第七讲散射理论

第七讲散射理论

一、散射现象的一般描述

1、什么是散射？

简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：

粒子流

散射中心

如：原子物理中的α粒子散射实验。 2、散射的分类：

弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。 非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。

在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。 3、散射的经典力学描述

从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）

b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。例如在α粒子的散射实验中，有

2

2

cot 422M b Ze θ

υπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：

凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体

之中。环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。且

22

22

401

()()4sin 2

Ze d d M σθπευΩ

= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。

设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即

1(,)()dn q N d θϕ=

Ω

显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射

到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。 将(,)q d θϕΩ对所有方向积分，得

20

(,)(,)sin Q q d q d d ππ

θϕθϕθθϕ=Ω=

⎰⎰⎰

Q 称为总散射截面。

4、散射的量子力学描述

上面关于微分散射截面和总散射截面的定义，在量子力学中同样适用。

下面我们来讨论量子力学中如何通过解薛定谔方程来定散射截面。

取散射中心为坐标原点，用()U r

表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛定谔方程可写为：

222U E m

ψψψ-∇+= 式中m 是入射粒子的质量，E 是它的能量，为简单起见，令

2

2

22

22(4)(5)2()()

(6)

mE p k p k

m m m V r U r υ====

=

则（3）式改写为：

22[()]0k V r ψψ∇+-=

（7）

通常我们观察被散射的粒子都是在离开散射中心很远的地方，所以只需讨论r →∞时ψ的

行为就够了，假设r →∞时，()0U r →

，即在粒子远离散射中心时，两者之间的相互作用

趋于零。这样，在无穷远的地方，波函数应由两部分组成：一部分是描写入射粒子的平面波1ikx Ae ψ=；另一部分是描写散射粒子的球面散射波：

2(,),ikx

e f r

ψθϕ=

这个波是由散射中心向外传播的。

12(,),ikr

ikz

r e Ae f r

ψψψθϕ→∞

−−−→+=+ （8） 这里考虑的是弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即波矢k 的数值不变，上式中的),(ϕθf 仅是θϕ和的函数，而与r 无关，可以证明，

（8）式在r →∞时满足方程（7）。 在（8）式中取1A =，则2

1ψ=，这表明每单位体积只有一个入射粒子，入射波的几率流密度是

11111111[][]22z i i J ik ik m z z m

ψψψψψψψψυ****∂∂=-=--=∂∂

（9）

其实，这就是入射粒子流强度N ,散射波的几率流密度是：

2222

22222[](,)[](,)22r i i ik ik J f f m r r m r r r

ψψυψψθϕθϕ**∂∂=-=--=∂∂ （10）

它表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数，故单位时间穿过面积dS 的粒子数是 22

2

(,)(,)r dn J dS f dS f d r υ

θϕυθϕ==

=Ω （11）

因为N υ=，比较（11）与（1）两式，可知微分散射截面是

2

),(),(ϕθϕθf q = （12）

所以知道了),(ϕθf ，就可求得(,)q θϕ，),(ϕθf 称为散射振幅。),(ϕθf 的具体形式通过求薛定谔方程（7）的解并要求在r →∞时解具有（8）的形式而得出。后面几节将具体讨论如何求方程（7）的解。

二、中心力场中的弹性散射（分波法）

下面将给出在中心力场作用下，粒子的散射截面的一个普遍的计算方法——分波法。 1、散射粒子所满足的薛定谔方程

在中心力场的情况下，势能()U r 只与粒子到散射中心的距离r 有关，与r

的方向无关，

所以方程（7）可写为：

22[()]0k V r ψψ∇+-= （13） 取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们讨论问题中的旋转对称轴，波函数ψ和散射振幅f 都与ϕ角无关。

由3.3节的讨论我们知道方程（13）的一般解可写为： (,,)()(,)l lm lm

r R r Y ψθϕθϕ=∑

现在ψ既与ϕ无关，所以0m =，因而（13）的一般解为：

(,,)()(cos )l l l

r R r P ψθϕθ=∑ （14）

这个展开式中的每一项称为一个分波，()(cos )l l R r P θ是第l 个分波，每一个分波都是方程（13）的解，通常称0,1,2,3l = 的分波分别为,,,s p d f 分波。(cos )l P θ是勒让德多项式，径向波函数()l R r 满足下列方程：[同(3.3.8)式]