新浙教版八年级下数学期末复习宝典(内部资料)
【语桐】新浙教版八年级下数学期末复习宝典(内部资料,共15页)
第一章二次根式1 . 二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫做二次根式，形如( a ≥ 0 ) .2 . ★★★二次根式有意义的条件：被开方数≥ 0 ；分式有意义的条件：分母≠ 0 .例：有意义的条件是 2 －x ≥ 0 ，即x ≤ 2 ；有意义的条件是 1 －x ≠ 0 ，即x ≠ 1 ；有意义的条件是 2 －x ≥ 0 且 1 －x ≠ 0 ，即x ≤ 2 且x ≠ 1 .练习：使代数式有意义的 x 的范围是 ______________________ ．3 . ★★求含字母的二次根式的值 . 例：当 x ＝－4 时，求二次根式的值 .错误解法：（ 1 ）＝＝ 0 ；（ 2 ）＝＝＝± 4 .正确解法：＝＝＝ 4 .注意：代入负数时一定要注意符号！4 . ★★★二次根式的性质：( 1 ) ( ) 2 ＝a ( a ≥ 0 ) ； ( 2 ) ＝ | a | ＝；( 3 ) ＝× ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 ) ； ( 4 ) ＝( a ≥ 0 ， b ＞ 0 ) .注意：性质 ( 2 ) 中，当平方在根号里时，开方后要加上绝对值，再根据去绝对值法则去绝对值 . 若无法判定绝对值里的数的符号时，应分类讨论 .例：＝ | － 2 | ＝ 2 －（因为－ 2 是负数，所以去掉绝对值后等于它的相反数 . ）练习：（ 1 ）＝ __________ ； ( －) 2 ＝ __________ ．（ 2 ）＝_______________ ．5 . ★★最简二次根式必须满足两个条件：（ 1 ）根号内不含分母；（ 2 ）根号内不含开得尽方的因数或因式 .例：下列式子中，属于最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．解析： B 和 D 的根号内是分数，不是最简二次根式，＝＝，＝＝；C 的被开方数 20 含有开得尽方的因数 4 ，也不是最简二次根式，＝＝ 2 . 故选 A .练习：下列式子中，属于最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．6 . ★★★二次根式的运算（考试必考，解答题 21 题）完全平方公式和平方差公式 . ( a ± b ) 2 ＝ a 2 ± 2 ab ＋ b 2 ； ( a ＋ b )( a － b ) ＝a 2 － b 2 .练习：（ 1 ）× （ 2 ） ( － 1 ) 2 ＋ 2 ( － 1 ) （ 3 ）－（ 4 ） ( ＋) 2 － ( －) 27 . 分母有理化：例：＝＝＋ 2 .技巧：利用分数的性质，分子分母同乘以一个式子，使分母可以用平方差公式计算 .练习：＝ ____________ ．8 . 利用题目中的隐含条件——二次根式被开方数≥ 0 解题 .例 1 ：已知 y ＝＋＋ 3 ，则 x y ＝ _______ .分析：根据二次根式被开方数≥ 0 得， 2 x －1 ≥ 0 且 1 －2 x ≥ 0 ，即x ≥ 且x ≤ ，所以 x ＝．例 2 ：化简－ ( ) 2原式＝ | 3 － 2 x | － ( 2 x － 5 ) ，要去掉 | 3 － 2 x | 的绝对值，必须知道 3 － 2 x的符号，由于隐含条件 2 x －5 ≥ 0 ，即x ≥ ，所以 3 －2 x ≤ 0 ，所以原式＝ 2 x－ 3 － 2 x ＋ 5 ＝ 2 .练习：已知，则＝ ______________ ．9 . 3 的整数部分是 _________ ，小数部分是 __________ .分析：先把 3 的 3 从根号外移到根号内，即 3 ＝＝，因为＜＜，即 4 ＜＜ 5 ，所以是一个 4 点多的数，故 3 的整数部分是 4 ；小数部分＝ 3 －整数部分＝ 3 － 4 .练习： 2 的整数部分是 _________ ，小数部分是 __________ .第二章一元二次方程1 . ★★★一元二次方程满足的三个条件：（ 1 ）方程两边都是整式（即字母不在根号里，字母不在分母上）；（ 2 ）含有一个未知数；（ 3 ）未知数的最高次数是2 次 .注意：判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理（去括号、合并同类项），然后再看是否满足上面这三个条件 .练习：下列方程属于一元二次方程的是（）（ A ） x 2 － 2 x － 1 ＝ 0 （ B ） 3 x 2 ＋＝ 0 （ C ） 3 ( x － 1 ) ＋ 2 x ＝ 0 （ D ） x 2 － 6 y － 3 ＝ 02 . 一元二次方程的一般形式： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 （a ≠ 0 ） . ax 2 是二次项， a是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项 .练习：一元二次方程 ( x ＋ 2 )( x － 2 ) ＝ 5 x 化成一般形式是 ______________________ ．3 . ★★★解一元二次方程（ 1 ）因式分解法：①提公因式；②平方差公式；③完全平方公式；④用十字相乘法 .（ 2 ）直接开平方法；（ 3 ）★★★配方法；当二次项系数为 1 时才可以进行配方，配上的常数是一次项系数一半的平方 .例：用配方法解方程 x 2 － 6 x ＋ 1 ＝ 0 ，则方程可配方为 ____________________ .练习：用配方法解方程 x 2 － 6 x － 10 ＝ 0 时，下列变形正确的是（）A ． ( x － 3 ) 2 ＝ 19B ． ( x － 3 ) 2 ＝ 10C ． ( x － 6 ) 2 ＝ 19D ． ( x － 3 ) 2 ＝ 1（ 4 ）公式法 : x ＝.例：（ 1 ） 2 ( x － 7 ) 2 ＝ 14 （适合用直接开平方法）（ 2 ） x ( x － 2 ) ＋ x－ 2 ＝ 0 （适合用因式分解法）（ 3 ） x 2 ＝ 4 x （适合用因式分解法）（ 4 ） x 2 － 2 x － 2 ＝ 0 （适合用配方法或公式法）4 . ★★★根的判别式：△＝ b 2 － 4 ac当 b 2 － 4 ac ＞ 0 ，方程有两个不相等的实数根；当 b 2 － 4 ac ＝ 0 ，方程有两个相等的实数根；当 b 2 － 4 ac ＜ 0 ，方程没有实数根 .例：若关于 x 的一元二次方程 ( k － 1 ) x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ___________ .分析：因为方程有两个不相等的实数根，所以△＝ b 2 － 4 ac ＞ 0 ，即 ( － 2 ) 2 － 4 ( k － 1 ) × 1 ＞ 0 ，解得 k ＜ 2 ；又因为一元二次方程的二次项系数≠ 0 ，即 k ≠ 1 ；所以 k ＜ 2 且k ≠ 1 .注意：一元二次方程求字母范围时，不要忽略二次项系数不为 0 这个条件！练习：（ 1 ）若关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ 3 x ＋ m ＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 _______ ．（ 2 ）若关于 x 的方程 ( m － 1 ) x 2 － 2 x ＋ 2 ＝ 0 有实数根，则 m 的取值范围是 ____________ .5 . ★一个二次三项式 ax 2 ＋ bx ＋ c 是完全平方式的条件： b 2 － 4 ac ＝ 0 . 特别的，若二次项系数为 1 时，满足一次项系数一半的平方等于常数项时，也是完全平方式；例：若 4 x 2 ＋ 8 ( n ＋ 1 ) x ＋ 16 n 是关于 x 的完全平方式，则满足 b 2 － 4 ac ＝0 ，即 [ 8 ( n ＋ 1 ) ] 2 － 4 × 4 × 16 n ＝ 0 .练习：若 9 x 2 ＋ 1 8 ( n － 1 ) x ＋ 1 8 n 是一个关于 x 的完全平方式，则 n ＝_____________ ．6 . 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： x 1 ＋ x 2 ＝－， x 1 · x 2 ＝.例：若 x ＝－ 2 为一元二次方程 x 2 － 2 x － m ＝ 0 的一个根，则 m ＝ ________ ，另一个根为 ________ .分析：把 x ＝－ 2 代入方程即可解得 m 的值 . 在求另一个根时，有两种方法，一种方法是把 m 的值代入方程，解方程即可；另一种方法是利用韦达定理 x 1 ＋ x 2 ＝－可知两根之和等于 2 ，所以另一个根为 4 .练习：已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ m x ＋ m 2 － 4 ＝ 0 有一个根是 0 ，则 m ＝ ______ ，另一个根为 _____ ．7 . 利用韦达定理求值时，几种常见的变形（把代数式变形成由 x 1 ＋ x 2 和 x 1 · x 2 组成）：（ 1 ） x 1 2 ＋ x 2 2 ＝ x 1 2 ＋ 2 x 1 x 2 ＋ x 2 2 －2 x 1 • x 2 ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) 2 － 2 x 1 · x 2 （利用完全平方公式变形）（ 2 ） x 1 2 x 2 ＋ x 1 x 2 2 ＝ x 1 x 2 ( x 1 ＋ x 2 ) （利用提公因式法因式分解）（ 3 ） ( x 1 － x 2 ) 2 ＝ x 1 2 ＋ x 2 2 －2 x 1 • x 2 ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) 2 － 4 x 1 · x 2 （利用完全平方公式变形）（ 4 ）＋＝＝（利用通分和完全平方公式变形）8 . ★★若一个一元二次方程的两个根为 x 1 、 x 2 ，则该一元二次方程可以写成( x － x 1 )( x － x 2 ) ＝ 0 ，若再规定二次项系数为 a ，则该一元二次方程可以写成 a ( x － x 1 )( x － x 2 ) ＝ 0 .练习：已知一元二次方程的两个根为﹣ 2 和 3 ，二次项系数为 2 ，则该一元二次方程为 _______________ ．9 . 若2 b ( b ≠ 0 ) 是关于 x 的方程 x 2 － 2 a x ＋ 3 b ＝ 0 的根，则 a － b 的值为________ .分析：把 2 b 代入方程得 ( 2 b ) 2 － 2 a · 2 b ＋ 3 b ＝ 0 ，即 4 b 2 － 4 ab ＋ 3 b ＝0 ，提取公因式 b 得， b ( 4 b － 4 a ＋ 3 ) ＝ 0 ，因为b ≠ 0 ，所以 4 b － 4 a ＋ 3 ＝ 0 ，解得 a － b ＝.练习：若n ( n ≠ 0 ) 是关于 x 的方程 2 x 2 ＋ 6 m x － 3 n ＝ 0 的一个根，则 n ＋ 3 m 的值为 ________ .10 . ★★★一元二次方程的应用，掌握三类问题 .（ 1 ）变化率问题．一般方程的形式为 a ( 1 ± x ) 2 ＝ b ， a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．解这类方程使用直接开平方法：先两边同除以a ，再两边开平方即可求解 .例：学校去年年底的绿化面积为 5000 平方米，预计到明年年底增加到 7200 平方米，求这两年的年平均增长率．解：设这两年的年平均增长率为x ，根据题意得：5000 ( 1 ＋ x ) 2 ＝ 7200 ，即 ( 1 ＋ x ) 2 ＝ 1.44 ，开方得： 1 ＋ x ＝ 1.2 或 1 ＋ x ＝－ 1.2 ，解得： x ＝ 0.2 ＝ 20% ，或 x ＝－ 2.2 （舍去）．（ 2 ）市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题．一般设增加或降价 x ，然后用 x 表示变化后每件商品的利润，用 x 表示变化后的销量，最后根据“变化后每件商品的利润×变化后的销量＝总利润”列出方程．例：某商场以每件 280 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360 元时，每月可售出60 件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1 元，那么商场每月就可以多售出 5 件，要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：设每件商品应降价 x 元，则降价后每件商品的利润为 ( 360 － x － 280 ) 元，降价后每月的销量为 ( 5 x ＋ 60 ) 件；由题意，得 ( 360 － x － 280 )( 5 x ＋ 60 ) ＝ 7200 ，解得： x 1 ＝ 8 ， x 2 ＝60∵更有利于减少库存，∴ x ＝ 60 ．注意：要仔细审题，检验方程的两个根是否都符合题意，有时题目中会出现“要使顾客获得最大利益”或“更有利于减少库存”，再或者对商品的价格有具体的要求，这时应判断该舍去哪一个根．练习：某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次（最低档次）的产品一天能生产 100 件，每件利润 5 元．每提高一个档次，每件利润增加 1 元，但一天产量减少 4 件．（ 1 ）求生产第 5 档次的产品一天的总利润为多少元？（ 2 ）若生产第 x （其中 x 为正整数，且1 ≤ x ≤ 10 ）档次的产品一天的总利润为836 元，求该产品的质量档次．（ 3 ）根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题．例：如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ， BC 各为多少米？解析：解：设 AB 的长度为 x ，则 BC 的长度为（ 100 － 4 x ）米．根据题意得 ( 100 － 4 x ) x ＝ 400 ，解得 x 1 ＝ 20 ， x 2 ＝ 5 ．则 100 － 4 x ＝ 20 或 100 － 4 x ＝ 80 ．∵ 80 ＞ 25 ，∴ x 2 ＝ 5 舍去．即 AB ＝20 ， BC ＝ 20 ．练习：某农庄修建一个周长为 120 米的矩形休闲场所ABCD ．矩形内筑一个正方形活动区 EFGH 和连结活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为 6 米，小路的宽均为 2 米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．已知草坪的造价为每平方米 20 元，鹅卵石的造价为每平方米 100 元．设 AB 为 x 米．（ 1 ）用含 x 的代数式表示 BC ；（ 2 ）求铺设鹅卵石区域的面积；（ 3 ）修筑这个矩形休闲场所的总费用 2.784 万元，求 AB 的长．1 1 . （ 1 ）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛．设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，根据题意可列出方程为 _______________ ．（ 2 ）某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了 1560 张照片．如果该班有 x 名同学，根据题意可列出方程为_______________ ．注意：理解什么情况下要除以 2 ，什么情况下不用除以 2.第三章数据分析初步1 . 平均数：表示平均水平，但易受极端值影响．练习：已知甲校共有学生 a 人，其中男生占 45% ；乙校共有学生 b 人，其中男生占 55% ．今甲、乙两校合并成一所新的学校．阅读下面的对话并解答问题：（ 1 ）求新学校中男生的人数（用含 a ， b 的代数式表示）．（ 2 ）你认为在什么情况下小红的答案是正确的．2 . 众数：一组数据中出现次数最多的那个数．表示大多数水平，但如果一组数据出现多个众数时，就没有多大意义，也不能充分利用所有的数据信息．练习：一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，其中各种尺码的销售量如下表所示：尺码（厘米）22 22.5 23 23.5 24 24.5 25销售量（双） 1 2 5 11 7 3 1如果你是鞋店的经理，为了增加销售量，你会最关注哪个统计量（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3 . 中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于最中间位置的一个数据（当有偶数个数据时, 为最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．表示中等水平，但不能充分利用所有的数据信息．练习：某班 20 名女同学的身高统计如下：身高（ m ） 1.50 1.54 1.58 1.62 1.66 1.70人数 2 3 5 4 5 1那么这 20 名女同学的身高的中位数是 _________ ．4 . 方差的计算公式： S 2 ＝[ ( x 1 －) 2 ＋ ( x 2 －) 2 ＋ ( x 3 －) 2 ＋…＋( x n －) 2 ]其中 n 表示数据个数，即样本容量；表示这组数据的平均数．★★★方差表示一组数据的波动大小（离散程度），方差越大，说明数据波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据波动越小，越稳定．练习：（ 1 ）数据 7 、 2 、 6 、 4 、 4 、 3 的方差为 __________ ．（ 2 ）甲、乙两人进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均数都为 8.9 环，方差分别为 S ＝ 0.33 环 2 ， S ＝ 0.48 环 2 ，则两人中成绩较稳定的是 _________ ．5 . 标准差等于方差的算术平方根，即 S ＝．6 . 5 个连续整数的方差是 2 ．例如：－ 2 ， 0 ， 1 ，－ 1 ， 2 这 5 个连续整数的方差等于 2 ；标准差等于．7 . 若一组数据 x 1 ， x 2 ，… ， x n 的平均数为，方差为 S 2 ，则数据 a x 1 ＋b ， a x 2 ＋ b ，… ， a x n ＋ b 的平均数为 a ＋ b ，方差为 a 2 S 2 ．当一组数据的每一个数都加上或减去同一个数时，平均数变成原平均数加上或减去这个数，方差不变；当一组数据的每一个数都变成原数的 a 倍时，平均数变成原平均数 a 倍，方差变成原方差的 a 2 倍．练习：如果数据 x 1 ， x 2 ，… ， x n 的平均数为 3 ，方差为 2 ，则数据 3 x 1 ＋1 ， 3 x 2 ＋ 1 ，… ， 3 x n ＋ 1 的平均数为 ________ ，方差为 _________ ．第四章平行四边形1 . ★★★ n 边形的内角和为 ( n －2 ) × 180°（n ≥3 ）．练习：（ 1 ）一个七边形的内角和是 ________ ．（ 2 ）若一个多边形的内角和是 1260 °，则这个多边形的边数为 _______ ．2 . ★★★任何多边形的外角和为 360°．练习：（ 1 ）已知一个 n 边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为_________ ．（ 2 ）已知一个多边形的每一个内角都是 144 °，则该多边形的边数为 _________ ．3 . n 边形的对角线总数＝．4 . ★★★平行四边形的性质：从边、角、对角线、对称性考虑．边：平行四边形对边平行且相等；角：平行四边形对角相等；对角线：平行四边形对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形．5 . ★★★平行四边形的判定：（ 1 ）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（ 2 ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（ 3 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（ 4 ）对角线互相平分的四边形时平行四边形．练习：已知在四边形 ABCD 中， A B ＝ C D ，添加一个条件： _____________ 可判定该四边形是平行四边形．6 . ★★★中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转 180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．性质：对称中心平分连结两个对称点的线段．练习：下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7 . 在直角坐标系中，点 ( x , y ) 关于原点成中心对称的点是( － x , － y ) ．8 . ★★★三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．练习：（ 1 ）如图，已知矩形 ABCD ， AB ＝ 4 ， BC ＝ 6 ，R 是 CD 的中点， P 是 BC 上的动点， E 、 F分别是 AP 、 RP 的中点，当 P 在 BC 边上移动时， EF 始终等于 ________ .（ 2 ）如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，点 M 是 BC 边上一动点， E 、 F 分别是 AD 、DM 的中点，则 EF 的最大值是 __________ ．9 . 中点四边形：连结四边形四条边上的中点构成的四边形，该四边形是平行四边形．若一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形的中点四边形是矩形；若一个四边形的对角线相等，则这个四边形的中点四边形是菱形．10 . ★★★反证法：应假设结论不成立！练习：用反证法证明“在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60 ° ”时，应假设 _______________ ．练习：用反证法证明“ 在三角形的内角中，最多有一个角是直角或钝角” 时，应假设 _________________ ．1 1 . ★★★在直角坐标系中，已知三个点的坐标，求第四个点的坐标使之与已知的三个点构成平行四边形，则第四个点的坐标有 3 个．例：在平面直角坐标系中，已知 A ( － 1 , 3 ) ， B ( 2 , 3 ) ， C ( 1 , － 3 ) ， D ( a , b ) ，若以 A ， B ， C ， D 为顶点的四边形恰好是平行四边形，则点 D 的坐标为 ________________________ .分析：先画出图形，发现顶点 D 有 3 种情况 . 然后利用平移的方法分别求出 .（ 1 ）求 D 1 ： B ( 2 , 3 ) 平移到 A ( － 1 , 3 ) 是横坐标减去 3 ，纵坐标不变，则 C ( 1 , － 3 ) 平移到 D 1 ( a , b ) 也是横坐标减去 3 ，纵坐标不变，即 D 1 ( － 2 , － 3 ) .（ 2 ）求 D 2 ： A ( － 1 , 3 ) 平移到 B ( 2 , 3 ) 是横坐标加上 3 ，纵坐标不变，则 C ( 1 , － 3 ) 平移到 D 2 ( a , b ) 也是横坐标加上 3 ，纵坐标不变，即 D 2 ( 4 ,－ 3 ) .（ 3 ）求 D 3 ： C ( 1 , － 3 ) 平移到 B ( 2 , 3 ) 是横坐标加上 1 ，纵坐标加上 6 ，则 A ( － 1 , 3 ) 平移到 D 3 ( a , b ) 也是横坐标加上 1 ，纵坐标加上 6 ，即 D 2 ( 0 , 9 ) .由于平行四边形对角线互相平分，所以也可以利用中点公式求第四个顶点坐标（最后补充中有介绍） .练习：在平面直角坐标系中，已知 A ( 1 , 3 ) ， B ( － 2 , 5 ) ， C ( － 3 , － 4 ) ，D ( a , b ) ，若以 A ， B ， C ， D 为顶点的四边形恰好是平行四边形，则点 D 的坐标为 __________________________________ .第五章特殊平行四边形1 . ★★矩形的性质：（ 1 ）矩形的四个角都是直角；（2 ）矩形的对角线相；（3 ）具有平行四边形的所有性质 .2 . ★★矩形的判定：（ 1 ）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ 2 ）对角线相等的平行四边形是矩形；（3 ）有三个角是直角的四边形是矩形 .练习：如图，在□ ABCD 中，（ 1 ）请添加一个条件： ______________ ，使得□ ABCD 成为矩形．（ 2 ）请添加一个条件： ______________ ，使得□ ABCD 成为菱形．3 . ★★菱形的性质：（ 1 ）菱形的四条边都相等；（ 2 ）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（ 3 ）具有平行四边形的所有性质 .4 . ★★菱形的判定：（ 1 ）定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（ 2 ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（ 3 ）四条边都相等的四边形是菱形 .注意：要证明一个四边形是矩形或菱形时，一般先证明该四边形是平行四边形，再根据边或对角线的关系证明其是矩形或菱形 .5 . ★★正方形的性质：矩形的性质＋菱形的性质 .6 . ★★正方形的判定：先判定是矩形或菱形，再根据角、边或对角线的关系证明其是正方形 .练习：已知在四边形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝ 90 °，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，则这个条件可以是 _____________ ．第六章反比例函数1 . ★★★反比例函数的三种形式：（ 1 ） y ＝；（2 ） k ＝ xy ；（3 ） y ＝kx － 1 . （k ≠ 0 ）例 1 ：反比例函数 y ＝－的比例系数为 _________ .分析：错解：答案为 3 或－ 3 ；正解：－. 技巧：只需把 x 去掉，剩下部分就是比例系数 .例 2 ：已知 y 是关于 x 的反比例函数，当 x ＝时， y ＝－ 4 ，则这个反比例函数的表达式为 ______ .分析：利用 k ＝ xy 很容易求出比例系数 k 的值，结果写成 y ＝形式 .例 3 ：若函数 y ＝ ( n － 1 ) x n 2 － 2 是反比例函数， n ＝ ________ .分析：由 y ＝ kx － 1 可得 n 2 － 2 ＝－ 1 ， n ＝ ± 1 ；但由于 n －1 ≠ 0 ，n ≠ 1 ，所以 n ＝－ 1 .2 . ★★★反比例函数的图象和性质：图象形状：双曲线． k ＞ 0 ，图象在第一、三象限，在每一个象限内，图象从左到右下降， y 随 x 的增大而减小； k ＜ 0 ，图象在第二、四象限，在每一个象限内，图象从左到右上升， y 随 x 的增大而增大 .注意：反比例函数的增减性是指在某一个象限内 . 我们不能说当 k ＞ 0 时， y 随 x的增大而减小 .例 1 ：已知 ( x 1 , y 1 ) ， ( x 2 , y 2 ) ， ( x 3 , y 3 ) 是反比例函数 y ＝－的图象上的三个点，且 x 1 ＜ x 2 ＜ 0 ， x 3 ＞ 0 ，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系是（）A ． y 2 ＜ y 1 ＜ y 3B ． y 3 ＜ y 1 ＜ y 2C ． y 1 ＜ y 2 ＜ y 3D ． y 3 ＜ y 2 ＜y 1分析：利用图象求解 . 先在 x 轴上找到满足条件的 x 1 ， x 2 ， x 3 ，再在 y 轴上找到相应的 y 1 ， y 2 ， y 3 ，观察上下位置即可得到结论 .例 2 ：已知反比例函数 y ＝，当 x ＞－ 1 ， y 的取值范围是 _____________ .分析：必须得画图象求解！先画出直线 x ＝－ 1 ， x ＞－ 1 表示在直线 x ＝－ 1的右侧，找到函数图象在直线x ＝－ 1 右侧的部分，再找到这部分图象在 y 轴上的投影（一定要细心），最后写出取值范围 .例 3 ：如图，一次函数 y 1 ＝ k 1 x ＋ b 的图象和反比例函数 y 2 ＝的图象交于 A ( 1 ， 2 ) ， B ( － 2 ，－ 1 ) 两点，若 y 1 ＜ y 2 ，则 x 的取值范围是（）A ． x ＜ 1B ． x ＜－ 2C ．－ 2 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 1D ． x ＜－ 2 或 0 ＜ x ＜ 1分析：过 A 、 B 两点画 y 轴的平行线，这两条直线和 y 轴把坐标平面分成 4 个部分；y 1 ＜ y 2 表示 y 1 的函数图象在 y 2 的函数图象的下方，即直线在曲线的下方，由图象可知是①和③两部分，所以 x 的取值范围是 x ＜－ 2 或 0 ＜ x ＜ 1 .3 . ★★反比例函数 k 的几何意义：过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴和 y 轴的垂线，则两垂线与 x 轴、 y 轴所围成的矩形面积等于 | k | .例 1 ：如图，点 P 在反比例函数 y ＝的图象上，矩形 PMON 的面积等于 3 ，则 k ＝ ______ .分析：错解： k ＝ 3 ，没有考虑图象所在的象限 . 正解：根据 k 的几何意义得， | k | ＝ 3 ，k ＝ ± 3 ，由于反比例函数图象在第二、四象限， k ＜ 0 ，所以 k ＝－ 3 .例 2 ：如图，直线 x ＝ t ( t ＞ 0 ) 与反比例函数 y ＝， y ＝的图象分别交于 B 、 C 两点， A 为 y 轴上的任意一点，则△ ABC 的面积为（）A ． 3B ． tC ．D ．不能确定分析：连结 OB 、 OC ，由于△ ABC 和△ OBC 是同底等高的两个三角形，故面积相等，利用反比例函数 k 的几何意义就很容易求出△ OBC 的面积 .4 . ★★★反比例函数 y 1 ＝与一次函数 y 2 ＝ k 2 x ＋ b 综合题（ 1 ）求两个函数的交点坐标 . 把这两个函数的解析式等起来，即＝ k 2 x ＋ b ，即可求出交点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数或一次函数求出纵坐标 .（ 2 ）求两交点与原点构成的三角形的面积 . 像这种，无法直接用面积公式计算的，可以用割或补的方法求解 . 例如，如图，方法 1 ： x 轴或 y 轴把△ AOB 分成两个三角形；方法 2 ：在△ AOB 周围补成一个长方形 .（ 3 ）求反比例函数的值小于一次函数的值时 x 的取值范围 . 该问题还可以这样表述：“求当 y 1 ＜ y 2 时， x 的取值范围”、“求不等式＜ k 2 x ＋ b 的解”、“求不等式－ b ＜ k 2 x 的解” .（ 4 ）反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称 . 例如，若一个交点坐标为（ 2 ，－ 1 ），则另一个交点坐标为（－ 2 ， 1 ） .5 . ★★★反比例函数与几何图形综合题例 1 ：如图，点 A 是反比例函数 y ＝( x ＞ 0 ) 的图象上任意一点，AB ∥ x 轴交反比例函数 y ＝－的图象于点 B ，以 AB 为边作□ ABCD ，其中 C 、 D在 x 轴上，则 S □ ABCD 为（）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5分析：当 BC 、 AD 与 x 轴垂直时，也满足题意，此时□ABCD 的面积就很容易利用 k 的几何意义求出 .例 2 ：如图，四边形 OABC 和 ADEF 均为正方形，反比例函数 y ＝的图象分别经过 AB 的中点 M 及 DE 的中点 N ，则正方形 ADEF 的边长为 ________ .分析：由于点 M 在反比例函数图象上，故设 M ( a ，) ，结合图象可知，OA ＝ a ， AM ＝，由于 M 为 AB 中点， OA ＝ AB ，所以 OA ＝ 2 AM ，即 a ＝ 2 × ，解得 a ＝ ± 4 ，∵ a ＞ 0 ，∴ a ＝ 4 ，即正方形 OABC 的边长为 4 . 接下来有两种方法 .方法 1 ：根据几何图形中的数量关系设参数 t ，用 t 表示点 N 的坐标，然后代入反比例函数求解 .设正方形 ADEF 的边长为 t ，则 AD ＝ t ， OD ＝ 4 ＋ t ，由于 N 为 ED 中点，所以DN ＝t ，所以点 N 的坐标为 ( 4 ＋ t ， t ) ；∵ 点 N 在反比例函数 y ＝的图象上，∴ ( 4 ＋ t ) × t ＝ 8 ，解得 t ＝－ 2 ± 2 ，∵ t ＞ 0 ，∴ t ＝－ 2 ＋ 2 ，即正方形 ADEF 的边长为 2 － 2 .方法 2 ：根据反比例函数设参数 t ，用 t 表示点 N 的坐标，然后根据几何图形中的数量关系求解 .由于点 N 在反比例函数图象上，故设 N ( t ，) ，结合图象可知， OD ＝ t ， DN ＝，∵ OA ＝ 4 ，∴ AD ＝ OD － OA ＝ t － 4 ，∵ N 为 ED 中点，∴ ED ＝ 2 DN ＝，∵ AD ＝ ED ，∴ t － 4 ＝，解得 t ＝ 2 ± 2 ，∵ t ＞ 0 ，∴ t ＝ 2 ＋ 2 ，∴ AD ＝ t － 4 ＝ 2－ 2 ，即正方形 ADEF 的边长为 2 － 2 .注意：大部分反比例函数和几何图形的综合题都需要设参数列方程求解 . 一般的方法就是上面所说的这两种 .补充1 . 等边三角形边长为 a ，则高 h ＝ a ，面积 S ＝ a2 .练习：已知等边三角的的边长为，则高为 ________ ，面积为 __________ ．2 . 含 30 °角的直角三角形的三边比为1 ∶ ∶ 2 ，如图，BC ∶ AC ∶ AB ＝1 ∶ ∶ 2 .练习：如图，在 Rt △ ABC 中，∠ A ＝ 30 °， AC ＝ 3 ，则 BC ＝ ______ ， AB ＝_______ ．3 . 直角三角形斜边上的高＝两条直角边的乘积除以斜边 . 练习：如上题图，点 C 到 AB 的距离＝ _______.4 . 对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半 . （比如菱形）5 . 中点坐标公式：若 A ( x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ，则 AB 中点坐标为.例：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，已知 A ( － 2 , 4 ) ， B ( 3 , 1 ) ， C ( 6 ,3 ) ，则 D 点的坐标是 ___________ .分析：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AC和 BD 互相平分，即 AC 的中点和 BD 的中点是同一个点，∴根据中点公式得，＝，即 x A ＋ x C ＝ x B ＋ x D ，也就是－ 2 ＋ 6 ＝3 ＋ x D ， x D ＝ 1 ；同样地，＝，即 y A ＋ y C ＝ y B ＋ y D ，也就是 4 ＋ 3 ＝ 1 ＋ y D ， yD ＝ 6 . 故 D 点的坐标是 ( 1 , 6 ) .6 . 两点间距离公式：若 A ( x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ，则 AB ＝．7 . 翻折问题通常解题思路：找翻折前后相等的线段，设未知数，找直角三角形，用勾股定理列方程计算 .例：如图，菱形纸片 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，AC ＝ 16 ， BD ＝ 12 ，折叠纸片使线段 DO 落在边 DA 上，折痕交 AO 于点 P ，则 DP 的长为 ________ .分析：先作出折叠后 O 点的位置，如图，点 E 就是点 O 折叠后的点，即 DE ＝ DO ，∵ PO ⊥ DO ，∴ PE ⊥ AD ；∵ OD ＝BD ＝ 6 ， OA ＝AC ＝ 8 ， AC ⊥ BD ，∴ AD ＝ 10 ，∵ DE ＝ DO ＝ 6 ，∴ AE ＝ AD － DE ＝ 4 ；设 PO ＝ x ，则 PE ＝ PO ＝ x ， AP ＝ 8 － x ，在 Rt △ APE 中， AE 2 ＋ PE 2 ＝ AP 2 ，即 4 2 ＋ x 2 ＝ ( 8 － x ) 2 ，解得 x ＝ 3 ，∴ DP ＝＝＝ 3 .8 . 如图， S 1 ＋ S 3 ＝ S 2 ＋ S 4 S 1 × S 3 ＝S 2 × S 49 . 反比例函数图象既关于原点成中心对称，又关于直线 y ＝ x 成轴对称 .图象越靠近坐标轴， | k | 越小；越远离坐标轴， | k | 越大 .例：如图， k 1 ＜ 0 ＜ k 2 ＜ k 310 . 如图 1 ，求△ MON 的面积可通过图 2 和图 3 的方法求解 .图 2 中， S △ MON ＝ S 矩形 OEGF － S △ OEM － S △ OFN － S △ GMN ，图 3 中， S △ MON ＝ S 梯形 ABNM11 . 几种基本图形 .（ 1 ）平行线＋角平分线结论： AC ＝ AB （ 2 ）同角或等角的余角相等13 . 动态几何问题中求定值的方法：特殊图法 .例 2 ：如图 1 ，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起， O 1 、 O 2 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 __________ .分析：由题意可知，阴影部分的形状是在变化的，但是面积却不变，所以可以在如图 2 中求阴影部分的面积，显然阴影部分的面积等于一个正方形面积的一半 .14 . 关于 x 的方程 m ( x ＋ h ) 2 ＋ k ＝ 0 （ m ， h ， k 均为常数，m ≠ 0 ）的解是 x 1 ＝－ 3 ， x 2 ＝ 2 ，则方程 m ( x ＋ h － 3 ) 2 ＋ k ＝ 0 的解是 ________ ．分析：先写出一个以－ 3 ， 2 为根的一元二次方程 ( x ＋ 3 )( x － 2 ) ＝ 0 ，再变形成题目中的形式，即 ( x ＋) 2 －＝ 0 ，所以 m ＝ 1 ， h ＝， k ＝－，最后只要解这个方程 ( x ＋－ 3 ) 2 －＝ 0 即可．本题更简单的方法是运用整体思想，把方程看成 m ( □＋ h ) 2 ＋ k ＝ 0 ，那么□内只能填－ 3 或 2 ，当□是用x － 3 表示时， x － 3 ＝－ 3 或 2 ，所以 x ＝ 0 或 5 .。
浙教版初二下学期期末数学综合复习资料一
初二下学期期末数学综合复习资料（一）_____班 姓名__________ 学号___________ 成绩_________一、选择题（每题2分，共36分）1、如果x--21是二次根式，那么x 应满足的条件是（ ） A 、x ≠2的实数 B 、x ＜2的实数C 、x ＞2的实数D 、x ＞0且x ≠2的实数2、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）A 、三角形B 、四边形C 、五边形 Ｄ、六边形3、在12、32x 、5.0中、22y x -、x 73中，最简二次根式的个数有（ ）Ａ、４ Ｂ、３ C 、2 D 、1４、即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、菱形 Ｂ、等腰梯形 Ｃ、平行四边形 Ｄ、等腰三角形５、下面结论正确的是（ ）A 、无限小数是无理数B 、无理数是开方开不尽的数C 、带根号的数是无理数D 、无限不循环小数是无理数6、一个多边形的内角和与外角的和为540°，则它是( )边形。
A 、5B 、4C 、3D 、不确定7、计算38-的值为（ ）A 、－2 Ｂ、２ Ｃ、±２ Ｄ、22-８、矩形各内角的平分线能围成一个（ ）Ａ、矩形 Ｂ、菱形 Ｃ、等腰梯形 Ｄ、正方形 ９、二次根式21x +中x 的取值范围是（ ）Ａ、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ≠－1 D 、一切实数10、平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相平分C 、对角线互相垂直D 、对角形互相垂直平分11、计算2)3(π-的值是（ ）A 、π-3B 、－0.14C 、 3-πD 、 2)3(π-12、矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝5cm ，则矩形的对角线长是（ ）A 、5cmB 、10cmC 、cm 52D 、2.5cm13、161的算术平方根是（ ）A 、41B 、41-C 、21D 、±21 14、直角梯形的一个内角为120°，较长的腰为6cm ，一底为5cm ，则这个梯形的面积为( )A 、23221cmB 、23239cmC 、2325cmD 、 23221cm 或23239cm 15、将11)1(---c c 中的根号外的因式移入根号内后为（ ） A 、c -1 B 、1-c C 、 1--c D 、 c --1 16、下面四组二次根式中，同类二次根式是（ ）A 、181163和-B 、ac b b a 435)1(9+和 C 、)(625y x yx x y ++和 D 、175)1(1253++c c 与 17、不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ）A 、AB ＝CD AB ∥CD B 、∠A ＝∠C ∠B ＝∠DC 、AB ＝AD BC ＝CD D 、AB ＝CD AD ＝BC18、若12,1212+++=x x x 则等于（ ）A 、2B 、22+C 、2D 、12- 二、填空题(每题3分，共15分)1、一个菱形的两条对角线分别为12cm 、16cm ，这个菱形的边长为______；面积S ＝_________。
浙教版八年级数学下册各章期末复习讲义.doc
浙教版八年级数学下册各章期末复习讲义第一章《二次根式》复习1、下列各式中不是二次根式的是（ ）A.12+xB.4-C.0D.()2b a -2、下列各式是二次根式的是（ ）3、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A B D 4、下列各式中，是二次根式是（ ）.5、若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ）A.0B.1C. -1D. 2 6、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴21， ⑵16-， ⑶9+a ， ⑷12+x ， ⑸222++a a ，⑹x -（0≤x ）， ⑺()23-m 。
答：_____________________7、已知1y =，则yx= 。
8、若x 、y 都为实数，且152********+-+-=x x y ，则y x +2=________。
1、x （ ） （A ）x ＞45 （B ）x ＜54 （C ）x ≥54- （D ） x ≤54- 2、如果x--35是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ） A 、x ≥3 B 、x ≤3 C 、x ＞3 D 、x ＜33有意义的x 取值范围是（ ）－112A ．2x ≠-B ．32x x <≠-且，C ．32x x ≠且，≤D ．32x x ≠-且，≤ 4、求下列二次根式中字母x 的取值范围： ⑴ 12-x ⑵ 32+x ⑶ 52-x ⑷ x x --+22 ⑸ 11-+x x ⑹ x x-22 (7)xx --+315 (8)22)-(x5、使代数式8a a -+有意义的a 的范围是（ ）A.0>aB.0<aC.0=aD.不存在四、两个基本性质：①)0()(2≥=a a a ②的应用1、化简：21(3)a a -+-的结果为（ ）A.4—2aB.0C.2a —4D.4 2、若2<x<5化简得（22)5()1(---x x ） A.6—2x B.2x —6 C.4 D.—4 3、若a a -=2，则（ ）A.a 是整数B.a 是正实数C.a 是负数D.a 是负实数或零 4、2()a a =成立的条件是 ．5、化简2)21(-= , 6、计算：26()7= ，21(6)_______.2-= =+2)2332( 。
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数学：期末综合复习资料7(浙教版八年级下)
初二下学期期末数学综合复习资料（七）1、已知:如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ＝CD ， AD ∥BC ， DE ∥CA 交BA 的延长线于点E 。
求证：ED ·AB ＝EA ·BDE DCBAFOED CBAP CBA2、已知：如图，AB ∥CD ，AF ＝BF ，EC ＝EB 。
求证：OC 2＝OF ·OD3、已知:如图， △ABC 中，BC ＝8cm ，AB ＝AC ＝5cm ， 一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm ／秒的速度移动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，求P 点的运动时间t 。
4、已知:如图，D 为△ABC 的边AC 上任意一点，延长CB 到E ，使BE ＝AD ，连结ED 交AB 于点F 。
求证:EF ·BC ＝FD ·AC 。
FEDCB AMGFEDCBA5、已知梯形ABCD 中，DC ∥AB ，在下底AB 上取AE ＝EF ，连结DE 、CF 并延长交于点G ，AC 与DG 交于点M 。
求证: DG ·ME ＝EG ·DM 。
6、已知:如图，D 为△ABC 内一点，连结AD 、BD ，以BC 为边，在△ABC 的形外作△BCE ，使∠EBC ＝∠ABD ，∠ECB ＝∠DAB 。
求证:∠BDE ＝∠BAC 。
EDCBANMCBA7、已知:如图，在△ABC 中， ∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N 。
求证:AB ·BM ＝AM ·BN 。
8、如图:在大小为4×4的正方形方格中， △ABC 的顶点A 、B 、C 在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A 1B 1C 1 ，使△A 1B 1C 1∽△ABC （相似比不为1），且点A 1 、B 1 、C 1 都在单位正方形的顶点上。
CBAPSFEDCBA9、已知:如图，在平行四边形ABCD 中，线段EF ∥BC ，BE 、CF 相交于点S ，AE 、DF 相交于点P ，求证:SP ∥AB 。
浙教版八下数学期末复习
八下期末复习（二）一．选择题（共11小题）1．若，则化简的结果是（）A．2a﹣3 B．﹣1 C．﹣a D．12．已知a，b是实数，x=a2+b2+24，y=2（3a+4b），则x，y的大小关系是（）A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．不能确定3．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A． B． C． D．4．宁波市测得三月份某一周的PM2.5的日均值（单位：微克每立方米）如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（）A．40和40 B．50和40 C．40和50 D．50和505．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，BC：CD=3：2，AB=EC，则∠EAF=（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（）A．1 B．﹣1 C． D．2﹣7．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°8．如图，在矩形ABCD 中，有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②S △ABO =S △ADO ；③AC=BD ；④AC ⊥BD ；⑤当∠ABD=45°时，矩形ABCD 会变成正方形．正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB=3，E 为OC 上一点，OE=1，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是（ ）A ．B ．2C ．D ．10．如图，已知点A （1，0），B （0，2），以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线CD 与y 轴交于点G ，再以DG 为边在第一象限内作正方形DEFG ，若反比例函数y=的图象经过点E ，则k 的值是（ ）A ．33B ．34C ．35D ．3611．设M （m ，n ）在反比例函数y=﹣上，其中m 是分式方程﹣1=的根，将M 点先向上平移4个单位，再向左平移1个单位，得到点N ．若点M ，N 都在直线y=kx +b 上，直线解析式为（ ）A．y=﹣x﹣ B．y=x+C．y=4x﹣5 D．y=﹣4x+5二．填空题（共7小题）12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，边BC∥x轴，顶点A，B均落在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点F，过点C作DE∥AF，分别交OA，OF于点D，E．若OD=2AD，则△ACD与四边形BCEF的面积之比为．13．已知a，b为实数，且满足+=b﹣2，则的值为14．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a ≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是．15．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF=56°，则∠B=°．17．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）．则点F的坐标是．三．解答题（共8小题）19．计算（1）+﹣（2）﹣•（1+）．20．解方程：（1）4（x﹣1）2=9（x﹣5）2（2）x2+3=3x21．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1=0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m=0．（1）若x=1是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根；（2）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（3）当m为何值时，此方程的一根为另一根的两倍．23．A，B，C三名学生竞选校学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行统计，如表一和图一：表一：A B C笔试859590口试8085（1）请将表一和图一中的空缺部分补充完整．（2）竞选的最后一个程序是由本校的300名学生进行投票，A，B，C三位候选人的得票数依次为105，120，75（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），若每票计1分，学校将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．24．如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BF=DE，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接DE、EH、HF、FG；求证：四边形GEHF是平行四边形．25．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．26．如图，直线11：y1=k1x+b与反比例y=相交于A（﹣1，6）和B（﹣3，a），直线12：y2=k2x与反比例函数y=相交于A、C两点，连接OB．（1）求反比例函数的解析式和B、C两点的坐标；（2）根据图象，直按写出当k1x+b＞时x的取值范围；（3）求△AOB的面积；（4）点P是反比例函数第二象限上一点，且点P的横坐标大于﹣3，小于﹣1，连接PO并延长，交反比例函数图象于点Q．①试判断四边形APCQ的形状；②当四边形APCQ的面积为10时，求点P的坐标．八下期末复习（二）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．若，则化简的结果是（）A．2a﹣3 B．﹣1 C．﹣a D．1【分析】根据a的取值范围，进而化简求出即可．【解答】解：∵，∴=﹣（2﹣a）=a﹣1﹣2+a=2a﹣3．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简和估计无理数的大小，正确开平方以及去绝对值是解题关键．2．已知a，b是实数，x=a2+b2+24，y=2（3a+4b），则x，y的大小关系是（）A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．不能确定【分析】判断x、y的大小关系，把x﹣y进行整理，判断结果的符号可得x、y 的大小关系．【解答】解：x﹣y=a2+b2+24﹣6a﹣8b=（a﹣3）2+（b﹣4）2﹣1，∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，﹣1＜0，∴无法确定（x﹣y）的符号，即无法判断x，y的大小关系．故选：D．【点评】考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大．3．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选：D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．4．宁波市测得三月份某一周的PM2.5的日均值（单位：微克每立方米）如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（）A．40和40 B．50和40 C．40和50 D．50和50【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：从小到大排列此数据为：37、40、40、50、50、50、75，数据50出现了三次最多，所以众数为50；50处在第4位是中位数．故选：D．【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，BC：CD=3：2，AB=EC，则∠EAF=（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】设BC=3x，则CD=2x，由平行四边形的性质得出AB=CD=2x，AB∥DC，由已知条件得出∠BAF=90°，EC=2x，得出BE=AB，证出∠BAE=30°，即可得出∠EAF的度数【解答】解：设BC=3x，则CD=2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=2x，AB∥DC，∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=90°，AF⊥AB，∴∠BAF=90°，∵AB=EC，∴EC=2x，∴BE=BC=EC=x=AB，∴∠BAE=30°，∴∠EAF=90°﹣30°=60°，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAE=30°是解决问题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（）A．1 B．﹣1 C． D．2﹣【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD=90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，∴∠D=180°﹣∠BCD=60°，AB=CD=2，∵AM=DM=DC=2，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，∴∠MAC=∠MCA=30°，∴∠ACD=90°，∴AC=2，在Rt△ACN中，∵AC=2，∠ACN=∠DAC=30°，∴AN=AC=，∵AE=EH，GF=FH，∴EF=AG，易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值为，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于中考选择题中的压轴题．7．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（）A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立矩形解答即可．【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时， 第一步应先假设每一个内角都小于60°，故选：B ．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．8．如图，在矩形ABCD 中，有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②S △ABO =S △ADO ；③AC=BD ；④AC ⊥BD ；⑤当∠ABD=45°时，矩形ABCD 会变成正方形．正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据矩形的性质、正方形的判定方法逐项分析即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=BO=DO=CO ，AC=BD ，故①③正确；∵BO=DO ，∴S △ABO =S △ADO ，故②正确；当∠ABD=45°时，则∠AOD=90°，∴AC ⊥BD ，∴矩形ABCD 变成正方形，故⑤正确，而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，∴正确结论的个数是4个．故选：C ．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及正方形的判定，解题的根据是熟记各种特殊几何图形的判定方法和性质．9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（）A． B．2 C． D．【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，∵AF⊥BE，∴∠EBO=∠GAO，在△GAO和△EBO中，，∴△GAO≌△EBO，∴OG=OE=1，∴BG=2，在Rt△BOE中，BE==，∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，∴△BFG∽△BOE，∴=，即=，解得，BF=，故选：A．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．10．如图，已知点A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线CD与y轴交于点G，再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG，若反比例函数y=的图象经过点E，则k的值是（）A．33 B．34 C．35 D．36【分析】作EH⊥x轴于H，求出AB的长，根据△AOB∽△BCG，求出DG的长，再根据△AOB∽△EHA，求出AE的长，得到答案．【解答】解：作EH⊥x轴于H，∵OA=1，OB=2，由勾股定理得，AB=，∵AB∥CD，∴△AOB∽△BCG，∴CG=2BC=2，∴DG=3，AE=4，∵∠AOB=∠BAD=∠EHA=90°，∴△AOB∽△EHA，∴AH=2EH，又AE=4，∴EH=4，AH=8，点E的坐标为（9，4），k=36，故选：D．【点评】本题考查的是正方形的性质和反比例函数图象上点的特征，运用相似三角形求出图中直角三角形两直角边是关系是解题的关键，解答时，要认真观察图形，找出两正方形边长之间的关系．11．设M（m，n）在反比例函数y=﹣上，其中m是分式方程﹣1=的根，将M 点先向上平移4个单位，再向左平移1个单位，得到点N．若点M，N都在直线y=kx+b上，直线解析式为（）A．y=﹣x﹣ B．y=x+C．y=4x﹣5 D．y=﹣4x+5【分析】解分式方程得到m=2，根据M（m，n）在反比例函数y=﹣上，得到M （2，﹣3），由将M点先向上平移4个单位，再向左平移1个单位，得到点N，得到N（1，1），解方程组即可得到结论．【解答】解：解分式方程﹣1=得，x=2，∵m是分式方程﹣1=的根，∴m=2，∵M（m，n）在反比例函数y=﹣上，∴n=﹣3，∴M（2，﹣3），∵将M点先向上平移4个单位，再向左平移1个单位，得到点N，∴N（1，1），∵点M，N都在直线y=kx+b上，∴，解得，∴直线解析式为：y=﹣4x+5，故选：D ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式方程的解，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形变换﹣平移，正确的理解题意是解题的关键．二．填空题（共7小题）12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，边BC ∥x 轴，顶点A ，B 均落在反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）的图象上，延长AB 交x 轴于点F ，过点C 作DE ∥AF ，分别交OA ，OF 于点D ，E ．若OD=2AD ，则△ACD 与四边形BCEF 的面积之比为 1：6 ．【分析】连接OC ，延长AC 交x 轴于G ，过B 作BH ⊥x 轴于H ，过A 作AP ⊥y 轴于P ，延长BC 交y 轴于Q ，依据反比例函数系数k 的几何意义，即可得到S 矩形APQC =S 矩形BCGH ，进而得出S 矩形APQC =S 矩形BCGH ，再根据S △AOC =S 矩形APQC ，OD=2AD ，即可得到S △ACD =S △AOC =×S 矩形APQC ，即S 矩形BCEF =6S △ACD ．【解答】解：如图，连接OC ，延长AC 交x 轴于G ，过B 作BH ⊥x 轴于H ，过A 作AP ⊥y 轴于P ，延长BC 交y 轴于Q ，由点A ，B 均落在反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）的图象上，可得S 矩形APOG =S 矩形BQOH ， 即S 矩形APQC =S 矩形BCGH ，由BC ∥GF ，可得S 矩形BCEF =S 矩形BCGH ，∴S 矩形APQC =S 矩形BCEF ，∵AC ∥PO ，∴S △AOC =S 矩形APQC ，又∵OD=2AD ，∴S △ACD =S △AOC =×S 矩形APQC =S 矩形BCEF ，即S 矩形BCEF =6S △ACD ，∴△ACD 与四边形BCEF 的面积之比为1：6，故答案为：1：6．【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时注意：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．13．已知a，b为实数，且满足+=b﹣2，则的值为4【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵a，b为实数，且满足+=b﹣2，∴a=8，b=2，则==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a的值是解题关键．14．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a ≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x3=0，x4=﹣3．【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，m，b 均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，解得x=0或x=﹣3．故答案为：x3=0，x4=﹣3．【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．15．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么小明的总成绩为88分．【分析】根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．【解答】解：∵笔试按60%、面试按40%，∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88（分）；故答案为：88．【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF=56°，则∠B= 56°．【分析】根据四边形的内角和等于360°求出∠C，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可得解．【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°，在四边形AECF中，∠C=360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC=360°﹣56°﹣90°﹣90°=124°，在▱ABCD中，∠B=180°﹣∠C=180°﹣124°=56°．故答案为：56．【点评】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，熟记平行四边形的邻角互补是解题的关键．17．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF=CD=BG，结合平行即可证得②结论成立，由BD=2BC得出BO=BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP=BE，AO=EO，通过证△APG≌△EPG得出AG=EG=EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO=BD=BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP=∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④成立．故答案为：①②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）．则点F的坐标是（6，）．【分析】将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先求得点B 的坐标，然后求得直线BC的解析式，求得直线和双曲线的交点坐标即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，∴点C的坐标为C（8，4），设OB=x，则BC=x，BN=8﹣x，在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2=42，解得：x=5，∴点B的坐标为B（5，0），设直线BC的函数表达式为y=ax+b，∵直线BC过点B（5，0），C（8，4），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣，根据题意得方程组，解此方程组得：或．∵点F在第一象限，∴点F的坐标为（6，）．故答案为：（6，）．【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点、待定系数法确定反比例函数的解析式等知识，解题的关键是能够根据点C的坐标确定点B的坐标，从而确定直线的解析式．三．解答题（共8小题）19．计算（1）+﹣（2）﹣•（1+）．【分析】（1）先将各项化简，再合并即可得出结论；（2）先将=﹣1代入原式，再利用二次根式的运算规则，即可求出结论．【解答】解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=﹣1﹣（+3），=﹣1﹣﹣3，=﹣4．【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序与化简的方法是解决问题的关键．20．解方程：（1）4（x﹣1）2=9（x﹣5）2（2）x2+3=3x【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据公式法，可得答案．【解答】解：（1）方程化简，得4（x﹣1）2﹣9（x﹣5）2=0，因式分解，得[2（x﹣1）+3（x﹣5）][[2（x﹣1）﹣3（x﹣5）]=0于是，得（x﹣13）（5x﹣17）=0x﹣13=0或5x﹣17=0，解得x1=13，x2=；（2）方程化为一般式，得x2﹣3x+3=0，a=1，b=﹣3，c=3，△=b2﹣4ac=18﹣4×1×3=6，x==，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．21．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1=0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值．【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根的判别式得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，解得k≤﹣，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2k﹣1）=1﹣2k，x1x2=k2+1，则1﹣2k=k2+1，可解得k1=0，k2=﹣2，然后根据k的取值范围可确定满足条件的k的值．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，解得k≤﹣，x1+x2=﹣（2k﹣1）=1﹣2k，x1x2=k2+1，∵方程的两根之和等于两根之积，∴1﹣2k=k2+1∴k2+2k=0，∴k1=0，k2=﹣2，而k≤﹣，∴k=﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m=0．（1）若x=1是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根；（2）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（3）当m为何值时，此方程的一根为另一根的两倍．【分析】（1）把x=1代入原方程求出m，根据根与系数的关系求出另一根；（2）根据一元二次方程根的判别式解答；（3）设方程的两根分别为x、2x，根据根与系数的关系得到x+2x=m+3，x•2x=3m，列出方程，解方程即可．【解答】（1）解：将x=1代入原方程得：1﹣（m+3）+3m=0，解得：m=1，∴方程的另一根为÷1=3．∴m的值为1，方程的另一根为3．（2）证明：△=[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m=m2﹣6m+9=（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（3）解：设方程的两根分别为x、2x，则x+2x=m+3，x•2x=3m，x=，x2=，则（）2=，整理得，2m2﹣15m+18=0，解得，m1=6，m2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣、两根之积等于”是解题的关键．23．A，B，C三名学生竞选校学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行统计，如表一和图一：表一：A B C笔试859590口试908085（1）请将表一和图一中的空缺部分补充完整．（2）竞选的最后一个程序是由本校的300名学生进行投票，A，B，C三位候选人的得票数依次为105，120，75（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），若每票计1分，学校将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．【分析】（1）根据统计图与表格数据补全即可；（2）利用加权平均数的计算方法分别计算出三人的最后成绩，再选择分数最高的同学即可．【解答】解：（1）A的口语成绩为90；C的笔试成绩90，如图1．（2）A的成绩为=92.5（分），B的成绩为=98（分），C的成绩为=84（分），故B当选．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．24．如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BF=DE，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接DE、EH、HF、FG；求证：四边形GEHF是平行四边形．【分析】由条件可证明△BEG≌△DFH，可得到GE=HF，∠BEG=∠DFH，可证得GE∥HF，可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠HDF，∵AG=CH，BF=DE，∴BG=DH，BE=DF，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS），∴GE=FH，∠BEG=∠DFH，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥FH，∴四边形GEHF为平行四边形．【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①平行四边形⇔两组对边分别平行，②平行四边形⇔两组对边分别相等，③平行四边形⇔一组对边平行且相等，④平行四边形⇔两组对角分别相等，⑤平行四边形⇔对角线互相平分的四边形是平行四边形．25．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．【分析】（1）由平行四边形的判定定理：两组对边分别平行得到结论；（2）由角平分线、等量代换得到角相等，由等角对等边得到BD=AB=5，根据勾股定理列方程求解．【解答】（1）证明：∵∠ADE=∠BAD，∴AB∥DE，∵AE⊥AC，BD⊥AC，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵DA平分∠BDE，∴∠AED=∠BDA，∴∠BAD=∠BDA，∴BD=AB=5，设BF=x，则DF=5﹣x，∴AD2﹣DF2=AB2﹣BF2，∴62﹣（5﹣x）2=52﹣x2，∴x=，∴AF==，∴AC=2AF=．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程．26．如图，直线11：y1=k1x+b与反比例y=相交于A（﹣1，6）和B（﹣3，a），直线12：y2=k2x与反比例函数y=相交于A、C两点，连接OB．（1）求反比例函数的解析式和B、C两点的坐标；（2）根据图象，直按写出当k1x+b＞时x的取值范围；（3）求△AOB的面积；（4）点P是反比例函数第二象限上一点，且点P的横坐标大于﹣3，小于﹣1，连接PO并延长，交反比例函数图象于点Q．①试判断四边形APCQ的形状；②当四边形APCQ的面积为10时，求点P的坐标．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，再由点B在反比例函数图象上即可得出点B的坐标，依据正、反比例的对称性结合点A的坐标即可得出点C的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集；（3）令直线11：y1=k1x+b与x轴的交点坐标为D，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；（4）①根据正、反比例的对称性即可得出P、Q关于原点对称，再结合OA=OC 即可得出四边形APCQ为平行四边形；②连接AP并延长交x轴于点E，设点P坐标为（n，﹣）（﹣3＜n＜﹣1），利用待定系数法即可求出直线AP的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点E的坐标，利用分割图形求面积法结合平行四边形APCQ的面积为10，即可得出关于n的一元二次方程，解方程求出n值，将其代入点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，6）在反比例y=的图象上，∴6=，解得：m=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣．当x=﹣3时，y=2，∵直线12：y 2=k 2x 与反比例函数y=相交于A 、C 两点，且点A （﹣1，6）， ∴点C 的坐标为（1，﹣6）．（2）观察函数图象发现：当﹣3＜x ＜﹣1或x ＞0时，直线11：y 1=k 1x +b 在反比例y=的上方，∴当k 1x +b ＞时x 的取值范围为﹣3＜x ＜﹣1或x ＞0．（3）令直线11：y 1=k 1x +b 与x 轴的交点坐标为D ，如图1所示．将A （﹣1，6）、B （﹣3，2）代入y 1=k 1x +b 中，得：，解得：，∴直线11：y 1=2x +8．当y 1=0时，x=﹣4，∴D （﹣4，0），∴OD=4．∴S △AOB =S △AOD ﹣S △BOD =•OD•（y A ﹣y B ）=×4×（6﹣2）=8．（4）①∵连接PO 并延长，交反比例函致图象于点Q ，∴点P 、Q 关于原点对称，∴OP=OQ ．又∵OA=OC ，∴四边形APCQ 为平行四边形．②连接AP 并延长交x 轴于点E ，如图2所示．设点P 坐标为（n ，﹣）（﹣3＜n ＜﹣1），直线AP 的解析式为y=kx +c ， 将点A （﹣1，6）、P （n ，﹣）代入y=kx +c 中，得：，解得：，∴直线AP 的解析式为y=﹣x +，当y=0时，x=n ﹣1，∴E （n ﹣1，0）．∴S 四边形APCQ =4S △AOP =4וOE•（y A ﹣y P ）=10，整理得：6n 2+5n ﹣6=0，解得：n=﹣或n=（舍去），∴当四边形APCQ的面积为10时，点P的坐标为（﹣，4）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例解析式；（2）根据函数图象的位置关系解不等式；（3）求出点D坐标；（4）①根据四边形对角线互相平分得四边形为平行四边形；②利用面积找出关于n的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用点到直线的距离能够降低难度．。
数学：期末综合复习资料12(浙教版八年级下)
初二下学期期末数学综合复习资料（十二）一、填空题（每小题2分）1、在实数范围内因式分解：44-x ＝ 。
2、当x 时，代数式x--13有意义。
3、6-是 的平方根。
4、若x ＝3＋2，则代数式162+-x x 的值是 。
5、比较大小：－63 －72（填“＞、＜或＝”）6、计算：20022003)23()23(+⋅-＝ 。
7、用4米长的铁丝围成一个平行四边形，使长边与短边的比为3∶2，则长边为 米。
8、矩形ABCD 中，E 是边DC 的中点，△AEB 是等腰直角三角形，矩形ABCD 的周长是24，则矩形的面积是 。
9、正方形的面积为2㎝2，则对角线的长是 。
10、在26个英文大写字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数共有 个。
11一个多边形除一个内角外，其余各内角的和等于°，则这个内角应等于 度。
12观察图形：图中是边长为1，2，3 …的正方形：当边长n ＝1时，正方形被分成2个全等的小等腰直角三角形；当边长n ＝2时，正方形被分成8个全等的小等腰直角三角形；当边长n ＝3时，正方形被分成18个全等的小等腰直角三角形；……以此类推：当边长为n 时，正方形被分成全等的小等腰直角三角形的个数是 。
二、选择题（每小题3分）13、已知：6.3、－327-、π、－3.14、2)5(-、0.101001000…，其中无理数的个数有（ ）A 、 2 个B 、3 个C 、 4 个D 、5个14、下列结论中正确的是（ ）A 、实数分为正实数和负实数B 、没有绝对值最小的实数C 、实数a 的倒数是a1 D 、当n 为奇数时，实数的n 次方根有且仅有一个。
15、把21)2(--a a 根号外的因式移入根号内化简，得到的结果是（ ） A 、2-a B 、a -2 C 、－2-a D 、－a -216、一个直角三角形的两条边是3㎝和4㎝，则第三边长是（ ）A 、5㎝B 、7 ㎝C 、5㎝或 7㎝D 、不能确定17、不等边的两个全等三角形可以拼成不同的平行四边形的个数是（ ）A 、2 个B 、3 个C 、4 个D 、5 个18、下列命题正确的是（ ）A 、对角线相等的四边形是矩形B 、对角线垂直的四边形是菱形C 、对角线互相垂直平分的四边形是矩形D 、对角线相等的菱形是正方形19、从平行四边形的各顶点作对角线的垂线，则顺次连结四个垂足所成的四边形是（ ）A 、任意四边形B 、平行四边形C 、矩形D 、菱形图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∠C ＝30°，BC ＝4㎝，则四边形AEDF 的周长是（ ）A 、4㎝B 、34㎝C 、)32(+㎝ D 、)322(+㎝ F ED C B A21、以线段a ＝16，b ＝13，c ＝10，d ＝6为边构造四边形，且使a ∥c ，则这样的四边形可作（ ）A 、1个B 、2个C 、无数多个D 、0个三、化简题（每题4分）22、n m n m b a b a 1052⋅⋅ 23、1--b b b (b ≥0且b ≠1) 四、计算题（每题4分）24、451－491＋2)21(- 25、(3－2)2·(5＋26)26、y x 3÷2y x ·553y x 五、先化简，再求值（本题6分）27、)2(365222-+⋅-+-m m m m m m m 其中154-=m 六、（本题6分）28、已知，一张矩形纸片ABCD 的边长分别为9㎝和3㎝，把顶点A 和C 叠合在一起，得折痕EF （如图）①猜想四边形AECF 是什么四边形，并证明你的猜想。
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第一章 二次根式1.二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫做二次根式，形如a (a ≥0).2.★★★二次根式有意义的条件：被开方数≥0；分式有意义的条件：分母≠0. 例：2－x 有意义的条件是2－x ≥0，即x ≤2； 1 1－x有意义的条件是1－x ≠0，即x ≠1； 2－x 1－x有意义的条件是2－x ≥0且1－x ≠0，即x ≤2且x ≠1.x 的范围是______________________．3.★★求含字母的二次根式的值.例：当x ＝－4时，求二次根式8－2x 的值.错误解法：（1）8－2x ＝8－2×4＝0；（2）1－2x ＝8－2×(－4)＝16＝±4. 正确解法：8－2x ＝8－2×(－4)＝16＝4.注意：代入负数时一定要注意符号！4.★★★二次根式的性质：(1)(a )2＝a (a ≥0)；(2)a 2＝| a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)－a (a ≤0)； (3)ab ＝a ×b (a ≥0，b ≥0)；(4) a b ＝a b(a ≥0，b ＞0). 注意：性质(2)中，当平方在根号里时，开方后要加上绝对值，再根据去绝对值法则去绝对值.若无法判定绝对值里的数的符号时，应分类讨论.例：(2－2)2＝|2－2|＝2－2（因为2－2是负数，所以去掉绝对值后等于它的相反数.） 练习：（1）(﹣2)2＝__________；(﹣2)2＝__________．（2）(3.14－π)2＝_______________．5.★★最简二次根式必须满足两个条件：（1）根号内不含分母；（2）根号内不含开得尽方的因数或因式.例：下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A ．7B ． 1 2C ．20D ．0.01 解析：B 和D 的根号内是分数，不是最简二次根式，1 2 ＝ 1×2 2×2 ＝22，0.01＝ 1 100 ＝110； C 的被开方数20含有开得尽方的因数4，也不是最简二次根式，20＝4×5＝25.故选A .练习：下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A ． 1 3B ． 3C ．27D ．0.256.★★★二次根式的运算（考试必考，解答题21题）完全平方公式和平方差公式. (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.练习：（1）2×8 （2）(3－1)2＋2(3－1) （3）32－8 （4）(5＋3)2－(5－3)27.分母有理化：例：15－2＝1×(5＋2)(5－2)×(5＋2)＝5＋2. 技巧：利用分数的性质，分子分母同乘以一个式子，使分母可以用平方差公式计算.8.利用题目中的隐含条件——二次根式被开方数≥0解题.例1：已知y ＝2x －1＋1－2x ＋3，则x y ＝_______. 分析：根据二次根式被开方数≥0得，2x －1≥0且1－2x ≥0，即x ≥ 1 2 且x ≤ 1 2 ，所以x ＝ 1 2． 例2：化简(3－2x )2－(2x －5)2原式＝|3－2x |－(2x －5)，要去掉|3－2x |的绝对值，必须知道3－2x 的符号，由于隐含条件2x －5≥0，即x ≥ 5 2，所以3－2x ≤0，所以原式＝2x －3－2x ＋5＝2.练习：已知2017x x -+=，则22017x -＝______________． 9.32的整数部分是_________，小数部分是__________.分析：先把32的3从根号外移到根号内，即32＝9×2＝18，因为16＜18＜25，即4＜18＜5，所以18是一个4点多的数，故32的整数部分是4；小数部分＝32－整数部分＝32－4.练习：27的整数部分是_________，小数部分是__________.第二章 一元二次方程1.★★★一元二次方程满足的三个条件：（1）方程两边都是整式（即字母不在根号里，字母不在分母上）；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2次.注意：判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理（去括号、合并同类项），然后再看是否满足上面这三个条件.练习：下列方程属于一元二次方程的是（ ）（A ）x 2－2x －1＝0 （B ）3x 2＋2 x＝0 （C ）3(x －1)＋2x ＝0 （D ）x 2－6y －3＝02.一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）. ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.练习：一元二次方程(x ＋2)(x －2)＝5x 化成一般形式是______________________．3.★★★解一元二次方程（1）因式分解法：①提公因式；②平方差公式；③完全平方公式；④用十字相乘法.（2）直接开平方法；（3）★★★配方法；当二次项系数为1时才可以进行配方，配上的常数是一次项系数一半的平方.例：用配方法解方程x 2－6x ＋1＝0，则方程可配方为____________________.练习：用配方法解方程x 2－6x －10＝0时，下列变形正确的是（ ）A ．(x －3)2＝19B ．(x －3)2＝10C ．(x －6)2＝19D ．(x －3)2＝1（4）公式法: x ＝－b ±b 2－4ac 2a. 例：（1）2(x －7)2＝14（适合用直接开平方法） （2）x (x －2)＋x －2＝0（适合用因式分解法）（3）x 2＝4x （适合用直接开平方法） （4）x 2－2x －2＝0（适合用因式分解法）4.★★★根的判别式：△＝b 2－4ac当b 2－4ac ＞0，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0，方程没有实数根.例：若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________. 分析：因为方程有两个不相等的实数根，所以△＝b 2－4ac ＞0，即(－2)2－4(k －1)×1＞0，解得k ＜2；又因为一元二次方程的二次项系数≠0，即k ≠1；所以k ＜2且k ≠1.注意：一元二次方程求字母范围时，不要忽略二次项系数不为0这个条件！练习：（1）若关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_______．（2）若关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋2＝0有实数根，则m 的取值范围是____________.5.★一个二次三项式ax 2＋bx ＋c 是完全平方式的条件：b 2－4ac ＝0.特别的，若二次项系数为1时，满足一次项系数一半的平方等于常数项时，也是完全平方式；例：若4x 2＋8(n ＋1)x ＋16n 是关于x 的完全平方式，则满足b 2－4ac ＝0，即[8(n ＋1)]2－4×4×16n ＝0. 练习：若9x 2＋18(n －1)x ＋18n 是一个关于x 的完全平方式，则n ＝_____________．6.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.例：若x＝－2为一元二次方程x2－2x－m＝0的一个根，则m＝________，另一个根为________.分析：把x＝－2代入方程即可解得m的值.在求另一个根时，有两种方法，一种方法是把m的值代入方程，解方程即可；另一种方法是利用韦达定理x1＋x2＝－ba可知两根之和等于2，所以另一个根为4.练习：已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m2－4＝0有一个根是0，则m＝______，另一个根为_____．7.利用韦达定理求值时，几种常见的变形（把代数式变形成由x1＋x2和x1·x2组成）：（1）x12＋x22＝x12＋2x1x2＋x22－2x1•x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2（利用完全平方公式变形）（2）x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)（利用提公因式法因式分解）（3）(x1－x2)2＝x12＋x22－2x1•x2＝(x1＋x2)2－4x1·x2（利用完全平方公式变形）（4）x1x2＋x2x1＝x12＋x22x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2x1x2（利用通分和完全平方公式变形）8.★★若一个一元二次方程的两个根为x1、x2，则该一元二次方程可以写成(x－x1)(x－x2)＝0，若再规定二次项系数为a，则该一元二次方程可以写成a(x－x1)(x－x2)＝0.练习：已知一元二次方程的两个根为﹣2和3，二次项系数为2，则该一元二次方程为_______________．9.若2b(b≠0)是关于x的方程x2－2ax＋3b＝0的根，则a－b的值为________.分析：把2b代入方程得(2b)2－2a ·2b＋3b＝0，即4b2－4ab＋3b＝0，提取公因式b得，b(4b－4a＋3)＝0，因为b≠0，所以4b－4a＋3＝0，解得a－b＝3 4.练习：若n(n≠0)是关于x的方程2x2＋6mx－3n＝0的一个根，则n＋3m的值为________.10.★★★一元二次方程的应用，掌握三类问题.（1）变化率问题．一般方程的形式为a(1±x)2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．解这类方程使用直接开平方法：先两边同除以a，再两边开平方即可求解.例：学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．解：设这两年的年平均增长率为x，根据题意得：5000(1＋x)2＝7200，即(1＋x)2＝1.44，开方得：1＋x＝1.2或1＋x＝－1.2，解得：x＝0.2＝20%，或x＝－2.2（舍去）．（2）市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题．一般设增加或降价x，然后用x表示变化后每件商品的利润，用x表示变化后的销量，最后根据“变化后每件商品的利润×变化后的销量＝总利润”列出方程．例：某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：设每件商品应降价x元，则降价后每件商品的利润为(360－x－280)元，降价后每月的销量为(5x＋60)件；由题意，得(360－x－280)(5x＋60)＝7200，解得：x1＝8，x2＝60∵更有利于减少库存，∴x＝60．注意：要仔细审题，检验方程的两个根是否都符合题意，有时题目中会出现“要使顾客获得最大利益”或“更有利于减少库存”，再或者对商品的价格有具体的要求，这时应判断该舍去哪一个根．练习：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产100件，每件利润5元．每提高一个档次，每件利润增加1元，但一天产量减少4件．（1）求生产第5档次的产品一天的总利润为多少元？（2）若生产第x（其中x为正整数，且1≤x≤10）档次的产品一天的总利润为836元，求该产品的质量档次．（3）根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题．例：如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解析：解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100－4x）米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5．则100－4x＝20或100－4x＝80．∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20．练习：某农庄修建一个周长为120米的矩形休闲场所ABCD．矩形内筑一个正方形活动区EFGH和连结活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为6米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．已知草坪的造价为每平方米20元，鹅卵石的造价为每平方米100元．设AB为x米．（1）用含x的代数式表示BC；（2）求铺设鹅卵石区域的面积；（3）修筑这个矩形休闲场所的总费用2.784万元，求AB的长．11.（1）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意可列出方程为_______________．（2）某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为_______________．注意：理解什么情况下要除以2，什么情况下不用除以2.第三章 数据分析初步1.平均数：表示平均水平，但易受极端值影响．练习：已知甲校共有学生a 人，其中男生占45%；乙校共有学生b 人，其中男生占55%．今甲、乙两校合并成一所新的学校．阅读下面的对话并解答问题：（1）求新学校中男生的人数（用含a ，b 的代数式表示）．（2）你认为在什么情况下小红的答案是正确的．2.众数：一组数据中出现次数最多的那个数．表示大多数水平，但如果一组数据出现多个众数时，就没有多大意义，也不能充分利用所有的数据信息． 练习：一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各种尺码的销售量如下表所示： 尺码（厘米） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量（双） 1 2 5 11 7 3 1如果你是鞋店的经理，为了增加销售量，你会最关注哪个统计量（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3.中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于最中间位置的一个数据（当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．表示中等水平，但不能充分利用所有的数据信息． 练习：某班20名女同学的身高统计如下：身高（m ）1.50 1.54 1.58 1.62 1.66 1.70 人数 2 3 5 4 5 1那么这20名女同学的身高的中位数是_________．4.方差的计算公式：S 2＝ 1 n[( x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋(x 3－x －)2＋…＋(x n －x －)2] 其中n 表示数据个数，即样本容量；x －表示这组数据的平均数．★★★方差表示一组数据的波动大小（离散程度），方差越大，说明数据波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据波动越小，越稳定．练习：（1）数据7、2、6、4、4、3的方差为__________．（2）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.9环，方差分别为S 2甲＝0.33环2，S 2乙＝0.48环2，则两人中成绩较稳定的是_________．5.标准差等于方差的算术平方根，即S ＝S 2．6.5个连续整数的方差是2．例如：－2，0，1，－1，2这5个连续整数的方差等于2；标准差等于2． 因为 45%＋55% 2 ＝50%，所以新学校中男生的人数占总学生人数的50%． 你的答案不完全正确，只有在特殊情况下才对． 小红 小明7.若一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x－，方差为S2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x－＋b，方差为a2S2．当一组数据的每一个数都加上或减去同一个数时，平均数变成原平均数加上或减去这个数，方差不变；当一组数据的每一个数都变成原数的a倍时，平均数变成原平均数a倍，方差变成原方差的a2倍．练习：如果数据x1，x2，…，x n的平均数为3，方差为2，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x n＋1的平均数为________，方差为_________．第四章平行四边形1.★★★n边形的内角和为(n－2)×180°（n≥3）．练习：（1）一个七边形的内角和是________．（2）若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数为_______．2.★★★任何多边形的外角和为360°．练习：（1）已知一个n边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为_________．（2）已知一个多边形的每一个内角都是144°，则该多边形的边数为_________．3. n 边形的对角线总数＝n(n－3)2．4.★★★平行四边形的性质：从边、角、对角线、对称性考虑．边：平行四边形对边平行且相等；角：平行四边形对角相等；对角线：平行四边形对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形．5.★★★平行四边形的判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形时平行四边形．练习：已知在四边形ABCD中，AB＝C D，添加一个条件：_____________可判定该四边形是平行四边形．6.★★★中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．性质：对称中心平分连结两个对称点的线段．练习：下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7.在直角坐标系中，点(x ,y)关于原点成中心对称的点是(－x ,－y)．8.★★★三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．练习：（1）如图，已知矩形ABCD，AB ＝4，BC＝6，R是CD的中点，P是BC上的动点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC边上移动时，EF始终等于________.（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是BC边上一动点，E、F分别是AD、DM的中点，则EF的最大值是__________．（1）图（2）图9.中点四边形：连结四边形四条边上的中点构成的四边形，该四边形是平行四边形．若一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形的中点四边形是矩形；若一个四边形的对角线相等，则这个四边形的中点四边形是菱形．10.★★★反证法：应假设结论不成立！练习：用反证法证明“在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°”时，应假设_______________．练习：用反证法证明“在三角形的内角中，最多有一个角是直角或钝角”时，应假设_________________．11.★★★在直角坐标系中，已知三个点的坐标，求第四个点的坐标使之与已知的三个点构成平行四边形，则第四个点的坐标有3个．例：在平面直角坐标系中，已知A(－1 ,3)，B(2 ,3)，C(1 ,－3)，D(a,b)，若以A，B，C，D为顶点的四边形恰好是平行四边形，则点D的坐标为________________________.分析：先画出图形，发现顶点D有3种情况.然后利用平移的方法分别求出.（1）求D1：B(2 ,3)平移到A(－1 ,3)是横坐标减去3，纵坐标不变，则C(1 ,－3)平移到D1(a,b)也是横坐标减去3，纵坐标不变，即D1(－2 ,－3).（2）求D2：A(－1 ,3)平移到B(2 ,3)是横坐标加上3，纵坐标不变，则C(1 ,－3)平移到D2(a,b)也是横坐标加上3，纵坐标不变，即D2(4 ,－3).（3）求D3：C(1 ,－3)平移到B(2 ,3)是横坐标加上1，纵坐标加上6，则A(－1 ,3)平移到D3(a,b)也是横坐标加上1，纵坐标加上6，即D2(0 ,9).由于平行四边形对角线互相平分，所以也可以利用中点公式求第四个顶点坐标（最后补充中有介绍）.练习：在平面直角坐标系中，已知A(1 ,3)，B(－2 ,5)，C(－3 ,－4)，D(a,b)，若以A，B，C，D为顶点的四边形恰好是平行四边形，则点D的坐标为__________________________________.第五章特殊平行四边形1.★★矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相；（3）具有平行四边形的所有性质.2.★★矩形的判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.练习：如图，在□ABCD中，（1）请添加一个条件：______________，使得□ABCD成为矩形．（2）请添加一个条件：______________，使得□ABCD成为菱形．3.★★菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（3）具有平行四边形的所有性质.4.★★菱形的判定：（1）定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形.注意：要证明一个四边形是矩形或菱形时，一般先证明该四边形是平行四边形，再根据边或对角线的关系证明其是矩形或菱形.5.★★正方形的性质：矩形的性质＋菱形的性质.6.★★正方形的判定：先判定是矩形或菱形，再根据角、边或对角线的关系证明其是正方形.练习：已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，则这个条件可以是_____________．第六章反比例函数1.★★★反比例函数的三种形式：（1）y＝kx；（2）k＝xy；（3）y＝kx－1.（k≠0）例1：反比例函数y＝－32x的比例系数为_________.分析：错解：答案为3或－3；正解：－32.技巧：只需把x去掉，剩下部分就是比例系数.例2：已知y是关于x的反比例函数，当x＝34时，y＝－4，则这个反比例函数的表达式为______.分析：利用k＝xy很容易求出比例系数k的值，结果写成y＝kx形式.例3：若函数y＝(n－1)x n2－2是反比例函数，n＝________.分析：由y＝kx－1可得n2－2＝－1，n＝±1；但由于n－1≠0，n≠1，所以n＝－1.2.★★★反比例函数的图象和性质：图象形状：双曲线．k＞0，图象在第一、三象限，在每一个象限内，图象从左到右下降，y随x的增大而减小；k＜0，图象在第二、四象限，在每一个象限内，图象从左到右上升，y随x的增大而增大.注意：反比例函数的增减性是指在某一个象限内.我们不能说当k＞0时，y随x的增大而减小.例1：已知(x1 ,y1)，(x2 ,y2)，(x3 ,y3)是反比例函数y＝－4x的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1分析：利用图象求解.先在x轴上找到满足条件的x1，x2，x3，再在y轴上找到相应的y1，y2，y3，观察上下位置即可得到结论.例2：已知反比例函数y＝2x，当x＞－1，y的取值范围是_____________.分析：必须得画图象求解！先画出直线x＝－1，x＞－1表示在直线x＝－1的右侧，找到函数图象在直线x＝－1右侧的部分，再找到这部分图象在y轴上的投影（一定要细心），最后写出取值范围.例3：如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数y2＝k2x的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x＜－2C．－2＜x＜0或x＞1D．x＜－2或0＜x＜1 分析：过A、B两点画y轴的平行线，这两条直线和y轴把坐标平面分成4个部分；y1＜y2表示y1的函数图象在y2的函数图象的下方，即直线在曲线的下方，由图象可知是①和③两部分，所以x的取值范围是x＜－2或0＜x＜1.3.★★反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上的任意一点作x轴和y轴的垂线，则两垂线与x轴、y轴所围成的矩形面积等于|k|.例1：如图，点P 在反比例函数y ＝ k x 的图象上，矩形PMON 的面积等于3，则k ＝______. 分析：错解：k ＝3，没有考虑图象所在的象限.正解：根据k 的几何意义得，|k |＝3，k ＝±3，由于反比例函数图象在第二、四象限，k ＜0，所以k ＝－3.例2：如图，直线x ＝t (t ＞0)与反比例函数y ＝ 2 x ，y ＝－1 x的图象分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为（ ）A ．3B ． 3 2 tC ． 3 2D ．不能确定 分析：连结OB 、OC ，由于△ABC 和△OBC 是同底等高的两个三角形，故面积相等，利用反比例函数k 的几何意义就很容易求出△OBC 的面积.4.★★★反比例函数y 1＝ k 1 x 与一次函数y 2＝k 2x ＋b 综合题（1）求两个函数的交点坐标.把这两个函数的解析式等起来，即 k 1 x＝k 2x ＋b ， 即可求出交点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数或一次函数求出纵坐标.（2）求两交点与原点构成的三角形的面积.像这种，无法直接用面积公式计算的，可以用割或补的方法求解.例如，如图，方法1：x 轴或y 轴把△AOB 分成两个三角形；方法2：在△AOB 周围补成一个长方形.（3）求反比例函数的值小于一次函数的值时x 的取值范围.该问题还可以这样表述：“求当y 1＜y 2时，x 的取值范围”、“求不等式 k 1 x ＜k 2x ＋b 的解”、“求不等式 k 1 x－b ＜k 2x 的解”. （4）反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称.例如，若一个交点坐标为（2，－1），则另一个交点坐标为（－2，1）.5.★★★反比例函数与几何图形综合题例1：如图，点A 是反比例函数y ＝ 2 x(x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴 交反比例函数y ＝－ 3 x 的图象于点B ，以AB 为边作□ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5分析：当BC 、AD 与x 轴垂直时，也满足题意，此时□ABCD 的面积就很容易利用k 的几何意义求出.例2：如图，四边形OABC 和ADEF 均为正方形，反比例函数y ＝8 x的图象分别经过AB 的中点M 及DE 的中点N ，则正方形ADEF 的边长为________.分析：由于点M 在反比例函数图象上，故设M (a ，8 a)，结合图象可知， OA ＝a ，AM ＝8 a ，由于M 为AB 中点，OA ＝AB ，所以OA ＝2AM ，即a ＝2×8 a，解得a ＝±4，∵a ＞0，∴a ＝4，即正方形OABC 的边长为4.接下来有两种方法.方法1：根据几何图形中的数量关系设参数t ，用t 表示点N 的坐标，然后代入反比例函数求解.设正方形ADEF 的边长为t ，则AD ＝t ，OD ＝4＋t ，由于N 为ED 中点，所以DN ＝ 1 2t ，所以点N 的 A D C By x O 2y x = 3y x =-坐标为(4＋t ， 1 2 t )；∵点N 在反比例函数y ＝8 x 的图象上，∴(4＋t )× 12 t ＝8，解得t ＝－2±25，∵t ＞0，∴t ＝－2＋25，即正方形ADEF 的边长为25－2.方法2：根据反比例函数设参数t ，用t 表示点N 的坐标，然后根据几何图形中的数量关系求解. 由于点N 在反比例函数图象上，故设N (t ，8 t )，结合图象可知，OD ＝t ，DN ＝8t ，∵OA ＝4，∴AD ＝OD －OA ＝t －4，∵N 为ED 中点，∴ED ＝2DN ＝16 t ，∵AD ＝ED ，∴t －4＝16t ，解得t ＝2±25，∵t ＞0，∴t ＝2＋25，∴AD ＝t －4＝25－2，即正方形ADEF 的边长为25－2.注意：大部分反比例函数和几何图形的综合题都需要设参数列方程求解.一般的方法就是上面所说的这两种. 补充1.等边三角形边长为a ，则高h ＝32a ，面积S ＝34a 2.练习：已知等边三角的的边长为6，则高为________，面积为__________．2.含30°角的直角三角形的三边比为1∶3∶2，如图，BC ∶AC ∶AB ＝1∶3∶2.练习：如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，则BC ＝______，AB ＝_______． 3.直角三角形斜边上的高＝两条直角边的乘积除以斜边. 练习：如上题图，点C 到AB 的距离＝_______. 4.对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半.（比如菱形） 5.中点坐标公式：若A (x 1 ,y 1)，B (x 2 ,y 2)，则AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2 2 ，y 1＋y 2 2 . 例：如图，四边形ABCD 是平行四边形，已知A (－2,4)，B (3 ,1)，C (6 ,3)，则D 点的坐标是___________. 分析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 和BD 互相平分，即AC 的中点和BD 的中点是同一个点， ∴根据中点公式得，x A ＋x C 2 ＝x B ＋x D 2，即x A ＋x C ＝x B ＋x D ，也就是－2＋6＝3＋x D ，x D ＝1；同样地，y A ＋y C 2 ＝y B ＋y D2 ，即y A ＋y C ＝y B ＋y D ，也就是4＋3＝1＋y D ，y D ＝6.故D 点的坐标是(1,6).6.两点间距离公式：若A (x 1 ,y 1)，B (x 2 ,y 2)，则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2．7.翻折问题通常解题思路：找翻折前后相等的线段，设未知数，找直角三角形，用勾股定理列方程计算. 例：如图，菱形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝16，BD ＝12，折叠纸片使线段DO 落在边DA 上，折痕交AO 于点P ，则DP 的长为________. 分析：先作出折叠后O 点的位置，如图，点E 就是点O 折叠后的点，即DE ＝DO ， ∵PO ⊥DO ，∴PE ⊥AD ；∵OD ＝ 1 2 BD ＝6，OA ＝ 12AC ＝8，AC ⊥BD ，∴AD ＝10，∵DE ＝DO ＝6，∴AE ＝AD －DE ＝4；设PO ＝x ，则PE ＝PO ＝x ，AP ＝8－x ，在Rt △APE 中，AE 2＋PE 2＝AP 2，即42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3，∴DP ＝DO 2＋PO 2＝62＋32＝35. 8.如图，S 1＋S 3＝S 2＋S 4 S 1×S 3＝S 2×S 4AB C30°EABCDP O x y9.反比例函数图象既关于原点成中心对称，又关于直线y＝x成轴对称.图象越靠近坐标轴，|k|越小；越远离坐标轴，|k|越大.例：如图，k1＜0＜k2＜k310.如图1，求△MON的面积可通过图2和图3的方法求解.图2中，S△MON＝S矩形OEGF－S△OEM－S△OFN－S△GMN ，图3中，S△MON＝S梯形ABNM11.几种基本图形.（1）平行线＋角平分线结论：AC＝AB（2）同角或等角的余角相等13.动态几何问题中求定值的方法：特殊图法.例2：如图1，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是__________.分析：由题意可知，阴影部分的形状是在变化的，但是面积却不变，所以可以在如图2中求阴影部分的面积，显然阴影部分的面积等于一个正方形面积的一半.14.关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h －3)2＋k＝0的解是________．分析：先写出一个以－3，2为根的一元二次方程(x＋3)(x－2)＝0，再变形成题目中的形式，即(x ＋12)2－254＝0，所以m＝1，h＝12，k＝－254，最后只要解这个方程(x＋12－3)2－254＝0即可．本题更简单的方法是运用整体思想，把方程看成m(□＋h)2＋k＝0，那么□内只能填－3或2，当□是用x－3表示时，x－3＝－3或2，所以x＝0或5.k1k3k2图1 图2 图3A BC DA BCDEG1结论：∠1＝∠2∵∠1＋∠AFD＝90°∠2＋∠AFD＝90°∴∠1＝∠2例1：如图1，点E在AD上移动，求EM＋EN的值.显然这是一题动态图中求定值问题，我们可以用特殊图的方法求.令点E运动到与点A重合，如图2，则EM＝0，EN＝AN，所以EM＋EN＝AN，AN就是Rt△ABD斜边上的高，所以AN＝AB×ADBD.图1图2图2图11314。