数值分析整理版试题及复习资料

例1、 已知函数表

求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解：

（1）

插值基函数分别为

()()()()()()()()()()

1200102121()1211126

x x x x x x l x x x x x x x ----=

==--------

()()()()()()()()

()()021*******

()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-=

==-+---+-

()()()()()()()()()()0122021111

()1121213

x x x x x x l x x x x x x x --+-=

==-+--+-

故所求二次拉格朗日插值多项式为

()

()()()()()()()()()()2

20

2()11131201241162314

121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤

=-⨯

--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑

（2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010*********

011201202303

,11204

,412

3

4,,5

2,,126

f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----=

=

=----===

---

故所求Newton 二次插值多项式为

()()[]()[]()()

()()()20010012012,,,35

311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+

+++-=+-

例2、 设2

()32f x x

x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}

span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：

若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有

()()()()()()()()1

1

200110

1

1

2011000

1

210

1

,11,

,3

1

23

,,,

,3226

9,324

dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ====

====++=

=++=

⎰⎰⎰⎰⎰ 所以，法方程为

011231261192

34a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，经过消元得012311

62110123a a ⎡⎤⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，011

6a =

故，所求最佳平方逼近多项式为*

111

()46

S x x =

+ 例3、 设()x

f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳

平方逼近多项式。 解：

若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有

()()()()()()1

0001

21101

01100

1

001

10,111,3

1

,,2

, 1.7183,1

x x dx x dx xdx f e dx f xe dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ====

=======⎰⎰⎰⎰⎰

所以，法方程为

0111 1.718321112

3a a ⎡⎤

⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦

解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为

*1()0.8732 1.6902S x x =+

例4、 用4n =

的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1

⎰

。

解：

（1）用4n =的复合梯形公式

由于2h =，(

)f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有

()()(

)

4

1

3

1

[129]22

22

17.2277

k k T h

f f x f =≈=++=+⨯=⎰∑

（2）用4n =的复合辛普森公式

由于2h =，(

)f x =()121,2,3k x k k =+=，()12

220,1,2,3k x

k k +

=+=，所以，有

()()(

)

4

1

3

310

1

2[1429]61

[1423]

3

17.3321

k k k k S h

f f x f x f +==≈⎛⎫

⎪=+++ ⎪⎝

⎭=+⨯+⨯

+=⎰∑∑

例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。

123123123123315183156x x x x x x x x x -+=⎧⎪

-+-=-⎨⎪++=⎩

解：先消元

()1212331518311511161831151233151116r r A b ↔-⎡⎤

⎢⎥

=---⎢⎥

⎢⎥⎣⎦---⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

212131312332322

,31,186

,71831

1501750

7171831183

115076171831601735183107617100m m m m r r m m =-⨯-+→=-⨯-+→↔=-⨯-+→---⎡⎤

⎢⎥−−−−−−−−−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

---⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

--−−−−−−−−−−−−−→第1行（）第2行第2行

第1行（）第3行第3行

第2行（）第3行第3行

158********-⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

再回代，得到33x =，22x =，11x =

所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x =

例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。