【精品】高中选修1-1数学 椭圆及其标准方程 讲义 +练习题 第14讲 - 8.25

1． 知识与技能目标：
掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力．
3． 情感态度与价值观目标：
通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神．
【要点梳理】 要点一：椭圆的定义
平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点
1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．
要点诠释：
（1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点；
（2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程
学生/课程 年级 高一年级 学科 授课教师 江老师
日期
8.25
时段
核心内容
椭圆及其标准方程（第14讲）
要点诠释：
1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-；
3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；
4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导：
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．
以焦点在x 轴上的方程22
221x y a b
+=(0)a b >>为例．
(1)建系
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．
当焦点在x 轴上时， 22
221x y a b
+=(0)a b >>，其中222c a b =-；
当焦点在y 轴上时，22
221y x a b
+=(0)a b >>，其中222c a b =-．
（2）设点
设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)． (2)列式
由于点(,)M x y 为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为： {}122P M MF MF a =+= （称此式为几何条件）
2a （实现集合条件代数化） ① (4)化简
为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得
2a =
将这个方程两边平方，得
()
2
22 44x c y a ++=－22()x c y +-+，
整理得
2a cx -=
上式两边再平方，得
4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，
整理得
22222222()()a c x a y a a c -+=- ②
方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简． 由椭圆的定义可知22a c >，即a c >，所以220a c ->， 将方程②两边同除以222()a a c -，得
22
222
1x y a a c +=-． 令222a c b -=，那么所得的椭圆方程可化为：
22
22
1x y a b +=，(0)a b >>． 因此，方程22
221(0)x y a b a b
+=>>即为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．
要点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： （1）待定系数法：
①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a ，b ，即：“先定型，再定量”．
②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：
221(,0)mx ny m n m n +=>≠且．
（2）定义法：
先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．
【典型例题】 类型一：椭圆的定义
例1． 若一个动点P (x ，y )到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m >0），试求P 点的轨迹方程．
【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆．．当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆．
举一反三：
【变式1】已知圆22:(2)36A x y ++=，圆A 内一定点()20B ，，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．
【变式2】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
类型二：椭圆的标准方程
例2． 椭圆22110036
x y +=的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB 为过椭圆的一
个焦点F 1的一条弦，F 2为另一个焦点，则2ABF ∆的周长是 ．
【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a ，b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．
举一反三：
【变式1】椭圆22
1x y m n
+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．
【变式2】方程22
12516x y m m
+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．
【变式3】已知椭圆的标准方程是22
2125
x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且
|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．
例3．当39
k
<<时，指出方程
22
1
93
x y
k k
+=
--
所表示的曲线．
【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息．
举一反三：
【变式】如果方程222(0)
x ky k
+=>表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是．类型三：求椭圆标准方程
例4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35
(,)
22
-．【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴．当
焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为
22
22
1
x y
a b
+=；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为
22
221
y x
a b
+=．
举一反三：
【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0，1)，P是椭圆上一点，并且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆的标准方程是________．
【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆
22
1
94
x y
+=有相同的焦点，并且经过点（3，
－2），求此椭圆的方程．
例5．求经过点P（－3，0），Q（0，2）的椭圆的标准方程．
【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程．在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置．
举一反三：
【变式1】过点(－3，2)且与椭圆
22
1
94
x y
+=有相同焦点的椭圆的标准方程是________．
【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程．类型四：椭圆的综合问题
例6．设F1、F2是椭圆
22
1
94
x y
+=的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则
△PF1F2的面积等于________．
【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．
举一反三：
【变式1】已知P 为椭圆22
1169
x y +=上的一点，12,F F 是两个焦点，1260O F PF ∠=，求12F PF ∆的
面积．
【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么椭圆C 的方程为______．。