图论最大流问题.ppt

( fij f ji )
( fij f ji ) w.
iS , jS
iS , jS
因
所以 由于 所以
( fij f ji ) 0,
iS , jS
( fij f ji ) w.
iS , jS
0 fij cij , fij f ji fij
w
( fij f ji )
3. 割及其容量
定义4 如果S是V的一个子集， S V S ， s S, t S，则称边集 (S, S ) 为网络N的一个 割。显然，若把某一割的弧从网络中去掉，则 从s到t就不存在路。所以直观上讲，割是从s到t 的必经之道。
定义5 给一割 (S, S ) ，把其中所有弧的容量 之和称为这个割的容量，记为 c(S, S ) ，即
meijiPnst (cij fij )
令Pst每条边的流都增加，所得流分布仍然是网 络的可行流分布，但流增加了.
v1
v3
t =1
(5,3)
(2,1)
(4,1)
(6,2)
(5,2)
s
图3 网络中
v2
v4
的一部分
v1
v3
t
(5,4)
(2,2)
(4,2)
(6,2)
(5,3)
图4
s
v2
v4
还可以包含向后的可增流路径Pst，要求向前边eij 都有fij<cij，后向边eij满足fij>0,对前向边eij
图2
定理1 网络的最大流量不超过最小的割的容量，即 max w min c(S, S )
证明 设f是给定网络的任意可行流，由可行流的性质
fsj w j
( fij f ji ) 0. i s, t, j V j
任给一个割 (S, S )
( fij f ji ) w.
iS , jV
即
图1所给出的一个赋权有向图N就是一个网络， 指定v1是源点，v4为汇点，弧旁的数字为cij。
图1
图2
网络流：是定义在弧集合E上一个函数f={f(vi,vj)}， 并称f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量(简记为fij)。如图2所 示的网络N，弧上两个数，第一个数表示容量cij， 第二个数表示流量fij。
c(S, S) c(e)
e( S ,S )
网络N中容量最小的割 (S* , S* ) 称为N的最小割。
不难证明，任何一个可行流的流量w都不会超过 任一割的容量，即
w c(S, S)
例如，图2中，若 S {s},(S, S ) {(s, v3 ),(s, v2 )} c(S, S ) 4 3 7.
对于中间点：流入量=流出量，即
fij f ji , i s, t
j
j
对于源点与汇 点：源点的净流出量=汇点的净 流入量，即
fsj f jt w
j
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这一组fij称为网络N上的可行流,记为f，w称为流量. 网络N中流值最大的流f*称为N的最大流.
2. 可增广（流）路径
可增广路径，是指这条路径上的流可以修改，通
s (2,2) c (2,1) b
t
(1,1)
(1,1)
图8
d
定理2 最大流最小割定理：在一个网络N中，最 大流量等于最小割的容量。
证明 设网络的一个可行流f 为最大流，确定一 个割如下：
sS 若 x S,( x, y) 是向前边且 fx y cxy ，则 y S. 若 x S,( y, x) 是后前边且 f yx 0 ，则 y S.
a
第1条可增路s,c,b,t, =2
(1,0) s (2,0)
(1,0)
第2条可增路s,a,b,c,d,t,
(2,0)
t
c (2,0) b
(1,0)
(1,0)
图6
d
最大流w=3
a (1,0) s (2,2)
图7
a
(1,0)
(2,2) t
c (2,2) b
(1,0)
(1,0)
d
(1,1)
(1,1)
(2,2)
二、可行流与最大流
1. 定义
在实际问题中，对于流有两个显然的要求：一是 每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧 的容量)；二是中间点的流量为0，源点的净流出量 和汇点的净流入量必相等。因此有定义如下。
定义2 网络N中每条边都给定一个非负实数fij满足 下列条件
(1)容量约束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E， (2)守恒条件
网络与网络流
一、网络流的基本概念
先来看一个实例。 现在想将一些物资从S运抵T，必须经过一些中转 站。连接中转站的是公路，每条公路都有最大运 载量。 S、T和中转站作为点，每条公路作为弧作有向图， 每条弧上赋予该公路的最大运载量。最多能将多 少货物从S运抵T？
定义1 若有向图满足下列条件： (1)有且仅有一个入度为零的顶点s，称为源点； (2) 有且仅有一个出度为零的顶点t，称为汇点; (3) 每一条弧(vi, vj)都有一个非负数cij ，称为该 边的容量。如果vi,vj之间没有边，cij =0。 则称之为网络，记为N = (V, E, C).
后向边eji,
1 meijiPnst (cij fij )
2
min(
e ji Pst
f ji )
min{1, 2 }
图5，=1,
图5，=1,
v1
v3
t
(5,3)
(2,1)
(4,1) (6,2)
(5,2)
s
v2
v4
图5，=1,
(5,4) s
v1 (2,2)
v3 (4,2)
(6,1)
v2
v4
t (5,3)
则 t S ，否则存在s到t的一条可增路，矛盾。 因此，S ，则任意 x S, y S 的边(x,y)有
若 ( x, y)是向前边，fx y cxy; ( y, x) 是后前边，
f yx 0 由定理1， max w min c(S, S )
fij
cij c(S, S)
iS , jS
iS , jS
iS , jS
由于可行流和割的任意性，定理成立。
如果网络的可行流不是最大流，就一定存在从s 到t的可增流路径。
令s,v1,v2,…,vk,t是一条s到t的路径Pst，其中每条 边的方向都是vj到vj+1,称为向前边。如果这条路径 上每条边eij都有fij<cij，那么令
过修改，使得整个网络的流值增大。 定义3 设f是一个可行流，P是从源点s到汇点t的一
条路，若P满足下列条件： (1)在P上的所有前向弧(vi→vj)都是非饱和弧，即
0≤fij<cij； (2)在P上的所有后向弧(vi←vj)都是非零弧，即
0<fij≤cij。则称P为(关于可行流f的)一条可增广路 径。