高中数学：人教A版高中数学必修四同步课时分层训练：模块综合质量检测卷
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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310°∵310°是第四象限角∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( ) A.23π B.34π C.56π D ．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB 2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π. 3．下列函数中周期为π2的偶函数是( ) A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22xC ．y ＝tan2xD ．y ＝cos2x答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3. 5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD是( )A ．长方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →，且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[2，2]答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A ．－17B ．7 C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪x －π2， ∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D. 9．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T 2，即T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A. 11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1 B ．2－ 2C. 2 D ．2答案：C解析：|a ＋b |＝2(x 2＋2x ＋2)≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33C.539 D ．－69答案：C解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________． 答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3. 14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______．答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3， 所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x是奇函数 ④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π 答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43. ②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8. ③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值． 解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34. 18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0.(1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域．解：(1)∵m ·n ＝0，∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin A cos A＝2. (2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32. ∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32，sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝2 5，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝2 5，∴x 2＋y 2＝2 5，即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4， ∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0. ∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π12＝cos 2⎝⎛⎭⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， 所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32. 所以对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c . 故当对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45. 又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45， ∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525. 22．(12分)如图，点P ⎝⎛⎭⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝⎛⎭⎫0，A 2，∴sin φ＝12， 又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6. (2)由(1)可知y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝⎛⎭⎫－14，0，R ⎝⎛⎭⎫54，0. 又∵P ⎝⎛⎭⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝⎛⎭⎫－14，－A 2，PR →＝⎝⎛⎭⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。
高中数学人教A版必修4模块综合检测(二) Word版含解析
模块综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(北京高考)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则 2a －b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7)D ．(3,9)解析：选A 因为a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，所以2a －b ＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，故选A.2．点M (2，tan 300°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3， ∴M (2，－3)．故点M (2，tan 300°)位于第四象限．3．已知OA u u u r ＝(2,3)，OB u u u r ＝(－3，y )，且OA u u u r ⊥OB u u u r，则y 等于( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选A ∵OA u u u r ⊥OB u u u r ，∴OA u u u r ·OB u u u r＝－6＋3y ＝0，∴y ＝2. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3. 5.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan α B ．tan 2αC ．1 D.12解析：选B 2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 6．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3， tan α·tan β＝2， 则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.7．已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析：选C ∵f (x )＝2sin x 的周期为2π， ∴|x 1－x 2|的最小值为π.8．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x .而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1.9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象，所以所得函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.10．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC u u u r ＝3BD u u u r ，|AD u u u r |＝1，则AC u u u r ·AD u u u r＝( )A ．2 3B ．3 3C.32D. 3 解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC u u u r＝(x C －x B ，y C )， BD u u u r＝(－x B,1)． ∵BC u u u r ＝ 3 BD u u u r ，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3.AC u u u r ＝((1－3)x B ，3)，AD u u u r ＝(0,1)，AC u u u r ·AD u u u r＝ 3.12．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2解析：选A 由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.所以x －y ＝3.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b|＝10，向量a 与b的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：1014．(江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3. 答案：315．(山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π16．化简：sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ＝(1＋cos x,1＋sin x )，b ＝(1,0)，c ＝(1,2)． (1)求证：(a －b )⊥(a －c )；(2)求|a |的最大值，并求此时x 的值． 解：(1)证明：a －b ＝(cos x,1＋sin x )， a －c ＝(cos x ，sin x －1)，(a －b )·(a －c )＝(cos x,1＋sin x )·(cos x ，sin x －1)＝cos 2x ＋sin 2x －1＝0. ∴(a －b )⊥(a －c )． (2)|a |＝ (1＋cos x )2＋(1＋sin x )2＝3＋2(sin x ＋cos x ) ＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 3＋22＝2＋1.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1，即x ＝π4＋2k π(k ∈Z)时，|a |有最大值2＋1. 18．(本小题满分12分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]， 即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin (α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α， 即x ＋y1－xy ＝2x ， ∴y ＝x1＋2x 2， 即f (x )＝x1＋2x 2.19．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－45，sin β－α2＝513，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，β－α2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π4.∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝35， cos ⎝⎛⎭⎫β－α2＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫β－α2＝1213. ∵⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝α＋β2， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫β－α2－sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213－35×513＝－6365. 20．(本小题满分12分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 21．(本小题满分12分)已知f (x )＝23cos 2x ＋sin 2x －3＋1(x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求f (x )的值域． 解：f (x )＝sin 2x ＋3(2cos 2x －1)＋1＝sin 2x ＋ 3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，得2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)．∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)． (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∴f (x )∈[0,3]．22．(本小题满分12分)(陕西高考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.。
人教版数学高一-人教A版必修4模块综合检测
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C .a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝0， 所以a －b 与b 垂直．故选C .2．已知sin(π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．89C ．－79D ．429解析：选A .因为sin(π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132＝79. 3．下列函数中同时满足最值是12，最小正周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A .由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A .4．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ．因为a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )， 所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4.所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A .22B ．32C . 2D ．2解析：选C .因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以原式＝3sin A －cos(180°－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°) ＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝2.6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：选C .设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝0⇒a·b ＝－1⇒cos θ＝a·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ＝120°.故选C .7．已知α，β为锐角，且tan α＝17，sin β＝35，则α＋β等于( )A ．3π4B ．2π3C ．π4D ．π3解析：选C .因为β为锐角，sin β＝35，所以cos β＝1－sin 2β＝45，所以tan β＝sin βcos β＝34， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋341－17×34＝1.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A .π12B ．π6C .π3D .5π6解析：选B ．y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m (m ＞0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3，因为图象关于y 轴对称，令x ＝0，得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝2， 从而m ＋π3＝2k π±π2，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z .又m ＞0，所以m min ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C .由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sin π4x .所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋22.10．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( ) A ．φ B ．π2－φC .π2＋φ D .3π2－φ 解析：选D .|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2，|b |＝1，a·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.故选D . 11．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A .152B ．152C ．7D ．18解析：选A .因为AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×()222－12×22×3×cos π4＋32＝152.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A .因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排除C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排除B ，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12514．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：因为∠ABO ＝90°，所以AB →⊥OB →，所以OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， 所以(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. 所以t ＝5. 答案：515．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________． 解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2， 所以1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案：116(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：因为 AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；因为 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误；因为 b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；因为 BC →＝b ，故④正确；因为 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0， 所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点． (1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5.(2)设P (m ，n )，因为P 在AB 上，所以BA →与PA →共线．BA →＝(4，2)，PA →＝(1－m ，－2－n )，所以4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.①又因为OP →⊥AB →，所以(m ，n )·(－4，－2)＝0. 所以2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，所以OP →＝(1，－2)．18．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解：(1)cos β＝55，β∈(0，π)， 得sin β＝255，即tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－13＋21＋23＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310. 所以f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .所以f (x )的最大值为5.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 20．(本小题满分12分)(2015·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)绕着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin 2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos 2x )，求函数f (x )＝m·n ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域．解：(1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则tan α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以tan α＜tan π4，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17＋11－17×1＝43， θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45. (2)f (x )＝3sin θ·sin 2x ＋2cos θ·2cos 2x ＝125sin 2x ＋125cos 2x ＝1225sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－125，1225.22．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2，1)，n ＝()0，－5，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)因为OA →＝(cos α，sin α)， 所以OA →－n ＝()cos α，sin α＋5. 因为m ⊥(OA →－n )，所以m ·(OA →－n )＝0， 所以2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)因为cos(β－π)＝210， 所以cos β＝－210， 又0＜β＜π， 所以sin β＝1－cos 2β＝7210，且π2＜β＜π. 又因为sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35， 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.高中数学-打印版精校版。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：模块综合测试卷含解析
模块综合测试卷班级 ____ 姓名 ____ 考号 ____ 分数 ____本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．一、选择题：本大题共12 题，每题 5 分，共 60 分．在以下各题的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的．1．－ 3290 °角是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案： D分析： － 3290°＝－ 360°× 10＋ 310° ∵310 °是第四象限角 ∴－3290 是°第四象限角 2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为 3，则该弦 AB 所对的弧长 l 为 ( )2 3A.3π B. 4π 5π D ．πC.6答案： A分析： 设该弦 AB 所对的圆心角为α，由已知 R ＝ 1，ABα 23 α π22∴sin 2＝ R ＝ 2，∴2＝3，∴α＝3π，∴l ＝ αR＝3π.3．以下函数中周期为 π)的偶函数是 (2A ． y ＝ sin4xB ．y ＝ cos 22x － sin 22xC ．y ＝ tan2xD ． y ＝ cos2x 答案： B分析： A 中函数的周期T ＝ 2π πB 可化为 y ＝ cos4x ，其周期为 T ＝2π π4＝ 2，是奇函数．4 ＝2，π2π是偶函数． C 中 T ＝ 2，是奇函数， D 中 T ＝ 2 ＝ π，是偶函数．应选 B.4．已知向量 a ， b 不共线，实数 x ， y 知足 (3x － 4y)a ＋ (2x － 3y) ·b ＝ 6a ＋ 3b ，则 x － y 的值为()A ．3B ．－ 3C ．0D ． 2 答案： A3x － 4y ＝6，x ＝ 6，分析： 由原式可得解得∴x － y ＝ 3.2x － 3y ＝3， y ＝ 3.5．在四边形 → → →ABCD 中， AB ＝a ＋ 2b ，BC ＝－ 4a － b ，CD ＝－ 5a －3b ，则四边形 ABCD是()A ．长方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形 答案： D→ → → → →分析： AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝－ 8a － 2b ＝ 2BC ，→ → 且 |AD|≠ |BC|1∴四边形 ABCD 是梯形．6．已知向量 a ＝ (1,0) ，b ＝ (cos θ， sin θ)， θ∈ π π－ ， 2，则 |a ＋ b|的取值范围是 ()2 A ． [0， 2] B ． [0,2] C ．[1,2] D ． [ 2，2]答案： D分析： |a ＋ b|2＝ a 2＋ b 2＋ 2a ·b ＝ 2＋ 2cos θ，由于 θ∈ － π π2， 2 ，因此 2＋ 2cos θ∈ [2,4] ，所 以|a ＋ b|的取值范围是 [ 2，2]．7．已知 cos α＝－ 4，且 α∈ π π)， π ，则 tan － α＝ ( 1 5 2 4A ．－ 7B ． 71C.7 D ．－ 7 答案： Bπ433分析： ∵α∈2， π， cos α＝－ 5，∴sin α＝ 5，tan α＝－ 4，1－ － 3π4tan 4－ α＝＝ 7.1＋ － 348．函数 f(x)＝ 2sinx －π的部分图象是 ()2答案： Cπ分析： ∵f(x)＝ 2sin x － 2 ，ππ∴f(π－x)＝ 2sin π－x － 2 ＝ 2sin 2－ x＝ f(x)，π∴f(x)的图象对于直线 x ＝ 2对称．清除 A 、 B 、D.π9． y ＝2cos 4－ 2x 的单一减区间是 () π5A. k π＋ 8， k π＋8π(k ∈ Z)3πB. － 8π＋ k π， 8＋ k π(k ∈ Z)π 5C. 8＋ 2k π， 8π＋ 2k π(k ∈ Z)D. － π3π＋ 2k π， ＋ 2k π(k ∈ Z)8 8答案： Aπ π π分析： y ＝ 2cos 4－ 2x ＝ 2cos 2x － 4 .由 2k π≤ 2x －4≤ π＋ 2k π， (k ∈ Z)π 5π 得 8＋ k π≤x ≤ 8π＋ k π(k ∈ Z)时， y ＝ 2cos 2x － 4 单一递减．应选 A.2π5π和 x ＝是函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ)图象的两条相邻的对称10．已知 ω>0,0< φ<π，直线 x ＝44轴，则 φ的值为 ()π πA. 4B.3π 3π C.2 D. 4答案： A分析：由于直线 x ＝π5π因此 5π π T T4和 x ＝4 是函数图象中相邻的两条对称轴，4 －4＝ 2，即 2＝ π，2ππT ＝ 2π又. T ＝ ω＝ 2 π，因此 ω＝ 1，因此 f(x)＝ sin(x ＋φ)．由于直线x ＝ 4是函数图象的对称轴，π πππ因此 4＋ φ＝ 2＋ k π， k ∈ Z ，因此 φ＝ 4＋ k π， k ∈ Z.由于 0< φ<π，因此 φ＝4，查验知，此时直5π线 x ＝ 4 也为对称轴．应选A.11．若向量 a ＝ (2x － 1,3－x)， b ＝ (1－ x,2x － 1)，则 |a ＋ b|的最小值为 ( )A. 2－1 B ．2－ 2C. 2 D ．2答案： C分析： |a ＋ b|＝ 2 x 2＋2x ＋ 2 ≥ 2.π π π 1 π β ＝ 3 α＋ β ＝( )12．若 0< α< ，－<β<0 ， cos ＋ α＝ ， cos－ 2 ，则 cos 222434 333A. 3B ．－ 35 36C. 9 D ．－ 9答案： Cβ π π β分析： ∵α＋ 2＝ α＋ 4 － 4－ 2 ，β π π β ππ βππ β 1 × 3∴cos α＋ 2 ＝ cos α＋ 4 － 4－ 2＝ cos α＋ 4 cos 4－ 2 ＋ sin α＋4 sin 4＋2 ＝3 32 2× 63＋ 4 3 5 3＋ 3 3 ＝9 ＝9 .二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．π13．已知 |a|＝ 4， a 与 b 的夹角为 ，则 a 在 b 方向上的投影为 __________ ．6 答案： 2 3分析： 由投影公式计算： π 3.|a|cos ＝ 2614．函数 y ＝ 2sinxcosx － 1， x ∈R 的值域是 ______． 答案： [－ 2,0]分析： y ＝ 2sinxcosx － 1＝ sin2x － 1，∵x ∈ R ， ∴sin2x ∈ [－ 1,1] ，∴y ∈ [－ 2,0] ．π15．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx－ 6 (ω>0) 和 g(x)＝2cos(2x ＋ φ)＋ 1 的图象的对称轴完整相π同．若 x ∈ 0， 2 ，则 f(x)的取值范围是________．3答案： － ，33π分析： 由 f(x)与 g(x)的图像的对称轴完整同样，易知：ω＝ 2，由于 x ∈ 0， 2 ，因此 2x π π 5π － π ＝－π －∈－， 6，则 f(x)的最小值为 3sin 6 3，最大值为 3sin ＝ 3，6 6 －3，3 .2 2 因此 f(x)的取值范围是 216．以下判断正确的选项是 ________．(填写全部正确判断序号 ) ①若 sinx ＋ siny ＝ 1，则 siny －cos 2x 的最大值是 433 3π π π②函数 y ＝ sin 4＋ 2x 的单一增区间是 k π－ 8， k π＋ 8 (k ∈ Z) 1＋ sinx － cosx③函数 f(x)＝是奇函数x1④函数 y ＝ tan 2－ sinx 的最小正周期是 π2，∴sinx ＝－4 分析： ① siny － cos 2x ＝sin 2x － sinx －1 时，最大值为 .33π ππ3π π ② 2k π－ ≤ 2x ＋ ≤2k π＋ ，∴k π－8 ≤ x ≤ k π＋.2 4 28③定义域不对于原点对称．x 1 1④ y ＝ tan 2－sinx ＝－ tanx ，∴T ＝ π.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．π sin － π－ αcos ＋α2 的值． 17． (10 分)已知角 α终边上一点 P(－ 4,3)，求 11π9πcos －αsin ＋ α 2 2解： ∵ tan α＝ y ＝－ 3x 4πcos 2＋ αsin － π－ α－ sin α·sin α 3.∴ 11π ＝ ＝ tan α＝－9π － sin α·cos α 4cos 2 － αsin 2 ＋α18． (12 分)已知向量 m ＝ (sinA ， cosA)， n ＝ (1，－ 2)，且 m ·n ＝ 0. (1)求 tanA 的值；(2)求函数 f(x)＝ cos2x ＋ tanA ·sinx( x ∈R )的值域． 解： (1)∵ m ·n ＝ 0，∴ sinA － 2cosA ＝ 0.∴ tanA ＝cosAsinA＝ 2.(2)f(x)＝ cos2x ＋ tanAsinx ＝ cos2x ＋ 2sinx＝ 1－ 2sin 2x ＋ 2sinx ＝－ 2 sinx －1 2＋ 3.22∵－ 1≤ sinx ≤ 1∴ sinx ＝ 1时， f(x)取最大值 3，2 2sinx ＝－ 1 时， f(x)取最小值－ 3，3∴ f(x)的值域为 － 3， 2 .19． (12 分)已知 a ， b ，c 是同一平面内的三个向量，此中a ＝ (1,2)．(1)若 |c|＝ 2 5，且 c ∥a ，求 c 的坐标；4(2)若 |b|＝ 5，且 a ＋ 2b 与 2a －b 垂直，求 a 与 b 的夹角 θ.2解： (1)设 c ＝ (x ，y)．∵ |c|＝ 2 5，∴ x 2＋ y 2＝ 2 5，即 x 2＋ y 2＝ 20.①∵ c ∥ a ， a ＝ (1,2)∵ 2x －y ＝ 0，即 y ＝2x ，②x ＝2x ＝－ 2联立①②得或y ＝4 y ＝－ 4，∴ c ＝ (2,4) 或 (－ 2，－ 4)． (2)∵ (a ＋ 2b)⊥ (2a － b)，∴ (a ＋ 2b) ·(2a － b)＝ 0，∴ 2|a|2＋ 3a ·b － 2|b|2＝0.∵ |a|2＝ 5， |b|2＝ 5，代入上式得 a ·b ＝－ 5，4 5 2∴ cos θ＝ a ·b＝ － 2 ＝－ 1. |a| |b|· 5× 52又∵ θ∈ [0， π]， ∴ θ＝π.20． (12 分)已知函数 f(x)＝ cos 2x － π－ sin 2x.6π的值；(1)求 f 12(2)若对于随意的x ∈ 0， π，都有 f(x)≤ c ，务实数 c 的取值范围．2解： (1)f π ＝ cos 2 － π π π 312 － sin 2 ＝ cos ＝12 12 6 2 .(2)f(x)＝ 1 1＋ cos 2x － π 123 － (1 －cos2x)2＝ 1 cos 2x －π＋ cos2x2 3 ＝ 1 3 3 ＝ 3 sin 2x ＋ π .2 2sin2x ＋ cos2x 2 32由于 x ∈ π 2x ＋ π π 4π0， 2 ，因此3 ∈ ，，3 3π π π3因此当 2x ＋ ＝ ，即 x ＝时， f(x)获得最大值2.3 212π3因此对随意 x ∈ 0， 2 ， f(x)≤c 等价于 2 ≤ c.x ∈π ， f(x)≤c 时， c 的取值范围是3.故当对随意 0， 2 2 ，＋∞3 5，α∈ π，sin ππ π0， 4 ＝ 3， β∈，21． (12 分)已知 sin α＋cos α＝ 5 β－4542 .(1)求 sin2α和 tan2α的值；(2)求 cos(α＋2β)的值．解： (1)由题意得 (sin α＋ cos α)2＝ 9，即 1＋ sin2α＝9，∴ sin2α＝ 4.5 3 5 5 π又 2α∈ 0， 2 ，∴ cos2α＝ 1－ sin 22α＝ 5，∴ tan2α＝ sin2α 4 .＝cos2α 35π π π π(2)∵ β∈ 4，2 ， β－ 4∈ 0， 4 ，∴ cos β－π＝ 4，4 5于是 sin2 β－ π ＝ 2sin β－ π cos β－ π ＝ 244 4 4 25 .又 sin2 β－π4＝－ cos2β，∴ cos2β＝－ 2425.又 2β∈ πβ＝ 7 ，又 cos 2α＝ 1＋ cos2α 4 ， π，∴ sin2 252 ＝ ，25 ∴ cos α＝ 2 ，∴ sin α＝ 1α∈ 0， π .545∴ cos(α＋ 2β)＝ cos αcos2β－ sin αsin2β＝25× －24 － 5×7＝－11 55 255 2525.22．(12 分 )如图，点 P 0， A是函数 y ＝ Asin 2π2 3 x ＋ φ (此中 A>0，φ∈ [0，π)) 的图象与 y轴的交点，点 Q ，点 R 是它与 x 轴的两个交点．(1)求 φ的值； (2)若 PQ ⊥ PR ，求 A 的值．A1解： (1)∵函数经过点 P 0， 2 ，∴ sin φ＝2，又∵ φ∈ [0， π)，且点 P 在递加区间上，∴π φ＝ .2π π6(2)由 (1) 可知 y ＝ Asin 3 ＋ 6 .2π π 令 y ＝ 0，得 sin 3 x ＋ 6 ＝ 0，2π π1 5∴ 3 x ＋ 6＝ k π， (k ∈ Z)，∴可得 x ＝－ 4， 4，∴ Q －1，05， 0.4， R 4A→ －1，－ A→5，－ A 又∵P 0，2，∴ PQ ＝ 4 2，PR ＝ 4 2 .→ → ＝－ 5 ＋ 1 2＝ 0，解得 A ＝ 5 ∵ PQ ⊥ PR ，∴ PQ16 4A2.·PR6。
高中数学 模块综合检测卷 新人教A版必修4
模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是(C ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C.2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝⎛cos 4π3，⎭⎪⎫sin 4π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω＞0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (0)＝(D )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝sin π3＝32.故选D. 4．将函数y ＝sin( 2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(B )A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位Y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数； 当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.5．已知sin(π＋α)＝45且α是第三象限的角，则cos(2π－α)的值是(B )A ．－45B ．－35C ．±45 D.35解析：sin(π＋α)＝45⇒sin α＝－45，又∵α是第三象限的角，∴cos(2π－α)＝cosα＝－35.故选B.6．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象(D ) A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，故只需将y ＝2sin 3x 向左平移π12个单位．7．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于(C ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．90°解析：c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cosa ，b ＝a ·b ||a ||b ＝－12⇒a ，b ＝120°.故选C. 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3 解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.故选B.9．(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点BC →＝3CD →，则(A ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：由题知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于(B )A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，tan α＝34. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17，故选B.11．函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是(D )A ．0 B.π2 C ．π D.3π212．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是(D )A ．2 2B ．2 3C ．2D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：因为a 2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝9＋2－9×1×1×13＝8，所以cos β＝83×22＝223.考点：向量数量积及夹角 答案：223.14．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤f (x )≤2， ∴f (x )的最小值为1. 答案：115．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析：由题意f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋kπ，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.答案：3π816．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题： ①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝si n 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，∴当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点．(1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解析：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，∵P 在AB 上，∴BA →与PA →共线． BA →＝(4，2)，PA →＝(1－m ，－2－n )，∴4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.① 又∵OP →⊥AB →，∴(m ，n )·(－4，－2)＝0. ∴2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，∴OP →＝(1，－2)． 18．(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13. (1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x .(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (x )＝65，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝2sin x cos π6＋2cos x sin π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π ，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调增区间为[－π3＋2k π，23π＋2k π](k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝725.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (a )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解析：(1)由0＜α＜π2，且sin α＝22，求出角α的余弦值，再根据函数f (x )＝cosx (sin x ＋cos x )－12，即可求得结论．(2)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，由正弦与余弦的二倍角公式，以及三角函数的化一公式，将函数f (x )化简，根据三角函数周期的公式即可得结论，根据函数的单调递增区间，通过解不等式即可得到所求的结论．(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22，所以f (a )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝[f (x )]2－2，求函数g (x )的最小正周期与单调递增区间．解析：(1)∵函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0.即－32＋a2＝0.解得a ＝ 3. (2)g (x )＝4sin 2(x ＋π3)－2＝2(1－cos(2x ＋2π3)－2＝－2cos(2x ＋2π3)∴g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令－ π＋2k π≤2x ＋2π3≤2k π，k ∈Z－5π6＋k π≤x ≤k π－π3，k ∈Z ∴g (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6＋k π，－π3＋k π，k ∈Z.22．(本小题满分10分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，又∵函数f (x )在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .∵f (C )＝12，∴cos C ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A ，代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2sin A ，∴tan A ＝33， ∵0<A <π，∴A ＝π6.。
高中数学人教A版必修四模块综合检测(B) Word版含答案.docx
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知sin α＝35，则cos2α的值为( )A ．－2425B ．－725C.725D.24252．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b 等于( ) A ．－10B ．－6C ．0D ．63．设cos(α＋π)＝32(π<α<3π2)，那么sin(2π－α)的值为( )A.12B.32C ．－32D ．－124．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α的值为( )A ．－47B.47C.18D ．－185．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)等于( )A ．－7210B.7210C ．－210D.2107．若向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )互相垂直，其中x ∈R ，则|a －b |等于( ) A ．－2或0B ．25 C ．2或25D ．2或108．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数 C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数9．把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的图象向右平移π3个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4等于( )A ．－32B.32C ．－1D ．110．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－π2，π2]，则|a ＋b |的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0，2)C ．[1,2]D ．[2，2]11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π3，π C.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤π6，π12．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于( )A.33B ．－33C.3D ．－3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.14．已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan2α＝________.15．当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 成立，则实数k 的取值范围是________．16.如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①AC →＋AF →＝2BC →； ②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →； ④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知0<x <π2，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2)＋lg [2cos(x －π4)]－lg(1＋sin2x )．18．(12分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．19．(12分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P ，Q两点，已知点P 点的坐标为(－35，45)．(1)求sin2α＋cos2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．20．(12分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.22．(12分)已知a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(2cos ωx ＋sin ωx ，cos ωx )，x ∈R ，ω>0，记f (x )＝a ·b ，且该函数的最小正周期是π4.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．模块综合检测(B)答案1．C [cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725.]2．A [∵a ∥b ，∴1×(－4)－2x ＝0，x ＝－2.∴a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)， ∴a ·b ＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.]3．A [∵cos(α＋π)＝－cos α＝32，∴cos α＝－32，∵π<α<3π2，∴α＝7π6，∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sin 76π＝12.]4．A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．B [∵T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，排除C 、D.把x ＝π3分别代入A 、B ，知B 选项函数y ＝sin(2x－π6)取到最大值1，故选B.] 6．A [∵cos α＝－45，α是第三象限角．∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)＝－7210.]7．D [∵a ·b ＝2x ＋3－x 2＝0.∴x 1＝－1或x 2＝3.a －b ＝(－2x －2,2x )．当x ＝－1时，a －b ＝(0，－2)，|a －b |＝2；当x ＝3时，a －b ＝(－8,6)，则|a －b |＝10.]8．B [f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin 2(x ＋π4)－cos 2(π4＋x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin2x . ∴T ＝π，且f (－x )＝－f (x )，奇函数．]9．D [f (x )＝sin(－2x ＋π3)向右平移π3个单位后，图象对应函数解析式为f (x －π3)＝sin[－2(x －π3)＋π3]＝sin(－2x ＋π)＝sin2x .∴g (x )＝sin2x ，g (π4)＝sin π2＝1.] 10．D [|a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋(sin θ)2＝2＋2cos θ.∵θ∈[－π2，π2]，∴cos θ∈[0,1]．∴|a ＋b |∈[2，2]．]11．B [Δ＝|a |2－4a·b ＝|a |2－4|a||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉≥0.∴cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．∴π3≤〈a ，b 〉≤π.]12．D [f (x )＝2[32cos(3x －θ)－12sin(3x －θ)]＝2cos(3x －θ＋π6)． 若f (x )为奇函数，则－θ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴θ＝－k π－π3，k ∈Z .∴tan θ＝－tan(k π＋π3)＝－3.] 13．0解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,2)＝(3－k ，－1)，(a －c )⊥b ，b ＝(1,3)，∴(3－k )×1－3＝0，∴k ＝0.14．－247解析 由于α为第二象限的角，且sin α＝35，∴cos α＝－45.∴tan α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2＝－321－916＝－247.15．k ≤1解析 设t ＝πx2，0≤x ≤1，则x ＝2t π，0≤t ≤π2，则sin t ≥2k πt 在0≤t ≤π2上恒成立．设y ＝sin t ，y ＝2kπt ，图象如图所示．需y ＝sin t 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象在函数y ＝2k πt 的图象的上方，∴2k π·π2≤1，∴k ≤1. 16．①②④解析 在正六边形ABCDEF 中，AC →＋AF →＝AC →＋CD →＝AD →＝2BC →，①正确；设正六边形的中心为O ，则2AB →＋2AF →＝2(AB →＋AF →)＝2AO →＝AD →，②正确；易知向量AC →和AB →在AD →上的投影不相等，即AC →·AD →|AD →|≠AB →·AD →|AD →|.∴AC →·AD →≠AD →·AB →，③不正确；∵AD →＝－2EF →，∴(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)⇔(AD →·AF →)EF →＝－2EF →(AF →·EF →)⇔AD →·AF →＝－2AF →·EF → ⇔AF →·(AD →＋2EF →)＝0.∵AD →＋2EF →＝AD →－AD →＝0，∴AF →·(AD →＋2EF →)＝0成立． 从而④正确．17．解 ∴0<x <π2，∴原式＝lg(cos x ·sin xcos x＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin2x )＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin2x ) ＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin2x ) ＝lg(1＋sin2x )－lg(1＋sin2x )＝0.18．解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4. 19．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725.20．解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期为π.令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z .故所求对称中心的坐标为(k π2＋π6，0)，(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]．21．解 (1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫23α＋π12＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝4cos2α. 由f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝125，得4cos2α＝125，∴cos2α＝35，∴sin 2α＝12(1－cos2α)＝15，∴sin α＝±55.22．解 (1)f (x )＝a ·b ＝cos ωx ·(2cos ωx ＋sin ωx )＋sin ωx ·cos ωx＝2cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＝2·1＋cos2ωx2＋sin2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＝2sin(2ωx ＋π4)＋1.∴f (x )＝2sin(2ωx ＋π4)＋1，其中x ∈R ，ω>0.∵函数f (x )的最小正周期是π4，可得2π2ω＝π4，∴ω＝4.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(8x ＋π4)＋1.当8x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π32＋k π4(k ∈Z )时，sin(8x ＋π4)取得最大值1，∴函数f (x )的最大值是1＋2，此时x 的集合为{x |x ＝π32＋k π4，k ∈Z }．。
高中数学人教A版必修四模块综合检测(A) Word版含答案.docx
模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( )A.1213B.513C ．－513D ．－12132．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k 等于( ) A.12B ．－2C ．－7D ．3 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16B ．－8C ．8D ．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A.25B ．－25 C.25或－25D ．－155．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b 等于( )A.32B.3C ．23D.127．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－239．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－510．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34B ．－14C.34D.1411．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．1212．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎦⎤π4，5π12C.⎣⎡⎦⎤π12，5π12D.⎣⎡⎦⎤5π12，π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin2010°＝________.14．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________.15．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________．16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．18．(12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .19．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．20．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.模块综合检测(A)答案1．D [∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A )2＝1且cos A <0，解得cos A ＝－1213.]2．D [∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3.]3．D [AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.]4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25.] 5．A [由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎨⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)＝－4sin(π8x ＋π4)．]6．B [由cos30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos15°·4sin15°＝a ·b 4sin30° ∴a ·b ＝3，故选B.]7．C [y ＝cos(x ＋π3)＝sin(x ＋π3＋π2)＝sin(x ＋5π6)，∴只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个长度单位，即可得函数y ＝cos(x ＋π3)的图象．]8．A [由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.]9．D [∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎫sin α－322－112当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.]10．B [a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B.]11．B [将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若与原图象重合，则π2为函数f (x )的周期的整数倍，不妨设π2＝k ·2πω(k ∈Z )，得ω＝4k ，即ω为4的倍数，故选项B 不可能．]12．C [建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12.]13．－12解析 sin2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.14．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22，∴θ＝π4，∴tan θ＝1.15.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105. 16．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得(T2)2＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)． 17．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12，∴f (x )max ＝12.18．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .19．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.20．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1. 21．解 (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。
高中数学 模块综合测试卷 新人教A版必修4 (2)
模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310° ∵310°是第四象限角 ∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( ) A.23π B.34π C.56π D．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π.3．下列函数中周期为π2的偶函数是( )A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22x C ．y ＝tan2x D ．y ＝cos2x 答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2 答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3.5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， 且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[2，2] 答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A ．－17 B ．7C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2， ∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D.9．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T2，即T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A.11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1 B ．2－2 C. 2 D ．2 答案：C解析：|a ＋b |＝2x 2＋2x ＋2≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33C.539 D ．－69 答案：C 解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________．答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3.14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______． 答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 是奇函数④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43.②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8.③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域． 解：(1)∵m ·n ＝0， ∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin Acos A＝2.(2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32，sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝2 5，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝2 5，∴x 2＋y 2＝2 5，即x 2＋y 2＝20.① ∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－525×52＝－1.又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32.(2)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32.所以对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c .故当对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45， 于是sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.22．(12分)如图，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴sin φ＝12， 又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0. 又∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－A 2，PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。
人教A版高中数学必修四练习：模块综合学业质量标准检测+Word版含解析
模块综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．cos1，sin1，tan1的大小关系是导学号 14435166( D ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．sin1<tan1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1[解析] 作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有OM <MP <AT ，即cos1<sin1<tan1.故选D ．2．(2015·陕西)对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是导学号 14435167( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤|a |－|b | C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2[解析] 对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥|a |－|b |，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B ．3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝导学号 14435168( D )A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43.4．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于导学号 14435169( A ) A ．－32B ．－53C ．53D ．32[解析] 因为c ＝(1＋k,2＋k )，b ·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A ．5．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为导学号 14435170( C )A ．－72B ．－12C ．12D ．72[解析]cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－22，即(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－22∴cos α＋sin α＝12.6．将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是导学号 14435171( C )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 [解析] 将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于导学号 14435172( D ) A ．－16B ．－8[解析] 解法1：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，△ABC 为直角三角形，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·|AC →||AB →|＝|AC →|2＝16.故选D ．解法2：∵△ACB 为直角三角形，∴AB →在AC →上的投影为AC ，∴AB →·AC →＝AC →2＝16. 8．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于导学号 14435173( C )A ．13B ．27C ．17D ．23[解析] 由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝－45.所以tan α＝－34.则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17. 9．每一个音都是纯音合成的，纯音的数字模型是函数y ＝A sin ωt ，音调、响度、音长、音色等音的四要素都与正弦函数及其参数(振幅、频率)有关．我们听到的声音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的函数是y ＝14sin4x ＋16sin6x ，则该复合音的周期为导学号 14435174( B )A ．3π2B ．πC ．2π3D ．π6[解析] y 1＝14sin4x 的周期是π2，y 2＝16sin6x 的周期是π3，所以y ＝y 1＋y 2的周期应为π2与π3的公倍数π.10．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝导学号 14435175( C )A ．5B ．4[解析] 如右图所示，△ABC 中，D 是BC 边的中点，由MA →＋MB →＋MC ＝0易知M 是△ABC 的重心， ∴AB →＋AC →＝2AD →. 又∵AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，∴m ＝3，故选C ．11.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如右图，则(OA →＋OB →)·AB →＝导学号 14435176( A )A ．6B ．4C ．－4D ．－6[解析] ∵点B 的纵坐标为1， ∴tan(π4x －π2)＝1，∴π4x －π2＝π4，∴x ＝3，即B (3,1)． 令tan(π4x －π2)＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2，∴A (2,0)，∴OA →＋OB →＝(5,1)，AB →＝(1,1)． ∴(OA →＋OB →)·AB →＝6.12．E 、F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝导学号 14435177( D )A ．1627B ．23C ．33D ．34[解析] 如右图，取AB 的中点D ，连接CD ，则∠ECF ＝2∠ECD ，设AB ＝2a ，则CD ＝AD ＝a ，ED ＝a 3，∴tan ∠ECD ＝DE CD ＝13，∴tan ∠ECF ＝tan2∠ECD ＝2×131－(13)2＝34，故选D ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2017全国卷Ⅱ理科)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π2])的最大值是__1__.导学号 14435178[解析] f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a ∥b ，则实数x ＝ 12 .导学号 14435179[解析] ∵a ∥b ，∴1－2x ＝0.∴x ＝12.15．已知e 1、e 2是平面单位向量，且e 1· e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝3.导学号 14435180 [解析] 不妨设b ＝x e 1＋y e 2，则b ·e 1＝x ＋y2＝1，b ·e 2＝x 2＋y ＝1，因此可得x ＝y ＝23，所以|b |＝23|e 1＋e 2|＝233.16．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，有下列说法：导学号 14435181①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间(π24，13π24)上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是__①②③__.(注：把你认为正确的说法的序号都填上)[解析] 化简f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π2－π3)＝cos(2x －π3)－sin(2x －π3)＝2cos(2x －π12)， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos[2(x ＋π24)]≠f (x )，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC →＝λCA →(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .导学号 14435182(1)当λ＝1时，用a 、b 表示OC →； (2)用a 、b 表示OC →.[解析] (1)当λ＝1时，BC →＝CA →，即C 是AB 的中点， ∴OC →＝12(OB →＋OA →)＝12a ＋12b .(2)∵BC →＝λCA →，∴BC →＝λ1＋λBA →.又BA →＝OA →－OB →＝a －b ， ∴BC →＝λ1＋λ(a －b )．∴OC →＝OB →＋BC →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λ1＋λa ＋11＋λb . 18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12sin2x －3cos 2x .导学号 14435183(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈[π2，π]时，求g (x )的值域．[解析] (1)f (x )＝12sin2x －3cos 2x＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝12sin2x －32cos2x －32 ＝sin(2x －π3)－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知： g (x )＝sin(x －π3)－32.当x ∈[π2，π]时，有x －π3∈[π6，2π3]，从而sin(x －π3)的值域为[12，1]，那么sin(x －π3)－32的值域为[1－32，2－32]．故g (x )在区间[π2，π]上的值域为[1－32，2－32]．19．(本题满分12分)已知点A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ).导学号 14435184 (1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值． [解析] ∵A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)， BC →＝(2sin θ，cos θ－1)．(1)|AC →|＝|BC →|， ∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2，化简得2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12.∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. (2)OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)， ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1， ∴2sin θ＋2cos θ＝1， ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝－38.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2.导学号 14435185(1)求f (x )的解析式；(2)若tan α＋1tan α＝5，求2f (2α－π4)－11－tan α的值．[解析] (1)设最高点为(x 1,1)，相邻的最低点为(x 2，－1)， 则|x 1－x 2|＝T2(T >0)，∴(x 1－x 2)2＋(1＋1)2＝4＋π2，∴T 24＋4＝4＋π2，∴T ＝2π＝2π|ω|，又ω>0，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∵0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)∵tan α＋1tan α＝5，∴sin αcos α＋cos αsin α＝5， ∴sin αcos α＝15，∴2f (2α－π4)－11－tan α＝2cos (2α－π4)－11－tan α＝2(cos2αcos π4＋sin2αcossin π4)－11－sin αcos α＝cos2α＋sin2α－1cos α－sin αcos α＝(2sin αcos α－2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α＝25.21．(本题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限．求OB 2的最大值.导学号14435186[解析] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ(0<θ<π2)，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin(π2－θ)＝cos θ，AH ＝cos(π2－θ)＝sin θ，所以B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos2θ＋23sin2θ ＝7＋43sin(2θ＋π3)．由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.22．(本题满分12分)已知向量m ＝(sin 12x,1)，n ＝(43cos 12x ，2cos x )，设函数f (x )＝m·n .导学号 14435187(1)求函数f (x )的解析式．(2)求函数f (x )，x ∈[－π，π]的单调递增区间．(3)设函数h (x )＝f (x )－k (k ∈R )在区间[－π，π]上的零点的个数为a ，试探求a 的值及对应的k 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝m·n ＝43sin 12x cos 12x ＋2cos x＝23sin x ＋2cos x ＝4sin(x ＋π6)．(2)由(1)，知f (x )＝4sin(x ＋π6)，x ∈[－π，π]，所以x ＋π6∈[－5π6，7π6]，由－π2≤x ＋π6≤π2，解得－2π3≤x ≤π3，所以函数f (x )的单调递增区间为[－2π3，π3]．(3)当x∈[－π，π]时，函数h(x)＝f(x)－k的零点讨论如下：当k>4或k<－4时，h(x)无零点，a＝0；当k＝4或k＝－4时，h(x)有一个零点，a＝1；当－4<k<－2或－2<k<4时，h(x)有两个零点，a＝2；当k＝－2时，h(x)有三个零点，a＝3.。
高中数学 模块综合检测(C)(含解析)新人教A版必修4(2021年整理)
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模块综合检测（C)（时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是（）A．4错误! B．－4错误!C。
错误! D．－错误!2．若向量a＝（3,m），b＝（2，－1)，a·b＝0,则实数m的值为（)A．－32B。
错误! C．2 D．63．设向量a＝（cos α，错误!)，若a的模长为错误!，则cos 2α等于( )A．－错误! B．－错误! C.错误! D。
错误!4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2,0)，|b｜＝1，则|a＋2b|等于( )A.错误! B．2错误! C．4 D．125．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于（)A．－错误! B.错误! C．－1 D．16．若向量a＝(1，1），b＝（2,5），c＝(3，x）,满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于（）A．6 B．5 C．4 D．37．要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos(x－错误!）的图象（）A．向右平移错误!个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移π3个单位D．向左平移错误!个单位8．设函数f(x）＝sin(2x＋π3），则下列结论正确的是( ）A．f（x)的图象关于直线x＝错误!对称B．f(x)的图象关于点（错误!，0）对称C．把f（x)的图象向左平移错误!个单位，得到一个偶函数的图象D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，错误!]上为增函数9．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝（sin A,1)，q＝(1，－cos B），则p与q 的夹角是（)A．锐角 B．钝角C．直角 D．不确定10．已知函数f(x)＝（1＋cos 2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为错误!的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为错误!的偶函数11．设0≤θ≤2π，向量错误!＝（cos θ，sin θ），错误!＝(2＋sin θ，2－cos θ），则向量错误!的模长的最大值为( )A。
【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：模块综合评价(含答案)
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61 C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61.答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )A ．－35B ．45C ．25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5， 所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平行移动π6个单位长度，可得y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．答案：D5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°.故选C. 答案：C6．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．答案：D7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎨⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎨⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限． 答案：B8．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z)C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z)D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z)解析：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．答案：B9．(2015·课标全国Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z. 答案：D10．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12， s 的最小值为π6B ．t ＝32， s 的最小值为π6C ．t ＝12， s 的最小值为π3D ．t ＝32， s 的最小值为π3解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s ＞0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.答案：A11．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z) 解析：由题意可得y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ，所以原函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)． 答案：C12．化简cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝( )A ．－22sin x B.22sin x C ．－22cos xD.22cos x解析：cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π8＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝ ⎝⎛⎭⎪⎫2cos x 2cos 7π8·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2sin 7π8＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin 7π8cos 7π8·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＝sin 7π4·sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4·sin x ＝－sin π4·sin x ＝－22sin x .答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0， 所以cos α＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＝23π，所以tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.答案：314．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以sin 2θ×1－cos 2θ＝0，所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0，因为0<θ<π2，所以cos θ >0，所以2sinθ＝cos θ，所以tan θ＝12.答案：1215．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ；(2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°， 所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝±2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0， 所以cos θ＝22.又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αsin （α＋π）·tan （α－π）cos （3π－α）的值．解：(1)因为|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， 所以点P 在单位圆上， 由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上，所以由已知条件得cos α＝45.所以原式＝54.19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角 β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos( β－α)的值； (2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ.解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1213，则x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45. x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213. 所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513， 所以cos( β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1，又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形．又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形，又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形，所以∠AOC ＝60°，所以∠AOB ＝120°，即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值． 解：(1)f (x )＝23sin (π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)⎣⎢⎡⎦⎥⎤或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12＞k π＋5π12（k ∈Z ）.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， 所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3， 即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 22．(2015·重庆卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域． 解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32. (2)由条件可知g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 从而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 那么y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－32，2－32.。
2019版高中数学人教A版必修4：模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.cos 660°等于()A.-B.-C.D.解析:cos 660°=cos(-60°+2×360°)=cos(-60°)=cos 60°=,故选C.答案:C2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由已知得tan α>0,sin α<0,∴α是第三象限角.答案:C3.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为()A. B. C. D.解析:由题意,得扇形的半径为.又由扇形的面积公式,得该扇形的面积为×2×.答案:A4.已知△ABC的边BC上有一点D满足=2,则可表示为()A. B.C. D.解析:由题得)=.答案:C5.已知a=,b=-,c=a+k b,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为()A.-B.-3C.-3或-D.-1解析:c=--,d=(0,1).,cos--解得k=-3或-.答案:C6.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A. B.C. D.解析:y=cos x+sin x=2cos-,向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=2cos-的图象.因为该图象关于y轴对称,所以m-=kπ(k∈Z),即m=kπ+,故当k=0时,m取得最小值.答案:B7.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误.答案:B8.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2得A=2,m=2.解析:由-又∵T=,∴ω==4,∴ωx+φ=4x+φ.∵x=是其图象的一条对称轴,∴π+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-π.当k=1时,φ=,∴y=2sin+2.答案:D9.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是()A.[1,2]B.[2,4]C.[2-1,2+1]D.[2,2+1]解析:由题意知,=(2-cos θ,-2-sin θ),所以||=---=-=-∈[-],即||∈[2-1,2+1].答案:C10.已知函数f(x)=A sin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P 的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=()A. B.2C.1D.2解析:函数f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).又∠PRQ=,∴直线RQ的倾斜角为,∴=-,A=.-答案:A11.若动直线x=a与函数y=sin-和y=sin的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为()A.1B.C. D.2解析:|MN|=--=---=|cos 2a|≤.答案:C12.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=()A.-B.C.-D.解析:因为α∈,所以2α∈(0,π).因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,所以sin 2α=-.又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=-,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=--.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为.解析:设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则l=2r.又l+2r=8,∴2r+2r=8,即r=2(cm).∴扇形的面积S=lr=×4×2=4(cm2).答案:4 cm214.函数y=3-的定义域为.解析:由2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).答案:-(k∈Z)15.已知非零实数a,b满足关系式-=tan ,则的值是.解析:由题可得-=tan=tan =tan,其中sin θ=,cos θ=,所以θ=+kπ,k∈Z,所以=tan θ=tan=tan .答案:16.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=.解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则A,B--,由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin+sin-.(1)求sin α的值;(2)求---的值.解:(1)∵sin+sin-, ∴sin α=.∴sin α=.(2)∵---=--=--,∴原式=.18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=A sin(ωt+φ).(1)如图是I=A sin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=A sin(ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么ω的最小正整数值是多少? 解:(1)因为周期T=2×--,ω==150π.又A=300,所以I=300sin(150πt+φ).将点-的坐标代入上式,得sin-=0.因为|φ|<,所以φ-=0,φ=,即所求的解析式为I=300sin.(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么必须满足,即ω≥300π≈942,所以ω的最小正整数值是943.19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.(1)证明由已知得|a|==1,|b|==1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b垂直.(2)解由|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2,∴2(|a|2-|b|2)+4a·b=0.而|a|=|b|,∴a·b=0.∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0,∴2α+=kπ(k∈Z).又0≤α<π,∴α=或α=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:由已知得cos α=,cos β=.∵α,β为锐角,∴sin α=-,sin β=-.∴tan α=7,tan β=.=-3.(1)tan(α+β)=--(2)∵tan 2β=,--∴tan(α+2β)==-1.--∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=.21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),∴||=--,||=--.由||=||,得sin α=cos α.又∵α∈,∴α=.(2)由=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=.①又=2sin αcos α.由①式两边平方,得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-.∴=-.22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.解:(1)连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OB·AH=-sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-==sin.由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.。
高中数学人教A版必修4模块综合检测(一) Word版含解析
模块综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－1 120°角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D.2．(江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13. 3．(陕西高考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0 解析：选C a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C. 4.1－sin 20°＝( ) A ．cos 10° B ．sin 10°－cos 10° C.2sin 35°D ．±(sin 10°－cos 10°)解析：选C ∵1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin 235°， ∴1－sin 20°＝2sin 35°.5．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝( ) A ．－10 B ．10C ．－ 5 D. 5解析：选D 因为a· b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b |＝ 5. 6．(2013·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋32·cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2解析：选A 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32·cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1，故选A.7．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z.取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34 D.14解析：选B a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－3＝ 23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14，故选B. 10．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( ) A ．k π，(k ∈Z)B ．k π＋π6，(k ∈Z)C ．k π＋π3，(k ∈Z)D ．－k π－π3，(k ∈Z)解析：选D f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －θ＋π6.由函数为奇函数得－θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得θ＝－k π－π3(k ∈Z)，故选D.11．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4-P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( ) A ．12P P ·13P P B ．12P P ·14P P C ．12P P ·15P P D ．12P P ·16PP 解析：选A 由于12P P ⊥15P P ，故其数量积是0，可排除C ；12P P 与16P P 的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则12P P ·13P P ＝|12P P |·|13P P |·cos 30°＝32a 2，12P P ·14P P ＝|12P P |·|14P P |·cos 60°＝a 2. 12．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b (a <0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝2，b ＝－5B ．a ＝－2，b ＝2C ．a ＝－2，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－2解析：选C f (x )＝－a (cos 2x ＋3sin 2x )＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b . 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1.∵－5≤f (x )≤1，a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－5，－2a ＋2a ＋b ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．cos ⎝⎛⎭⎫－17π3＝________.解析：cos ⎝⎛⎭⎫－17π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝cos π3＝12. 答案：1214．(四川高考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＋AD＝λAO ，则λ＝________.解析：AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，故λ＝2. 答案：215．(重庆高考)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析：因为AB ＝OB －OA ＝(1，k －1)，且OA ⊥AB ，所以OA ·AB ＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.答案：416．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则y 的表达式为________．解析：由图象，知A ＝2，由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b|＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |；(2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a·b ＝|a||b |cos θ＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin(2ωx ＋π6)＋a2＋b (x ∈R ，a >0，ω>0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a 、b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间． 解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1， 又f (x )的最大值是74，最小值是34，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝12sin(2x ＋π6)＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)时，f (x )单调递增，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．19．(本小题满分12分)(福建高考)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4 的值；(2)求函数f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 解：法一：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4 ＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d . 解：(1)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎨⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝20＋55，5＋255或d ＝20－55，5－255.21．(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面5 2 个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d －k b ＝sin(t －ha)．(1)求正弦曲线的振幅和周期；(2)如果从P 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d 与t 的关系式； (3)在(2)的条件下，求P 首次到达最高点所用的时间． 解：(1)A ＝r ＝10.T ＝604＝15(s)． (2)由d －k b ＝sin t －h a ，得d ＝b sin t －ha＋k . b ＝A ＝10，T ＝2π1a ＝2πa ＝15，∴a ＝152π.由于圆心离水面52个长度单位， ∴k ＝5 2.∴d ＝10sin 2π(t －h )15＋5 2.将t ＝0，d ＝0代入上式，得sin(2π15h )＝22，2π15h ＝π4，∴d ＝10sin(2π15t －π4)＋5 2.(3)P 到达最高点时d ＝10＋5 2.∴sin(2π15t －π4)＝1，得2π15t －π4＝π2，t ＝458(s)．即P 首次到达最高点所用时间为458s. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ， 所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1.。
高中数学 模块综合测试(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知角α的终边过点P (sin(－30°)，cos(－30°))，则角α的一个值为( D ) A ．30° B ．－30° C ．－60°D ．120°解析：P ⎝⎛⎭⎫－12，32，点P 在第二象限，sin α＝32，cos α＝－12，∴120°为角α的一个值．2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( B )A ．－53B ．－19C ．19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是单调递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO →的坐标为( C )A ．⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫12，－5 解析：由AD →＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD →＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.故应选C ． 5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6， cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.6．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝13，则cos2α的值是( C )A ．179 B ．－223C ．－179D ．179或－179解析：∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，即2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－173，∴cos2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－179. 7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数； 当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B ．8．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( C )A ．1B ．－1C ．2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.9．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( A ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，∴sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝⎛⎭⎫22sin x ，2cos x ，f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将f (x )的图象( C ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：f (x )＝a ·b ＝sin x cos x ＋sin x cos x ＝sin2x . 而y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 于是只需将f (x )的图象向左平移π6个单位．故选C ．11．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是( C )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π－π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π6.由题图象知，⎝⎛⎭⎫7π12＋π6ω＝3π2，所以ω＝2.所以平移后的图象所对应的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.12．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA →＋OB →＋OC →＝0；②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0；③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( C ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上的单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －A ．代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.14．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2 . 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0,2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝4 030 .解析：由最大值为3知A ＝2，f (x )＝2cos 2(ωx ＋φ)＋1＝cos(2ωx ＋2φ)＋2， 由交点(0,2)及0<φ<π2知φ＝π4.∴f (x )＝2－sin2ωx . 又周期为4，∴ω＝π4.∴f (x )＝2－sin π2x ，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝503×8＋6＝4 030.16．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是①④.解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错；③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ，∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z . 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错；④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan10°＋tan170°＋sin1 866°－sin(－606°)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5 ＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求： (1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·B ．解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由题图象可知A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T ＝π，ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝34π.∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．(2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为[k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数， 所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数， 又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )， 由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0.即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25.即sin α＝45， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.21．(12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点．(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． 解：(1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12A E →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝⎛⎭⎫14AB →－110AC → ＝－14AB →2＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos60°＝－25.22.(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值X 围． 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.word11 / 11 (2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2， 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(53x －π6)≤1， 得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2， 故函数f (x )在[0，3π5]上的取值X 围为[－1－2，2－2]．。
高中人教A版数学必修4：模块综合测试卷 Word版含解析
模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310°∵310°是第四象限角∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( )A.23πB.34π C.56π D ．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB 2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π. 3．下列函数中周期为π2的偶函数是( ) A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22xC ．y ＝tan2xD ．y ＝cos2x答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3. 5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD是( )A ．长方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →，且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[2，2]答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A ．－17B ．7 C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪x －π2， ∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D. 9．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T 2，即T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A. 11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1 B ．2－ 2C. 2 D ．2答案：C解析：|a ＋b |＝2(x 2＋2x ＋2)≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33C.539 D ．－69答案：C解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________． 答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3. 14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______．答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]． 15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3， 所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3.16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x是奇函数 ④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π 答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43. ②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8. ③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值． 解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34. 18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0.(1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域．解：(1)∵m ·n ＝0，∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin A cos A＝2. (2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32. ∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32， sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝2 5，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝2 5，∴x 2＋y 2＝2 5，即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4， ∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π12＝cos 2⎝⎛⎭⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， 所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32. 所以对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c . 故当对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值． 解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45. 又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425.又sin2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45， ∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525. 22．(12分)如图，点P ⎝⎛⎭⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝⎛⎭⎫0，A 2，∴sin φ＝12， 又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6. (2)由(1)可知y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝⎛⎭⎫－14，0，R ⎝⎛⎭⎫54，0. 又∵P ⎝⎛⎭⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝⎛⎭⎫－14，－A 2，PR →＝⎝⎛⎭⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。
高一数学人教A版必修四：模块质量评估试题 课时练习含解析
模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D.1213解析： ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213. 答案： A2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( ) A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2D ．16 cm 2解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，l ＝2r .解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)． 答案： A3．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35 B.35 C ．±35D.45解析： 由已知sin α＝－45，而α为第四象限角， 所以cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， 所以cos(α－2π)＝cos α＝35. 答案： B4．已知α是锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为( ) A ．15° B ．45° C ．75°D ．15°或75°解析： ∵a ∥b ，∴sin α²cos α＝34³13，即sin 2α＝12.又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°. ∴2α＝30°或2α＝150°. 即α＝15°或α＝75°. 答案： D5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2, 则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析： 依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3³23＝6，cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.答案： C 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝－35，且x 是第三象限角，则1＋tan x 1－tan x的值为( ) A ．－34 B ．－43 C.34D.43解析： 因为x 是第三象限角，所以π＋2k π＜x ＜3π2＋2k π，k ∈Z ，所以5π4＋2k π＜x ＋π4＜7π4＋2k π，k ∈Z ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＜0，而cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45，故1＋tan x 1－tan x ＝tan π4＋tan x1－tan π4²tan x＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝43，选D.答案： D7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0D ．－π4解析： y ＝sin(2x ＋φ)――――――→向左平移π8个单位 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数； 当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B. 答案： B8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析： 当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C.当x ＝－π2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A.故选D. 答案： D9．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A.152B.152C ．7D ．18解析： ∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )， ∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236³（22）2－12³22³3³cos π4＋32＝152.答案： A10．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝|sin x －12|的周期是π； ⑤函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是[0，2]． 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析： 对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin 60°＝32，sin 390°＝sin 30°＝12，故sin α＜sin β，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T ＝2π|a |＝4π，得a ＝±12，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x |sin x －1≠0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋2k π，k ∈Z ，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f (x )＝|sin x －12|.若T ＝π，则有f ⎝⎛⎭⎫－π2＝f ⎝⎛⎭⎫π2，而f ⎝⎛⎭⎫－π2＝⎪⎪⎪⎪－1－12＝1.5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎪⎪⎪⎪1－12＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y ＝sin x ＋sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0 （x ＜0）2sin x （x ≥0），而当f (x )＝2sinx (x ≥0)时，－2≤2sin x ≤2，故函数y ＝sin x ＋sin |x |的值域为[－2，2]，故⑤错误；综上可知选D.答案： D11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析： 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sin π4x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2. 答案： C12．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35 C.35D ．－45解析： 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a ，4b ，5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析： ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →²AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， ∴(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案： 514．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35(0＜α＜π2)，则f (α＋π12)＝________．解析： 因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝7210.答案： 721015．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是________．解析： 由f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∵π4≤x ≤π2⇒π3≤2x －π6≤5π6， ∴f (x )max ＝12＋1＝32. 答案： 3216．有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析： α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π， 所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确； ③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确； 由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案： ④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解析： (1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22.又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin （π－α）cos （－2π－α）sin 2（－α）－sin2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解析： 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1， 又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2.解析： ∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425， ∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22（cos α－sin α）1＋cos α＝52³⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45 ＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解析： (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又∵a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， ∴2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)∵a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又∵0＜α＜π，∴α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α＞β，∴α＝5π6，β＝π6.21．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝2cos x ²sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ²cos x .(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图．解析： f (x )＝2cos x ²sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cosπ3＋cos x sin π3－3²sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]．(2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<⎭⎫π2的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过⎝⎛⎭⎫0，－2. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解析： (1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最大值为22，最小值为－2， ∴A ＝322，B ＝22.又∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期为π， ∴T ＝2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝322sin(2x ＋φ)＋22. 又∵函数f (x )过⎝⎛⎭⎫0，－2，∴－24＝322sin φ＋22， 即sin φ＝－12.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝322sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋22.(2)令t ＝2x －π6，则y ＝322sin t ＋22，其增区间为：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z . 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .。
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模块综合质量检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知，θ2为第二象限角．故选B.2．若sin (π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos (π＋α)的值为( )A ．53 B ．－53 C ．±53D ．－23解析：选B ∵sin (π－α)＝sin α＝log 22－23＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴cos (π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝ －1－49＝－53.故选B.3．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值是( )A ．34B ．537C ．2537D ．53737解析：选D ∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37， ∴|3e 1＋4e 2|＝37.又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，∴cos θ＝537＝53737.故选D.4．(2018·安徽太和中学期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．－2或1D ．－1或2解析：选D 由于A ，B ，C 三点共线，故AB→∥AC →，因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，所以λ(λ－1)－2×1＝0，解得λ＝－1或λ＝2.故选D.5．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( )A ．14AB →－34AC → B ．14AB →＋34AC →C ．34AB →－14AC →D ．34AB →＋14AC →解析：选B 解法一：设AD→＝xAB →＋yAC →，由BC →＝－4CD →可得，BA →＋AC →＝－4CA →－4AD →，即－AB →－3AC →＝－4x AB →－4y AC →，则⎩⎨⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD→＝14AB →＋34AC →，故选B.解法二：在△ABC 中，BC→＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14BC →＝AC →－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B.6．(2019·河北定州中学调研)函数f (x )＝12(1＋cos2x )·sin 2x (x ∈R )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 由题意，得f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，故选D.7．(2018·永州二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2π4－α＝( )A ．725 B ．925 C ．1625D ．2425解析：选B ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B. 8．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12. 所以，所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.故选B.9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝2πω＝π，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C ． 10.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC→的值为( )A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118解析：选B如图所示，AF→＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD→＝12AB →，DF →＝DE →＋EF→＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF→＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →. 又BC→＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB→·AC→－12AB→2＋34AC→2－34AC→·AB→＝34AC→2－12AB→2－14AC→·AB→.又|AB→|＝|AC→|＝1，∠BAC＝60°，故AF→·BC→＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.11．(2019·吉林百校联盟联考)已知cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝()A．4－2 3 B．23－4C．4－4 3 D．43－4解析：选B由题意可得－sin α＝－3sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，即sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12·cosπ12－cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12sinπ12＝3sinα＋π12cosπ12＋3cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12sinπ12，整理可得tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tanπ12＝－2tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－2×tanπ4－tanπ61＋tanπ4tanπ6＝23－4.故选B.12．(2019·浙江部分市学校联考)如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB＝2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则AC→·PB→的最大值是()A．2 B．1C．0 D．－1解析：选B连接BC，则∠ACB＝90°.∵AP⊥PC，∴AC→·PB→＝AC→·(PC→＋CB→)＝AC→·PC→＝(AP→＋PC→)·PC→＝PC→2.依题意可证Rt△APC ∽Rt △ACB ，∴|PC →||CB →|＝|AC →||AB →|，即|PC →|＝|AC →||CB →|2.∵|AC→|2＋|CB →|2＝|AB →|2，∴|AC →|2＋|CB→|2＝4≥2|AC →||CB →|，即|AC →||CB →|≤2，当且仅当|AC →|＝|CB →|时取等号，∴|PC →|≤1，∴AC →·PB →＝PC →2≤1，AC →·PB →的最大值为1，故选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． ★答案★：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 14．(2019·山东师大附中一模)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋2b |＝3，则a ，b 的夹角为________．解析：因为|a ＋2b |＝3，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(3)2.又a ，b 是两个单位向量，所以|a |＝1，|b |＝1，所以a ·b ＝－12.因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，则a ，b 的夹角为2π3.★答案★：2π315．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°＝________. 解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80° ＝2sin (80°－60°)12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.★答案★：416．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．解析：设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，则由题意得(2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝132，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52为圆心，262为半径的圆，所以|c |的最大值为26.★答案★：26三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4.∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0. ∵b ·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c . ∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a ·b ，即a ·b ＝2m ，①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝±6. ∴a ·b ＝±2 6.∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.18．(12分)(2019·山东日照五中期中)已知角α的终边过点P (－4,3)． (1)求tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)若β为第三象限角，且tan β＝43，求cos(α－β)的值． 解：(1)因为角α的终边过点P (－4,3)， 所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin αcos αsin α＋sin α＝12cos α＝－58. (2)因为β为第三象限角，且tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35. 由(1)知，sin α＝35，cos α＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝0.19．(12分)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的． 解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6.综上，所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象． 20．(12分)已知向量a ，b 不共线．(1)若OA→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，求当实数t 为何值时，A ，B ，C 三点共线；(2)若|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为120°，实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，求|a －x b |的取值范围．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，即13(a ＋b )＝λa ＋(1－λ)t b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，(1－λ)t ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，t ＝12.故t ＝12时，A ，B ，C 三点共线．(2)因为a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－12，则|a －x b |2＝a 2＋x 2b 2－2x a ·b ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以当x ＝－12时，|a －x b |取得最小值，最小值为32； 当x ＝12时，|a －x b |取得最大值，最大值为72， 所以|a －x b |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72.21．(12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.22．(12分)(2019·襄阳四校期中)设函数f (x )＝cos π2－x cos x －sin 2(π－x )－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)∵f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1＝3210－1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝35.ruize由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8知，2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π8＋π4－1 ＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4－1 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×22＋45×22－1＝－310.。