达朗贝尔原理及虚位移原理知识点总结
第十四章达朗贝尔原理
Fb 0, F cos mg 0 Fn 0, F sin F* 0
例题
第14章 达朗贝尔原理
O
θ
l
F
eb
en
et
mg F*
F cos mg 0 F sin F* 0
J B 2
1 2
FP g
v2
QS
sin
FP S
1 2
Q g
v2
(1 2
1 2
Q g
r2
v2 r2
)2
1 2
FP g
v2
QS
sin
FP
S
(Q
FP ) v2 2g
(Q sin
FP )S
两边对时间求一次导数
B
2(Q
FP 2
)v
a
g(Q sin
FP
)v
例题
第14章 达朗贝尔原理
均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r 一绳绕于可绕固定轴O转动的圆柱体A上， 绳的另一端绕在圆柱B上，求B下落的质心 的加速度，摩擦不计。
A
r
A
A J A A Tr JBB T r
O
D
B
O
T
ao1
A B ac
ao1c
aon1c
2Q F P
例题5
第14章 达朗贝尔原理
滚子A，重Q，沿倾角为α的斜面滚动而不滑 动，滑轮B与滚子A有相同的质量和半径，且均可 看作均值圆盘。物体C重FP，求滚子中心的加速 度。设绳子不可伸长，其重量可略而不计，绳与
第14章达朗贝尔原理汇总
FT1＝
m2 g
2cos
,
FT1＝FT1
cos m1 m2 g m1l 2
质点的惯性力与动静法
例 题2
y 振动筛
y
平衡位置 O
y＝a sin t
求：颗粒脱离台面的 最小振动频率
质点的惯性力与动静法 例 题 2
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。
y
y
FI FN m
m1g (FT1 FT2 )cos 0
对于重锤 C
FT1＝FT3 ,
FT1＝
m2 g
2cos
,
FT1＝FT1
质点的惯性力与动静法 例 题 1
解：
Fx1 0 Fy1 0
FT1＝FT3 ,
m1l 2sin (FT1 FT2 )sin 0
m1g (FT1 FT2 )cos 0
Wsin
W g
l
2
W 4
sin
CR W1
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例 题5
半径为R、重量为W1的 大圆轮，由绳索牵引，在
O
重量为W2的重物A的作用 下，在水平地面上作纯滚
动，系统中的小圆轮重量
忽略不计。
A
求：大圆轮与地面之间
的滑动摩擦力
W2
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例 题5
CR
W1
F FN
FO
解：1、受力分析
y
考察整个系统，有4个未知
O
FO 约束力。
x
如果直接采用动静法，需
将系统拆开。因为系统为一
个自由度，所以考虑先应用
A
动能定理，求出加速度，再 对大圆轮应用动静法。
第10章达朗贝尔原理及虚位移原理
sA
3 11 1 FA F1 F2 M 8 14 8
解:
(1) 给虚位移 rA , rB ,
由 rB cos rA sin ( rA , rB 在 A ,B 连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FA rA FB rB 0
Fi ri 0
FA rB cot FB rB
y
A
rA
O
rB
M
B
x
实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、 主动力以及运动的初始条件有关 .
实位移
dr , dx, d
等
10.3.3 虚功
力在虚位移中作的功称虚功.
W F r
W M
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和 等于零，称这种约束为理想约束.
s 2 h
F
F'
s
W
F
FN s 2 Fl 0
FN
FN h 2 Fl 0 WF 2
因 是任意的
FN h 2 Fl 0 2
4 l FN F h
例10-6 已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块Ａ,Ｂ与杆 重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡. 求：主动力FA与 FB 之间的关系。
mg FT FI 0
b
F
0, FT cos mg 0
F
解得
n
0, FT sin FI 0
FT
v
mg 1.96 N cos
FT l sin 2 2.1 m s m
虚位移原理和达朗伯原理
Fi ri 0
与前述条件矛盾
故 Fi ri 0 时质点系必处于平衡。
4
①虚位移原理还可写成：∑Fiδri cosαi=0 ②解析式
( X ixi Yiyi Z izi ) 0
(2.1.2)
ai——Fi与ri之间的夹角； Xi 、 Yi 、 Zi 及δxi、 δyi 、
5
i
Yi yi Z i zi ) 0
主动力在虚速度中所做的元功率称为虚功率，这种用 虚速度表示的虚位移原理称为虚功率原理：具有完整定常理 想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与充分条件是： 作用于质点系的所有主动力在任何虚速度上所作的元功率之 和等于零。上两式称为虚功率方程。
ri ri (q1 , q2 ,qk , t ) (i 1,2,n)
Mi的虚位移（固定时间t）：
ri ri ri ri q1 q2 ... qk q1 q2 qk ri qa a 1 qa
FrB cos P2rD sin 0
而 rB 2b , rD b
代入上式，得
( F 2b cos P2 b sin ) 0
0， ( )0
2F 得tan P2
13
再使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的另 一组虚位移，如图所示。
δzi——主动力Fi及δri在x、y、x轴上的投影。
上三式均称为虚功方程，实际应用时,用①②两式。 2.1.2 用虚速度表示的虚位移原理 在式(2.1.1)、(2.1.2)等号两边同除以dt，得
F r 0
( X x
i 1 i n
n
i 1
i
i
(2.1.7)
第十四章达朗贝尔原理资料
第十四章达朗贝尔原理动欝肉:用帝力学中研克平衡问题的方法来研克动力学问题・第一节惯性力a n质点的达朗贝余凍理F I = -man质点达朗贝余虑理作用于质点上的主动力F,釣束力F逢加惯性力F |扈形式上姐成平衡力糸.尸+仏+坊=0慣性力是人为地.級祖地加上去的，幷不真宾的作用蛊％体上。
达胡n余嫖理从形比上将动力学问题转化为符力学问题，它幷不故支动力学问题的卖质，质点矣际上也幷不平街。
F y+F Ny+F f y =0“动”代表研黑对象是动力学问题。
“鲁”代表研黑问题所用的方法是静力学方廉动静出的解題过程：1＞分析境点所受的主动力和釣束力；2, 分析填点的运动，确走加速度；3. 衣填点上加上与加速度方向相反的慣性力。
—♦F/ = -ma4、用鑫平衡方程求解尸+丘+斤=0第二节质点糸的达朗贝余斥理质点糸达朗贝余療理—► —►—►F M +F* — 0对于每•个填A Fj +质点糸中毎个质点上作用的主动力，釣隶力和它的慣性力在形此上组成平衡力糸.玖=工即+工理）+工尸〃=0M。
=工M,,（砂））+工M。
（叩）+ 工M。
（F,） = 0工申+工礼=0工收（炉）+工见伉）二0例题1 汽车连同货杨的总质量是力,其质心c With o多汽车以加速度日沿水平道路行驶肘，求地面给前・后轮的铅直反力。
轮子的质量不计。
达朗贝尔原理后轮的水平距离分别是b和＜7 ,离地面的离度是片力一加牡+尸皿@ +（） = 0fn(gb +cih)则体作平动刖体作走粕转动1 •需粘不通过贋心，但驸体作匀速转动 F[ = mr c a ) co第三节创体慣性力糸的简化 巧=》（・m 冋） =沖a c。
第六章 分析力学基础
第六章 分析力学基础本章是动力学问题的引深，将介绍解决刚体和刚体系统动力学问题中经常采用的分析方法，这些方法将在某个方面使动力学问题的解决得以方便或简化，有的方法将直接涉及到动力学分析的计算机应用，这些方法包括达朗贝尔原理、虚位移原理、第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。
第一节 达朗贝尔原理达朗贝尔原理（有的书称之为达朗伯原理）的核心是引入惯性力和惯性力矩的概念，从而将动力学问题转化为静力学问题解决。
（一） 达朗贝尔惯性力我们已经知道，牛顿第二定律描述了一个质点的运动规律，即F r m = （6.1.1）这里，r表示该质点在惯性参考基中的位置，F 则表示该质点所受外力的主矢量。
如果将上式改写为0=-r m F（6.1.2）再定义r m F -=* （6.1.3）称为该质点的达朗贝尔惯性力，则牛顿第二定律可以改写为如下形式：0=+*F F （6.1.4）上式可以这样理解：质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力的矢量和等于零，或者说，质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力组成一个平衡力系。
这个结论称之为质点的达朗贝尔原理。
下面就（6.1.4）式作出讨论：① 所谓所有真实外力包括主动力和理想约束力。
② 达朗贝尔惯性力与非惯性基下的牵连惯性力和科氏惯性力是有区别的，后者仅仅是为了将非惯性基下的动力学方程写成类似于惯性基的形式而采用的，显然，它们取决于惯性基的运动，而达朗贝尔惯性力与非惯性基存在与否没有关系，达朗贝尔惯性力的定义为了将相对惯性基的动力学方程改写为另外一种形式，即一种力的平衡形式。
③ 达朗贝尔原理也称为动静法，即动力学问题的静力学处理方法。
④ 达朗贝尔惯性力是描述相对惯性基的运动，所以，它也直接简称为惯性力。
对于一个由n 个质点组成的质点系统，每个质点的外力中显然包含了系统内其他质点的作用力，但是对于整个系统而言，它们之间的作用力相互抵消，因此，该质点系的外力仅仅是系统外部的作用力，当然包括主动力和理想约束力。
13第十三章-达朗贝尔原理(动静法)解析
13
一、刚体作平动
刚体内各点的加速度都与质心C的加速度 aC相等，任一
质点的惯性力 FIi mi aC ，组成一同向的平行力系。
这个惯性力系简化为通过质心C的合力：
FIR FIi miaC ( mi )aC FIR mac
FI1 aC
FI2
附加动约束力）； 2 推出消除附加动约束力的条件。
定轴转动刚体，角速度 ，角加速度 。
坐标系oxyz如图示，o点为转轴上的一点。
取简化中心：转轴上一点O。
z
所有主动力向O点简化的结果： 主矢：FR 主矩：M O
A FAx
惯性力系向O点简化的结果：
主矢：FIR
主矩：M IO
MO O
惯性力没有Z方向的分量（Z方向无加
第九章 质点动力学的基本方程 第十章 动量定理 第十一章 动量矩定理 第十二章 动能定理 ★ 第十三章 达朗贝尔原理 第十四章 虚位移原理
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原 理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化 为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。 这种用静力学解答动力学问题的方法，也称为动静 法。
FOx
(m1 m2 )g (m1 m2 )a
FIB
B
a 在本题中不计滑轮的质量，如果要
考虑滑轮的质量，则如何计算？
A
a
m2g
m1g
加上滑轮的惯性力和重力。
FIA
§13-3 刚体惯性力系的简化
应用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题必须给各质点虚 加上它的惯性力。对于运动的刚体每个质点加上它的惯性力， 这些惯性力组成一惯性力系。因为刚体有无限个质点，在每个 质点上加惯性力是不可能的，为了应用方便，按照静力学中力 系的简化方法将刚体的惯性力系加以简化，这样在解题时就可 以直接施加其简化结果，使动静法切实可行。
13 达朗贝尔原理
M IC J C
FIC
第十三章 达朗贝尔
例题13-2 均质杆长 l ，质量m，与水平面铰接，杆由与
平面成角位置静止落下，求初始瞬时OA杆的角
加速度及O点支座反力
A
C
O
mg
第十三章 达朗贝尔
例题13-3
绕线轮重为P，半径分别为R 和r ，对质心O的 转动惯量为JO ，在与水平成角的常力T 作用下 作纯滚动，不计滚阻力偶，求轮心O的加速度并
第十三章 达朗贝尔
若将作用于每个质点的力分为内力和外力，则： e i Fi Fi FIi 0 由空间任意力系平衡条件： e i Fi Fi FIi 0 e i M O Fi M O Fi M O FIi 0
它主动力时不论位置如何总能平衡，这叫静平衡 动平衡
若转轴过中心惯性主轴，则刚体转动时不出
现附加约束力，这叫动平衡
•第十三章 达朗贝尔
如图(a)、(b)、(c)、(d)所示定轴转动情形， 哪些情况满足静平衡，哪些情况满足动平衡?
m m
r
r
r
m
2m
r
r
2r
r
m
m m
r
(b)
m
(a )
(c)
(d )
静约束力 附加动约束力
FBz FRz
•第十三章 达朗贝尔
要使附加动约束力为零，则必须有：
FIx FIy 0
M Ix M Iy 0
由定轴转动刚体惯性力计算公式：
FIx maCx FIy maCy 0
M Ix J xz J yz 2 0 M Iy J yz J xz 2 0
1虚位移原理与达朗贝尔原理
y
C
v x 图1.2
O
1.两变量的Pfaff型约束 2.满足条件(1.8)
完整约束
本课程内容限于完整约束情况
2.自由度与广义坐标
基本概念
自由度：确定系统位形所需的最少参量数或 独立参量数 它等于确定系数位形的代数坐标数减去约束 方程数。如：
s个 完整约束
含n质点的 质点系
系统自由度 k=3ns
广义坐标：确定系统位形所需的独立参变量
它是代数量，可以是具有明确物理意义的线坐 标、角坐标，也可以不具有任何意义，但便于 描述系统位形。
完整系统的广义坐标数等自由度。k=3n-s个广 义坐标通常记为q1, q2, …, qk
系统各个质点的直角坐标或i (q1 , q2 ,, qk ; t ) yi yi (q1 , q2 ,, qk ; t ) zi zi (q1 , q2 ,, qk ; t ) ri ri (q1 , q2 ,, qk ; t )
j 1,2,, k
(5)理想约束：系统的约束力在任何虚位移上所作 的功之和等于零。
计算系统满足约束条件的虚位移的两种主要方 法：解析法、虚速度法
例1.1平面双摆如图1.3所示，直杆OA与AB的长度分别为a、 b，两杆于A端通过光滑铰连接，O端为固定铰支座。铰A与B 分别受y轴方向的力F1、F2与x轴方向的力F作用，在图示状 态平衡，各杆重不计。求：（1）铰A与B的虚位移xA、yA、 xB、yB；（2）摆的广义力。 O θ1 θ2 F F2 x
( xB x A ) ( y B y A ) b
2 2
2
对其作变分运算，得到
( xB x A )(δxB δx A ) ( y B y A )(δy B δy A ) 0
理论力学达朗贝尔原理
§ 5-2 惯性力系的简化
二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩 1. 刚体作平动 刚体平移时，惯性力系向质心简化
● 主矢
F*2
m2 F*1
m1 a2
a1
F*＝ (－miai)
F* M aC F*n mn an
＝ (－miaC)＝－maC
● 主矩 M*＝0
FNB
m ( gb ah ) bc
F* C a
h
FB
mg
Bc
b
A
FNB
FNA
§5-3 动静法应用举例
无ABS系统时，刹车会产生侧滑现象
思考题
§5-3 动静法应用举例
汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死”？
h
mg
l2
l1
车轮防抱死装置ABS: Anti-Brake System
分析汽车刹车时的动力学特性
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理
FF NF *0 质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx
FNx
F
* x
0
Fy
FNy
F
* y
0
Fz
FNz
F
* z
0
§ 5-2 达朗贝尔原理
二、质点系达朗贝尔原理 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将
达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
h
F*
F2 B
mg
F1
A
FN 2 l2
l1
F N1
M B 0 ,F N 1 ( l 1 l 2 ) m 2 F * h g 0 l
FN1
mg2l F*h l1 l2
重力 达朗贝尔原理
达朗贝尔原理是求解约束系统动力学问题的一个普遍原理，它是关于变换的著名定理。
该定理断言：每个有不动点的空间第一种合同变换是一个空间旋转。
该原理阐明，对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总和等于零。
或者说，作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零。
具体来说，如果一个质点受到主动力F、约束力FN以及虚构的惯性力FI=-ma的作用，那么这些力在质点运动的任一时刻都会构成平衡力系，即F+FN+FI=0。
而对于质点系，如果在每个质点上都加上虚构的惯性力FIi=-miai，则质系中每个质点均处于平衡，即Fi+FNi+FIi=0（i=1，2，…，n）。
达朗贝尔原理的提出，为分析力学的创立打下了基础。
它使得一些力学问题的分析得以简化，尤其是通过将动力学问题转化为静力学问题来处理，使得问题更加直观和易于解决。
1-2 达朗贝尔原理与拉格朗日方程
说明
1、由 W Fi ri 0 只能求出平衡条件，不能求出约束力 ;
i
2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤: (1) 确定系统自由度，选择合适的广义坐标；
(2) 将 ri 表示为广义坐标 q 的函数，并求出 ri xi , yi , zi ； (3)由虚功原理列出平衡方程，并令 q 的系数为零，求出平衡条件。
i 1,2, i 1,2,
, n , n
动力学方程
或： mi ri Fi Ri 0
惯性力 主动力
静力学方程（平衡方程）
约束力 静力学问题 动静法
动力学问题
纯数学移项，但物理意义深远！
mi ri Fi Ri 0
i 1,2,
, n
mi ri Fi Ri ri 0
W Fi ri Ri ri 0 对于理想约束
i i
R r 0
i i i
W Fi ri 0
i
或： W Fi ri Fix xi Fiy yi Fiz zi 0
i i
i 1,2
对定常约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；
对非定常约束，实位移与虚位移不一致 . 分别见P7图1.2.1(a)(b)
二、理想约束
实功：作用在质点上的力（含约束力 Ri）在实位移 dri 中所作 的功， dWi Fi dri Ri dri 虚功：作用在质点上的力（含约束力 Ri）在任意虚位移������ ri 中所作的功， Wi Fi ri Ri ri
q 是互相独立的；不能令 xi , yi , zi的系数为零，∵它们不是互 （
工程力学知识点总结
工程力学知识点总结工程力学是一门研究物体机械运动和受力情况的学科，它对于解决工程实际问题具有重要的意义。
以下是对工程力学一些关键知识点的总结。
一、静力学静力学主要研究物体在静止状态下的受力平衡问题。
1、力的基本概念力是物体间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
力的单位是牛顿（N）。
2、力的合成与分解遵循平行四边形法则，可以将一个力分解为多个分力，也可以将多个力合成为一个合力。
3、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力是约束对物体的反作用力。
常见的约束有柔索约束、光滑接触面约束、铰链约束等。
4、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。
要明确研究对象，画出其受力图，包括主动力和约束力。
5、平衡方程对于平面力系，有∑Fx ＝ 0、∑Fy ＝ 0、∑Mo(F) ＝ 0 三个平衡方程；对于空间力系，则有六个平衡方程。
二、材料力学材料力学主要研究杆件在受力作用下的变形和破坏规律。
1、内力与应力内力是杆件内部由于外力作用而产生的相互作用力。
应力是单位面积上的内力，分为正应力和切应力。
2、应变应变是杆件变形量与原始尺寸的比值，分为线应变和切应变。
3、拉伸与压缩杆件在受到轴向拉伸或压缩时，会产生轴向变形和横截面上的应力分布。
4、剪切与挤压在剪切面上会产生切应力，在挤压面上会产生挤压应力。
5、扭转圆轴扭转时，横截面上会产生切应力，其分布规律与扭矩有关。
6、弯曲梁在弯曲时，会产生弯矩和剪力，横截面上会有正应力和切应力分布。
7、强度理论用于判断材料在复杂应力状态下是否发生破坏，常见的有第一、第二、第三和第四强度理论。
三、运动学运动学研究物体的运动规律，而不考虑引起运动的力。
1、点的运动描述点的运动可以用直角坐标法、自然法和极坐标法。
2、刚体的平动和转动平动时刚体上各点的运动轨迹相同，速度和加速度也相同；转动时刚体绕某一固定轴旋转。
3、角速度和角加速度用于描述刚体转动的快慢和变化率。
4、点的合成运动包括牵连运动、相对运动和绝对运动，通过速度合成定理和加速度合成定理来分析。
第十四章 达朗贝尔原理
O
O
O
J k
O
2 i
M
IO
F
i
Ii
n Ii
R
O
I
* 结论：
I
R M a
IO O
C
（过O点）
a m F r C a
n i
i C
M J
（与反向）
* 特殊情况分析
a
F
n I
C
M C
O
IO
C
e
a
n C
F
ea
F
O
n I
n C
I
M
IO
O
g mg mg
ml 9 1 3 9 g ml g 2 7l 2 7l 7l
2 mg 7
初始均质圆柱静止于 A处，受微小干扰后纯滚 而下，
求：轮心滚过任一距离 S时，轮心的加速度、 A处反力
X
A
Y
A
A
S
C
M
A
P
a
B
C
v
C
O
N
Ii
F
(e) i
i
即：
F
Ii
[ F F N F ] 0 (e) (i ) M O[ F i F i N i F Ii ] 0
(e) (i ) i i i
内力的主矢、主矩 0
F
a
(i ) i
i
m
i
Y
当圆盘以启动时：
A
M A
(完整word版)达朗贝尔原理及虚位移原理知识点总结
达朗贝尔原理知识总结1.质点的惯性力。
•设质点的质量为m ，加速度为，则质点的惯性力定义为2.质点的达朗贝尔原理。
•质点的达朗贝尔原理：质点上除了作用有主动力和约束力外，如果假想地认为还作用有该质点的惯性力，则这些力在形式上形成一个平衡力系，即3.质点系的达朗贝尔原理。
•质点系的达朗贝尔原理：在质点系中每个质点上都假想地加上各自的惯性力，则质点系的所以外力和惯性力，在形式上形成一个平衡力系，可以表示为4.刚体惯性力系的简化结果（1）刚体平移，惯性力系向质心C 简化，主矢与主矩为（2）刚体绕定轴转动，惯性力系向转轴上一点O 简化，主矢与主矩为其中如果刚体有质量对称平面，且此平面与转轴z 垂直，则惯性力系向此质量对称平面与转轴z 的交点O 简化，主矢与主矩为（3）刚体作平面运动，若此刚体有一质量对称平面且此平面作同一平面运动，惯性力系向质心C简化，主矢和主矩为式中为过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动惯量。
5.消除动约束力的条件。
刚体绕定轴转动，消除动约束力的条件是，此转轴是中心惯性主轴（转轴过质心且对此轴的惯性积为零）；质心在转轴上，刚体可以在任意位置静止不动，称为静平衡；转轴为中心惯性主轴，不出现轴承动约束力，成为动平衡。
常见问题问题一在惯性系中，惯性力是假想的（虚加的），达朗贝尔原理也是数学形式上的，物体一般并不是真的处于平衡。
问题二惯性力系一般都是向定点或者质心简化，因此这时惯性力系的主矩，而向其它的点简化，一般上是不成立的。
如果一定要向某一任意点A简化，那么要先向定点或质心简化，之后将其移至A点（注意力在平移时将会有附加力偶）。
惯性力系的主失是与简化中心无关的。
问题三用达朗贝尔原理解题时，加上惯性力系后就完全转化成静力学问题，其求解方法与精力学完全相同。
问题四物体系问题。
每个物体都有惯性力系，因此每个物体的惯性力系向质心（或定点）简化都得到一个力与一个力偶。
虚位移原理知识点总结1.虚位移·虚功·理想约束。
第十四章 虚位移原理
M FvC 0
B点虚速度关系：
va ve vr
h ve OB sin ve h va vC 2 sin sin Fh M 2 sin
B v r M O
h
PAG 24
Northeastern University
⑶ 列虚功方程
y
F
G E C
D
FyG FBxxB 0
F (3l cos )
B
FBx (2l sin ) ) 0 A
3 FBx F cot θ 2
FBx
x
（二）CG间弹簧的刚度系数为k,图示位置弹簧已伸长δ0,求 FBx
PAG 21
Northeastern University
解：⑴ 取系统为研究对象,受力分析 约束为理想约束 ⑵ 给一组虚位移 B点虚位移关系?
A B
h
rC
C
F
M
O
M F rC 0
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§14-2
虚位移原理
va
ve
M F rC 0
A
vC
F
WN FNi ri 0
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§14-1
约束 ·虚位移 ·虚功
2、光滑铰链 F
1、光滑支承面 P r FN WN FN r 0
r '
' WN F r F r 0
F
3、无重刚杆
达朗贝尔原理
M I 0 = ∑ ri × FIi = ∑ ri × (− mi ai ) =−
ri
(∑ m r )× a
i i
c
= − mrc × ac
向质心简化： 向质心简化：
FIR = −mac
M Ic = 0
二、平面刚体做定轴转动
mac = ∑miai
z
取转轴上任意一点O为简化中心 取转轴上任意一点 为简化中心 主矢
t i
rt FIi
rn FIi
ω α n n 2 Fi = mai = mriω I i i
x
MIx = ∑Mx ( F ) = ∑Mx ( Ft ) + ∑Mx ( Fn ) Ii Ii Ii
= ∑mi riα cosθi zi + ∑(−mi riω2 sinθi zi )
平面刚体做定轴转动 ? 如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 如果刚体有质量对称面且该面与转轴 垂直；
(1)
∑ M (F) = 0
A
MgC2
FgC2 C2 mg B
l (FgC2 − mg) + MgC2 = 0 (2) 2
联立(1), (2)求解 联立 求解: 求解
FgC2 MgC2 C2 mg B
9g ε1 = 7l
ε2
3g = − 7l
例 题 4 均质圆柱体重为 ，半径为 ，沿倾斜平板从静止状 均质圆柱体重为W，半径为R， 态开始，自固定端O处向下作纯滚动 处向下作纯滚动。 态开始，自固定端 处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾 忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力 处的约束力。 角为θ ，忽略板的重量。试求： 固定端 处的约束力。
虚功原理和达朗贝尔原理
虚功原理和达朗贝尔原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊虚功原理和达朗贝尔原理呀。
你说这虚功原理啊，就像是一个神奇的魔法棒！它告诉我们，在一个平衡的系统里，哪怕是小小的虚位移，也能带来大大的作用呢！就好比我们走路，每一步看似微小，但积累起来就能带我们去到想去的地方。
想象一下，一个复杂的机械结构，各种杆件啊、铰链啊，看着就让人头疼。
但有了虚功原理，就像有了一把钥匙，能轻松打开理解它的大门。
它能让我们从看似混乱的状态中找到规律，是不是很厉害呀！
再来说说达朗贝尔原理。
哎呀，这可真是个宝贝！它就像是给物体加上了一双翅膀，让我们能更好地理解物体的运动。
可以把它想象成是给物体找了个“虚拟伙伴”，这个伙伴能帮我们看清物体的受力和运动情况呢。
比如说一个球在滚动，达朗贝尔原理就能让我们清楚地知道它受到了哪些力的影响，为啥会这样滚动。
这两个原理啊，在我们的生活和工程中可有着大用处呢！比如造大桥的时候，工程师们就得用它们来计算怎么让桥稳稳地立在那里，车辆通过时也能安然无恙。
又或者制造那些精密的机器，没有它们可不行，不然机器说不定就会出故障呢。
它们就像两个默默守护的卫士，虽然我们平时可能不太会注意到它们，但它们却在背后发挥着巨大的作用。
我们的生活中处处都有它们的身影，从小小的玩具到大大的建筑，都离不开它们的功劳。
你说要是没有这两个原理，那我们的世界会变成啥样呢？是不是会有很多东西都没法实现呀！所以啊，我们可得好好珍惜它们，好好利用它们，让它们为我们的生活带来更多的便利和精彩。
总之，虚功原理和达朗贝尔原理就是这么神奇又重要，它们是物理学中的瑰宝，是我们探索世界、创造美好未来的得力助手！大家可千万别小瞧它们哟！。
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达朗贝尔原理
知识总结
1.质点的惯性力。
•设质点的质量为m ，加速度为，则质点的惯性力定义为
2.质点的达朗贝尔原理。
•质点的达朗贝尔原理：质点上除了作用有主动力和约束力外，如果假想地认为还作用有该质点的惯性力，则这些力在形式上形成一个平衡力系，即
3.质点系的达朗贝尔原理。
•质点系的达朗贝尔原理：在质点系中每个质点上都假想地加上各自的惯性力，则质点系的所以外力和惯性力，在形式上形成一个平衡力系，可以表示为
4.刚体惯性力系的简化结果
（1）刚体平移，惯性力系向质心C 简化，主矢与主矩为
（2）刚体绕定轴转动，惯性力系向转轴上一点O 简化，主矢与主矩为
其中
如果刚体有质量对称平面，且此平面与转轴z 垂直，则惯性力系向此质量对称平面与转轴z 的交点O 简化，主矢与主矩为
（3）刚体作平面运动，若此刚体有一质量对称平面且此平面作同一平面运动，惯性力系向质心C简化，主矢和主矩为
式中为过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动惯量。
5.消除动约束力的条件。
刚体绕定轴转动，消除动约束力的条件是，此转轴是中心惯性主轴（转轴过质心且对此轴的惯性积为零）；质心在转轴上，刚体可以在任意位置静止不动，称为静平衡；转轴为中心惯性主轴，不出现轴承动约束力，成为动平衡。
常见问题
问题一在惯性系中，惯性力是假想的（虚加的），达朗贝尔原理也是数学形式上的，物体一般并不是真的处于平衡。
问题二惯性力系一般都是向定点或者质心简化，因此这时惯性力系的主矩，而向其它的点简化，一般上是不成立的。
如果一定要向某一任意点A简化，那么要先向定点或质心简化，之后将其移至A点（注意力在平移时将会有附加力偶）。
惯性力系的主失是与简化中心无关的。
问题三用达朗贝尔原理解题时，加上惯性力系后就完全转化成静力学问题，其求解方法与精力学完全相同。
问题四物体系问题。
每个物体都有惯性力系，因此每个物体的惯性力系向质心（或定点）简化都得到一个力与一个力偶。
虚位移原理
知识点总结
1.虚位移·虚功·理想约束。
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，人所假想的任何无限小位移称为虚位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。
力在虚位移中所作的功称为虚功。
在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，这种约束称为理想约束。
2.虚位移原理。
虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是作用于质点系上的所有主动力在任何虚位移上所作虚功的和等于零。
其一般表达形式为
虚位移原理是不同于下列平衡方程求解静力学平衡问题的一种方法。
虚位移原理可以用于具有理想约束的系统，也可以用于具有非理想约束的系统。
虚位移原理可以求主动力之间的关系，也可以求约束力。
常见问题
问题一虚位移与实位移的区别，虚功与实功的区别。
问题二虚位移可以是线位移，也可以是角位移。
问题三虚位移原理是求解力系平衡时主动力之间关系的，如果要求约束力，则解除该约束，以主动力代替。
问题四求解虚功方程前，要建立各个虚位移之间的关系，这是解题中的重要一步。