§3.2.2立体几何中的向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角

§立体几何中的向量方法（4）

向量法求线线角与线面角

一、学习目标

1．理解直线与平面所成角的概念．

2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学

问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角

设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角

如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，

n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，

则sin φ＝ 。 三、例题探究

例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．

变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的

班别： _____________

学号： _____________

高二理科数学

导学案

中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ( )

A．30° B．45°

C．60° D．90°

例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，

求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.

四、练一练（时间：5分钟）

1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，

直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( )

A．cosθ＝μ·v

|μ||v| B．cosθ＝

|μ·v|

|μ||υ|

C．sinθ＝

μ·v

|μ||v|

D．sinθ＝

|μ·v|

|μ||v|

2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝4

1

1B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）

A ．

1715 B ．2

1 C ．

17

8

D ．23

3．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ） A ．

54 B ．104 C ．52 D ．10

2

4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的

正弦值为 ( )

5．正四棱锥S —ABCD ，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO =OD ，则直线

BC 与平面PAC 所成的角为 ．

【参考答案】§立体几何中的向量方法（4）

向量法求线线角与线面角

一、学习目标

1．理解直线与平面所成角的概念．

2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 用向量方法求空间中的角

A

B

C

D 1

E 1

F 1

A 1

B 1

C 1D

二面角

设二面角α—l —β的平面角为θ，平面α、β的

法向量为n 1，n 2，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 1〉|＝|n 1·n 2|

|n 1|·|n 2|

.

[0，π] 1．求异面直线所成的角

设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ，则〈a ，

b 〉与θ相等或互补，∴cos θ＝

|a ·b |

|a |·|b |

.

2．求直线与平面所成的角

如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，

φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，则sin φ＝|cos θ|＝|cos 〈a ，n 〉|＝

|a ·n |

|a ||n |

.

二、问题导学

问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角

设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角

如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，

n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，

则sin φ＝ 。

三、例题探究

例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．

【答案】 60°

变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

[答案] D

[解析] 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝1，A (0,0,0)，M (0,1，12)，Q (12，1

2

，0)，设P (x,0,1)，

∴AM →＝(0,1，12)，PQ →＝(12－x ，12，－1)，AM →·PQ →

＝0×(12－x )＋1×12＋12×(－1)＝0，

∴AM →⊥PQ →

，∴选D.

[点评] 1．求异面直线所成的角的常用方法是：