排队论模型

研究X(t)的分布模型
令
Pn(t) P{X (t) n}(显然Pn(t) 0, pn(t) 1)
j0
当 pn(t)依赖于t时，称 {pn(t) ,n 0,1,2 }是瞬时解
如果 lim t
pn(t)
pn则称pn , n
0,1,
是稳定解。
此系统的状态转移图
0
1
2 ………
n-1 n n+1 … … …
时间均服从负指数分布，一个服务台，系统至多容纳 k个顾客潜在的顾客数不限，先来先服务的排队系统。
“M/M/c”即Poisson输入负指数服务时间分布C个 服务台的等待制排队模型。
“M/G/1”即Poisson输入，一般服务时间分布， 单个服务台的等待制排队模型。
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
然后按照统计学的方法(如x 2检验法)确定服从哪种理论分布，并
估计它的参数值。我们主要讨论 概率分布为负指数分布 M
(另外有定长分布D， k阶爱尔兰分布 Ek ，一般独立分布GI等)
(2)服务机构 服务员对顾客服务过程，服务机构可以是一个服务员或多个服 务员的。对顾客可以单独进行服务，也可以对成批顾客进行服务， 在我们这儿介绍对顾客单独进行服务。设C为服务机构服务员个 数，当C=1时，为单服务系统，当C≥2，为多服务系统。和
排队论模型
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立 一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取 得了显著的成绩。
图1 从而在生灭过程中取
n , n , s {0,1,2 } (9.5)
记 ，称为服务强度 当 1 时，模型不稳( 时, 队列越来越长; 时 达不到统计)
当 ＜1时，模型稳定，有稳定解
(3)X(t)的分布律
由(9.12)，(1.15)式得此模型的微分差分方程
组
dpn( t ) dt
就是当一个顾客到达时，若所有服务台均被占用时，该 顾客便排队等待服务；消失制也称即时制(系统容量D=C) 就是服务台被占用时顾客便即时离去；混合制也 称队长
有限制(系统容量D:C<D<k)就是一顾客到达若系统中顾客
(包括排队等待和正在接受服务的)数目小于k则他排队等 待，否则他即时离去，等待制服务的次序规则有先到先服 务随机服务，有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先 服务的系统。
我们将此称为“顾客”。 (2)有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们
称为“服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。 (3)顾客随机地一个一个(或者一批一批)来到服务系统每位顾
客需要服务的时间不一定确定的，服务过程的这种随机性造成 某个阶段顾客排长队，而某些时间服务员又空闲无事。
2 排队系统的特征 为了描述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成 (1)输入过程 顾客陆续来到的过程，设N(t):(0，t)时间内来到的顾客数(非负
pn(t) p{X (t) n} n s ，t 0 则系统在时刻t+△t的
状态为n的概率近似于以下四个概率之和。 (1)P{系统在时刻t时为n，而在△t内没有到达也没有
消失} = pn(t) [1 n t](1 un t) pn(t) (1 n t n t) 0(t) (2)P{系统在t时为n-1而在△t内有一个到达并且没有一
pn' (t) p n1 n1(t) ( n n ) pn(t) p n1 n1(t)
p0' (t
)
0 p0(t)
1 p1(t)
n1 (9.2)
若能求解这组方程，则可得到在时刻t系统状态概
率分布 {pn(t) , n s} 称为生灭过程的瞬时解，一 般这种瞬时解是难以求得的
3.统计平衡下的极限解
1 n k
(9.3)
当S为可数状态集时(9.2)式变为
n01
pn1 p0
( n 1 p1
n ) pn
0
p n1 n1
0
从而可以求得概率分布列 {pn}
n1
(9.4
（五）、典型排队模型和理论结果
下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1与M/M/C的 结果
(一)单服务台等待制M/M/1排队模型
1.生灭过程的定义 设有一个系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1， 2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为 系统在时刻t所处的状态，若在某一时刻t系统的状态数为 n，如果对△t>0有。
(1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一个新的到达的概 率为 nt 0(t), n 0 的常数；没有发生新的到达的概率 为 1 nt 0(t)；出现多于一个以上的新的到达概率
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙的时间，即顾客从到达 空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止的这段时间 。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工 作强度，与忙期相对应的是闲期，这是指服务台连续保 持空闲的时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期， 是交替出现的。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务 台的利用率(即服务员忙碌的时间在总时间中所占比例) 在排队论的研究中也是很重要的指标。
煤矿 火车 煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有
(6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互
关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验
有关分布。
3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行 特征。
整而数{Ti值} 随){N机(t变),t量 序0}是列随，机i 过Ti 程 T，i1 又时设间间Ti第距i(个隔顾) N客(t到) 达ma的x{时j, 间j ，i 从t} 一般假设顾客来到时间间隔 i 相互独立与随机变量 有相i1 同的；
分布 可以根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，
为0(△t) 。 (2)消失(灭):在(t，t+△t)内，系统消失一个的概率的
nt 0(t); n 0 的常数，没有消失的概率为 1 nt 0(t);
消失多于一个以上的概率为0(△t)则称系统状态随时间而 变化的过程X(t)为一个生灭过程。
2.生灭过程微分差分方程组 设 pn(t) 表示系统在时刻t的状态X(t)=n的概率即
顾客到达
排队
00…00
服务台
(2)多服务台的平衡系统
顾客离去
顾客到达 排队 服务台
00…00
顾客离去
顾客离去 服务台
服务机构
(3)串联排队系统
顾客到达 排队 00…00
0 M1
0
M2
…
顾客离去 Mn 0
(4)排队网络模型
顾客到达
排队
00…00
Baidu Nhomakorabea
0 0 0
顾客离去
10%
(
调试 0 检验
)
90%
(5)匹配排队模型
令△t→0得
当系统状态S为有限集时，生灭过程的微分差分方
程组为
pn' (t p0' (t
) )
p n1 n1(t ) ( n 0 p0(t ) 1 p1(t )
n ) pn(t)
p n1 n1(t )
pk'
(t
)
p k 1 k 1(t )
k pk(t)
| n k
当系统状态S为可数集时，生灭过程微分差分方程 组为
pn1(t )
( ) pn(t)
pn1(t )
dp0(
t
)
dt
p0(t)
p1(t)
n1
(9.6)
当 1 时，稳态解满足
pn1 pn1 ( ) pn 0 n 1 p0 p1 0
求解(9.7)式差分方程，得
(4)结论
p
n
( )n
p0
p0 1
平均队长
Pn (t t) pn (t)(1 nt nt) pn1 (t)n1t pn1 (t)n1t O(t)
当 n0 时
pk (t t) pk (t)(1 k t) pk1 (t)k1t O(t)
类似地，当S为有限集时，对 n k 有
p0 (t t) p0 (t)(1 0t) p1 (t)1t O(t)
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计
服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否 合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是
(1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目，它的期望值为 Ls ；排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数，其期望记为 Lq. 系统中的顾客数
的Poisson过程即 N(t)～(t) 设M(t)为(0，t)内容去顾客数，则{M(t):t 0}是平均率为
的Poisson分布即 M(t)～(t) (2)X(t):时刻t系统中的顾客数
则
X (t) N(t) M(t)
L(t):时刻t排队等待顾客数
则
L(t) max{X (t) 1,0}
实际应用中，关心的是 t 时，方程的解称为生
灭过程微分差分方程组的极限解。
令
p lim
t n(t )
pn
由pn' (t) 0
及(9.1)(9.2)式得当S为有限状
态集时，(9.1)式变为
n1 pn1 (n n ) pn p n1 n1 0 0 p0 1 p1 0 k1 pk1 k pk 0
一、排队论简介
二、实例分析
一、排队论简介
（一）基本概念 1．排队系统 排队是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列 排队系统是指一个具有排队等待现象的服务系统 排队论是指定量的研究排队问题，寻找系统内在规律，寻找
供求关系平衡的最优方案。 现实世界中排队的现象比比皆是，但有如下共同特征: (1)有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求着陆的飞机等，
输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务
时间所构成的序列 {n} 服从相互独立的且与某一随机
变量 有相同分布，其中 的概率分布是已知的可以
根据原始资料判断得到的，主要有的分布为负指数分 布(定长分布，一般独立分布等)
(3)排队与服务规则 顾客排队和等待的规则，排队规则一般有等待制， 消失制和混合制。所谓等待制(系统容量 D )
（二）排队模型的符号表示与几种重要排队模型 1.排队模型的符号一般表示法 一般表示法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔的分布类型 B:服务时间的分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务的等待排队模型主要由三参数法即
A/B/C
例“M/M/1/k/ /F1F0”表示顾客到达间隔时间和服务
(队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以
Lq (或Ls ) 越大，说明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受 服务时止的这段时间，其期望值记 Wq ；逗留时间则指从
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要的时间， 即是顾客在系统中所花费的总时间，其期望值记 Ws 。
1.M/M/1/ 顾客来到的时间间隔 服从参数 的
负指数分布，服务员为顾客服务时间 服从参数
的指数分布，且 与 相互独立，1个服务台，系
统容量为 的等待制排队模型。
可理解为:单位时间平均到达的顾客数-----平均到 达率
可理解为:单位时间平均服务完的顾客数----平均 服务率
(1)顾客输入过程 {N(t):t 0},( N(0) 0)是平均率为
个消失}= pn1(t) n1t(1 n1t) pn1(t) n1t 0(t) (3)P{系统在t时为n+1，而在△t内没有到达而有一个
消失}= pn1(t) n1t(1 n1t) pn1(t) n1t 0(t)
(4)P{系统在△t内发生多于一个的到达或消失}=0(△t) 即应用全概率公式有
4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进 系统的功能。 （四）、生灭过程的差分微分方程组
当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有 Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负 指数分布，则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程， 而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随 机过程的生灭过程。