五元系组分空间的几何表示以及晶格常数与能带和互溶隙的计算
03-第二章 晶体构造理论
16
§2.2 一种直线点阵形式(布拉菲格子)
按照三原则： 1、对称性高； 2、多直角； 3、长度小 线段单位的选取只有一种形状，其结点分布形式也只有一种：
一维布拉菲格子：
17
一维布拉菲格子的参量表示
a
例1： 马路牙子
例2： HF晶体
例3： 无限长碳纳米管
18
§2.2 五种平面点阵形式(布拉菲格子)
34
点阵常数
5种平面格子
14种空间格子
一些三维晶体的所属晶系
35
§2.3 晶体结构
晶体中的原子被抽象成点，这里称作质点。 HF的晶体结构：
其中，
代表H原子，
代表F原子。
将
作为结构基元，用结点代替，就是F晶体的点阵：
一维晶体中周期性出现的质点(组)看做一个点，正好构成 一个点阵。每个结点对应晶体中的质点(组)称作结构基元。 一维晶体可视为在直线点阵上放上一定的结构基元 二维晶体可视为在平面点阵上放上一定的结构基元 三维晶体可视为在空间点阵上放上一定的结构基元
点阵：在空间中的一组点，把他们沿着连接任意两点的向量 进行平移后，可以与平移前重合。 这些点叫做点阵的结点。 请回答： 这些向量叫做点阵的平移向量。 点阵中有多少个结点？ 全部平移向量的集合构成一个平移向量群 (简称平移群)。 多少个平移向量？ 按照空间的维度可以将点阵分为三种： 一维 直线点阵 二维 平面点阵 三维 空间点阵
《结晶学》第二章
晶体构造理论
几何学的前辈们从最简单朴素出发，创造出许多十 分完美的概念:点、直线、平面、圆等等。人们借此 建立了各种各样解决实际问题的模型，十分方便。
§2.1 §2.2 §2.2 §2.3 §2.4
点阵和平移群，还有格子 五种平面点阵形式 十四种空间点阵形式 晶体结构 晶体结构的描述方法
晶格能计算方法
③ Капусинский 半经验公式
④ 如果不知道离子晶体的类型，可用 Капусинский（卡普斯钦斯基）半经验公式计算晶
格能的近似值：
å U
= 1.202 ´105
r+
z1 z2 + r-
æ ç è
1
-
34.5 r+ + r-
ö5 ÷ ø
kJ∙mol－1
式中：r+和 r的单位为 pm。
（4）离子极化
离子处于电场中会发生变形，产生诱导偶极，这种过程称为离子极化。
在离子晶体中，正负离子之间能产生计划作用，导致电子云重叠，从而使离子键具有一
定成分的共价成分。
离子极化作用的大小取决于离子的极化力和变形性。一般说来，电荷多，半径小的正离
子极化力大，易使负离子变形。 变形性是用极化力来量度的。通常，半径大的负离子具有较大的极化率，容易变形。在
氢键可分为分子间氢键和分子内氢键。 氢键的存在影响物质的性质，如沸点、熔点、密度、粘度等。 分子间形成氢键使沸点和熔点升高，使冰的密度比水的小，使某些溶液的粘度增大。分 子内氢键的生成使沸点和熔点降低，不会使溶液的密度和粘度增大
考虑离子极化时，一般主要考虑正离子对付离子的极化作用。
具有 18 电子构型的正离子（如 Ag+,Zn2等），不但极化力大，其变型性也较大，易被负 离子极化。
正负离子相互极化，导致电子云产生较大程度的变形与重叠，使离子键向共价键过渡。
在离子晶体中，离子极化会造成键型和晶体类型的改变，相应的物质的性质（如溶解度、 熔点、颜色等）也会发生变化。例如，AgF 为离子型化合物，易溶于水，而 AgCl,AgBr,AgI 则 又与离子极化而难溶于水。又如 AgCl,AgBr,AgI 的颜色也因离子极化作用的增强而依次加深。
第六章 五元水盐体系相图
MgCl2
10 Na2SO4 70 P 30 Na2Cl2
图6-1 等温干基坐标系
第二、各个盐的位置是按复分解反应关 系（而不是任意）安排的，这样， 正三角柱的各几何要素恰恰与干 基组成情况一一对应： （ 1 ）六个顶点，安排了六个单盐，表 MgSO 示六个二元水盐体系。
4
K2SO4
Q
K2Cl2
G’’
水图线 150 盐图线 E’
6
4
100
2 E’’
50
0 B (KCl)
0 ( CaCl2) F D E H 4H2O P CaCl2· KCl R Car Bis G K C ( MgCl2) Tac
Q
图6-C Na22+、K22+、Mg2+、Ca2+|| Cl22-—H2O体 系35℃相图（对NaCl饱和）
四、相图运用——等温蒸发过程分析
例6-4 某盐水含NaCl 127.0、KCl 4.8、MgCl2 23.1、CaCl2 3.4、 H2O 946.8（克/升），试用25℃相图分析该盐水等温蒸发过程。
A（KCl） R KCl P Bis D （Car） S Q CaCl2· 6H2O C（CaCl2）
B（KCl）
C%
D%
M
D（CaCl2）
C（MgCl2）
图6-A 简单五元体系等温干基图坐标
体：有四个分别是四种盐的结晶体
AGHKJLFE是A盐结晶区 面：两盐共饱面有六个 交面FGEL是与A、B两盐的共饱面 线：三盐共饱线四条 GE线是与A、B、C三盐共饱线。 点：四盐共饱点一个
B P F L H G N Q K A
过程情况 未饱和溶液浓缩 NaCl析出 NaCl、KCl共析 NaCl、Car共析，KCl溶解至溶完
计算晶格能的公式
计算晶格能的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：晶格能是固体材料中一种非常重要的物理量，它是描述固体内部晶格结构稳定性的一个重要参数。
在固体物理学中，晶格能通常用于描述晶体中原子或离子之间的相互作用力强度，是一个评价固体结构稳定性和形变行为的重要指标。
晶格能的计算方法有多种，其中一种常用的方法是利用电子结构理论和分子动力学模拟来计算固体的晶格能。
在电子结构理论中，晶格能可以通过计算晶体中原子或离子之间相互吸引或排斥的相互作用力来获取。
具体而言，电子结构理论将固体中的原子或离子看作是受到外部势场影响的粒子，通过计算这些粒子之间相互作用的库伦势和交换-相关能来得到晶格能。
晶格能的计算公式通常可以表示为以下形式：\[E_{\text{总}} = E_{\text{能带}} + E_{\text{核}} + E_{\text{排斥}}\]\(E_{\text{总}}\)表示晶格的总能量，\(E_{\text{能带}}\)表示晶格中电子的能带结构对晶格能的贡献，\(E_{\text{核}}\)表示核之间的库伦势能和交换-相关能对晶格能的贡献，\(E_{\text{排斥}}\)表示晶格中原子或离子之间的排斥力对晶格能的影响。
在实际计算中，通常会采用密度泛函理论（DFT）来计算固体的晶格能。
密度泛函理论是一种基于量子力学原理的电子结构计算方法，通过求解固体中电子的薛定谔方程来得到晶格的总能量。
在密度泛函理论中，采用交换-相关泛函来描述电子之间的交换和相关作用，从而得到晶体的总能量。
分子动力学模拟也是一种常用的计算晶格能的方法。
通过分子动力学模拟，可以模拟固体中原子或离子的运动行为，通过计算原子或离子之间的相互作用力和位移来得到晶格的总能量。
分子动力学模拟可以更直观地模拟固体内部的结构和性质，对于探索固体的晶格能具有重要意义。
计算晶格能是一个复杂而重要的问题，涉及到多种物理量和计算方法。
通过电子结构理论、密度泛函理论和分子动力学模拟等方法，我们可以得到固体的晶格能，从而进一步了解固体结构的稳定性和性质。
晶体能带
摘要：固体中电子的运动状态同样对固体的力学、热学、电磁学、光学等物理性质有着非常重要的影响，如固体之所以分成导体和绝缘体，就是因为这些固体的电子状态不同。
因此研究固体电子运动规律是固体物理学的一个重要内容，我们称之为固体电子理论。
随着人们对固体电子认识的逐步深入，陆续提出和发展了经典自由电子理论、量子自由电子理论和能带理论。
能带理论是目前固体电子理论中最重要的理论，量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。
关键词：晶体能带能带理论正文：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体，具有长程有序，并成周期性重复排列。
非晶体是内部质点在三维空间不成周期性重复排列的固体，具有近程有序，但不具有长程有序。
如玻璃。
外形为无规则形状的固体。
晶体和非晶体所以含有不同的物理性质，主要是由于它的微观结构不同。
组成晶体的微粒——原子是对称排列的，形成很规则的几何空间点阵。
空间点阵排列成不同的形状，就在宏观上呈现为晶体不同的独特几何形状。
组成点阵的各个原子之间，都相互作用着，它们的作用主要是静电力。
对每一个原子来说，其他原子对它作用的总效果，使它们都处在势能最低的状态，因此很稳定，宏观上就表现为形状固定，且不易改变。
晶体内部原子有规则的排列，引起了晶体各向不同的物理性质。
例如原子的规则排列可以使晶体内部出现若干个晶面，立方体的食盐就有三组与其边面平行的平面。
如果外力沿平行晶面的方向作用，则晶体就很容易滑动（变形），这种变形还不易恢复，称为晶体的范性。
从这里可以看出沿晶面的方向，其弹性限度小，只要稍加力，就超出了其弹性限度，使其不能复原；而沿其他方向则弹性限度很大，能承受较大的压力、拉力而仍满足虎克定律。
当晶体吸收热量时，由于不同方向原子排列疏密不同，间距不同，吸收的热量多少也不同，于是表现为有不同的传热系数和膨胀系数。
石英、云母、明矾、食盐、硫酸铜、糖、味精等就是常见的晶体。
非晶体的内部组成是原子无规则的均匀排列，没有一个方向比另一个方向特殊，如同液体内的分子排列一样，形不成空间点阵，故表现为各向同性。
计算晶格能的公式
计算晶格能的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：晶格能是物质晶体在晶格中的正则排列所具有的能量。
其计算是固体物理学中的基本问题之一，对于研究物质的性质和行为具有重要意义。
晶格能的计算可以通过一些理论方法和数学公式来进行，下面我们就来详细介绍一下计算晶格能的公式。
在固体物理学中，晶格能的计算一般基于以下几个假设和原理：1. 原子间作用力：晶体内部的原子通过范德华力、键合力和库伦力等相互作用力相互作用，在晶格中形成一种稳定的排列结构。
这些相互作用力的数学表达形式可以用势能函数来表示。
2. 晶格的周期性：晶体的结构是由原子周期性排列而成的，因此晶格的能量也是具有周期性的。
3. 电子能带结构：固体物质中的电子会形成能带结构，具有能带理论对晶体的结构和性质研究起到了关键作用。
计算晶格能的公式主要取决于具体的晶体结构和晶格类型。
对于简单晶格结构如离子晶体或金属晶体，其晶格能可以通过以下方式来计算：1. 点阵能量：对于离子晶体，可以采用静电相互作用来计算晶格能。
晶格能E可以表示为：E = \sum_{i=1}^{N} \frac{C}{r_i}其中N为晶格中离子的个数，r_i为离子之间的距离，C为一个常数。
这个公式表明晶格能与离子之间的距离成反比关系。
2. 离子晶体的结合能：对于NaCl等晶体，其结合能可以表示为：其中N为晶格中离子的个数，e为元电荷，\epsilon_0为真空介电常数，r_0为相邻离子之间的距离。
通过上述公式，我们可以计算不同晶体结构中的晶格能，从而进一步研究物质的性质和行为。
晶格能的计算还受到许多因素的影响，如晶体的形状、温度、压力等。
需要综合考虑多种因素来获得准确的晶格能值。
计算晶格能的公式是固体物理学研究的基础，通过对晶格能的计算可以更深入地了解物质的结构和性质。
随着理论和计算方法的不断发展，我们有望进一步提高对晶格能的计算精度，为物质科学的发展做出更大的贡献。
希望以上介绍对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：晶格能是指晶体内原子之间的相互作用能量，是描述晶体结构稳定性的重要参数之一。
aual 晶格常数
aual 晶格常数晶格常数是一种描述晶体结构性质的参数，通常用于表征晶体的晶格结构，包括晶格类型、晶格形态、原子和分子的结构和运动等。
晶格常数具有很高的物理和化学意义，对于了解晶体性质和性能具有重要作用。
因此，在材料学、固体物理学、化学等领域中，晶格常数是一项基础性的参数之一，其具体含义和计算方法是需要深入研究的。
晶格常数的定义非常简单，它是晶体中相邻原子之间的距离。
这个距离可以用各种单位来表示，但最常用的是埃(Angstrom)单位，其中1埃=0.1纳米。
因此，在讨论晶格常数时，我们通常说“晶格常数为3.17埃”等。
晶格常数可以按照不同的方式分为两大类：基元晶格常数和晶格参数。
基元晶格常数是指晶体中最小重复单元的晶格常数，每种基元晶格常数对应一个晶系。
六种晶系的基元晶格常数如下：正交晶系：a≠b≠c，α=β=γ=90°体心立方晶系：a=b=c，α=β=γ=90°面心立方晶系：a=b=c，α=β=γ=60°四方晶系：a=b=c，α=β=γ=90°三斜晶系：a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°六方晶系：a=b≠c，α=β=90°，γ=120°晶格参数是指晶体中的原子之间的距离和角度。
晶格参数包括晶胞的长度、晶胞内角、原子间距离和原子的深度。
晶格参数的单位通常为埃或纳米。
晶格常数在材料科学中具有重要的作用，可以影响到材料的各项性质。
例如，晶体的密度和热膨胀系数等物理性质都与晶格常数密切相关。
此外，晶格常数还可以用来推断晶体结构、分析化学反应等。
需要注意的是，晶格常数的大小并不固定，它会受到多种因素的影响。
例如，温度、压力、电场等物理因素，以及原子种类、晶体结构等化学因素都会对晶格常数产生影响。
因此，在应用晶格常数时需要综合考虑这些因素的影响。
总之，晶格常数是描述晶体结构和性质的重要参数之一，具有广泛的应用价值。
在各种科技领域和实际生产中，对晶格常数及其变化的精确掌握和合理利用，将对相关工作的进行产生深远的影响。
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型
其他曲线我们不再分析,有兴趣的同学可参考 可参考黄昆的书PP178-184 。 总之,沿 轴时,找出倒空间和 轴()平行的线 段上的最近邻、次近邻…等倒格点，并计算出相 应的 , 依抛物线形式画出即可。 沿其它轴的画法一样，注意平移线段的长度应 为倒格矢. 由上面的分析可知,在空晶格近似中,由于对称 性,许多状态是高度简并的,在计入周期场起伏的 微扰作用后,某些简并性要消失(不会全部消失), 详细情况可参阅谢希德等人编著的《固体物理学 中的群论》。
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
轴
如 2 (k ) 曲线：
Fcc的倒格子为bcc, 所以原点 在体心.
M
kz
N
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
ky
kx 2 (k ) 曲线对应最近邻倒格点M： 2 2 2 M 点： k ( , , ) a a a 移入第一布里渊区后对应点 ; 2 2 N点： k ( , 0, ) a a
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
图的得到可参考黄昆的书PP178-184
潘金生材料科学基础(修订版)知识点笔记课后答案
第1章晶体学基础1.1复习笔记一、空间点阵1.晶体特征和空间点阵概述（1）晶体特征晶体的一个基本特征是具有周期性。
（2）空间点阵空间点阵是指用来描述晶体中原子或原子集团排列的周期性规律的在空间有规律分布的几何点的集合。
2.晶胞、晶系和点阵类型（1）晶胞①晶胞的定义空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。
这样的平行六面体称为晶胞。
②点阵常数a．描述晶胞的大小：三条棱的长度a，b和c；b．描述晶胞的形状：棱之间的夹角α，β和γ。
③选取晶胞的条件a.能反映点阵的周期性；b．能反映点阵的对称性；c．晶胞的体积最小。
（2）晶系按照晶胞的大小和形状的特点，或按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归为7种晶系。
表1-1 7种晶系（3）点阵类型①简单三斜点阵（如图1-1（1）所示）；②简单单斜点阵（如图1-1（2）所示）；③底心单斜点阵（如图1-1（3）所示）；④简单斜方点阵（如图1-1（4）所示）；⑤底心斜方点阵（如图1-1（5）所示）；⑥体心斜方点阵（如图1-1（6）所示）；⑦面心斜方点阵（如图1-1（7）所示）；⑧六方点阵（如图1-1（8）所示）；⑨菱方点阵（三角点阵）（如图1-1（9）所示）；⑩简单正方（或四方）点阵（如图1-1（10）所示）；⑪体心正方（或四方）点阵（如图1-1（11）所示）；⑫简单立方点阵（如图1-1（12）所示）；⑬体心立方点阵（如图1-1（13）所示）；⑭面心立方点阵（如图1-1（14）所示）。
图1-1 14种空间点阵（4）布拉维点阵与复式点阵①布拉维点阵：由等同点构成的点阵；②复式点阵：由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵。
二、晶面指数和晶向指数1.晶面指数和晶向指数（1）晶面指数将截距的倒数化成三个互质的整数h，k，l，则（hkl）称为待标晶面的晶面指数。
（2）晶向指数将晶向上除原点以外的任一点的坐标x，y，z化成互质整数u，v，w，得到晶向指数[uvw]。
晶格常数名词解释
晶格常数名词解释
晶格常数，也叫做结构常数，是衡量晶体中原子交错排列的重要参考指标，体现在晶格中各位点间的相对位置和距离上。
晶格常数是对晶体单位晶胞边长的称呼，对应晶体晶格中原子或者离子位点的几何变换。
在三维晶格中，广义上的晶格常数即包含了晶胞的形状和大小，其数值由晶格的六个参数决定，分别是晶胞的三个边长a，b，c和三个角度α、β、γ。
这六个参数完全决定了晶体的整体结构。
对于立方晶格而言，晶格常数通常用实数a表示，a的值等于晶胞边长。
对于
面心型和体心型立方晶格来说，晶格常数a就等于原子直径的√2倍和√3倍。
晶格
常数的大小与原子大小，晶面取向及其间的相互排列方式有关，对晶体的一些物理性质如导电性、热导性、光学性能等有重要影响。
晶格常数的测定是晶体结构研究的基础，并且对理解物质的物理和化学性质有着重要意义。
测量晶格常数的方法有很多种，例如X射线衍射法、电子衍射法和
中子衍射法等。
在实际应用中，X射线衍射法应用最为广泛，能够获得准确的晶格常数数据，用于判断晶体的结构类型，探究晶体的物理性质以及研究晶体中原子或者离子的空间分布等。
总的来说，晶格常数是反映晶体内部结构的一个重要参数，其测量精确与否直接影响研究者对晶体结构的理解和描绘。
晶格常数计算公式
晶格常数计算公式晶格常数是指晶体结构中最小重复单元的边长或之间的距离。
在固体物理中，晶格常数是一个重要的参数，它决定了晶体性质的一些基本特征，如晶格的形状、原子间的相互作用等。
晶格常数的计算可以通过实验方法进行，如X射线衍射，也可以通过理论计算方法进行，如密堆积球模型、密堆积立方模型等。
下面将介绍一些常见的晶格常数计算公式。
1.简单立方晶格（SC）：简单立方结构是最为简单的晶格结构，它的晶格常数a即为晶胞的边长。
简单立方晶格常数计算公式为：a=d其中，d为相邻两个原子的距离。
2.体心立方晶格（BCC）：体心立方结构中，一个原子位于每个晶胞的中心，与其相邻的相同类型的原子，在相邻的晶胞中重合。
体心立方晶格常数计算公式为：a=4*r/√3其中，r为原子的半径。
3.面心立方晶格（FCC）：面心立方结构中，除了每个晶胞的8个角上各有一个原子外，每个面的中心也有一个原子。
面心立方晶格常数计算公式为：a=2*r*√2其中，r为原子的半径。
4.密堆积球模型：密堆积球模型是一种理论计算晶格常数的方法。
在密堆积球模型中，将球看作是硬球，硬球的直径为d，那么晶格常数a与d之间的关系为：a=2*d当将排列球的方式变化时，可以得到不同排列下的晶格常数。
5.密堆积立方模型：密堆积立方模型是一种常用的晶格模型，它是基于球密堆积模型进行推导得到的。
在密堆积立方模型中，晶胞由顶部的一个球和底部的一个球及它们之间的六个球组成，晶胞形状为正六边形。
晶格常数a与球的直径d之间的关系为：a=2*d*√2当将排列球的方式变化时，可以得到不同排列下的晶格常数。
这些晶格常数的计算公式可以根据实际情况和需要进行选择和应用。
在实际应用中，需要结合实验结果、理论计算模型以及相关参数的确定来计算晶格常数。
同时，需要注意不同晶体具有不同的晶格结构和晶胞参数，因此计算晶格常数时需要考虑具体的晶体结构和晶胞参数。
计算晶格能的公式
计算晶格能的公式
晶格能是指晶体中原子、分子或离子在晶格中相互作用形成的结合能。
晶格能的计算主要涉及到两个方面：晶格能的电子成分和离子成分。
根据不同的情况，可以使用不同的公式来计算晶格能。
1.对于金属晶体，晶格能的计算主要依据电子的排布和费米球模型，一个常用的公式是密度泛函理论(DFT)计算出的总能量(E_total)减去自由电子气能量(E_free)和原子能(E_atom)：
晶格能(E_lattice)=E_totalE_freeN*E_atom
其中N为晶体中的原子数目。
2.对于离子晶体，晶格能的计算主要涉及离子之间的库仑排斥和范德华吸引作用。
晶格能可通过利用半经验的马多克公式来计算：
E_lattice=k*(Z+*Z)/r
其中E_lattice为晶格能，k为马多克常数，Z+和Z为离子的电荷数，r为离子间距离。
需要注意的是，离子晶体的晶格能计算比较复杂，受到多种因素的影响，如晶体结构、离子大小、电荷分布等。
3.对于分子晶体，晶格能的计算可以使用分子力场模拟方法。
分子力场模拟方法将分子间的相互作用势能表示为原子对、键
对和离子对的势能之和，并结合分子几何结构来计算晶格能。
晶格能=Σ(V(r_ij))
其中V(r_ij)为分子间势能函数，r_ij为分子间距离。
需要注意的是，以上所介绍的公式只是晶格能计算中的一部分，具体的计算方法还需要结合具体体系和计算手段来确定。
另外，文献中也可能会提出其他的计算方法和公式来计算晶格能。
晶体学基础第五章-晶面间距与晶格常数
晶面间距与晶格常数第五章 晶体的质点堆积与缺陷¾ 密堆积原理 ¾ 配位数和配位多面体 ¾ 化学键和晶格类型¾ 晶体的缺陷晶体化学晶体化学：研究晶体结构和晶体化学组成与其性质之间的关系和规律性的分支学科。
材料科学：晶体结构=空间点阵+基元Na+Cl-•晶体结构中的质点（阵点或基元）可以是原子、离子 或分子。
•晶体化学主要阐述这些质点的特性：离子类型、离子 和原子半径等； •讨论质点在组成晶体结构时的相互作用和规律：离子 或原子相互结合时的堆积方式和配位形式、键和晶格 类型。
z 理论半径：将原子或离子的电子云分布视为球形，其半 径为原子或离子的理论半径。
• 原子在形成化学键时，总要有一定程度的轨道重叠，而且 与不同的原子分别成化学键时，原子轨道重叠的程度又各 有不同，因此单纯地把原子半径理解成原子最外层电子到 原子核的距离是不严格的。
z 有效半径：以键长数据为基础，由实验方法得到的原子或 离子的半径，称为原子或离子的有效半径。
共价半径、金 属半径、范德华半径。
• 原子或离子半径的影响因素：价态、配位数、电子自旋态• 原子和离子半径的大小，特别是相对大小对晶体结构中的质 点的排列方式影响很大。
其对理解和阐明晶体结构类型的变化、 晶体化学组成的变异以及有关物理性质的变化都是非常重要的。
元素的原子半径和共价半径原子或离子半径的基本规律原子或离子半径的影响因素：价态、配位数、电子自旋态z 同种元素原子半径: 共价半径 < 金属原子半径 z 同种元素离子半径:阳离子半径小于原子半径，价态高半径小； 阴离子半径大于原子半径，负价高半径大； 氧化态相同，配位数高半径大； z 同族元素: 原子和离子半径随周期数增加而增大 z 同周期元素: 原子和离子半径随Z的增加而减小 z 从周期表左上到右下对角线上，阳离子半径近于相等 z 镧系和锕系:阳离子半径随Z增加而略有减小 z 通常, 阳离子半径都小于阴离子半径。
3.4.2晶格能
③.CH4 、CCl4 、CBr4、CF4 CBr4 ＞ CCl4 ＞ CF4 ＞ CH4
④.MgCl2 、KCl 、NaCl ⑤.Na 、Al 、Ar 、Hg
活动：归纳四类晶体的结构和性质(课本83页)
晶体类型 分子晶体 原子晶体 构成粒子 金属晶体 金属阳离子 和自由电子 金属键 离子晶体 阳离子和阴离子 离子键
分子
原子
共价键 高
相互作用 范德华力
熔、沸点
硬度 延展性
低
一般较高、 熔点较高、沸点高 部分较低
硬度较小 硬度大 不良 差 不良 差
一般较大， 部分较小 良好
0.7~1.0
CsCl型
NaCl:0.52
CsCl:0.93
科学视野：碳酸盐热分解的实质是什么？
表3-7的有关数值说明了什么？
一、离子晶体
4、决定离子晶体结构的因素 （1）几何因素：晶体中正负离子的半径比 （2）电荷因素：晶体中正负离子的电荷比 （3）键性因素：离子键的纯粹因素 P79——科学视野 碳酸盐热分解的实质：
⑵原子晶体中，结构相似时，原子半径越小，共价键键长
越短，键能越大，熔点越高。 ⑶分子晶体中（不含氢键时），分子组成和结构相似时，
相对分子质量越大，范德华力就越强，熔点就越高。
⑷金属晶体中，离子半径越小，离子电荷越高，金属键就 越强，熔点就越高。合金的熔点比它的各成分金属的熔点低。
练 习
1、将下列各组物质按熔沸点由高到低的顺序排列：
3、如图所示的晶体结构是一种具有优良的压电、铁电、 光电等功能的晶体材料的最小结构单元（晶胞）。 晶体内与每个“Tｉ”紧邻的氧原子数是 6 电荷均已略去）。 ，这
第一章晶体结构王俊2nd
b
c
a
b
c
b
a
注：对称操作 群元素参见方 可编《群论及 其在物理和化 学 中 的 应 用》，重庆大 学出版社， 1987
小结：晶系与布喇菲格子
1.三斜晶系: a ≠ b ≠ c ,α ≠ β ≠ γ 2.单斜晶系: α = γ = 90 0 ≠ β 3.三角晶系: 4.正交晶系: 5.四角系:
§1.4 晶体结构的数学描述与晶系举例
6.六角晶系：
a=b≠c
c
β
γ = 120
0
α = β = 90
0
α γ
六角(11)
a
b
7.立方晶系：
a=b=c
α = β = γ = 900
简立方(12)
体心立方(13)
面心立方(14)
a a
六方
立方
a
三方
c
a a
单斜
四方
c
a a a
a a a
三斜 正交
c
三角(4)
§1.4 晶体结构的数学描述与晶系举例
4.正交晶系：
a ≠ b ≠ c,
α = β = γ = 90 0
简单正交(5)
底心正交(6)
c
β α γ
a
b
体心正交(7)
面心正交(8)
5.四方系：(正方或四角 晶系) a = b ≠ c
α = β = γ = 90 0
简单四角(9) 体心四角(10)
晶体结构
正格
倒格 1.
1.Rn = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3
2.与晶体中原子位置 相对应； 3.是真实空间中点的周 期性排列； 4.线度量纲为[长度]
晶格常数计算例题
晶格常数计算例题晶格常数是描述晶体中原子排列方式的一个重要参数，通常用来表示晶体晶格结构的空间特征。
晶格常数的计算实际上是对晶体中原子间距离的测量和推导。
下面以立方晶格(a=b=c)为例，讲解晶格常数的计算方法。
ACACACACA其中A表示正常的原子，C表示中央的原子。
晶格常数a就是原子之间的距离，可以通过以下方法计算得到：方法一：用X射线衍射测量晶胞间距离1.准备一块晶体样品，通常为单晶样品。
2.使用X射线衍射仪器对晶体样品进行测量，得到衍射图样。
3.根据衍射图样，可以确定不同晶面之间的距离。
4.根据晶体的晶格结构和晶面间距，可以计算得到晶格常数a。
方法二：通过密度计算晶胞体积1.根据晶体的化学组成和摩尔质量，计算出晶体的密度。
2.根据晶体的密度和摩尔质量的关系，可以得到晶体的原子数。
3.根据晶体的原子数，可以计算得到晶格常数a。
方法三：通过电子衍射测量晶胞间距离1.准备一块晶体样品，通常为薄膜样品。
2.使用透射电子显微镜对晶体样品进行测量，得到电子衍射图样。
3.根据电子衍射图样，可以确定不同晶面之间的距离。
4.根据晶体的晶格结构和晶面间距，可以计算得到晶格常数a。
在实际计算中，可以综合运用以上方法，并结合实验测量的结果，进行晶格常数的计算。
例如，假设我们已经通过X射线衍射仪器测量得到了衍射图样，并计算出晶体的晶面间距为d。
根据布拉格方程：nλ = 2dsinθ其中λ为X射线的波长，θ为衍射角度。
根据晶格常数的定义，晶格常数a与晶面间距d的关系为：a=d/(h^2+k^2+l^2)^0.5其中h、k、l为晶面的Miller指数。
根据测量结果，我们知道晶体的晶面间距d=2.5Å，选择波长λ=1Å。
由此可以计算得到晶格常数a=2.5Å/(h^2+k^2+l^2)^0.5根据晶格常数的定义，我们可以得到晶格常数的具体数值。
在计算实际晶体的晶格常数时，还需要考虑一些修正因素，如晶体的非均匀性、晶体的扭曲等等，以获得更准确的晶格常数。
r3m空间群 晶格常数
r3m空间群晶格常数摘要：一、引言二、r3m 空间群的定义1.r3m 空间群的点群表示2.r3m 空间群的对称性三、晶格常数的意义1.晶格常数的概念2.晶格常数与晶体结构的关系四、r3m 空间群晶格常数的计算方法1.基于周期性边界条件的计算方法2.基于晶胞参数的计算方法五、r3m 空间群晶格常数的应用1.在材料科学研究中的应用2.在实际生产中的应用六、结论正文：一、引言r3m 空间群，全称为r3m 晶格，是一种具有特殊对称性的晶体结构。
本文将详细介绍r3m 空间群的定义、晶格常数的意义以及计算方法，并探讨其在材料科学和实际生产中的应用。
二、r3m 空间群的定义1.r3m 空间群的点群表示r3m 空间群是空间点群3m 的对称元素，其点群表示为：{3m|*}。
它具有12 个独立的对称操作，包括3 个旋转操作、6 个镜像操作和3 个旋转镜像操作。
2.r3m 空间群的对称性r3m 空间群具有六方最密堆积（hcp）结构的对称性，其晶胞中有8 个原子。
在r3m 空间群中，晶胞参数a 和c 的关系为a=2c。
三、晶格常数的意义1.晶格常数的概念晶格常数（a、b、c）是描述晶体结构的基本参数，它表示晶体中一个晶胞的边长。
晶格常数的大小决定了晶体结构的紧密程度，从而影响了材料的性能。
2.晶格常数与晶体结构的关系在晶体学中，晶格常数与晶体的空间点群有密切关系。
对于r3m 空间群，其晶格常数a、b、c 满足a=2c，这一关系使得r3m 空间群的晶体结构具有特殊的对称性和紧密堆积特点。
四、r3m 空间群晶格常数的计算方法1.基于周期性边界条件的计算方法r3m 空间群晶格常数的计算方法之一是通过求解Kohn-Sham 方程得到。
在此方法中，需要采用周期性边界条件对计算模型进行约束，然后利用数值方法求解该方程，得到晶格常数。
2.基于晶胞参数的计算方法另一种计算r3m 空间群晶格常数的方法是利用晶胞参数。
首先根据晶胞参数a、b、c 的关系，可以得到a=2c。
固体物理学中的布拉维晶格与能带
固体物理学中的布拉维晶格与能带在固体物理学领域中，布拉维晶格和能带是两个重要的概念。
布拉维晶格描述了固体内部的结构排列，而能带则描述了固体中电子的能量分布情况。
本文将深入探讨这两个概念，并介绍它们在研究固体材料特性方面的重要应用。
布拉维晶格是固体内部原子排列的周期性结构。
在三维空间中，布拉维晶格可以用一组基矢来描述，这组基矢可以通过平移操作生成整个布拉维晶格。
具体来说，三维布拉维晶格可以由三个互不平行的矢量a1、a2和a3构成。
这些矢量称为布拉维格矢。
通过不同的布拉维格矢，我们可以描述不同类型的晶体结构，如立方晶系、正交晶系等。
布拉维晶格的性质对一些固体性质的研究至关重要。
能带理论是描述固体中电子能量分布的理论。
能带理论基于量子力学，将固体中的电子视为波动粒子，具有特定的波长和能量。
在固体中，电子受到电子间相互作用和晶格势场的影响，形成特定能量范围内的能带。
能带的形状取决于固体的晶体结构，不同晶体结构会对电子的行为产生不同的影响。
在能带理论中，最重要的是价带和导带。
价带是指在固体中电子能量低于外壳不被激发的能带。
而导带则是指电子能量高于最高价带使电子能够参与导电的能带。
能带理论为我们理解固体导电性、光学性质等提供了重要参考。
布拉维晶格和能带之间存在着密切的关系。
布拉维晶格的周期性结构为能带的形成提供了基础。
能带理论中的能带结构可以用布拉维晶格来解释。
例如，在一维周期性晶格中，电子只能在布拉维晶格矢量的相位中运动。
这种周期性边界条件导致了禁止带的形成，即电子在某个能带范围内是无法存在的。
而在二维和三维布拉维晶格中，电子在更复杂的周期性结构下运动，可以形成能带。
能带的宽度和形态与布拉维晶格的参数有关，因此对布拉维晶格的研究有助于理解能带结构的形成过程和性质。
布拉维晶格和能带的研究对于材料科学和纳米科技非常重要。
通过改变布拉维晶格的参数，如晶格常数和晶体结构，我们可以调控材料的电学、光学、磁性等性质。
五晶 体 结 构.
五、晶 体 结 构1． 因为立方晶系中，六个面都是等价的，若有底心立方晶胞存在，则必有面心立方晶胞存在，故立方晶系中不存在底心立方晶胞。
不带电荷的分子或原子（金属）之间的相互作用力小，若原子（非金属）以共价键连接，简单立方中的两个原子之间距离又太大，不利于共价键形成，所以不带电荷的分子或原子往往采取六方或立方最紧密堆积或立方体心密堆积结构。
由于六方最紧密堆积结构与立方紧密堆积的空间利用率相同，所以它们具有相同的密度。
在这两种紧密堆积中，原子的配位数为12。
2． Cu 为面心立方晶体，1个晶胞中Cu 原子个数＝8×(1) + 6×(12)＝ 4（1）（2）＝1.119 Å3． ∵Fe 原子半径是相同的，在α型中，Fe 3A 2M N a ααρ=，在γ型中， Feγ3A γ4M N a ρ= 在α型中，4r α=，∴4a α=γ型中，4r γ，∴a γ=∴Fe 3A (43)N rαρ=，Fe γ3A (22)N r ρ=∴ 33γ(22)0.91862(43)r r αρρ==4． (1)(2) 原子堆积系数(100)=222(4141)0.78544r a ππ⨯+==原子堆积系数(110)=0.5554== 原子堆积系数(111)= 30.9069sin60π== 23A 324A 463.548.936,8.97110(3.165)10m N V N ρ-⨯===⨯⨯⨯ 解得＝Cu 4,4r r a ∴5． (1 ) MgO 与MnO 的d M —O 相差很大，这说明O 2–围成的正八面体空隙小，而Mg 2+、Mn 2+的半径差别大，导致d MnO >d MgO ；而S 2–和Se 2–半径大，围成的正八面体空隙既大于 ，又大于，所以d MgS ～d MnS ，d MgSe ＝d MnSe ，相当于Mg 2+和Mn 2+在S 2–和Se 2–围成的正八面体空隙中“扰动”。
全同立构五元组分数
全同立构五元组分数是一种用于描述聚合物分子结构的方法，主要用于研究聚合物的结晶行为。
五元组分数由五个部分组成：a、b、c、d和e，分别表示聚合物链中不同构象的单元的数量。
1. a：表示聚合物链中与主链平行的构象单元的数量。
2. b：表示聚合物链中与主链垂直的构象单元的数量。
3. c：表示聚合物链中与主链成一定角度的构象单元的数量。
4. d：表示聚合物链中与主链成反平行构象的单元的数量。
5. e：表示聚合物链中与主链成反垂直构象的单元的数量。
全同立构五元组分数可以用来描述聚合物的结晶行为，例如晶体的形成、晶体的尺寸和形状等。
通过分析五元组分数，可以了解聚合物在不同条件下的结晶性能，从而为聚合物材料的设计和制备提供依据。
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于三维空间中一定的立体图形: 图 1 所示的三棱柱可描述第一类
D z E 1- z 组分空间: 三棱柱的六个顶点代表其中的六种二元化合物, 九条棱代表九 D z E 1- z ; 图 2 所示的正四面体则可用来描述第二类
种三元化合物, 五个面代表五种四元系化合物; 而在三棱柱内的每一个几何点都代表具有唯 一确定组分的五元系化合物 A xB y C 1x- y
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半 导 体 学 报
19 卷
所述的条件可得[ 2 ]: 52 F 52 F 5x 2 5z2 52 F 52 F 5y2 5z2 52 F 52 F 5x2 5y2 元系统的互溶隙边界. 根据正规溶液近似, 为 : F = ΞAD x z + ΞA E x ( 1 - z ) + ΞBD y z + ΞB E y ( 1 - z ) + ΞCD ( 1 - x - y ) z + ΞCE ( 1 - x - y ) ( 1 - z ) + Α AD - BD x y z
PACC: 6855, 7820B , 7865
1 引言
包括砷化物、 磷化物和氮化物在内 2 族多元化合物体系的禁带宽度分布非常广, 不 但覆盖了可见光波段, 并向两边延伸到红外和紫外波段. 因此长期以来受到人们广泛的关 注 . 目前已有许多基于 2 族多元化合物的器件产品, 如各种颜色的可见光发光二极管 (L ED s) 、 激光二极管 (LD s) 和光电探测器等, 在许多领域内都得到了应用. 与 2 族三元和四元系化合物半导体材料相比, 五元系有自己独到的优势: 它具有三 个组分自由度. 这意味着可以独立地调整五元系材料的组分、 晶格常数和禁带宽度. 换句话 说, 相同晶格常数和禁带宽度的五元系材料可以具有不同的固相组分, 与组分有关的各种光 电性质也可以不同, 如折射率、 禁带宽度 E g 在 E C 和 E V 之间的分配值等. 这有益于获得比 较理想的异质结结构. 当然, 五元系也有自身的缺点: 可控因素过多. 2 族五元系材料最大的应用前景在于制作红光发光器件. A lGaA s 和 Ga InPA s 是制 作红光发光器件的两类重要材料. 但是, 为了兼顾人眼的视觉函数和材料本身的特性, A l2 GaA s 超高亮度红光发光管的最短发光波长为 650nm , 而且此时 A lGaA s 的组分已经靠近 间接带隙区, 因此发光效率不能令人满意; Ga InPA s 虽然是直接带隙材料, 但它的最短波长 极限仍不能突破 650nm. 2 族五元系材料 A lGa InPA s 的带隙范围可完全涵盖上述两类
. 以上两类
2 族五元系化合物都有三个组
分自由度, 因此可以相对独立地调节其固相组分、 晶格常数和禁带宽度等. 2 族五元系化合物可以看作是由多种二元、 三元或四元化合物混溶而成 . 因此第一 类 2 五元系化合物可以看作是由六种二元化合物, 或九种三元化合物, 或五种四元化合 物经充分混溶而形成的; 第二类五元系化合物可以看作是由四种二元化合物、 或六种三元化 合物、 或四种四元化合物经充分混溶而形成的.
3
-
族五元系的组分空间
多元体系的组分分布可以采用几何方法描述. 例如: 三元系化合物的组分分布可用直线 段表示; 二维的正四边形和正三角形可用来描述四元系 A xB 1- x C yD 1- y 和 A xB y C 1分分布 . 由于
A xB y C 1x- y x- y
D 的组
[3]
2 族五元系化合物需要三个参数才能完整地描述其组分, 因此它们对应 2 族五元系化合物
+ Α AD + Α A E+ Α B E+ Α BD CD BE CE BE [2]
( ( (
52 F ) 2 = 0 5x 5z 52 F ) 2 = 0 5y 5z 52 F ) 2 = 0 5x 5y
( 3)
式 ( 3) 便是五元系中互溶隙边界所满足的一般方程. 从上式中任选两个方程, 便可计算出五 2 族五元系化合物 A xB y C 1x- y
CE
- Α AD BE
CD
- Α A ECD CE
10 期 徐自亮等: 五元系组分空间的几何表示以及晶格常数与能带和互溶隙的计算 731
图 1
2 族五元系化合物 A B C D E 的组分分布的几何表示
图 2
2 族五元系化合物 A B C D E 的组分分布的几何表示
4 五元系化合物的晶格常数与禁带宽度的计算
多元系化合物的晶格常数遵循维加德 (V ega rd ) 定律, 即由二元化合物的晶格常数线性 内插和叠加得出多元系化合物的晶格常数; 而多元系的禁带宽度则需在线性叠加的基础上 再加上高次项的修正[ 3 ]. 我们认为在五元系中维加德 (V ega rd ) 定律仍是有效的, 即五元系晶格常数可以表示 为:
徐自亮 徐万劲 李 力 杨澄清 刘弘度
( 北京大学物理系及国家介观物理重点实验室 北京 100871)
摘要 本文将五元系分为两大类; 并提出用三维空间中的立体图形展示五元系化合物的组分 分布; 提出了五元系化合物的晶格常数和禁带宽度以及互溶隙范围的计算公式, 并在此基础上 计算了与 GaA s 衬底晶格匹配的 A lGa InPA s 的等禁带宽度曲线和互溶隙的范围.
730
半 导 体 学 报
19 卷
材料的带隙范围; 另外, 五元系材料在固定禁带宽度的情况下, 仍能够调节自身的组分, 使之 远离间接带隙区域, 从而达到改善自身发光效率的目的. 但是到目前为止, 绝大多数对
[1]
2 族多元化合物体系的研究都局限于三元和四元系
统, 很少有关于五元系的报道 . 本文作者曾在正规溶液近似的基础上推导出一套描述五元 系固液相平衡界面的方程, 并计算出 A lGa InPA s GaA s 晶格匹配体系的固液相图; 根据计 算结果, 我们用液相外延方法在 GaA s 衬底上成功地生长出了 A lGa InPA s 材料[ 2 ]. 本文讨论了 2 五元系化合物的分类和组分分布的几何表示方法, 并给出了五元系化 合物的晶格常数和禁带宽度以及互溶隙范围的计算公式. 最后作为例子, 给出了 A lGa In 2
D z E 1- z 的吉布斯自由能可以表示
x (1 x y (1 -
x x -
y)z + Α BD CE
CD
y (1 x AE
x -
y ) (1 z) z)
z)
z) + Α A Ey ) (1 z) + Α CD -
x (1 -
y ) (1 x z (1 -
y (1 y z (1 -
z) + Α AD -
CD
(1 - x - y ) z (1 - z ) ( 4)
+ R T [ x ln x + y ln y + z ln z + ( 1 - x - y ) ln ( 1 - x - y ) + ( 1 - z ) ln ( 1 - z ) ]
式中 Ξij - ij ′ 是五元系中次最近邻原子对之间的相互作用参数; Α ij 数; R 是理想气体常数; T 是五元系统所具有的绝对温度.
ij ′
是三元系的相互作用参
所以五元系化合物 A xB y C 1- x - yD z E 1- z 中互溶隙的边界所满足的方程可以表示为: (1 - z ) Α {R T ( 1 - y ) - 2x ( 1 - x - y ) [ z Α AD - CD + A E- CE ]} (1 - x - y ) Α × {R T - 2z ( 1 - z ) [ x Α AD - A E + y Α BD - BE + CD - CE ]} - {x ( 1 - x - y ) z ( 1 - z ) [ ( ΞAD - ΞCD + ΞCE - ΞA E )
3 本项目得到国家自然科学基金的资助, 项目号为 69476001 徐自亮 男, 1969 年出生, 理学博士, 从事光电子学方面的研究; 目前通讯地址: 中国科学院国家微重力实验室及力 学研究所, 北京 100080 徐万劲 男, 1963 年出生, 工程师, 从事光电子学方面的研究 刘弘度 男, 1938 年出生, 教授, 从事光电子学和通讯方面的研究 1997207209 收到, 1998204210 定稿
2 族五元系化合物: 四个顶点代表该类五元系化合物中所包含的四种二元化合物; 六条 棱代表六种三元系化合物; 四个面代表四种四元化合物. 而任一具有确定组分的五元系化合 物 A xB y C zD 1x- y- z
E 都可以找到一位于正四面体内的点, 此点的坐标可完全描述该五元化
合物的组分. 而且, 五元系化合物的性质, 尤其是与组分有关的性质, 都可以在其组分分布图 形中找到相应的曲线或曲面. 当然, 为了简捷直观的目的, 也可用晶格匹配平面内的曲线表 示晶格匹配系统的性质.
a=Biblioteka ∑x xi i, jj
a ij i ≠ j
( 1)
式中 a 和 a ij 分别是五元系和二元化合物的晶格常数, i、 j 是五元系化合物所含的两种不同 族别的元素, x i、 . x j 是其在五元系中的摩尔百分比 五元系合金的禁带宽度可以用下式计算
Eg =
∑x x E
i j i, j
g
( ij ) +
∑x x x
i j i, j , k
k
∆( ij k ) + … i ≠ j ≠ k
( 2)
. 式中 E g、 E g ( ij ) 分别是五元系和二元系化合物的禁带宽度, 是三元系能带弯曲参数
5
-
族五元系化合物中的互溶隙
根据前人的研究结果[ 2 ] , 只有当一多元体系的吉布斯自由能函数出现两个极小值时, 系 统才有可能发生相分离现象, 此时函数必然存在拐点. 所以可用多元系统自由能函数拐点的 轨迹描述该系统的互溶隙的边界 . 在五元系中, 吉布斯自由能函数的拐点轨迹是 T 与五元 系统的组分参数 x 、 y、 z 构成的四维空间中的旋结面, 当限定系统温度 T 和晶格常数, 即满 足晶格匹配条件时, 其拐点轨迹便蜕化为平面内的旋结线. 假定五元系化合物的组分参数为 x 、 y、 z , 其吉布斯自由能函数为 F ( x , y , z ) , 根据前面