统计学第四版一元线性回归
统计学第四版贾俊平人大-回归与时间序列stata
回归分析与时间序列一、一元线性回归11。
1 (1)编辑数据集，命名为linehuｉｇui1.daｔ输入命令ｓcatter ｃoｓt prｏduct，xlabｅｌ(#10，griｄ) yｌａbeｌ(#10，griｄ)，得到如下散点图,可以看到，产量和生产费用是正线性相关的关系。
(2)输入命令reｇcost pｒｏｄucｔ，得到如下图：可得线性函数(ｐｒｏduct为自变量,cosｔ为因变量）：y=０。
4２0683２x+１２4。
15，即β０＝124。
1５,β1=0。
４206832（3)对相关系数的显著性进行检验，可输入命令pwcorr cｏst pｒｏduct，sig ｓtar （．0５) pｒiｎt(。
05）,得到下图：可见,在α=0。
05的显著性水平下,P=0。
0000<α=０。
05,故拒绝原假设，即产量和生产费用之间存在显著的正相关性。
11。
2 (１)编辑数据集，命名为linｅhｕiｇui2。
dａt输入命令ｓｃａttｅｒfeｎｓhu timｅ,xｌaｂeｌ（＃４, gｒid) ylabeｌ(#4，gｒｉｄ），得到如下散点图,可以看到，分数和复习时间是正线性相关的关系。
２）输入命令cor fenshu timｅ计算相关系数,得下图:可见，r=0.8621，可见分数和复习时间之间存在高度的正相关性。
11．3 (１）(2）对于线性回归方程ｙ=10-0。
5x，其中β０=10,表示回归直线的截距为１0;β１=—0.5,表示x变化一单位引起ｙ的变化为—0.５。
(3)x=6时，E（ｙ）=10-０．5*6=7．11.４（1）R2=SSRSST =SSRSSR+SSE=3636+4=0.9，判定系数R2测度了回归直线对观测数据的拟合程度,即在分数的变差中,有９0%可以由分数与复习时间之间的线性关系解释,或者说，在分数取值的变动中,有９0%由复习时间决定。
可见，两者之间有很强的线性关系.（2）估计标准误差S e=√SSEn−2=√418−2=0.25分，即根据复习时间来估计分数时，平均的估计误差为0.２5分.11．5 （1)编辑数据集,命名为linｅhuiｇui3。
统计学一元线性回归模型
• 回归分析仅对存在因果关系而言。
正相关 线性相关 统计依赖关系 不相关 相关系数： 有因果关系 无因果关系 回归分析 相关分析 负相关 1 XY 1 正相关 非线性相关 不相关 负相关
1、关于模型关系的假设
• 模型设定正确假设。The regression model is correctly specified. • 线性回归假设。The regression model is linear in the parameters。
Yi 0 1 X i i
• 称为观察值围绕它的期望值的离差 （deviation），是一个不可观测的随机变量， 又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或 随机误差项（stochastic error）。
i Yi E (Y | X i )
• 例2.1.1中，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出 可表示为两部分之和：
• 回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主 要内容包括：
– 根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得 回归方程；
– 对回归方程、参数估计值进行显著性检验；
– 利用回归方程进行分析、评价及预测。
二、总体回归函数 Population Regression Function, PRF
1、条件均值（conditional mean）
E (Y | X i ) f ( X i )
• 含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的 平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化 的规律。 • 函数形式：可以是线性或非线性的。 • 例2.1.1中，将居民消费支出看成是其可支配收 入的线性函数时:
统计学-第11章一元线性回归学习指导
第11章一元线性回归（相关与回归）学习指导一、本章基本知识梳理基本知识点含义或公式相关关系 客观现象之间确实存在的、但在数量表现上不是严格对应的依存关系。
函数关系 客观现象之间确实存在的、而且数量表现上是严格对应的依存关系。
因果关系有相关关系的现象中能够明确其中一种现象(变量)是引起另一种现象(变量)变化的原因，另一种现象是这种现象变化的结果。
起影响作用的现象(变量)称为“自变量”；而受自变量影响发生变动的现象(变量)称为“因变量”。
因果关系∊相关关系，但相关关系中还包括互为因果关系的情况。
相关关系的种类 按涉及变量多少分为单相关、复相关；按相关方向分为正相关、负相关；按相关形态分为线性相关、非线性相关等。
线性(直线) 相关系数 简称相关系数，反映具有直线相关关系的两个变量关系的密切程度。
()()∑∑∑∑∑∑∑---==2222y yn x xn yx xy n SS S r yx xy相关系数的 显著性检验 ——t 检验 ()().2;,212:0:,0:020221Hn t t Hn t t rn r t HH，拒绝不能拒绝检验统计量-〉-〈--=≠=ααρρ回归方程中的 参数β0和β1为回归直线的截距、起始值，表示在没有自变量x 的影响(即x =0)时，其他各种因素对因变量y 的平均影响；β1为回归系数、斜率，表示自变量x 每变动一个单位，因变量y 的平均变动量。
β1的最小平方估计：∑∑∑∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221x x n yx xy nβ估计标准误差反映因变量实际值与其估计值之间的平均差异程度，表明其估计值对实际值的代表性强弱。
其值越大，实际值与估计值之间的平均差异程度越大，估计值的代表性越差。
()代替。
用大样本条件下，分母可；n n yyS e 2ˆ2--=∑总离差平方和S S T反映因变量的n 个观察值与其均值的总离差。
回归离差平方和S S R 反映自变量x 的变化对因变量y 取值变化的影响；或者说，是由于x 与y 之间的线性关系引起的y 取值的变化，也称为可解释的平方和。
计量经济学(第四版)课件：一元线性回归分析基础
一元线性回归分析基础
第三节 最小二乘估计量的性质
β*1= - β1 =(1/n)∑Yt- ∑btYt =∑[(1/n)- bt]Yt 令 at= [(1/n)- bt] 由于和bt均为非随机变量，所以at也是非随机变量。 因此 β*1 =∑atYt 即β*1是Yt的线性组合。
一元线性回归分析基础
第三节 最小二乘估计量的性质
二、无偏性 指β*1和β*2 的期望值分别等于总体参数β1和β2。 即E(β*1)=β1 E(β*2 )=β2 E(β*2 )=E(β2+∑btut) =β2+∑btE(ut) =β2 E(β*1)=E(β1+∑atut) =β1
总体
有限总体
无限总体
任何样本都是有限的
一元线性回归分析基础
第三节 最小二乘估计量的性质
一、线性特性
是指参数估计值β*1和β*2分别为观察值Yt或扰动项ut的线性组合。
证： β*2 =∑Xtyt/ ∑Xt2 =∑Xt(Yt- )/∑X2t =∑（Xt/∑Xt2）Yt 令 bt= （Xt/∑Xt2） 得 β*2 = ∑ bt Yt 即β*2 是Yt的线性组合
一元线性回归分析基础
第三节 最小二乘估计量的性质
2.证明最小方差性 假设β**2是其他方法得到的关于β2的线性无偏估计 β**2=∑ctYt 其中，ct=bt+dt，dt为不全为零的常数 则容易证明 var(β**2)≥ var(β*2) 同理可证明β1的最小二乘估计量β*1具有最小方差。 高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)： 满足性质1、2、3的最小二乘估计量是最优线性无偏估计量（best linear unbiased estimator：BLUE）
(09)第9章 一元线性回归(2011年)
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体 变量之间的关系？
9-9 *
9.1 变量间的关系 9.1.1 变量间是什么样的关系？
统计学 STATIS TICS
函数关系
(第四版) 1. 是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量 x 和 y ，变量 y y 随变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 x 3. 各观测点落在一条线上
y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素 对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数
9 - 30 *
统 计 学 数据分析 (方法与案例)
作者 贾俊平
统计学 STATIS TICS
(第四版)
统计名言
不要过于教条地对待研究的结果， 尤其当数据的质量受到怀疑时。
——Damodar N.Gujarati
9-2 *
第 9 章 一元线性回归
9.1 9.2 9.3 9.4 变量间关系的度量 一元线性回归的估计和检验 利用回归方程进行预测 用残差检验模型的假定
9-7
*
第 9 章 一元线性回归
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？ 9.1.2 用散点图描述相关关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
《一元线性回归》ppt课件
E (Y|Xi)01Xi2 E (Y|Xi)01 2Xi
三、总体回归模型与随机干扰项 〔 population regression model，PRM & stochastic disturbance/error〕
• 描画总体中解释变量X和被解释变量Y的个体值Yi之间的变 化规律：Yi＝f〔Xi〕＋μi
称为线性总体回归函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系 数〔regression coefficients〕。
A1：“线性〞的含义
• 对变量为线性——解释变量以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线是一条直线
• 对参数为线性——回归系数以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线并不一定是直线
四、样本回归函数 〔sample regression function，SRF〕
•描画样本中解释变量X和被解释变量Y的之间的平均变化规 律：Y^i＝f〔Xi〕
1、样本回归函数〔SRF〕
• 总体的信息往往无法掌握，因此PRF实践上未知 • 现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本，经过样本的信息来 估计总体回归函数。
1969 1991 2046 2068 2101
968 1045 1243 1474 1672 1881 1078 1254 1496 1683 1925
2189 2233
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2299
1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
问题：能否从样本估计总体回归函数？
例2.2：从例2.1的总体中获得如下一个样本：
统计学课件 第十一章 一元线性回归
相关系数的显著性检验
(例题分析)
各相关系数检验的统计量
作者：张占贞 作者：张占贞
青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
§11.2
一元线性回归
11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4
一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
变量间的关系
作者：张占贞 作者：张占贞
青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
函数关系
是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量 x 和 y ，变量 y y 随变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 3. 各观测点落在一条线上
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
相关系数的经验解释
|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5≤|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3≤|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关 5. 上述解释必须建立在对相关系数的显著性 进行检验的基础之上
3. 根据显著性水平α＝0.05，查t分布表得tα/2(n-2)=2.069 由于 | t|=7.5344>tα/2(25-2)=2.069 ， 拒绝 H0 ， 不良贷 款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
贾俊平第四版统计学-第十一章一元线性回归练习答案
第十一章一元线性回归练习题答案二．填空题 1. 不能；因为该相关系数为样本计算出的相关系数，它的大小受样本数据波动的影响，它是否显著尚需检验；t 检验;2.图1；不能；因为图1反映的是线性相关关系，图2反映的是非线性性相关关系，相关系数只能反映线性相关变量间的相关性的强弱，不能反映非线性相关性的强弱。
三．计算题1.（1） SSR 的自由度是1，SSE 的自由度是18。
（2）2418/6080220/1/==-=SSE SSR F(3)判定系数%14.57140802===SST SSR R 在y 的总变差中，由57.14％的变差是由于x 的变动说引起的。
(4)7559.05714.02-=-=-=R r相关系数为-0.7559。
(5)线性关系显著和：线性关系不显著和y x y x H 10H :因为414.424=>=αF F，所以拒绝原假设，x 与y 之间的线性关系显著。
2.（1）方差分析表df SS MS F Significance F回归分析 1 425 425 85 0.017 残差 15 75 5 － － 总计16500－－－（2）判定系数%8585.05004252====SST SSR R表明在维护费用的变差中，有85％的变差可由使用年限来解释。
（3）9220.085.02===R r二者相关系数为0.9220，属于高度相关（4）x y248.1388.6ˆ+= 分布；显著。
的自由度为t n r n r t 2);12||2---=回归系数为1.248，表示每增加一个单位的产量，该行业的生产费用将平均增长1.248个单位。
（5）线性关系显著性检验：线性关系显著：生产费用和产量之间性关系不显著生产费用和产量之间线10:H H因为Significance F=0.017<05.0＝α,所以线性关系显著。
（6）348.3120248.1388.6248.1388.6ˆ＝＝⨯++=x y当产量为10时，生产费用为31.348万元。
第十三章 一元线性回归
变量之间存在关系的两种类型： 确定性关系（函数关系） 不确定性关系（相关关系）
函数关系
1.
2.
3.
是一一对应的确定关系：一 个（或多个）确定的自变量 的值对应一个确定的因变量 的值。 y 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 x 各观测点落在一条线上
l xy = ( x x)( y y ) = xy N x y
则：a = y b x
b = l xy / l xx
步骤：1、由变量x求 x来自l xx （自方差） 2、由变量y求 y，l yy 3、由x、y求l xy （协方差） 4、求a、b ˆ 5、写出方程：y = a + bx
【例】有15个学生，数学和物理成绩列于表内， 现想求一个物理成绩对数学成绩的一元回归方 程。
23 8 40 19 60 69 21 66 15 46 26 32 30 58 28 22 23 33 41 57 7 57 37 68 27 41 20 30
数学（x） 31 物理（y） 32
解：
1.
2.
3.
相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
一元线性回归教案
一元线性回归教案引言一元线性回归是统计学中非常重要的一种回归分析方法。
它能够通过建立一个线性模型，根据自变量的值来预测因变量的值。
本教案将介绍一元线性回归的基本概念、原理和应用场景，并通过示例演示如何进行一元线性回归分析。
目录1.什么是一元线性回归？2.一元线性回归的原理3.数据的处理与准备4.拟合一元线性回归模型5.模型评估与预测6.应用案例分析7.总结1. 什么是一元线性回归？一元线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的线性回归模型。
它的数学表达式为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是模型的参数，ε是误差项。
一元线性回归的目标是找到最合适的β0和β1，使得模型对观测数据点的拟合程度最优。
2. 一元线性回归的原理一元线性回归的原理基于最小二乘法，即通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
最小二乘法可以通过求解正规方程来获得最优的参数估计值。
3. 数据的处理与准备在进行一元线性回归分析之前，需要对数据进行处理和准备。
这包括数据清洗、变量选择和数据可视化等步骤。
本节将介绍常用的数据处理方法，以及如何选择适当的自变量和因变量。
4. 拟合一元线性回归模型拟合一元线性回归模型是通过最小二乘法来确定模型的参数估计值。
本节将介绍如何使用Python中的scikit-learn库来拟合一元线性回归模型，并分析模型的拟合结果。
5. 模型评估与预测在拟合一元线性回归模型之后，需要对模型进行评估和预测。
本节将介绍常用的评估指标，如均方误差（MSE）和决定系数（R-squared），以及如何使用模型进行预测。
6. 应用案例分析本节将通过一个实际的数据集来展示一元线性回归的应用场景。
通过分析数据集中的自变量和因变量之间的关系，我们可以建立一元线性回归模型，并对模型进行评估和预测。
7. 总结本教案从一元线性回归的基本概念和原理开始，通过示例和实践对一元线性回归进行了详细讲解。
从统计学看线性回归（1）——一元线性回归
从统计学看线性回归（1）——⼀元线性回归⽬录1. ⼀元线性回归模型的数学形式2. 回归参数β0 , β1的估计3. 最⼩⼆乘估计的性质 线性性 ⽆偏性 最⼩⽅差性⼀、⼀元线性回归模型的数学形式 ⼀元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。
⾃变量与因变量间的线性关系的数学结构通常⽤式（1）的形式：y = β0 + β1x + ε (1)其中两个变量y与x之间的关系⽤两部分描述。
⼀部分是由于x的变化引起y线性变化的部分，即β0+ β1x，另⼀部分是由其他⼀切随机因素引起的，记为ε。
该式确切的表达了变量x与y之间密切关系，但密切的程度⼜没有到x唯⼀确定y的这种特殊关系。
式（1）称为变量y对x的⼀元线性回归理论模型。
⼀般称y为被解释变量（因变量），x为解释变量（⾃变量），β0和β1是未知参数，成β0为回归常数，β1为回归系数。
ε表⽰其他随机因素的影响。
⼀般假定ε是不可观测的随机误差，它是⼀个随机变量，通常假定ε满⾜：（2）对式（1）两边求期望，得E(y) = β0 + β1x, （3）称式（3）为回归⽅程。
E(ε) = 0 可以理解为ε对 y 的总体影响期望为 0，也就是说在给定 x 下，由x确定的线性部分β0 + β1x 已经确定，现在只有ε对 y 产⽣影响，在 x = x0，ε = 0即除x以外其他⼀切因素对 y 的影响为0时，设 y = y0，经过多次采样，y 的值在 y0 上下波动（因为采样中ε不恒等于0），若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果，ε对 y 的综合影响为0，则可以很好的分析 x 对 y 的影响（因为其他⼀切因素的综合影响为0，但要保证样本量不能太少）；若 E(ε) = c ≠ 0，即ε对 y 的综合影响是⼀个不为0的常数，则E(y) = β0 + β1x + E(ε)，那么 E(ε) 这个常数可以直接被β0 捕获，从⽽变为公式（3）；若 E(ε) = 变量，则说明ε在不同的 x 下对 y 的影响不同，那么说明存在其他变量也对 y 有显著作⽤。
统计学B02-第四节一元线性回归模型的评价与检验
简捷计算公式
y 2 b y b xy
s
0
1
yx
n2
相关与回归分析
一元线性回归模型
拟合优度的计算
以2000-2015年杭州市城镇 居民年人均可支配收入与年 人均消费支出数据资料为例， 已经拟合城镇居民年人均消 费支出倚年人均可支配收入 的回归方程。
y 1806.9 0.629 x c
20698.9
230318.41
2011
34065 22642
23233.8
350209.49
2012
37511 22800
25401.3
6766860.5
2013
39310 24833
26532.9
2889626
2014
44632 32165
29880.4
5219269.2
2015
48316 33818
yx
n2
14
相关与回归分析
一元线性回归模型
解：
一元线性回归方程计算表
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 合计
X 9668 10896 11778 12898 14565 16601 19027 21689 24104 26864 30035 34065 37511 39310 44632 48316 401959
相关与回归分析
一元线性回归模型
估计标准误
估计标准误（standard error of estimate） 是对各观测数据在回归直线周围分散程度的一个度量值，反映了 用估计的回归方程拟合因变量Y时平均误差的大小。可以证明， Syx 是对误差项ε的标准差σ的无偏估计。
一元线性回归公式
一元线性回归公式一元线性回归公式是一种基本的统计学模型，它在统计学和机器学习领域中都有广泛应用，可以用来预测和分析两个变量之间的关系。
一元线性回归的公式可以通俗地表达为：Y = +X，其中Y为因变量，X为自变量，α为截距项，β为斜率。
一元线性回归的本质就是对两个变量之间的线性关系进行拟合，同时计算出两个变量之间的斜率β和截距项α。
两个变量之间的线性关系能够概括为Y = +X，其中X是自变量，Y是因变量，α是压力，β是应力。
由于一元线性回归模型只分析两个变量之间的关系，因此该模型也称为双变量回归模型。
一元线性回归的原理是什么呢？一元线性回归的原理是使用最小二乘法（Least Squares）来找到最佳拟合参数，以使所有样本点和拟合曲线之间的总误差最小。
通过最小二乘法，系统可以根据输入数据自动计算出α和β参数，从而实现回归拟合。
一元线性回归公式是一种重要的统计模型，用于分析两个变量之间的关系。
它能够解决各种数量和定性难题，比如预测消费者行为、分析市场趋势等，以及帮助企业做出数据驱动的决策。
统计学家除了使用一元线性回归公式外，还可以使用多元线性回归来分析多个变量之间的关系，多元线性回归旨在更加准确地预测多元变量之间的关系，从而获得更准确的预测结果。
一元线性回归模型可以很容易地使用统计分析软件或者编程语言实现，它是实现数据驱动的管理层面的有力武器。
此外，一元线性回归模型在机器学习领域中也有着重要的作用，因为它可以用来训练算法，从而帮助计算机更准确地预测结果。
总的来说，一元线性回归公式是一种广泛应用的基础统计学模型，它可以帮助企业进行数据驱动的决策，也可以用于机器学习算法的训练，从而提高算法预测的准确性。
第2章一元线性回归模型
布图上的点接近于一条曲线时，称为非线性相关。简单相关按
符号又可分为 正相关 （见图2.3.4 ）、负相关 （见图2.3.8 ）和零 相关 （见图2.3.6 ）。两个变量趋于在同一个方向变化时，即同
增或同减，称为变量之间存在正相关；当两个变量趋于在相反
方向变化时，即当一个变量增加，另一个变量减少时，称为变 量之间存在负相关；当两个变量的变化相互没有关系时，称为
4、普通最小二乘法
为什么要使用OLS？ （1）OLS的应用相对简便； （2）以最小化残差平方和为目标在理论很合理； （3）OLS估计量有很多有用的性质。 1）估计的回归线通过Y和X的均值。下列等式总是
ˆ ˆX 严格成立的：设下，可以证明，OLS是 “最优”的估计方法。
2.2.2 最小二乘估计量的性质
一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其
优劣性： （1）线性。即它是否是另一个随机变量的线性函数；
（2）无偏性。即它的均值或期望是否等于总体的真实值；
（3）有效性。即它是否在所有的线性无偏估计量中具有 最小方差； （4）渐近无偏性。 即样本容量趋于无穷大时，它的均值 序列趋于总体的真值； （5）一致性。即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率 收敛于总体的真值；
1．总变差的分解
ˆ b ˆX ˆ b Yt的估计值位于估计的回归线 Y t 0 1 t 上，Y围绕其均值的变异 (Y Y )可被分解为两部分：
ˆ Y ) (1) (Y t
ˆ) (2) (Yt Y t
样本回归函数：
3．相关系数检验
（1）变量相关的定义和分类
相关：指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。
2 2 ˆ e ( Y Y ) i i OLS 最小化 i i 1 i 1
统计学一元线性回归课后习题答案
6.0
5.0 ） 天 4.0 （ 间 3.0 时 送 2.0 运
1.0
0.0 0
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600
运送距离（公里）
根据图表显示，二者可能存在正线性相关关系
(2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度
运送距离x 运送时间 y
运送距离 x
1
运送时间y 0.94894
r?
n ? xy ? ? x ? y
n ? x 2 ? ?? ?x 2 ? n ? y 2 ? ?? ?y 2
?
7*651007421 ? 2710124051
? 0.998123
7*1904918867 ? ?85739 ?2 ? 7*1346900766 ? ?31609 ?2
说明两个变量之间高度相关
s??1 0.98589
t ? ??1 ~ t(8) =2.201
s??1
t=4.7684>t???=2.201，拒绝H0，回归 系数显著
4）如果航班正点率为80%，估计顾客投诉次数
y?80 =429.897-4.7*80=54.2
5）求航班正点率为80%，顾客投诉次数95%的置信区间和预测区间 解：已知n=10，t? ??(10-2)=2.306
运送时间y 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0
(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形 态 (2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实 际意义。
(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态
《统计学》实验报告(一元线性回归分析)
南昌航空大学经济管理学院学生实验报告实验课程名称：统计学实验时间 2012.12.24 班级学号 11091125 姓名戴文琦成绩实验地点 G804实验性质： □基础性 ■综合性 □设计性实验项目名 称一元线性回归分析指导老师王秀芝一、实验目的：掌握用SPSS 软件进行一元线性回归分析。
二、实验要求：在《中国统计年鉴》中选择合适的数据进行一元线性回归分析（注明数据来源）。
注意回归分析要有经济意义。
三、实验结果及主要结论根据该表进行拟合优度检验。
由于判定系数（0.983）较接近1，因此，认为拟合优度较高，被解释变量可以被模型解释的部分较多，不能被解释的部分较少。
由表中数据，被解释变量的SST 为2.462×107，SSR 为2.379×107，SSE 为835127.295，MSR 为2.379×107，MSE 为167025.459，F 统计量的观测值为142.428，对应的概率P 值近似为0。
根据表中数据进行回归方程的显著性检验。
如果显著性水平α为0.05，由于概率P 值小于显著性水平α，应拒绝回归方程显著性检验的原假设（β1＝0），认为回归系数不为0，被解释变量与解释变量的线性关系显著，可建立线性模型。
根据表中数据进行回归系数的显著性检验。
可以看出，如果显著性水平α为0.05，变量回归系数显著性t 检验的概率远远小于显著性水平α，因此拒绝原假设（β1＝0），认为回归系数与0存在显著差异，即不为0。
根据上述结果写出的一元线性回归方程如下1：x y214.0858.2437ˆ+= 原数据：按收入等级分城镇居民家庭平均每人全年现金消费支出 (2011年)Model SummaryModel R R Square Adjusted R Square Std. Error of theEstimate 1.983a.966.959408.68748a. Predictors: (Constant), 现金消费支出 (元)ANOVA bModel Sum of Squares df Mean Square F Sig.1 Regression 2.379E7 1 2.379E7 142.428 .000aResidual 835127.295 5 167025.459 Total 2.462E7 6a. Predictors: (Constant), 现金消费支出 (元)b. Dependent Variable: 食品 Coefficients aModelUnstandardizedCoefficients Standardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant) 2437.858 349.6876.972.001现金消费支出(元).214.018.98311.934 .000a. Dependent Variable: 食品1未考虑异方差问题。
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计算相关系数
统计学
STATISTICS (第四版)
相关系数的性质
性质1：r 的取值范围是 [-1,1]
|r|=1，为完全相关
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关
r = 0，不存在线性相关关系
-1r<0，为负相关 0<r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关
➢ 当结果被绘制出来之后，他发现并非每一个子代都与父代 一样，不同的是，尺寸小的豌豆会得到更大的子代，而尺 寸 大 的 豌 豆 却 得 到 较 小 的 子 代 。 Galton 把 这 一 现 象 叫 做 “返祖”(趋向于祖先的某种平均类型)，后来又称之为“向 平均回归”。一个总体中在某一时期具有某一极端特征(低 于或高于总体均值)的个体在未来的某一时期将减弱它的极 端性(或者是单个个体或者是整个子代)，这一趋势现在被称 作“回归效应”。人们发现它的应用很广，而不仅限于从 一代到下一代豌豆大小问题
系越弱
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统计学
STATISTICS (第四版)
相关系数的性质
性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间 的相关系数相等，即rxy= ryx
性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小
性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意为着， r=0只表示两个 变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之
9-5
统计学
STATISTICS (第四版)
9-6
统计学
STATISTICS (第四版)
9-7
第 9 章 一元线性回归
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？ 9.1.2 用散点图描述相关关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
统计学
STATISTICS (第四版)
怎样分析变量间的关系？
9 - 12
统计学
STATISTICS (第四版)
相关关系
(correlation)
1. 一 个 变 量 的 取 值 不 能
由另一个变量唯一确
定
y
2. 当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值对应着 一个分布
3. 各 观 测 点 分变量间的关系 9.1.2 用散点图描述相关关系
3. 各观测点落在一条线上
x
9 - 11
统计学
STATISTICS (第四版)
相关关系
(几个例子)
子女的身高与其父母身高的关系
从遗传学角度看，父母身高较高时，其子女的身高一般也比 较高。但实际情况并不完全是这样，因为子女的身高并不完 全是由父母身高一个因素所决定的，还有其他许多因素的影 响
一个人的收入水平同他受教育程度的关系
统计学
STATISTICS (第四版)
学习目标
相关关系的分析 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 回归方程的显著性检验 利用回归方程进行预测 用残差证实模型的假定 用 Excel 和SPSS进行回归
9-4
统计学
STATISTICS (第四版)
子代与父代一样吗？
➢ Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。1875年， Galton利用豌豆实验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组 不同尺寸的豌豆，并说服他在英国不同地区的朋友每一组 种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子(父代)与新长的豌 豆种子(子代)进行尺寸比较
统计学
STATISTICS (第四版)
完全正线性相关
正线性相关
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散点图
(scatter diagram)
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
统计学
STATISTICS (第四版)
用散点图描述变量间的关系
(例题分析)
【例9-1】为研究销售收入与广告费用支出之间的关系， 某医药管理部门随机抽取20家药品生产企业，得到它 们的年销售收入和广告费用支出(万元)的数据如下。 绘制散点图描述销售收入与广告费用之间的关系
收入水平相同的人，他们受教育的程度也不可能不同，而受 教育程度相同的人，他们的收入水平也往往不同。因为收入 水平虽然与受教育程度有关系，但它并不是决定收入的惟一 因素，还有职业、工作年限等诸多因素的影响
农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系
在一定条件下，降雨量越多，单位面积产量就越高。但产量 并不是由降雨量一个因素决定的，还有施肥量、温度、管理 水平等其他许多因素的影响
统计学 数据分析
(方法与案例)
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第四版)
统计名言
不要过于教条地对待研究的结果， 尤其当数据的质量受到怀疑时。
——Damodar N.Gujarati
9-2
第 9 章 一元线性回归
9.1 变量间关系的度量 9.2 一元线性回归的估计和检验 9.3 利用回归方程进行预测 9.4 用残差检验模型的假定
建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之 间的关系。分析变量之间的关系需要解决 下面的问题
变量之间是否存在关系？
如果存在，它们之间是什么样的关系？
变量之间的关系强度如何？
样本所反映的变量之间的关系能否代表总体 变量之间的关系？
9-9
9.1 变量间的关系 9.1.1 变量间是什么样的关系？
统计学
STATISTICS (第四版)
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
2.
设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完
y
全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量
原始数据
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统计学
STATISTICS (第四版)
散点图
(销售收入和广告费用的散点图)
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9.1 变量间的关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
统计学
STATISTICS (第四版)
相关系数
(correlation coefficient)
1.度量变量之间线性关系强度的一个统计量
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体
相关系数，记为
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数， 简称为相关系数，记为 r
也称为Pearson相关系数 (Pearson’s correlation coefficient)
2.样本相关系数的计算公式
3. r (xx)(yy) (xx)2(yy)2