数值分析整理版试题及复习资料

例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。

解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑（2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有()()()()()()()()1120011011201100012101,11,,3123,,,,32269,324dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ========++==++=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()xf x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有()()()()()()100012110101100100110,111,31,,2, 1.7183,1x x dx x dx xdx f e dx f xe dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===========⎰⎰⎰⎰⎰所以，法方程为0111 1.7183211123a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为*1()0.8732 1.6902S x x =+例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。

解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有()()()4131[129]222217.2277k k T hf f x f =≈=++=+⨯=⎰∑（2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有()()()41331012[1429]61[1423]317.3321k k k k S hf f x f x f +==≈⎛⎫⎪=+++ ⎪⎝⎭=+⨯+⨯+=⎰∑∑例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。

123123123123315183156x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪++=⎩解：先消元()1212331518311511161831151233151116r r A b ↔-⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦---⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦212131312332322,31,186,7183115017507171831183115076171831601735183107617100m m m m r r m m =-⨯-+→=-⨯-+→↔=-⨯-+→---⎡⎤⎢⎥−−−−−−−−−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦---⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦--−−−−−−−−−−−−−→第1行（）第2行第2行第1行（）第3行第3行第2行（）第3行第3行158********-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦再回代，得到33x =，22x =，11x =所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x =例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。

123123123111945611183451282x x x x x x x x x ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩解： 设1112132122233132331114561001111003451001122u u u A l u u LU l l u ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦则由A LU =的对应元素相等，有1114u =，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =⇒=，311131122l u l =⇒=，2112222211460l u u u +=⇒=-，2113232311545l u u u +=⇒=-，3112322232136l u l u l +=⇒=-，31133223333313215l u l u u u ++=⇒=因此，11110045641110036045236113015A LU ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦解Ly b =，即1231094108382361y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦，得19y =，24y =-，3154y =- 解Ux y =，即123111456911046045154130015x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得3177.69x =-，2476.92x =，1227.08x =- 所以，线性方程组的解为1227.08x =-，2476.92x =，3177.69x =-１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一成立。

（ ）２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。

（ ）3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。

（ ）４、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210111012A 的２－范数2A ＝９。

（ ）5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。

（用∞⋅） （ ）6、设n n R A ⨯∈，nn RQ ⨯∈，且有I Q Q T=（单位阵），则有22QA A =。

（ ）7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。

（ ）1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ）一、判断题（10×1′）1、 若A 是n 阶非奇异矩阵，则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解。

( × )2、 解非线性方程f (x )=0的牛顿迭代法在单根x *附近是平方收敛的。

( √ )3、 若A 为n 阶方阵，且其元素满足不等式 ),...,2,1( 1n i a a nij j ij ii =≥∑≠=则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

( × ) 4、 样条插值一种分段插值。

( √ ) 5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

( √ ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。

( √ ) 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX ＝b 。

( × )8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。

( × ) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。

( √ ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。

( × )1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（ ）2. 为了减少误差,进行计算。

（ 对 ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（ ）4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（ ）复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰10d )(x x f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。