±2 6.
∴cos θ＝±2622×2＝±32.
∴θ＝π6或5π6.
18．(12分)(2019·山东日照五中期中)已知角α的终边过点P (－4,3)． (1)求tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2＋α的值；
(2)若β为第三象限角，且tan β＝4
3，求cos(α－β)的值． 解：(1)因为角α的终边过点P (－4,3)， 所以sin α＝35，cos α＝－4
5，
所以tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos
⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2＋α＝sin αcos αsin α＋sin α＝12cos α
＝－
5
8. (2)因为β为第三象限角，且tan β＝4
3，
所以sin β＝－45，cos β＝－3
5. 由(1)知，sin α＝35，cos α＝－4
5，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋35×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－45＝0.
19．(12分)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的． 解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪
⎫
－322＝1
2，
k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3－π6＝π，
所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝1
2sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z ，
又|φ|<π2，所以φ＝π6.
综上，所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6－1.
(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6；然后纵坐标保持不
变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6；再使横坐标保持不变，纵坐标
变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移
1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6－1的图象． 20．(12分)已知向量a ，b 不共线．
(1)若OA
→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，求当实数t 为何值时，A ，B ，C 三点
共线；
(2)若|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为120°，实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，求|a －x b |的取值范围．
解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，
即1
3(a ＋b )＝λa ＋(1－λ)t b ， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝13，(1－λ)t ＝13，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝1
3，t ＝12.
故t ＝1
2时，A ，B ，C 三点共线．
(2)因为a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－1
2，则|a －x b |2＝a 2＋x 2b 2－2x a ·b ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34
. 因为x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，12，所以当x ＝－12时，|a －x b |取得最小值，最小值为32； 当x ＝12时，|a －x b |取得最大值，最大值为7
2， 所以|a －x b |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
32
，72.
21．(12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．
解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .
若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]所以x ＝5π
6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.
因为x ∈[0，π]所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，7π6，
从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6≤32.
于是，当x ＋π6＝π
6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π
6时，f (x )取到最小值－2 3.
22．(12分)(2019·襄阳四校期中)设函数f (x )＝cos π2－x cos x －sin 2(π－x )－1
2. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π8的值．
解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2
x －12＝12(sin 2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4－1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .
(2)∵f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1＝3210－1， ∴sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2α＋π4＝35.
ruize
由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8知，2α＋π4∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2α＋π4＝－45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π8＋π4－1 ＝22sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4－1 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝ ⎛⎭
⎪⎫35×22＋45×22－1＝－310.。