【精品】高中选修1-1数学 椭圆及其标准方程 讲义 +练习题 第14讲 - 8.25

1． 知识与技能目标：

掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力．

3． 情感态度与价值观目标：

通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神．

【要点梳理】 要点一：椭圆的定义

平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点

1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．

要点诠释：

（1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点；

（2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程

学生/课程 年级 高一年级 学科 授课教师 江老师

日期

8.25

时段

核心内容

椭圆及其标准方程（第14讲）

要点诠释：

1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-；

3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；

4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导：

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．

以焦点在x 轴上的方程22

221x y a b

+=(0)a b >>为例．

(1)建系

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．

当焦点在x 轴上时， 22

221x y a b

+=(0)a b >>，其中222c a b =-；

当焦点在y 轴上时，22

221y x a b

+=(0)a b >>，其中222c a b =-．

（2）设点

设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)． (2)列式

由于点(,)M x y 为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为： {}122P M MF MF a =+= （称此式为几何条件）

2a （实现集合条件代数化） ① (4)化简

为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得

2a =

将这个方程两边平方，得

()

2

22 44x c y a ++=－22()x c y +-+，

整理得

2a cx -=

上式两边再平方，得

4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，

整理得

22222222()()a c x a y a a c -+=- ②

方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简． 由椭圆的定义可知22a c >，即a c >，所以220a c ->， 将方程②两边同除以222()a a c -，得

22

222

1x y a a c +=-． 令222a c b -=，那么所得的椭圆方程可化为：

22

22

1x y a b +=，(0)a b >>． 因此，方程22

221(0)x y a b a b

+=>>即为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．

要点三：求椭圆的标准方程

求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： （1）待定系数法：

①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a ，b ，即：“先定型，再定量”．

②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：

221(,0)mx ny m n m n +=>≠且．

（2）定义法：

先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．

【典型例题】 类型一：椭圆的定义

例1． 若一个动点P (x ，y )到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m >0），试求P 点的轨迹方程．

【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆．．当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆．

举一反三：

【变式1】已知圆22:(2)36A x y ++=，圆A 内一定点()20B ，，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．

【变式2】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

类型二：椭圆的标准方程

例2． 椭圆22110036

x y +=的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB 为过椭圆的一

个焦点F 1的一条弦，F 2为另一个焦点，则2ABF ∆的周长是 ．

【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a ，b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．

举一反三：

【变式1】椭圆22

1x y m n

+=--(m

【变式2】方程22

12516x y m m

+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．

【变式3】已知椭圆的标准方程是22

2125

x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且

|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．