§3.2.2立体几何中的向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角
§立体几何中的向量方法(4)
向量法求线线角与线面角
一、学习目标
1.理解直线与平面所成角的概念.
2.掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法. 二、问题导学
问题1:什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2:怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角
设l 1与l 2是两异面直线,a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量,l 1、l 2所成的角为θ, 则〈a ,b 〉与θ ,cos θ= 。 问题3:用向量的数量积可以求异面直线所成的角,能否求线面角
如图,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,
n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,θ=〈a ,n 〉,
则sin φ= 。 三、例题探究
例1.如图,M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点.求异面直线MN 与'CD 所成的角.
变式:在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=AB =AC ,AB ⊥AC ,M 是CC 1的中点,Q 是BC 的
班别: _____________
学号: _____________
高二理科数学
导学案
中点,点P在A1B1上,则直线PQ与直线AM所成的角等于 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
例2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,
求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
变式:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求BD与平面ADMN所成的角θ.
四、练一练(时间:5分钟)
1. 1.若平面α的法向量为μ,直线l的方向向量为v,
直线l与平面α的夹角为θ,则下列关系式成立的是 ( )
A.cosθ=μ·v
|μ||v| B.cosθ=
|μ·v|
|μ||υ|
C.sinθ=
μ·v
|μ||v|
D.sinθ=
|μ·v|
|μ||v|
2.如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,B 1E 1=D 1F 1=4
1
1B A , 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )
A .
1715 B .2
1 C .
17
8
D .23
3.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等,则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( ) A .
54 B .104 C .52 D .10
2
4.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =4,CC 1=2,则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的
正弦值为 ( )
5.正四棱锥S —ABCD ,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱SD 的中点,且SO =OD ,则直线
BC 与平面PAC 所成的角为 .
【参考答案】§立体几何中的向量方法(4)
向量法求线线角与线面角
一、学习目标
1.理解直线与平面所成角的概念.
2.掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法. 用向量方法求空间中的角
A
B
C
D 1
E 1
F 1
A 1
B 1
C 1D
二面角
设二面角α—l —β的平面角为θ,平面α、β的
法向量为n 1,n 2,则|cos θ|=|cos 〈n 1,n 1〉|=|n 1·n 2|
|n 1|·|n 2|
.
[0,π] 设l 1与l 2是两异面直线,a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量,l 1、l 2所成的角为θ,则〈a ,
b 〉与θ相等或互补,∴cos θ=
|a ·b |
|a |·|b |
.
2.求直线与平面所成的角
如图,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,
φ为l 与α所成的角,θ=〈a ,n 〉,则sin φ=|cos θ|=|cos 〈a ,n 〉|=
|a ·n |
|a ||n |
.
二、问题导学
问题1:什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2:怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角
设l 1与l 2是两异面直线,a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量,l 1、l 2所成的角为θ, 则〈a ,b 〉与θ ,cos θ= 。 问题3:用向量的数量积可以求异面直线所成的角,能否求线面角
如图,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,
n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,θ=〈a ,n 〉,
则sin φ= 。
三、例题探究
例1.如图,M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点.求异面直线MN 与'CD 所成的角.
【答案】 60°
变式:在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=AB =AC ,AB ⊥AC ,M 是CC 1的中点,Q 是BC 的中点,点P 在A 1B 1上,则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( )
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
[答案] D
[解析] 以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴,AA 1为z 轴建立空间直角坐标系,设AB =1,A (0,0,0),M (0,1,12),Q (12,1
2
,0),设P (x,0,1),
∴AM →=(0,1,12),PQ →=(12-x ,12,-1),AM →·PQ →
=0×(12-x )+1×12+12×(-1)=0,
∴AM →⊥PQ →
,∴选D.
[点评] 1.求异面直线所成的角的常用方法是: (1)作图——证明——计算; (2)把角的求解转化为向量运算.
2.一般地,若直线AM 和点Q 固定,点P 变动,则直线AM 与PQ 所成的角为变量,若此角不随P 的变化而变化,则只能是AM ⊥平面P 1P 2Q (其中P 1、P 2是P 运动轨迹中的两个点),故选D.
例2.如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°.
(1)证明:AB ⊥A 1C ;
(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,AB =CB =2, 求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.
[解析] (1)取AB 中点O ,连接CO ,A 1B ,A 1O , ∵AB =AA 1,∠BAA 1=60°,∴△BAA 1是正三角形, ∴A 1O ⊥AB ,
∵CA =CB ,∴CO ⊥AB ,
∵CO ∩A 1O =O ,∴AB ⊥平面COA 1, ∴AB ⊥A 1C .
(2)由(1)知OC ⊥AB ,OA 1⊥AB ,
又∵平面ABC ⊥平面ABB 1A 1,平面ABC ∩平面ABB 1A 1=AB ,∴OC ⊥平面ABB 1A 1,∴OC ⊥
OA 1,∴OA ,OC ,OA 1两两相互垂直,以O 为坐标原点,OA →的方向为x 轴正方向,|OA →
|为单
位长度,建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ,
由题设知A (1,0,0),A 1(0,3,0),C (0,0,3),B (-1,0,0),则BC →
=(1,0,3),
BB 1→=AA 1→=(-1,3,0),A 1C →
=(0,-3,3),
设n =(x ,y ,z )是平面CBB 1C 1的法向量, 则???
??
n ·BC →=0
n ·BB 1→=0
即??
?
x +3z =0,
-x +3y =0,
可取n =(3,1,-1),
∴cos 〈n ,A 1C →
〉=
n ·A 1C
→
|n ||A 1C →|
=-105, ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为
105
.
变式:如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC ,∠BAD =90°,PA ⊥底面ABCD ,且PA =AD =AB =2BC ,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求BD 与平面ADMN 所成的角θ.
[解析] 如图所示,建立空间直角坐标系,设BC =1,则A (0,0,0),B (2,0,0),D (0,2,0),
P (0,0,2),则N (1,0,1).
∴BD →=(-2,2,0),AD →=(0,2,0),AN →
=(1,0,1), 设平面ADMN 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则由???
??
n ·AD →=0
n ·AN →=0
,得???
?
?
y =0x +z =0
,取x =1,则z =-1,
∴n =(1,0,-1).
∵cos 〈BD →
,n 〉=BD →
·n |BD →||n |=-28·2=-12,
∴sin θ=|cos 〈BD →
,n 〉|=12.
又0°≤θ≤90°,∴θ=30°. 方法规律总结
用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角,都是转化为直线的方向向量或平
面的法向量的夹角计算问题,需注意的是①异面直线所成的角θ∈(0,π
2],故两直线的
方向向量夹角α的余弦值为负时,应取其绝对值;②若直线与平面所成的角θ,直线的方向向量和平面的法向量夹角为φ,则其关系为sin θ=|cos φ|;③若二面角为θ,两平面的法向量夹角为α,则|cos θ|=|cos α|,需分辨角θ是锐角还是钝角,可由图形观察得出,也可由法向量特征得出.
四、练一练(时间:5分钟)
1. 若平面α的法向量为μ,直线l 的方向向量为v ,
直线l 与平面α的夹角为θ,则下列关系式成立的是 ( ) A .cos θ=
μ·v |μ||v| B .cos θ=|μ·v||μ||υ| C .sin θ=μ·v |μ||v| D .sin θ=|μ·v|
|μ||v|
[答案] D
2.如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,B 1E 1=D 1F 1=4
1
1B A , 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )
A .1715
B .2
1
C .17
8
D .23
[答案] A
[解析] 如图所示,建立空间直角坐标系,设AB =4,则D (0,0,0),B (4,4,0),
E 1(4,3,4),
F 1(0,1,4),则BE 1→= (0,-1,4),DF 1→
= (0,1,4). BE 1→
·DF 1→
=0×0+(-1)×1+4×4=15,|BE 1→
|=17,|DF 1→
|=17,
A
B
C
D 1
E 1
F 1
A 1
B 1
C 1
D C
D
1
E 1
F 1
A 1
B 1
C 1D
∵cos 〈BE 1→,DF 1→
〉=
BE →·DF
→
|BE →||DF →|
==1517·17=15
17,
设1BE 与1DF 所成的角为θ,则cos θ=|
BE →·DF
→
|BE →||DF →|
|=15
17,
即1BE 与1DF 所成的角的余弦值为15
17
.故选A .
3.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等,则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( )
A 、54
B 、104
C 、52
D 、102
[答案] B
[解析] 取BC 的中点D ,连结DC 1, 可以证明AD 平面BB 1C 1C , 则
AC 1D 是AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角,
cos AC 1D 11510422C D AC ===,即AC 1与平面BB 1C 1C 10
,故选B .
4.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =4,CC 1=2,则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为 ( )
[答案] C
[解析] 解法一:连结A 1C 1交B 1D 1于O 点,由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1,且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1,连结BO ,则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影,∠C 1BO 即为所求,通过计算得sin ∠C 1BO =
10
5
,故选C. A
B C
1
A 1
B 1
C D
解法二:以A 为原点,AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (4,0,0)、
B 1(4,0,2)、D (0,4,0)、D 1(0,4,2)、
C 1(4,4,2),∴BC 1→
=(0,4,2),BD →
=(-4,4,0),BB 1→
=
(0,0,2),
设平面BDD 1B 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 ?????
n ·BD →=0n ·BB 1
→=0
,∴?
??
??
-4x +4y =0
2z =0,∴?
??
??
y =x
z =0,取x =1,则n =(1,1,0).
设所求线面角为α,则sin α=|cos 〈n ,BC 1→
〉|=
|n ·BC 1→
||n |·|BC 1→|
=42·20
=10
5.
5.正四棱锥S —ABCD 中,O 为顶点S 在底面ABCD 上的射影,P 为侧棱SD 的中点,且SO =OD ,则直线BC 与平面PAC 所成的角为 .
[答案] 30°
[解析] 可利用平面的法向量。
S
P
课堂小结:
1.异面直线l ,m 的方向向量为a ,b ,则l 与m 所成的角即为a 、b 所成的夹角或其补角;
2.要求直线l 与平面α所成的角,先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角β,然后用|
|2
π
θβ=-计算出结果即可;
3.求角过程中注意定义中角的取值范围,对所得的数量积作相应的调整,注意运用图象.
问题:用空间向量解决立体几何问题的步骤是什么
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题;
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.