8-3全微分及其应用

f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) ≈ f x ( x, y )∆x
f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y ) ≈ f y ( x, y )∆y
全 增 量 的 概 念 ： 如 果 函 数 z = f ( x, y ) 在 点 ( x , y ) 的 某 邻 域 内 有 定 义 ， 并 设
( x , y ) →( 0 , 0 )
lim
xy sin
1 x2 + y2
= lim ρ 2 sin θ cosθ ⋅ sin
ρ →0
1
ρ
= 0 = f (0,0),
故函数在点 (0,0) 连续,
f x (0,0) = lim
∆x →0
0−0 f (∆x,0) − f (0,0) = lim = 0, ∆x →0 ∆x ∆x
4 4
例 3 计算函数 u = x + sin 解
y + e yz 的全微分. 2
∂u ∂u 1 ∂u y = ye yz , = 1, = cos + ze yz , ∂z ∂x ∂y 2 2 1 2 y + ze yz )dy + ye yz dz. 2
所求全微分 du = dx + ( cos
微分，记为 dz ，即
dz = A∆x + B∆y .
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数在 D 内可微分. 如果函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微分, 则函数在该点连续. 事实上 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ), lim ∆z = 0,
ρ →0
∆f = f (∆x, ∆y ) − f (0,0) = ∆x ⋅ ∆y ⋅ sin
1 (∆x) + (∆y ) 2
2
= o( (∆x) 2 + (∆y ) 2 )
故 f（x, y ) 在点 (0,0) 可微 df
( 0, 0 )
= 0.
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微
偏导数连续 全微分在近似计算中的应用
∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ] =
∆x ⋅ ∆y (∆x) 2 + (∆y ) 2
,
如果考虑点 P′( ∆x, ∆y ) 沿着直线 y = x 趋近于 (0,0) ，
∆x ⋅ ∆y
则
(∆x) 2 + (∆y ) 2
ρ
=
∆x ⋅ ∆x 1 = , 2 2 ( ∆x ) + ( ∆x ) 2
∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) 可 以 表 示 为 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ) ， 其 中 A, B 不 依 赖 于 ∆x, ∆y 而 仅 与 x, y 有 关 ， ρ = (∆x) 2 + (∆y )2 ， 则 称 函 数
z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微分， A∆x + B∆y 称为函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x, y ) 的全
计算 (1.04) 2.02 的近似值.
y 解 设函数 f ( x, y ) = x .
取 x = 1, y = 2, ∆x = 0.04, ∆y = 0.02.
Q
f (1,2) = 1,
f x ( x, y ) = yx y −1 , f y ( x, y ) = x y ln x,
f x (1,2) = 2, f y (1,2) = 0,
∆x →0 ∆y →0
lim f ( x + ∆x, y + ∆y ) = lim[ f ( x, y ) + ∆z ] = f ( x, y )
ρ →0
故函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处连续. 二、可微的条件 定理 1（必要条件 ） （必要条件） 可微分， 如果函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微分，则该函数在点
说明它不能随着 ρ → 0 而趋于 0, 当 ρ → 0 时，
∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ] ≠ o( ρ ),
函数在点 (0,0) 处不可微. 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 定理２ 充分条件） 定理２（充分条件） 如果函数 z = f ( x, y ) 的偏导数
P′( x + ∆x, y + ∆y ) 为 这 邻 域 内 的 任 意 一 点 ， 则 称 这 两 点 的 函 数 值 之 差 f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量 ∆x, ∆y 的全增量， 记
为 ∆z ，即 ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) 全 微 分 的 定 义 ： 如 果 函 数 z = f ( x, y ) 在 点 ( x , y ) 的 全 增 量
f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y )
= f y ( x, y )∆y + ε 2 ∆y, 当 ∆x → 0, ∆y → 0 时 ，
ε1 → 0 ,
∆z = f x ( x , y ) ∆x + ε 1 ∆x + f y ( x , y ) ∆y + ε 2 ∆y
Q
ε 1 ∆x + ε 2 ∆y ρ→ ≤ ε1 + ε 2 0→ 0, ρ
∂z ∂z 连续， 、 在点 ( x, y ) 连续， ∂x ∂y
可微分． 则该函数在点 ( x, y ) 可微分． 证 ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )
= [ f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y + ∆y )] + [ f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y )],
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y + ∆y )
= f x ( x + θ1∆x, y + ∆y )∆x (0 < θ1 < 1) = f x ( x, y )∆x + ε1∆x （依偏导数的连续性）
其中 ε1 为 ∆x, ∆y 的函数, 且当 ∆x → 0, ∆y → 0 时， ε1 → 0 . 同理
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 例 1 计算函数 z = e 在点 (2,1) 处的全微分.
xy
解
∂z ∂z = ye xy , = xe xy , ∂x ∂y
∂z ∂z = e2 , = 2e 2 , ∂x ( 2,1) ∂y ( 2,1)
所求全微分 dz = e 2 dx + 2e 2 dy. 例 2 求函数 z = y cos( x − 2 y ) ，当 x = 分. 解
邻域 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ) 总成立,
当 ∆y = 0 时， 上式仍成立， 此时 ρ =| ∆x | ,
f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y )
= A ⋅ ∆x + o(| ∆x |),
∆x →0
lim
=
∂z , ∂x
f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) =A ∆x
当二元函数 z = f ( x, y ) 在点 P( x, y ) 的两个偏导数 f x ( x, y ), f y ( x, y ) 连续，且 ∆x , ∆y 都较小时，有近似等式
∆z ≈ dz = f x ( x, y )∆x + f y ( x, y )∆y.
也可写成 例5
f ( x + ∆x, y + ∆y ) ≈ f ( x, y ) + f x ( x, y )∆x + f y ( xπ ， dx =
π
4
， dy = π 时的全微
∂z = − y sin( x − 2 y ), ∂x
∂z = cos( x − 2 y ) + 2 y sin( x − 2 y ), ∂y dz ( π ,π ) =
4
∂z ∂z 2 dx + dy = π (4 − 7π ). ∂x ( π ,π ) ∂y ( π ,π ) 8
同理 f y (0,0) = 0. 当 ( x, y ) ≠ (0,0) 时，
f x ( x, y ) = y sin
1 x +y
2 2
−
x2 y (x + y )
2 2 3
cos
1 x + y2
2
,
当点 P ( x, y ) 沿直线 y = x 趋于 (0,0) 时,
( x , x )→( 0 , 0 )
故函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微. 习惯上，记全微分为 dz =
∂z ∂z dx + dy. ∂x ∂y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的 微分符合叠加原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du =
∂u ∂u ∂u dx + dy + dz. ∂x ∂y ∂z
章 节 题 目
第三节
全微分及其应用
全微分的概念、计算、充要条件及应用 内 容 提 要